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´Indice 1. Tacto y vista: la tierra y los cielos

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2. Lo que sucede y lo que se observa

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3. La velocidad de la luz

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4. Medidas de tiempo y de longitud

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5. Espacio-Tiempo

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6. La teor´ıa especial de la relatividad

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7. Intervalos en espacio-tiempo

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8. La ley de gravitaci´ on de Einstein

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9. Las pruebas de la ley de la gravitaci´ on de Einstein

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10.Masa, momento, energia y acci´ on

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11.El universo en expansi´ on

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12.Convencionalismos y leyes naturales

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13.La abolici´ on de la ((fuerza))

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14.¿Qu´ e es la materia?

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15.Consecuencias filos´ oficas

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Tacto y vista: la tierra y los cielos Todo el mundo sabe que Einstein hizo algo asombroso, pero muy po-

cos saben con exactitud qu´e fue lo que hizo. Todos reconocen que revolucion´o nuestra concepci´on del mundo f´ısico, pero las nuevas concepciones est´an envueltas en tecnicismos matem´aticos. Es cierto que hay innumerables exposiciones de tipo popular de la teor´ıa de la relatividad, pero en general dejan de ser inteligibles en el momento en que empiezan a decir algo importante. Apenas si podemos reprochar a sus autores por ello. Muchas de las nuevas ideas se pueden expresar en un lenguaje no matem´atico, pero no por ello dejan de ser menos dif´ıciles. Lo que se pide es un cambio en nuestra concepci´on del mundo, concepci´on que viene de muy atr´as, de nuestros antepasados prehumanos quiz´a, y que cada uno de nosotros hemos aprendido desde nuestra m´as tierna infancia. Un cambio en nuestra imaginaci´on es siempre dificil, especialmente cuando ya no somos j´ovenes. Cop´ernico ped´ıa esta misma clase de cambio cuando ense˜ n´o que la tierra no est´a quieta y que los cielos no giran a su alrededor una vez al d´ıa. Esta idea no es dif´ıcil para nosotros, porque la hemos aprendido antes de que se fijaran nuestros h´abitos mentales. De la misma manera, las ideas de Einstein parecer´an m´as f´aciles a las generaciones que crezcan con ellas. De todos modos, nos es inevitable cierto esfuerzo de reconstrucci´on imaginativa. Para la exploraci´on de la superficie de la tierra nos servimos de todos nuestros sentidos, y m´as particularmente de los sentidos del tacto y de la vista. En ´epocas precient´ıficas, se empleaban partes del cuerpo humano para medir la longitud: un ((pie)), un ((codo)), un ((palmo)) est´an definidos en este sentido. Para mayores distancias pensamos en el tiempo que se tarda en ir de un lugar a otro. Gradualmente aprendemos a juzgar la distancia de modo general a ojo, y para mayor precisi´on nos apoyamos en el tacto. Es el tacto, adem´as, el que nos da el sentido de la ((realidad)). Ciertas cosas no se pueden tocar: el arco iris, los reflejos en nuestros espejos, etc. Son las cosas que dejan perplejos a los ni˜ nos cuyas especulaciones metaf´ısicas se detienen porque se les ha ense˜ nado que lo que hay en el espejo no es ((real)). El pu˜ nal de Macbeth era irreal porque no era ((tan sensible al tacto como a la vista)). No s´olo nuestra geometr´ıa y nuestra f´ısica, sino tambi´en toda nuestra concepci´on de lo que existe fuera de nosotros est´an basadas en el sentido del

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tacto. Llevamos esto hasta nuestras met´aforas: una buena conversaci´on es ((s´olida)), una mala conversaci´on es ((vaporosa)), porque creemos que un gas no es completamente ((real)). Al estudiar los cielos nos vemos privados de todos los sentidos, a excepci´on de la vista. No podemos tocar el sol, o viajar hasta ´el. Tampoco podemos caminar alrededor de la luna, ni aplicar la medida del pie a las Pl´eyades. Sin embargo, los astr´onomos han aplicado constantemente a ellos la geometr´ıa y la f´ısica que cre´ıan v´alida para la superficie de la tierra y que se basaba en el tacto y en el camino. Al obrar as´ı, no dejaban de tener sus dudas y quebraderos de cabeza, que Einstein hab´ıa de aclarar. El resultado es que mucho de lo que aprendimos por el sentido del tacto no era m´as que un prejuicio acient´ıfico, que debemos rechazar si queremos tener una idea verdadera del mundo. Un ejemplo nos puede ayudar a comprender la imposibilidad que tiene el astr´onomo de aplicar estos m´etodos cuando se le compara con el hombre interesado por cosas que est´an en la superficie de la tierra. Imag´ınate que acabas de tomar una p´ıldora que te deja temporalmente inconsciente y que, al volver en ti, has perdido la memoria, pero no la facultad de razonar. Sup´on tambi´en que mientras te encontrabas inconsciente te montaron en un globo que, empujado por el viento, navega contigo hacia una noche oscura: la noche del 5 de noviembre, si est´as en Inglaterra, o la del 14 de julio, si est´as en Am´erica. Desde el globo puedes ver los fuegos artificiales lanzados desde tierra, desde los trenes y aeroplanos que marchan en todas direcciones, pero no puedes ver el suelo, ni los trenes o aeroplanos a causa de la oscuridad. ¿Qu´e tipo de visi´on del mundo te formar´as? Puedes pensar que nada est´a fijo: s´olo hay breves r´afagas de luz que, durante su corta existencia, caminan a trav´es del vac´ıo, formando las curvas m´as variadas y extra˜ nas. Tampoco puedes tocar estas r´afagas de luz, solamente puedes verlas. Evidentemente, tu geometr´ıa y tu f´ısica ser´an completamente diferentes de las de los simples mortales. Si un simple mortal estuviera contigo en el globo, encontrar´ıas ininteligible su conversaci´on. Pero si estuviera Einstein, le comprender´ıas m´as f´acilmente que el com´ un de los mortales. Te ver´ıas libre de una serie de prejuicios que impiden a la mayor´ıa de las personas poder entenderle. La teor´ıa de la relatividad consiste, en buena parte, en desprenderse de

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las nociones que son u ´tiles en la vida ordinaria, pero que no sirven a nuestro drogado hombre del globo. Circunstancias de la superficie de la tierra, por varias razones m´as o menos accidentales, sugieren concepciones que luego resultan inadecuadas, aunque se hayan llegado a considerar como exigencias del conocimiento. La m´as importante de estas circunstancias es que la mayor´ıa de los objetos de la superficie de la tierra est´an totalmente firmes y casi estacionarios desde un punto de vista terrestre. Si esto no fuera as´ı, la idea de emprender un viaje no parecer´ıa tan concreta y definida c´omo es. Si quieres viajar de King’s Cross a Edimburgo, sabes que encontrar´as a King’s Cross donde ha estado siempre, que la l´ınea del ferrocarril seguir´a el mismo trayecto del u ´ltimo viaje que hiciste y que la Waverley Station de Edimburgo no se ha desplazado al castillo. Sabes, pues, y lo crees, que has viajado a Edimburgo, no que Edimburgo ha venido a ti, si bien esta u ´ltima afirmaci´on ser´ıa al menos tan exacta como la primera. El ´exito de este punto de vista del sentido com´ un depende de una serie de cosas que caen dentro de lo que llamamos suerte. Sup´on que todas las casas de Londres estuvieran girando constantemente, como un enjambre de abejas. Imag´ınate que los ferrocarriles se movieran y adoptaran unas formas semejantes a avalanchas. Finalmente, puedes figurarte que los objetos estuvieran en perpetuo movimiento form´andose y disolvi´endose como las nubes. No hay nada imposible en estas suposiciones. Pero, naturalmente, lo que llamamos un viaje a Edimburgo, no tiene sentido en esta clase de mundo. Comenzar´ıas sin duda a preguntar al taxista: ((¿D´onde cae esta ma˜ nana King’s Cross?)) En la estaci´on tendr´ıas que hacer una pregunta semejante respecto a Edimburgo. Pero el empleado de la oficina responder´ıa: ((¿A qu´e parte de Edimburgo se refiere, se˜ nor?)). Prince’s Street se ha desplazado a Glasgow, el castillo subi´o a las Highlands y Waverley Station est´a bajo el agua en medio del Firth of Forth)). Aparte de esto, durante el viaje, las estaciones no habr´ıan permanecido quietas, pues unas se habr´ıan desplazado al norte, otras al sur, otras al este o al oeste, quiz´as mucho m´as r´apidas que el mismo tren. En estas condiciones ya no podr´ıas decir d´onde te encontrabas en un momento dado. En realidad la noci´on completa de que se est´a siempre en un lugar ((concreto)), se debe a la feliz inmovilidad de la mayor´ıa de los objetos s´olidos que cubren la superficie de la tierra. La idea de ((lugar)) es s´olo una aproximaci´on pr´actica y burda: l´ogicamente, no existe ese lugar necesario, ni tampoco puede precisarse.

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Si no fu´eramos m´as anchos que un electr´on, no tendr´ıamos esta impresi´on de estabilidad, debida u ´nicamente a la rudeza de nuestros sentidos. King’s Cross, que nos parece s´olido, ser´ıa demasiado vasto para que lo pudi´eramos concebir. S´olo lo podr´ıan hacer algunos matem´aticos exc´entricos. Los trozos que podr´ıamos ver de este mundo consistir´ıan en leves puntos de materia, sin llegar nunca a estar en contacto entre s´ı, ya que giran zumbando en un baile-danza inconcebiblemente r´apido. El mundo de nuestra experiencia ser´ıa tan loco como aquel en que fueron a parar las diferentes partes de Edimburgo en todas direcciones. Si —por tomar el extremo opuesto— fueras tan grande como el sol y vivieras tan lejos como ´el, con una correspondiente lentitud de percepci´on, te volver´ıas a encontrar nuevamente con un universo confuso y revuelto; las estrellas y los planetas ir´ıan y vendr´ıan como la niebla de la ma˜ nana. Nada permanecer´ıa en una posici´on fija en relaci´on a otra cosa. La noci´on de estabilidad comparada, que forma parte de nuestra visi´on ordinaria de las cosas, se debe a nuestro tama˜ no y a que vivimos en un planeta cuya superficie no es muy caliente. De no ser as´ı, nos encontrar´ıamos una f´ısica de la prerrelatividad, intelectualmente satisfactoria. Tendr´ıamos que habernos parado en un punto de la f´ısica de la relatividad, o permanecer ignorantes de las leyes cient´ıficas. Por fortuna para nosotros, no estamos abocados a esta alternativa, ya que es casi inconcebible que un solo hombre pueda hacer la obra de Euclides, Galileo, Newton y Einstein. No obstante, sin un genio incre´ıble, apenas se habr´ıa podido descubrir la f´ısica en un mundo en que el flujo universal era obvio a la observaci´on no-cient´ıfica. Aunque en astronom´ıa, el sol, la luna y las estrellas siguen existiendo a˜ no tras a˜ no, no obstante, en otros aspectos, el mundo que debemos tratar es muy distinto al de la vida diaria. Como ya hemos observado, dependemos exclusivamente de la vista: no podemos tocar, o´ır, oler o gustar los cuerpos celestes. Todo se mueve en los cielos en relaci´on a todo lo dem´as. La tierra gira alrededor del sol, el sol se mueve mucho m´as r´apido que un tren expreso hacia un punto de la constelaci´on H´ercules, las estrellas fijas danzan de ac´a para all´a como bandada de gallinas asustadas. En el cielo no hay lugares perfectamente delimitados, como King’s Cross y Edimburgo. Cuando viajamos de un lugar a otro de la tierra, decimos que el tren se mueve y que las estaciones est´an quietas, porque las estaciones conservan sus relaciones topogr´aficas entre s´ı y el paisaje que las rodea. Pero, en astronom´ıa,

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es arbitrario eso que llamamos tren y estaci´on: la cuesti´on se ha de decidir simplemente por conveniencia o por convencionalismo. A este respecto es interesante el contraste entre Einstein y Cop´ernico. Antes de Cop´ernico, la gente cre´ıa que la tierra estaba quieta y que los cielos giraban en torno a ella una vez al d´ıa. Cop´ernico ense˜ n´o que es ((realmente)) la tierra la que gira una vez al d´ıa, y que la rotaci´on diaria del sol y de las estrellas es solamente ((aparente)). Galileo y Newton apoyaron esta idea e inventaron muchas cosas para probarla: por ejemplo, el achatamiento de la tierra en los polos y el hecho de que los cuerpos son m´as pesados all´ı que en el ecuador. Pero en la teor´ıa moderna la cuesti´on entre Cop´ernico y sus predecesores es simplemente una cuesti´on convencional: todo movimiento es relativo y no hay diferencia entre las dos afirmaciones: ((la tierra gira una vez al d´ıa)) y ((el cielo se mueve alrededor de la tierra diariamente)). Las dos significan exactamente la misma cosa, como significa lo mismo si digo que cierta longitud es de seis pies o de dos yardas. La astronom´ıa es m´as f´acil si consideramos que el sol est´a fijo que si consideramos fija a la tierra, de la misma manera que son m´as f´aciles las cuentas en el sistema monetario internacional. Pero decir m´as ser´ıa para Cop´ernico suponer el movimiento absoluto, lo cual es una ficci´on. Todo movimiento es relativo. Y es simplemente convencional considerar un cuerpo en reposo. Todos estos convencionalismos son igualmente leg´ıtimos, si bien no todos son igualmente convenientes. Hay otro problema de gran importancia en el que la astronom´ıa difiere de la f´ısica terrestre por su exclusiva dependencia de la luz. Tanto el pensamiento popular como la antigua f´ısica empleaban una noci´on de ((fuerza)) que parec´ıa inteligible por su asociaci´on con las sensaciones ya conocidas. Cuando caminamos, tenemos sensaciones que van unidas a nuestros m´ usculos y que no experimentamos cuando estamos parados. Antes de la tracci´on mec´anica, cuando la gente viajaba en sus carruajes, pod´ıa ver el ejercicio de los caballos y c´omo realizaban una ((fuerza)) en el mismo sentido en que lo hacen los seres humanos. Todos sab´ıan por experiencia lo que es empujar o tirar, ser empujado o ser arrastrado. Estos hechos conocidos, compuestos de ((fuerza)), parecen una base natural para la din´amica. Pero la ley de la gravitaci´on de Newton introdujo una dificultad. La fuerza entre dos bolas de billar aparec´ıa inteligible porque sabemos lo que es chocar con otra per-

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sona. Pero la fuerza entre el cielo y la tierra, separados por 150 millones de kil´ometros, era misteriosa. El mismo Newton consideraba esta ((acci´on a distancia)) como imposible y cre´ıa que exist´ıa un mecanismo todav´ıa no descubierto hasta entonces por el que se transmit´ıa la influencia del sol a los planetas. Sin embargo, no se descubri´o tal mecanismo y la gravitaci´on seguir´a siendo un enigma. La realidad es que toda la idea de ((fuerza)) es un error. El sol no ejerce ninguna fuerza sobre los planetas. En la ley de la gravitaci´on de Einstein, el planeta s´olo est´a atento a lo que encuentra en su propia proximidad. La forma en que ´esta opera se explicar´a en un cap´ıtulo posterior. De momento, s´olo nos interesa la necesidad de abandonar la noci´on de ((fuerza)), debido a conceptos err´oneos derivados del sentido del tacto. A medida que avanza la f´ısica se ve con mayor claridad que la vista, como fuente de nociones fundamentales sobre la materia, es menos enga˜ nosa que el tacto. La aparente simplicidad de la colisi´on de las bolas de billar es totalmente ilusoria. En realidad, las dos bolas de billar nunca llegan a tocarse del todo. Lo que sucede es inconcebiblemente complicado, pero es m´as parecido de lo que supone el sentido com´ un a lo que sucede cuando un cometa penetra en el sistema solar y vuelve a salir. La mayor parte de lo dicho hasta aqu´ı ya fue reconocido por los f´ısicos antes de que Einstein inventara la teor´ıa de la relatividad. Se reconoc´ıa que la ((fuerza)) era una ficci´on matem´atica y generalmente se sosten´ıa que el movimiento era simplemente un fen´omeno relativo; es decir, cuando dos cuerpos cambian su posici´on relativa, no podemos decir que uno se mueve y que otro est´a en reposo, ya que el suceso es un simple cambio en su relaci´on mutua. Pero fue necesario un gran trabajo para armonizar el procedimiento real de la f´ısica con estas nuevas convicciones. Newton cre´ıa en la fuerza y en el espacio y tiempo absolutos. Incorpor´o estas creencias a sus m´etodos t´ecnicos y sus m´etodos fueron id´enticos a los de los f´ısicos posteriores. Einstein invent´o una nueva t´ecnica, libre de los supuestos de Newton. Pero para llegar a ello tuvo que cambiar definitivamente las viejas ideas de espacio y tiempo, que hab´ıan permanecido inmutables desde tiempo inmemorial. En ello reside tanto la dificultad como el inter´es de su teor´ıa. Pero antes de explicarla son indispensables algunos preliminares. De ellos nos ocuparemos en los dos cap´ıtulos siguientes.

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Lo que sucede y lo que se observa Cierto tipo de hombre superior se siente orgulloso de afirmar que ((todo

es relativo)). Esto, naturalmente, es absurdo, ya que si todo fuera relativo, no habr´ıa nada relativo a ese todo. No obstante, sin caer en absurdos metaf´ısicos, es posible sostener que todo en el mundo f´ısico es relativo a un observador. Esta idea, verdadera o no, no ha sido adoptada por la ((teor´ıa de la relatividad)). Quiz´as el nombre no sea lo m´as afortunado. Pero lo cierto es que ha llevado a confusi´on tanto a fil´osofos como a personas poco instruidas. Creen que la nueva teor´ıa prueba que todo en el mundo f´ısico es relativo, cuando la verdad es todo lo contrario. Intenta excluir lo relativo y llegar a una formulaci´on de las leyes f´ısicas que no dependan en ning´ un sentido de las circunstancias del observador. Es cierto que estas circunstancias, seg´ un se ha comprobado, tienen mayor efecto de lo que parece y de lo que anteriormente se cre´ıa sobre el observador. Pero, al mismo tiempo, Einstein demostr´o la manera de anular totalmente este efecto. Aqu´ı est´a el origen de casi todo lo que hay de sorprendente en su teor´ıa. Cuando dos observadores perciben lo que ambos consideran como un suceso, entre sus percepciones hay ciertas semejanzas y tambi´en ciertas diferencias. Las diferencias quedan oscurecidas por las exigencias de la vida diaria, ya que desde un punto de vista del problema, como norma general, carecen de importancia. Pero tanto la psicolog´ıa como la f´ısica, desde sus ´angulos respectivos, se ven obligadas a resaltar en qu´e aspectos la percepci´on que un hombre tiene de determinado acontecimiento difiere de la de otro. Algunas de estas diferencias se deben a la diversidad de talento o de talante de los propios observadores. Otras veces, a las diferencias de sus ´organos sensoriales. Y otras, finalmente, a las diferencias de su situaci´on f´ısica. Estas tres clases de diferencias las podemos llamar respectivamente, psicol´ogicas, fisiol´ogicas y f´ısicas. Una observaci´on hecha en una lengua que conocemos, se captar´a bien. Por el contrario, otra observaci´on hecha en voz alta, pero en una lengua desconocida, puede pasar totalmente inadvertida. De dos hombres en los Alpes, uno percibir´a la belleza del paisaje, mientras que el otro se fijar´a en las cascadas, de las cuales se podr´ıa obtener energ´ıa. Estas diferencias son psicol´ogicas. Las diferencias entre un hombre que tiene una vista de largo

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alcance y la de un miope, o entre un sordo y uno que oye bien, son fisiol´ogicas. Ninguna de estas diferencias nos interesa. Las he mencionado solamente para poderlas excluir. El tipo de diferencias que nos interesa es el puramente f´ısico. Las diferencias f´ısicas entre dos observadores seguir´an existiendo si dichos observadores son reemplazados por la c´amara o el magnet´ofono y pueden reproducirse en un film o en un gram´ofono. Si los dos hombres oyen hablar a un tercero y uno de ellos est´a m´as cerca del que habla, oir´a los sonidos m´as altos y un poco antes de que pueda o´ırlos el otro. Si dos hombres ven caer un ´arbol, lo ven desde ´angulos diferentes. Tales diferencias podr´ıan hacerse igualmente patentes mediante instrumentos de grabaci´on: no se deben a la idiosincrasia de los observadores, sino que forman parte del curso ordinario de la naturaleza f´ısica, tal como nosotros la experimentamos. El f´ısico, lo mismo que el hombre com´ un, cree que sus percepciones le dan un conocimiento de lo que sucede en el mundo f´ısico, y no s´olo en sus experiencias privadas. Profesionalmente, considera al mundo f´ısico como ((real)), no simplemente como algo que los seres humanos sue˜ nan. Un eclipse de sol, por ejemplo, puede ser observado por cualquier persona que est´e en una posici´on conveniente. Y al mismo tiempo es observado por las c´amaras fotogr´aficas colocadas al efecto. El f´ısico est´a persuadido de que algo ha sucedido realmente adem´as y por encima de la experiencia de cuantos han observado el sol o sus fotograf´ıas. He puesto de relieve este punto que pudiera parecer una nimiedad, ya que algunos suponen que Einstein estableci´o alguna diferencia a este respecto. En realidad no fue as´ı. Pero si el f´ısico queda justificado en esta creencia de que una serie de personas pueden observar el ((mismo)) hecho fisic´o, tambi´en, por el mismo hecho, est´a ligado a los mismos aspectos que el suceso presenta a todos los observadores. Los dem´as no pueden considerarse, l´ogicamente, como integrantes del hecho mismo. Por lo menos, el f´ısico ha de limitarse a aquellos aspectos comunes a todos los observadores considerados ((como igualmente buenos)). Se prefiere al observador que usa un microscopio o un telescopio a quien no los usa, ya que ve lo mismo que este u ´ltimo y m´as todav´ıa. Una c´amara fotogr´afica sensible puede ((ver)) todav´ıa m´as, y por lo mismo, se la prefiere a cualquier ojo. Pero cosas como las diferencias de perspectiva o de tama˜ no aparente, debidas a la diferencia de distancia, no son atribuibles al objeto. Pertenecen solamente al punto de vista del espectador. El sentido

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com´ un las elimina al juzgar los objetos. La f´ısica tiene que llevar el mismo proceso mucho m´as lejos, pero el principio es el mismo. Quiero dejar bien claro que no estoy dispuesto a que pueda atribu´ırseme el calificativo de imprecisi´on. Mi inter´es se ci˜ ne a las diferencias f´ısicas aut´enticas entre hechos, cada una de las cuales es una marca perfecta de cierto acontecimiento, desde el punto de vista del mismo. Cuando un hombre dispara un fusil, las personas que no est´an muy pr´oximas a ´el ven el fogonazo antes de o´ır la detonaci´on. Ello no se debe a ning´ un defecto de los sentidos sino a que el sonido avanza m´as despacio que la luz. La velocidad de la luz es tan r´apida que, desde el punto de vista de los fen´omenos de la superficie de la tierra, se puede considerar como instant´anea. Todo lo que podemos ver en la tierra sucede pr´acticamente en el momento en que lo vemos. En un segundo la luz recorre 300.000 kil´ometros. Tarda desde el sol a la tierra unos ocho minutos. Y desde las estrellas, algo as´ı como desde cuatro a˜ nos a varios miles de millones. Pero, naturalmente, no podemos poner un reloj en el sol, y enviar desde ´el un rayo de luz a las doce en punto, seg´ un el meridiano de Greenwich, para recibirlo en Greenwich a las 12:08. Nuestros m´etodos de estimaci´on de la velocidad de la luz han de ser m´as o menos indirectos. El m´etodo m´as directo es el que aplicamos al sonido cuando nos valemos de un eco. Podr´ıamos enviar un rayo a un espejo y observar lo que tarda su reflejo en llegar de nuevo hasta nosotros. As´ı obtendr´ıamos el tiempo del recorrido de ida y vuelta al espejo. En la tierra, sin embargo, este tiempo ser´ıa inconvenientemente corto. Por eso, en la pr´actica, los f´ısicos tienen que usar un m´etodo m´as complicado, pero el principio subyacente sigue siendo el del eco. El mismo principio se usa, para otro prop´osito, en el radar. Se emiten ondas muy cortas de radio (cuya velocidad es la misma que la de la luz) y se reflejan desde un objeto distante. Entonces, la distancia del objeto puede deducirse por el tiempo que las ondas tardan en ir y volver. El problema de hacerse cargo del punto de vista del espectador, por decirlo as´ı, es algo de lo cual ha sido plenamente consciente la f´ısica de todos los tiempos. En realidad, ha dominado la astronom´ıa desde el tiempo de Cop´ernico. Esto es cierto. Pero con frecuencia los principios son admitidos mucho antes de deducir todas sus consecuencias. Gran parte de la f´ısica

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tradicional es incompatible con el principio, a pesar de que ´este era admitido te´oricamente por todos los f´ısicos. Hab´ıa una serie de reglas que incomodaban a quienes se inclinaban por la filosof´ıa, pero que eran aceptadas por los f´ısicos, puesto que en la pr´actica funcionaban. Locke hab´ıa distinguido las cualidades secundarias —colores, ruidos, gustos, olores, etc.— como subjetivas. A las cualidades ((primarias)), por el contrario —formas, posiciones y tama˜ nos—, las consideraba como propiedades genuinas de los objetos f´ısicos. Las reglas del f´ısico podr´ıan deducirse, en consecuencia, de esta doctrina. Se admit´ıa que los colores y los sonidos eran subjetivos, pero debidos a ondas emitidas a una velocidad determinada —de la luz o del sonido, seg´ un fuera el caso— desde su origen hasta el ojo o el o´ıdo de quien los percibe. Las formas aparentes var´ıan seg´ un las leyes de la perspectiva. Pero estas leyes son sencillas y nos permiten inferir con facilidad las formas ((reales)) partiendo de diversas formas visuales aparentes. Adem´as, trat´andose de los cuerpos que nos rodean, podemos captar las formas ((reales)) por el tacto. El tiempo objetivo de un hecho f´ısico se puede deducir desde el momento en que lo percibimos d´andonos cuenta de la velocidad de transmisi´on de la luz o del sonido o de corrientes nerviosas, seg´ un las circunstancias. Tal era el punto de vista adoptado en la pr´actica por los f´ısicos, a pesar de las dudas que pudieran tener cuando no actuaban profesionalmente. Esta idea fue bastante v´alida hasta que los f´ısicos empezaron a interesarse por velocidades mucho mayores que las normales en la superficie de la tierra. Un tren expreso se desplaza a un kil´ometro por minuto. Los planetas se desplazan a varios kil´ometros por segundo. Cuando los cometas est´an cerca del sol, avanzan mucho m´as r´apidamente pero a causa de sus formas en continuo cambio, es imposible determinar su posici´on con toda exactitud. Pr´acticamente, los planetas eran los cuerpos de mayor velocidad de desplazamiento a los que se pod´ıa aplicar adecuadamente la din´amica. Con el descubrimiento de la radioactividad y los rayos c´osmicos, y recientemente con la construcci´on de m´aquinas aceleradoras de alta energ´ıa, han sido posibles nuevos avances en la observaci´on. Pueden observarse las part´ıculas subat´omicas individuales movi´endose a velocidades no muy inferiores a las de la luz. El comportamiento de los cuerpos que se mueven a velocidades tan elevadas no es el que pod´ıan esperar de las viejas teor´ıas. Porque, en

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primer lugar, la masa parece aumentar con la velocidad, de una manera perfectamente definida. Cuando un electr´on se mueve a gran velocidad, se requiere una fuerza mayor para conseguir un determinado efecto que cuando se mueve a poca velocidad. Despu´es se encontraron razones para suponer que el tama˜ no de un cuerpo se ve afectado por su movimiento. Por ejemplo, si se toma un cubo y se mueve a gran velocidad, se hace m´as peque˜ no en la direcci´on de su movimiento desde el punto de vista de una persona que no se mueve con ´el, si bien desde su propio punto de vista (es decir, para un observador que se moviese como ´el), se mantiene tal cual era. M´as asombroso todav´ıa fue el descubrimiento de que el lapso de tiempo depende del movimiento. Es decir, dos relojes que marcan exactamente la misma hora, uno de los cuales se mueve muy r´apidamente en relaci´on al otro, no continuar´an se˜ nalando la misma hora si se comparan de nuevo al cabo de un d´ıa. Es ´este un efecto demasiado peque˜ no para poderlo experimentar directamente a tanta distancia, pero ser´ıa posible hacer una prueba si se consiguiera alg´ un d´ıa desarrollar los viajes espaciales. Entonces, podremos hacer viajes lo suficientemente largos para poder apreciar esta ((dilataci´on del tiempo)), como se la llama. Tenemos algunas pruebas directas de la dilataci´on del tiempo, pero son de distinta naturaleza. Estas pruebas proceden de la observaci´on de los rayos c´osmicos, formados por una variedad de part´ıculas at´omicas que vienen del espacio exterior y se mueven muy velozmente a trav´es de la atm´osfera de la tierra. Algunas de estas part´ıculas, llamadas mesones, se desintegran durante el vuelo, y es posible observar dicha desintegraci´on. Se descubri´o que cuanto m´as velozmente se mueve el mes´on, m´as tarda en desintegrarse, desde el punto de vista de un cient´ıfico en la tierra. De este tipo de resultados se sigue que lo que descubrimos por medio de relojes y marcapasos, empleados y considerados como la perfecci´on de la ciencia impersonal, depende en parte de nuestras circunstancias particulares, es decir, del modo en que nos movemos en relaci´on a los cuerpos medidos. Esto demuestra que debemos trazar una l´ınea diferente de la que ha sido habitual para distinguir entre lo que pertenece al observador y lo que es propio del hecho observado. Si un hombre lleva anteojos azules sabe que el

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color azul de todo lo que ve se debe a los anteojos y que no pertenece a lo que est´a observando. Pero si observa dos rel´ampagos y anota el intervalo de tiempo entre sus observaciones; si sabe d´onde tuvieron lugar los rel´ampagos y, en ambos casos, puede controlar el tiempo que la luz tard´o en llegar a ´el, en tal caso, si su cron´ometro es exacto, piensa naturalmente que ha descubierto el intervalo real de tiempo entre los dos rel´ampagos, y no algo meramente personal. Le confirma en esta idea el hecho de que otros observadores cuidadosos a los que tiene acceso concuerdan con sus apreciaciones. Ello, no obstante, es debido a que todos estos observadores est´an en la tierra y comparten el movimiento de la misma. Incluso dos observadores que se movieran en aeroplanos y en direcciones opuestas, tendr´ıan a lo sumo una velocidad relativa de 13.000 kil´ometros por hora, velocidad insignificante si la comparamos con los 300.000 km por segundo, que es la velocidad de la luz. Si un electr´on con una velocidad de 270.000 km por segundo pudiera observar el tiempo que media entre los dos rel´ampagos, llegar´ıa a una estimaci´on completamente diferente, despu´es de constatar la velocidad de la luz. ¿C´omo sabe usted esto?, puede preguntar el lector. Usted no es un electr´on, no puede moverse a esas velocidades de v´ertigo. Ning´ un hombre de ciencia ha podido hacer las observaciones que probar´ıan la verdad de su afirmaci´on. No obstante, como veremos enseguida, hay buena base para hacer tal afirmaci´on. Fundamentada, sobre todo, en la experiencia y —lo que es digno de notarse— en los razonamientos que se pudieran haber hecho en cualquier tiempo, pero que no se hicieron hasta que los experimentos demostraron que los antiguos razonamientos deb´ıan estar equivocados. Hay un principio general que invoca la teor´ıa de la relatividad y que resulta m´as s´olido de lo que podr´ıa suponerse. Si sabes que un hombre es dos veces m´as rico que otro, este hecho tiene que aparecer igual tanto si consideras la riqueza de ambos en d´olares, libras, francos, o en cualquier otra moneda. Los n´ umeros que representan sus fortunas cambiar´an, pero uno de ellos ser´a siempre el doble que el otro. Si todo movimiento es relativo, puedes tomar el cuerpo que quieras como cuerpo de referencia y valorar los dem´as movimientos en relaci´on al de aqu´el. Si est´as en un tren y te diriges hacia el vag´on restaurante, de momento piensas que el tren est´a fijo y valoras tu movimiento en relaci´on a ´el. Pero cuando piensas en el viaje que est´as haciendo juzgas a la tierra como fija y afirmas que te est´as moviendo a una media de

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noventa kil´ometros por hora. Un astr´onomo interesado en el sistema solar considera al sol como fijo y piensa que t´ u realizas los movimientos de rotaci´on y traslaci´on alrededor del sol. Si comparas dicho movimiento con el del tren, ´este es tan lento que apenas cuenta. Un astr´onomo interesado en el universo estelar puede a˜ nadir a este movimiento el del sol en relaci´on con el movimiento medio de las estrellas. No se puede afirmar que una de estas formas de estimar tu movimiento sea m´as correcta que la otra. Cada una es perfectamente correcta desde el momento en que se le asigna un cuerpo de referencia. Ahora bien, as´ı como se puede apreciar la fortuna de un hombre en diferentes valores monetarios sin alterar su relaci´on con la fortuna de otros hombres, de la misma manera se puede valorar el movimiento de un cuerpo por medio de diferentes cuerpos de referencia sin alterar su relaci´on con otros movimientos. Y si la f´ısica es un conjunto de relaciones, ha de ser posible expresar sus leyes refiriendo todos los movimientos a cualquier cuerpo como principio de referencia. Podemos exponer el problema de otro modo. La f´ısica intenta informar sobre lo que ocurre en el mundo f´ısico, y no s´olo sobre las percepciones privadas de cada uno de los observadores. La f´ısica, pues, ha de interesarse por aquellos aspectos que un proceso f´ısico presenta a todos los observadores. Tales aspectos s´olo pueden considerarse como pertenecientes al mismo hecho f´ısico. Ello exige que las leyes de los fen´omenos hayan de ser las mismas, tanto si se describen tal como aparecen ante un observador o como ante otro. Este u ´nico principio es el motivo generador de toda la teor´ıa de la relatividad. Ahora bien, lo que hasta aqu´ı hemos considerado como propiedades espaciales y temporales de los hechos f´ısicos resultan ser en gran parte dependientes del observador. S´olo una peque˜ na parte puede atribuirse a los hechos mismos. Y ´esta u ´nicamente puede introducirse en la formulaci´on de cualquier ley f´ısica que haya de tener a priori una oportunidad de ser cierta. Einstein encontr´o a mano un instrumento de la matem´atica pura, llamado ´ la teor´ıa de los tensores. Esta le permiti´o descubrir leyes expresadas en funci´on del resto objetivo y que aproximadamente estaban de acuerdo con las antiguas leyes. Donde las leyes de Einstein se apartan de las antiguas, se ha comprobado que hasta la fecha son m´as acordes con la observaci´on. Si en el mundo f´ısico no hubiera realidad sino una serie de sue˜ nos imagi-

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nados por diferentes personas, no esperar´ıamos poder encontrar ninguna ley que uniera los sue˜ nos de un hombre con los de otro. Es la conexi´on ´ıntima entre las percepciones de un hombre y (de modo general) las percepciones simult´aneas de otro, lo que nos lleva a creer en un origen externo com´ un a las diferentes percepciones a que nos estamos refiriendo. La f´ısica explica tanto las semejanzas como las diferencias entre las percepciones de las distintas personas de lo que llamamos el ((mismo)) hecho. Pero para llegar a ello, es necesario primero que el f´ısico encuentre cu´ales son estas semejanzas. No son precisamente las que tradicionalmente se supon´ıa, pues ni el espacio ni el tiempo por separado se pueden tomar como estrictamente objetivos. Lo objetivo es una especie de mezcla de los dos llamada ((espacio-tiempo)). Explicar esto no es f´acil, pero debemos intentarlo. Lo haremos en el cap´ıtulo siguiente.

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La velocidad de la luz La mayor´ıa de curiosidades que presenta la teor´ıa de la relatividad est´an

relacionadas con la velocidad de la luz. Si el lector quiere captar las razones de una reconstrucci´on te´orica tan seria, ha de tener alguna idea de los hechos que hicieron resquebrajar el viejo sistema. El hecho de la transmisi´on de la luz a una velocidad determinada se estableci´o por primera vez mediante observaciones astron´omicas. Los sat´elites de J´ upiter son eclipsados a veces por el mismo J´ upiter. Y es f´acil calcular las veces que esto deber´ıa suceder. Se comprob´o que cuando J´ upiter estaba m´as cerca de lo normal de la tierra, se pod´ıa observar un eclipse de uno de sus sat´elites unos minutos antes de lo esperado. Y cuando J´ upiter estaba m´as alejado de lo normal, el eclipse se produc´ıa unos minutos despu´es. Se concluy´o que estas desviaciones pod´ıan registrarse partiendo de que la luz ten´ıa cierta velocidad. Por lo tanto, lo que observamos que est´a sucediendo en J´ upiter, ha sucedido realmente un poco antes; mucho antes cuando J´ upiter est´a distante que cuando est´a cerca. La misma velocidad de la luz se deb´ıa tener en cuenta para explicar hechos similares con respecto a otras partes del sistema solar. Se acept´o, pues, que la luz in vacuo viaja siempre a una velocidad constante, casi exactamente 300.000 kil´ometros por segundo. Cuando se verific´o que la luz est´a formada por ondas, esta velocidad fue la de la propagaci´on de las ondas en el ´eter; al menos sol´ıan estar en el ´eter. Pero ahora el ´eter se ha convertido en algo indefinido, si bien las ondas permanecen. Esta misma velocidad es la de las ondas de la radio (que son como ondas-luz, pero m´as largas) y las de los rayos X (que son como ondas-luz, pero m´as cortas). Hoy se afirma generalmente que es la velocidad con que se propaga la gravitaci´on (antes del descubrimiento de la teor´ıa de la relatividad, se cre´ıa que la gravitaci´on se propagaba instant´aneamente, pero esta idea es hoy insostenible). Hasta aqu´ı, pues, todo va viento en popa. Pero las dificultades empezaron a acumularse cuando fue posible establecer medidas m´as precisas. Se supon´ıa que las ondas estaban en el ´eter y que, por tanto, su velocidad deb´ıa ser relativa al mismo. Ahora bien, si el ´eter (si es que existe) no ofrece clara resistencia a los movimientos de los cuerpos celestes, parecer´ıa natural suponer que no participaba en su movimiento. Si la tierra ten´ıa que empujar

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un volumen de ´eter delante de s´ı, de forma parecida a como un barco de vapor empuja el agua ante ´el, ser´ıa l´ogico esperar una resistencia por parte del ´eter an´aloga a la que ofrec´ıa el agua al barco. Por tanto, la idea general era que el ´eter pod´ıa atravesar los cuerpos sin dificultad, lo mismo que el aire a trav´es de un inmenso cedazo, s´olo que con mayor facilidad. Si ´este era el caso, entonces, la tierra en su ´orbita hab´ıa de tener una velocidad relativa al ´eter. Si en un punto de su ´orbita llegaba a moverse exactamente con el ´eter, en otros puntos se mover´ıa con mucha mayor rapidez. Si das un paseo circular un d´ıa de viento, has de ir contra el viento parte del camino, cualquiera que sea el viento que sople. El principio, en este caso, es el mismo. La conclusi´on es que si se eligen dos d´ıas en seis meses separados, cuando la tierra se mueve en su ´orbita en direcciones exactamente opuestas, por fuerza habr´a de moverse contra el ´eter-viento, al menos uno de estos d´ıas. Ahora bien, si existe un ´eter-viento, es claro que en relaci´on a un observador de la tierra, las se˜ nales luminosas parecer´a que caminan m´as r´apido con el viento que a su trav´es, y m´as r´apido a trav´es del viento que contra ´el. Es lo que Michelson y Morley trataron de probar con sus famosos experimentos. Emitieron rayos de luz en dos direcciones, formando ´angulos rectos. Cada uno de ellos se reflejaba en un espejo, volviendo al lugar de donde hab´ıan sido emitidos. Cualquiera puede comprobar ahora, sea por una prueba sea por una simple operaci´on aritm´etica, que un rayo tarda m´as en surcar cierta distancia corriente arriba de un r´ıo y luego hacia abajo, que en surcar la misma distancia atravesando la corriente y volviendo a repasarla. Por tanto, si existiera un ´eter-viento, uno de los dos rayos integrado por ondas de ´eter deber´ıa haber avanzado hacia el espejo y vuelto de ´el a una velocidad media m´as baja que el otro. Michelson y Morley probaron el experimento, y lo experimentaron en varias posiciones, volvi´endolo a experimentar m´as tarde. Su aparato era suficientemente preciso para detectar la diferencia esperada de velocidad o incluso una diferencia mucho m´as peque˜ na, de haber existido, pero no se pudo observar la m´as m´ınima diferencia. El resultado fue una sorpresa, tanto para ellos como para cualquier otro. Cuidadosas repeticiones hicieron imposible la duda. El experimento se efectu´o ya en 1881 y se repiti´o con mayor minuciosidad en 1887. Pero ya se hab´ıa podido interpretar correctamente muchos a˜ nos antes. Por una serie de razones se comprob´o que era imposible la suposici´on de

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que la tierra arrastra en su movimiento al ´eter que la circunda. Pareci´o surgir entonces un punto muerto l´ogico del cual los f´ısicos trataron de liberarse mediante hip´otesis muy arbitrarias. La m´as importante fue la de Fitzgerald, desarrollada por Lorentz y conocida como hip´otesis de contracci´on de Fitzgerald. Seg´ un esta hip´otesis, cuando un cuerpo est´a en movimiento se hace m´as peque˜ no en la direcci´on movimiento, en virtud de cierta proporci´on que depende de su velocidad. El montante de la contracci´on fue suficiente para comprobar el resultado negativo del experimento de Michelson-Morley. El desplamiento de la luz hacia arriba y hacia abajo de la corriente ten´ıa que ser efectivamente m´as corto que el avance a trav´es de la corriente. Y hab´ıa de ser tanto m´as corto que permitiera a la onda-luz m´as lenta atravesar la corriente al mismo tiempo. El acortamiento, naturalmente, no podr´ıa ser medido nunca a base de medidas, ya que nuestros baremos comparar´ıan este mismo acortamiento. Un marcapasos situado en la l´ınea del movimiento de la tierra ser´ıa mas corto que el mismo marcapasos colocado en ´angulo recto en direcci´on al movimiento de la tierra. Este punto de vista a nada se parece tanto como al ((plan del Caballero Blanco que se te˜ n´ıa la barba de verde y siempre empleaba un abanico tan ancho que nadie pod´ıa ver)). Lo extra˜ no fue que el plan funcion´o bastante bien. M´as tarde, cuando Einstein volvi´o a repensar su teor´ıa especial de la relatividad (1905), se comprob´o que la hip´otesis era cierta en alg´ un sentido, pero s´olo en alg´ un sentido. Es decir, la supuesta contracci´on no es un hecho f´ısico, sino el resultado de ciertos convencionalismos en las medidas, que, cuando se ha alcanzado el punto de vista correcto, nos vemos como obligados a adoptar. Pero no quisiera adelantar la soluci´on de Einstein a este rompecabezas. De momento, lo que quiero dejar claro es la naturaleza del mismo rompecabezas. A primera vista, y prescindiendo de las hip´otesis ad hoc, el experimento de Michelson-Morley (en conjunci´on con otros) demostraba que, en relaci´on a la tierra, la velocidad de la luz es la misma en todas direcciones. Es igualmente cierto que la velocidad de la luz es la misma en todas las estaciones del a˜ no, aun cuando la direcci´on del movimiento de la tierra cambie siempre a medida que gira alrededor del sol. Se hizo evidente adem´as que ´esta no es una peculiaridad de la tierra, sino que se aplica a todos los movimientos. Si un cuerpo emite un rayo de luz, ese cuerpo seguir´a siendo el centro emisor

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de las ondas a medida que ´estas se dirijan hacia fuera, cualquiera que sea la forma de su movimiento; al menos tal ser´a la idea de los observadores ´ que se mueven con el cuerpo. Este era el significado simple y natural de los experimentos y Einstein consigui´o elaborar una teor´ıa que lo aceptaba. Pero al principio se crey´o l´ogicamente imposible la aceptaci´on de este significado simple y natural. Unos ejemplos nos aclarar´an la singularidad de estos hechos. Cuando se dispara un proyectil, su velocidad es mayor que la del sonido. Las personas contra las que se ha disparado ven primero el fogonazo, luego (con un poco de suerte) ven salir el proyectil, y finalmente oyen la detonaci´on. Es evidente que si se pudiera colocar un observador cient´ıfico dentro del proyectil, nunca oir´ıa la detonaci´on, pues ´este estallar´ıa y le matar´ıa antes de que le hubiera llegado el sonido. Pero si el sonido actuara con los mismos principios que la luz, nuestro observador lo oir´ıa todo, lo mismo que si se encontrara en reposo. En tal caso, si se acoplara al proyectil una pantalla, capaz de reproducir los ecos, y avanzara con ella unos cien metros, por ejemplo, nuestro observador oir´ıa el eco de la detonaci´on desde la pantalla exactamente despu´es del mismo intervalo de tiempo que si ´el y el proyectil estuvieran en reposo. Este experimento, naturalmente, no puede realizarse, pero otros que s´ı pueden realizarse mostrar´an la diferencia. Podr´ıamos encontrar un punto en una v´ıa f´errea, en el cual se detecta un eco procedente de un lugar m´as lejano sobre la misma v´ıa —pongamos por caso, cuando ´esta entra en un t´ unel—; hagamos que, mientras el tren va avanzando por la v´ıa, un hombre desde la orilla dispare un fusil. Si el tren marcha en la direcci´on del eco, los pasajeros oir´an el eco antes que el hombre de la orilla. Si marcha en direcci´on opuesta, lo oir´an m´as tarde. Pero no son ´estas precisamente las circunstancias del experimento de Michelson-Morley. Los espejos, en dicho experimento, corresponden al eco y se mueven con la tierra; por lo tanto el eco deber´ıa moverse con el tren. Supongamos que el disparo se ha producido desde el furg´on de cola y que el eco proviene de una pantalla situada en la locomotora. Supongamos que la distancia del furg´on de cola a la locomotora sea id´entica a la que el sonido recorre en un segundo (331 metros por segundo), y que la velocidad del tren es una duod´ecima parte de la velocidad del sonido (unos 90 km por hora). Tenemos as´ı un experimento que puede realizar cualquier persona que va en el tren. Si el tren estuviera parado, el

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guarda oir´ıa el eco en dos segundos; tal como va, lo oir´a en 2/143 segundos. Por esta diferencia, si conoce la velocidad del sonido, puede calcular la velocidad del tren, aun cuando sea noche de niebla y no puedan verse los lados. Si el sonido se comportara como la luz, oir´ıa el eco en dos segundos por veloz que corriese el tren. Otros ejemplos distintos ayudar´an a demostrar lo extraordinario de los hechos sobre la velocidad de la luz desde el punto de vista de la tradici´on y el sentido com´ un. Todo el mundo sabe que si se est´a en una escalera mec´anica se llega antes arriba caminando que estando parado. Si la escalera mec´anica se moviera con la velocidad de la luz (lo cual no sucede ni en Nueva York) se podr´ıa llegar a la cima exactamente en el mismo momento, tanto caminando como estando parado. Otro ejemplo: Si vas andando por un camino a una velocidad de cuatro kil´ometros por hora y un autom´ovil te adelanta en la misma direcci´on a una media de cuarenta kil´ometros por hora, si t´ u y el autom´ovil manten´eis la distancia, al cabo de una hora ´esta ser´a de treinta y seis kil´ometros. Pero si el coche se cruza contigo, yendo en direcci´on opuesta, al cabo de una hora la distancia ser´ıa de cuarenta y cuatro kil´ometros. Ahora bien, si el autom´ovil corriera a la velocidad de la luz no habr´ıa diferencia entre el momento de cruzarse contigo o el de adelantarte: en ambos casos, al cabo de un segundo, estar´ıa a 300.000 kil´ometros de ti. Estar´ıa tambi´en a 300.000 kil´ometros de cualquier otro autom´ovil que tratara de adelantarte o encontrarte a menor velocidad en el segundo anterior. Esto parece imposible: ¿c´omo puede el coche estar a la misma distancia de una serie de diferentes puntos a lo largo de la carretera? Pongamos otro ejemplo: Cuando una mosca toca la superficie de un estanque, provoca ondas que se mueven hacia fuera en c´ırculos cada vez m´as anchos. En todo momento el centro del c´ırculo es el punto del estanque tocado por el insecto. Si ´este se mueve sobre la superficie del estanque, no permanece en el centro de las ondas. Si fueran ondas-luz y la mosca fuera un f´ısico experto, se dar´ıa cuenta de que siempre se encontraba en el centro de las ondas, por mucho que se moviera. Mientras tanto, un f´ısico experto sentado junto al estanque podr´ıa juzgar, como en el caso de las ondas ordinarias, que el centro no era la mosca sino el punto del estanque tocado por ella. Si otra mosca tocara el agua en el mismo sitio y en el mismo momento, tambi´en se dar´ıa cuenta de que permanec´ıa en el centro de las

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ondas, aun cuando se separase mucho de la primera mosca. Este experimento es exactamente an´alogo al de Michelson-Morley. El estanque corresponde al ´eter, la mosca a la tierra; el contacto de la mosca y del estanque corresponde a los rayos emitidos por los se˜ nores Michelson y Morley. Y las ondas del estanque corresponden a las ondas-luz. Tal estado de cosas parece, a primera vista, imposible. Nada tiene de extra˜ no, pues, que aunque el experimento de Michelson-Morley se hiciera en 1881, no fuera correctamente interpretado hasta 1905. Veamos, pues, con exactitud lo que hemos venido diciendo. Tenemos a un hombre que camina por una carretera y es adelantado por un autom´ovil. Supongamos que hay una serie de personas en el mismo punto de la carretera, unas caminando, otras en coche. Figur´emonos que van en varias direcciones, unas en una direcci´on y otras en otra. Digo, pues, que si en este momento se emitiera un rayo de luz desde el lugar en que est´an todos ellos, las ondas-luz estar´ıan a 300.000 kil´ometros de cada uno de ellos al cabo de un segundo de su reloj, aunque los viajeros ya no estuviesen en el mismo lugar. Despu´es de un segundo de tu reloj el rayo de luz estar´a a 300.000 kil´ometros de distancia de ti, y tambi´en, despu´es de un segundo en su reloj, a 300.000 kil´ometros de la persona que se encontr´o contigo cuando el rayo fue emitido, pero que iba en direcci´on opuesta; suponemos, naturalmente, que ambos relojes son perfectos. ¿C´omo puede ser esto? S´olo hay una manera de explicar estos hechos. Y es suponer que los relojes —los de pulsera y los de pared— se ven afectados por el movimiento. Con ello no quiero dar a entender que se vean afectados de forma que se haya de cuidar con m´as exactitud su fabricaci´on. Quiero expresar algo mucho m´as fundamental. Entiendo que si se dice que ha pasado una hora entre dos hechos y que si esta afirmaci´on se basa en medidas de precisi´on ideal —por ejemplo, en cron´ometros idealmente exactos—, otra persona con iguales medidas de precisi´on, que se ha estado moviendo con rapidez en relaci´on a ti, puede juzgar que el tiempo fue m´as o menos de una hora. No se puede afirmar que una persona est´a en lo cierto y que la otra se equivoca. Ni tan s´olo en el caso de que una de ellas se hubiera servido de un reloj que marcara la hora de Greenwich y la otra de un reloj con la hora de Nueva York. En el pr´oximo cap´ıtulo se explicar´a c´omo sucede esto.

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Existen otros hechos curiosos acerca de la velocidad de la luz. Uno de ellos es que ning´ un cuerpo material puede caminar tan r´apido como la luz, por grande que sea la fuerza a la que se halle sometido y por mucho que pueda durar dicha fuerza. Un ejemplo nos puede ayudar a aclarar esto. A veces se ve en las exposiciones una serie de plataformas m´oviles que giran y giran en torno a un c´ırculo. La exterior se mueve a cuatro kil´ometros por hora. La siguiente se mueve a cuatro kil´ometros por hora m´as r´apida que la primera. Y as´ı sucesivamente. Puedes cruzar de la primera a la siguiente hasta encontrarte de repente avanzando a una velocidad tremenda. Ahora bien, podr´ıas pensar que si la primera plataforma se mueve a cuatro kil´ometros por hora y la segunda a cuatro kil´ometros por hora en relaci´on con la primera, entonces esta segunda se mueve a ocho kil´ometros por hora en relaci´on con el suelo. Es un error. Se mueve a un poco menos, aunque tan poco que ni siquiera las medidas m´as exactas podr´ıan detectar la diferencia. Quiero dejar claro que esto es lo que yo pienso. Voy a suponer que por la ma˜ nana, cuando dicho aparato acaba de ponerse en marcha, tres hombres con cron´ometros de una precisi´on ideal se ponen alineados uno en el suelo, otro en la primera plataforma y otro en la segunda. La primera plataforma se mueve a una velocidad media de cuatro kil´ometros por hora con respecto al suelo. Cuatro kil´ometros por hora son 66 metros al minuto. El hombre que est´a en el suelo, despu´es de un minuto de su reloj, anota el lugar del suelo opuesto al hombre de la primera plataforma que ha estado quieto de pie mientras la plataforma daba vueltas. El hombre del suelo mide la distancia que hay desde el suelo donde est´a ´el al punto opuesto al hombre de la primera plataforma y comprueba que es de 66 metros. El hombre de la primera plataforma, despu´es de un minuto de su reloj, anota el punto de su plataforma opuesto al hombre que se encuentra en la segunda. El hombre de la primera plataforma mide la distancia que hay desde ´el al punto opuesto en que se encuentra el hombre de la segunda. Una vez m´as, hay 66 metros. Problema: ¿Cu´anto creer´a el hombre que est´a en el suelo que ha andado en un minuto el hombre de la segunda plataforma? Es decir, si el hombre que est´a en el suelo, despu´es de un minuto de su reloj, anota el lugar opuesto al hombre de la segunda plataforma, ¿a qu´e distancia se encontrar´a ´este del hombre en el suelo? Responder´ıas que el doble de 66 metros, es decir, 132 metros. Pero en realidad ser´ıa un poco menos, aunque tan poco que ser´ıa inapreciable. La discrepancia se debe a que los dos relojes no marcan la

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misma hora, a pesar de la precisi´on de ambos desde el punto de vista de su due˜ no. Si tuvi´eramos una serie de estas plataformas movi´endose cada una de ellas a cuatro kil´ometros por hora en relaci´on a su inmediata anterior, nunca se llegar´ıa a alcanzar un punto en que la u ´ltima que se moviera lo hiciese con la velocidad de la luz en relaci´on con el suelo, incluso a pesar de que tuvi´eramos millones de plataformas. La discrepancia, peque˜ na para velocidades peque˜ nas, se hace mayor a medida que aumenta la velocidad, y hace de la velocidad de la luz un l´ımite inalcanzable. C´omo sucede esto, es el tema que vamos a tratar ahora.

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Medidas de tiempo y de longitud Hasta la aparici´on de la teor´ıa especial de la relatividad nadie hab´ıa pen-

sado que pudiera existir ambig¨ uedad en la afirmaci´on de que dos sucesos en lugares diferentes suced´ıan al mismo tiempo. Se podr´ıa admitir que si los lugares estaban muy alejados, hubiese dificultad en averiguar si los sucesos eran simult´aneos. Pero todos cre´ıan que el significado de la cuesti´on era muy concreto. Resultaba, sin embargo, que era un error. Dos hechos en lugares distantes pueden parecer simult´aneos a un observador que ha tomado todas las precauciones para asegurar la exactitud (y, en particular, ha registrado la velocidad de la luz). Al mismo tiempo, otro observador, igualmente cuidadoso, puede juzgar que el primer acontecimiento fue anterior al segundo. Y un tercero puede estimar que el segundo precedi´o al primero. Tal suceder´ıa si cada uno de los tres observadores se moviera velozmente con relaci´on a los otros dos. No se dar´ıa el caso de que uno de ellos estuviera en lo cierto y los otros dos equivocados: los tres estar´ıan igualmente en lo cierto. El orden-tiempo de los acontecimientos depende en parte del observador. No siempre se da una relaci´on intr´ınseca entre los hechos mismos. Einstein demostr´o que no solamente cuenta esta idea para los fen´omenos, sino que es la u ´nica que debiera haber resultado de un cuidadoso razonamiento basado en los antiguos datos. En la realidad, sin embargo, nadie se dio cuenta de la base l´ogica de la teor´ıa de la relatividad hasta que los extra˜ nos resultados del experimento hubieron dado un empuj´on a las facultades de razonamiento de la gente. ¿C´omo decidir´ıamos nosotros si dos hechos en diferentes lugares fueron simult´aneos? Uno dir´ıa, naturalmente: son simult´aneos si son vistos simult´aneamente por una persona que esta situada a igual distancia de los dos. (No hay dificultad en cuanto a la simultaneidad de los dos sucesos en el mismo lugar, como, por ejemplo, ver una luz y o´ır un ruido.) Supongamos que dos rayos caen en dos lugares diferentes, por ejemplo, en el Greenwich Observatory y en el Kew Observatory. Supongamos que San Pablo est´a a la misma distancia de ambos y que los rayos aparecen simult´aneos a un observador que se encuentra en la c´ upula de San Pablo. En ese caso, un hombre que se encontrara en Kew ve´ıa primero el rayo de Kew. Por el contrario, el hombre de Greenwich ver´ıa primero el rayo de Greenwich, a causa del tiem-

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po empleado por la luz en recorrer la distancia intermedia. Pero si los tres fueran observadores idealmente exactos, juzgar´an que los dos rayos fueron simult´aneos, ya que har´ıan la constataci´on necesaria del tiempo de transmisi´on de la luz (Estoy suponiendo un grado de precisi´on por encima de las fuerzas humanas.) As´ı, por lo que respecta a los observadores que est´an en la tierra, la definici´on de simultaneidad ser´a bastante adecuada siempre que se trate de sucesos acaecidos en la superficie de la misma. Los resultados ser´an coherentes entre s´ı y podr´an aplicarse en la f´ısica terrestre a todos los problemas en que podemos pasar por alto el hecho de que la tierra se mueve. Pero nuestra definici´on deja de ser satisfactoria cuando tenemos dos series de observadores que se mueven r´apidamente unos con relaci´on a otros. Supongamos que vemos lo que suceder´ıa sustituyendo el sonido por la luz y definiendo los dos hechos como simult´aneos al ser o´ıdos simult´aneamente por un hombre a medio camino entre ambos. Ello no altera en nada el principio, sino que hace el problema m´as f´acil debido a la velocidad mucho m´as lenta del sonido. Supongamos que en una noche de niebla dos hombres pertenecientes a una banda de salteadores disparan al guarda y al maquinista de un tren. El guarda se encuentra en el furg´on de cola, los salteadores est´an en el trayecto y disparan a sus v´ıctimas en una encrucijada. Un anciano caballero que se encuentra exactamente en la mitad del tren oye los dos disparos simult´aneamente. Se podr´ıa decir, pues, que ambos disparos fueron simult´aneos. Pero un jefe de estaci´on que est´a exactamente a mitad de camino entre los dos bandidos oye primero el disparo que mata al guarda. Un millonario australiano, t´ıo del guarda y del maquinista (que son primos) ha dejado toda su fortuna al guarda, o si muere el primero, al maquinista. Hay de por medio gruesas sumas de dinero en el problema de qui´en ha muerto primero. El caso llega a la C´amara de los Lores y los abogados de ambas partes, educados en Oxford, se ponen de acuerdo en que el viejo caballero o el jefe de estaci´on deben de estar equivocados. En realidad, los dos pueden muy bien estar en lo cierto. El tren avanza alej´andose del punto en que se ha disparado al guarda y acerc´andose al punto en que se ha disparado al maquinista. Por tanto, el ruido del disparo hecho al guarda tarda m´as en llegar al anciano que el del disparo contra el maquinista. En consecuencia, si el anciano est´a en lo cierto al decir que oy´o las dos detonaciones simult´aneamente, el jefe de estaci´on debe estar en lo cierto al afirmar que oy´o primero

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el disparo contra el guarda. Nosotros, que vivimos en la tierra, preferir´ıamos, en tal caso, la idea de simultaneidad obtenida por una persona quieta sobre el suelo a la idea de una persona que viaja en tren. Pero en la f´ısica te´orica no se permiten prejuicios de miras tan estrechas. Un f´ısico en un cometa, pongamos por caso, tendr´ıa tanto derecho a su idea de simultaneidad como lo tiene cualquier f´ısico situado en la tierra. Pero los resultados ser´ıan distintos en el mismo sentido que acabamos de ilustrar en el ejemplo del tren y los disparos. El movimiento del tren no es m´as ((real)) que el de la tierra; no hay ((real)) que valga. Podr´ıas imaginar a un conejo y a un hipop´otamo discutiendo sobre si el hombre es ((realmente)) un animal grande. Cada uno de ellos juzgar´ıa su punto de vista como el u ´nico l´ogico y el otro como un puro juego de la fantas´ıa. El mismo fundamento tiene la discusi´on sobre si la tierra o el tren se mueven ((realmente)). Y por lo tanto, al definir la simultaneidad entre sucesos distintos, no tenemos derecho a seleccionar y elegir entre los diferentes cuerpos que se han de usar para definir el punto medio entre los sucesos. Todos los cuerpos tienen igual derecho a ser elegidos. Pero si para un cuerpo los dos hechos son simult´aneos seg´ un la definici´on, entonces habr´a otros cuerpos para los que el primero precede al segundo, y otros para los que el segundo precede al primero. No podemos, pues, decir ambiguamente que dos sucesos en distintos lugares son simult´aneos. Tal afirmaci´on s´olo adquiere un significado concreto en relaci´on a un observador determinado. Pertenece a la parte subjetiva de nuestra observaci´on de los fen´omenos f´ısicos, no a la parte objetiva que es entrar en las leyes f´ısicas. Esta cuesti´on del tiempo en diferentes lugares es quiz´a, para la imaginaci´on, el aspecto m´as dif´ıcil de la teor´ıa de la relatividad. Estamos acostumbrados a la idea de que todo puede tener una fecha. Los historiadores se sirven del hecho de un eclipse de sol en China el 29 de agosto del a˜ no 776 antes de Cristo1 . Sin duda los astr´onomos nos podr´ıan decir la hora exacta y el minuto en que dicho eclipse comenz´o a ser total en un lugar dado del 1

Una oda china contempor´ anea, despu´es de dar correctamente el d´ıa del a˜ no, prosigue: Para la luna eclipsarse no es sino algo normal. Ahora que el sol se ha eclipsado, ¡qu´e maldici´ on!

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norte de China. Y parece obvio que podamos hablar de las posiciones de los planetas en un momento dado. La teor´ıa newtoniana nos permite calcular la distancia entre la tierra y J´ upiter, por ejemplo, a una hora determinada seg´ un los relojes de Greenwich. Esta circunstancia nos permite conocer lo que tarda la luz en ese tiempo desde J´ upiter a la tierra; por ejemplo, media hora. Ello nos permite concluir que hace media hora J´ upiter estaba donde nosotros lo vemos ahora. Todo esto parece obvio. Pero, en realidad, s´olo act´ ua en la pr´actica porque las velocidades relativas de los planetas son peque˜ nas comparadas con la velocidad de la luz. Cuando juzgamos que un suceso en la tierra y un suceso en J´ upiter han sucedido al mismo tiempo —por ejemplo, que J´ upiter ha eclipsado a uno de sus sat´elites cuando los relojes de Greenwich se˜ nalaban las doce de la noche— una persona que se moviera velozmente en relaci´on a la tierra, lo juzgar´ıa de modo diferente, suponiendo que ambos, ´el y nosotros, hubi´esemos tenido en cuenta la velocidad de la luz. Y, por supuesto, el desacuerdo sobre la simultaneidad supone tambi´en un desacuerdo sobre los per´ıodos de tiempo. Si creemos que dos hechos acaecidos en J´ upiter estaban separados por un intervalo de veinticuatro horas, otra persona podr´ıa juzgar que estaban separados por un per´ıodo de tiempo mayor, si se moviera r´apidamente en relaci´on a J´ upiter y a la tierra. El tiempo c´osmico universal que se acostumbraba a dar por supuesto, ya no se puede seguir admitiendo. Para cada cuerpo existe un orden de tiempo ´ concreto que marca los sucesos de su contorno. Este puede llamarse el tiempo ((propio)) para ese cuerpo. Nuestra propia experiencia est´a gobernada por el tiempo propio para nuestro propio cuerpo. Como quiera que en la tierra todos nosotros permanecemos muy pr´oximos unos de otros, los tiempos propios de los diferentes seres humanos coinciden y se pueden agrupar en el llamado tiempo terrestre. Pero ´este es solamente el tiempo apropiado para los cuerpos mayores de la tierra. Para las part´ıculas β (electrones) de los laboratorios, ser´ıan deseables tiempos completamente diferentes. Por eso, la raz´on de insistencia al usar nuestro propio tiempo es que estas part´ıculas parecen aumentar en masa con un movimiento r´apido. Desde su punto de vista, su masa permanece constante y somos nosotros los que de repente adelgazamos o engordamos. La historia de un f´ısico vista por una part´ıcula β semejar´ıa a los viajes de Gulliver. Surge ahora la pregunta: ¿Qu´e es, entonces, lo que mide un reloj? Cuan-

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do hablamos de un reloj en la teor´ıa de la relatividad, no s´olo indicamos los relojes hechos por manos humanas. Entendemos todo aquello que pasa a trav´es de un proceso peri´odico regular. La tierra es un reloj porque gira sobre s´ı misma cada veintitr´es horas y cincuenta y seis minutos. Un ´atomo es un reloj, porque emite ondas-luz de frecuencias muy definidas. Son visibles como l´ıneas luminosas en el espectro del ´atomo. El mundo est´a lleno de hechos peri´odicos y mecanismos fundamentales, como los ´atomos muestran una semejanza extraordinaria en las diferentes partes del universo. Cualquiera de estos acontecimientos peri´odicos puede usarse para medir el tiempo. La u ´nica ventaja de los relojes hechos a mano por el hombre es que son especialmente f´aciles de observar. Sin embargo, algunos de los otros son m´as exactos. Hoy d´ıa las ondas cortas de radio emitidas en ciertas condiciones por ´atomos de cesio y mol´eculas de amon´ıaco est´an siendo empleadas para establecer bases de medida del tiempo m´as uniformes que las basadas en la rotaci´on de la tierra. Pero la cuesti´on sigue en pie: si se abandona el tiempo c´osmico, ¿qu´e es realmente lo medido por un reloj en el amplio sentido que acabamos de dar al t´ermino? Cada reloj da una medida correcta de su ((propio)) tiempo, que, como veremos en seguida, es una cantidad f´ısica importante. Pero no da una medida exacta de ninguna cantidad f´ısica conectada con los sucesos de los cuerpos que se mueven velozmente en relaci´on a ella. Da un dato para el descubrimiento de una cantidad f´ısica vinculada a tales sucesos, pero se requiere otro dato, y ´este se ha de derivar de la medida de las distancias en el espacio. Las distancias en el espacio, lo mismo que los per´ıodos de tiempo, no son en general hechos f´ısicos objetivos, sino en parte dependientes de un observador. Vamos a explicar ahora c´omo sucede esto. Ante todo hemos de pensar en la distancia entre dos sucesos, no entre dos cuerpos. Es una consecuencia inmediata de lo que ya comprobamos con respecto al tiempo. Si los cuerpos se mueven unos con relaci´on a otros —y ´este es siempre el caso— la distancia entre ellos estar´a cambiando siempre, de tal forma que s´olo podemos hablar de la distancia entre ellos en un tiempo determinado. Si viajas en un tren que se dirige a Edimburgo, podemos hablar de la distancia que te separa de Edimburgo en un momento dado. Pero, como ya dijimos, diferentes observadores juzgar´an de manera diferente lo que es el ((mismo tiempo)) para un suceso en el tren y otro en Edimburgo. Esto

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hace que la medida de las distancias sea relativa, precisamente en el mismo sentido en que la medida de los diferentes tiempos se ha comprobado que es relativa. Com´ unmente pensamos que hay dos clases separadas de intervalo entre dos hechos, un intervalo de espacio y otro intervalo de tiempo. Entre tu salida de Londres y tu llegada a Edimburgo hay 640 kil´ometros y diez horas. Ya vimos que otro observador juzgar´ıa el tiempo de manera diferente. Un observador desde el sol juzgar´ıa el movimiento del tren completamente insignificante. Y pensar´a que has andado la distancia recorrida por la tierra en su ´orbita y en su rotaci´on diurna. Por otra parte, una pulga en un vag´on de ferrocarril pensar´a que t´ u no te has movido en el espacio, pero que le has proporcionado un per´ıodo de placer que medir´a por su propio tiempo, no por el observatorio de Greenwich. No se puede decir que t´ u, el habitante del sol o la pulga est´eis equivocados. Cada uno est´a igualmente justificado, y yerra si atribuye una validez objetiva a sus medidas subjetivas. Esta distancia en espacio entre dos hechos es, pues, un hecho f´ısico en s´ı mismo. Pero, como veremos, existe un hecho f´ısico que se puede deducir de la distancia en tiempo junto con la distancia en espacio. Es lo que se llama el ((intervalo)) en el espacio-tiempo. Tomando dos hechos cualesquiera del universo, hay dos diferentes posibilidades con respecto a su relaci´on mutua. Para un cuerpo puede ser f´ısicamente posible desplazarse y estar presente en ambos hechos o puede no serlo. Ello depende del hecho que ning´ un cuerpo puede desplazarse tan r´apido como la luz. Supongamos, por ejemplo, que fuera posible enviar un rayo luz desde la tierra y que se reflejara desde la luna. (Es un experimento que se ha realizado pr´acticamente con los rayos l´aser y con las ondas de radar que viajan a la misma velocidad.) El tiempo entre el env´ıo del rayo y su vuelta de reflexi´on ser´ıa de dos segundos y medio aproximadamente. Ning´ un cuerpo podr´ıa desplazarse tan r´apidamente que pudiera estar en la tierra durante cualquier parte de estos dos segundos y medio y al mismo tiempo estar presente en la luna en el momento de la llegada del rayo. En tal caso, el cuerpo deber´ıa moverse a mayor velocidad que la luz. Pero te´oricamente un cuerpo podr´ıa estar presente en la tierra en cualquier momento antes o despu´es de estos dos segundos y medio y tambi´en presente en la luna a la hora de llegar el rayo. Cuando es f´ısicamente imposible que un cuerpo pueda desplazarse y estar presente en los dos sucesos, diremos que el intervalo entre los mismos

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es ((espacial)). Cuando es f´ısicamente posible para un cuerpo estar presente en los dos sucesos, diremos que el intervalo entre los mismos es ((temporal)). Cuando el intervalo es ((espacial)) es posible que un cuerpo se mueva de tal manera que un observador del mismo juzgar´a que los dos acontecimientos son simult´aneos. En tal caso, el ((intervalo)) entre los dos hechos es lo que dicho observador juzgar´a que es la distancia en espacio entre ellos. Cuando el intervalo es ((temporal)), un cuerpo puede estar presente en ambos sucesos. En este caso, un observador del cuerpo juzgar´a que el intervalo entre los dos hechos es el tiempo propio entre ellos, es decir, su tiempo ((propio)) entre ambos sucesos. Hay un caso l´ımite entre los dos: cuando los dos sucesos son partes de un u ´nico rayo-luz —o, si se quiere, cuando un acontecimiento es la visi´on del otro. Entonces el intervalo entre los dos sucesos es cero. Tenemos, pues, tres casos: 1) Puede ser posible que un rayo-luz est´e presente en ambos sucesos; esto acontece siempre que el uno es la visi´on o cara del otro. En este caso el intervalo entre los los dos es cero. 2) Puede suceder que ning´ un cuerpo pueda desplazarse de un suceso a otro, ya que para hacerlo tendr´ıa que viajar a mayor velocidad que la luz. En este caso, es siempre posible f´ısicamente para un cuerpo desplazarse de tal forma que un observador del mismo juzgar´ıa los dos hechos simult´aneos. El intervalo es lo que ´el estimar´ıa como la distancia en el espacio entre los dos sucesos. Tal intervalo se llama ((espacial)). 3) Puede ser posible f´ısicamente para un cuerpo desplazarse y estar presente en ambos acontecimientos. En ese caso, el intervalo entre ellos es lo que un observador de tal cuerpo juzgar´a como el tiempo entre ellos. Tal intervalo se llama ((temporal)). El intervalo entre dos sucesos es un hecho f´ısico sobre los mismos, que no depende de las circunstancias particulares del observador. La teor´ıa de la relatividad, se presenta en dos formas: la especial y la general. La primera es generalmente s´olo una aproximaci´on, pero es casi

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exacta en grandes distancias si se tiene en cuenta el problema de la gravitaci´on. Cuando se puede prescindir de la gravitaci´on, es aplicable la teor´ıa especial. Entonces, el intervalo entre dos sucesos se puede calcular cuando sabemos la distancia en espacio y en tiempo entre ellos, estimada por cualquier observador. Si la distancia en espacio es mayor que la distancia que la luz hubiera recorrido en el tiempo, entonces la separaci´on es espacial. La siguiente hip´otesis nos da el intervalo entre dos sucesos: trazar una l´ınea AB de longitud igual a la distancia que la luz recorrer´ıa en el tiempo. Describir alrededor de A un c´ırculo cuyo radio sea la distancia en el espacio entre los dos sucesos. Partiendo de B trazar BC perpendicularmente a AB encontrando el c´ırculo en C. Entonces BC es la duraci´on del intervalo entre los dos sucesos. Cuando la distancia es temporal, se usa la misma figura, pero AC es entonces la distancia que la luz emplear´ıa en el tiempo, mientras que AB es la distancia en el espacio entre los dos sucesos. El intervalo entre ellos es ahora el tiempo que la luz tardar´ıa en recorrer la distancia AB. Aunque AB y AC son distintos para distintos observadores, BC tiene la misma duraci´on para todos los observadores, seg´ un las correcciones hechas por la teor´ıa general. Representa el u ´nico intervalo en ((espacio-tiempo)) que constituye a los dos intervalos en espacio y en el tiempo de la f´ısica m´as antigua. Adem´as, esta noci´on de intervalo puede parecer un tanto misteriosa, pero a medida que vayamos adelantando, lo ser´a menos. Y aparecer´a gra-

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dualmente su raz´on de ser en la naturaleza de las cosas.

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Espacio-Tiempo Todo el que haya o´ıdo hablar alguna vez de la teor´ıa de la relatividad

conoce la frase ((espacio-tiempo)). Y sabe adem´as que lo correcto es emplear esta frase, ya que primitivamente deber´ıamos haber dicho ((espacio y tiempo)). Pero pocos que no sean matem´aticos tienen una idea clara de lo que se quiere decir con este cambio en los t´erminos. Antes de entrar a fondo en la teor´ıa especial de la relatividad, quiero tratar de mostrar al lector lo que se encierra en la frase ((espacio-tiempo)), ya que es, desde un punto de vista filos´ofico e imaginario, la m´as importante quiz´a de todas las novedades introducidas por Einstein. Supongamos que quieres determinar d´onde y cu´ando tuvieron lugar ciertos hechos —por ejemplo, una explosi´on en una aeronave—. Para ello tendr´as que mencionar cuatro dimensiones, esto es, la latitud y la longitud, la altura sobre el suelo y el tiempo. Seg´ un la idea tradicional, las tres primeras dan la posici´on en el espacio, mientras que la cuarta da la posici´on en el tiempo. Las tres dimensiones que dan la posici´on en el espacio pueden se˜ nalarse con toda clase de formas. Se podr´ıa, por ejemplo tomar el plano del ecuador, el plano del meridiano de Greenwich y el plano del meridiano 90, y expresar la distancia del avi´on desde cada uno de estos planos. Estas tres distancias ser´ıan lo que se ha llamado despu´es de Descartes ((coordenadas cartesianas)). Se podr´ıa tomar cualquiera de los otros tres planos que forman ´angulo recto entre s´ı, y se tendr´ıan nuevamente las ((coordenadas cartesianas)). O se podr´ıa tomar la distancia desde Londres a un punto en el suelo, perpendicular a la aeronave; la direcci´on de esta distancia (nordeste, oeste-sudoeste, o cualquiera que fuese) y la altura del avi´on por encima del suelo. Hay un n´ umero infinito de maneras para fijar la posici´on en el espacio, todas igualmente leg´ıtimas. La elecci´on entre ellas es de simple conveniencia. Cuando la gente dec´ıa que el espacio ten´ıa tres dimensiones quer´ıa decir exactamente esto: que las tres dimensiones eran necesarias para poder especificar la posici´on de un punto en el espacio, pero que el m´etodo para se˜ nalar estas dimensiones era totalmente arbitrario.

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Con respecto al tiempo, se cre´ıa que el problema era totalmente diferente. Los u ´nicos elementos arbitrarios en el c´omputo del tiempo eran la unidad y el punto del tiempo desde el que comenzaba dicho c´omputo. Se pod´ıa medir seg´ un la hora de Greenwich, de Par´ıs o de Nueva York. Esto constitu´ıa una diferencia en cuanto al punto de partida. Se pod´ıa medir en segundos, minutos, horas, d´ıas o a˜ nos. Era una diferencia de unidad. No exist´ıa nada relativo a la libertad de elecci´on por lo que respecta al m´etodo de fijar la posici´on en el espacio. Y, en particular, se cre´ıa que el m´etodo de fijar la posici´on en el espacio y el m´etodo de fijar la posici´on en el tiempo pod´ıa hacerse de forma totalmente independiente el uno del otro. Por estas razones, la gente consideraba que el tiempo y el espacio eran dos cosas completamente distintas. La teor´ıa de la relatividad ha cambiado esto. Existe ahora una serie de medios diferentes para fijar la posici´on en el tiempo, que no difieren tan s´olo en lo referente a la unidad y al punto de partida. En realidad, como hemos visto, si un suceso es simult´aneo a otro en un c´alculo o medida, lo preceder´a en otro y lo seguir´a en un tercero. Adem´as, los c´omputos de espacio y tiempo ya no son independientes entre s´ı. Si se altera la forma de c´omputo de la posici´on en espacio, se puede alterar tambi´en el intervalotiempo entre los dos hechos. Si se altera la forma de c´omputo de tiempo, se puede alterar tambi´en la distancia en espacio entre dos acontecimientos. De este modo, espacio y tiempo ya no son independientes, como tampoco lo son las tres dimensiones de espacio. Seguimos necesitando las cuatro dimensiones para determinar la posici´on de un hecho. Pero ya no podemos, como antes, separar una de las cuatro como totalmente independientes de las otras tres. No es del todo cierta la afirmaci´on de que ya no existe distinci´on entre tiempo y espacio. Como vimos, hay intervalos temporales e intervalos espaciales. Pero la distinci´on es de un tipo diferente al que anteriormente se supon´ıa. Ya no existe un tiempo universal que se pueda aplicar sin ambig¨ uedad a cualquier parte del universo. S´olo existen diversos tiempos ((propios)) de los diversos cuerpos del universo que coinciden aproximadamente en dos cuerpos que no tienen un movimiento r´apido, pero que no coinciden exactamente nunca, a no ser que sean dos cuerpos en reposo y en relaci´on mutua.

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La descripci´on del mundo exigida para este nuevo estado de cosas es como sigue: supongamos que me ocurre un suceso E y que simult´aneamente parte de m´ı un rayo-luz en todas direcciones. Todo lo que suceda a cualquiera despu´es que el rayo luz haya llegado hasta ´el se sit´ ua definitivamente despu´es del suceso E en cualquier sistema de c´omputo del tiempo. Cualquier suceso que yo haya podido presenciar en cualquier parte antes de que me ocurriera el suceso E se sit´ ua definitivamente antes del suceso E en cualquier sistema de c´omputo del tiempo. Pero cualquier suceso acaecido en el tiempo intermedio no est´a definitivamente ni antes ni despu´es del suceso E. Pongamos un caso concreto: supongamos que yo pudiera observar a una persona en Sirio y que ella pudiera observarme a m´ı. Lo que ella hace y lo que yo veo antes de que el suceso E me ocurra, se sit´ ua definitivamente antes de E. Lo que haga despu´es de haber visto el hecho E est´a definitivamente despu´es de E. Pero todo lo que hace antes de haber visto el suceso E, aun cuando yo lo vea despu´es de haber sucedido el hecho E. Si la luz tarda muchos a˜ nos desde Sirio a la tierra, crea un per´ıodo del doble de a˜ nos en Sirio que podemos calificar de ((contempor´aneo)) de E, ya que estos a˜ nos no est´an situados definitivamente antes o despu´es de E. El doctor A. A. Robb en su Theory of Time and Space sugiri´o un punto de vista que puede ser o no ser filos´oficamente fundamental, pero que, en cualquier caso, nos ayuda a comprender el nudo de los problemas que hemos estado describiendo. Sosten´ıa que un suceso s´olo se puede decir que est´a definitivamente antes que otro, si en alg´ un sentido puede influir sobre ´el. Ahora bien, las influencias se difunden desde un centro de diversas formas. Los peri´odicos ejercen una influencia que emana de Londres a una velocidad media de 30 kil´ometros por hora, bastante m´as para largas distancias. Todo lo que un hombre hace a causa de lo que lee en el peri´odico es consecuencia clara de la impresi´on del peri´odico. El sonido avanza mucho m´as r´apido: ser´ıa posible disponer una serie de altavoces a lo largo de las principales carreteras y vocear los peri´odicos de un altavoz a otro. Pero el tel´egrafo es m´as r´apido y la telegraf´ıa sin hilos se transmite a la velocidad de la luz, de manera que no se puede esperar nada m´as r´apido. Pues bien, lo que un hombre hace como consecuencia de recibir un mensaje radiado, lo hace despu´es de haber sido enviado el mensaje. El significado aqu´ı es independiente de los convencionalismos relativos a la medida del tiempo. Pero todo lo que hace mientras

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el mensaje se est´a transmitiendo no puede estar influido por el env´ıo. Y no puede influir sobre el emisor hasta un tiempo despu´es de haber enviado el mensaje, es decir, si dos cuerpos est´an muy separados ninguno de los dos puede influir en el otro a no ser despu´es de un lapso de tiempo. Lo que sucede antes de que haya pasado el tiempo no puede afectar al cuerpo distante. Supongamos, por ejemplo, que sucede un hecho notable en el sol. Hay un per´ıodo de diecis´eis minutos en la tierra durante los cuales ning´ un suceso de ´esta puede haber influido o ser influido por el mencionado hecho notable ocurrido en el sol. Esto da una base s´olida para considerar ese per´ıodo de diecis´eis minutos en la tierra como ni antes ni despu´es del suceso acaecido en el sol. Las paradojas de la teor´ıa especial de la relatividad son s´olo paradojas, porque estamos acostumbrados al punto de vista y a la costumbre de dar las cosas por supuestas cuando no tenemos derecho a hacerlo. Esto es especialmente cierto en lo que respecta a la medida de las longitudes. En la vida diaria, nuestra manera de medir las longitudes es aplicar una medida de metros o alguna otra medida. En el momento en que se aplica, el metro-medida est´a en reposo en relaci´on al cuerpo que se va a medir. En consecuencia, la longitud a la que llegamos por la medida es la longitud ((propia)), es decir, la longitud estimada por un observador que comparte el movimiento del cuerpo. En la vida ordinaria jam´as hemos de abordar el problema de medir un cuerpo que est´e en continuo movimiento. Y en caso de hacerlo, las velocidades de los cuerpos visibles de la tierra son tan peque˜ nas en relaci´on a la misma que las anomal´ıas descubiertas por la teor´ıa de la relatividad no aparecer´ıan. Pero en astronom´ıa o en la investigaci´on de la estructura at´omica nos hallamos ante problemas que no pueden abordarse de esta manera. Como no somos Josu´e, no podemos detener el sol mientras lo medimos. Si hemos de valorar su tama˜ no, hemos de hacerlo as´ı, mientras se mueve con relaci´on a nosotros. De modo parecido, si se quiere apreciar el tama˜ no de un electr´on, debe hacerse mientras est´a en movimiento r´api´ do, puesto que no est´a quieto ni un momento. Este es el tipo de problemas vinculados a la teor´ıa de la relatividad. Cuando es posible medir con un metro-medida, se obtiene siempre el mismo resultado, pues da la longitud ((propia)) de un cuerpo. Pero cuando

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no es posible utilizar este m´etodo, podemos comprobar que suceden cosas curiosas, particularmente si el cuerpo que se ha de medir se mueve muy velozmente con respecto al observador. Una figura como la del final del cap´ıtulo anterior nos ayudar´a a comprender el problema. Supongamos que el cuerpo cuya longitud queremos medir se mueve con relaci´on a nosotros, y que en un segundo recorre la distancia OM . Tracemos ahora un c´ırculo alrededor de O, cuyo radio es la distancia que recorre la luz en un segundo. Desde M tracemos M P , perpendicular a M O, encontrando el c´ırculo en P . As´ı, OP es la distancia que recorre la luz en un segundo. La relaci´on de OP a OM es la relaci´on de la velocidad de la luz a la velocidad del cuerpo. La relaci´on de OP a M P es la relaci´on en que las longitudes aparentes est´an alteradas por el movimiento. Es decir, si el observador juzga que dos puntos de la l´ınea de movimiento del cuerpo que se mueve est´an a una distancia mutua representada por M P , una persona que se moviera con el cuerpo juzgar´ıa que estaban a la distancia representada (a la misma escala) por OP . Las distancias del cuerpo que se mueve en los ´angulos rectos de la l´ınea del movimiento no se ven afectadas por el movimiento. Todo el conjunto es rec´ıproco; es decir, si un observador que se mueve con el cuerpo fuera a medir la longitud del cuerpo del anterior observador, quedar´ıa alterado, precisamente en la misma proporci´on. Cuando dos cuerpos se mueven en relaci´on mutua, sus longitudes aparecen m´as cortas a un tercero que a ellos mismos. Tal es la contracci´on de Fitzgerald, creada fundamentalmente para

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determinar el resultado del experimento de Michelson Morley. Pero ahora se plantea naturalmente por el hecho de que los dos observadores no hacen el mismo juicio de simultaneidad. Veamos la manera de producirse esta simultaneidad: decimos que dos puntos de un cuerpo distan un metro entre s´ı cuando podemos aplicar simult´ aneamente un extremo del metro-medida a uno y el otro extremo al otro. Si, por tanto, dos personas no est´an de acuerdo sobre la simultaneidad y el cuerpo est´a en movimiento, l´ogicamente obtendr´an diferentes resultados en sus medidas. El problema del tiempo est´a, pues, en el fondo del problema de la distancia. La relaci´on de OP a M P es esencial en todos estos problemas. Tiempos, longitudes y masas se alteran en esta proporci´on cuando el cuerpo en cuesti´on est´a en movimiento con relaci´on al observador. Se podr´a ver que, si OM es mucho m´as peque˜ no que OP , es decir, si el cuerpo se mueve mucho m´as despacio que la luz, M P y OP son casi iguales, de forma que las alteraciones producidas por el movimiento son muy peque˜ nas. Pero si OM es casi tan grande como OP , es decir, si el cuerpo que se mueve lo hace casi a la misma velocidad que la luz, entonces M P resulta muy peque˜ no comparado con OP y los efectos resultan muy grandes. El aparente aumento de volumen de las part´ıculas que se mueven vertiginosamente hab´ıa sido observado y se hab´ıa hallado la verdadera f´ormula antes de que Einstein inventara su teor´ıa especial de la relatividad. De hecho, Lorentz hab´ıa llegado a las f´ormulas llamadas de ((transformaci´on de Lorentz)), que comprenden toda la esencia matem´atica de la teor´ıa especial de la relatividad. Pero fue Einstein quien demostr´o que todo ello no difer´ıa de lo que era de esperar, y no una serie de trucos r´apidos para dar cuenta de sorprendentes resultados experimentales. No obstante, no hay que olvidar que los resultados experimentales fueron el motivo original de toda la teor´ıa, y siguen siendo la base para emprender la tremenda reconstrucci´on l´ogica que suponen las teor´ıas de Einstein. Podemos ahora recapitular las razones que hicieron necesario sustituir ((espacio-tiempo)) por espacio y tiempo. La antigua separaci´on de espacio y tiempo se basaba en la creencia de que no hab´ıa ambig¨ uedad en afirmar que dos hechos en lugares distintos suced´ıan al mismo tiempo. En consecuencia se pensaba que pod´ıamos describir la topograf´ıa del universo en un momento

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dado y en t´erminos puramente espaciales. Pero ahora que la simultaneidad resulta relativa a un observador particular, ello ya no es posible. Lo que para un observador es una descripci´on del estado del mundo en un momento dado, para otro es una serie de sucesos en varios tiempos distintos, cuyas relaciones no son simplemente espaciales sino tambi´en temporales. Por la misma raz´on, estamos vinculados a los hechos m´as que a los cuerpos. En la vieja teor´ıa era posible considerar un n´ umero de cuerpos en el mismo instante, y puesto que el tiempo era el mismo para todos, pod´ıa prescindirse de ´el. Pero ahora no podemos hacer eso si queremos obtener un resultado objetivo de los hechos f´ısicos. Hemos de mencionar la fecha en que se ha de considerar un cuerpo, y llegar as´ı a un ((suceso)), es decir, a algo que sucede al mismo tiempo. Cuando conocemos el tiempo y el lugar de un suceso en un sistema de c´omputo de un observador, podemos calcular su tiempo y lugar, seg´ un otro observador. Pero debemos conocer el tiempo tanto como el lugar, puesto que ya no podemos preguntar cu´al es su lugar tanto para el nuevo observador al ((mismo)) tiempo que para el viejo. No existe algo as´ı como el ((mismo)) tiempo para diferentes observadores, a menos que se encuentren en reposo y en relaci´on mutua. Necesitamos cuatro medidas para fijar una posici´on. Y cuatro medidas fijan la posici´on de un hecho en espacio-tiempo, no simplemente de un cuerpo en el espacio. Tres medidas no son suficientes ´ para fijar una posici´on. Esta es en esencia lo que queremos dar a entender con la sustituci´on de espacio-tiempo por espacio y tiempo.

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La teor´ıa especial de la relatividad La teor´ıa especial de la relatividad surgi´o como una explicaci´on de los

hechos del electromagnetismo. Tenemos aqu´ı una historia un tanto curiosa. Durante el siglo xviii y principios del xix, la teor´ıa de la electricidad estaba totalmente dominada por la analog´ıa newtoniana. Dos cargas el´ectricas se atraen mutuamente si son de polos diferentes, uno positivo y otro negativo, pero se repelen si son del mismo polo. En cada caso, la fuerza var´ıa en raz´on inversa al cuadrado de la distancia, lo mismo que en el caso de la gravitaci´on. Se conceb´ıa esta fuerza como una acci´on a distancia, hasta que Faraday, despu´es de una serie de notables experimentos, demostr´o el efecto del medio que interven´ıa. Faraday no era matem´atico. Fue Clerk Maxwell el primero que dio forma matem´atica a los resultados sugeridos por los experimentos de Faraday. Adem´as, Clerk Maxwell sent´o las bases para considerar que la luz es un fen´omeno electromagn´etico, que consiste en ondas electromagn´eticas. El medio para transmitir los efectos electromagn´eticos pod´ıa ser, pues, el ´eter, que durante mucho tiempo se hab´ıa supuesto trasmisor de la luz. La exactitud de la teor´ıa de Maxwell sobre la luz qued´o probada por los experimentos de Hertz en la manufactura de las ondas magn´eticas. Tales experimentos aportan la base para la telegraf´ıa sin hilos. Por el momento, tenemos constancia del progreso triunfante en el que teor´ıa y experimento asumen alternativamente el papel rector. En la ´epoca de los experimentos de Hertz el ´eter parec´ıa algo firmemente establecido y en posici´on tan fuerte como la de cualquier otra hip´otesis cient´ıfica cuya verificaci´on directa no es posible. Pero comenzaron a descubrirse una serie de hechos, y gradualmente fue cambiado todo el panorama. El movimiento que culmin´o con Hertz era un movimiento para establecer la continuidad de todas las cosas. El ´eter era continuo, las ondas dentro de ´el eran continuas, y se esperaba que la materia pudiera estar constituida por una estructura continua en el ´eter. Pero vino luego el descubrimiento de la estructura at´omica de la materia, y de la estructura discreta de los ´atomos mismos. Se crey´o que los ´atomos estaban compuestos de electrones, protones y neutrones. El electr´on es la part´ıcula m´as peque˜ na con una carga determinada de electricidad negativa. El prot´on lleva una carga de electricidad positiva. El neutr´on, en cambio, no est´a cargado. (Es tan s´olo una cuesti´on

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de h´abito llamar negativa a la carga del electr´on y positiva a la del prot´on, pues se podr´ıa afirmar lo contrario.) Parec´ıa probable la imposibilidad de encontrar la electricidad m´as que en forma de cargas en el electr´on y el prot´on. Todos los electrones tienen exactamente la misma carga negativa, igual a la de los protones, pero la de ´estos es positiva y opuesta. M´as tarde se descubrieron las part´ıculas subat´omicas; la mayor´ıa de ellas se llaman mesones e hiperones. Todos los protones tienen exactamente el mismo peso, que es de unas ochocientas veces el peso de los electrones. Todos los neutrones tienen tambi´en el mismo peso. Son ligeramente m´as pesados que los protones. Los mesones, de los que existen diferentes clases, pesan m´as que los electrones, pero menos que los protones. Los hiperones, por el contrario, son m´as pesados que los protones y que los neutrones. Algunas de las part´ıculas llevan carga el´ectrica, mientras que otras no la llevan. Se ha comprobado que todas las de carga positiva tienen exactamente la misma carga que el prot´on. Las de carga negativa, en cambio, tienen la misma carga que el electr´on, si bien sus dem´as propiedades son totalmente diferentes. Para complicar m´as las cosas, hay una part´ıcula que es id´entica al electr´on, a excepci´on de la carga, que es positiva en vez de negativa: se llama positr´on. Un descubrimiento muy reciente es el de una part´ıcula id´entica al prot´on, aunque se diferencia por su carga negativa: se la llama antiprot´on. Estos descubrimientos sobre la estructura discreta de la materia son inseparables de los hallazgos de otros fen´omenos llamados cu´anticos, tales como las l´ıneas luminosas del espectro de un ´atomo. Parece que todos los procesos naturales muestran una discontinuidad fundamental siempre que pueden ser medidos con suficiente precisi´on. De este modo, la f´ısica ha tenido que asimilar nuevos hechos y hacer frente a nuevos problemas. Aunque la teor´ıa cu´antica ha existido m´as o menos en su forma actual desde hace cuarenta a˜ nos, y la teor´ıa especial de la relatividad desde unos sesenta, hasta hace veinte a˜ nos pocos pasos se dieron para unir a las dos. Las nuevas interpretaciones de la teor´ıa cu´antica la han hecho m´as acorde con la relatividad. Tales mejoras han ayudado en gran manera a nuestra comprensi´on de las part´ıculas subat´omicas, pero todav´ıa quedan muchas y serias dificultades por resolver. Los problemas solucionados por la teor´ıa especial de la relatividad en

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su propio campo, independientemente de la teor´ıa cu´antica, quedan tipificados en el experimento de Michelson-Morley. Si aceptamos como correcta la teor´ıa del electromagnetismo de Maxwell, deber´ıa haber ciertos efectos del movimiento detectables por medio del ´eter. En realidad, no se ha descubierto ninguno. Estaba tambi´en el hecho observado de que un cuerpo en movimiento muy acelerado parece incrementar su masa. El aumento est´a en la relaci´on de OP a M P en la figura del cap´ıtulo precedente. Poco a poco se fueron acumulando hechos de este g´enero, hasta que se hizo necesario encontrar una teor´ıa que pudiera englobarlos a todos. La teor´ıa de Maxwell se reduc´ıa a ecuaciones ciertas, conocidas como ´ ((ecuaciones de Maxwell)). Estas permanecieron inalterables a pesar de las revoluciones operadas en la f´ısica a lo largo del siglo pasado. De hecho, tuvieron cada vez m´as importancia y mayor certeza; los argumentos de Maxwell en su favor eran tan d´ebiles que la exactitud de los resultados casi hay que atribuirla a la intuici´on. Ahora bien, estas ecuaciones se basaban en experimentos de laboratorios terrestres; adem´as, exist´ıa la suposici´on t´acita de que pod´ıa pasarse por alto el movimiento de la tierra a trav´es del ´eter. En ciertos casos, como en el experimento de Michelson-Morley, esto no debiera haber sido posible sin error comprobable. Pero resultaba que siempre era posible. Los f´ısicos se enfrentaban a una extra˜ na dificultad: las ecuaciones de Maxwell resultaban m´as exactas de lo que en s´ı deber´ıan ser. Galileo explic´o una dificultad semejante en los primeros albores de la f´ısica moderna. Muchas personas creen que si se suelta un peso, caer´a verticalmente. Pero si se realiza el experimento en el camarote de un barco en movimiento, el peso cae, en relaci´on al camarote, exactamente igual que si el barco estuviera parado. Si el peso parte, por ejemplo, de la mitad del techo, caer´a en la mitad del suelo. Es decir, desde el punto de vista de un observador de la orilla, no cae verticalmente, ya que comparte el movimiento del barco. En la medida en que el movimiento del barco es estable, todo sucede dentro del barco como si no se moviera. Ya Galileo explic´o esto, con gran indignaci´on de los disc´ıpulos de Arist´oteles. En la f´ısica ortodoxa derivada de Galileo, un movimiento uniforme en l´ınea recta no tiene efectos perceptibles. Esto fue en su d´ıa una forma de la relatividad tan asombrosa como la de Einstein lo es para nosotros. Einstein, en la teor´ıa especial de la relatividad, trat´o de demostrar c´omo los fen´omenos electromagn´eticos pod´ıan no verse afectados

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´ por el movimiento uniforme a trav´es del ´eter, caso de existir el ´eter. Este era el problema m´as dif´ıcil, que no se pod´ıa resolver con s´olo acudir a los principios de Galileo. El arduo esfuerzo requerido para solucionar este problema estaba relacionado con el tiempo. Era necesario introducir la noci´on del tiempo ((propio)) que ya hemos considerado y abandonar la vieja creencia de un u ´nico tiempo universal. Las leyes cuantitativas de los fen´omenos electromagn´eticos se expresan en las ecuaciones de Maxwell. Y se comprueba que estas ecuaciones son ciertas para cualquier observador, aun cuando ´este se pueda hallar en movimiento. Es un problema directamente matem´atico hallar qu´e diferencia debe haber entre las medidas aplicadas por un observador o por otro, si es que, a pesar de su movimiento relativo, han de poder verificar las mismas ecuaciones. La respuesta la tenemos en la ((transformaci´on de Lorenz)), comprobada como f´ormula por Lorenz, pero interpretada y hecha inteligible por Einstein. La transformaci´on de Lorenz nos dice qu´e estimaci´on de distancias y per´ıodos de tiempo habr´a de hacer un observador cuyo movimiento relativo es conocido, si sabemos los de otro observador. Podemos suponer que viajas en un tren en una l´ınea que se dirige al este. Has estado viajando un tiempo que por los relojes de la estaci´on de que partiste es t. A una distancia x del punto de partida, seg´ un la gente que viaja en el tren, ocurre un accidente en este momento; por ejemplo, la destrucci´on de la l´ınea por un rayo. Has estado viajando todo el tiempo a una velocidad uniforme v. La pregunta es: ¿a qu´e distancia de ti crees que ha tenido lugar este hecho, y cu´anto tiempo habr´a pasado por tu reloj, desde que partiste, suponiendo que tu reloj es exacto desde el punto de vista de un observador que va en el tren? Nuestra soluci´on de este problema ha de cumplir ciertas condiciones. Ha de aceptar el resultado de que la velocidad de la luz es la misma para todos los observadores, aunque puedan estar movi´endose. Ha de aceptar tambi´en que los fen´omenos f´ısicos —en particular los del electromagnetismo— obedecen a las mismas leyes para los mismos observadores, aun cuando puedan comprobar que sus medidas de distancias y tiempos se ven afectadas por su movimiento. Es decir, si vas en un tren y tu movimiento afecta a tu apreciaci´on de la distancia fuera del tren, ha de haber exactamente un cambio

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similar en la estimaci´on que personas que est´an fuera del tren hagan de las distancias dentro del mismo. Estas condiciones son suficientes para determinar la soluci´on del problema, pero la soluci´on exige m´as matem´aticas de las que puedo presentar en este libro. Antes de presentar el problema en t´erminos generales, pongamos un ejemplo. Supongamos que vas en tren en una l´ınea larga y recta y que te diriges en direcci´on este a una velocidad equivalente a las tres quintas partes la de la luz; mides la longitud del tren y compruebas que es de cien metros. Supongamos que la gente que te mira al pasar, sirvi´endose de m´etodos cient´ıficos de precisi´on, llegara a hacer con exactitud las observaciones necesarias para calcular la longitud del tren. Si operan correctamente, comprobar´an que el tren tiene ochenta metros de largo. Todo en el tren les parecer´a m´as corto si mira en la direcci´on que sigue el tren de lo que te parece a ti. Los platos de la comida, que t´ u ves como platos ordinarios circulares, parecer´an al que est´a fuera ligeramente ovales: le parecer´an solamente las cuatro quintas partes de ancho vistos tanto en la direcci´on en que se mueve el tren como en la direcci´on de la anchura del mismo. Y todo esto es rec´ıproco. Imag´ınate que miras por la ventanilla y ves a un hombre que lleva una ca˜ na de pescar, que, seg´ un su medida, es de una longitud de quince palmos. En seguida podr´as ver si la lleva recta. Basta con que te fijes si forma ´angulo recto con los rieles. Pero si est´a paralela al trazado del ferrocarril, te parecer´a que solamente tiene doce palmos de longitud. Al describir lo que se ve, he supuesto que todos tienen el debido sentido de la perspectiva. No obstante, todas las longitudes de los objetos del tren habr´a que disminuirlas en un veinte por ciento, en la direcci´on del movimiento, para las personas que est´an fuera, as´ı como las longitudes de los objetos exteriores, para ti que est´as dentro del tren. Pero los efectos con respecto al tiempo son todav´ıa m´as extra˜ nos. Eddington en Space, Time and Gravitation ha expuesto el problema con lucidez casi ideal. Imagina que un aviador vuela, en relaci´on a la tierra, a una velocidad de 161.000 millas por segundo y dice: Si observamos atentamente al aviador deduciremos que es desacostumbradamente lento en sus movimientos. De modo parecido, los sucesos que durante la conducci´on se mueven con ´el

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parecer´ıan tambi´en retardados como si el tiempo se hubiera olvidado de seguir adelante. Su cigarro dura dos veces m´as que uno de los nuestros. He dicho “deducir” deliberadamente. Ver´ıamos que el tiempo, de una manera ins´olita, se hace m´as lento todav´ıa. Pero esto se explica f´acilmente porque el aviador va aumentando su distancia con respecto a nosotros y las impresiones de la luz tardan cada vez m´as en llegarnos. El retraso m´as moderado a que he aludido se produce una vez que hemos medido el tiempo de la transmisi´on de la luz. Pero una vez m´as nos volvemos a encontrar aqu´ı con la reciprocidad, ya que en opini´on del aviador somos nosotros los que volamos a 161.000 millas por segundo. Al hacer la cuenta, comprueba que somos nosotros los que vamos lentos. Nuestro cigarro dura lo mismo que el suyo. ¡Qu´e situaci´on tan envidiable! Cada hombre cree que el cigarro del otro dura el doble que el suyo. Puede, sin embargo, servir de consuelo el pensar que las visitas del otro hombre al dentista durar´an tambi´en el doble. Esta cuesti´on del tiempo es bastante complicada, debido al hecho que los acontecimientos que uno juzga simult´aneos, otro los considera separados por un lapso de tiempo. Para aclarar c´omo se ve afectado el tiempo por ello, volvamos a nuestro tren que se desplaza en l´ınea recta hacia el este a una velocidad media de las tres quintas partes de la luz. En aras de una mayor claridad de la ilustraci´on concibo la tierra grande y llana, en vez de peque˜ na y redonda. Si tomamos los hechos que suceden en un punto fijo de la tierra y nos preguntamos en qu´e tiempo le parece al viajero que se produjeron desde que se inici´o el viaje, la respuesta es que habr´a ese retraso de que nos habla Eddington. En tal caso significa que lo que parece una hora en la vida de una persona estacionaria, es considerada como hora y cuarto por el hombre que la observa desde el tren. Rec´ıprocamente, lo que parece una hora en la vida de la persona que va en el tren es juzgada por el hombre que la observa desde fuera como una hora y cuarto. Cada uno de ellos forma per´ıodos de tiempo observados en la vida del otro superiores en un cuarto a lo que en realidad son para la persona que los est´a viviendo. La proporci´on es la misma respecto al tiempo que respecto a la longitud.

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Pero si en lugar de comparar los sucesos en el mismo lugar de la tierra, los comparamos en lugares muy separados, los resultados son todav´ıa mucho m´as sorprendentes. Tomemos ahora los sucesos acontecidos a lo largo del trayecto. Desde el punto de vista de la persona que est´a en tierra suceden en un momento dado, por ejemplo, el momento en que el observador que va en el tren pasa ante la persona estacionada. De tales sucesos, los que ocurren en puntos hacia los que el tren se dirige parecer´a al viajero que han sucedido ya. Por el contrario, aquellos que ocurran en puntos que se encuentran detr´as del tren, ser´an para ´el todav´ıa futuros. Cuando digo que los sucesos que acaecen en la direcci´on que sigue el tren parecen haber sucedido ya, estoy afirmando algo no del todo exacto, puesto que todav´ıa no los habr´a visto. Pero cuando los haya visto llegar´a a la conclusi´on, despu´es de haber anotado la velocidad de la luz, de que han debido suceder antes del momento en cuesti´on. Un hecho que sucede en la direcci´on del tren en su recorrido a lo largo del trayecto y que el observador estacionario juzga que est´a sucediendo ahora (o mejor, juzgar´a que ha sido ahora cuando llega a conocerlo), si ocurre a una distancia a lo largo de la l´ınea que la luz podr´ıa recorrer en un segundo, el viajero juzgar´a que ha ocurrido hace tres cuartos de segundo. Si ocurre a una distancia de los dos observadores que el hombre que est´a en tierra juzga que la luz recorrer´ıa en un a˜ no, el viajero juzgar´a (cuando se d´e cuenta de ello) que sucedi´o nueve meses antes del momento en que pasa al habitante de la tierra. Y de un modo general, adelantar´a los acontecimientos sucedidos en el mismo sentido del trayecto en tres cuartos de hora-tiempo que tardar´ıa la luz desde los sucesos hasta el hombre de la tierra ante el que acaba de pasar y que juzga que estos hechos est´an sucediendo ahora. O mejor, afirmar´a que suced´ıan en el momento en que le llega la luz de ellos. Los sucesos que tienen lugar en la l´ınea f´errea detr´as del tren habr´a que fecharlos con posterioridad en una proporci´on exactameme igual. De este modo tenemos que hacer una doble correcci´on en la fecha de un acontecimiento cuando pasamos del observador de tierra al observador viajero. Debemos tomar las cinco cuartas partes del tiempo tal como las juzga el habitante de tierra y despu´es restar las tres cuartas partes del tiempo que tardar´ıa la luz en recorrer desde el hecho en cuesti´on al habitante de tierra. Tomemos cualquier hecho en una parte distante del universo, que sea

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visible tanto para quien est´a en tierra como para el viajero en el momento en que ambos se cruzan. Si el primero sabe a qu´e distancia ha ocurrido el suceso, puede juzgar a qu´e hora tuvo lugar, puesto que conoce la velocidad de la luz. Si el hecho ocurri´o en la direcci´on del viajero, ´este deducir´a que sucedi´o hace m´as del doble de tiempo de lo que cree el hombre que est´a en tierra. Pero si ocurri´o en la direcci´on de donde procede, concluir´a que sucedi´o hace s´olo la mitad del tiempo de lo que piensa el hombre que est´a en tierra. Si el viajero se mueve a una velocidad diferente, las proporciones ser´an tambi´en diferentes. Supongamos ahora que (como ocurre a veces) aparecen de repente dos nuevas estrellas y acaban de hacerse visibles al viajero y a nuestro hombre de a pie a quien est´a adelantando ahora. Imaginemos que una de ellas se halla en la misma direcci´on en que se mueve el tren y la otra en direcci´on contraria, es decir, de donde el tren procede. Supongamos que el hombre de a pie es capaz, en alguna forma, de apreciar la distancia de las dos estrellas y de deducir que la luz de una de ellas, que se mueve en la misma direcci´on del viajero, tarda cincuenta a˜ nos en llegar hasta ´el, y cien a˜ nos la otra. Podr´a concluir, pues, que la explosi´on que origin´o la nueva estrella en direcci´on hacia adelante tuvo lugar hace cincuenta a˜ nos. En cambio, la explosi´on que origin´o la otra tuvo lugar hace cien a˜ nos. El viajero no tendr´a m´as que cambiar estas cifras: deducir´a que la explosi´on ocurrida en la estrella anterior al tren tuvo lugar hace cien a˜ nos, y la producida en la parte posterior del mismo hace cincuenta a˜ nos. Supongo que ambos discurren correctamente a base de datos f´ısicos exactos. En realidad, los dos est´an en lo cierto, a menos que piensen que el otro debe estar equivocado. Se deber´ıa observar que los dos tendr´an la misma apreciaci´on de la velocidad de la luz. Su apreciaci´on de las distancias de las dos nuevas estrellas variar´a exactamente en la misma proporci´on a su apreciaci´on del tiempo transcurrido desde las explosiones. Ciertamente, uno de los principales motivos de toda esta teor´ıa es asegurar que la velocidad de la luz ser´a la misma para todos los observadores, aun cuando est´en en movimiento. Este hecho, establecido por experiencia, era incompatible con las viejas teor´ıas e hizo absolutamente necesario admitir algo asombroso. La teor´ıa de la relatividad es tan poco asombrosa como compatible con los hechos. En realidad, despu´es de alg´ un tiempo, deja de parecer asombrosa. Hay otro aspecto de grand´ısima importancia en la teor´ıa que estamos

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estudiando. Y es que, si bien las distancias y los tiempos var´ıan para los diferentes observadores, podemos deducir de ellos la dimensi´on llamada ((intervalo)), que es el mismo para todos los observadores. El ((intervalo)) en la teor´ıa especial de la relatividad se obtiene de la manera siguiente: se toma el cuadrado de la distancia entre dos sucesos, y el cuadrado de la distancia recorrido por la luz en el tiempo transcurrido entre ambos hechos. Se resta el cuadrado menor del cuadrado mayor y el resultado queda definido como el cuadrado del intervalo entre los dos sucesos. El intervalo es el mismo para todos los observadores y representa una relaci´on f´ısica genuina entre los dos hechos, cosa que el tiempo y la distancia no hacen. Hemos dado ya una hip´otesis geom´etrica para el intervalo al final del cap´ıtulo 4. Lleva al mismo resultado que la regla que acabamos de formular. El intervalo es ((temporal)) cuando el tiempo entre dos sucesos es superior a lo que la luz tardar´ıa en recorrer desde el lugar de un suceso al lugar de otro. En caso contrario, el intervalo es ((espacial)). Cuando el tiempo entre dos sucesos es exactamente igual al tiempo que tarda la luz en recorrer la distancia entre ambos puntos, el intervalo es cero. Los dos hechos se sit´ uan, pues, en las partes de un rayo de luz, a no ser que no pase ninguna luz por ese camino. Cuando lleguemos a la teor´ıa general de la relatividad tendremos que generalizar la noci´on de intervalo. Cuanto m´as profundamente penetramos en la estructura del mundo, m´as importante resulta este concepto. Estamos tentados a decir que es la realidad la que tiene las distancias y per´ıodos de tiempo representados confusamente. La teor´ıa de la relatividad ha alterado nuestra idea de la estructura fundamental del mundo. Es el origen tanto de su dificultad como de su importancia. El resto de este cap´ıtulo pueden omitirlo los lectores que no tienen siquiera el m´as elemental conocimiento de geometr´ıa o de ´algebra. Pero para utilidad de aquellos cuya educaci´on no ha sido enteramente descuidada, a˜ nadir´e unas explicaciones de la f´ormula general de la que hasta ahora he dado solamente ejemplos particulares. La f´ormula general en cuesti´on es la ((transformaci´on de Lorentz)) que explica c´omo deducir las medidas de longitud y tiempo propias de un cuerpo de las que son propias de otro cuando un cuerpo se mueve de una manera determinada en relaci´on a otro. Antes de dar la f´ormula algebraica, presentar´e una hip´otesis geom´etrica. Como anteriormente, supondremos que hay dos observadores a quienes llamaremos

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O y O0 . Uno de ellos est´a inm´ovil en tierra, mientras que el otro viaja a una velocidad uniforme por un trazado de ferrocarril en l´ınea recta. Al inicio del tiempo considerado, ambos observadores se encontraban en el mismo punto de la v´ıa f´errea, pero ahora est´an separados por cierta distancia. Un rayo de luz se proyecta sobre un punto X del ferrocarril y O juzga que en el momento en que el rayo tiene lugar, el observador que va en el tren ha llegado al punto O0 . El problema es el siguiente: ¿a qu´e distancia juzgar´a O0 que est´a del rayo y cu´anto tiempo despu´es del comienzo del viaje (cuando estaba en O) creer´a que tuvo lugar? Suponemos ya conocidas las apreciaciones de O, y ahora queremos calcular las de O0 . En el tiempo que, seg´ un O, ha pasado desde el comienzo del viaje, supongamos que OC es la distancia que la luz hubiera recorrido a lo largo del ferrocarril. Describimos un c´ırculo sobre O, tomando OC como radio, y partiendo de O0 tracemos una perpendicular a la v´ıa f´errea hasta interceptar el c´ırculo en D. Tomemos en OD un punto Y , de forma que OY sea igual a OX (X es el punto de la v´ıa f´errea donde ha incidido el rayo de luz). Tracemos Y M perpendicular a la v´ıa del ferrocarril y OS perpendicular a OD, y hagamos coincidir a Y M y OS en S. Asimismo, hagamos que DO0 juntas y OS juntas se encuentren en R. Desde X y C tracemos perpendiculares a la v´ıa del ferrocarril hasta encontrar a OS juntas en Q y Z respectivamente. Por lo tanto, RQ (medido por O) es la distancia en la que O0 creer´a estar desde que cay´o el rayo, no O0 X, como suceder´ıa seg´ un la vieja teor´ıa. Y mientras O piensa que en el tiempo transcurrido desde el comienzo del viaje hasta la ca´ıda del rayo la luz habr´ıa recorrido una distancia OC, O0 cree que el mismo tiempo transcurrido es el que se requiere para que la luz recorra la distancia SZ (medida por O). El intervalo, tal como ha sido medido por O, se ha obtenido restando el cuadrado de OX del cuadrado de OC. El intervalo medido por O0 se obtiene restando el cuadrado de RQ del cuadrado de SZ. Una elemental´ısima geometr´ıa demuestra que son iguales. Las f´ormulas algebraicas comprendidas en la hip´otesis que acabamos de presentar son como siguen: desde el punto de vista de O supongamos que un hecho ocurre a la distancia x a lo largo del la v´ıa f´errea, y en un tiempo t despu´es del comienzo del viaje (cuando O0 estaba en O). Desde el punto de vista de O0 supongamos que ocurre el mismo suceso a una distancia x0 a lo largo de la v´ıa f´errea, y en un tiempo t0 , despu´es del comienzo del viaje.

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Supongamos que la velocidad de la luz sea c0 y y la velocidad de O0 en relaci´on a O. As´ı, β=√

c2

c − v2

Por lo tanto: x0 = β(x − vt)

t0 = β(t −

vx ) c2

´ Esta es la transformaci´on de Lorentz, de la que se puede deducir todo el contenido de este cap´ıtulo.

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Intervalos en espacio-tiempo La teor´ıa especial de la relatividad que hemos venido estudiando hasta

ahora, solucion´o totalmente un determinado problema. Explic´o cierto hecho experimental consistente en que cuando dos cuerpos est´an en movimiento relativo uniforme, todas las leyes f´ısicas, tanto las de la din´amica ordinaria como las vinculadas a la electricidad y al magnetismo, son exactamente iguales para los dos cuerpos. Movimiento “uniforme” significa aqu´ı movimiento en l´ınea recta con velocidad constante. Pero si se solucion´o un problema mediante la teor´ıa especial, inmediatamente surgi´o otro. ¿Qu´e sucede si el movimiento de los dos cuerpos no es uniforme? Supongamos, por ejemplo, que un cuerpo es la tierra y el otro una piedra que cae. La piedra tiene un movimiento acelerado: cada vez cae con mayor velocidad. Nada nos permite afirmar en la teor´ıa especial que las leyes de los fen´omenos f´ısicos sean las mismas para un observador que estuviera sobre la piedra que para otro ´ situado en tierra. Este es un ejemplo muy poco preciso, ya que la tierra en s´ı misma, en un sentido amplio, es un cuerpo que cae. En todo momento tiene una aceleraci´on hacia el sol2 que la hace girar en torno a ´el en vez de moverse en l´ınea recta. Comoquiera que nuestros conocimientos de f´ısica se derivan de los experimentos hechos en la tierra, no podemos darnos por satisfechos con una teor´ıa en que se parte de que el observador no tiene aceleraci´on. La teor´ıa general de la relatividad elimina esta restricci´on y permite al observador moverse en cualquier sentido, recto o curvo, uniforme o acelerado. Al tratar de eliminar esta rectricci´on, Einstein se vio impelido a formular su nueva ley de la gravedad que vamos a estudiar ahora. El trabajo fue sumamente dif´ıcil y le ocup´o diez a˜ nos. La teor´ıa especial data de 1905, la general de 1915. Por las experiencias que a todos nos son familiares, es evidente que un movimiento acelerado es mucho m´as dif´ıcil de estudiar que un movimiento uniforme. Cuando se viaja en un tren que avanza a una velocidad fija y estable, el movimiento no se nota si no se mira por la ventana. Pero cuando frena, nos vemos lanzados de repente hacia adelante. Entonces nos damos cuenta de que algo est´a sucediendo, sin que advirtamos nada en el exterior. Entendemos por ((aceleraci´ on)) no s´ olo un aumento de velocidad sino cualquier cambio de velocidad o de direcci´ on. La u ´nica forma de movimiento llamado ((desacelerado)) es el movimiento con velocidad constante en una l´ınea recta 2

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De modo parecido, en un ascensor todo parece quieto cuando se mueve establemente, pero al arrancar y al parar, cuando su movimiento se acelera, se tienen extra˜ nas sensaciones en la boca del est´omago. (Llamamos “acelerado” a un movimiento cuando se va haciendo m´as lento o m´as r´apido; si se hace m´as lento, la aceleraci´on es negativa.) Lo mismo hay que aplicar a la ca´ıda de un peso en la cabina de un barco. Mientras el barco se mueva uniformemente, el peso se comportar´a en relaci´on a la cabina como si el barco estuviera en reposo: si parte de la mitad del techo, caer´a en medio del suelo. Pero todo cambia si hay aceleraci´on. Si el barco aumenta su velocidad muy r´apidamente, a un observador que se encuentre en la cabina, le parecer´a que el peso cae formando una curva en direcci´on a popa. Si la velocidad disminuye r´apidamente la curva se dirigir´a hacia proa. Todos estos hechos son conocidos y llevaron a Galileo y Newton a considerar un movimiento acelerado como algo radicalmente diferente, por su propia naturaleza, del movimiento uniforme. Pero esta distinci´on s´olo se pod´ıa mantener considerando al movimiento como algo absoluto, no relativo. Si todo movimiento es relativo, la tierra est´a acelerada en relaci´on al ascensor de la misma manera que el ascensor lo est´a en relaci´on a la tierra. Sin embargo, la gente que est´a en el suelo no tiene sensaciones cuando el ascensor arranca para subir. Esto ilustra la dificultad de nuestro problema. De hecho, aunque pocos f´ısicos de los tiempos modernos han cre´ıdo en el movimiento absoluto, la t´ecnica de la f´ısica matem´atica segu´ıa incorporando todav´ıa la creencia de Newton. Y era necesaria una revoluci´on en el m´etodo para obtener una t´ecnica libre de este supuesto. Esta revoluci´on tuvo su cumplimiento en la teor´ıa general de la relatividad de Einstein. Es un tanto optativo por d´onde hay que comenzar a explicar las nuevas ideas introducidas por Einstein. A nuestro modo de ver, quiz´a lo mejor sea empezar por el concepto de ((intervalo)). Esta concepci´on, tal cual aparece en la teor´ıa especial de la relatividad, es ya una divulgaci´on de la noci´on tradicional de distancia en espacio y tiempo. Pero es necesario divulgarla todav´ıa m´as. Con todo, es necesario explicar primero un poco de historia, y para ello debemos llegar hasta Pit´agoras. Pit´agoras, como los grandes personajes de la historia, quiz´a no existi´o nunca. Es un personaje semim´ıtico que combin´o las matem´aticas y las artes sacerdotales en proporciones desconocidas. No obstante, voy a suponer

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que existi´o y que descubri´o el teorema que se le atribuye. Fue contempor´aneo m´as o menos de Confucio y de Buda. Fund´o una secta religiosa, que cre´ıa inmoral comer jud´ıas, y una escuela de matem´aticas que pon´ıa particular inter´es en los tri´angulos rect´angulos. El teorema de Pit´agoras (la proposici´on 47 de Euclides) afirma que la suma de los cuadrados de los catetos de un tri´angulo rect´angulo es igual al cuadrado de la hipotenusa. Ninguna proposici´on ha tenido en la historia de las matem´aticas tanto ´exito como ´esta. Todos aprendimos a ((demostrarla)) en nuestra juventud. Cierto que la ((demostraci´on)) no probaba nada y que la u ´nica manera de probar algo es por medio del experimento. Se da tambi´en el caso de que la proposici´on no es totalmente cierta, es s´olo aproximadamente cierta. Pero en geometr´ıa y, por consiguiente en f´ısica, todo se ha derivado de ella mediante sucesivas explicaciones. La u ´ltima de ´estas es la teor´ıa general de la relatividad. El mismo teorema de Pit´agoras era, con toda probabilidad, una explicaci´on de una regla egipcia del dedo pulgar. Desde edades remotas se sab´ıa en Egipto que un tri´angulo cuyos lados son tres, cuatro y cinco unidades de longitud es un tri´angulo rect´angulo. Los egipcios empleaban este conocimiento pr´actico para medir sus campos. Si los lados de un tri´angulo miden tres, cuatro y cinco metros, los cuadrados de estos lados contendr´an respectivamente 9, 16 y 25 metros cuadrados, y 9 y 16 sumados hacen 25. Tres veces tres se escribe: 32 ; cuatro veces cuatro: 42 ; cinco veces cinco, 52 . As´ı, pues, tenemos: 32 + 42 = 52 Se supone que Pit´agoras advirti´o este hecho despu´es de haber aprendido de los egipcios que un tri´angulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 tienen un ´angulo recto. Se dio cuenta de que se pod´ıa generalizar y as´ı lleg´o a su famoso teorema: ((En un tri´angulo rect´angulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos)). Algo parecido sucede en tres dimensiones: si se toma un bloque s´olido rect´angulo, el cuadrado de la diagonal (la l´ınea punteada de la figura) es igual a la suma de los cuadrados de los tres lados. Hasta aqu´ı llegaron los antiguos en esta materia. El siguiente paso de importancia se debe a Descartes, que hizo del teore-

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ma de Pit´agoras la base de su m´etodo de geometr´ıa anal´ıtica. Supongamos que quieres situar sistem´aticamente todos los sitios en una llanura (debemos suponerla lo suficientemente peque˜ na para que nos haga posible el hecho de que la tierra es redonda). Podemos suponer que vives en medio de la llanura. Una de las formas m´as sencillas de describir la posici´on de un lugar es decir: partiendo de m´ı casa, hago primero tal distancia hacia el este, luego otra distancia hacia el norte (puede ser el oeste en el primer caso, y el sur en el segundo). Ello te dice exactamente d´onde est´a situado el lugar. En las ciudades rectangulares de Am´erica es el m´etodo natural adoptado: en Nueva York te dir´an que camines tantas manzanas al este (o al oeste) y luego otras tantas al norte. La distancia que tienes que recorrer hacia el este se llama X y la distancia que has de recorrer hacia el norte Y . (Si tienes que ir hacia el oeste, X es negativa, si has de ir al sur, Y es negativa.) Supongamos que O es tu punto de partida (el ((origen))); que OM es la distancia que recorres hacia el este, y M P la distancia recorrida hacia el norte. ¿A qu´e distancia est´as de tu casa, en l´ınea recta, cuando llegas a P ? El teorema de Pit´agoras da la soluci´on. El cuadrado de OP es la suma de los cuadrados de OM y M P . Si OM tiene una longitud de cuatro kil´ometros y M P de tres, OP tiene cinco. Si OM tiene doce kil´ometros y M P cinco, OP tendr´a trece, porque 122 + 52 = 132 . Pero si aceptas el m´etodo de Descartes, para localizar un punto es esencial el teorema de Pit´agoras, ya que te da la distancia entre lugar y lugar. Lo mismo sucede exactamente en tres dimensiones. Imaginemos que en lugar de querer fijar simplemente las posiciones en una llanura, queremos fijar las posiciones de globos cautivos que est´an en-

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cima de ella. Entonces habr´a que a˜ nadir una tercera dimensi´on: la altura a que se halla situado el globo. Si llamamos altura a z, y r es la distancia directa desde O al globo, tendremos: r2 = x2 + y 2 + z 2 por ello podemos calcular r cuando x, y y z son conocidos. Por ejemplo, si podemos alcanzar el globo caminando doce kil´ometros al este, cuatro al norte y luego tres hacia arriba, la distancia del globo en l´ınea recta es de trece kil´ometros, puesto que 12 × 12 = 144

4 × 4 = 16

3×3=9

144 + 16 + 9 = 169 = 13 × 13 Supongamos ahora que en lugar de tomar un peque˜ no trozo de la superficie de la tierra, que se puede considerar como plana, queremos hacer un mapa del mundo. Un mapa exacto del mundo sobre una superficie plana de papel es imposible. Un globo puede ser m´as exacto en el sentido de que todo se realiza a escala, pero en un mapa plano no puede ser. No hablo de las dificultades pr´acticas, estoy hablando de imposibilidad te´orica. Por ejemplo: las mitades norte del meridiano de Greenwich y del meridiano 90 de longitud oeste, forman un tri´angulo con el segmento del ecuador que est´a comprendido entre ellos; los lados de este tri´angulo son iguales y sus ´angulos rectos. En una superficie plana un tri´angulo de esta especie ser´ıa imposible. Por otro lado, es posible hacer un cuadrado en una superficie plana, pero en una esfera es imposible. Supongamos que tratas de hacerlo en la tierra: caminas cien kil´ometros al oeste, luego otros cien al norte, despu´es cien kil´ometros al

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este, y finalmente cien kil´ometros al sur. Se podr´ıa creer que esto formar´ıa un cuadrado, pero no es as´ı, ya que al final no habr´ıas vuelto a tu punto de partida. Si tienes tiempo puedes convencerte por ti mismo el experimento. Si no lo tienes, puedes comprender f´acilmente que debe ser as´ı. Cuando est´as m´as cerca del polo los cien kil´ometros son m´as largos que cuando est´as cerca del ecuador, del mismo modo que al recorrer cien kil´ometros hacia el este (si est´as en el hemisferio norte) llegas a un punto m´as al este de aquel de donde partiste. Si luego te diriges en l´ınea recta hacia el sur, te mantienes m´as al este que tu punto de partida, y terminar´as en un punto distinto de aquel de donde comenzaste. Supongamos, para poner otro ejemplo, que sales del ecuador, a 6.000 kil´ometros al este del meridiano de Greenwich; caminas hasta dicho meridiano y luego subes hacia el norte otros 6.000 kil´ometros siguiendo la l´ınea del meridiano, desde Greenwich hasta las inmediaciones de las islas Shetland; luego vas 6.000 kil´ometros en direcci´on este y finalmente otros 6.000 en direcci´on sur. El viaje terminar´a en el ecuador a unos 6.000 kil´ometros al este m´as all´a del punto de partida. En cierto sentido, lo que acabamos de decir no es totalmente exacto, ya que, si exceptuamos en el ecuador, la l´ınea recta en direcci´on este no es el camino m´as corto de un lugar a otro. Un barco que navegara de Nueva York a Lisboa, que se encuentra casi en direcci´on este, comenzar´a por desplazarse cierta distancia hacia el norte. Navegar´a en un ((gran c´ırculo)), es decir, en un c´ırculo cuyo centro es el centro de la tierra. Es ´esta la aproximaci´on m´as cercana a una l´ınea recta que se puede trazar en la superficie de la tierra. Los meridianos de longitud son grandes c´ırculos, y as´ı es el ecuador, pero no los dem´as paralelos de latitud. Deber´ıamos, pues, haber supuesto que al llegar a las islas Shetland, t´ u caminabas 6.000 millas, no en direcci´on este, sino a lo largo de un gran c´ırculo, que te dejar´ıa en un punto situado al este de las islas Shetland. Sin embargo, ello no hace m´as que reforzar nuestra conclusi´on: terminar´as en un punto incluso m´as al este de tu punto de partida anterior. ¿Cu´ales son las diferencias entre la geometr´ıa de una esfera y la geometr´ıa de un plano? Si se forma un tri´angulo en la tierra cuyos lados sean grandes circunferencias, no se comprobar´a que los ´angulos del tri´angulo equivalen a dos ´angulos rectos: equivaldr´an a bastante m´as. La medida en que exceden a los dos ´angulos rectos es proporcional al tama˜ no del tri´angulo. En un

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peque˜ no tri´angulo como el que podr´ıas trazar con cuerdas en el campo, o incluso en el tri´angulo formado por tres buques que apenas pueden verse mutuamente, los ´angulos equivaldr´an a tan poco m´as de dos ´angulos rectos que no ser´as capaz de descubrir la diferencia. Pero si formas un tri´angulo hecho por el ecuador, el meridiano de Greenwich y el meridiano 90, los ´angulos equivaldr´an a tres ´angulos rectos. Y puedes obtener tri´angulos cuyos ´angulos sumen algo m´as de seis ´angulos rectos. Todo esto se podr´ıa descubrir tomando las medidas de la superficie de la tierra, sin tener en cuenta para nada el resto del espacio. El teorema de Pit´agoras fallar´a tambi´en para las distancias de una esfera. Desde el punto de vista de un viajero en la superficie de la tierra, la distancia entre dos lugares es su gran distancia circular, es decir, el viaje m´as corto que un hombre puede hacer sin dejar la superficie de la tierra. Supongamos ahora que tomamos tres trozos de grandes circunferencias que forman un tri´angulo. Y supongamos que uno de ellos forma ´angulos rectos con el otro. Para ser todav´ıa m´as concretos, supongamos que uno es el ecuador y el otro un trozo del meridiano de Greenwich que va del ecuador hacia el norte. Supongamos que recorremos 3.000 kil´ometros sobre la l´ınea del ecuador y luego 4.000 kil´ometros en direcci´on norte. ¿A qu´e distancia nos hallaremos del punto de partida, estimando la distancia, a lo largo de una gran circunferencia? Si estuvi´eramos en un plano, la distancia ser´ıa de 5.000 kil´ometros, como vimos antes. En realidad, sin embargo, la distancia en circunferencia ser´a considerablemente menor. En un tri´angulo rect´angulo de una esfera, el cuadrado del lado opuesto al ´angulo recto es menor que la suma de los cuadrados de los catetos. Estas diferencias entre la geometr´ıa de una esfera y la geometr´ıa de un plano son diferencias intr´ınsecas. Te permiten hallar si la superficie en que vives es un plano o una esfera, sin tener en cuenta nada de lo que est´a fuera de la superficie. Tales consideraciones llevaron al siguiente paso importante en nuestro tema. Lo dio Gauss, quien descoll´o hace ciento cincuenta a˜ nos. Estudi´o la teor´ıa de las superficies y ense˜ n´o la manera de desarrollarla por medio de medidas sobre las superficies mismas, sin salir de ellas. Para fijar la posici´on de un punto en el espacio, necesitamos tres medidas. Pero para fijar la posici´on en una superficie s´olo necesitamos dos: por ejemplo, la situaci´on de un punto sobre la superficie de la tierra queda establecida cuando sabemos

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su latitud y su longitud. Ahora bien, Gauss comprob´o que cualquiera que sea el sistema de medida que se adopte y cualquiera que sea la naturaleza de la superficie, siempre hay un medio de calcular la distancia entre dos puntos no muy distantes de la superficie, si se conocen las dimensiones que fijan su situaci´on. La f´ormula para la distancia es una generalizaci´on de la f´ormula de Pit´agoras: da el cuadrado de la distancia en funci´on de los cuadrados de las diferencias entre las dimensiones medidas que fijan los puntos y tambi´en el producto de estas dos dimensiones. Cuando se sabe esta f´ormula se pueden descubrir todas las propiedades intr´ınsecas de la superficie, es decir, todas las que no dependen de sus relaciones con los puntos exteriores de la superficie. Se puede descubrir, por ejemplo, si los ´angulos de un tri´angulo equivalen a dos ´angulos rectos, o m´as o menos, o m´as en unos casos y menos en otros. Pero cuando hablamos de un ((tri´angulo)) hemos de explicar lo que entendemos por tal, ya que en la mayor´ıa de las superficies no hay l´ıneas rectas. En una esfera tendremos que sustituir las l´ıneas rectas por grandes circunferencias que se acercan lo m´as posible a las l´ıneas rectas. En general, en lugar de l´ıneas rectas, pondremos aquellas l´ıneas que dan una vuelta m´as corta a la superficie de un lugar a otro. Tales l´ıneas se llaman ((geod´esicas)). En la tierra las geod´esicas son grandes circunferencias. Hablando en general, son el medio m´as corto de viajar de un punto a otro si no se puede dejar la superficie. Toman el lugar de las l´ıneas rectas en la geometr´ıa intr´ınseca de una superficie. Cuando nos preguntamos si los ´angulos de un tri´angulo equivalen a dos rectos o no, hablamos de un tri´angulo cuyos lados son geod´esicos. Y cuando hablamos de la distancia entre dos puntos, entendemos la distancia en una geod´esica. El siguiente paso en nuestro proceso generalizador es bastante dif´ıcil: es la transici´on a la geometr´ıa no euclidiana. Vivimos en un mundo en que el espacio tiene tres dimensiones. Y nuestro conocimiento emp´ırico del espacio est´a basado en la medida de las peque˜ nas distancias y de los ´angulos. (Al hablar de peque˜ nas distancias entiendo que ´estas son peque˜ nas en comparaci´on con las astron´omicas; en este sentido todas las distancias de la tierra son peque˜ nas.) Antes se cre´ıa que a priori se pod´ıa dar por sentado que el espacio era euclidiano; por ejemplo, que los ´angulos de un tri´angulo equivalen

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a dos rectos. Pero se lleg´o a reconocer que no lo pod´ıamos probar por razonamiento. Si se llegaba a saber, se sabr´ıa como consecuencia de las medidas. Antes de Einstein, se cre´ıa que las medidas confirmaban la geometr´ıa euclidiana dentro de los l´ımites de exactitud alcanzable. Actualmente ya no se piensa lo mismo. Sigue siendo cierto que, por medio de lo que podr´ıamos llamar un artificio natural, podemos hacer que la geometr´ıa euclidiana parezca cierta en una peque˜ na regi´on como la tierra. Pero al explicar la gravitaci´on Einstein se vio obligado a pensar que en extensas regiones donde no existe materia, no podemos considerar el espacio como euclidiano. Vamos a ocuparnos m´as adelante de las razones de este hecho. Lo que ahora nos interesa es la direcci´on que adopta la geometr´ıa no euclidiana desde la difusi´on de la obra de Gauss. No hay raz´on por la que en el espacio tridimensional no deban darse las mismas circunstancias que conocemos, por ejemplo, en la superficie de una esfera. Pudiera suceder que los ´angulos de un tri´angulo equivaliesen siempre a m´as de dos rectos y que el exceso fuese proporcional al tama˜ no del tri´angulo. Quiz´a tambi´en la distancia entre dos puntos nos fuera dada por una f´ormula an´aloga a la que aplicamos a la superficie de la esfera, pero comprendiendo las tres dimensiones en vez de las dos. Si esto sucede o no en realidad, s´olo podemos comprobarlo por medidas reales. Existe un n´ umero infinito de tales posibilidades. Este tipo de argumentaci´on fue empleado por Riemann en su disertaci´on ((Sobre las hip´otesis que sirven de base a la geometr´ıa)) (1854). En ella aplic´o los trabajos de Gauss sobre las superficies a los diferentes tipos de espacios tridimensionales. Demostr´o que todas las caracter´ısticas esenciales de un tipo de espacio podr´ıan deducirse de la f´ormula aplicable a las peque˜ nas distancias. Partiendo de peque˜ nas distancias en tres direcciones determinadas que podr´ıan llevar de un punto a otro no lejos del mismo, supuso que se pod´ıan calcular las distancias entre los dos puntos. Si sabemos, por ejemplo, que se puede llegar de un punto a otro recorriendo primero cierta distancia hacia el este, luego hacia el norte y finalmente otra determinada distancia subiendo perpendicularmente desde el suelo, se puede calcular la distancia de un punto a otro. Y la regla para el c´alculo ser´a una ampliaci´on del teorema de Pit´agoras, en el sentido de que se llega al cuadrado de la distancia a˜ nadiendo los m´ ultiplos de los cuadrados de las distancias inte-

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grantes, juntamente con los posibles m´ ultiplos de sus productos. Por ciertas caracter´ısticas de la f´ormula se puede expresar la clase de espacio que hay que tratar. Tales caracter´ısticas no dependen del m´etodo particular que se haya adoptado para determinar las posiciones de los puntos. Para llegar a lo que nos proponemos en la teor´ıa de la relatividad, es necesario hacer todav´ıa otra generalizaci´on: hemos de sustituir el ((intervalo)) entre sucesos por la distancia entre puntos. Ello nos lleva al espacio-tiempo. Ya hemos visto que en la teor´ıa especial de la relatividad el cuadrado de un intervalo se halla restando el cuadrado de la distancia entre sucesos del cuadrado de la distancia que la luz recorrer´ıa en el tiempo que pasa entre un suceso y otro. En la teor´ıa general no suponemos esta forma especial de intervalo. Preferimos comenzar con una forma general, como la que Riemann usaba para las distancias. Adem´as, Einstein, como Riemann, s´olo aplica su f´ormula para los hechos que nos rodean, es decir, sucesos o hechos que s´olo tienen un peque˜ no intervalo entre s´ı. Lo que excede estas suposiciones iniciales depende de la observaci´on del movimiento real de los cuerpos, en sentidos que explicaremos en cap´ıtulos siguientes. Podemos resumir ahora y reafirmar el proceso que venimos describiendo. La posici´on de un punto, en tres dimensiones, en relaci´on a un punto fijo (el ((origen))), se puede determinar asignando tres dimensiones (((coordenadas))). La posici´on, por ejemplo, de un globo en relaci´on a tu casa se puede fijar si sabes que llegar´as a ella caminando primero una determinada distancia en direcci´on este, luego otra hacia el norte, y finalmente en l´ınea recta hacia arriba. Cuando, como en este caso, las tres coordenadas son tres distancias y las tres est´an en ´angulo recto unas con otras, las cuales, tomadas sucesivamente, te llevan desde el punto de origen al punto en cuesti´on, entonces el cuadrado de la distancia en l´ınea recta al punto en cuesti´on se halla sumando los cuadrados de las tres coordenadas. En cualquier caso, sean o no los espacios euclidianos, se halla sumando los m´ ultiplos de los cuadrados y los productos de las coordenadas seg´ un una regla determinada. Las coordenadas pueden ser cualquier dimensi´on que fije la posici´on de un punto, con tal que los puntos pr´oximos tengan dimensiones aproximadas para sus coordenadas. En la teor´ıa general de la relatividad, a˜ nadimos una cuarta coordenada para dar el tiempo. Y nuestra f´ormula da el ((intervalo)) en lugar de la distancia espacial. Adem´as, suponemos solamente la exactitud de

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nuestra f´ormula para las peque˜ nas distancias. Ahora ya estamos en disposici´on de abordar la teor´ıa de la gravitaci´on de Einstein.

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La ley de gravitaci´ on de Einstein Antes de abordar la nueva ley de Einstein, ser´a necesario que nos con-

venzamos a nosotros mismos de que la ley de la gravitaci´on de Newton no puede ser totalmente cierta. Newton afirm´o que entre dos part´ıculas cualesquiera de materia hay una fuerza que es proporcional producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Es decir, dejando a un lado de momento la cuesti´on de la masa, si hay cierta atracci´on cuando las part´ıculas est´an separadas un kil´ometro, habr´a un cuarto a lo m´as de atracci´on cuando est´en separadas dos kil´ometros, un noveno cuando est´en separadas tres kil´ometros, y as´ı sucesivamente: la atracci´on disminuye tanto m´as r´apidamente cuanto m´as aumenta la distancia. Ahora bien, Newton al hablar de la distancia, la entend´ıa en un momento dado: pensaba que no pod´ıa haber ambig¨ uedad sobre el tiempo. Pero acabamos de ver que estaba en un error. Lo que un observador juzga que es el mismo tiempo en la tierra que en el sol, otro juzgar´a que son dos momentos diferentes. ((La distancia en un tiempo dado)) es pues, una concepci´on subjetiva que apenas si puede entrar en una ley c´osmica. Por supuesto, podr´ıamos hacer ambigua nuestra ley diciendo que vamos a estimar los tiempos seg´ un la valoraci´on del observatorio de Greenwich. Pero apenas podemos creer que las circunstancias accidentales de la tierra permiten que se las tome tan seriamente. No podemos, pues, conceder que la forma newtoniana de la ley de gravitaci´on pueda ser totalmente correcta. Dar´a diferentes resultados seg´ un los muchos convencionalismos que adoptemos ante ella, todos igualmente leg´ıtimos. Ello ser´ıa tan absurdo como discutir si el que un hombre ha matado a otro ha de depender de si hay que describirlos por su nombre o por sus apellidos. Es evidente que las leyes f´ısicas han de ser las mismas, sea que las distancias se midan en millas o en kil´ometros. Y a nosotros s´olo nos interesa lo que es una extensi´on esencial del mismo principio. Nuestras medidas son convencionales incluso en una amplitud mayor de lo que se admite por la teor´ıa especial de la relatividad. Adem´as, cada medida es un proceso f´ısico realizado con material f´ısico. El resultado es ciertamente un dato experimental, pero bien puede no ser susceptible de la simple interpretaci´on que com´ unmente le atribuimos. Para empezar, no

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vamos, pues, a suponer que sabemos medir algo. Suponemos que existe cierta dimensi´on f´ısica llamada “intervalo”, que es una relaci´on entre dos hechos que no est´an muy separados. Pero no suponemos de antemano que sabemos medirlo, antes de dar por supuesto que nos viene dado por una aplicaci´on del teorema de Pit´agoras, tal como explicamos en el cap´ıtulo anterior. Suponemos, sin embargo, que los hechos tienen un orden, y que este orden es cuatridimensional. Suponemos, es decir, afirmamos que sabemos lo que entendemos al decir que cierto suceso est´a m´as pr´oximo a otro que a un tercero, de manera que antes de tomar medidas exactas podemos hablar de la ((proximidad)) o vecindad de un hecho. Y suponemos que, para asignar la posici´on de un hecho en el espacio-tiempo, son necesarias cuatro dimensiones (coordenadas) —por ejemplo, en nuestro anterior caso de una explosi´on en una aeronave: latitud, longitud, altitud y tiempo—. Pero no suponemos nada respecto al modo de asignaci´on de estas coordenadas, excepto que las coordenadas pr´oximas se asignan a hechos pr´oximos. La forma en que estos n´ umeros, llamados coordenadas, hayan de asignarse no es totalmente arbitraria ni tampoco el resultado de una medida exacta; est´a en una regi´on intermedia. Mientras est´as haciendo un trabajo continuo, tus coordenadas no deben alterarse nunca por saltos repentinos. En Am´erica, por ejemplo, encontramos que las casas entre la calle 14 y la calle 15, han de tener probablemente los n´ umeros entre 1.400 y 1.500. En cambio, las casas de las calles 15 y 16 tienen los n´ umeros entre 1.500 y 1.600, aun cuando no se hayan usado los correspondientes a 1.400. Esto no servir´ıa a nuestros fines, ya que existe un salto repentino al pasar de un bloque al siguiente. O podr´ıamos tambi´en asignar la coordenada-tiempo de la manera siguiente: tomar el tiempo que transcurre entre el nacimiento sucesivo de dos personas llamadas Smith. Un hecho ocurrido entre los nacimientos 3.000 y 3.001 de los conocidos en la historia como Smith tendr´a una coordenada situada entre 3.000 y 3.001. La parte fraccional de su coordenada ser´a la fracci´on de un a˜ no que ha pasado desde el nacimiento del Smith 3.000. (Obviamente, nunca habr´ıa m´as de un a˜ no entre dos adiciones sucesivas a la familia Smith.) Esta manera de asignar la coordenada-tiempo es perfectamente definida, pero no es admisible para nuestros prop´ositos, ya que habr´ıa saltos repentinos entre unos hechos inmediatamente anteriores al nacimiento de Smith y otros posteriores. En un trayecto continuo tu coordenada-tiempo no puede cambiar

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continuamente. Se supone que, independientemente de la medida, sabemos lo que es un trayecto continuo. Y cuando nuestra posici´on en espacio-tiempo cambia continuamente, cada una de tus cuatro coordenadas ha de cambiar tambi´en continuamente. Una, dos o tres de ellas pueden quiz´a no cambiar. Pero si ocurre alg´ un cambio ha de ser suave, sin ning´ un salto repentino. Esto explica que no sea admisible en la asignaci´on de coordenadas. Para explicar todos esos cambios, que son leg´ıtimos en tus coordenadas, imag´ınate que tomas en tus manos una pieza grande de goma suave y el´astica. Antes de extenderla, div´ıdela en peque˜ nos cuadrados, cada uno de ellos de cuatro mil´ımetros por cada lado. Pon peque˜ nos alfileres en las esquinas de los cuadrados. Podemos tomar como dos de las coordenadas de uno de estos alfileres la serie de los mismos que hemos de atravesar yendo hacia nuestra derecha. Para ello partiremos desde un determinado alfiler hasta llegar exactamente debajo del alfiler en cuesti´on. Y despu´es pasamos la serie de alfileres en direcci´on al alfiler de arriba. Supongamos que en la figura, O es el alfiler de que partimos y P el alfiler al que vamos a asignar las coordenadas. P est´a en la quinta columna y en la tercera fila, por eso sus coordenadas en el plano de goma el´astica han de ser 5 y 3. Toma ahora la goma y est´ırala y d´oblala cuanto quieras. Haz que los

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alfileres est´en en la forma que tienen en la segunda figura. Ahora las divisiones ya no representan distancias seg´ un nuestras nociones usuales, pero seguir´an funcionando como coordenadas. Podemos, pues, tomar P que tiene las coordenadas 5 y 3 en el plano de la goma el´astica. Y podemos seguir considerando la goma como si fuera un plano, a pesar de haberla doblado de forma distinta a lo que normalmente llamamos un plano. Tales distorsiones continuas no importan. Pongamos otro ejemplo: en vez de usar una varilla de acero para fijar nuestras coordenadas, sirv´amonos de una anguila viva que est´e coleando todo el tiempo. La distancia de la cola a la cabeza de la anguila se ha de contar como 1 desde el punto de vista de las coordenadas, cualquiera que sea la forma que el bicho pueda tomar en ese momento. La anguila es continua y sus coletazos son continuos, de tal forma que se pueden tomar como unidad de distancia al asignar las coordenadas. Adem´as del requisito de continuidad, el m´etodo de asignaci´on de coordenadas es puramente convencional. Por lo mismo, una anguila viva es tan v´alida como una varilla de acero. Somos propensos a pensar que para unas medidas realmente exactas, es mejor usar una varilla de acero que una anguila viva. Es un error. Y no porque la anguila nos diga lo que pens´abamos que nos habr´ıa de decir la varilla, sino porque ´esta no dice realmente m´as de lo que dice la anguila. El problema es que no son las anguilas las que est´an r´ıgidas, sino que las que colean son las varillas de acero. A un observador que se hallase en una posible situaci´on de movimiento, la anguila le parecer´ıa r´ıgida, mientras que la varilla de acero le parecer´ıa ondularse, lo mismo que nos parece a nosotros la anguila. Para todo el que se mueva de manera diferente tanto de nosotros como de este observador, la anguila y la varilla le parecer´an ondularse. Y no se puede decir que un observador est´e en lo cierto y el otro equivocado. En tales materias lo que se ve no s´olo pertenece al proceso f´ısico observado, sino tambi´en al punto de vista del observador. Las medidas de distancia y tiempo no revelan directamente las propiedades de las cosas medidas, sino las relaciones de las cosas con quien las mide. Cualquier observaci´on que nos pueda hacer sobre el mundo f´ısico es, por tanto, m´as abstracta de lo que hemos cre´ıdo hasta aqu´ı. Es importante comprender que la geometr´ıa, tal como se ense˜ naba en

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las escuelas desde los tiempos de la antigua Grecia, deja de existir como ciencia separada y se sumerge en la f´ısica. Las dos nociones fundamentales de geometr´ıa elemental eran la l´ınea recta y el c´ırculo. Lo que a ti te parece un camino recto, cuyas partes existen todas simult´aneamente, a otro observador le pueden parecer como el vuelo de un cohete, una especie de curva, cuyas partes comienzan a existir sucesivamente. El c´ırculo depende de la medida de las distancias, ya que consta de todos los puntos a una distancia dada de su centro. La medida de las distancias, como hemos visto, es un asunto subjetivo, que depende de la forma en que se mueva el observador. El fracaso del c´ırculo para una validez objetiva qued´o demostrado por el experimento de Michelson-Morley, constituyendo, en cierto sentido, el punto de partida de toda la teor´ıa de la relatividad. Los cuerpos r´ıgidos que necesitamos para medir son solamente r´ıgidos para ciertos observadores. Para otros estar´an cambiando constantemente en todas sus dimensiones. Es s´olo nuestra imaginaci´on, atada obstinadamente a la tierra, la que nos hace suponer la posibilidad de una geometr´ıa separada de la f´ısica. ´ Esta es la raz´on por la que no nos preocupa dar desde el principio significaci´on f´ısica a nuestras coordenadas. Antes se supon´ıa que las coordenadas empleadas en f´ısica hab´ıan de ser distancias cuidadosamente medidas. Ahora nos damos cuenta que esta preocupaci´on ha sido eliminada desde el comienzo. La preocupaci´on o cuidado se requiere en un estadio ulterior. Ahora nuestras coordenadas apenas si son m´as que una forma sistem´atica de catalogar hechos. Pero las matem´aticas proporcionan, con el m´etodo de los tensores, una t´ecnica tan inmensamente poderosa, que podemos usar coordenadas asignadas en esta forma aparentemente descuidada. Y tan efectiva como si aplic´aramos todo el aparato de medidas de precisi´on al llegar a ellas. La ventaja de ir un poco al azar al comienzo es que evitamos hacer presupuestos f´ısicos subrepticios, cosa que apenas podemos dejar de hacer si suponemos que nuestras coordenadas tienen una significaci´on f´ısica particular. No podemos tratar de seguir ignorando todos los fen´omenos f´ısicos observados. Conocemos algunas cosas. Sabemos que la antigua f´ısica newtoniana es casi exacta cuando nuestras coordenadas han sido elegidas en determinado sentido. Sabemos que la teor´ıa de la relatividad es casi m´as exacta todav´ıa en coordenadas buscadas a prop´osito. De tales hechos podemos deducir cier-

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tas cosas sobre las coordenadas, que en una deducci´on l´ogica aparecen como postulados de la nueva teor´ıa. Como tales postulados consideramos los siguientes: 1. El intervalo entre dos acontecimientos pr´oximos adopta una forma general, como la empleada por Riemann para las distancias. 2. Todo cuerpo avanza en una geod´esica del espacio-tiempo, excepto cuando act´ uan sobre ´el fuerzas no gravitacionales. 3. Un rayo-luz se desplaza en una geod´esica en la cual el intervalo entre dos de sus partes cualesquiera es cero. Cada uno de estos postulados requiere cierta explicaci´on. Nuestro primer postulado exige que si dos acontecimientos est´an unidos entre s´ı (pero por otra parte no necesariamente), hay un intervalo entre ellos, que se puede calcular por las diferencias entre sus coordenadas. Para ello se puede emplear cualquiera de las f´ormulas estudiadas en el cap´ıtulo precedente. Es decir, tomamos los cuadrados y productos de las diferencias de las coordenadas, las multiplicamos por cantidades convenientes (que en general variar´an de lugar a lugar) y sumaremos los resultados. La suma obtenida es el cuadrado del intervalo. No se supone de antemano que conocemos las cantidades por las que han de multiplicarse los cuadrados y los productos. Habr´a que ir descubri´endolo por la observaci´on de los fen´omenos f´ısicos. Pero sabemos, porque las matem´aticas de Riemann demuestran que es as´ı, que en cualquier peque˜ na regi´on de espacio-tiempo podemos elegir las coordenadas. Vemos, pues, que el intervalo tiene casi exactamente la forma especial que ya encontramos en la teor´ıa especial de la relatividad. No es necesario para la aplicaci´on de la teor´ıa especial a una regi´on limitada que no haya gravitaci´on en ella. Es suficiente que la intensidad de la gravitaci´on sea pr´acticamente la misma a trav´es de la regi´on. Ello nos permite aplicar la teor´ıa especial en cualquier peque˜ na regi´on. La peque˜ nez que haya de tener depende de la proximidad. En la superficie de la tierra tendr´ıa que ser lo suficientemente peque˜ na como para poder pasar por alto la curvatura de la tierra. En los espacios interplanetarios s´olo necesita ser lo bastante peque˜ na como para que la atracci´on del sol y de los planetas sea sensiblemente constante a trav´es de

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la regi´on. En los espacios entre las estrellas deber´ıa ser enorme —por ejemplo, la mitad de la distancia de una estrella a la pr´oxima— sin introducir inexactitudes mensurables. As´ı, a gran distancia del tema de la gravitaci´on, podemos elegir nuestras coordenadas, obteniendo casi un espacio euclidiano. Es s´olo otra manera de decir que se cumple la teor´ıa especial de la relatividad. En las inmediaciones de la materia, si bien podemos hacer nuestro espacio muy semejante al euclidiano en una regi´on muy peque˜ na, no lo podemos hacer a trav´es de una regi´on en la que la gravitaci´on var´ıa sensiblemente. Y de hacerlo tendremos que abandonar la idea expresada en el segundo postulado, a saber, que los cuerpos que se mueven bajo fuerzas gravitacionales s´olo se mueven en geod´esicas. Ya vimos que una geod´esica en la superficie es la l´ınea m´as corta que se puede trazar en la superficie desde un punto a otro. En la tierra, por ejemplo, las geod´esicas, son los grandes c´ırculos. Cuando llegamos al espacio-tiempo, las matem´aticas son las mismas, pero las explicaciones verbales tienen que ser bastante diferentes. En la teor´ıa general de la relatividad, u ´nicamente los hechos pr´oximos tienen un intervalo definido, independientemente de la ruta por que caminemos de uno a otro. El intervalo entre sucesos distantes depende de la ruta seguida. Y se ha de calcular dividiendo la ruta en una serie de peque˜ nas partes y sumando los intervalos para las diversas peque˜ nas partes. Si el intervalo es espacial, un cuerpo no puede trasladarse de un suceso a otro. Por tanto, cuando estudiamos el sentido del movimiento de los cuerpos, nos limitamos a los intervalos temporales. Cuando el intervalo entre hechos pr´oximos es temporal, aparecer´a a un observador que se desplaza de un suceso a otro como el tiempo que media entre ellos. Y por eso el intervalo completo entre dos sucesos ser´a juzgado por una persona que se desplaza de uno a otro como lo que su reloj muestra que es: el tiempo empleado en el trayecto. En ciertas rutas este tiempo ser´a m´as largo, en otras m´as corto. Cuanto m´as despacio camine nuestro hombre, m´as creer´a que ha tardado en el trayecto. Esto no debe tomarse como una perogrullada. No afirmo que si vas de Londres a Edimburgo tardar´as m´as si viajas m´as despacio, sino algo mucho m´as singular. Digo que si sales de Londres a las diez de la ma˜ nana y llegas a Edimburgo a las seis y media de la tarde, seg´ un la hora de Greenwich, cuanto m´as despacio vayas m´as tardar´as —si cuentas el tiempo

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´ con tu reloj—. Esta es una afirmaci´on muy diferente. Desde el punto de vista de una persona que se encuentra en la tierra, tu viaje dura ocho horas y media. Pero si hubieras sido un rayo de luz que se desplaza alrededor del sistema solar, partiendo de Londres a las diez de la ma˜ nana, reflejado de J´ upiter a Saturno, de ´este a otro, hasta que por fin hubieras sido reflejado de vuelta a Edimburgo y hubieras llegado all´ı a las seis y media de la tarde, pensar´ıas que el trayecto no te hab´ıa llevado tiempo alguno. Y si hubieras ido por una ruta circular que te perrnitiera llegar a esta hora viajando m´as r´apidamente, juzgar´ıas que cuanto m´as larga hubiera sido la ruta menos tiempo hab´ıas tardado. La disminuci´on del tiempo hubiera sido continua a medida que tu velocidad se aproximara a la de la luz. Lo que afirmo ahora es que cuando un cuerpo se desplaza, si se abandona a s´ı mismo, elige la ruta m´as larga posible entre dos puntos del trayecto. De haber ido de un suceso a otro por cualquier otra ruta, el tiempo, puesto que se med´ıa por sus propios relojes, hubiera sido m´as corto. Es una manera de decir que los cuerpos abandonados a s´ı mismos hacen su camino tan lentamente como pueden. Es una especie de ley de la pereza c´osmica. Su expresi´on matem´atica es que se desplazan en geod´esicas; en ellos el intervalo total entre dos hechos cualesquiera del trayecto es mayor que por cualquiera otra ruta. (El hecho de que sea mayor y no menor se debe a que la clase de intervalo que estamos considerando se parece m´as al tiempo que a la distancia.) Si una persona, por ejemplo, dejara la tierra y caminara a su alrededor volviendo despu´es a su punto de origen, el tiempo entre su partida y su vuelta ser´ıa menor por su reloj que por los de la tierra: la tierra en su trayecto alrededor del sol elige la ruta que, seg´ un los relojes terrestres, emplea m´as tiempo en cualquiera de los tramos de su recorrido, que el tiempo juzgado por los relojes que se mueven en una ´orbita diferente. Esto es lo que quiero decir al afirmar que los cuerpos abandonados a s´ı mismos se mueven en geod´esicas de espacio-tiempo. Es importante recordar que no se supone que el espacio-tiempo sea euclidiano. Por lo que respecta a las geod´esicas, hace el efecto de que el espaciotiempo es como un paisaje monta˜ noso. En la proximidad de una pieza de materia hay, como si dij´eramos, una monta˜ na en espacio-tiempo, que se hace m´as pendiente a medida que se acerca a la cumbre, en forma de cuello de botella y termina en un precipicio escarpado. Ahora bien, por la ley de la pereza c´osmica que mencionamos arriba, un cuerpo que entra en las proximidades

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de la monta˜ na no intentar´a ir derecho a la cima, sino que lo har´a dando la ´ vuelta. Esta es en esencia la idea de Einstein sobre la gravitaci´on. Lo que hace un cuerpo, lo hace en definitiva a causa de la naturaleza del espaciotiempo en su proximidad, no por cierta fuerza misteriosa que emana de un cuerpo distante. Vamos a servirnos de una analog´ıa para aclarar este punto. Supongamos que en una noche oscura cierto n´ umero de hombres provistos de antorchas camina en varias direcciones a trav´es de una extensa llanura. En una parte de la llanura hay una monta˜ na con un faro resplandeciente en la cima. Nuestra monta˜ na es como la que hemos descrito, cada vez m´as pendiente y termina en un precipicio. Supondremos tambi´en que existen varias aldeas dispersas en la llanura y que los hombres con las antorchas van de una a otra. Se han hecho sendas que muestran el camino m´as f´acil de una a otra aldea; ´estas ser´an m´as o menos curvas para evitar alejarse demasiado de la monta˜ na. Dichas curvas ser´an m´as pronunciadas al pasar junto a la cima de la monta˜ na que cuando est´an en un camino alejado de ella. Supongamos ahora que observas todo esto lo mejor que puedes desde un sitio alto en un globo, de forma que no puedes ver el suelo pero s´ı las antorchas y el faro. No sabes que hay una monta˜ na, ni que el faro est´a en la cumbre de la misma. Ves que la gente cambia su curso recto al acercarse al faro, y que cuanto m´as cerca est´an de ´el m´as se desv´ıan. Es posible que lo atribuyas a un efecto del faro. Puedes pensar que la gente tiene mucho calor o que tiene miedo a quemarse. Pero si esperas a que amanezca ver´as la monta˜ na y comprobar´as que el faro marca simplemente la cumbre de la monta˜ na y no influye en ning´ un sentido en quienes llevan las antorchas. Ahora bien, en esta analog´ıa el faro corresponde al sol, la gente con antorchas corresponde a los planetas, las sendas a sus ´orbitas y el amanecer a Einstein. Einstein dice que el sol est´a en la cumbre de una monta˜ na, y que la monta˜ na est´a en el espacio-tiempo, no en el espacio (aconsejo al lector que no intente imagin´arselo, porque es imposible). Cada cuerpo, en cada momento, adopta el curso m´as f´acil que se le presenta, pero debido a la monta˜ na, el curso m´as f´acil no es la l´ınea recta. Cada peque˜ no trozo de materia est´a en la cumbre de su peque˜ na monta˜ na como el gallo en su gallinero. Lo que llamamos un gran trozo de materia es un trozo que se encuentra en la cima de una gran monta˜ na. La monta˜ na es lo que conocemos. El trozo de materia

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de la cumbre se supone por conveniencia. Quiz´a no sea necesario suponerlo y pudi´eramos hacerlo con la monta˜ na sola. Nunca podemos alcanzar la cumbre de la monta˜ na de ning´ un otro, de la misma manera que el aguerrido gallo no puede luchar con el irritante p´ajaro que ve en el espejo. Acabo de dar tan s´olo una descripci´on cualitativa de la ley de la gravitaci´on de Einstein. Es imposible dar su exacta formulaci´on cuantitativa sin mayores planteamientos matem´aticos de los que me he propuesto. El punto m´as interesante de la misma es que ya no hace que la ley sea el resultado de la acci´on a distancia. El sol no ejerce fuerza de ninguna clase sobre los planetas. As´ı como la geometr´ıa se ha convertido en f´ısica, tambi´en en cierto sentido, la f´ısica se ha hecho geometr´ıa. La ley de la gravitaci´on se ha convertido en la ley geom´etrica de que todo cuerpo sigue el curso m´as f´acil de un lugar a otro. Pero este curso se ve afectado por las monta˜ nas y valles que rodean el camino. Hemos estado suponiendo que el cuerpo en cuesti´on entra en acci´on solamente por fuerzas gravitativas. Ahora nos interesa la ley de la gravitaci´on, no los efectos de las fuerzas electromagn´eticas o de las fuerzas que se encuentran entre las part´ıculas subat´omicas. Ha habido muchos intentos de reducir todas estas fuerzas al marco de la relatividad general. Einstein mismo, Weyl, Kaluza y Klein, por no citar m´as que unos pocos, lo han intentado. Ninguno de estos intentos, sin embargo, ha sido enteramente satisfactorio. De momento, podemos ignorar este trabajo, ya que los planetas no est´an sujetos, como conjuntos, a fuerzas electromagn´eticas o subat´omicas apreciables. S´olo la gravitaci´on ha de ser considerada en relaci´on a sus movimientos, de los que nos ocupamos en este cap´ıtulo. Nuestro tercer postulado: ((un rayo-luz avanza de forma que el intervalo entre dos de sus partes es cero)), tiene la ventaja de que no es solamente para las peque˜ nas distancias. Si cada peque˜ na parte del intervalo es cero, la suma de todos ellos ser´a cero. Por lo tanto, incluso las partes m´as distantes del mismo rayo-luz tienen un intervalo cero. El curso de un rayo-luz es tambi´en una geod´esica seg´ un este postulado. As´ı tenemos ahora dos formas emp´ıricas de descubrir lo que son las geod´esicas en espacio-tiempo, y, en concreto, los rayos-luz y los cuerpos que se mueven libremente. Entre los cuerpos que se mueven libremente quedan incluidos todos lo que no est´an sujetos, como

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conjuntos, a fuerzas electromagn´eticas o subat´omicas especiales. Se trata del sol, las estrellas, los planetas y sat´elites y tambi´en de los cuerpos que caen en la tierra, al menos cuando caen en un vac´ıo. Cuando uno est´a en la tierra, est´a sujeto a las fuerzas electromagn´eticas: los electrones y protones de las proximidades de tus pies ejercen una repulsi´on sobre tus pies suficiente para vencer la gravitaci´on de la tierra. Esto es lo que impide que caigas en tierra que, aunque parece s´olida, es en gran parte un espacio vac´ıo.

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Las pruebas de la ley de la gravitaci´ on de Einstein Las razones para aceptar la ley de la gravitaci´on de Einstein y no la de

Newton son en parte emp´ıricas y en parte l´ogicas. La ley de la gravitaci´on de Einstein da casi los mismos resultados que la de Newton cuando se aplica al c´alculo de las ´orbitas de los planetas y sus sat´elites. De no ser as´ı, no podr´ıa ser cierta, ya que se ha comprobado que las consecuencias deducidas por la ley de Newton han sido verificadas casi exactamente por la observaci´on. Cuando, en 1915, Einstein public´o por primera vez su nueva ley, s´olo hab´ıa un hecho emp´ırico que se˜ nalar para demostrar que su teor´ıa era mejor que la de Newton. Tal era el llamado movimiento del perihelio de Mercurio. El planeta Mercurio, como los dem´as planetas, gira alrededor del sol formando una elipse, con el sol en uno de los focos. En algunos puntos de su ´orbita est´a m´as cerca del sol que en otros. El punto en que se halla m´as cerca del sol se llama su “perihelio”. Ahora bien, se pudo comprobar por observaci´on que desde el momento en que Mercurio est´a m´as pr´oximo al sol hasta la pr´oxima vez, no da una vuelta exacta alrededor del sol, sino un poco m´as. La diferencia es muy peque˜ na: supone un ´angulo de cuarenta y dos segundos en un siglo. Por tanto, si Mercurio gira alrededor del sol m´as de cuatrocientas veces en un siglo, l´ogicamente se debe mover una d´ecima parte de segundo de ´angulo m´as de una revoluci´on completa para llegar de un perihelio al siguiente. Esta min´ uscula discrepancia de la teor´ıa newtoniana hab´ıa desorientado a los astr´onomos. Hab´ıa un efecto calculado debido a las perturbaciones causadas por otros planetas, pero esta peque˜ na discrepancia era el residuo despu´es de admitir estas perturbaciones. Existe un efecto similar en el caso de otros planetas, pero es mucho m´as peque˜ no y m´as dif´ıcil de observar. Desde que Einstein public´o su nueva ley, el efecto ha sido tambi´en observado en la ´orbita de la tierra, y con muchas probabilidades de certeza, en Marte. Este efecto del perihelio fue, en principio, la u ´nica ventaja empirica de Einstein sobre Newton. Su segundo ´exito fue m´as sensacional. Seg´ un la opini´on ortodoxa, la luz en el vac´ıo deber´ıa siempre avanzar en l´ınea recta. Al no estar compuesta por

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part´ıculas materiales, no deber´ıa verse afectada por la gravitaci´on universal. Sin embargo, fue posible admitir sin ninguna contradicci´on seria con las viejas ideas, que al pasar cerca del sol, la luz ten´ıa que desviarse de la l´ınea recta como si estuviera compuesta de part´ıculas materiales. Einstein, sin embargo, sostuvo, como deducci´on de su ley de la gravitaci´on, que la luz deber´ıa desviarse el doble de esto. Es decir, si la luz de una estrella pasaba muy cerca del sol, Einstein sosten´ıa que el rayo de la estrella deber´ıa haber girado un ´angulo de casi un segundo y tres cuartos. Sus opositores estaban dispuestos a concederle la mitad de esta cifra. Por desgracia, las estrellas que est´an casi en l´ınea con el sol solamente se pueden ver durante un eclipse total, y aun entonces quiz´a no haya suficientes estrellas brillantes cerca del sol. Eddington se˜ nala que, desde su punto de vista, el d´ıa mejor del a˜ no es el 29 de mayo, porque entonces hay una serie de estrellas brillantes cerca del sol. El 29 de mayo de 1919, por una buena suerte incre´ıble, hubo eclipse total de sol. Dos expediciones brit´anicas fotografiaron las estrellas cercanas al sol durante el eclipse. Los resultados parecieron confirmar la predicci´on de Einstein. Este hecho suscit´o gran entusiasmo en aquella ´epoca. Muchos eclipses posteriores han permitido obtener por observaci´on argumentos en apoyo de esta teor´ıa, y la predicci´on de Einstein ha sido generalmente aceptada. Sin embargo, hay muchas posibles fuentes de error en tales observaciones. Algunos astr´onomos siguen dudando todav´ıa de que los resultados sean totalmente concluyentes. La tercera prueba experimental es favorable en conjunto a Einstein. Pero las dimensiones afectadas son tan peque˜ nas que apenas es posible medirlas, y, por lo mismo, el resultado no es decisivo. Antes de explicar el efecto en cuesti´on es necesario hacer algunas aclaraciones preliminares. El espectro de un elemento consta de ciertas l´ıneas de diversos tipos de luz emitidas al brillar dicho elemento y que se pueden separar mediante un prisma. Son las mismas (muy aproximadamente) tanto si el elemento est´a en la tierra, en el sol, o en una estrella. Cada l´ınea es de un matiz definido de color, con una determinada longitud de onda. Las longitudes de onda m´as largas est´an hacia el rojo, el final del espectro, las m´as cortas hacia el violeta. Cuando disminuye la distancia entre nosotros y la fuente de luz, las longitudes de onda visibles se hacen m´as cortas, lo mismo que las ondas del mar son m´as r´apidas a medida que se avanza contra el viento. Al aumentar la distancia las longitudes de onda visibles se hacen, por la misma raz´on, m´as largas.

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Esto nos permite conocer si las estrellas se est´an acercando o si se alejan de nosotros. Si la separaci´on disminuye, todas las l´ıneas del espectro de un elemento se desplazan un poco hacia el violeta; si aumenta, hacia el rojo. An´alogo efecto se puede advertir diariamente en el sonido. Si est´as en una estaci´on y llega un tren silbando, la nota del silbido parece mucho m´as aguda cuando el tren se acerca que cuando ha pasado: Probablemente mucha gente piensa que la nota ha cambiado “realmente”, pero en realidad el cambio del sonido se debe a que el tren primero se acercaba y luego se alejaba. Para los viajeros que van en el tren no hay tal cambio de nota. No es ´este el efecto que interesa a Einstein. La distancia desde la tierra al sol no cambia mucho. Para nuestros prop´ositos presentes la podemos considerar constante. Einstein deduce de su ley de la gravitaci´on que cualquier proceso peri´odico que tiene lugar en un ´atomo en el sol (cuya gravitaci´on es muy intensa), al ser medido por nuestros relojes, debe tener lugar en una proporci´on m´as baja que en un ´atomo similar de la tierra. Pero el mismo intervalo en diferentes regiones no corresponde exactamente al mismo tiempo. Ello se debe al car´acter ((monta˜ noso)) del espacio-tiempo que constituye la gravitaci´on. En consecuencia, cualquier l´ınea del espectro, cuando la luz procede del sol, deber´ıa parecer un poco m´as cercana al rojo al final del espectro que si la luz viniera de una causa en la tierra. La teor´ıa de Einstein predice que un efecto similar se deber´ıa observar en el campo gravitatorio de cada estrella y en realidad de cualquier cuerpo con masa. Pero el efecto es tan peque˜ no y la dificultad de medirlo tan grande que despu´es de cincuenta a˜ nos de observaci´on sigue incierto si el sol o cualquier estrella presentan o no dicho efecto. Sin embargo, los recientes avances de la f´ısica nuclear han hecho posible observar el efecto producido por la tierra misma, si bien el efecto de la tierra es mucho m´as peque˜ no que el del sol. La nueva observaci´on depende del hecho que en condiciones experimentales apropiadas, ciertos n´ ucleos en estado de excitaci´on emiten radiaci´on electromagn´etica cuya longitud de onda se puede determinar con inmensa precisi´on. Al mismo tiempo, se pueden detectar peque˜ n´ısimos cambios en la longitud de onda. Dichos cambios de longitud debidos a la gravitaci´on acaban de observarse entre dos estaciones, una en la cumbre y otra en la base de una torre de s´olo 20 metros de altura. Existen otras diferencias entre las consecuencias que se derivan de la ley de Einstein y la de Newton. Pero, hasta el momento, no ha habido

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ninguna otra observaci´on decisiva, al menos dentro de los l´ımites del sistema solar. Pero las pruebas experimentales que acabamos de dar son suficientes para convencer a los astr´onomos de que si Einstein y Newton difieren en lo relativo al movimiento de los cuerpos celestes, es la ley de Einstein la que da resultados ciertos. Aun cuando s´olo tuvi´eramos a favor de Einstein las bases emp´ıricas, ´estas ser´ıan concluyentes. Dejando a un lado si su ley representa la verdad exacta o no, lo cierto es que es bastante m´as exacta que la de Newton, si bien las inexactitudes de Newton eran todas peque˜ n´ısimas. Pero las consideraciones que originalmente llevaron a Einstein a formular su ley no fueron de este tipo. Incluso la consecuencia sobre el perihelio de Mercurio, que se pudo verificar inmediatamente por observaciones anteriores, s´olo se pudo deducir despu´es que la teor´ıa estuvo completa. Y no pudo formar parte de las bases originales del descubrimiento de tal teor´ıa. Dichas bases eran de un car´acter l´ogico m´as abstracto. No quiero decir que no estuvieran fundamentadas en la observaci´on de los hechos. Ni que fueran fantas´ıas a priori como las que cultivaban antiguamente los fil´osofos. Lo que digo es que se derivaban de ciertas caracter´ısticas generales de la experiencia f´ısica que demostraban que Newton deb´ıa estar equivocado y que deb´ıa ser sustituido por algo parecido a la ley de Einstein. Los argumentos en favor de la relatividad del movimiento son, como vimos en los primeros cap´ıtulos, totalmente concluyentes. Cuando en la vida diaria decimos que algo se mueve, entendemos que se mueve con relaci´on a la tierra. Al tratar de los movimientos de los planetas, consideramos su movimiento con relaci´on al sol o al centro de la masa del sistema solar. Cuando decimos que el sistema solar tambi´en se mueve, queremos decir que se mueve en relaci´on a las estrellas. No hay ning´ un ((hecho f´ısico)) que se pueda llamar ((movimiento absoluto)). En consecuencia, las leyes f´ısicas deben afectar a los movimientos relativos, ya que ´estos son los u ´nicos que existen. Concebimos aqu´ı la relatividad del movimiento en conjunci´on con el hecho experimental de que la velocidad de la luz es la misma relativamente a un cuerpo que a otro, aun cuando los dos puedan estar en movimiento. Esto nos lleva a la relatividad de distancias y tiempos. A su vez muestra que no hay hecho f´ısico objetivo que se pueda calificar de ((distancia entre

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dos cuerpos en un tiempo dado)), ya que el tiempo y la distancia depender´an del observador. Por tanto, la ley de la gravitaci´on de Newton es insostenible l´ogicamente, pues se sirve de la ((distancia en un tiempo dado)). Esto demuestra que no podemos quedarnos satisfechos con Newton, pero no nos muestra qu´e es lo que debemos poner en su lugar. Entran aqu´ı varias consideraciones. Tenemos, en primer lugar lo que se llama ((la igualdad de la masa gravitatoria e inercial)). Significa lo siguiente: cuando se aplica una determinada fuerza3 a un cuerpo pesado no se le imprime tanta aceleraci´on como a un cuerpo ligero. Lo que se llama ((masa inercial)) de un cuerpo se mide por la cantidad requerida para producir una aceleraci´on determinada. En un punto dado de la superficie de la tierra, la ((masa)) es proporcional al ((peso)). Lo que se mide por la balanza es m´as bien la ((masa)) que el ((peso)): el peso se define como la fuerza con que la tierra atrae al cuerpo. Ahora bien, esta fuerza es mayor en los polos que en el ecuador, ya que en el ecuador la rotaci´on de la tierra produce una ((fuerza centr´ıfuga)) que impide parcialmente la gravitaci´on. La fuerza de atracci´on de la tierra es tambi´en mayor en la superficie que en una gran altura o en lo hondo de una mina muy profunda. Las balanzas no expresan ninguna de estas variaciones, porque afectan a las medidas de peso usadas como al cuerpo pesado. Pero las variaciones aparecen si usamos una balanza de resorte. La masa no var´ıa en el curso de estos cambios le peso. La masa ((gravitatoria)) se define de manera diferente. Puede tener dos significados: 1) el modo de responder de un cuerpo en una situaci´on en que la gravitaci´on tiene una intensidad conocida, por ejemplo en la superficie de la tierra o en la superficie del sol; 2) la intensidad de la fuerza gravitatoria producida por un cuerpo, por ejemplo el sol, produce mayores ferzas gravitatorias que la tierra. Ahora bien, Newton dice que la fuerza de la gravitaci´on entre dos cuerpos es proporcional al producto de sus masas. Consideremos ahora la atracci´on de diferentes cuerpos hacia un u ´nico y mismo cuerpo, por ejemplo el sol. Los diferentes cuerpos son atra´ıdos por fuerzas proporcionales a las masas y, por tanto, producen exactamente la misma aceleraci´on en todos ellos. As´ı, si entendemos ((masa gravitatoria)) en el sentido del n´ umero Aunque la ((fuerza)) ya no se considera como uno de los conceptos fundamentales de la din´ amica, sino tan s´ olo como una forma conveniente de expresarse, todav´ıa se puede emplear, lo mismo que ((amanecer)) u ((ocaso)), con tal que entendamos lo que significan. Con frecuencia se requerir´ıan circunlocuciones para evitar el t´ermino ((fuerza)). 3

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1, es decir, la forma de responder un cuerpo a la gravitaci´on, comprobamos que ((la igualdad de la masa de inercia y la masa de gravitaci´on)), lo cual suena formidable, se reduce a esto: en una situaci´on gravitativa dada, todos los cuerpos se comportan exactamente igual. Por lo que se refiere a la superficie de la tierra, fue ´ese uno de los primeros descubrimientos de Galileo. Arist´oteles cre´ıa que los cuerpos pesados caen con m´as rapidez que los ligeros. Galileo demostr´o que no era tal el caso, si se elimina la resistencia del aire. En el vac´ıo una pluma cae a la misma velocidad que un trozo de plomo. Por lo que respecta a los planetas, fue Newton quien estableci´o los hechos correspondientes. A una distancia determinada del sol, un cometa, con una masa muy peque˜ na, experimenta exactamente la misma aceleraci´on hacia el sol que la experimentada por un planeta a la misma distancia. As´ı, pues, la forma en que la gravitaci´on afecta a un cuerpo depende u ´nicamente del lugar donde dicho cuerpo est´a situado y en manera alguna de la naturaleza del mismo. Esto sugiere que el efecto gravitatorio es una caracter´ıstica de su situaci´on, que es lo que tiene en cuenta Einstein. Por lo que respecta a la masa gravitatoria, en el sentido del n´ umero 2, esto es, a la intensidad de la fuerza producida por un cuerpo, ya no es exactamente proporcional a su masa inercial. La cuesti´on supone cierta matem´atica complicada y no vamos a entrar ahora en ella. Hemos de hacer otra indicaci´on sobre lo que ha de ser la ley de la gravitaci´on, si ha de ser una caracter´ıstica de la proximidad, pues hemos visto que hab´ıa raz´on para suponerlo as´ı. Y ha de expresarse en una ley que sea inmutable, a la hora de adoptar un tipo diferente de coordenadas. Ya vimos, para comenzar, que debemos considerar a nuestras coordenadas sin significaci´on f´ısica alguna: son simplemente formas sistem´aticas de nombrar las diferentes partes del espacio-tiempo. Puesto que son convencionales, no pueden entrar en las leyes f´ısicas. Equivale a decir que, si hemos expresado correctamente una ley en funci´on de una serie de coordenadas, ´esta debe ser expresada por la misma f´ormula en funci´on de otra serie de coordenadas. O m´as exactamente, ha de ser posible encontrar una f´ormula que exprese la ley y que sea inmutable aunque cambiemos las coordenadas. A la teor´ıa de los tensores le corresponde arbitrar tales f´ormulas. Y la teor´ıa de los tensores demuestra que existe una f´ormula que sugiere

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como naturalmente posible la ley de la gravitaci´on. Al examinar esta posibilidad se llega a los resultados correctos. Es aqu´ı donde entran en juego las confirmaciones emp´ıricas. Pero si no se hubiera comprobado que la ley de Einstein concordaba con la experiencia, no por ello podr´ıamos retroceder a la ley de Newton. Nos hubi´eramos visto empujados por la l´ogica a buscar una ley expresada en funci´on de los “tensores” y, por tanto, independientemente de nuestra elecci´on de las coordenadas. Es imposible sin matem´aticas explicar la teor´ıa de los tensores. Quien no sea matem´atico habr´a de contentarse con saber que existe un m´etodo t´ecnico por el que eliminamos el elemento convencional de nuestras medidas y leyes. Y as´ı llegamos a las leyes f´ısicas que son independientes del punto de vista del observador. El ejemplo m´as espl´endido de este m´etodo es la ley de la gravitaci´on de Einstein.

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Masa, momento, energia y acci´ on

La b´ usqueda de la exactitud cuantitativa es tan ardua como importante. Las medidas f´ısicas est´an hechas con exactitud f´ısica. Si estuvieran hechas con menos precisi´on, esas peque˜ nas discrepancias como las que forman los datos experimentales para la teor´ıa de la relatividad, nunca podr´ıan revelarse. Antes de la aparici´on de la relatividad la f´ısica matem´atica usaba una serie de conceptos que se supon´ıan tan exactos como las medidas f´ısicas. Pero se ha comprobado despu´es que eran l´ogicamente deficientes, y que esta deficiencia aparec´ıa en peque˜ n´ısimas desviaciones de las expectativas basadas en el c´alculo. En este cap´ıtulo quiero mostrar c´omo quedan afectadas las ideas fundamentales de la f´ısica de la prerrelatividad y qu´e modificaciones han tenido que sufrir. Ya hemos tenido ocasi´on de hablar de la masa. En cuanto se refiere a la vida diaria, masa se identifica con peso. Las medidas usuales de peso —onzas, gramos, etc.— son en realidad medidas de masa. Pero tan pronto como comenzamos a hacer medidas exactas nos vemos obligados a distinguir entre masa y peso. En el uso ordinario hay dos formas diferentes de pesar: con la balanza de platillos y con la balanza de resorte el´astico. Cuando vas de viaje y pesas tu maleta, no la pones en una balanza de platillos, sino en una balanza de resorte o b´ascula. El peso oprime o presiona el resorte el´astico hasta un cierto punto y el resultado queda se˜ nalado por una aguja en el disco. El mismo principio se usa en las m´aquinas autom´aticas cuando quieres saber tu peso. La balanza de resorte el´astico indica el peso, la balanza de platillos la masa. La diferencia no var´ıa en cualquier parte del mundo que est´es. Pero si pruebas dos tipos diferentes de m´aquinas de pesar en una serie de lugares distintos comprobar´as, si son exactas, que sus resultados no siempre concuerdan. Las balanzas de platillos te dar´an siempre el mismo resultado en cualquier parte, pero no as´ı la de resorte o b´ascula. Es decir, si tienes un trozo de plomo que pesa diez kilos en una balanza, pesar´a tambi´en diez kilos en la balanza en cualquier parte del mundo. Pero si pesa diez kilos en una balanza de resorte o b´ascula en Londres, pesar´a m´as en el Polo Norte, menos en el Ecuador, menos en un aeroplano, y menos todav´ıa en una mina de carb´on. Suponiendo que se pesa en todos estos lugares con la misma b´ascula.

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El hecho es que dos instrumentos miden cantidades completamente diferentes. Las balanzas de platillos miden lo que se puede llamar (prescindiendo de los matices que ahora nos puedan interesar) ((cantidad de materia)). Existe la misma cantidad de materia en una libra de plumas que en una libra de plomo. Los ((pesos patr´on)), que son realmente ((masas patr´on)), medir´an la cantidad de masa de cualquier sustancia que pongamos en la otra balanza. Pero el peso es una propiedad debida a la gravitaci´on de la tierra: es la cantidad de fuerza con que la tierra atrae a un cuerpo. Esta fuerza var´ıa de un lugar a otro. En primer lugar, en cualquier parte fuera de la tierra la atracci´on var´ıa inversamente al cuadrado de la distancia del centro de la tierra. Es, por tanto, menor en las grandes alturas. En segundo lugar, cuando bajas a una mina de carb´on, parte de la tierra est´a encima de ti y atrae la materia hacia arriba y no hacia abajo. Por eso la atracci´on hacia abajo es menor que en la superficie de la tierra. En tercer lugar, debido a la rotaci´on de la tierra, existe lo que se llama ((fuerza centr´ıfuga)), que act´ ua contra la gravitaci´on. ´ Esta es mayor en el ecuador, porque all´ı la rotaci´on de la tierra supone un movimiento m´as r´apido. En los polos no existe, porque est´an en el eje de rotaci´on. Por todas estas razones, la fuerza con que un determinado cuerpo es atra´ıdo hacia la tierra es mensurablemente diferente en lugares distintos. Es esta fuerza la que es medida por la balanza de resorte el´astico o b´ascula. Y ´esta es la raz´on por la que una balanza de resorte d´e diferentes resultados en lugares distintos. En el caso de las balanzas de platillos, los ((pesos-patr´on)) se alteran lo mismo que el cuerpo que se ha de pesar, de forma que el resultado es el mismo en todas partes. Pero el resultado es la ((masa)), no el ((peso)). Un ((peso-patr´on)) tiene la misma ((masa)) en todas partes, pero no el mismo ((peso)). En realidad, es una unidad de masa no de peso. Para fines te´oricos, la masa, que es casi invariable para un cuerpo determinado, es m´as importante que el peso, por decirlo de alguna manera, como ((la cantidad de materia)). Veremos que esta idea no es del todo correcta, pero servir´a como punto de partida para las precisiones siguientes. Para fines te´oricos, la masa se define como algo determinado por la cantidad de fuerza requerida para producir una aceleraci´on determinada: cuanto mayor sea la masa de un cuerpo, mayor ser´a la fuerza requerida para alterar su velocidad por una cantidad determinada y en un tiempo dado. Tarda m´as una potente locomotora en poner a diez kil´ometros por hora un largo tren

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al cabo de medio minuto de arrancar, que lo que tarda en poner a la misma velocidad a un tren corto. O puede haber circunstancias en que la fuerza es la misma para una serie de cuerpos diferentes. En tal caso, si podemos medir las aceleraciones producidas en ellos, podemos indicar las relaciones de sus masas: cuanto mayor es la masa, menor es la aceleraci´on. Como ilustraci´on de este m´etodo, podemos tomar un ejemplo que es importante en relaci´on con la relatividad. Los cuerpos radiactivos emiten part´ıculas β (electrones) a enormes velocidades. Podemos observar su recorrido haci´endolos pasar a trav´es de vapor de agua. Podemos observar, asimismo, c´omo a medida que van pasando forman una nube. Al propio tiempo, podemos someterlos a fuerzas el´ectricas y magn´eticas conocidas y observar en qu´e proporci´on est´an dirigidos por estas fuerzas en l´ınea recta. Esto permite comparar sus masas. Se ha comprobado que cuanto m´as r´apidamente avanzan, mayores son sus masas, medidas por un observador inm´ovil. Se sabe, por otra parte, que, adem´as del efecto del movimiento, todos los electrones tienen la misma masa. Todo esto era conocido antes de que se inventara la teor´ıa de la relatividad, pero estaba demostrado que la concepci´on tradicional de masa no ten´ıa precisamente la exactitud que se le hab´ıa atribuido. Se acostumbraba a considerar la masa como ((cantidad de materia)) y se supon´ıa completamente invariable. Luego se comprob´o que la masa era relativa respecto al observador, as´ı como la longitud y el tiempo, y que se alteraba con el movimiento exactamente en la misma proporci´on. Sin embargo, esto pod´ıa remediarse. Pod´ıamos tomar la ((masa propiamente dicha)), la masa en cuanto medida por un observador que comparte el movimiento con el cuerpo. Esto se deduc´ıa f´acilmente de la masa medida, tomando la misma proporci´on que en el caso de las longitudes y tiempos. Pero existe todav´ıa un hecho m´as curioso: que una vez hecha esta correcci´on, segu´ıamos sin obtener una cantidad que fuera exactamente la misma para el mismo cuerpo. Cuando un cuerpo absorbe energ´ıa —por ejemplo, al calentarse m´as— su ((masa propiamente dicha)) aumenta ligeramente. El aumento es muy leve, ya que se mide dividiendo el aumento de energ´ıa por el cuadrado de la velocidad de la luz. Por otro lado, cuando un cuerpo parte con energ´ıa pierde masa. El caso m´as notable de ello es que cuatro ´atomos de hidr´ogeno pueden unirse para formar un ´atomo de helio. Pero un ´ato-

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mo de helio tiene bastante menos de cuatro veces la masa de un ´atomo de hidr´ogeno. Este fen´omeno es de la mayor importancia pr´actica. Se pens´o que esto suced´ıa en el interior de las estrellas, y que as´ı se liberaba la energ´ıa que llega hasta nosotros como luz estelar y que, en el caso del sol, hace posible la vida terrestre. Lo mismo se puede provocar tambi´en en los laboratorios terrestres produciendo una enorme liberaci´on de energ´ıa en forma de luz y calor. Ello hace posible la fabricaci´on de las bombas de hidr´ogeno, que son virtualmente ilimitadas en cuanto a tama˜ no y poder destructivo. Las bombas at´omicas ordinarias, que operan por la desintegraci´on del uranio, tienen una limitaci´on natural: si se congrega demasiado uranio en un lugar, existe el riesgo de que explote por s´ı mismo, sin esperar que se provoque la explosi´on, de forma que las bombas de uranio s´olo pueden fabricarse dentro de un determinado tama˜ no m´aximo. Pero una bomba de hidr´ogeno puede contener cuanto hidr´ogeno queramos, puesto que el hidr´ogeno por s´ı mismo no es explosivo. S´olo cuando se hace explotar el hidr´ogeno por una bomba de uranio convencional se combina con ´el para formar helio y liberar energ´ıa. Y es porque la combinaci´on s´olo puede tener lugar a una temperatura muy alta. Hay, adem´as, otra ventaja: el abastecimiento de uranio en el planeta es muy limitado y podr´ıa suceder que se gastara antes de que el g´enero humano quedara exterminado. Pero ahora que se puede usar una cantidad pr´acticamente ilimitada de hidr´ogeno hay bastantes razones para esperar que el homo sapiens se pueda exterminar a s´ı mismo, con la gran ventaja de que puedan sobrevivir algunos animales menos feroces. Pero es hora ya de volver a t´opicos menos divertidos. Tenemos, pues, dos clases de masa, ninguna de las cuales realiza plenamente el viejo ideal. La masa medida por un observador en movimiento en relaci´on al cuerpo en cuesti´on, es una cantidad relativa y no tiene significaci´on f´ısica como propiedad del cuerpo. La ((masa propiamente dicha)) es una propiedad genuina del cuerpo y no depende del observador, pero tampoco es estrictamente constante. Como veremos en seguida, la noci´on de masa queda absorbida dentro de la noci´on de energ´ıa. Representa, por decirlo as´ı, la energ´ıa que el cuerpo gasta internamente, por cuanto es opuesta a la que despliega hacia el mundo exterior.

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Conservaci´on de la masa, conservaci´on del momemo y conservaci´on de la energ´ıa fueron los tres grandes principios de la mec´anica cl´asica. Estudiemos ahora la conservaci´on del momento. El momento de un cuerpo en una direcci´on determinada es su velocidad en esa misma direcci´on multiplicada por su masa. Por lo tanto, un cuerpo pesado que se mueve lentamente puede tener el mismo momento que un cuerpo ligero que se mueve con rapidez. Cuando una serie de cuerpos interact´ ua en cualquier direcci´on, por ejemplo, por colisi´on o por gravitaci´on mutua, de forma que no interviene ninguna fuerza externa, el impulso total de todos los cuerpos en cualquier direcci´on se mantiene inalterado. Esta ley sigue siendo v´alida en la teor´ıa de la relatividad. Para diferentes observadores, la masa ser´a diferente, pero tambi´en la velocidad. Estas dos diferencias se neutralizan mutuamente, y resulta que el principio sigue siendo verdadero. El momento de un cuerpo es distinto en direcciones distintas. La forma ordinaria de medirlo es tomar la velocidad de una direcci´on determinada (medida por el observador). Ahora bien, la velocidad en una direcci´on determinada es la distancia recorrida en esa misma direcci´on en unidad ((tiempo)). Imaginemos que tomamos la distancia recorrida en esa direcci´on mientras el cuerpo se mueve en una unidad ((intervalo)). (En casos ordinarios se trata solamente de un ligero cambio, ya que para las velocidades considerablemente inferiores a las de la luz, el intervalo es casi igual al lapso de tiempo.) Supongamos ahora que en lugar de la masa medida por el observador tomamos la masa propia. Estos dos cambios aumentan la velocidad y disminuyen la masa, ambas cosas en la misma proporci´on. As´ı, el momento sigue siendo el mismo, pero las cantidades, que var´ıan seg´ un el observador, han sido reemplazadas por cantidades que se fijan independientemente del observador, con la excepci´on de la distancia recorrida por el cuerpo en la direcci´on dada. Cuando sustituimos el espacio-tiempo por tiempo, nos damos cuenta que la masa medida (en cuanto opuesta a la masa propiamente dicha) es una cantidad de la misma clase que el impulso en una direcci´on dada. Se podr´ıa llamar el momento en el tiempo-direcci´on. La masa medida se obtiene multiplicando la masa invariable por el tiempo transcurrido en recorrer la unidad ((intervalo)). El momento se obtiene multiplicando la misma masa invariable por la distancia recorrida (en la direcci´on dada) al atravesar la unidad intervalo. Desde el punto de vista espacio-tiempo, ´estos naturalmente

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se identifican. Aunque la masa medida de un cuerpo depende de la direcci´on en que se mueve el observador con respecto al cuerpo, no deja de ser una cantidad muy importante. La conservaci´on de la masa medida es lo mismo que la conservaci´on de la energ´ıa. Esto puede parecer sorprendente, ya que a primera vista, masa y energ´ıa son cosas muy distintas. Pero resulta que la energ´ıa es lo mismo que la masa medida. Explicar c´omo sucede esto, no es f´acil; no obstante, lo intentaremos. En el lenguaje popular, ((masa)) y ((energ´ıa)) no significan la misma cosa. Asociamos la ((masa)) con la idea de un hombre gordo en un sill´on, de movimientos lentos, mientras que la ((energ´ıa)) nos sugiere una persona delgada, llena de empuje y de ((vida)). El lenguaje popular asocia ((masa)) con ((inercia)); pero su idea de la inercia es unilateral: incluye la lentitud para ponerse en movimiento, pero no la prontitud para parar, que va igualmente incluida. Todos estos t´erminos tienen significados t´ecnicos en f´ısica, m´as o menos an´alogos al significado de los t´erminos del lenguaje popular. De momento nos interesa el significado t´ecnico de ((energ´ıa)). A lo largo de la segunda mitad del siglo xix se habl´o mucho de la ((conservaci´on de la energ´ıa)) o de la ((persistencia de la fuerza)), como prefer´ıa llamarla Herbert Spencer. No fue f´acil establecer de manera sencilla este principio, a causa de las diferentes formas de energ´ıa. Pero el punto esencial era que la energ´ıa no se crea ni se destruye nunca, aunque se pueda transformar de una forma a otra. El principio adquiri´o validez a trav´es del descubrimiento de Joule del ((equivalente mec´anico del calor)), que demostr´o la existencia de una proporci´on constante entre el esfuerzo requerido para producir una determinada cantidad de calor y el esfuerzo requerido para levantar un peso a una altura determinada. En realidad, la misma clase de esfuerzo se podr´ıa emplear para los dos fines seg´ un el mecanismo. Cuando se comprob´o que el calor consist´ıa en el movimiento de las mol´eculas, pareci´o natural que fuera an´alogo a otras formas de energ´ıa. Hablando en general, con la ayuda de cierta base te´orica, todas las formas de energ´ıa quedaron reducidas a dos, llamadas respectivamente ((cin´etica)) y ((potencial)). Se pueden definir de la siguiente manera: La energ´ıa ((cin´etica)) de una part´ıcula es la mitad de la masa multiplicada

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por el cuadrado de la velocidad. La energ´ıa cin´etica de una serie de part´ıculas es la suma de las energ´ıas cin´eticas de las part´ıculas separadas. M´as dificil de definir es la energ´ıa potencial. Representa cualquier estado de tensi´on que solamente se puede mantener por la aplicaci´on de fuerza. Hagamos el caso m´as f´acil: si un peso se levanta a cierta altura y queda suspendido, tiene energ´ıa potencial porque dejado a s´ı mismo caer´a. Su energ´ıa potencial es igual a la energ´ıa cin´etica que adquirir´ıa al caer recorriendo la misma distancia que se recorri´o al levantarlo. De forma parecida, cuando un cometa gira alrededor del sol en una ´orbita muy exc´entrica, se mueve mucho m´as r´apidamente cuando est´a cerca del sol que cuando est´a lejos, de manera que su energ´ıa cin´etica es mucho mayor cuando est´a m´as cerca del sol. Por otra parte, su energ´ıa potencial es m´axima cuando est´a en el punto m´as alejado del sol, ya que es entonces como la piedra levantada en alto. La suma de las energ´ıas cin´etica y potencial del cometa es constante a menos que sufra colisiones o pierda algo de su material. Podemos determinar con exactitud el cambio de energ´ıa potencial al pasar de una posici´on a otra, pero la suma total de la misma es en cierto modo arbitraria, ya que podemos fijar el nivel cero donde queramos. La energ´ıa potencial de nuestra piedra, por ejemplo, se puede considerar que es la energ´ıa cin´etica que adquirir´ıa al caer sobre la superficie de la tierra. O la que adquirir´ıa al caer al fondo de un pozo en el centro de la tierra, o en cualquier distancia menor que se le asigne. Puede ser cualquiera, con tal que nos mantengamos fijos en nuestra decisi´on. Nos encontrarnos frente a una suma de p´erdidas y ganancias que no se altera por el aumento de cantidades con que comencemos. Tanto la energ´ıa cin´etica como la potencial de una serie de cuerpos ser´an diferentes para diferentes observadores. En la din´amica cl´asica, la energ´ıa cin´etica variaba seg´ un el estado de movimiento del observador, pero s´olo en una cantidad constante. La energ´ıa potencial no difer´ıa en absoluto. En consecuencia, la energ´ıa total era constante para cada observador, suponiendo siempre que los observadores interesados se mueven en l´ınea recta con velocidades uniformes. O, en caso contrario, suponiendo que son capaces de referir sus movimientos en relaci´on a los cuerpos que se mueven de esta manera. Pero en la din´amica de la relatividad el problema resulta m´as complicado. Las ideas newtonianas de la energ´ıa cin´etica y potencial se pueden adaptar sin mucha dificultad a la teor´ıa especial de la relatividad. Pero

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no podemos adaptar con provecho la idea de energ´ıa potencial a la teor´ıa general de la relatividad, ni podemos extender la idea de energ´ıa cin´etica, a no ser a un caso concreto. Por tanto, la conservaci´on de la energ´ıa en el sentido usual newtoniano no puede seguir manteni´endose. La raz´on es que la energ´ıa cin´etica y potencial de un sistema de cuerpos son ideas ´ıntimamente unidas que se refieren a extensas regiones del espacio-tiempo. La misma extensa amplitud en la elecci´on de coordenadas y el car´acter monta˜ noso del espacio-tiempo, tal como se explicaron en el cap´ıtulo 8, se combinan para hacer muy confusa la introducci´on de ideas de esta clase en la teor´ıa general. Existe en la teor´ıa general una ley de la conservaci´on, pero no es tan u ´til como las leyes de la conservaci´on de la mec´anica newtoniana y de la teor´ıa especial. Todo depende de la elecci´on de coordenadas en un sentido dif´ıcil de entender. Hemos visto que la independencia de la elecci´on de coordenadas es un principio-gu´ıa en la teor´ıa general de la relatividad. Y la ley de la conservaci´on es sospechosa porque choca con este principio. Sigue siendo una cuesti´on por resolver si esto significa que la conservaci´on es de importancia fundamental menor de lo que se ha cre´ıdo hasta aqu´ı, o si una ley satisfactoria de conservaci´on sigue estando oculta en las complejidades matem´aticas de la teor´ıa. Mientras tanto, debemos contentarnos dentro de la teor´ıa general con la idea de la energ´ıa cin´etica para un solo cuerpo. Es lo u ´nico que necesitaremos en el razonamiento que sigue. Habr´ıa que recordar que estas dificultades sobre la conservaci´on de la energ´ıa surgen solamente en la teor´ıa general y no en la especial. Siempre que se pueda prescindir de la gravitaci´on y resulte aplicable la teor´ıa especial, puede mantenerse la conservaci´on de la energ´ıa. El significado de ((conservaci´on)) en la pr´actica no es exactamente el mismo que en teor´ıa. En teor´ıa decimos que se conserva una cantidad cuando la suma de ´esta en el mundo es la misma en cualquier tiempo. Pero en la pr´actica no podemos comprobar la de todo el mundo; por eso hemos de entender algo m´as manejable. Queremos significar que, al tomar cualquier regi´on determinada, si la cantidad total de la regi´on ha cambiado, es porque alguna cantidad ha traspasado los l´ımites de la regi´on. Si no hubiera nacimientos ni muertes, la poblaci´on se conservar´ıa. En tal caso, la poblaci´on de una regi´on podr´ıa variar tan s´olo por emigraci´on o inmigraci´on, es decir, traspasando las fronteras. Quiz´a no fu´eramos capaces de hacer un censo exacto

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´ de China o de Africa Central, y por lo mismo no podr´ıamos estar seguros de la poblaci´on total del mundo. Pero podr´ıamos justificarnos en nuestra suposici´on de que eran constantes, diciendo que siempre que las estad´ısticas fueron posibles, la poblaci´on nunca cambi´o, a no ser por la gente que traspas´o la frontera. En realidad la poblaci´on no se ha conservado. Un fisi´ologo amigo m´ıo puso en cierta ocasi´on cuatro ratas en un termo. Algunas horas despu´es, cuando vino a recogerlas, hab´ıa once. Pero la masa no est´a sujeta a estas fluctuaciones: la masa de las once ratas al final del tiempo no era mayor que la masa de las cuatro del principio. Esto nos vuelve a llevar al problema que ha suscitado la discusi´on sobre la energ´ıa. Dijimos que en la teor´ıa de la relatividad, la masa medida y la energ´ıa se consideran la misma cosa y nos pusimos a explicar el porqu´e. Pero aqu´ı, lo mismo que al final del cap´ıtulo 6, el lector no matem´atico har´a bien en salt´arselo y comenzar en el p´arrafo siguiente. Tomemos la velocidad de la luz como unidad de la velocidad. Esto es siempre conveniente en la teor´ıa de la relatividad. Supongamos que m sea la masa propia de una part´ıcula, v su velocidad relativa al observador. Entonces, su masa medida ser´a √

m 1 − v2

mientras que su energ´ıa cin´etica, seg´ un la f´ormula usual, ser´a 1 mv 2 2 Como vimos anteriormente, la energ´ıa s´olo se da en una cuenta de p´erdidas y ganancias, de forma que podemos a˜ nadir cualquier cantidad constante que queramos. Podemos, pues, suponer que la energ´ıa es m+

1 mv 2 2

Ahora bien, si v es una peque˜ na fracci´on de la velocidad de la luz, m+ es casi exactamente igual a √

1 mv 2 2

m 1 − v2

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En consecuencia, para velocidades tan importantes como las de los cuerpos, la energ´ıa y la masa medida resultan indistinguibles dentro de los l´ımites de la exactitud alcanzable. En realidad, en mejor alterar nuestra definici´on de energ´ıa y suponer que es √

m 1 − v2

ya que ´esta es la dimensi´on por la que se mantiene la ley an´aloga a la conservaci´on. Y cuando la velocidad es muy grande, da una medida mejor de la energ´ıa que la f´ormula tradicional. La f´ormula tradicional se ha de considerar, pues, como una aproximaci´on, cuya versi´on exacta da la nueva f´ormula. En este sentido, energ´ıa y masa medida resultan identificadas. Paso ahora a la noci´on de ((acci´on)), que es menos familiar al p´ ublico general que la de energ´ıa. Pero ha venido a ser m´as importante en la f´ısica de la relatividad as´ı como en la teor´ıa del quantum. (El quantum es una peque˜ na cantidad de acci´on.) La palabra ((acci´on)) se usa para denotar energ´ıa multiplicada por tiempo. Es decir, si hay una unidad de energ´ıa en un sistema, ejercer´a una unidad de acci´on en un segundo, 100 unidades de acci´on en 100 segundos, y as´ı sucesivamente. Un sistema que tiene 100 unidades de energ´ıa ejercer´a 100 unidades de acci´on en un segundo, y 10.000 en 100 segundos, etc. Acci´on es, pues, en un sentido difuso, una medida de cuanto se ha realizado: se aumenta tanto por el desarrollo de una energ´ıa como por una prolongaci´on mayor del trabajo. Dado que la energ´ıa se identifica con la masa medida, podemos afirmar tambi´en que la acci´on es la masa medida multiplicada por el tiempo. En la mec´anica cl´asica, la ((densidad)) de materia en cualquier tema es la masa dividida por el volumen. Es decir, si se sabe la densidad de una peque˜ na parte, se puede descubrir la cantidad total de materia, multiplicando la densidad por el volumen de la peque˜ na parte. En la mec´anica de la relatividad, necesitamos sustituir siempre espacio-tiempo por espacio. Por tanto, una ((regi´on)) ya no se debe tomar como un simple volumen, sino como volumen que dura un tiempo. Una peque˜ na regi´on ser´a un peque˜ no volumen que dura un tiempo peque˜ no. La consecuencia es que, dada la densidad, una peque˜ na regi´on en el nuevo sentido contiene no una peque˜ na masa simplemente, sino una peque˜ na masa multiplicada por un peque˜ no tiempo, es decir, por una peque˜ na cantidad de ((acci´on)). Esto explica por qu´e se ha de esperar que la ((acci´on)) sea de importancia fundamental en la mec´anica de la relatividad. Y as´ı es en realidad.

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El postulado de que una part´ıcula que se mueve libremente sigue una geod´esica se puede sustituir por un supuesto equivalente sobre la ((acci´on(( de la part´ıcula. Tal principio se llama ((principio de la m´ınima acci´on)). Y afirma que un cuerpo al pasar de un estado a otro elige una ruta que supone una acci´on menor que cualquiera otra ruta ligeramente diferente —!una vez m´as, la ley de la pereza c´osmica!—. Los principios de la acci´on menor no quedan restringidos a los cuerpos u ´nicos. Es posible hacer una suposici´on similar que nos lleve a una descripci´on del espacio-tiempo como conjunto completo con monta˜ nas y valles. Tales principios, que desempe˜ nan una parte central en la teor´ıa cu´antica, lo mismo que en la relatividad, son los medios m´as completos de establecer la parte puramente formal de la mec´anica.

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11.

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El universo en expansi´ on

Hasta este momento hemos venido estudiando los experimentos y observaciones que en su mayor parte afectan a la tierra o al sistema solar. S´olo ocasionalmente nos hemos alejado hasta las estrellas. En este cap´ıtulo nos situaremos mucho m´as lejos: veremos lo que la relatividad tiene que decir sobre el universo en general. Las observaciones astron´omicas que vamos a estudiar deben considerarse como resultados cient´ıficos ya conseguidos. Sin embargo, las explicaciones te´oricas de estos resultados tienen un car´acter m´as especulativo. Y hay que suponer que tratamos materias te´oricas que tienen la misma solidez que las tratadas hasta aqu´ı. Necesitan ciertamente que se las perfeccione. La ciencia no aspira a establecer verdades inmutables ni dogmas eternos: su aspiraci´on es llegar a la verdad por aproximaciones sucesivas, sin pretender que se ha conseguido ninguna etapa final ni exactitud completa. Son necesarias unas explicaciones sobre la apariencia general del universo. Hoy se conoce mucho sobre la distribuci´on de la materia en una amplia escala. Nuestro sol es una estrella dentro de un sistema de cerca de 100.000 estrellas, conocidas con el nombre de ((galaxia)). La galaxia tiene forma de una rueda catalina gigante, con brazos espirales de estrellas que parten de un brillante eje central. Las siluetas de las galaxias no son muy definidas, pero el cuerpo principal de las estrellas tarda en aparecer unos 100.000 a˜ nos luz y en una tercera parte de su espesor (un a˜ no luz es la distancia que la luz recorre en un a˜ no: unos mil millones de kil´ometros). El sol est´a en uno de estos brazos espirales, alejado del centro del eje unos 30.000 a˜ nos luz. La V´ıa L´actea, senda brillante de estrellas que atraviesa el firmamento y f´acilmente visible en una noche clara, es precisamente nuestro ´angulo de mira del resto de la galaxia por su posici´on en el brazo espiral. Adem´as de estrellas, la galaxia contiene gran cantidad de gas, en su mayor parte hidr´ogeno y polvo. La masa total del gas y el polvo es probablemente una cuarta parte del total de la masa de todas las estrellas juntas. La acumulaci´on total de estrellas, polvo y gas gira despacio alrededor del eje. La velocidad de rotaci´on var´ıa en relaci´on a la distancia del eje: el sol tarda unos 250 millones de a˜ nos en dar una vuelta alrededor de ´el.

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La galaxia no est´a sola en el universo. Es una entre muchos millones de sistemas similares esparcidos a lo largo de la regi´on que pueden observar nuestros telescopios. Los otros sistemas tambi´en se llaman galaxias (o a veces ((nebulosas))). Algunas galaxias son achatadas, con brazos en espiral como la nuestra. Otras son redondas como balones de f´ utbol u ovales como los de rugby. E incluso otras de forma totalmente irregular. Las galaxias presentan distinta tendencia a reunirse en grupos. Estos grupos se llaman ((racimos)). Un solo racimo puede contener mil galaxias, cada una de las cuales es un inmenso sistema de estrellas lo mismo que el nuestro. Nuestra propia galaxia pertenece a un racimo, llamado peque˜ no ((grupo local)) que tiene alrededor de otras diecisiete galaxias (no podemos estar totalmente ciertos de su n´ umero, ya que varios de los que se sospecha que son miembros son relativamente peque˜ nos y muy tenues.) Nuestro vecino mejor conocido del grupo local es la galaxia de Andr´omeda, que est´a a dos millones de a˜ nos luz. Es ligeramente visible a simple vista. Los racimos de galaxias son las mayores unidades de materia f´acilmente identificables del universo. Hay algunas pruebas de agrupaciones en unidades mayores —en racimos de racimos— pero esto no se sabe con certeza. Aparte de esto, la distribuci´on de racimos parece ser bastante uniforme. Hay tantos en una parte del firmamento como en otra, y parecen distribuidos uniformemente en profundidad. No est´an, por supuesto, regularmente espaciados como filas de puntos. Est´an distribuidos al azar como las gotas de agua en el cristal de una ventana cuando comienza a llover. La distribuci´on de racimos es uniforme en el mismo sentido que lo es la distribuci´on de las gotas de agua: no se puede decir que el n´ umero de gotas en cada panel de ventana sea el mismo, pero no variar´a mucho de un panel a otro. Puesto que los racimos de galaxias son las mayores unidades naturales, y porque podemos ver gran n´ umero de estas unidades, es razonable pensar que la parte del universo visible a trav´es del telescopio es algo t´ıpico del universo como conjunto. No ser´ıa razonable suponer que la regi´on uniforme se extiende solamente hasta donde alcanzan a ver los telescopios (que es 3.500 millones de a˜ nos luz). Ni tampoco que el pr´oximo adelanto en materia de observaci´on llegar´a a descubrir regiones m´as distantes de un car´acter completamente distinto. No ser´ıa imposible que fuera as´ı, pero significar´ıa que el grupo local, u otra parte cercana a ´el, se hab´ıa escogido como centro

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especial de la regi´on uniforme. Y no hay pruebas cient´ıficas para suponer que haya de ser elegido en este sentido. La idea de que el universo es uniforme a gran escala fue sugerido mucho antes de que existieran pruebas astron´omicas de ello y ha adquirido ahora el car´acter de un postulado fundamental. Se denomina el ((principio cosmol´ogico)). El principio cosmol´ogico es en realidad s´olo una extensi´on de las ideas de Cop´ernico. Tan pronto como abandonamos la noci´on ego´ısta de que la tierra es el centro de todas las cosas, nos vemos obligados a aceptar que el sol, que es una estrella com´ un, no tiene m´as derecho que la tierra a ocupar un lugar especial en nuestra descripci´on del universo. Cuando comprobamos que nuestra galaxia y el racimo al que pertenece son tambi´en ejemplares t´ıpicos, entonces tambi´en ellos deben ser colocados l´ogicamente a la par con otros objetos similares. Ni existe una raz´on emp´ırica para suponer que las leyes de la f´ısica var´ıan sistem´aticamente de un racimo a otro de galaxias. De tales argumentaciones concluimos que el universo es uniforme a gran escala. En otras palabras, se conforma al principio cosmol´ogico. Las implicaciones de esto se pueden expresar de una manera ligeramente diferente. Sup´on que est´as dentro de un caj´on sin ventanas y que te trasladan a una parte lejana del universo. Al salir del caj´on no ver´ıas, naturalmente, la distribuci´on particular de las estrellas y galaxias que se ve desde la tierra —los detalles geogr´aficos de tu nuevo entorno ser´ıan diferentes—. Pero, seg´ un el principio cosmol´ogico, la apariencia general del universo ser´ıa la misma. Aparte de estos detalles, no podr´ıas decir en qu´e parte del universo te encuentras. Existe un fen´omeno muy notable que podr´ıa llevarnos a suponer que nuestro racimo local de galaxias tiene despu´es de todo una posici´on especial en el universo. Es el llamado ((corrimiento al rojo)) en los espectros de las galaxias distantes. Como vamos a ver en seguida, por este fen´omeno se dice que el universo est´a en expansi´on. Nos interesa aqu´ı un efecto que se explic´o ya en el cap´ıtulo 9, si bien en ese cap´ıtulo no nos ata˜ n´ıa directamente. Se recordar´a la analog´ıa con el sonido que introdujimos entonces: Si un tren se mueve hacia ti, la nota aguda de su silbato es m´as alta que si estuviera en reposo. Si, en cambio, se mueve

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en sentido contrario de donde t´ u est´as, el tono es m´as bajo. Los efectos son muy similares en el caso de la luz. Si el origen de la luz se va acercando hacia ti, todo el espectro de la luz se desplaza hacia el violeta. Si la causa de la luz se aleja de ti, el espectro se desplaza hacia el rojo. Estos desplazamientos del espectro corresponden a los cambios de tono del silbato del tren. La cantidad del desplazamiento depende de la proporci´on de cambio de la distancia entre nosotros y el origen de la luz. (Esto no tiene nada que ver con la velocidad de la luz misma que, como hemos visto, es independiente del movimiento de su causa.) Este desplazamiento del espectro nos da un medio para determinar las velocidades de las estrellas y de las galaxias, comparando los espectros de la luz que trasmiten con espectros similares producidos en laboratorios de la tierra. Las velocidades de las galaxias del grupo local, medidas de esta manera, ascienden a unos 500 kil´ometros por segundo. Resulta una velocidad muy r´apida trat´andose de distancias comunes, pero cuando se trata de grandes distancias entre las galaxias, pasar´ıan millones de a˜ nos antes de que se produjera un cambio notable en sus posiciones. Algunas de las galaxias de los grupos locales se dirigen hacia nosotros, otras se apartan. No hay nada realmente extra˜ no en este movimiento, que podr´ıa compararse al de las abejas en un enjambre. Las abejas se mueven unas con relaci´on a otras, pero el enjambre como tal se mantiene unido. La situaci´on es bastante diferente cuando llegamos a examinar racimos distintos a los nuestros. En cada uno de ellos volvemos a encontrar movimientos internos, pero todos los dem´as racimos parecen alejarse del nuestro. Y cuanto m´as lejos est´an, m´as r´apidamente parecen moverse. Es un fen´omeno importante que sugiere que el universo est´a en expansi´on. Puesto que todos los dem´as racimos parecen alejarse del nuestro, podr´ıamos inclinarnos a pensar que el grupo local est´a en cierto sentido en el centro del universo en expansi´on. Ser´ıa un disparate, ya que se olvida el car´acter relativo del movimiento que con tanta insistencia hemos se˜ nalado en este libro. Volvamos una vez m´as a la analog´ıa del enjambre de abejas. Supongamos que hay enjambres muy bien amaestrados, que vuelan alrededor del campo unos diez metros en una l´ınea que va de oeste a este. Supongamos despu´es que uno de los enjambres se mantiene quieto en relaci´on al suelo, mientras que el enjambre que se encuentra diez metros al este de ´el se mueve hacia el este a raz´on de un metro por minuto. El enjambre que est´a a veinte metros

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al este se mueve f´acilmente a dos metros por minuto, y as´ı sucesivamente. Mientras tanto, los enjambres situados al oeste del enjambre que est´a quieto se mueven hacia el oeste a velocidades similares. En estas circunstancias, a una abeja que se encuentre en cualquiera de los enjambres, fijos o movi´endose, le parecer´a que todos los dem´as enjambres se apartan del suyo a velocidades proporcionales a sus distancias. Si el suelo no sirviera como modelo de reposo, entonces no habr´ıa raz´on para pensar que cualquiera de los enjambres fue escogido en un sentido especial. El comportamiento de los racimos de galaxias es totalmente similar. Por supuesto que est´an distribuidos irregularmente en todas las direcciones, en lugar de estar alineados como nuestros bien amaestrados enjambres. Pero, como en el caso de ´estos, a un observador que estuviese en cualquiera de los racimos, le parecer´ıa que todos los dem´as se alejan del suyo. Dado que no hay un principio absoluto de reposo en el universo, la apariencia de expansi´on es la misma para todos los racimos. El racimo m´as pr´oximo, a una distancia de 43 millones de a˜ nos luz y que contiene unas 2.500 galaxias, tiene un desplazamiento al rojo correspondiente a una velocidad de recesi´on de nosotros de 1.200 kil´ometros por segundo. El racimo m´as distante estudiado hasta el momento tiene un desplazamiento al rojo cien veces mayor, correspondiente a la velocidad de recesi´on, que es casi la mitad de la velocidad de la luz. (Las velocidades de recesi´on correspondientes a los desplazamientos al rojo tan grandes como ´este se han de calcular sobre la base de las f´ormulas de transformaci´on de Lorentz que dimos en el cap´ıtulo 6.) Los mayores desplazamientos al rojo descubiertos hasta el presente no son los de los racimos distantes, sino los de los llamados ((objetos cuasiestelares)) (quasars) cuyos desplazamientos al rojo corresponden a las velocidades de recesi´on superiores a las cuatro quintas partes de la velocidad de la luz. La naturaleza de estos objetos, sin embargo, no se ha llegado a comprender todav´ıa. Por lo mismo, no se pueden tomar propiamente en cuenta a la hora de usar los datos astron´omicos para construir un modelo te´orico. Veamos ahora c´omo se puede acoplar esta informaci´on del universo dentro de la teor´ıa general de la relatividad. Ya hemos visto que los efectos gravitatorios del sol pueden describirse como los de una monta˜ na en espacio-

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tiempo. Una galaxia o un racimo de galaxias puede representarse de la misma manera, pero por una monta˜ na mucho mayor, a causa de su mayor masa. (La masa de un racimo t´ıpico es aproximadamente de mil millones de veces la masa del sol.) Si quisi´eramos incorporar en esta descripci´on detalles de la distribuci´on de las estrellas en cada galaxia y de las galaxias en cada racimo, tendr´ıamos una monta˜ na muy complicada con muchos precipicios y valles. Tendr´ıamos entonces que describir el conjunto del universo de forma que pudiera representarse por un espacio-tiempo con monta˜ nas que representan los racimos, esparcidas en ´el. Tal descripci´on ser´ıa matem´aticamente muy complicada, ya que incluir´ıa muchos detalles ((geogr´aficos)) no esenciales para una descripci´on de la apariencia superficial del universo. Para simplificar la descripci´on, construimos modelos que mantienen los que parecen ser los aspectos esenciales, dejando a un lado los detalles geogr´aficos. Los aspectos que mantenemos son la uniformidad a gran escala y la expansi´on. Los detalles desechados son las posiciones exactas, los tama˜ nos y las composiciones de los racimos individuales. De esta manera construimos modelos de espacio-tiempo que representan el universo, suponi´endolo exactamente uniforme, en lugar de aproximadamente uniforme. En estos modelos simplificados imaginamos la materia alisada en continua distribuci´on en vez de estar recogida en racimos con amplios espacios entre ellos. La acumulaci´on de materia en un racimo se puede describir diciendo que es una gran monta˜ na en espacio-tiempo, donde vemos el racimo. O tambi´en diciendo que el espacio-tiempo se encorva muy pr´oxirno al racimo. De la misma manera, la distribuci´on uniforme de la materia en un modelo alisado del universo se puede describir diciendo que el espacio-tiempo se encorva uniformemente. El efecto de alisar la materia que compone los diferentes racimos es suavizar la correspondiente curvatura con el fin de producir una ligera curvatura general. Esta curvatura general del universo es algo parecido a la curvatura de una esfera en el espacio ordinario, pero no llevaremos m´as adelante la analog´ıa de la curvatura con las monta˜ nas de espacio-tiempo. La comparaci´on de la curvatura general del espacio-tiempo con la curvatura de la tierra podr´ıa resultar f´acilmente equ´ıvoca. La ley de la gravitaci´on de Einstein, combinada con el supuesto de alisa-

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miento —el supuesto de la uniformidad exacta—, nos permite construir una variedad de modelos del universo en los que la curvatura general adquiere una variedad de formas. El efecto principal de esta curvatura general es que supone, en algunos de los modelos, que los espectros de los objetos distantes se desplazar´an hacia el rojo. Es en gran parte una cuesti´on de gusto si este desplazamiento al rojo se ha de atribuir a un movimiento recesivo o a la curvatura espacio-tiempo. El efecto aparecer´a de una manera u otra, seg´ un dependa del sistema de coordenadas que se emplee para describir el universo. Lo que la relatividad predice no depende, por supuesto, de la elecci´on del sistema de coordenadas. Los universos modelo que acabamos de estudiar concuerdan m´as o menos bien con las observaciones de las propiedades generales de nuestro propio universo. Hay otros, igualmente coherentes con la ley de Einstein y con el supuesto de uniformidad, en que se da un desplamiento hacia el azul, correspondiente a una contracci´on del universo, en vez de darse un desplazamiento hacia el rojo. La existencia de tales modelos no es raz´on suficiente para rechazar la teor´ıa de Einstein. Supone que la teor´ıa no es completa; se requiere alg´ un supuesto adicional que excluya los modelos no deseados. Se han sugerido varios supuestos, pero sin encontrar hasta el momento uno que satisfaga. Examinemos un poco m´as detenidamente las consecuencias de la expansi´on. Y recordemos que lo dicho se puede volver a formular en funci´on de la curvatura de espacio-tiempo si llega a ser necesario. La consecuencia m´as obvia es que si el universo, por decirlo de alguna manera, se est´a haciendo menos denso —si los racimos de las galaxias se est´an separando m´as y m´as— es porque en el pasado debieron estar m´as juntos de lo que ahora est´an. Supongamos que hemos filmado una pel´ıcula del universo en expansi´on, durante un per´ıodo de muchos millones de a˜ nos, para dejar constancia de toda la historia de la expansi´on. Si esta pel´ıcula se proyectara hacia atr´as, mostrar´ıa la historia del universo al rev´es. En vez de apartarse los racimos de galaxias unos de otros, aparecer´ıan movi´endose unos hacia otros. A medida que el film fuera corriendo hacia atr´as, se ir´ıan juntando cada vez m´as, hasta estar tan juntos que posiblemente no hubiera entre ellos separaci´on alguna. M´as tarde todav´ıa —podemos seguir suponiendo— incluso los espacios entre las estrellas estar´ıan apretad´ısimos, ya que todo espacio disponible estar´ıa

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lleno de gas caliente, altamente condensado, del que podr´ıan haber evolucionado las estrellas. Recientes observaciones astron´omicas de ondas cortas de radio parecen confirmar la existencia de este estado de alta condensaci´on. Sin embargo, las predicciones de modelos te´oricos de este estado de condensaci´on no pueden llevarse demasiado lejos. Lo que se conoce de las propiedades cu´anticas de la materia sugiere que en un tiempo determinado en los or´ıgenes estas propiedades podr´ıan haber tenido importantes efectos. No hay acuerdo general sobre la ´epoca en que esto pudo haber sucedido exactamente, pero parece probable al menos que los efectos quantum no podr´ıan despreciarse en una ´epoca en que el conjunto del mundo hoy observable estaba comprimido, digamos, al tama˜ no de un prot´on. Hemos visto que la teor´ıa de Einstein es incapaz de describir tales efectos, de manera que no hay informaci´on fidedigna acerca de la naturaleza del universo en esta etapa de su expansi´on. Adem´as, la posibilidad de los efectos quantum supone que nada de lo que ocurri´o antes de un estado de tan alta condensaci´on pudo influir posiblemente en el comportamiento ulterior del universo. Todo esto es bastante especulativo. S´olo podemos concluir de ello que si el universo ha evolucionado de hecho a partir de un estado de alta condensaci´on, ese estado de alta condensaci´on representa el tiempo m´as primitivo sobre el cual jam´as se podr´a tener con probabilidad ninguna informaci´on cient´ıfica. Si tal estado se dio realmente o no todav´ıa est´a en discusi´on. Los datos astron´omicos de que disponemos no son lo bastante precisos para decidir la cuesti´on. Los que creen que este estado tuvo lugar se inclinan a vincular el estado de alta condensaci´on al ((principio del universo)) o ((al tiempo en que el universo fue creado)), o algo por el estilo. Estas frases no significan m´as que ((el tiempo m´as primitivo sobre al cual jam´as se podr´a tener probablemente informaci´on cient´ıfica alguna)), y es mejor evitarlas, porque acarrean consecuencias metaf´ısicas no deseables. Hay otros modelos del universo coherentes con la ley de la gravitaci´on de Einstein en los cuales el estado de alta concentraci´on no figura para nada. El m´as conocido es el llamado modelo de estado-firme. Hemos visto que seg´ un el principio cosmol´ogico, no se puede decir d´onde te encuentras en el universo. Pero dos astr´onomos que estuvieran en planetas de diferentes galaxias pueden decir d´onde est´an; ambos, por ejemplo, observar´an que el universo se va haciendo menos denso en el curso de la expansi´on. Y pueden

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estar de acuerdo sobre el tiempo en que respectivamente han observado que han perdido espesor en una extensi´on determinada. En el modelo de estado firme, sin embargo, no se puede decir ni d´onde ni cu´ando se est´a. Es decir, se supone que, en el modelo de estado firme, presenta la misma apariencia general tanto a los astr´onomos situados en diferentes lugares, como a los que se sit´ uan en los mismos o diferentes lugares en tiempos diferentes. La divisi´on en espacio y tiempo que parece estar jugando aqu´ı no est´a en conflicto con la relatividad; se aplica solamente a los astr´onomos que se mueven con los racimos de galaxias. Un astr´onomo a una velocidad substancialmente diferente har´ıa una descripci´on m´as complicada del universo. Nosotros preferimos, naturalmente, considerar aquellos cuyas descripciones son las m´as simples. Para que la apariencia general del universo no cambie con el tiempo, a pesar de la expansi´on, es necesario que a medida que los racimos de galaxias se van aclarando, aparezcan otros nuevos en medio de ellos, para llenar los vac´ıos. ¿De d´onde proceden los nuevos racimos? Seg´ un la teor´ıa de estado firme, la materia debi´o aparecer en el espacio intergal´actico en una proporci´on suficiente para suprimir el adelgazamiento por expansi´on. Podemos suponer a esta materia en su forma inicial de gas hidr´ogeno, que sucesivamente se transforma en estrellas, galaxias y racimos. La proporci´on de esta presencia del hidr´ogeno se supone que fue muy peque˜ na: un ´atomo en el espacio del tama˜ no de la catedral de Londres cada mil a˜ nos. Demasiado peque˜ na para quedar excluida en las observaciones directas, pero lo suficientemente grande para compensar el adelgazamiento por expansi´on. El proceso de la aparici´on del hidr´ogeno se llama con frecuencia “creaci´on continua”. Pero ´este es otro t´ermino que comporta connotaciones metaf´ısicas y es mejor prescindir de ´el. A primera vista pudiera parecer que este proceso es contrario a las leyes de la conservaci´on de la energ´ıa que forman parte de la teor´ıa de Einstein. Si se tiene en cuenta la curvatura general del universo, resulta, sin embargo, que el proceso sugerido es perfectamente coherente con la relatividad. Naturalmente que la proporci´on en que aparecen los nuevos ´atomos no puede ser despreciable. Los nuevos ´atomos aparecen en la proporci´on exacta requerida para compensar la expansi´on. Tal como est´an las cosas en el presente, algunos de los universos modelo que pronostican la expansi´on desde un estado de alta condensaci´on son los

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m´as f´aciles de reconciliar con los datos astron´omicos. Todos ellos tienen defectos. Y el m´as obvio es que s´olo dan una representaci´on plana que no tiene en cuenta el tama˜ no o la composici´on de las galaxias y racimos. El modelo de estado firme puede en alguna medida superar este defecto, pero falla en dar una explicaci´on satisfactoria de algunos otros datos, por ejemplo, los que sugieren un estado de alta condensaci´on en el pasado remoto. La construcci´on de un modelo totalmente satisfactorio depende de la soluci´on de algunas dificultades matem´aticas serias. Cu´al de los modelos disponibles se haya de preferir en un tiempo concreto ha de depender de los datos astron´omicos.

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Convencionalismos y leyes naturales

Uno de los problemas m´as dif´ıciles en toda controversia es distinguir las discusiones sobre palabras de las discusiones sobre hechos: no deber´ıa ser dif´ıcil, pero en la pr´actica lo es. Esto es tan cierto en f´ısica como en otros campos. En el siglo xvii hubo un debate tremendo acerca del significado de ((fuerza)). Para nosotros, hoy, era obviamente un debate sobre c´omo se hab´ıa de definir la palabra ((fuerza)), pero en aquella ´epoca se pensaba que era mucho m´as. Uno de los fines del m´etodo de los tensores, empleado en las matem´aticas de la relatividad, es eliminar lo que es puramente verbal (en un sentido amplio) dentro de las leyes f´ısicas. Es, por supuesto, obvio que lo que depende de la elecci´on de las coordenadas es ((verbal)) en el sentido establecido. Un hombre que rema avanza junto con la embarcaci´on, pero mantiene una posici´on constante con relaci´on al lecho del r´ıo mientras no levante el remo. Los liliputienses podr´ıan discutir indefinidamente si este hombre se mueve o est´a quieto. La discusi´on ser´ıa sobre palabras no sobre hechos. Si elegimos coordenadas fijas en relaci´on a la embarcaci´on, el hombre avanza. Si elegimos coordenadas fijas en relaci´on al lecho del r´ıo, est´a parado. Necesitamos expresar las leyes f´ısicas de tal manera que aparezca cu´ando queremos expresar la misma ley en relaci´on a dos sistemas de coordenadas. As´ı, no nos desorientaremos al suponer que tenemos diferentes leyes cuando en realidad s´olo tenemos una con diferentes palabras. Esto se lleva a cabo por el m´etodo de los tensores. Ciertas leyes que parecen plausibles en un lenguaje no pueden ser traducidas a otro. Son imponderables como leyes de la naturaleza. Las leyes que pueden traducirse a cualquier lenguaje de coordenadas tienen ciertas caracter´ısticas: es una ayuda sustancial a la hora de buscar tales leyes de la naturaleza como la teor´ıa de la relatividad el poder admitir que sea posible. De las leyes posibles, nosotros elegimos la m´as real de los cuerpos: la l´ogica y la experiencia se combinan en iguales proporciones para obtener esta expresi´on. Pero el problema de llegar a las leyes aut´enticas de la naturaleza no se ha de resolver solamente por el m´etodo de los tensores. Se ha de poner en la tarea una buena dosis de cuidadosa reflexi´on. Algo de esto se hizo ya, especialmente por Eddington; pero queda todav´ıa mucho m´as por hacer. Pongamos una simple ilustraci´on: imaginemos, como en la hip´otesis de

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la concentraci´on de Fitzgerald, que las longitudes en una direcci´on son m´as cortas que en otra. Supongamos que un metro-medida que apunta hacia el norte tiene una longitud correspondiente a la mitad de otro que apunta al este. Supongamos tambi´en que lo mismo pueda aplicarse a todos los dem´as cuerpos. ¿Tiene esta hip´otesis alg´ un significado? Si tienes una ca˜ na de pescar de tres metros de longitud cuando apunta hacia el oeste, y la vuelves hacia el norte, seguir´a midiendo tres metros, pues tu metro-medida habr´a variado tambi´en. No ((parecer´a)) m´as corta, porque tu ojo habr´a quedado afectado en el mismo sentido. Si quieres comprobar el cambio, no ha de ser mediante una medida ordinaria, sino por un m´etodo como el experimento de MichelsonMorley, en el cual se utiliza la velocidad de la luz para medir longitudes. En tal caso, todav´ıa debes decidir si es m´as f´acil suponer un cambio de longitud o un cambio en la velocidad de la luz. El hecho experimental consistir´ıa en que la luz emplea m´as tiempo en atravesar lo que seg´ un tu metro-medida es una distancia determinada en una u otra direcci´on, o, como sucede en el experimento de Michelson-Moley, que ´esta deber´ıa ser m´as larga pero no lo es. Puedes acoplar tus medidas a tal hecho de varias maneras. En cualquier forma que las adoptes, siempre habr´a un elemento convencional. Este elemento convencional se mantiene en las leyes que has adoptado despu´es de haberte decidido por las medidas y con frecuencia adquiere formas sutiles y evasivas. Eliminar el elemento convencional es, en realidad, extraordinariamente dif´ıcil. Cuanto m´as se estudia el tema, mayor parece ser la dificultad. Un ejemplo m´as importante es la cuesti´on del tama˜ no del electr´on. Comprobamos experimentalmente que todos los electrones tienen el mismo tama˜ no. Hasta qu´e punto es esto un hecho genuino ratificado por la experiencia y hasta qu´e punto es el resultado de nuestros convencionalismos de medici´on? Debemos hacer aqu´ı dos comparaciones diferentes: 1) en relaci´on a un electr´on en diferentes momentos; 2) en relaci´on a dos electrones en el mismo tiempo. Podemos, pues, llegar a la comparaci´on de dos electrones en diferentes tiempos combinando 1 y 2. Podemos desechar cualquier hip´otesis que afecta a todos los electrones por igual. Ser´ıa in´ util, por ejemplo, suponer que en una regi´on de espacio-tiempo fueran mayores que en otra. Tal cambio afectar´ıa tanto a los instrumentos de medici´on como a las cosas medidas, y, por tanto, no llevar´ıa a descubrir ning´ un fen´omeno. Equivale a decir que no habr´ıa cambio alguno. Pero el hecho de que dos electrones tengan la

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misma masa, por ejemplo, no puede considerarse como algo simplemente convencional. Dada la suficiente minuciosidad y precisi´on, podr´ıamos comparar los efectos de dos electrones diferentes con un tercero: si fueran iguales en parecidas circunstancias, podr´ıamos deducir la igualdad en un sentido no puramente convencional. Eddington describe el proceso vinculado a las partes m´as avanzadas de la teor´ıa de la relatividad y lo llama ((edificaci´on del mundo)). La estructura que se ha de construir es el mundo f´ısico tal como lo conocemos. El arquitecto econ´omico lo trata de construir con la menor cantidad posible de material. Es una cuesti´on de l´ogica y de matem´aticas. Cuanto mayor sea nuestra habilidad t´ecnica en estas dos disciplinas, m´as real ser´a el mando que hagamos y menos contentos estaremos con los montones de piedras. Pero antes de que podamos emplear en nuestro edificio las piedras que suministra la naturaleza las tenemos que cortar en formas rectas: todo ello forma parte del proceso de edificaci´on. Para que esto pueda ser posible, la materia prima ha de tener cierta estructura (que podemos concebir como an´aloga a la veta de la madera), pero casi cualquier estructura podr´a servir. Por sucesivas precisiones matem´aticas, vamos cortando nuestras exigencias iniciales hasta que su monto es muy peque˜ no. Dado este m´ınimo necesario de estructura en la materia prima, comprobaremos que podemos construir a partir de ella una expresi´on matem´atica que tendr´a las propiedades necesarias para describir el mundo que percibimos —en particular, las propiedades de conservaci´on que son caracter´ısticas del impulso y de la energ´ıa (o de la masa). Nuestra materia prima constaba simplemente de sucesos. Pero cuando nos damos cuenta que podemos construir algo a partir de ella que, una vez medido, parece que no puede ser creado ni destruido nunca, no ha de sorprender que lleguemos a creer en los ((cuerpos)). En realidad son simples construcciones matem´aticas m´as all´a de los hechos. Pero debido a su permanencia son importantes en la pr´actica. Y nuestros sentidos (que probablemente se han desarrollado por necesidades biol´ogicas) est´an adaptados para captarlos, m´as bien que el simple continuo de sucesos que te´oricamente es m´as fundamental. Desde este punto de vista, asombra lo poco que la ciencia f´ısica nos revela acerca del mundo real: nuestro conocimiento est´a limitado no s´olo por el elemento convencional sino tambi´en por la selectividad de nuestro aparato perceptivo. En particular, se pueden crear totalmente las condiciones de simetr´ıa

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por convencionalismos tales como la medida. Y no hay raz´on para suponer que representan cualquier propiedad del mundo real. La misma ley de la gravitaci´on, seg´ un Eddington, puede ser considerada como expresi´on de convencionalismos de medida. ((Los convencionalismos de medida —dice— introducen una isotrop´ıa4 y homogeneidad en el espacio medido, que originalmente no necesita tener una contrapartida en la relaci´on-estructura que est´a siendo estudiada. Esta isotrop´ıa y homogeneidad est´an expresadas exactamente en la ley de la gravitaci´on de Einstein)). Las limitaciones del saber introducido por la selectividad de nuestro aparato perceptivo pueden ilustrarse por la indestructibilidad de la energ´ıa. Esto se ha ido descubriendo gradualmente por experiencia, y pareci´o una ley de la naturaleza emp´ırica con buen fundamento. Ahora resulta que, desde nuestro continuo espacio-tiempo original, podemos construir una expresi´on matem´atica con propiedades que la hagan aparecer indestructible. La afirmaci´on de que la energ´ıa es indestructible deja entonces de ser una proposici´on de la f´ısica para convertirse, por el contrario, en una proposici´on de la ling¨ u´ıstica y de la psicolog´ıa. Como proposici´on de la ling¨ u´ıstica, ((energ´ıa)) es el nombre de la expresi´on matem´atica en cuesti´on. Como proposici´on de la psicolog´ıa, nuestros sentidos son tales que nos damos cuenta de manera general de cu´al es la expresi´on matem´atica en cuesti´on. Y nos estamos acercando cada vez m´as a ella a medida que vamos aquilatando nuestras percepciones de bulto por la observaci´on cient´ıfica. Es mucho menos de lo que los f´ısicos sol´ıan creer que conoc´ıan sobre la energ´ıa. El lector puede decir: ¿Qu´e queda entonces de la fisica? ¿Qu´e conocemos realmente en torno al mundo de la materia? Podemos distinguir tres secciones en la fisica. Hay una primera, incluida dentro de la teor´ıa de la relatividad y divulgada lo m´as ampliamente posible. En segundo lugar, hay leyes que no pueden encuadrarse dentro de los fines de la relatividad. En tercer lugar, est´a lo que podemos llamar geograf´ıa. Veamos cada uno de ellos. La teor´ıa de la relatividad, prescindiendo de su convencionalismo, nos dice que los hechos del universo tienen un orden cuatridimensional. Afirma tambi´en que entre dos hechos que est´an pr´oximos en este orden, hay una 4 ((Isotrop´ıa)) significa que es similar en todas las direcciones, por ejemplo, que un metromedida tiene la misma longitud tanto si se˜ nala al norte como si se˜ nala al este.

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relaci´on llamada ((intervalo)) que es capaz de ser medido si se toman las precauciones convenientes. Nos dice adem´as que el ((movimiento absoluto)), el ((espacio absoluto)) y el ((tiempo absoluto)) no pueden tener significaci´on f´ısica alguna. No son aceptables las leyes de la f´ısica que suponen estos conceptos. En s´ı mismo, esto dif´ıcilmente es una ley f´ısica. Se trata m´as bien de una regla pr´actica que nos permite rechazar como insatisfactorias algunas leyes f´ısicas propuestas. Adem´as de esto, pocas cosas hay en la teor´ıa de la relatividad que puedan considerarse como leyes f´ısicas. Hay muchas matem´aticas, que demuestran que ciertas cantidades matem´aticamente elaboradas deben comportarse como las cosas que percibimos. Y se sugiere la existencia de un puente entre la psicolog´ıa y la f´ısica. Para esta sugerencia las dimensiones construidas matem´aticamente son lo que nuestros sentidos se adaptan a percibir. Pero ninguna de estas cosas es f´ısica en sentido estricto. La parte de la f´ısica que, al presente, no puede reducirse a los fines de la relatividad es amplia e importante. No hay nada en la relatividad que muestre las razones de la existencia de electrones y protones. La relatividad no puede dar ninguna raz´on de por qu´e la materia existe en peque˜ nas ´ masas. Este es el campo de la teor´ıa cu´antica, que estudia muchas de las propiedades de la materia a peque˜ na escala. La teor´ıa cu´antica se ha hecho coherente con la teor´ıa especial de la relatividad. Pero hasta el momento todos los intentos de realizar una s´ıntesis de la teor´ıa cu´antica y de la relatividad general no han tenido ´exito. Parece que existen dificultades muy serias en la forma de adaptar esta parte de la f´ısica dentro del marco de la relatividad general. En la actualidad hay igualmente serias dificultades en la propia teor´ıa cu´antica. Y muchos f´ısicos piensan que una s´ıntesis de la teor´ıa cu´antica y la de la relatividad general podr´ıa resolver algunas de estas dificultades. La situaci´on presente, como hemos visto, es que la relatividad general tiene en cuenta bastante satisfactoriamente las propiedades de la materia a gran escala. La teor´ıa cu´antica, en cambio, se adapta de forma bastante satisfactoria a las propiedades de la materia a escala muy peque˜ na. Sin embargo, no hay conexi´on aparente entre las dos teor´ıas, a no ser de cara a su campo com´ un de la teor´ıa especial de la relatividad. Esta situaci´on no es satisfactoria y no es probable que sea permanente. Algunos piensan que la relatividad general deber´ıa extenderse de tal forma que explicara todos

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los resultados que explica la teor´ıa cu´antica, pero de una manera m´as satisfactoria que la teor´ıa cu´antica actual. Hacia el final de su vida, Einstein era una de las personas que pensaban as´ı. Sin embargo, muchos de los f´ısicos de hoy piensan que esta idea es equivocada. La teor´ıa general de la relatividad es el ejemplo m´as extremo de lo que podr´ıamos llamar m´etodos directos. La gravitaci´on ya no necesita ser considerada como el efecto del sol sobre un planeta. Puede concebirse como la expresi´on de las caracter´ısticas de la regi´on en que se encuentre el planeta. Se supone que estas caracter´ısticas se alteran poco a poco, gradualmente, continuamente, y no a saltos repentinos, como cuando uno se mueve de una a otra parte del espacio-tiempo. Los efectos del electromagnetismo pueden considerarse de manera similar, pero su car´acter cambia totalmente tan pronto como se le fuerza a concordar con la teor´ıa cu´antica. A pesar de ello, si tratamos de aplicar a la gravitaci´on estas ideas de la teor´ıa quantum comprobamos que no se acoplan propiamente, y que es necesaria una alteraci´on considerable en una teor´ıa u otra o en las dos. Qu´e modificaci´on sea necesaria, no lo sabemos todav´ıa. La dificultad puede explicarse de una manera un tanto diferente. Cuando un astr´onomo observa el sol, ´este mantiene una arrogante indiferencia ante sus procedimientos. Pero cuando un f´ısico trata de averiguar lo que sucede en un ´atomo, el aparato que emplea es mucho mayor que la cosa que observa en vez de mucho m´as peque˜ no, y probablemente tendr´a alg´ un efecto sobre ´el. Se ha comprobado que el tipo de aparato m´as adecuado para determinar la posici´on de un ´atomo se ve obligado a afectar a su velocidad, y el tipo de aparato m´as adecuado para determinar la velocidad afecta necesariamente a su posici´on. Esto no supone problema alguno cuando a la teor´ıa cu´antica de los ´atomos se la hace concordar con la teor´ıa especial de la relatividad. Entonces se deja a un lado la gravitaci´on, y se supone que el espacio-tiempo es plano tanto si los ´atomos est´an movi´endose en ´el o como si no. Pero si tratamos de acoplar la teor´ıa cu´antica a la teor´ıa general de la relatividad, entonces, no se puede despreciar la gravitaci´on, de manera que la curvatura del espacio-tiempo depender´a de la ubicaci´on de los ´atomos. Sin embargo, como acabamos de ver, la teor´ıa cu´antica deja claro que no podemos saber

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siempre d´onde est´an los ´atomos. Aqu´ı est´a la ra´ız de la dificultad. Llegamos finalmente a la geograf´ıa, en la que incluimos la historia. La separaci´on de la geograf´ıa de la historia se apoya en la separaci´on del tiempo del espacio cuando unimos los dos en espacio-tiempo, necesitamos una palabra para describir la combinaci´on de geograf´ıa e historia. Por mor de la simplicilad, usar´e u ´nicamente la palabra geograf´ıa en este sentido amplio. La geograf´ıa, en este sentido, incluye todo lo que, como materia sin acabar, distingue una parte del espacio-tiempo de otra. Una parte est´a ocupada por el sol, otra por la tierra. Las regiones intermedias contienen ondas luminosas, pero no materia (a excepci´on de una poca aqu´ı y all´a). Se da un cierto grado de conexi´on te´orica entre los diferentes hechos geogr´aficos. Establecerlo es la finalidad de las leyes f´ısicas. Todav´ıa estamos en disposici´on de calcular los hechos importantes sobre el sistema solar, hacia atr´as hacia adelante durante vastos per´ıodos de tiempo. Pero en semejantes c´alculos necesitamos una base de hechos elementales. Los hechos est´an entrelazados y s´olo se pueden deducir de otros hechos, no solamente de leyes generales. As´ı, los hechos de la geograf´ıa tienen cierto status independiente en f´ısica. Ning´ un n´ umero de leyes f´ısicas nos permitir´a inferir un hecho fisico a menos que conozcamos otros hechos como datos de nuestra inferencia. Y cuando hablo aqu´ı de ((hechos)) estoy pensando en hechos concretos de geograf´ıa, en el sentido amplio en que vengo empleando el t´ermino. En la teor´ıa de la relatividad, nos interesa la estructura, no el material de que est´a compuesta la estructura. En geograf´ıa, por el contrario, el material es importante. Si hay diferencia entre un lugar y otro, ha de haber diferencias tambi´en entre el material de un lugar y de otro, o lugares en que hay material y lugares en que no lo hay. La primera de estas alternativas parece la m´as satisfactoria. Podr´ıamos intentar expresarlo as´ı: hay electrones y protones y otras part´ıculas subat´omicas, y el resto est´a vac´ıo. Pero en las regiones vac´ıas hay ondas luminosas, de forma que no podemos decir que all´ı no hay nada. Seg´ un la teor´ıa cu´antica, ni siquiera podemos decir exactamente d´onde hay cosas, sino solamente que es m´as probable encontrar un electr´on en un lugar que en otro. Algunos sostienen que las ondas luminosas, y tambi´en las part´ıculas, son solamente perturbaciones del ´eter.

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Pero en todo caso, los sucesos siguen ocurriendo all´ı donde hay o pueda haber ondas luminosas o part´ıculas. Es todo lo que se puede decir respecto a los lugares donde probablemente hay energ´ıa en una forma u otra, ya que la energ´ıa es el resultado de una construcci´on matem´atica levantada sobre hechos. Podemos decir, pues, que hay sucesos en todas partes del espaciotiempo. Pero deben ser de un tipo un tanto diferente seg´ un se trate de una regi´on en que es probable que exista un electr´on o prot´on, o con el tipo de regi´on que com´ unmente llamar´ıamos vac´ıa. Pero en lo que se refiere a la naturaleza intr´ınseca de estos sucesos no podemos saber nada, a no ser que se conviertan en hechos de nuestra propia vida. Nuestras propias percepciones y sentimientos han de ser parte de la materia bruta de los acontecimientos que la f´ısica ordena dentro de un modelo, o m´as bien, que la f´ısica comprueba que est´an ordenados en un modelo. Por lo que respecta a los sucesos que no forman parte de nuestra vida, la f´ısica nos habla de su modelo, pero no nos puede decir nada de su naturaleza ´ıntima. Ni parece posible que pueda ser descubierta por cualquier otro m´etodo.

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La abolici´ on de la ((fuerza))

En el sistema newtoniano, los cuerpos no sometidos a la acci´on de ninguna fuerza, se mueven en l´ınea recta con velocidad uniforme. Cuando los cuerpos no se mueven en este sentido, su cambio de movimiento se ha de atribuir a una ((fuerza)). Algunas fuerzas parecen inteligibles a nuestra imaginaci´on. Tales son las que se ejercen por medio de una maroma o cuerda, por la colisi´on de cuerpos, o por cualquier otro tipo de empuje o arrastre. Como se explic´o en uno de los primeros cap´ıtulos, nuestra evidente comprensi´on imaginativa de estos procesos es totalmente enga˜ nosa. Lo que realmente significa es que la experiencia pasada nos permite prever m´as o menos lo que va a suceder sin tener que acudir a c´alculos matem´aticos. Pero las ((fuerzas)) implicadas en la gravitaci´on y en las formas menos conocidas de la acci´on el´ectrica no parecen en este sentido ((naturales)) a nuestra imaginaci´on. Parece extra˜ no que la tierra pueda flotar en el vac´ıo: lo natural ser´ıa suponer que debe caer. Por eso tiene que apoyarse en un elefante, y el elefante en una tortuga, seg´ un algunos sabios primitivos. La teor´ıa newtoniana, adem´as de la acci´on a distancia, introdujo otras dos novedades imaginarias. La primera fue que la gravitaci´on no est´a siempre y esencialmente dirigida ((hacia abajo)), por llamarlo de alguna manera, es decir, hacia el centro de la tierra. La segunda fue que un cuerpo girando en un c´ırculo con velocidad uniforme ((no se mueve uniformemente)) en el sentido en que esa frase se aplica al movimiento de los cuerpos que no est´an bajo ninguna fuerza. Dicho cuerpo gira fuera del curso recto hacia el centro del c´ırculo, que requiere una fuerza que le empuja en esa direcci´on. De aqu´ı que Newton llegara a la idea de que los planetas son atra´ıdos hacia el sol por una fuerza llamada gravitaci´on. Todo este punto de vista, como hemos visto, ha sido superado por la relatividad. Ya no hay ((l´ıneas rectas)) en el viejo sentido geom´etrico. Hay ((l´ıneas rect´ısimas)), o geod´esicas, pero ´estas suponen tiempo y espacio. Un rayo-luz que atraviesa el sistema solar lo describe la misma ´orbita que un cometa, desde un punto de vista geom´etrico; no obstante, cada uno se nueve en una geod´esica. Ha cambiado todo el panorama imaginario. Un poeta podr´ıa decir que el agua se despe˜ na monte abajo porque es atra´ıda por el mar. Pero un f´ısico o un pobre mortal dir´ıa que en cualquier momento se mueve de una manera determinada a causa de la naturaleza del suelo, sin

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mirar qu´e hay delante de ´el. As´ı como el mar no hace que el agua corra hacia ´el, de la misma manera el sol no es la causa de que los planetas giren a su alrededor. Los planetas se mueven alrededor del sol porque es lo m´as f´acil —en el sentido t´ecnico de la ((menor acci´on)). Lo m´as f´acil a causa de la regi´on en que est´an, no a causa de una influencia que emana del sol. La supuesta necesidad de atribuir gravitaci´on a una ((fuerza)) que atraiga los planetas hacia el sol, ha surgido de la determinaci´on de mantener a toda costa la geometr´ıa euclidiana. Si suponemos que nuestro espacio es euclidiano, cuando en realidad no lo es, deberemos hacer que la f´ısica rectifique los errores de nuestra geometr´ıa. Encontraremos cuerpos que no se mueven en lo que nos empe˜ namos en llamar l´ıneas rectas y exigiremos una causa de este comportamiento. Eddington ha tratado esta materia con lucidez admirable. Se imagina a un f´ısico que ha supuesto la f´ormula para el intervalo usada en la teor´ıa especial de la relatividad, una f´ormula que supone todav´ıa que el espacio del observador es euclidiano. Prosigue: Dado que los intervalos se pueden comparar por m´etodos experimentales, deber´ıa descubrir pronto que su f´ormula para el intervalo no se puede conciliar con los resultados observables, y darse cuenta de su error. Pero la mente no se libera f´acilmente de una obsesi´on. Es m´as probable que nuestro observador contin´ ue en su opini´on y atribuya la discrepancia de las observaciones a alguna influencia que est´a presente y que influye en el comportamiento de sus cuerpos-test. Introducir´a, por hablar de alguna manera, un agente sobrenatural a quien culpar´a de las consecuencias de su error. [...] El nombre dado a ese agente que cause desviaci´on del movimiento uniforme en una l´ınea recta es la fuerza, seg´ un la definici´on newtoniana de fuerza. De aqu´ı que el agente invocado a trav´es del error de nuestro observador sea descrito como un ((campo de fuerza)) [...] Un campo de fuerza representa la discrepancia entre la geometr´ıa natural de un sistema de coordenadas y la geometr´ıa abstracta arbitrariamente adscrita al mismo. Si la gente tuviera que aprender a concebir el mundo en el nuevo sentido, sin la antigua noci´on de ((fuerza)), alterar´ıa no s´olo su imaginaci´on f´ısica, sino

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tambi´en su moral y su pol´ıtica. El u ´ltimo efecto ser´ıa completamente il´ogico, pero es, no obstante, probable en ese supuesto. En la teor´ıa newtoniana del sistema solar, el sol semeja un monarca cuyos s´ ubditos, los planetas, tienen que obedecer. En el mundo de Einstein hay m´as individualismo y menos gobierno que en el de Newton. Hay tambi´en menos agitaci´on: ya hemos visto que la pereza es la ley fundamental del universo de Einstein. La palabra ((din´amico)) ha venido a significar, en lenguaje period´ıstico, ((en´ergico y vigoroso)). Pero si se empleara para ((ilustrar los principios de la din´amica)), deber´ıa aplicarse a los habitantes de los climas c´alidos que est´an tumbados bajo los pl´atanos esperando a que el fruto caiga hasta la boca. Espero que los periodistas del futuro, al hablar de una ((personalidad din´amica)), querr´an indicar una persona que hace el menor esfuerzo en un momento dado, sin pensar en las consecuencias futuras. Si puedo contribuir a este resultado, no habr´e escrito en vano. La gente acostumbra a sacar argumentos de las leyes de la naturaleza en torno a lo que debemos hacer. Tales argumentos me parecen un disparate: imitar a la naturaleza puede ser simplemente servil. Pero si la naturaleza, tal como la describe Einstein, ha de ser nuestro modelo, me parece que los anarquistas tienen el mejor de los argumentos. El universo f´ısico es ordenado, no porque haya un gobierno central, sino porque cada cuerpo cuida su propio inter´es. Jam´as dos part´ıculas de materia entran en contacto. Cuando se aproximan mucho, las dos se apartan. Si un hombre estuviera a punto de derribar en tierra a otro, se mostrar´ıa cient´ıficamente correcto confesando que nunca le hab´ıa tocado. Sucedi´o que hab´ıa una monta˜ na en el espaciotiempo en la regi´on de la nariz del otro hombre, y se cay´o la monta˜ na. La abolici´on de ((fuerza)) parece estar vinculada con la sustituci´on de la vista por el tacto como fuente de las ideas f´ısicas, como se explic´o en el cap´ıtulo 1. Cuando una imagen se mueve en un espejo, nadie piensa que algo la ha empujado. En los lugares donde hay dos espejos opuestos uno frente a otro, se pueden ver innumerables reflejos del mismo objeto. Imaginemos a un caballero con un sombrero de copa frente a los espejos. En los reflejos f´acilmente puede haber veinte o treinta sombreros de copa. Supongamos que alguien llega y hace saltar el sombrero del caballero con un bast´on: los veinte o treinta sombreros de copa del caballero caer´an al suelo al mismo tiempo. Pensamos que se necesita una fuerza para hacer saltar el sombrero de copa

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((real)), pero creeemos que los veinte o treinta restantes se tambalean y caen, por as´ı decirlo, por un simple capricho de imitaci´on. Tratemos de abordar este tema un poco m´as seriamente. Evidentemente, algo sucede cuando se mueve una imagen en un espejo. Desde el punto de vista de la visi´on, los hechos parecen tan reales como si no estuvieran en un espejo. Pero nada ha sucedido desde el punto de vista del tacto ni del o´ıdo. Cuando cae el sombrero de copa ((real)), hace un ruido. Los veinte o treinta del reflejo caen sin ruido. Si cae en el dedo de tu pie, lo sientes. Pero nosotros creemos que veinte o treinta personas en los espejos no sienten nada, aunque los sombreros de copa caigan sobre los dedos de sus pies. Todo esto es igualmente cierto en el mundo astron´omico. No hace ruido, porque el sonido no puede caminar a trav´es del vac´ıo. En cuanto sabemos, no causa ((sentimientos)), puesto que no hay nadie en el sitio capaz de ((sentir)). El mundo astron´omico, pues, apenas si parece m´as ((real)) o ((s´olido)) que el mundo del espejo, y necesita menos ((fuerza)) para hacerlo mover. El lector puede creer que me estoy entregando a una vaga sofister´ıa. ((Despu´es de todo —puede decir—, la imagen en un espejo es el reflejo de algo s´olido, y el sombrero de copa s´olo se tambalea por la fuerza aplicada al sombrero real. El sombrero de copa del espejo no puede adoptar un comportamiento propio, tiene que copiar el real. Esto demuestra lo diferente que es la imagen del sol y de los planetas porque ´estos no est´an obligados a imitar perpetuamente al prototipo. Por eso, ser´ıa mejor abandonar la idea de que una imagen es tan real como la de los cuerpos celestes.)) Hay, por supuesto, cierta verdad en ello. El problema est´a en descubrir exactamente qu´e verdad. En primer lugar, las im´agenes no son imaginarias. Cuando ves una imagen, ciertas ondas luminosas perfectamente reales llegan a tus ojos. Y si cuelgas una tela sobre el espejo, estas ondas luminosas dejan de existir. Hay, sin embargo, una diferencia puramente ´optica entre una ((imagen)) y una cosa ((real)). La diferencia ´optica va ligada a esta cuesti´on de imitaci´on. Cuando cuelgas una tela sobre el espejo no se distingue del objeto ((real)). Pero si apartas el objeto ((real)), la imagen desaparece tambi´en. Esto nos obliga a decir que los rayos-luz que forman la imagen s´olo se reflejan en la superficie del espejo y que no proceden de un punto situado detr´as de ´el, sino del objeto ((real)). Tenemos aqu´ı un ejemplo de un principio general de gran

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importancia. La mayor´ıa de los sucesos del mundo no son hechos aislados, sino partes de grupos de hechos m´as o menos similares, tales que cada grupo est´a vinculado de una manera que se puede asignar a determinada peque˜ na regi´on del espacio-tiempo. Tal es el caso de los rayos-luz que nos hace ver tanto el objeto como su reflejo en el espejo: todos emanan de un centro que es el objeto. Si pones un globo opaco alrededor del objeto y a una cierta distancia, el objeto y su reflejo son invisibles en cualquier punto fuera del globo. Hemos visto que la gravitaci´on, si bien ya no se considera como una acci´on a distancia, sigue estando vinculada a un centro: hay, por as´ı decirlo, una monta˜ na sim´etricamente dispuesta en torno a su cumbre. Y la cumbre es el lugar donde concebimos el cuerpo que se ha de unir con el campo gravitativo que estamos considerando. De una manera m´as sencilla, el sentido com´ un agrupa todos los hechos pertenecientes a un mismo grupo y conectados con el mismo centro. Lo mismo puede decirse de dos personas, por ejemplo, que oyen el mismo ruido. Y por eso el reflejo en un espejo es menos ((real)) que el objeto reflejado, incluso desde el punto de vista o ´optico, ya que los rayos-luz no se extienden en todas direcciones desde el punto donde la imagen parece estar, sino solamente en direcci´on frente al espejo, y s´olo mientras el objeto reflejado permanece en posici´on. Esto ilustra la conveniencia de agrupar hechos unidos entre s´ı en torno a un centro, en el sentido que estudiamos m´as arriba. Cuando examinamos los cambios en un grupo de objetos de esta naturaleza, comprobamos que son de dos clases. Los hay que afectan s´olo a un miembro del grupo. Y hay otros que causan alteraciones conjuntas a todos los miembros del grupo. Si pones una vela frente a un espejo, y luego cuelgas una tela negra sobre el mismo, alteras solamente el reflejo de la vela vista desde varios sitios. Si cierras tus ojos, alteras su apariencia s´olo para ti, pero no para los dem´as. Si colocas un globo rojo alrededor de ´el y a la distancia de un metro, alteras su apariencia en una distancia superior a un metro, pero no inferior a un metro. En todos estos casos, no piensas que la vela pueda haber cambiado. En realidad, en todos ellos, te das cuentas de que hay grupos de cambios unidos a un centro diferente o a una serie de centros diferentes. Cuando cierras los ojos, por ejemplo, tus ojos, no la vela, aparecen diferentes a cualquier otro observador: el centro de los cambios que est´an ocurriendo

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son tus ojos. Pero cuando apagas la vela, su apariencia cambia por todas partes. En este caso dices que el cambio ha acaecido en la vela. Los cambios que acaecen en un objeto son los que afectan a todo el grupo de sucesos que tienen su centro en el objeto. Todo esto es solamente una interpretaci´on del sentido com´ un y un intento de explicar lo que queremos dar a entender cuando decimos que la imagen de la vela en el espejo es menos ((real)) que la vela. No hay un grupo unido de hechos situados en torno al lugar en que la imagen parece estar. Y cambios en la imagen que se centran en la vela, no en un punto del espejo. Esto da un significado profundamente verificable a la afirmaci´on de que la imagen es ((solamente)) un reflejo. Nos permite, al mismo tiempo, concebir los cuerpos celestes, aunque s´olo podemos verlos y no tocarlos, como m´as ((reales)) que una imagen en el espejo. Ahora ya podemos comenzar a interpretar la sensata noci´on de un cuerpo que tiene ((efecto)) sobre otro, cosa que debemos hacer si queremos entender realmente el significado de abolici´on de fuerza. Supongamos que entras en un cuarto oscuro y que enciendes la luz: al instante ha cambiado la apariencia de todo lo que hay en el cuarto. Si todo lo del cuarto es visible porque refleja la luz el´ectrica, este caso es en realidad an´alogo a la imagen del espejo. La luz el´ectrica es el centro del que emanan todos los cambios. En este caso, el efecto se explica por lo que hemos dicho. El caso m´as importante es si el efecto es un movimiento. Imagina que sueltas un tigre en medio de una multitud en un d´ıa de fiesta. Todos se mover´ıan y el tigre ser´ıa el centro de sus diversos movimientos. Una persona que pudiese ver a la gente pero no al tigre deducir´ıa que en aquel lugar hay algo repulsivo. Decimos que en este caso el tigre produce un efecto sobre la gente. Y podr´ıamos describir la acci´on del tigre sobre ella, caracteriz´andola de repulsiva. Sabemos, sin embargo, que huyen de algo que les est´a sucediendo, no simplemente porque el tigre est´e donde est´a. Huyen porque pueden verle y o´ırle, es decir, porque ciertas ondas llegan a sus ojos y o´ıdos. Si se pudieran hacer llegar hasta ellos estas ondas sin que hubiera tigre alguno, huir´ıan con la misma rapidez, porque la proximidad les parecer´ıa igualmente desagradable. Apliquemos ahora consideraciones similares a la gravitaci´on del sol. La ((fuerza)) ejercida por el sol s´olo difiere de la ejercida por un tigre, en que la una es atractiva y la otra repulsiva. En vez de actuar a trav´es de ondas de luz o de sonido, el sol adquiere su fuerza aparente a trav´es de las mo-

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dificaciones del espacio-tiempo alrededor del sol. Como el rugido del tigre, son m´as intensas cuanto m´as cerca est´an de su causa. A medida que nos alejamos van disminuyendo m´as y m´as. Decir que el sol causa estas modificaciones de espacio es no a˜ nadir nada a lo que ya sabemos. Y lo que sabemos es que las modificaciones proceden seg´ un ciertas reglas, y que se agrupan sim´etricamente en torno al sol como centro. El lenguaje de causa y efecto s´olo a˜ nade una serie de figuraciones sin relevancia, vinculadas al deseo, tensi´on muscular y cosas parecidas. Lo que podemos m´as o menos asegurar es simplemente la f´ormula seg´ un la cual el espacio-tiempo queda modificado por la presencia de la materia de la gravitaci´on. M´as correctamente: podemos asegurar qu´e tipo de espacio-tiempo es la presencia de la materia de la gravitaci´on. Cuando el espacio-tiempo no es exactamente euclidiano en una determinada regi´on, sino que tiene un car´acter no euclidiano que se hace cada vez m´as marcado a medida que nos acercamos a determinado centro; y cuando, adem´as, el punto de partida desde Euclides obedece a cierta ley, entonces describimos este estado de cosas diciendo que en el centro hay una materia de gravitaci´on. Pero esto es solamente una expresi´on compendiada de lo que ya conocemos. Lo que conocemos es acerca de los lugares donde no hay materia de gravitaci´on, pero no sobre los lugares donde hay. El lenguaje de causa y efecto (del que ((fuerza)) es un caso particular) es de este modo un resumen de simple conveniencia para determinados fines. No representa nada que se pueda comprobar como aut´entico en el mundo f´ısico. Y ¿qu´e decir de la materia? ¿Es tambi´en la materia tan s´olo una simplificaci´on de utilidad? Esta cuesti´on, por su amplitud, exige un cap´ıtulo aparte.

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¿Qu´ e es la materia?

¿Qu´e es la materia? He aqu´ı uno de los problemas constantemente planteados por los metaf´ısicos y a los que se contesta en extensos libros de una oscuridad incre´ıble. Yo no me planteo el problema como metaf´ısico. Lo hago como persona que quiere buscar el talante de la f´ısica moderna y especialmente el de la teor´ıa de la relatividad. Es evidente que, seg´ un lo aprendido de esta teor´ıa, la materia no puede concebirse como se ven´ıa haciendo hasta ahora. Creo que estamos ya en disposici´on de decir m´as o menos lo que ha de ser la nueva concepci´on. Tradicionalmente hubo dos concepciones de la materia; cada una de ellas ha tenido sus defensores desde que comenz´o la especulaci´on cient´ıfica. Por una parte, estaban los atomistas, que pensaban que la materia constaba de peque˜ nos corp´ usculos incapaces de dividirse. Se supon´ıa que chocaban entre s´ı para despu´es rebotar en diversas direcciones. Despu´es de Newton ya nadie crey´o realmente que entraban en contacto, sino que se atra´ıan y repel´ıan mutuamente, movi´endose en ´orbitas alrededor unos de otros. Ven´ıan despu´es los que cre´ıan que la materia es algo que se encuentra por todas partes, y que el verdadero vac´ıo es imposible. Descartes difundi´o esta idea y atribu´ıa los movimientos de los planetas a los v´ortices del ´eter. La teor´ıa newtoniana de la gravitaci´on hizo que la idea de que existe materia por todas partes cayera en descr´edito. Tanto m´as que Newton y sus disc´ıpulos pensaban que la luz se deb´ıa a las part´ıculas reales que se desprenden de su fuente originaria. Pero cuando esta idea de la luz qued´o desautorizada y se demostr´o que la luz constaba de ondas, renaci´o la idea del ´eter como instrumento de la ondulaci´on. Esta idea se hizo todav´ıa m´as respetable al comprobarse que el ´eter jugaba el mismo papel en los fen´omenos electromagn´eticos que en la propagaci´on de la luz. Se esperaba incluso que los ´atomos pudieran convertirse en una especie de movimiento del ´eter. En esta etapa, la concepci´on at´omica de la materia, en conjunto, llevaba las de perder. Dejando de momento la relatividad, la f´ısica moderna ha dado pruebas de la estructura at´omica de la materia ordinaria, sin negar los argumentos en favor del ´eter, al que no se atribuye semejante estructura. El resultado fue una especie de compromiso entre dos concepciones, una de ellas aplicada a lo que se llam´o materia ((gruesa)), la otra al ´eter. No cabe ninguna duda en

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cuanto a los electrones y protones, si bien, como veremos enseguida, no deben concebirse como se conceb´ıan tradicionalmente. La verdad es que, seg´ un creo, la relatividad exige que se abandone la vieja concepci´on de ((materia)), que est´a infectada por la metaf´ısica vinculada al concepto de ((substancia)). Y representa un punto de vista no realmente necesario a la hora de tratar los fen´omenos. Es lo que ahora hemos de investigar. En la vieja concepci´on, un trozo de materia era algo que sobreviv´ıa a todo a trav´es del tiempo. Por el contrario, ning´ un ser pod´ıa tener m´as que un lugar y un tiempo dado. Esta forma de contemplar las cosas evidentemente va unida a la completa separaci´on entre espacio y tiempo en que la gente cre´ıa al principio. Cuando sustituimos espacio-tiempo por espacio y tiempo, es que esperamos naturalmente derivar el mundo f´ısico de constituyentes igualmente limitados en el tiempo que en el espacio. Tales constituyentes son los llamados ((sucesos)). Un suceso no subsiste ni se mueve como el trozo tradicional de materia. Simplemente existe en un breve momento y despu´es cesa. Un trozo de materia puede reducirse, de esta manera, a una serie de sucesos. As´ı como en la antigua concepci´on, un cuerpo extenso se compon´ıa de un n´ umero de part´ıculas, ahora, cada part´ıcula, siendo extensa en el tiempo, se ha de considerar como compuesta de lo que podemos calificar ((part´ıculassuceso)). La serie completa de estos sucesos cierra la historia de la part´ıcula y la part´ıcula se considera como si fuera su historia, no cierta entidad metaf´ısica en la que se dan los sucesos. Esta idea se ha hecho necesaria porque la relatividad nos obliga a colocar tiempo y espacio en un nivel superior al que estaban en la vieja f´ısica. Esta exigencia abstracta debe ponerse en relaci´on con los hechos conocidos del mundo f´ısico. Ahora bien, ¿cu´ales son estos hechos conocidos? Concedemos que la luz consta de ondas que se desplazan con la velocidad recibida. Sabemos entonces mucho de lo que sucede en las partes del espaciotiempo donde no hay materia. Es decir, sabemos que hay sucesos peri´odicos (ondas-luz) que obedecen a ciertas leyes. Estas ondas luminosas parten de los ´atomos. Y la moderna teor´ıa de la estructura del ´atomo nos permite tener un amplio conocimiento acerca de las circunstancias en que parten y las razones que determinan su longitud de onda. No s´olo podemos comprobar c´omo se desplaza una onda-luz, sino tambi´en c´omo se mueve su causa respecto a nosotros. Al decir esto, estoy suponiendo que podemos reconocer

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una causa de la luz como id´entica en dos tiempos ligeramente diferentes. En el cap´ıtulo anterior vimos c´omo se puede formar un grupo de hechos unidos, todos ellos relacionados unos a otros por una ley, y todos ordenados en torno a un centro en el espacio-tiempo. Un grupo de hechos de esta naturaleza ser´a la llegada a varios lugares de las ondas-luz emitidas por un breve rel´ampago de luz. No necesitamos suponer que algo particular est´a sucediendo en el centro. Ciertamente, no necesitamos suponer que sabemos lo que sucede all´ı. Lo que sabemos es que, como tema de geometr´ıa, el grupo de sucesos en cuesti´on est´a ordenado en torno a un centro, como las ondas que se ensanchan en un estanque cuando una mosca las ha tocado. Hipot´eticamente podemos inventar un hecho que haya de suceder en el centro, y establecer leyes por las que se trasmite la perturbaci´on consecuente. Este hecho hipot´etico aparecer´a, pues, al sentido com´ un como la ((causa)) de la perturbaci´on. Contar´a tambi´en como un suceso en la biograf´ıa de la part´ıcula de la materia que se supone ocupa el centro de la perturbaci´on. Descubrimos ahora no s´olo que una onda-luz se desplaza desde un centro seg´ un cierta ley, sino tambi´en que, en general, va seguida muy de cerca por otras ondas-luz similares. El sol, por ejemplo, no cambia su apariencia de repente. Aun cuando una nube le atraviese durante un fuerte viento, la transici´on es gradual, aunque veloz. En este sentido, un grupo de hechos unidos a un centro en un punto del espacio-tiempo se sit´ ua en relaci´on con otros grupos muy similares cuyos centros est´an en puntos pr´oximos del espacio-tiempo. Para cada uno de estos otros grupos el sentido com´ un inventa hechos hipot´eticos similares, con el fin de que ocupen sus centros, y afirma que todos estos hechos hipot´eticos son parte de una u ´nica historia. Es decir, inventa una ((part´ıcula)) hipot´etica a la que han de ocurrir hechos hipot´eticos. S´olo con este doble uso de la hip´otesis, perfectamente innecesario en cada caso, podemos llegar a algo que se puede llamar ((materia)) en el viejo sentido de la palabra. Para evitar hip´otesis innecesarias, afirmamos que un ´atomo en un momento dado es las diversas perturbaciones del medio que le circunda y que en lenguaje ordinario podr´ıamos decir que son ((causadas)) por ´el. Pero no tomaremos estas perturbaciones en el momento en cuesti´on para nosotros, ya que las har´ıa depender del observador. Nos desplazaremos del ´atomo con

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la velocidad de la luz y tomaremos la perturbaci´on que encontramos en cada lugar a medida que lleguemos. La serie de perturbaciones muy similares, con casi exactamente el mismo centro, que encontramos existiendo poco antes o poco despu´es, quedar´a definida como ´atomo, en un momento ligeramente anterior o ligeramente posterior. En este sentido, mantenemos todas las leyes de la f´ısica sin tener que recurrir a hip´otesis innecesarias o entidades deducidas. Y nos mantenemos acordes con el principio general de econom´ıa que ha permitido a la teor´ıa de la relatividad arrumbar tantos trastos in´ utiles. El sentido com´ un imagina que cuando ve una mesa, ve una mesa. Y es una gran alucinaci´on. Cuando el sentido com´ un ve una mesa, ciertas ondas ´ luminosas llegan a sus ojos. Estos, por su misma naturaleza y por su experiencia anterior, las asocian a ciertas sensaciones del tacto, as´ı como al testimonio de otras personas que han visto tambi´en la mesa. Pero nada de esto nos llev´o a la mesa misma. Las ondas luminosas causaban sensaciones en nuestros ojos, ´estos causaban sensaciones en el nervio ´optico, y a su vez ´estos produc´ıan sensaciones en el cerebro. Cualquiera de ellos, al suceder sin los acostumbrados preliminares, nos habr´ıa llevado a tener las sensaciones que llamamos ((visi´on de la mesa)), aun cuando no hubiera habido mesa. (Por supuesto, que si la materia en general se ha de interpretar como grupo de sucesos, esto hay que aplicarlo tambi´en al ojo, al nervio ´optico y al cerebro.) Por lo que respecta al sentido del tacto, cuando apretamos la mesa con nuestros dedos, hay que reconocer que hay una perturbaci´on el´ectrica en los electrones y protones de las puntas de nuestros dedos, producida, seg´ un la f´ısica moderna, por la proximidad de los electrones y protones de la mesa. Si la misma perturbaci´on de la punta de nuestros dedos surgiera en cualquier otra forma, tendr´ıamos las sensaciones, a pesar de no haber mesa. El testimonio de otras personas es un documento de segunda mano. Si a un testigo, en un tribunal de justicia, se le preguntase si hab´ıa visto alg´ un hecho, no se le permitir´ıa responder diciendo que cre´ıa que s´ı bas´andose en el testimonio de otros a este respecto. En cualquier caso, el testimonio consta de ondas sonoras y exige una interpretaci´on tanto psicol´ogica como f´ısica. Su conexi´on con el objeto es, pues, muy indirecta. Por todas estas razones, cuando decimos que un hombre ((ve una mesa)), empleamos una forma ligeramente abreviada le expresi´on, que supone deducciones complicadas y dif´ıciles, cuya validez bien puede ser sometida a revisi´on.

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Pero corremos el peligro de vernos envueltos en cuestiones psicol´ogicas, que debemos evitar cuanto podamos. Volvamos, pues, al punto de vista puramente f´ısico. Lo que deseo sugerir se puede expresar de la manera siguiente: Todo lo que sucede en cualquier parte, fruto de la existencia de un ´atomo, se puede explorar experimentalmente, al menos en teor´ıa, a menos que se produzca de manera oculta. Pero lo que ocurre dentro del ´atomo (si es que algo ocurre all´ı) nos es absolutamente imposible de conocer: no existe un aparato imaginable que nos permita echar al menos una mirada a su interior. Un ´atomo es conocido por sus ((efectos)). Pero la palabra ((efectos)) da una idea de causa que no encaja en la f´ısica moderna, y en particular en la relatividad. Todo lo que estamos en condiciones de afirmar es que ciertos grupos de sucesos acaecen juntos, es decir, en partes correlativas del espacio-tiempo. Un determinado observador considerar´a a un miembro del grupo tan primero como al otro. En cambio, otro observador puede juzgar el tiempo-orden de distinta manera. Y aun cuando el tiempo-orden sea el mismo para todos los observadores, todo lo que en realidad tenemos es una conexi´on entre dos hechos, que act´ ua igualmente hacia atr´as que hacia adelante. No es cierto que el pasado determine el futuro en sentido distinto al que el futuro determina el pasado: la diferencia aparente se debe solamente a nuestra ignorancia, ya que sabemos menos del futuro que del pasado. Es algo meramente accidental: podr´ıa haber seres que recordasen el futuro y tuvieran que deducir el pasado. Los sentimientos de tales seres en estas materias ser´ıan exactamente opuestas, pero no menos falaces. Parece bastante claro que todos los hechos y leyes de la f´ısica pueden interpretarse sin suponer que la ((materia)) es algo m´as que grupos de sucesos, cuya naturaleza podr´ıamos considerar de una manera natural como ((causada)) por la materia en cuesti´on. Ello no supone ning´ un cambio en los s´ımbolos o f´ormulas de la f´ısica: es simplemente una cuesti´on de interpretaci´on de los s´ımbolos. Esta amplitud en la interpretaci´on es una caracter´ıstica de la f´ısica matem´atica. Lo que conocemos son ciertas relaciones l´ogicas muy abstractas, que expresamos en f´ormulas matem´aticas. Sabemos tambi´en que en ciertos puntos llegamos a resultados que es posible demostrar experimentalmente.

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Tomemos, por ejemplo, las observaciones del eclipse por las que se estableci´o la teor´ıa de Einstein en lo relativo a la curvatura de la luz. La observaci´on real constaba de medidas meticulosas de ciertas distancias sobre t l´aminas fotogr´aficas. Las f´ormulas que se hab´ıan le verificar se refer´ıan al curso de la luz al pasar cerca del sol. S´ı bien la parte de estas f´ormulas que da el resultado observado debe interpretarse siempre en el mnismo sentido, la otra parte de las f´ormulas puede ser susceptible de una gran variedad de interpretaciones. Las f´ormulas que dan los movimientos de los planetas son casi exactamente las mismas en la teor´ıa le Einstein que en la de Newton, pero el significado le las f´ormulas es completamente distinto. Se puede decir de modo general que en el movimiento matem´atico de la naturaleza podemos asegurar con mucha mayor certeza que nuestras f´ormulas son aproximadamente correctas, de lo que podamos asegurar acerca de la correcci´on de ´esta o aquella interpretaci´on de las mismas. Y ´este es el caso de que se trata en este cap´ıtulo. La cuesti´on sobre la naturaleza de un electr´on o de un prot´on no se resuelve en modo alguno porque sepamos todo lo que la f´ısica matem´atica tiene que decir en relaci´on a las leyes de su movimiento y a las leyes de su interacci´on con el entorno. No es posible dar una respuesta concreta y concluyente a nuestra cuesti´on, precisamente porque hay gran variedad de respuestas compatibles con la verdad de la f´ısica matem´atica. No obstante, algunas respuestas son preferibles a otras, porque algunas tienen mayor probabilidad a su favor. En este cap´ıtulo, hemos tratado de definir la materia en el caso que haya de existir tal cosa, si es que las f´ormulas de la f´ısica son verdaderas. Si en nuestra definici´on hubi´eramos asegurado que una part´ıcula de materia es lo que se concibe como trozo concreto, duro y ´ substancial, no estar´ıamos seguros de que existiera tal cosa. Esta es la raz´on de que nuestra definici´on, aunque pudiera parecer complicada, sea preferible desde el punto de vista de la econom´ıa l´ogica y de la cautela cient´ıfica.

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Consecuencias filos´ oficas

Las consecuencias filos´oficas de la relatividad no son tan grandes ni tan desconcertantes como se ha pensado a veces. Arrojan poca luz sobre controversias un tiempo famosas, tales como entre realismo e idealismo. Algunos creen que apoyan la idea de Kant de que el espacio y el tiempo son ((subjetivos)) y que son formas de la intuici´on. Pienso que tales personas se han desorientado por la forma en que los escritores de la relatividad hablan del ((observador)). Es natural suponer que el observador es un ser humano, o al menos un esp´ıritu. Pero es probable que sea tambi´en una c´amara fotogr´afica o un reloj. Es decir, los extra˜ nos resultados relativos a la diferencia entre un ((punto de vista)) y otro est´an en relaci´on con el punto de vista en un sentido aplicable tanto a los instrumentos f´ısicos como a las personas con percepciones. La ((subjetividad)) aplicada a la teor´ıa de la relatividad es una subjetividad f´ısica, que existir´ıa igualmente caso de que no hubiera en el mundo cosas como la inteligencia o los sentidos. Es, adem´as, una subjetividad estrictamente limitada. La teor´ıa no dice que todo es relativo. Por el contrario, da una t´ecnica para distinguir lo que es relativo de lo que pertenece al hecho f´ısico. Si dij´eramos que la teor´ıa apoya a Kant en su concepci´on del espacio y del tiempo, tendr´ıamos tambi´en que decir que le rechaza en la de espacio-tiempo. Desde mi punto de vista, ninguna de las dos afirmaciones es correcta. No veo la raz´on de por qu´e, en tales cuestiones, los fil´osofos no hayan de mantener las ideas que manten´ıan anteriormente. Ni antes hab´ıa argumentos concluyentes en ambos bandos, ni los hay ahora. Aferrarse a una de las dos ideas demuestra un talante dogm´atico m´as que cient´ıfico. No obstante, cuando las ideas que integran la obra de Einstein se hayan hecho familiares, como suceder´a cuando se ense˜ nen en las escuelas, reportar´an probablemente ciertos cambios en nuestros h´abitos mentales y tendr´an una gran importancia a largo plazo. De todo esto se desprende que la f´ısica nos dice mucho menos sobre el mundo f´ısico de lo que hubi´eramos pensado. Casi todos los ((grandes principios)) de la f´ısica tradicional resultan ser como la ((gran ley)) de que siempre hay mil metros en un kil´ometro. Otros, en cambio, resultan totalmente falsos.

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La conservaci´on de la masa puede servir para ilustrar estas dos desventuras a que da lugar una ((ley)). Se sol´ıa definir la masa como ((cantidad de materia)) que sometida a experimento demostraba no aumentar ni disminuir nunca. Pero con la mayor precisi´on de las medidas modernas se llegaron a averiguar cosas curiosas. En primer lugar, se comprob´o que al ser medida, la masa aumentaba con la velocidad. Se pudo comprobar tambi´en que este tipo de masa equival´ıa a energ´ıa. Adem´as, este tipo de masa no es constante para un cuerpo determinado. La propia ley, sin embargo, se ha de considerar como una perogrullada, lo mismo que la ((ley)) de que mil metros hacen un kil´ometro. Es un resultado de nuestros m´etodos de medida y no expresa una verdadera propiedad de la materia. Hay otro tipo de masa, que podemos llamar ((masa propia de un cuerpo)). Es la que un observador que se mueve con el cuerpo comprueba que es la masa de ´este. Es el caso normal en la tierra de que el cuerpo que pesamos no vuela a trav´es del aire. La ((masa propia)) de un cuerpo es casi constante, pero no totalmente. Se podr´ıa suponer que si tienes cuatro pesas de un kilo y las pones juntas en una balanza, pesar´an cuatro kilos. Es una decepci´on dolorosa: pesan bastante menos, aunque no lo suficiente para ser descubierto por las medidas m´as exactas. En el caso de nuestros cuatro ´atomos de hidr´ogeno, sin embargo, cuando se juntan para formar un ´atomo de helio, la diferencia es detectable. El ´atomo de helio podemos comprobar que pesa menos que los cuatro ´atomos separados de hidr´ogeno. Hablando de manera general, la f´ısica tradicional se ha desgajado en dos partes: perogrulladas y geograf´ıa. El mundo que presenta la teor´ıa de la relatividad a nuestra imaginaci´on no es tanto un mundo de ((cosas)) en ((movimiento)) como un mundo de sucesos. Es cierto que sigue habiendo part´ıculas que parecen persistir, pero ´estas (como vimos en el cap´ıtulo anterior) se han de concebir como eslabones de hechos unidos, como las sucesivas notas de un canto. Los sucesos son el material de la teor´ıa de la relatividad. Entre dos hechos que no est´en demasiado alejados entre s´ı existe en la teor´ıa general, y en la especial, una relaci´on mensurable llamada ((intervalo)) que parece ser la realidad f´ısica de cuyo lapso de tiempo y distancia en el espacio son dos representaciones m´as o menos confusas. Entre dos hechos distantes, no hay ning´ un intervalo definido. Pero hay una forma de movimiento de un suceso a otro que hace la

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suma de todos los peque˜ nos intervalos a lo largo de la ruta mayor que cualquier otra ruta. Esta ruta se llama ((geod´esica)) y es la ruta que elegir´a un cuerpo si se le deja abandonado a s´ı mismo. El conjunto de la f´ısica de la relatividad es una materia que se ha de recorrer paso a paso mucho m´as que la f´ısica y la geometr´ıa de los primeros tiempos. Las l´ıneas rectas de Euclides deben reemplazarse por rayos-luz, que no se identifican con el modelo euclidiano de l´ınea recta cuando pasan cerca del sol o de cualquier otro cuerpo muy pesado. La suma de los ´angulos de un tri´angulo se piensa que es todav´ıa dos ´angulos rectos en regiones muy peque˜ nas del espacio vac´ıo, pero no en una regi´on extensa. Proposiciones que se sol´ıan demostrar por razonamiento se han convertido ahora en convencionalismos o simplemente en la aproximaci´on de verdades verificadas por la observaci´on. Es un hecho curioso —del que la relatividad no es el u ´nico ejemplo— que, a medida que aumenta el razonamiento, sus t´ıtulos en cuanto a la capacidad de probar los hechos disminuyen cada vez m´as. Se sol´ıa pensar que la l´ogica nos ense˜ naba a sacar conclusiones; ahora nos ense˜ na m´as bien a no sacarlas. Los animales y los ni˜ nos est´an terriblemente inclinados a la inferencia o deducci´on: un caballo queda sorprendido sobremanera si se le somete a una carrera no habitual. Cuando los hombres comenzaron a razonar, trataron de justificar las deducciones que hab´ıan sacado irreflexivamente en los primeros tiempos. Buena parte de la mala filosof´ıa y de la mala ciencia fueron el resultado de esta propensi´on. Los ((grandes principios)), tales como la ((uniformidad de la naturaleza)), la ley de la ((causalidad universal)), etc., son intentos de apoyar nuestra creencia de que lo que sucede con frecuencia volver´a a suceder otra vez. Principio no mejor fundado que la creencia del caballo de que le llevar´as por el camino que acostumbras. No es f´acil en conjunto ver c´omo se han de reemplazar en la pr´actica de la ciencia estos pseudoprincipios. Pero quiz´a la teor´ıa de la relatividad nos da un destello del g´enero de cosas que esperamos. La causalidad, en el viejo sentido, ha dejado de ocupar un lugar en la f´ısica te´orica. Hay, por supuesto, otra cosa que toma su lugar, pero el sustituto parece tener una mejor base emp´ırica que el viejo principio desplazado. El colapso de la noci´on de tiempo que comprende todo, en el que caben

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todos los sucesos del universo, ha de afectar a la larga a nuestras ideas, lo mismo que causa y efecto, evoluci´on y muchos otros conceptos. La cuesti´on, por ejemplo, de si en conjunto hay progreso en el universo, puede depender de nuestra elecci´on de la medida del tiempo. Si elegimos una serie de relojes igualmente buenos, podemos comprobar que el universo progresa tanto como cree el m´as optimista de los americanos. Si elegimos otros relojes igualmente buenos, podemos llegar a creer que el mundo va de mal en peor, tal como podr´ıa imaginar el m´as melanc´olico de los eslavos. De esta manera el optimismo y pesimismo no son ni verdaderos ni falsos, sino que dependen de la elecci´on que hagamos de los relojes. El efecto de esto sobre cierto tipo de emoci´on es desolador. El poeta habla de Un suceso divino lejano en torno al cual se mueve toda la creaci´on. Pero si el suceso est´a lo suficientemente lejano, y la creaci´on se mueve con la suficiente rapidez, algunas partes seguir´an juzgando que el acontecimiento ha sucedido ya, mientras que otros juzgar´an que est´a todav´ıa en el futuro. Esto es destrozar la poes´ıa. El segundo verso deber´ıa ser: Al que siguen algunas partes del universo, mientras que otras se alejan de ´el. Pero no es ´este mi prop´osito. Lo que sugiero es que una emoci´on que se puede destruir por una peque˜ na operaci´on matem´atica no es ni genuina ni muy v´alida. Esta argumentaci´on nos llevar´ıa a la cr´ıtica de la ´epoca victoriana, lo cual cae fuera de mi prop´osito. Lo que sabemos del mundo f´ısico, repito, es mucho m´as abstracto de lo que antes se cre´ıa. Entre los cuerpos hay incidentes, tales como las ondas luminosas. De las leyes de estas incidencias sabemos algo —m´as de lo que se puede expresar en f´ormulas matem´aticas—, pero de su naturaleza no conocemos nada. De los cuerpos mismos, como vimos en el cap´ıtulo anterior, sabemos tan poco que ni siquiera podemos estar seguros de que son algo: pueden ser simples grupos de sucesos en otros lugares, sucesos que podr´ıamos considerar naturalmente c´omo sus efectos. Por supuesto que interpretamos

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el mundo de un modo gr´afico. Es decir, imaginamos lo que pasa m´as o menos como lo que vemos. Pero en realidad esta semejanza s´olo se puede extender a ciertas propiedades l´ogicas formales que expresan la estructura, de tal forma que lo que conocemos son ciertas caracter´ısticas generales de sus cambios. Quiz´as una ilustraci´on nos haga ver claro este punto. Entre una pieza de m´ usica orquestal interpretada y la misma pieza de m´ usica escrita en el pentagrama hay cierta semejanza, que se puede describir como semejanza de estructura. La semejanza es de tal naturaleza que, cuando se conocen las reglas, se puede deducir la m´ usica de la notaci´on o la notaci´on de la m´ usica. Pero supongamos que hubieras sido de nacimiento sordo como una tapia, pero que hubieras vivido entre m´ usicos. Podr´ıas entender, si hubieras aprendido a hablar y a deletrear, que las notas musicales representaban algo totalmente diferente de ellas mismas en cuanto a calidad intr´ınseca, si bien similar en cuanto a estructura. El valor de la m´ usica ser´ıa para ti algo inimaginable, aun cuando pudieras deducir todas sus caracter´ısticas matem´aticas, puesto que son las mismas que las de las notas. Ahora bien, nuestro conocimiento de la naturaleza es algo parecido a esto. Podemos leer las notas y deducir lo mismo que nuestro hombre, sordo como una tapia, pudo haber deducido sobre la m´ usica. Pero no tenemos las ventajas que el sac´o de su vinculaci´on con personas dedicadas a la m´ usica. No podemos saber si la m´ usica representada por las notas es bella o estridente. En u ´ltima instancia, quiz´a, ni siquiera podemos estar seguros de que las notas representen algo m´as que a s´ı mismas. Pero esto es una duda que el f´ısico, en su capacidad profesional, no puede permitirse. Suponiendo a lo sumo que se pueda tener por f´ısica, no nos dice nada sobre qu´e es lo que cambia, o cu´ales son sus diversos estados. S´olo nos dice cosas como los cambios que se suceden peri´odicamente, o se extienden con determinada rapidez. Incluso ahora no estamos probablemente al final del proceso de denudaci´on de lo que es simple imaginaci´on, para poder llegar a la meta del verdadero conocimiento cient´ıfico. La teor´ıa de la relatividad ha constituido un verdadero progreso a este respecto, y al proceder de esta manera nos ha acercado m´as y m´as a la estructura desnuda, que es la meta del matem´atico; no porque sea la u ´nica cosa en que est´a interesado como ser humano, sino porque es la u ´nica cosa que puede expresar en f´ormulas matem´aticas. Pero aunque hayamos llegado muy lejos en el sentido de la

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abstracci´on, quiz´a tengamos que llegar m´as lejos todav´ıa. En el cap´ıtulo anterior suger´ı lo que puede llamarse una definici´on m´ınima de materia, es decir, aquella en que la materia tiene, por as´ı decirlo, la m´ınima ((substancia)) compatible con la verdad de la f´ısica. Al adoptar una definici´on de este g´enero, nos estamos curando en salud: nuestra tenue materia existir´a, a pesar de que exista tambi´en algo m´as suculento. Tratamos de efectuar nuestra definici´on de materia, como las gachas de Isabel en Jane Austen: ((ligeras, pero no tanto)). Caer´ıamos, sin embargo, en un error si dij´eramos positivamente que la materia no es m´as que esto. Leibniz pensaba que un trozo de materia era realmente una colonia de almas. No hay nada que demuestre que estuviera equivocado, como tampoco que estuviera en lo cierto: no sabemos m´as sobre esto de lo que sabemos respecto a la flora y fauna de Marte. Para el esp´ıritu no matem´atico, el car´acter abstracto de nuestro conocimiento f´ısico puede parecerle poco satisfactorio. Desde un punto de vista art´ıstico o imaginativo, es quiz´a doloroso, pero desde un punto de vista pr´actico no tiene consecuencias. La abstracci´on, a pesar de su dificultad, es la fuente del poder pr´actico. Un financiero, cuyos tratos con el mundo son m´as abstractos que los de cualquier otro hombre “pr´actico”, es tambi´en m´as poderoso que cualquier hombre pr´actico. Puede tratar en trigo o algod´on sin necesidad siquiera de haberlos visto: todo lo que necesita saber es si subir´an o bajar´an. Tal es el conocimiento matem´atico abstracto, al menos cuando se le compara con el conocimiento del agricultor. De modo semejante, el f´ısico que no conoce nada de la materia a excepci´on de ciertas leyes de sus movimientos, conoce no obstante lo suficiente para permitirle su manipulaci´on. Despu´es de pasar por una sucesi´on de ecuaciones en que los s´ımbolos representan cosas cuya intr´ınseca naturaleza jam´as nos ser´a conocida, llega por fin a un resultado que se puede interpretar en funci´on de nuestras propias percepciones y ser utilizado para poner en pr´actica efectos deseados en nuestras propias vidas. Lo que sabemos sobre la materia, por abstracto y esquem´atico que sea, es suficiente en principio para decirnos las reglas seg´ un las cuales produce percepciones y sentimientos en nosotros. Y los usos pr´acticos de la f´ısica dependen de estas reglas. La conclusi´on final es que sabemos muy poco, y sin embargo, es asombro-

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so lo mucho que conocemos. Y m´as asombroso todav´ıa que un conocimiento tan peque˜ no nos pueda dar tanto poder.