Russell, Bertrand. (1984). Los Principios de La Matemática,

B ER TR A N !) RUSSELL

L O S D E

P R I N C I P I O S

L A

M A T E M Á T I C A

t r a d u c c ió n

d e l

in g lé s

po r

JU A N CARLOS G R IM B ER G

TERCERA

EDICIÓN

P C lasi r Q k ci ?

Q A 9 / R S 8 5 1967 269529 165173 DONO 1

ÍU f i ir k f '<

ACA

2 6 9 5 2J L

■<

M an­ Z

1^

5 / i 3

í

0.1

> iV

\SBh P ro c

"DO

L F e c h a 0 2 - O c^ - 5 0 0 1 l ™ . ESPA SA -CA LPE, S. A. M A D B. ID 1977

|

T ít u l o del origin al inglés:, T H E P R I N C I P L E S O F M A TIIE M A TIC S

ES P R O P IE D A D a-Calpe, S. A., M a d rid , 1918 Im preso en E spaña P r i n t e d in S p a in

sito legal: M. 838— 1977 B N 8 i — 239— 63 96— 9

OlCLOs !'-

T allere s gráficos de la E d i t o r i a l E s p a s a -C a lp e , S. A. C a r r e te r a de I r ú n , k m . 12,200. M a d rid - 3 4

INTRODU CCIO N A LA SEGUNDA E D IC IÓ N Los p r i n c i p i o s d e l a M a t e m á t i c a fue publicado en 1 9 03 , y la m ayor p a rte del mismo escrita en 1900 . En los años siguientes los te ­ m as que tr a ta han sido am pliam ente discutidos, y la técnica de la L ó­ gica m atem ática ha progresado enorm em ente; en ese período han su r­ gido algunos problem as nuevos, se han resuelto otros viejos, y algunos, que se hallan aún en discusión, han adoptado form as com pletam ente nuevas. De acuerdo con estas circunstancias, parece útil corregir esto o aquello en el libro, que ya no expresa mis puntos de vista actuales. E l interés que puede presentar actualm ente es sim plem ente histórico, y reside en el hecho de que representa una cierta e ta p a en el desarrollo de su tem a. Por lo ta n to no he cam biado nada, pero procuraré decir en esta Introducción h asta qué punto me adhiero a las opiniones e x ­ presadas y en qué otros la investigación subsiguiente me ha dem os­ trado que las m ism as eran erróneas. La tesis fundam ental de las páginas siguientes, de que Ja M ate­ m ática y la Lógica son idénticas, es tal que h asta a h o ra nun.ca he visto la necesidad de modificarla. E s ta tesis fue im popular en un principio, porque la Lógica tradicionalm ente se asocia con la Filosofía y con A ristóteles, de modo que los m atem áticos sienten que no es de su incum bencia, y aquellos que se consideran lógicos se m uestran ofen­ didos cuando se les pide que usen u n a técnica m atem ática nueva y m uy difícil. Pero estos sentim ientos no hubieran tenido una influencia ta n sólida si no hubieran hallado base en ciertas razones m ás serias. Ellas son, a grandes rasgos, de dos tipos opuestos: en prim er lugar, existen ciertos dificultades no solucionadas en la Lógica m atem ática que la hacen aparecer m enos cierta de lo que se cree que es la M ate­ m ática; y en segundo lugar, si se acepta la base lógica de la M atem á­ tica, se justifican o se tiende a justificar con ello m uchos trabajos, tales como el de Jo rg e Cantor, m irado con desconfianza por muchos m atem áticos debido a las paradojas no resueltas que com parte con la Lógica. E stas dos línea-s opuestas del criticism o se hallan represeni

8

B E R T R A N D RUS SE L L

tadas por los form alistas, conducidos por H ilbert, y los intuicionistas, encabezados por Brouwer. L a interpretación form alista de la M atem ática no es nueva en absoluto, pero p ara nuestros propósitos podemos ignorar sus form as m ás antiguas. Tal como la presenta H ilbert, por ejem plo, en la esfera de los núm eros, consiste en dejar indefinidos los enteros, pero afir­ m ando respecto a ellos axiom as tales que hagan posible la deducción de los proposiciones aritm éticas comunes. Es decir, n o asignam os sig­ nificado alguno a nuestros símbolos 0, 1, 2,... excepción hecha de que deben tener ciertas propiedades enum eradas en los axiom as, l ’or lo tan to , los símbolos deben considerarse como variables. Los enteros posteriores pueden definirse cuando se da el 0, pero el 0 debe ser sim ­ plem ente algo que posee las características prefijadas. De acuerdo con esto los símbolos 0, 1, ' 2,... no representan una serie definida, sino cualquier progresión arb itraria. Los form alistas se han olvidado du que los núm eros no sólo son necesarios para hacer sum as, sino tam bién para contar. Proposiciones tales como «Existieron 12 Apóstoles» o «Londres tiene tí.000.000 de habitantes» no pueden integrarse en su sistem a. Pues el símbolo «0» puede tom arse igual a cualquier entero finito, sin que por ello resulte falso ninguno de los axiom as de H ilbert; y por lo ta n to cualquier núm ero-sím bolo resulta infinitam ente am bi­ guo. Los form alistas son sem ejantes a un relojero que se halla ta n absorbido por el deseo de que sus relojes tengan buen aspecto, que olvi­ da que la misión de los mismos es la de señalar el tiem po, y descuida la m áquina. E xiste o tra dificidtad en la posición form alista, y es en lo que res­ pecta a la existencia. H ilb ert adm ite que si un conjunto de axiom as no lleva a contradicción debe existir algún conjunto de objetos que los satisface; y de acuerdo con ello, en vez de buscar el establecer teorem as de existencia por m edio de ejem plos, se dedica a m étodos de prueba de la propia consistencia de sus axiom as. P a ra él la «exis­ tencia», tal cual se entiende generalm ente, es un concepto m etafísico innecesario, que puede reem plazarse por el concepto preciso de nocontradicción. Y aquí olvida de nuevo que la A ritm ética tiene un uso práctico. No existe lím ite p a ra los sistem as de axiom as no-contradictorios que pueden inventarse. Las razones que nos obligan a in tere­ sam os en los axiom as que conducen a la A ritm ética común se hallan fuera de la m ism a, y se hallan relacionadas con la aplicación del n ú ­ m ero al m aterial empírico. E s ta aplicación por sí m ism a no form a parte ni de la Lógica ni de la A ritm ética; pero una teoría que la haga imposible a priori no puede ser verdadera. La definición lógica de los núm eros se relaciona con el m undo real de los objetos contables que llega a nuestro entendim iento; la teoría form alista no. L a teoría intuicionista, representada prim ero por B rouw er y des­ pués por W eyl, es un asunto m ás serio. E xisto una filosofía asociada

I

LOS PRI NCI PI OS DE LA M A T E M Á T I C A

-

-

-

9

con la teoría, filosofía que podemos ignorar p ara nuestros propósitos, sólo nos interesará su posición respecto a la Lógica y a la M atem ática. Aquí el p u n to esencial es el de la n egativa a considerar una proposición como falsa o como verdadera h a sta que exista algún m étodo para d e­ cidir la altern ativ a. B rouw er niega la lev del tercero excluido — o ex ­ cluso— , donde no existe ese m étodo. E sto destruye, por ejem plo, la prueba de que hay m ás núm eros reales que núm eros racionales y que, en las series de núm eros reales, cualquier progresión tiene límite. E n consecuencia, grandes partes del Análisis, que d u ran te siglos se cre­ yeron bien establecidas, resultan ser dudosas. Con esta teoría se halla asociada la doctrina del llam ado finitismo, que pone en duda las proposiciones que encierran colecciones infinitas o series infinitas, basándose en que estas proposiciones no pueden verificarse. E sta doctrina es un aspecto del em pirism o extrem o, y si se tom a en serio puede tener consecuencias aún m ás destructivas que las que le reconocen sus defensores. Los hom bres, por ejem plo, aunque form an una clase finita, son práctica y em píricam ente ta n imposibles de enum erar como si su núm ero fuera infinito. Si se adm ite el principio de los infinitistas, no podemos form ular proposición general alguna — tal como «Todos los hom bres son mortales»— respecto a luía colec­ ción definida pur sus propiedades y no por enunciación actual de todos sus m iem bros. De este modo se haría una lim pieza general en toda la ciencia y en toda la M atem ática, y no sólo de las partes que los intuicionistas consideran discutibles. Pero consecuencias desastro­ sas no pueden probar que una doctrina sea falsa; y si se quiere refutar la doctrina finitista, sólo se logrará por medio de una teoría com pleta del conocimiento. No creo que sea verdadera, pero pienso que no es posible im pugnarla en form a breve y fácil. Una discusión excelente y m uy com pleta acerca de si la M atem á­ tica y la Lógica son idénticas podrá hallarse en el vol. I I I del Tratado de Lógica jorinal de Jorgensen, págs. 57 -200 ,- donde el lector podrá encontrar un exam en frío de los argum entos esgrimidos en qpntra de esta tesis, con una conclusión que es, a grandes rasgos, igual a la mía; a saber: que, m ientras se han establecido fundam entos m uy no­ vedosos en los últim os años para refu tar la reducción de la M atem ática a la Lógica, ninguno de dichos fundam entos es en form a alguna con­ cluyente. Esto me conduce a la definición de M atem ática, que constituye la prim era sentencia de los P r i n c i p i o s . E n esa definición son necesarios varios cambios. P a ra comenzar, la form a «p im plica q» es solam ente una de las m uchas form as lógicas que pueden tom ar las proposiciones m atem áticas. O riginariam ente me sentí im pulsado a su b ra y a r esta form a por la consideración de la Geom etría. Es notorio que ta n to los sistem as euclidianos como los no-euclidianos deben ser igualm ente incluidos en la M atem ática pura, y no deben considerarse como m u­

ÍO

ÉERTJRAND RÜS S E L L

tu am en te inconsistentes; por lo ta n to , sólo debem os asegurar que los axiom as im plican las proposiciones, no que los axiom as son v erd a­ deros y, en consecuencia, las proposiciones resultan verdaderas. Tales ejem plos me condujeron a d ar u n a fuerza indebida a la implicación, que sólo es u n a entre las funciones de verdad, y no m ás im portante que las otras. Más adelante: cuando se dice que «p y q son proposicio­ nes que contienen una o m ás variables», sería m ás correcto decir que son funciones preposicionales; esto, sin em bargo, puede ser dis­ culpado si se tiene en cuenta que las funcionas proposicionales no habían sido entonces definidas y aún no eran fam iliares p ara los lógicos ni p a ra los m atem áticos. Ahora debo considerar un tem a m ás serio, a saber: la proposición de que «ni p ni q contienen constante alguna excepto constantes lógicas». Pospondré, por el m om ento, la discusión de qué se entiende por constantes lógicas. D ando esto por sabido, mi punto de vista presente es el de que la ausencia de constantes no-lógicas, aunque es condición necesaria para el carácter m atem ático de una proposición, no es condición suficiente. Quizá los m ejores ejem plos sobre esto sean proposiciones respecto al núm ero de cosas existentes en el m undo. Tomemos, por ejemplo: «Existen por lo m enos tres cosas en el mundo.» E sto es equivalente a: «Existen objetos x, y, z, y propiedades 9, i , 7, tales que x pero no y tiene la propiedad 9, x pero no 3 tiene la propie­ dad 9, e y pero no 2 tiene la propiedad y.» E s ta proposición puede enunciarse en térm inos puram ente lógicos, y puede probarse lógica­ m ente que es verdadera p ara clases de clases de clases: de estas ú lti­ mas deben existir por lo menos cuatro, aun cuando no exista el U ni­ verso. Porque en ese caso existiría una clase, la clase vacía; dos clases de clases, a saber: la clase vacía de clases y la clase cuyo único m iem ­ bro es la clase vacía; y cuatro clases de clases de clases, a saber: aquella que es vacía aquella cuyo único m iem bro es la clase vacía de clases, aquella cuyo único m iem bro es la clase cuyo único m iem bro es la clase vacía, y la que es sum a de las dos últim as. Pero en los tipos más bajos, los de los individuos, los de las clases, y los de las clases de clases, no podemos probar lógicam ente que por lo menos existen tres m iem bros. De acuerdo a la natu raleza m ism a d e 'la Lógica debía esperarse una situación sem ejante; porque la Lógica se desarrolla in ­ dependientem ente de los hechos empíricos, y la existencia del U ni­ verso es un hecho empírico. Es cierto que si el m undo 110 existiera, no existirían libros de Lógica; pero la existencia de los libros de Lógica no es u n a de las prem isas p a ra la existencia de la Lógica, ni puede inferirse de proposición alguna que tenga derecho de form ar parte de un libro de Lógica. E n la práctica es posible desarrollar m ucho la M atem ática sin adm itir la existencia de nada. Puede construirse to d a la A ritm ética elem ental de los enteros finitos y de las fracciones racionales; pero

LOS P RI NCI PI OS D E LA M A T E M Á T I C A

i:

todo lo que se refiere a las clases infinitas de enteros resulta impo sible. E sto excluye los núm eros reales y todo el análisis. P a ra incluirlo! necesitam os el «axioma de infinitud», el que establece que, si n es ur, núm ero finito, existe por lo menos una clase que tiene n m iem bros E n la época en que escribí los P r i n c i p i o s supuse que se podía probar esto, pero cuando el doctor W hitehead y yo publicam os los Principia M athematica nos convencimos de que la supuesta p ru eb a era falsa. E l argum ento anterior depende de la doctrina de los tipos, que, aunque presentada en form a ruda en el apéndice B de los Principios, aún no había alcanzado la e tap a de desarrollo en la que pudiera m o strar la im posibilidad de la dem ostración lógica de la existencia de las clases infinitas. Lo que se dice sobre tales teorem as de existencia en el últim o párrafo del últim o capítulo de los P r i n c i p i o s ya no me parece válido: tales teorem as de existencia, diría ahora, son ejemplos de proposiciones que pueden enuncÁarse en térm inos lógicos, pero que sólo pueden probarse o refutarse por m edio de una evidencia empírica. Otro ejem plo lo constituye el axiom a de m ultiplicación, o su eq u i­ valente, el axiom a de selección de Zermelo. El mism o sostiene que, dado un conjim to de clases m utuam ente excluyentes, ninguna de las cuales sea nula, existe por lo menos una clase consistente en un represen­ ta n te de cada clase de conjunto. N adie sabe si esto es verdadero o falso. E s fácil im aginar universos en que sea verdadero, y es imposible dem ostrar que hay universos posibles en que sería falso; pero tam bién es imposible (por lo menos así lo creo) p robar que 110 hay universos posibles en que sería falso. No llegué a darm e cuenta de la necesidad de este axiom a h asta un año después de que fueran publicados los P r i n c i p i o s . E n consecuencia, este libro contiene ciertos errores, por ejem plo la afirmación, en el § 119, de que las dos definiciones del infinito son equivalentes, lo que sólo puede dem ostrarse si se adm ite el axiom a de m ultiplicación. Tales ejemplos — que pueden repetirse h asta él infinit-o— m ues­ tra n que una proposición puede satisfacer la definición c@n la que em piezan los P r i n c i p i o s , y sin em bargo no ser posible de prueba o refutación m atem ática o lógica. Todas las proposiciones m atem áticas se hallan incluidas en la definición (con ciertas correcciones menores), pero no todas las proposiciones que se halian incluidas son m atem á­ ticas. P ara que una proposición pueda pertenecer a la M atem ática debe cum plir adem ás o tra propiedad: de acuerdo con W ittgenstein debe ser «tautológica», y de acuerdo a C am ap debe ser «analítica». No es fácil en absoluto lograr una definición exacta de e sta característica; adem ás C am ap h a dem ostrado que es necesario distinguir entre «analítica» y «demostrable», siendo este últim o un concepto algo más estrecho. Y el problem a de si una proposición es o no «analítica» o «demostrable» depende del a p a ra to de prem isas que nos sirve de base.

,) 12

B E R T R A N D RUS SE L L

Por lo tan to , a m enos de que dispongam os de algún criterio respecto a las prem isas lógicas adm isibles, todo el problem a acerca de cuáles son proposiciones lógicas resulta a rb itrario en un! grado m uy alto. É sta es una conclusión m uy poco satisfactoria, y jio la acepto como conclusión final. Pero antes de que pueda decirse algo m ás acerca de este tem a, es necesario discutir el problem a de las «constantes lógicas», que juega un papel esencial en la definición de M atem ática de la prim era sentencia de estos P r in c ip io s . Se presentan tres problem as respecto a las constantes lógicas: En prim er lugar, ¡existen tales cosas? En segundo;, / cómo se hallan definidas? Por últim o, ¿se presentan en las proposiciones de la Ló­ gica? De estas preguntas, la prim era y la tercera scjn m uy am biguas, pero sus diferentes significados pueden aclararse por medio de una pequeña discusión. Primero: ¿existen constantes lógicas? E n un sentido esta pregunta puede recibir u n a respuesta afirm ativa perfectam ente definida: en la expresión simbólica o lingüística de las proposiciones lógicas hay sím ­ bolos o palabras que juegan un papel constante, es decir, que apo rtan la misma contribución al significado de las proposiciones en cualquier parte que se presenten. Tales son, por ejemplo: «o»;, «y», «no», «si-entonces», «la clase vacía», «0 », «1», «2», ... La dificultad se halla en que, cuando analizam os las proposiciones en la expresión escrita en (pie se presentan tales símbolos, encontram os que no tienen constituyentes correspondientes a las expresiones en cuestión. E n algunos casos, esto resulta claram ente evidente: ni aun el m ás ardiente platónico se atrevería a suponer que el «o» perfecto ocupa un lugar en el cielo, y que los «o» terrestres son copias im perfectas del .arquetipo celeste. Pero en el caso de los núm eros esto resulta mellos evidente. Las doctrinas de P itágoras, que com enzaron con el m isticism o aritm ético, influyeron sobre toda la Filosofía y M atem ática siguiente con m ayor profundidad de lo que generalm ente se cree. Los núm eros eran inm u­ tables y eternos, como los cuerpos celestes; los núm eros eran inteligi­ bles; la ciencia de los núm eros era la llave del Universo. La últim a de estas creencias h a engañado a los m atem áticos; y al Consejo de Educación hasta, el presente. E n consecuencia, decir, que los núm eros son símbolos que n ad a significan parece una form a horrible de ateísm o. Cuando escribí los P r i n c i p i o s , com partía con Frege la creencia en la realidad platónica de los núm eros, que, en mi imaginación, perso­ nificaban el dom inio eterno del Ser. E ra una creencia reconfortante, que luego abandoné con pesar. Pero debo decir algo sobre el proceso que me impulsó a abandonarla. ¡> E n el capítulo IV de los P r i n c i p i o s s e dice que «cada palabra que form a p arte de una sentenciá debe tener algún significado»; y de nuevo «Llamaré término a todo lo que pueda ser objeto de pensam iento, o se pueda presentar en una proposición verdadera o falsa,' o pueda contarse

LOS PRI NCI PI OS DE LA M A T E M A T I C A

13

como uno... Un hom bre, un m om ento, un núm ero, u n a clase, una relación, u n a quim era, o cualquier o tra cosa que pueda m encionarse, es seguram ente un térm ino; y negar que tal cosa es un térm ino debe ser siem pre falso.» E ste modo de entender el leifguaje ha resultado ser equivocado. No siem pre es verdadero que una p alab ra «debe tener algún significado» — por supuesto que la palabra no debe ser un conjunto arbitrario de letras, sino tener uso inteligible— si se considera aplicado a la palabra aislada. Lo que es cierto, es que la p alab ra con­ tribuye al significado de la sentencia en la que se presenta; pero esto es algo m uy diferente. El prim er paso del proceso fue la teoría de las descripciones. De acuerdo con esta teoría, en la proposición «Scott es el a u to r de Waverley», el análisis de la proposición es, aproxim adam ente: «Scott escribió Waverley, y quienquiera que haya escrito Waverley fue Scott»; o, con m ayor precisión: «La función proposicional ’x escribió Waverley es equivalente a x es Scott’ es verdadera para todos los valores de x.n E sta teoría desterró la discusión — prom ovida, por ejem plo, por M einong— de que en el dominio del Ser deben existir objetos tales como la m o ntaña de oro y el cuadrado redondo, ya que podemos hablar de ellos. «El cuadrado redondo no existe» ha sido siempre proposición difícil; porque resulta natural preguntar: «¿Qué es lo que no existe?», y cualquier respuesta posible parecería im plicar que, en algún sentido, existe un objeto tal como el cuadrado redondo, aunque ese objeto tenga la propiedad p articular de no existir. La teoría de las descripciones evitó estas y otras dificultades. E l paso siguiente fue el de la abolición de las clases. E ste paso se em prendió en Principia Mathematica, donde se dice: «Los símbolos p ara clases, al igual que los símbolos para descripciones, son. en nuestro sistem a, símbolos incompletos; sus n-sos se hallan definidos, pero no se supone que ellos mismos tengan en absoluto significado alguno... Así las clases, hasta el p u n to que las introducim os, son sim plem ente conveniencias simbólicas o lingüísticas, no objetos genuinos» (vol. I, págs. 71 -2 ). O bservando que los núm eros cardinales han sido definidos como clases de clases, tam bién resultan ser «sim­ plem ente conveniencias simbólicas o lingüísticas». Así, por ejemplo, la proposición «1 -f 1 = 2 » , sim plificada en cierto m odo, resulte ser la siguiente: «Fórmese la función proporcional 'a es d istinto de b, y cualquiera sea x, x es un y es siem pre equivalente a x es a o x es b’\ fórmese tam bién la función proposicional 'a es un y, y, cualquiera sea x, x es un y pero es distinto de a es siem pre equivalente a x es b’. Entonces, cualquiera sea y, la afirm ación de que una de esta funciones proposicionales no siem pre es ,falsa (para valores diferentes de a; y b), es equivalente a la afirmación de que la o tra no siem pre es falsa.» Aquí han desaparecido com pletam ente los núm eros 1 y 2 , y un a n á ­ lisis sem ejante puede aplicarse a cualquier proposición aritm ética.

14

B E R T R A N D RUS SE L L

El doctor W hitehead, en esta etapa, me persuadió de que a b a n ­ donara los pun to s del espacio, los in stan tes del tiem po y las partículas de la m ateria, sustituyéndolos por construcciones lógicas com puestas de acontecim ientos. Al final parece resu ltar que ninguno de los m a­ teriales brutos que form an el m undo tiene propiedades lógicas sen­ cillas, sino que todo lo que a p a re n ta tener esas propiedades está construido artificialm ente con el fin de tenerlas. No quiero decir cjue las oraciones referentes a puntos o instantes o núm eros, o cual­ quier otra de las entidades abolidas por la n av aja de Occam, sean falsas, sino solam ente que necesitan una interpretación que m uestre que su forma lingüística es equivocada, y que, cuando se analizan correctam ente, se encuentra que las seudoentidades en cuestión no se hallan m encionadas en ellas. «El tiem po está form ado por instantes», por ejemplo, puede ser o no ser una afirmación verdadera, pero cual­ quiera que sea el caso no m enciona ni el tiem po ni los instantes. Puede interpretarse aproxim adam ente del modo siguiente: Dado cual­ quier acontecim iento x, definamos como sus' «contemporáneos» aq u e­ llos que term inan después que él comience, pero que em piezan antes que él term ine; y entre éstos definamos como «contem poráneos ini­ ciales1' de x aquellos que no son com pletam ente posteriores a los demás contem poráneos de x. E ntonces la oración «el tiempo está formado por instantes» es cierta si, dado cualquier acontecim iento x, cualquier acontecim iento que as com pletam ente posterior a algún contem poráneo de x es com pletam ente posterior a algún contem po­ ráneo inicial de x. U n proceso de interpretación sem ejante es necesa­ rio en la consideración de la m ayoría de las constantes puram ente lógicas, si no de todas ellas. De este m odo el problem a de si las constantes lógicas se presentan en las proposiciones de la Lógica resu lta m ás difícil de lo que parecía a prim era vista. E s un problem a al que, de hecho, no puede darse una respuesta definitiva, tal cual están las cosas, porque no hay definición exacta de «formar p a rte de» u n a proposición. Pero puede decirse algo. E n prim er lugar, ninguna proposición de la Lógica puede m encionar algún objeto particular. L a proposición «Si Sócrates es un hom bre y todos los hom bres son m ortales, entonces Sócrates es mortal» no es una proposición de la Lógica; la proposición lógica de la cual la a n te ­ rior es un caso particular, es: «Si x tiene la propiedad