Rumus Invers Matriks Matematika SMA Dan SMK

Rumus Invers Matriks Matematika SMA dan SMK

sangkar ngkar baik yang berordo 2x2, 3x3 , maupun ordo Invers matriks persegi atau bujur sa nxn akan menjadi topik pembahasan kali ini. Sebelum mempelajari invers matriks, terlebih dahulu akan dibahas tentang determinan matriks.

Determinan Matriks Ordo 2x2

Jika

suatu matriks persegi yang berordo 2x2, maka determinan matriks A

ditulis |A| atau det A adalah:

Contoh mencari determinan matriks ordo 2x2

Diketahui matriks-matriks dibawah ini:

Tentukan | A | dan | B | [Penyelesaian] Determinan matriks  A dan B adalah,

Syarat dua Matriks Saling Invers

Diketahui  A dan B dua buah matriks persegi yang berordo sama sehingga  AB = BA = I  , maka B adalah invers dari  A ditulis B = Maka,

Contoh dua matriks saling invers:

Diketahui matriks-matriks dibawah ini,

Tunjukkan bahwa  AB = BA = I  [Penyelesaian] Hasil kali matriks AB adalah,

Hasil kali matriks BA adalah,

dan  A adalah invers dari B ditulis A =

.

Matriks Singular dan Matriks Non Singular 

Matriks singular adalah matriks yang determinannya nol, dan matriks non singular 

adalah matriks yang determinannya tidak nol

Contoh matriks singular 

Diketahui matriks dibawah ini,

Buktikan bahwa A adalah matriks singular! [Penyelesaian] Determinan matriks A adalah,

Rumus invers matriks 2x2

Jika

, maka

adalah,

Dari rumus invers matriks diatas dapat disimpulkan bahwa: a.Suatu matriks persegi atau bujur sangkar tidak memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut singular. b. Suatu matriks persegi atau bujur sangkar memiliki invers jika dan hanya jika matriks persegi tersebut non singular. Invers Matriks 2x2 Contoh Soal dan Pembahasan

Tentukan invers matriks dibawah ini! 1. [Penyelesaian]

2. [Penyelesaian]

3. [Penyelesaian]

Determinan P = 0 jadi invers P tidak ada.

4. Tentukan Matriks C jika AC = B

[Penyelesaian] Kalikan

kedua

ruas

dengan

dari

Dari

kiri,

(1),

5.Diketahui dua buah matriks, Jika invers P sama dengan transpose Q tentukan x. [Penyelesaian]

Berdasarkan elemen yang seletak maka x = 3 Dari contoh-contoh diatas dapat disimpulkan bahwa invers matriks tidak selalu ada, bergantung pada determinannya.

Invers Matriks 3x3

Cara menentukan invers matriks selain ordo 2x2 dapat menggunakan adjoint   matriks. Jadi sebelum mempelajari cara mencari invers matriks ordo 3x3, terlebih dahulu harus dipelajari tentang minor, kofaktor, dan adjoint . 1.Minor 

Jika pada matriks A ordo 3x3 elemen baris ke- i dan kolom ke- j dihilangkan maka akan didapat matriks yang baru dengan ordo 2x2, determinan matriks baru dengan ordo 2x2 itulah yang disebut minor  ditulis dengan simbol dibawah ini, Jika diketahui matriks A ordo 3x3 ,

. Agar lebih jelas perhatikan contoh

Maka minor-minor dari matriks A adalah , , hilangkan baris ke- 1 dan kolom ke- 1 matriks A diatas maka sisanya adalah elemenelemen di dalam kotak merah dibawah ini

Sehingga mminor dari

adalah :

, hilangkan baris ke- 1 dan kolom ke- 2 matriks A diatas maka :

, hilangkan baris ke- 3 dan kolom ke- 2  matriks A diatas maka:

⋮

Dst Jadi, minor dari matriks A adalah:

2.Kofaktor 

Kofaktor  dituliskan dengan simbol

dibaca kofaktor baris ke- i   dan kolom ke- j dan

rumus nya adalah :

Jika diketahui matriks A,

Dari rumus kofaktor diatas maka kofaktor-kofaktor dari matriks A diatas adalah:

Jadi, kofaktor dari matriks A adalah,

 Agar lebih jelas perhatikan contoh dibawah ini! Contoh 1 Diketahui matriks A yaitu,

Tentukan minor dan kofaktor dari matriks A [Penyelesaian] a.Minor-minor

dari

Minor-minor dari matriks A lainnya adalah ,

Jadi, matriks minornya adalah:

matriks

A

adalah,

b.Kofaktor-kofaktor

matriks

A

adalah:

Jadi, matriks kofaktornya adalah:

3.Adjoint  Adjoint suatu matriks diperoleh dari transpose matriks kofaktornya.   Pemahaman anda

tentang adjoint, minor, determinan dan kofaktor sangat dibutuhkan dalam menentukan invers matriks ordo 3x3

4.Determinan Matriks ordo 3x3

Untuk menentukan determinan matriks ordo 3x3 menggunakan

metode sarrus.

Perhatikan contoh dibawah ini, Jika matriks B diketahui seperti dibawah ini,

Maka determinan matriks B dapat ditentukan dengan metode sarrus yaitu:

Contoh soal : Tentukan determinan matriks dibawah ini,

[Penyelesaian] Dengan menggunakan metode sarrus, maka determinan matriks B adalah

Rumus invers matriks ordo 3x3

Rumus

invers

matriks

ordo

3x3

adalah:

Contoh 2 Tentukan invers matriks A dibawah ini,

[Penyelesaian] Dari contoh 1 kofaktor matriks A adalah :

Maka

Adjoint

matriks

A

adalah

transpose

kofaktor

matriks

A,

yaitu

:

Dan

determinan

matriks

A

adalah:

Jadi invers matriks A adalah:

Seperti itulah contoh cara menentukan invers matriks baik baik invers matriks ordo 2x2, maupun ordo 3x3, selamat berlatih semoga bermanfaat.