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Regelungstechnik I
Vorlesung
Inhaltsverzeichnis 1
Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Übertragungsstrecken
5
1.1
Vollständige Dierentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.2
Vollständiger Frequenzgang
7
1.3
Physikalisches Modell
1.4
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
De nition und Eigenschaften
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.3.2
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Physikalisches Standartmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Herkömmliche Regelsysteme
9
2.1
Aufbau eines Regelsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.1
Struktur, Begrie und Aufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
2.1.2
Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
Das Stabilitätsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
2.2
F0
2.2.1
Der Frequenzgang
2.2.2
Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems und de-
der aufgeschnittenen Regelschleife
ren Zusammenhang mit den Polen von
2.3
3
Fg
. . . . . . . . . .
10
Stabilitätskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
2.2.4
Vorschriften in der p-Ebene für Stabilität und Dämpfung
. . . . .
12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
Die wichtigsten herkömmlichen Regler
(in der p-Ebene)
10
2.2.3
Kennzeichnung des momentanen Zustands einer Übertragungsstrecke durch einen Satz von Zustandsvariablen
4
7
1.3.1
13
3.1
Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.2
Zustandsvariable einer ÜS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
Regelysteme nach dem Prinzip der Rückführung eines vollständigen Satzes von Zustandsvariablen 4.1
Rückführung der Ausgangsgrösÿe und ihrer ersten n-1 Ableitungen nach der Zeit
4.2
4.3
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
Rückführung der Ausgangsgrössen der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.1
Prinzip
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
4.2.2
Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
Zur Wahl des Verstärkungsfaktors K und der n Rückführungsparameter
K1
bis
4.3.1
Kn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Parameterbilanz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
19 19
4.4
4.3.2
Übertragungsbeiwert der Führung im Beharrungszustand (Kw ) . .
4.3.3
Relationen der Koe zienten des Nennerpolynoms . . . . . . . . . .
20
4.3.4
Zeitmaÿstab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Behandlung von Übertragungsstrecken mit einem von eins verschiedenen Zählerpolynom ihres Frequenzgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
6
7
Lage der Pole und Zeitverhalten eines Regelsystems
24
Bestimmung der Sprungantwort im Zeit- und Frequenzbereich . . . . . . .
24
5.2
Zwei Beispiele für Pollage und Zeitverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.2.1
Die Standartübertragungsfunktion
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
5.2.2
Tiefpass mit kritischer Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
Möglichkeiten zur Ausbildung eines echten Integralverhaltens
25
6.1
Überlagerte I-Regelschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
6.2
Bypass-I-Regler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
6.3
Vergleich zwischen überlagerter I-Regelschleife und Bypass-I-Regler . . . .
27
Der äquivalente Regler
28
7.1
De nition des äquivalenten Reglers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
7.2
Äquivalenter Regler zum Regelsystem mit Rückführung der Ausgangsgrös-
7.3
Äquivalenter Regler zum Regelsystem mit Rückführung der n Ausgangs-
7.4
Äquivalenter Regler zum Regelsystem mit überlagerter Regelschleife
. . .
30
7.5
Äquivalenter Regler zum Regelsystem mit Bypass-I-Regler . . . . . . . . .
31
grössen der Bausteine des physikalischen Modells
9
21
5.1
se und ihrer n-1 Ableitungen nach der Zeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
20
. . . . . . . . . . . . . .
28 30
Methode zur Dimensionierung herkömmlicher Regler
32
Das Beobachterprinzip (auch Luenberger-Beobachter genannt)
33
9.1
Aufgabenstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
9.2
Der vollständige Streckenbeobachter
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
9.2.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
9.2.2
Ein Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
9.2.3 9.3
9.4
Beobachter ohne bleibende Abweichung (bei Störung mit bleibendem Anteil) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
Teilstreckenbeobachter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
9.3.1
Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
9.3.2
Beispiel für einen Teilstreckenbeobachter 1. Ordnung . . . . . . . .
35
9.3.3
Beispiel für einen Teilstreckenbeobachter 2. Ordnung . . . . . . . .
Festlegung der Gewichtsfaktoren
gν
in Beobachtern . . . . . . . . . . . . .
35 35
10 Systemführung nach dem Prinzip unterlagerter Schleifen
36
11 System mit einem Wechsel der Regelgröÿe
37
11.1 Problemstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
37
11.2 Lösung bei Regelsystemen mit unterlagerten Schleifen (Kaskadenregelung)
37
11.3 Ablöseregelung
38
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1 Beschreibung des dynamischen Verhaltens von Übertragungsstrecken
Übertragungsstrecke ÜS mit:
•
Eingangsgröÿe
xe
•
Ausgangsgröÿe
xa
•
Störgröÿe
z
Vorraussetzungen für ÜS:
•
rückwirkungsfrei (von aussen gesehen)
•
lineares Verhalten (Überlagerungssatz gültig!)
•
ohne Totzeiten
Störgröÿe
z
5
zunächst
=
0
1.1 Vollständige Dierentialgleichung Die vollständige Dierentialgleichung lässt sich aus der physikalischen Grundgleichung der Teilsysteme ermitteln: Mechanische Teilsysteme:
F =m·a
M =J
;
dΩ dt
Elektrische Teilsysteme:
uR = R · iR
;
uL = L
d iL dt
iC = C
;
d uC dt
Thermische Teilsysteme: entsprechende Bezeichnungen für thermischen Widerstand und thermische Kapazität Bei linearem Verhalten ohne Totzeiten, diskreten energieaufnhemenden Elementen und zeitinvarianten Parametern:
(n)·
αn+1 xa (t) + · · · + α3 x ¨a (t) + α2 x˙ a (t) + α1 xa (t) + α0 (m)·
= β1 xe (t) + β2 x˙ e (t) + · · · + βm+1 xe (t)
Zweckmäÿig: Festlegung der Nullpunkte für
xe
und
xa
(1)
im Beharrungspunkt (z.B. Nenn-
betrieb)
⇒ xe , xa Abweichungen ⇒ α0 = 0
vom Beharrungszustand
Gl.(1) stets darstellbar in der Form:
(n)·
an+1 xa (t) + · · · + a3 x ¨a (t) + a2 x˙ a (t) + a1 xa (t) (m)·
= b1 xe (t) + b2 x˙ e (t) + · · · + bm+1 xe (t)
wobei
b1 = 1
und im Sonderfall
b1 = 0
(2)
gilt
Vereinbarung: Im folgenden werden ÜS durch Dierentialgleichungen (DGL) gemäÿ Gl.(2) beschrieben
6
1.2 Vollständiger Frequenzgang ,→
Blatt 1..3 zu Kapitel 1
1.3 Physikalisches Modell 1.3.1 De nition und Eigenschaften ohne Beweis (Literatur: W. Oppelt) Eine ÜS mit n voneinander unabhängigen Energiespeichern wird durch eine Übertragungsfunktion n-ter Ordnung beschrieben und umgekehrt.
De nition: Energiespeicher sind dann voneinander unabhängig, wenn ihr Energieinhalt vom System getrennt beein usst werden kann Beispiele:
7
Physikalisches Modell für ÜS n-ter Ordnung:
•
Reihen-/ Parallel-/ Kreisschaltung von insgesamt n unabhängigen Integrierern und PT1-Gliedern (Verzögerungsglieder 1. Ordnung)
•
Signalausgänge der Integrierer und PT1-Glieder kennzeichnen jeweils den Energieinhalt eines eindeutig zugeordneten Energiespeichers der Original-ÜS
•
zusätzlich zur Reihen-/ Parallel-/ Kreisschaltung treten weitere Rück- oder Vorwärtskopplungen nur als P-Glieder (Proportionalglieder) auf
,→
Blatt 5+6 zu Kapitel 1
1.3.2 Beispiele ,→
Blatt 7..23 zu Kapitel 1
1.4 Physikalisches Standartmodell Forderungen wie beim physikalischen Modell für ÜS n-ter Ordnung mit der Einschränkung: Ab Glieder mit Zeitverhalten dürfen nur Integrierer auftreten
8
2 Herkömmliche Regelsysteme
2.1 Aufbau eines Regelsystems 2.1.1 Struktur, Begrie und Aufgabe
Ein Regelsystem ist eine Anordnung, bei welcher die Ausgangsgröÿe einer Übertragungsstrecke laufend gemessen und mit der dafür vorgegebenen Führungsgröÿe verglichen wird und bei der mit der so gebildeten Dierenz die Strecke derart beein usst wird, dass die Regelgröÿe, auch unter dem Ein uss einer ganz oder teilweise unbekannten Störgröÿe, an ihren Sollwertverlauf angeglichen wird.
,→
Blatt 1+2 zu Kapitel 2
2.1.2 Ein Beispiel ,→
Blatt 3..6 zu Kapitel 2
9
2.2 Das Stabilitätsproblem 2.2.1 Der Frequenzgang F0 der aufgeschnittenen Regelschleife Aufschneiden der Rückführungsschleife vor der Bildung der Regeldierenz:
Anregung mit harmonischer Schwingung (xe ) Ermittlung von deren Wirkung auf
x
(ergibt unter den getroenen Voraussetzungen
ebenfalls eine harmonische Schwingung) Dafür wird
w=0
und
z=0
vorrausgesetzt; beide hier unerheblich (Überlagerungssatz!)
FG der aufgeschnittenen Regelschleife:
F0 =
,→
x = −FR FS xe
Blatt 7..9 zu Kapitel 2
2.2.2 Die Wurzeln der charakteristischen Gleichung des Systems und deren Zusammenhang mit den Polen von Fg (in der p-Ebene) Unter den getroenen Vorraussetzungen Darstellung von
Fg
und
Fgz
stets wie folgt mög-
lich (2.1.2):
Fg (p) =
Zg (p) x = w Ng (p)
,
Fgz (p) =
Zgz (p) x = z Ng (p)
Somit:
x · Ng (p) = w · Zg (p) (. . . d p3 + c p2 + b p + a) · x = (. . . δ p3 + γ p2 + β p + α) · w a, b, c . . . und α, β, γ . . . d x → x; w → w; p → dt wobei
(12)
reell
...
...
...d x + c x ¨ + b x˙ + a x = . . . δ w + γ w ¨ + β w˙ + α w
10
(13)
Lösung von DGL(13):
w 6= 0 [inhomogene w = 0 [homogene Form
eine spezielle Lösung von (13) mit
Form von (13)] summiert mit
allgemeiner Lösung von (13) mit
von (13)]
Allein die homogene Form von (13) entscheidet über Stabilität Spezielle Lösung von (13): dazu Sprung in
t ≥ 0: w = const. = wS α x s = wS a
w
zur Zeit
;
w˙ = 0
t=0 ;
w ¨=0
;
...
Homogene Lösung von (13): dazu charakteristische Gleichung (CGL) zur DGL(13)
. . . d λ3 + c λ 2 + b λ + a = 0 Eigenwerte der CGL:
(14)
λ1 ; λ2 ; . . . ; λn xh = D1 eλ1 t + D2 eλ2 t + · · · + Dn eλn t
(gilt für einfache Eigenwerte; Lösung bei zusamenfallenden Eigenwerten siehe HM) Bedingung für die Stabilität des durch DGL(13) beschriebenen Systems:
•
Realteile sämtlicher Wurzeln der CGL(14) negativ
•
Wurzeln der CGL(14) (in komplexer Ebene) identisch mit Wurzeln (in p-Ebene) des Nennerpolynoms
,→ ,→
Ng
von
Fg (p)
und
Fgz (p)
Folgt aus Vergleich von (14) mit (12)
Blatt 11+12 zu Kapitel 2
2.2.3 Stabilitätskriterium ,→
Blatt 13 zu Kapitel 2
F0 (p) =
1 + p TaN |
−K sN + p2 TA TaN sN {z }
2 Pole mit neg. Realteil
∆κ = κ(∞) − κ(0)
mit
1 pT | {zaN}
1 Pol bei
κ(∞) = κ|ω→∞ κ(0) = κ|ω→0
11
p=0
((8))
K·sN
z }| { π 1 − Re[F0 (jω)]ω→0 π κ(0) = − arctan = 2 Im[F0 (jω)]ω→0 2 | {z } →∞
Für Für
,→
K = 48: κ(∞) = π ⇒ ∆κ = π2 ⇒ stabil K = 144: κ(∞) = −π ⇒ ∆κ = − 32 π ⇒ instabil
Blatt 14..16 zu Kapitel 2
2.2.4 Vorschriften in der p-Ebene für Stabilität und Dämpfung Betrachtung der Lage der Pole von
,→
Fg (p)
in der p-Ebene
Blatt 17..19 zu Kapitel 2
2.3 Die wichtigsten herkömmlichen Regler ,→
Blatt 21..28 zu Kapitel 2
12
3 Kennzeichnung des momentanen Zustands einer Übertragungsstrecke durch einen Satz von Zustandsvariablen
3.1 Problemstellung
t = t0 auÿerhalb ihres Zeiten t < t0 erfolgten, zum
ÜS be nde sich zur Zeit
Beharrungszustandes infolge von Ein-
üssen, welche zu
Zeitpunkt
t = t0
aber bereits wieder
vollständig abgeklungen sind. Gesucht:
xa = xa (t)
für
t > t0 ,
wobei für
t > t0 xe ≡ 0
und
zν ≡ 0
3.2 Zustandsvariable einer ÜS De nition: Ein Satz von Zustandsvariablen einer ÜS ist ein Satz von Kenngrössen, deren Momen-
t = t0 das ≡ 0, zν ≡ 0 für t > t0 )
tanwerte zu einem Zeitpunkt
Verhalten der ÜS für
Beein ussungen (xe
eindeutig festlegen.
,→
Blatt 1 zu Kapitel 3
13
t > t0
ohne weitere
4 Regelysteme nach dem Prinzip der Rückführung eines vollständigen Satzes von Zustandsvariablen Herkömmlicher Weg:
Nachteil: Zusätzliche Informationen über die ÜS werden beim Aufbau des Regelsystems nicht berücksichtigt
⇒
Stabilitätsproblem unnötig schwierig lösbar
Zweckmäÿiger:
x1 , x2 , . . . , xn :
Vollständiger Satz von Zustandsvariablen der ÜS
14
Vorteile:
•
einfach stabil zuhalten
•
Stabilität ziemlich Unemp ndlich gegenüber Parametereinstellungen
•
Übertragungsverhalten des Regelsystems zumindest theoretisch frei einstellbar
Einfacher Aufbau des RRG bei zeitlich konstant gewichteter Rückführung eines vollständigen Satzes von Zustandsvariablen
x1 , x2 , . . ., xn : Vollständiger Satz von Zustandsvariablen der ÜS K , K1 , . . ., Kn : Einstellparameter des RRG (reell, n + 1 freie Parameter)
4.1 Rückführung der Ausgangsgrösÿe und ihrer ersten n-1 Ableitungen nach der Zeit x1 = x x2 = x˙ x3 = x ¨ . . .
(n−1)·
xn = x
15
Durch RRG wird festgelegt:
y = K(w − C1 x − C2 x˙ − C3 x ¨ − · · · − Cn Bei ÜS entsprechend Gl.(2) in 1.1 mit (b1
(n−1)·
x )
(1)
= 1; b2 , b3 . . . bn+1 = 0): (n)·
y = a1 x + a2 x˙ + a3 x ¨ + · · · + an+1 x
(2)
Aus (1) und (2):
(n)·
an+1 x + · · · + a3 x ¨ + a2 x˙ + a1 x = KW − K C1 x − K C2 x˙ − K C3 x ¨ − · · · − K Cn
(n−1)·
x
an+1 K (n−1)· an Cn + + x K (n)·
x
. . .
+x ¨ C3 + + x˙ C2 + + x C1 +
a3 K a2 K a1 =w K
(3)
Vollständige Lösung zu Gl.(3) (DGL n-ter Ordnung): Lösung
= eine
spezielle Lösung der inhomogenen Form von Gl.(3)
+ allgemeine
Lösung der homogenen Form von Gl.(3)
16
(w 6= 0)
(w = 0)
Spezielle Lösung der inhomogenen Form von Gl.(3) Annahme: Sprung in
w
zur Zeit
t=0
von
0
auf
wS
t > +0: w = wS = const. w, ˙ w, ¨ ... = 0 Eingesetzt in Gl.(3), eine Lösung von Gl.(3)
⇒ xs =
wS C1 + aK1
(4)
Allgemeine Lösung der inhomogenen Form von Gl.(3) CGL:
λn
an+1 K
an + λn−1 Cn + K a3 2 + λ C3 + K a2 + λ C2 + K a1 + 1 C1 + =0 K
(5)
Allgemeine Lösung der homogenen Form von Gl.(3):
xh = D1 eλ1 t + D2 eλ2 t + · · · + Dn eλn t
(6)
Vollständige Lösung von Gl.(3):
x = xs + xh = mit
D 1 . . . Dn
wS + D1 eλ1 t + D2 eλ2 t + · · · + Dn eλn t C1 + aK1
(7)
aus den Anfangsbedingungen
Aus Gl.(7) folgt:
• λ1 . . . λn
bestimmen Art und Weise und insbesondere die Geschwindigkeit, mit
welcher der neue Beharrungszustand angelaufern wird
•
Übertragungsbeiwert der Führung im Beharrungszustand:
Kw =
xs (4) 1 = ws C1 +
17
a1 K
(8)
üblich:
Kw = 1 Zunächst n+1 freie Parameter:
K
und
C 1 . . . Cn
(9)
(Eisntellparameter des RRG)
Gl.(8) legt eine Beziehung zwischen diesen n+1 freien Parametern fest; somit verbleiben n Parameter zur freien Wahl (zur Festlegung der Wurzeln der CGL) (8)→(5):
an+1 an a3 a2 λn Kw +λn−1 Kw Cn + +1 = 0 + · · · + λ2 Kw C3 + +λ Kw C2 + | {zK } | {z K } | {z K } | {z K } =qn T n
=qn−1 T n−1
=q2 T 2
=T
(10) Aus (3), (8) und (10)
⇒
Führungs-FG:
x 1 = Kw 2 w 1 + p T + q2 p T 2 + · · · + qn p n T n
(11)
Kw frei wählbar. Durch dessen Vorgabe entsteht gemäÿ Gl.(8) eine Bindung zwischen C1 und K . Unterstellt man z.B. dass hierdurch über C1 verfügt wird, sind q2 bis qn und T über eine geeignete Wahl von K und C2 bis Cn (reell) völlig beliebig wählbar. Damit sind die Wurzeln der CGL (λ1 . . . λn ) theoretisch völlig frei festzulegen. Hierzu
Praktische Grenzen durch limitierten Hub des Stellgliedes und Emp ndlichkeit des Systems gegenüber Störsignalen. Nachteil: hier mehrfache Dierentation des Ausgangssignal erforderlich
4.2 Rückführung der Ausgangsgrössen der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells 4.2.1 Prinzip ,→
Blatt 1+2 zu Kapitel 4
4.2.2 Beispiele ,→
Blatt 3..9 zu Kapitel 4
18
4.3 Zur Wahl des Verstärkungsfaktors K und der n Rückführungsparameter K1 bis Kn 1 x = Kw w 1 + p T + q2 p 2 T 2 + · · · + qn p n T n (sofern Zählerpolynom des FG
((11) aus 4.1)
x y der Regelstrecke Grad0, d.h. Regelstrecke ohne Kreis-
und Parallelschaltung und Vorwärtskopplungen) Eigenschaftsparameter
Kw , T, q2 , q3 , . . . , qn
K, K1 , K2 , . . . , Kn
über Einstellparameter
theoretisch beliebig wählbar. Theoretisch optimal:
also
→
T =0
(und alle
x = Kw w qν
(üblicherweise = 1)
endlich)
Forderung (vgl. Beispiele)
K=∞
Erfüllung (auch nur näherungsweise) nicht sinnvoll
4.3.1 Parameterbilanz Einstellparameter Gewichtung der Signale in den Rückführungs-
Parameter
Parameterzahl
K1 , K2 , . . . , Kn
n
K
1
schleifen Verstärkung des P-Gliedes nach dem Summationspunkt
Gesamtzahl, Haben
n+1
Eigenschaftsparameter Übertragungsbeiwert der Führung im Behar-
Parameter
Parameterzahl
Kw
1
q2 , q3 , . . . , qn
n-1
T
1
rungszustand Relationen der Koe zienten des Nennerpolynoms Zeitmaÿstab (gewünschte oder mögliche Regelgeschwindigkeit) Gesamtzahl, Soll
n+1
19
4.3.2 Übertragungsbeiwert der Führung im Beharrungszustand (Kw ) Üblicherweise
Kw = 1
(Ausnahme eventuell bei Überlagerung weiterer Schleifen)
4.3.3 Relationen der Koe zienten des Nennerpolynoms Die Beziehung:
1 x = Kw 2 w 1 + p T + q2 p T 2 + · · · + qn p n T n
((11) aus 4.1)
beschreibt das Verhalten eines Tiefpass lters. Die Filtertheorie liefert zahlreiche sinnvolle Relationen der Koe zienten
q2 . . . qn
für ein
günstiges Führungsverhalten.
,→
Blatt 11..13 zu Kapitel 4
4.3.4 Zeitmaÿstab x 1 = Kw 2 w 1 + p T + q2 p T 2 + · · · + qn p n T n
((11) aus 4.1)
Eigentlich gewünscht: T klein
⇒ ⇒ ⇒
K sehr groÿ hohe Systemunruhe hohe Reserve im Stellglied erforderlich oder rasches Austreten aus dem weitgehend
linearen Bereich Kompromiss erforderlich zwischen hoher Regelgeschwindigkeit, ausreichender Systemruhe und Bedarf an Stellreserve. Dazu Kenntnis erforderlich über:
•
Gröÿe und Art von Sollwertveränderungen
•
Gröÿe, Art und Angrispunkte von Störgröÿen
•
Gröÿe und Frequenzen von Störsignalen im Sollwert und Istwert
20
Diese sind in der Entwurfsphase meist nicht vollständig bekannt
⇒ endgültige Einstellung
des Zeitmaÿstabs bei der Inbetriebnahme vor Ort. Daher: Aufgrund vorliegender Grobkenntnisse K oder T wählen und damit, sowie aus und
q2 . . . qn ⇒ (K), K1 . . . Kn
Kw
berechnen und als erste Einstellempfehlung verwenden.
Auÿerdem: Verschiedene K oder T um den ersten Wert herum wählen und zugehörige Sätze
(K), K1 . . . Kn
berechnen
⇒ verschiedene Koe zientensätze für Inbetriebnahme
Noch oen: Wahl von T für erste Einstellempfehlung a) Grober Schätzwert aus bekannter Höhe von Sollwertsprüngen sowie bekannter Stellreserve bei bekanntem Arbeitspunkt
,→
Blatt 15..19 zu Kapitel 4
b) Grober Schätzwert aus Polverteilung der Übertragungsstrecke
,→
Blatt 20..26 zu Kapitel 4
4.4 Behandlung von Übertragungsstrecken mit einem von eins verschiedenen Zählerpolynom ihres Frequenzgangs ,→
Blatt 27..29 zu Kapitel 4
Zunächst: De nition einer zentralen Zustandsgröÿe
xc
gemäÿ:
(n)·
bzw.
an+1 xc (t) + · · · + a3 x¨c (t) + a2 x˙c (t) + a1 xc (t) = y(t) 1 xc = y a1 + a2 p + a3 p2 + · · · + an+1 pn
(4) (5)
Aus (2a) und (5):
x = xc (b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bm+1 pm )
(6)
(m)·
x(t) = b1 xc (t) + b2 x˙c (t) + b3 x¨c (t) + · · · + bm+1 xc (t)
21
(7)
Ein vollständiger Satz von Zustandsgröÿen einer ÜS ist stets ein Satz von n linear unabhängigen Linearkombinationen ihrer zentralen Zustandsgröÿe
xc
und deren (n-1) Ablei-
tungen nach der Zeit. Die n Ausgangsgröÿen der Bausteine mit Zeitverhalten des physikalischen Modells einer ÜS sind stets ein Satz von Zustandsgröÿen
⇒
Ein Regelsystem mit Rückführung der Ausgangsgröÿen des physikalischen Modells
lässt sich auf ein solches mit Rückführung der zentralen Zustandsgröÿe und deren (n-1) Ableitungen nach der Zeit zurückführen.
,→
Blatt 30 zu Kapitel 4
K1 x + K2 x2 + · · · + Kn xn = C1 xc + C2 x˙c + · · · + Cn
(n−1)· xc
(8)
gemäÿ (11) aus 4.1:
xc 1 = Kw 2 w 1 + p T + q2 p T 2 + · · · + qn p n T n mit
1 C1 + aK1 a2 T = K w C2 + K aν+1 ν qν T = Kw Cν+1 + K an+1 n qn T = K w K Kw =
22
((8) aus 4.1)
((10) aus 4.1) für
ν = 2, 3, . . . (n − 1)
Führungs-FG des Regelsystems: (6) mit (11) aus 4.1:
b1 + b2 p + b3 p2 + · · · + bm+1 pm x = Kw w 1 + p T + q2 p2 T 2 + · · · + qn pn T n • Kw
sowie die Parameter
q2 . . . qn
(10)
und T des Nennerpolynoms (und damit die Pole
des Führungs-FG) sind über K sowie
C1
bis
Cn
bzw
K1
bis
Kn
theoretisch beliebig
einstellbar (Beweis siehe 4.1 und 4.2)
•
Zählerpolynom (b1
. . . bm+1 ) durch ÜS gegeben, kann über die Parameter des RRG
nicht beein usst werden
•
Die Stabilität des Regelsystems ist nur durch die Pole des Führungs-FG (also durch dessen Nennerpolynom) bestimmt; diese sind ebenso frei einstellbar wie bei den ÜS mit Zählerpolynom 1
,→
Blatt 31..35 zu Kapitel 4
23
5 Lage der Pole und Zeitverhalten eines Regelsystems
5.1 Bestimmung der Sprungantwort im Zeit- und Frequenzbereich Beispiel: Regelsystem nach dem Prinzip der Rückführung eines vollständigen, zeitlich konstant gewichteten Satz von Zustandsvariablen für die Drehzahl einer Gleichstromsteller gespeisten, fremderregten Gleichstrommaschine. (Beispiel 1 aus 4.2.2) Gegeben: Sprung in der Führungsgröÿe (bei
Gesucht: Sprungantwort
xu
für alle Zeitfunktionen gilt:
,→
w
von
w =0
auf
w =1
zum Zeitpunkt
mW = 0) im Zeit- und Frequenzbereich
f (t)|t
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