RPP Vektor

RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN (RPP)  Nama Sekolah

: SMA Hang Tuah 5 Sidoarjo

Mata Pelajaran

: Matematika (Peminatan)

Kelas/Semester

:X/2

Materi Pokok

: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor

Waktu

: 3 × 45 menit

Kompetensi Inti

1. Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. 2. Menunjukkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif, dan pro-aktif sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta menempatkan diri sebagai cerminan cermin an bangsa dalam pergaulan dunia. 3. Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural  berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural  pada bidang kajian yang spesifik spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya minatnya untuk memecahkan masalah. 4. Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan  pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

Kompetensi Dasar dan Indikator

3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang  berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 3.5.1

Membedakan antara skalar dan vektor.

3.5.2

Menganalisis jumlah vektor.

3.5.3

Menganalisis selisih vektor.

3.5.4

Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.

PERTEMUAN I A. Tujuan Pembelajaran Pembelajaran

Setelah selesai melaksanakan kegiatan pembelajaran: 1.

Siswa dapat membedakan antara skalar dan vektor.

2.

Siswa dapat menganalisis jumlah vektor.

3.

Siswa dapat menganalisis selisih vektor.

4.

Siswa dapat menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.

B. Materi Pembelajaran Materi Pokok

Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor  Materi Prasyarat

Aljabar, geometri Fakta

1. Masalah kontekstual yang diselesaikan dengan sifat-sifat vektor. 2. Aplikasi fisika yang diselesaikan dengan menggunakan vektor. 3. Masalah kontekstual yang berkaitan dengan soal aplikasi vektor atau soal-s oal seleksi masuk perguruan tinggi. Konsep

1. Sifat-sifat operasi aljabar vektor. 2. Operasi perkalian skalar dua vektor. Prinsip

1. Definisi besaran skalar dan besaran vektor. 2. Definisi dua vektor yang sama. 3. Besar vektor dalam bidang dan ruang. 4. Segmen garis. 5. Definisi perkalian skalar dua vektor. Prosedur

1. Langkah-langkah menentukan besar vektor dalam bidang dan ruang.

C. Model / Metode Pembelajaran

Pendekatan pembelajaran

: Pendekatan saintifik ( scientific)  scientific)

Model Pembelajaran

: Discovery Learning 

Metode Pembelajaran

: Diskusi, Tanya jawab.

D. Kegiatan Pembelajaran

Kegiatan Pendahuluan

Deskripsi Kegiatan Komunikasi

Alokasi Waktu 10 Menit

1. Guru mengucapkan salam dan mengarahkan siswa untuk memimpin doa 2. Guru mengecek kehadiran siswa dan meminta siswa untuk menyiapkan perlengkapan dan peralatan yang diperlukan, misalnya buku siswa. Apersepsi

Guru memberikan gambaran tentang pentingnya memahami Konsep vektor dalam kehidupan sehari-hari. Motivasi

1. Mendorong rasa ingin tahu dan berpikir kritis, siswa diajak memecahkan masalah mengenai bagaimana menemukan Konsep vektor. 2. Guru menyampaikan tujuan pembelajaran yang ingin dicapai.

Inti

Mengamati

Guru mengajukan/menunjukkan masalah kepada Siswa untuk diselesaikan/diskusikan dalam menemukan konsep vektor 

Menanya

Guru meminta siswa untuk menanyakan tentang masalah atau Membuat pertanyaan mengenai konsep vektor  Mengeksplorasi

Siswa menyelesaikan masalah konsep vektor   berdasarkan lembar kerja siswa yang diberikan guru. Mengasosiasi

110 Menit

Siswa menganalisis dan membuat kategori dari unsurunsur yang terdapat pada konsep vektor  Mengomunikasikan

Guru mengarahkan siswa untuk menghubungkan unsurunsur yang sudah dikategorikan/ dikelompokkan sehingga dapat dibuat kesimpulan mengenai konsep vektor  Penutup

1. Guru meminta kepada siswa untuk menyimpulkan

15 Menit

materi yang baru dipelajari 2. Guru memberikan tes kepada siswa 3. Guru memberikan tugas rumah (PR) 4. Guru

menyampaikan

arahan

untuk

pertemuan

selanjutnya 5. Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan  pesan untuk tetap belajar dan meningkatkan sikap yang  baik di rumah.

Alat / Media / Sumber Pembelajaran

1. White Board , Maker  2. Laptop, Proyektor, Media Presentasi 3. Sumber pembelajaran: a. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Erlangga  b. Buku Matematika peminatan kelas X untuk SMA penerbit Yrama Widya c. Sumber buku lain, Internet dll.

Penilaian Hasil Belajar No

1

Aspek yang dinilai Aspek sikap

a. Observasi perilaku : 

Sikap rasa ingin tahu



Sikap aktif/bekerjasama



Sikap toleransi

Teknik

Waktu

Penilaian

Penilaian

Pengamatan /

Selama

Penskoran

 pembelajaran dan saat diskusi

 b. Penilaian diri c. Penilaian antar peserta didik 2

Aspek Pengetahuan

Penskoran

Penyelesaian

a. Tes tertulis berupa uraian

soal

 b. Tes lisan Pada waktu kegiatan pembelajaran  berlangsung yakni di awal, tengah dan  pada akhir pembelajaran c. Tugas Berupa pekerjaan rumah (PR) 3

Aspek Keterampilan

a. Projek (LKS)  b. Penilaian Fortofolio

Pengamatan /

Penyelesaian

Penskoran

tugas (baik individu maupun kelompok) dan saat diskusi

Sidoarjo, 16 Juli 2018 Mengetahui, Kepala SMA HANG TUAH 5 Sidoarjo

Guru Mata Pelajaran

Erni Dwiyanti, M.Pd.

Ditya Rifky R., S.Pd.

INSTRUMEN PENILAIAN HASIL BELAJAR

1. Instrumen Tes Tertulis Soal

⃗   , ⃗  ⃗  ⃗  ⃗   2⃗ ⃗     =  √ ±4 ⃗  = ±  = () ⃗    =    = ()

1. Diketahui  =

 dan  =

 jika  =

Tentukan: a. Vektor  b. Vektor c.

 + ,  -

dengan menggunakan aljabar dan geometris.

Jawaban dan pedoman penskoran. a.

 =

x2 = 4



x= x=

 2

Vektor  = (Skor 20)

 b.

 =



y=5

Vektor  = (Skor 20)

c. 

Secara aljabar

⃗  () + () (08 )  +

=

=

Secara Geometris

 ⃗ (Skor 20) 

Secara aljabar

⃗  () - () (00)  -

=

=

Secara Geometris

⃗  

(Skor 20) 

Secara aljabar

2⃗

(.) (.8) (0)

=2 = =

Secara Geometris

⃗ ⃗ (Skor 20)

LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN SIKAP

 Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi Pokok

: SMAN 1 GARUT : Matematika (Peminatan) : X MIPA /1 : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor

Kompetensi Dasar : 2.1 Menunjukkan sikap senang, percaya diri, motivasi internal, sikap kritis, bekerjasama, jujur dan percaya diri serta responsif dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata. 2.2 Memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam 2.3 Berperilaku peduli, bersikap terbuka dan toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat. Indikator 2.1.1 2.2.1

Menunjukan sikap bekerjasama dalam menyelesaikan berbagai permasalahan nyata Menunjukan sikap rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar dalam  berinteraksi dengan lingkungan sosial dan alam 2.3.1 Menunjukan perilaku toleransi terhadap berbagai perbedaan di dalam masyarakat

Indikator penilaian rasa ingin tahu dapat disusun sebagai berikut:

K ri teria

Skor

I ndikator

Sangat Baik (SB)

4

Selalu memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar

Baik (B)

3

Sering memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman belajar

Cukup (C)

2

Kadang-kadang memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari  pengalaman belajar

Kurang (K)

1

Tidak pernah memiliki rasa ingin tahu yang terbentuk dari pengalaman  belajar

Indikator penilaian aktif/bekerjasama dapat disusun sebagai berikut:

K ri teria

Skor

I ndikator

Sangat Baik (SB)

4

Selalu aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai permasalahan

Baik (B)

3

Sering aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai  permasalahan

Kriteria

Skor

I ndikator

Cukup (C)

2

Kadang-kadang aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai  permasalahan

Kurang (K)

1

Tidak pernah aktif dan bekerjasama dalam penyelesaian berbagai  permasalah

Indikator penilaian sikap toleransi dapat disusun sebagai berikut:

K ri teria

Skor

I ndikator

Sangat Baik (SB)

4

Selalu bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada

Baik (B)

3

Sering bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada

Cukup (C)

2

Kadang-kadang bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada

Kurang (K)

1

Tidak pernah bertoleransi terhadap berbagai perbedaan yang ada

Bubuhkan tanda √  pada kolom-kolom sesuai hasil pengamatan.  No

 Nama Siswa X-MIPA 1

1 ALDA ALIA LUSIANA 2 ALVENUS FILIFI 3 ANNISA FAUZIAH 4 ANNISA LILIS F 5 AZRIEL AKBAR RAHMAN 6 CHAMPERNIC T 7 DESVIRA SHABILA M 8 DILLA NUR FADILLAH 9 FARHAN NUGRAHA 10 ILA ASRI ASROFIATY 11 INDAH SARI NURJANAH 12 JANUAR HIDAYAT 13 KEVIN KHAEDAR N P 14 LUTFI SIDIQ 15 MARISKA AYUDIA 16 MOCH SAEFUL IRPAN 17 MOHAMMAD RIZKY M 18 MUHAMMAD RAMADHANI 19  NABILA ZAHRA S 20  NIKEN DWI CAROLINA P 21  NOVIANTI MAHARANI 22 QORI KHOIRUNNISA 23 REGINA MARTHATIANA 24 REKA PERMATASARI 25 RIZAL FIRDAUS 26 SANIA FEBRI YANTI V 27 SHILVIA OKTAFIANI 28 SITI ASIAH SYA'ADAH 29 SUKMA WIJAYA 30 SULTHON AHMAD AULA 31 SYIFFA FAUZYAH P 32 TIARA NURSYAMSA F 33 TRIKO JUAN HINMAN A 34 WIZNI A'DILA A'ZIZA 35 YASMIN NURLATIFAH P 36 YAYU FATIMATUNNISA Keterangan: SB : Sangat Baik B : Baik C : Cukup K : Kurang

Sikap Bekerjasama

Aktif SB

B

C

K

SB

B

C

Toleran K

SB

B

C

K

LEMBAR PENGAMATAN PENILAIAN KETERAMPILAN

 Nama Sekolah Mata Pelajaran Kelas/Semester Materi Pokok Waktu Pengamatan

: SMAN 1 GARUT : Matematika (Peminatan) : X MIPA /1 : Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor : KD 4.5

Kompetensi Dasar : 4.5

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 4.5.1

Memecahkan masalah kehidupan nyata menggunakan konsep vektor.

Indikator penilaian Keterampilan dapat disusun sebagai berikut:

Kriteri a

Skor

Sangat Terampil (ST)

3

Terampil (T)

2

Kurang Terampil (KT)

1

I ndikator Sangat terampil  jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor Kurang Terampil jika menunjukkan adanya usaha untuk memodelkan dan memecahkan masalah nyata yang berkaitan dengan vektor

Bubuhkan tanda √pada kolom -kolom sesuai hasil pengamatan.  Nama Siswa X-MIPA …

 No

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Keterangan: KT

: Kurang terampil

T

: Terampil

ST

: Sangat terampil

Keterampilan Memecahkan masalah kehidupan nyata menggunakan konsep vektor KT T ST

LEMBAR KERJA

 Nama Sekolah

: SMAN 1 GARUT

Mata Pelajaran

: Matematika (Peminatan)

Kelas/Semester

:X/1

Materi Pokok

: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor

Waktu

: 45 menit

Kompetensi Dasar

3.5

Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 3.5.1

Membedakan antara skalar dan vektor.

3.5.2

Menganalisis jumlah vektor.

3.5.3

Menganalisis selisih vektor.

3.5.4

Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.

Kelompok

: ______________________

 Nama

: 1. ____________________

5. ______________________

2. ____________________

6. ______________________

3. ____________________

7. ______________________

4. ____________________

8. ______________________

K erjakan kegiatan ini dengan teman sekelompok anda 1. Diketahui Titik A(3,-1), B(4,1). Jika

AC =

3 AB , tentukan

a. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah

AB

 b. Tentukan vektor yang diwakili oleh garis berarah c. Tentukan koordinat C

AC

d. Hitunglah panjang 2. Diketahui vektor 

a. 2 a +



a



 b

a

 –  ½



a. 2  b



 b. 3 a



 b

 4 

 =   , 6

   



 b

  3    3. Diketahui vektor a  =    2     

dan panjang

  2    ,  5    

=  

b.

AB ,

  1     b  =  7  4     

AC

4. Tentukan nilai x dan y serta a.

 x    a =  5   ,  y    



a



  x      b =  x  y   3      



Penyelesaian

a

b.

,  ̅  =    

1. a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A( Garis berarah



dan  b  jika

−…  ……−−  ̅  (…)  ̅  = (…) (…) (……) = (……) (……) =

Jadi garis berarah AC = AC =

AC =

3 AB 3

Jadi garis berarah c.

AC =

AC

(……)     (……)   1…  = =



3 =

  …

    1   , … …,5  = ... + ...  = ...



... =

 = ... + ...  = 5

Jadi koordinat C : C( d. 

AB

=

(…)

  4     a =  2   ,   1    



) , B( ... , ... )

=

 b.



=  b

) = C(

)

 x  y     b =   y   1      

| ̅ | | ̅ | =  … + … | ̅ | = √ … + … | ̅ | = √ … Panjang

AB =

AC =



(……)

| ̅ | | ̅ | =  … + … | ̅ | = √ … + … | ̅ | = √ … | ̅ | = √ … | ̅ | = √ … Panjang

AC =

Jadi,

 dan



2. Vektor

a

  2    , =   5    

 4 



 b

 =   6

   

⃗  (……) (…)

a. 2  +

=2

+

(−… ) ⃗   (… )  (……) (……) =

 b.

 -

 =

-

=

  3    3. Vektor a  =     2  

⃗ (……)

a. 2

=2

=

(−… )

 1…… … 12… 

b. 3  = 3

=

  1     b  =  7  4     

4.  Nilai x dan y jika

 x    a =  5   ,  y    



a



=  b

  x      b =  x  y   3      



a.





=  b

5 =  +   3 a



y = ...



x+y=5 x + (...) = 5 x = ...

…  ⃗ 5 …5  …    +3 …3  =

Jadi,

 =

 =

=

  4     a =  2   ,   1    



 b.



 x  y     b =   y   1      



=  b

 + 4 12  =  1  a

Jadi,



-y = ... y = ...



x+y=4 x + (...) = 4 x = ...

 1+  =

=

  ……  1

Kunci Jawaban  No 1.

Penyelesaian

, ,  ̅  =    

a. Titik A(3,-1), B(4,1) = A( Garis berarah

),B

−  −− ()  ̅  = ()

Skor )

=

 ̅ 

=

10

Jadi garis berarah  b.

AC = AC =

AC =

3 AB

() () () 3

Jadi garis berarah c.

10

AC

= ()

AC =

()     ()   13  =

10

=



3 =

  3

    1    = 3 + 3  = 6



6=

 = 6 + (-1)  = 5

, 6,5

Jadi koordinat C : C( d. 

AB

=

()

Panjang

AB =

| ̅ |

) = C(

)

| ̅ | =  1 + 2 | ̅ | = √ 1 +4 | ̅ | = √ 5 

AC =

()

| ̅ | | ̅ | =  3 + 6 | ̅ | = √ 9 +36 | ̅ | = √ 45 | ̅ | = √ 5 | ̅ | = √ 45 ⃗ (− )  () ⃗  (− ) () Panjang

AC =

Jadi,

2.

10

 dan

Vektor =

,  =

a. 2  +

=2

+

(−0 ) () (−8 ) ⃗   (− )  () (− ) () (−80 ) =

+

10

=

 b.

 -

 =

=

-

 -

10

=

3.

  3    Vektor a  =    2     

  1     b  =  7  4     

⃗ (− ) (−1 )   74  3  2112 

a. 2  = 2

10

=

b. 3 = 3

=

10

4.



 Nilai x dan y jika

a



=  b

 x    a. a =  5   ,  y     







=  b

5 =  +   3 a



  x      b =  x  y   3      

10

y=3

x+y=5 x + (3) = 5 x = 5-3 x=2

 2 ⃗ 5 53   +3  253  =

Jadi,

 =

=

  4      b. a =  2   ,   1     



 =

 x  y     b =   y   1      



=  b

 + 4 12  =  1  a

Jadi,



-y = 2 y = -2



x+y=4 x + (-2) = 4 x=4+2 x=6

 +   1   =

10

=

124  Jumlah Skor

100

BAHAN AJAR

 Nama Sekolah

: SMA Hang Tuah 5 Sidoarjo

Mata Pelajaran

: Matematika (Peminatan)

Kelas/Semester

:X/2

Materi Pokok

: Skalar dan Vektor serta Operasi Aljabar Vektor

Waktu

: 3 × 45 menit

Kompetensi Dasar

3.5 Menjelaskan vektor, operasi vektor, panjang vektor, sudut antar vektor dalam ruang  berdimensi dua (bidang) dan berdimensi tiga. Indikator: 3.5.1

Membedakan antara skalar dan vektor.

3.5.2

Menganalisis jumlah vektor.

3.5.3

Menganalisis selisih vektor.

3.5.4

Menganalisis hasil kali skalar dengan vektor.

Pendahuluan

Bagi Anda yang telah mempelajari Fisika pasti pernah mendengar kata vektor. Vektor merupakan suatu besaran selain besaran skalar yang sudah Anda kenal dalam Fisika. Perbedaan kedua besaran ini adalah: Skalar :

Besaran yang hanya mempunyai nilai  saja (menunjukkan suatu bilangan real tertentu). Contoh: suhu, massa, dan sebagainya.

Vektor : Besaran yang mempunyai besar (nilai) dan arah. Biasanya digunakan untuk menyelidiki gerak perpindahan, pergeseran, kecepatan, percepatan dan sebagainya. Secara geometris vektor dinyatakan sebagai ruas garis yang panjang dan arahnya tertentu.  A  a

OA adalah vektor



a

dengan titik pangkal O dan titik ujung A

Panjang OA menunjukan besar vektor



a

O

Gambar 1 1.  NOTASI VEKTOR Suatu vektor biasa ditulis dengan menggunakan : 1. Huruf kecil yang dicetak tebal seperti : a, b, c, u, v, ..... 2. Huruf kecil dengan tanda anak panah di atasnya seperti :



a



,

b

,



c

,



u

,



v

, ....

Ada tiga cara menuliskan sebuah vektor, yaitu … di

3

atau vektor dalam ruang

R 

 x a     1. a =  y a  z    a   

di

2

R 

1.



2.

a

= ( xa ,

ya

,z )

3.

= ( xa ,

ya

)

3.

a



a



=

xa i

=

xa i



 +

y a  j

 +

y a  j



 +

z a k 

 atau vektor pada bidang



a

 x a    y   a  

= 



2.

a



a





Contoh : Q

⃗

⃗ ̅  =

;

P = titik pangkal dan Q = titik ujung

⃗   =

P

2. ALJABAR VEKTOR

Dua vektor dikatakan sama apabila panjang serta arahnya sama.





a

b

Jika vektor

 a1    sama dengan vektor a   2 

= 



a

(panjang vektor

  b1      b 2 

 a1     =  a 2 

Gambar 2 



 

| a | : Panjang vektor a , | a | =

 a      Jika OA   a   dan a      1

2

3

 AB



(b1  a1 ) 2



a1

2

 b     OB   b   Maka b      1

2

3

(b2

 a2

)2





a







 b

  b1    maka | a | = |  b |  b   2 

 = 



= panjang vektor  b  dan arah



a







 = arah

 b

a 1 =  b1  dan a 2  =  b 2

a2

2

 b  a   AB   b  a b  a   1

1

2

2

3

3

     dan panjang panjangnya adalah   

(b3  a3 ) 2

Contoh: 1. Diketahui titik A(2,1) dan B(3,-4). Vektor

⃗

panjang vektor  .  Jawab : Garis berarah

⃗

mewakili garis

 ̅

⃗

 , tentukan vektor  dan

 ̅ =     − ) (−−  ̅ (− )  ̅ =⃗= (−  ) ⃗ |⃗| =   +   1 + 5 √ 1 +25 √ 26 ⃗ √ 26 =

=

 Jadi garis berarah Panjang vektor

= = =

 Jadi panjang vektor  adalah

 .

  ⃗  ⃗     ⃗  =   =   () ⃗ ()

2. Vektor  =

 dan  =

 =

=

Maka

 dan

vektor  =

dan  =





a

a

Invers jumlah suatu vektor sama dengan



a



a



 ditulis  – a yaitu vektor yang panjangnya

 tetapi arahnya berlawanan

Gambar 3

Penjumlahan dan Pengurangan Vektor

Secara geometris penjumlahan vektor dapat ditentukan dengan aturan segitiga dan aturan  jajaran genjang. Jika vektor



c

 adalah hasil penjumlahan

Dengan aturan poligon vektor



c



a



 dan  b , maka :

 digambar dari titik pangkal vektor



a



 ke titik ujung vektor



setelah vektor

 b

 digeser sehingga titik pangkalnya berimpit dengan ujung vektor



a

 b



Dengan aturan jajaran genjang, vektor 

 b

 digeser

sehingga titik pangkalnya berimpit dengan titik

 b



pangkal vektor



a

  vektor



c

  adalah diagonal

a

 jajaran genjang yang dibentuk oleh vektor



c



a

 dan







  dengan titik pangkalnya pada titik pangkal

 b

c

a

i



vektor 

a



dan

 b

.Penjumlahan dan pengurangan

vektor secara aljabar adalah penjumlahan dan

 b

ii

pengurangan komponen-komponennya.

Gambar 4



2. Jika 

a

a

 a1    dan a   2 

= 



1. Misalkan

a



=

a1 i





 +

a 2  j



+  b =

a1 i



 b

a 2  j

a 3 k   dan 

+





+



+

  b1   =    maka :   b 2   b

i



 =

!

Jawab :

⃗  () + ()  = (8 ) =

⃗  ⃗ ()  ()

2. Tentukan  -  jika  = Jawab :

⃗  () - ()  -

=

=

(− )

 dan

 =

  a 1   b1  

 !

k 



a



 -

 b

  a1   b1    a  b    2 2 

 = 



+  b 3

k 

 maka



⃗  ⃗ ()  ()

 +

 b 2  j

 +  b 2  j +  b 3

 dan



  dan +  b =  a  b    2 2  

 +

Contoh: 1. Tentukan  +  jika  =

a



=  b1



a 3 k   +  b1 i





=( a 1 + b1 )

i





 + ( a 2 + b 2 )  j  + ( a 3 + b 3 ) k 

Perkalian vektor dengan skalar

 Jika k adalah bilangan real yang positif, maka k. dengan dengan



a

 a



 dan besarnya k. | a | dan −k.





a

adalah vektor yang arahnya sama

adalah vektor yang arahnya berlawanan

a



 dan besarnya k. | a |

Perhatikan gambar berikut





4a

-3 a

 

a

2a

Gambar 5



a

 a    a    

= 

1



 b

 b    b    

 = 

2

2

Contoh:

3⃗ ⃗ ()

Tentukan

 jika  =

Jawab :

⃗

3

=

() (..) ()

3

= =

1

!

 a    2a  

1 1  2 a  = 2   =  a 2a 

      2

 

2



 b     = b    

k  b  = k 

1

2

 kb     kb     1

2