Rotametros Fundamentos y Calibracion Preparado Por - Ing. Esteban L. Ibarrola

1

ROTAMETROS FUNDAMENTOS Y CALIBRACION Preparado por: Ing. Esteban L. Ibarrola

2

INDICE 1. INTRODUCCIÓN

5

2. ECUACIÓN DE UN ROTÁMETRO

5

2.1. ECUACIONES DE VÍNCULO

6

2.2. ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

6

3. FÓRMULAS DE CONVERSIÓN

12

4. DISPOSITIVO EXPERIMENTAL UTILIZADO PARA GENERAR LOS CAUDALES DE MEDICION 4.1. CALCULO DE CAUDALES EN VOLUMEN DE AIRE

13 14

5. CORRECCIONES AL CAUDAL PARA CONDICIONES STANDARD DE PRESIÓN Y TEMPERATURA

14

5.1. FACTOR DE CORRECCION POR PRESION

15

5.2. CORRECCION POR TEMPERATURA

15

5.3. CORRECCION POR VISCOSIDAD

15

5.4. FACTOR DE CORRECCION TOTAL

16

6. APLICACION DEL PROCEDIMIENTO A UN FLUJOMETRO BENDIX

16

7. REFERENCIAS

16

8. DISPOSITIVO DE ENSAYO

19

3

LISTA DE SIMBOLOS Wa

peso del volumen de agua colectado

( gf )

t

tiempo necesario para recoger el peso Wa

(s)

∆ pr

presión relativa en el interior del depósito.

( mb )

Pr

presión absoluta del aire en el interior del depósito.

( mb )

Ps

presión de saturación del aire.

( mb )

tair

temperatura del aire ambiente.

(ºC)

tag.

temperatura del agua.

(ºC)

Tair

temperatura absoluta del aire.( =273,15 + tair )

(ºK)

Ts

temperatura absoluta estándar ( 273,15 + 25 ºC = 298,15 ºK ).

(ºK)

Pn

presión atmosférica estándar (=1013,25 mb).

( mb )

H

lectura de la escala de medición del tubo.

( mm )

fp

factor de corrección por presión.

(-)

ft

factor de corrección por temperatura.

(-)

fv

factor de corrección por viscosidad.

(-)

fc

factor de corrección total.

(-)

dWa /dt:

caudal en peso de agua.

( gf / s )

γa

peso especifico del agua.

( Kgf / lts )

Rair

constante de gas para el aire (= 287.042 ).

( J / Kg.ºK )

Roxi.

constante de gas para el oxígeno (= 259.822 )

( J / Kg.ºK )

Rnitr.

constante de gas para el nitrógeno (= 296.786 ).

( J / Kg.ºK )

qair.

caudal de aire circulante.

( litros /minuto, LPM )

qoxi.

caudal de oxígeno equivalente.

( litros /minuto, LPM )

qnitr.

caudal de nitrógeno circulante equivalente.

( litros /minuto, LPM )

STP

condiciones estandar de presión y temperatura.

D

resistencia aerodinámica del flotador.

(N)

E

empuje hidrostático del flotador.

(N)

W

peso del flotador.

(N)

g

aceleración normal de la gravedad ( = 9.80665 m/s )

( m/s )

ρf

densidad media del flotador.

( kg/m )

2

2

3

4

ρa

densidad del gas.

( kg/m )

qv,,q

caudal en volumen.

( m /s ) o ( LPM )

qm=ρ ρ qv caudal en masa.

3

3

3

(kg/m )

5

ROTAMETROS FUNDAMENTOS Y CALIBRACION

1.

INTRODUCCIÓN

Los rotámetros o flujómetros son instrumentos utilizados para medir caudales, tanto de líquidos como de gases que trabajan con un salto de presión constante. Se basan en la medición del desplazamiento vertical de un “elemento sensible”, cuya posición de equilibrio depende del caudal circulante que conduce simultáneamente, a un cambio en el área del orificio de pasaje del fluido, de tal modo que la diferencia de presiones que actúan sobre el elemento móvil permanece prácticamente constante. La fuerza equilibrante o antagónica en este tipo de medidores lo constituye la fuerza de gravedad que actúa sobre el elemento sensible construido por lo general de forma cilíndrica con un disco en su extremo, y provisto de orificios laterales por donde circula fluido que inducen una rotación alrededor de su eje para propósitos de estabilidad y centrado. Existen también elementos sensibles de forma esférica, utilizados por lo general para medición de bajos caudales que carecen de rotación. El rotámetro en su forma más simple consta de un tubo de vidrio de baja conicidad, en cuyo interior se encuentra el elemento sensible al caudal que circula por el tubo, al cual se denomina “flotador”. Bajo la acción de la corriente de líquido o gas el flotador se desplaza verticalmente, e indica sobre una escala graduada directamente el caudal circulante, o un altura que sirve como dato de entrada para determinar el caudal en una curva o gráfico de calibración que debe obtenerse experimentalmente. El principio de funcionamiento de los rotámetros se basa en el equilibrio de fuerzas que actúan sobre el flotador. En efecto, la corriente fluida que se dirige de abajo hacia arriba a través del tubo cónico del rotámetro, provoca la elevación del flotador hasta una altura en que el área anular comprendido entre las paredes del tubo y el cuerpo del flotador, adquiere una dimensión tal que las fuerzas que actúan sobre el mismo se equilibran, y el flotador se mantiene estable a una altura que corresponde a un determinado valor de caudal circulante. Las fuerzas que actúan sobre el flotador son tres y de naturaleza distinta: • Fuerza de origen aerodinámico o resistencia aerodinámica, D actuando hacia arriba. • Fuerza de Arquímedes o empuje hidrostático, E también actuando hacia arriba. • Fuerza gravitatoria o peso W actuando hacia abajo.

En condiciones de estabilidad, el flotador se mantiene a una altura constante, y el equilibrio de fuerzas es tal que la suma de la resistencia aerodinámica D y el empuje hidrostático E equilibran al peso W, pudiendo plantearse la siguiente ecuación de equilibrio:

∑F

v

2.

= D+ E −W = 0 ⇒ D+ E = W

(1)

ECUACIÓN DE UN ROTÁMETRO

Con el objeto de encontrar las ecuaciones que rigen el comportamiento de un rotámetro, y las variables físicas de las cuales depende, se derivarán dichas ecuaciones considerando un modelo elemental de rotámetro que contempla las siguientes hipótesis simplificativas: 1) Flujo incomprensible y no viscoso 2) Tubo de conicidad nula

6

Figura 1

2.1.

ECUACIONES DE VÍNCULO

Se aplicarán las siguientes ecuaciones de vínculo de la Mecánica de los Fluidos :. a) Ecuación de la Cantidad de Movimiento b) Ecuación de Conservación de la Masa c) Ecuación de Bernoulli

2.2.

ECUACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO

La componente según el eje “Z” de la ecuación de Cantidad de Movimiento es expresa como :

R z = ∫∫ w( ρ.V . n )dσ

(2)

Σ

Donde en Rz se incluye, tanto las fuerzas de masa como las de superficie que actúan sobre el fluido contenido en el interior del volumen de control, siendo el segundo miembro el flujo neto de cantidad de movimiento que atraviesa la superficie de control. Una selección cuidadosa y adecuada del volumen de control permitirá poner en evidencia las variables convenientemente. El volumen de control utilizado se indica en líneas de punto en la Figura 2 . La aplicación de la ecuación ( 2) se efectúa a continuación:

7

Figura 2 a) Fuerzas de superficie y masa Para el volumen de control indicado, despreciando las fuerzas de superficie debida a las tensiones tangenciales y en la hipótesis que la presión en la sección (2) es aproximadamente constante, la fuerza resultante Rz sobre el volumen de control es:

R Z = P1 . A − P2 . A − F − G donde F representa a la fuerza que el flotador ejerce sobre el volumen de control en su interface con el fluido, A es el área de la sección transversal y G es el peso del fluido contenido en su interior , que puede expresarse como :

G =γ

f

. A. h = g. ρ a . A( Z 2 − Z1 )

(3)

Obsérvese que el volumen de control seleccionado excluye tanto el empuje E como el peso W del flotador. Por otra parte el módulo de la fuerza F en virtud del principio de acción y reacción es igual a la resistencia aerodinámica D del flotador :. Teniendo presente las ecuaciones (1) y (3), Rz se puede escribir :

Rz = ( P1 − P2 ). A − (W − E ) − g. ρ a . A( Z 2 − Z1 ) b) Flujo de cantidad de movimiento

(4)

8

Figura 3 Para el volumen de control seleccionado el flujo de cantidad de movimiento ( Figura 3) es:

∫∫ w( ρ.V . n )dσ = q

m

(V2 − V1 ) = ρ a . q (V2 − V1 )

(5)

Σ

La ecuación de conservación de la masa para el mismo volumen de control considerando al fluido y al movimiento como, incompresible establece que:

q = V1 . A = V2 . a de donde :

q a

V2 =

y

q A

V1 =

(6)

Reemplazando las relaciones ( 6 ) en la ecuación ( 5 ) :

∫∫ w( ρ.V . n )dσ = ρ Σ

a

1 1 .q 2 ( − ) a A

(7)

Igualando (4) y (7) y sacando factores comunes:

P1 − P2

ρa

− g ( Z 2 − Z1 ) =

q2 1 1 W−E ( − )+ ρa . A a A ρa. A

(8)

Aplicando la ecuación de Bernoulli entre las secciones (1) y (2) del volumen de control :

P1 +

1 1 ρ a .V12 + g. ρ a . Z1 = P2 + ρ a .V22 + g. ρ a . Z 2 2 2

P1 − P2

ρa

− g ( Z 2 − Z1 ) =

1 2 (V2 − V12 ) 2

(9)

Por conservación de masa:

V12 =

q2 A2

y

V12 =

Reemplazando las (10) en la ecuación (9):

q2 a2

(10)

9

P1 − P2

ρa

− g ( Z 2 − Z1 ) =

q2 1 1 ( 2 − 2) 2 a A

(11)

2

Llevando (11) a la (9) y despejando q :

q2 =

2(W − E ) ρ a . A 1  2  1 1   1  a 2 − A 2  − A  a − A     2

Multiplicando y dividiendo el denominador del segundo miembro por A :

q2 =

2 A(W − E ) ρ  A2  2A +2  2 − 1 − a  a

Desarrollando el numerador el caudal q resulta :

q=

2 A . (W − E ) A   − 1 a 

(13)

Si con Af se designa al área del flotador , el área a de pasaje de fluido en la sección (2) resulta:

a = A − Af

(14)

Llamando a la relación entre diámetros del tubo y flotador α :

α=

D Df

(15)

Llevando (14) y (15) a la ecuación (13) :

q = (α 2 − 1)α π 2.D f (W − E ) / ρ a

(16)

Haciendo :

k1 = (α 2 − 1).α π 2

El caudal se expresa :

q = k1 D f (W − E ) ρ a

(17)

Siendo el peso W del flotador igual al producto del peso específico del material del mismo por el volumen:

10

W = γ f v f = gρ f v f y el empuje hidrostático E :

E = γ a v f = gρ a v f la (17) se puede escribir

g v f (ρ f − ρ a) ρ a

q = k1 D f haciendo:

k2 = D f

g. v f

y

k = k1 . k 2

el caudal en volumen q finalmente se puede expresar como:

q=k

(ρ f − ρ a )

(18)

ρa

Esta expresión indica que el caudal en volumen es directamente proporcional a las geometrías del tubo y el flotador a través de las constantes k1 y k2, , y de la raíz cuadrada del cociente entre la diferencia de densidades del material del flotador y la densidad del fluido. Evidentemente cualquiera sea la altura de equilibrio del flotador y para un fluido de densidad ρ1 y un flotador de densidad ρf de la (18) se puede escribir:

k=

q1

(19)

ρ f − ρ1 ρ1

Si se cambia el fluido de medición con densidad ρ2 manteniendo ρf el caudal será diferente pero la constante k permanecerá invariable y se puede escribir:

k=

q2

(20)

ρ f − ρ2 ρ2

igualando (19) y (20) :

q1 = ρ f − ρ1

ρ1

 ρ  ρ f − ρ1 q2 ∴ q1 = q2  2  ρ f − ρ2  ρ1  ρ f − ρ 2

ρ2

   

(21)

y en el caso particular que los fluidos designados con subíndices 1 y 2 sean oxígeno y aire respectivamente se tendrá:

11

 ρ air q oxi = q air .   ρ oxi

  ρ f − ρ oxi     ρ f − ρ air

   

(22)

Esta expresión muestra que para transformar el caudal medido con aire en un caudal equivalente para oxígeno en idénticas condiciones de presión y temperatura, debe conocerse las densidades del aire, del oxígeno y la densidad media del material del flotador. Cuando no se conoce la densidad del flotador ρf una corrección aproximada se obtiene considerando que:

 ρ f − ρ oxi .   ρ f − ρ air

  =1  

(23)

ya que este término es siempre muy próximo a 1 cuando los fluidos de medición son gases, y la densidad ρf es mucho mayor que la de los gases como casi siempre sucede en la práctica . El caudal de oxígeno equivalente puede en consecuencia determinarse como:

q oxi = q air

ρ air ρ oxi

(24)

Por otra parte las densidades por la ecuación de estado de los gases son :

ρ air = P Rair T

y

ρ oxi = P Roxi T

ρ air Roxi i i 259.822 = = = 0.9051 ρ oxi Rair 287.042 siendo Roxi y Rair las constantes de gas para el oxígeno y el aire respectivamente

.

El caudal en volumen de oxigeno en términos del caudal de aire medido para idénticas condiciones de presión y temperatura puede finalmente determinarse con la expresión

Roxi = 0.9055 = 0.9514 Rair q oxi = 0.9514. q air A efectos de verificar la validez de la aproximación dada por la (23), se efectúa a continuación un análisis del orden de magnitud de dicha relación. El término que depende de la densidad del flotador es:

ρ f − ρ oxi ρ f − ρ air

Para condiciones normales de presión y temperatura, las densidades del oxígeno y aire son :

12

ρoxi = 1.429 kg/m ρair = 1.293 kg/m

3

3

Para un flotador metálico de acero ρ ≅ 7850 kg/m

y

7850 − 1429 . = 0.99991 7850 − 1293 .

Para un flotador de vidrio ρ = 2450 kg/m

y

3

2450 − 1429 . = 0.99997 2450 − 1293 .

Para una resina fenólica ρf =

y

3

127 kg/m3

127 − 1429 . = 0.99945 127 − 1293 .

Como puede observarse este factor puede considerarse unitario a los efectos prácticos para el caso de mediciones de caudales de fluidos gaseosos y cuando las relaciones de densidad entre el material del flotador y el gas es groseramente superior a 100.

3.

FÓRMULAS DE CONVERSIÓN

Con la consideraciones anteriores y adoptando el factor igual a 1, las fórmulas para transformar caudales de aire medidos en caudales equivalentes son : Para Oxígeno:

q oxi = q air Siendo :

Roxi = 259.822 J/kgºk

y

Roxi = Rair

Roxi Rair Rair = 287.042 J/kg °k

259.822 = 0.9514 287.042

q oxi = 0.9514q air Para Nitrógeno:

q Nitro = q air Siendo :

R Nitro Rair

RNitro = 296.786 J/kg °k

R Nitro = Rair

296.786 = 101683 . 287.042

(25)

13

q Nitro = 101683 . . q air

4.

(26)

DISPOSITIVO EXPERIMENTAL UTILIZADO PARA GENERAR LOS CAUDALES DE MEDICION

Para la generación de los caudales de aire para calibrar los flujómetros, se utilizó un depósito cilíndrico del orden de los 60 litros de capacidad con una entrada en su parte superior, y una salida lateral inferior con dos válvulas en serie, una esférica inmediatamente a la salida del depósito y una válvula aguja aguas abajo de la anterior para una regulación precisa del caudal de salida. En la Fig.Nº 4 se muestra un esquema del dispositivo de ensayo La entrada superior se conectó al flujómetro a calibrar, previo llenado del depósito con agua (aprox. 50 litros). La apertura de las válvulas de salida inducen en el circuito del flujómetro un flujo de aire que en virtud de su baja velocidad puede considerarse incompresible, y para un volumen de control que incluya al depósito y al flujómetro, el principio de conservación de la masa, establece que en condiciones cuasi-estacionarias de régimen el conjunto aire + agua en el interior del depósito fluirá como un fluido incompresible, y el caudal en volumen de agua que deja el depósito deberá ser igual al caudal en volumen de gas que circula a través del rotámetro, a la presión y temperatura del aire reinante en el interior del depósito.

Figura Nº4 Esto es (qv) agua = (qv) aire

(26)

Teniendo presente la igualdad anterior, la medición del caudal en volumen de agua que abandona el depósito permite determinar el caudal que circula a través del rotámetro. Para determinar la presión correspondiente al aire circulante a través del rotámetro se instaló (de acuerdo a la Norma ASTM) una toma de presión estática inmediatamente a la salida del rotámetro, y otra en el interior del depósito. Posteriormente para cada rotámetro se efectuó un relevamiento de presión relativa en el interior del depósito en función de la altura de equilibrio del flotador, ya que la misma se utiliza en la aplicación de correcciones para llevar el caudal a condiciones normales o standard de presión y temperatura.

14

4.1.

CALCULO DE CAUDALES EN VOLUMEN DE AIRE

El procedimiento para determinar el caudal en volumen que deja el depósito, consiste en la medición directa de un conjunto de pares (5 o 6 ) peso de agua W a y tiempo insumido t para una posición fija de la válvula de control flujo. Siendo los caudales pequeños y el depósito suficientemente grande la variación de altura puede considerarse constante durante la medición. Luego los pares ( W a , t ) se grafícan y mediante regresión lineal `por el método de Mínimos Cuadrados se obtiene el caudal en peso qp como la pendiente de la recta de ajuste:

qp =

dWa = γ a qv dt

(kgf/s)

de donde se obtiene el caudal en volumen como:

qv =

1 dWa γ a dt

si γa se expresa en [kg/lts] y dW/dt en [gr/s], y dividiendo por 1000 el caudal en volumen estará dado en [litros/s]. Multiplicando por 60 se obtendrá en [litros/minuto]. o LPM ,que en virtud de la (26), el caudal en volumen de aire resulta:

q ag = q air =

60 dWa 1000.γ a dt

(LPM)

Es importante señalar que la balanza utilizada en las mediciones fué calibrada con patrones calibrados, a 2 una aceleración de la gravedad g = 9.80665 m/s , razón por la cual numéricamente el caudal en peso y masa resultan equivalentes.

5.

CORRECCIONES AL CAUDAL PARA CONDICIONES STANDARD DE PRESIÓN Y TEMPERATURA

La medición de caudal se realiza a una presión y temperatura que en general no corresponden a las consideradas estándar Patm = 760 mm Hg y ts = 25º C (Norma ASTM) y siendo los gases compresibles se hace necesario aplicar una corrección para expresar el mismo en condiciones estándar. El caudal en masa se expresa como el producto de la densidad ρ por el caudal en volumen qv y para las condiciones de medición y normalizada se puede escribir:

( qm )med = ( qm )s ρm qvm = ρs qvs qvs = ( ρm / ρs ) qvm

la relación de densidades se expresa en función de la presión y temperatura por medio de la ecuación de estado: ρ = P/RT

15

ρm = f p f t q vm ρs y reemplazando

5.1.

q vs = f p f t q vm

FACTOR DE CORRECCION POR PRESION

El gas contenido en el interior del depósito es una mescla de aire seco y vapor de agua que se encuentra a una presión mas baja que la atmosférica. Llamando Pr a la presión absoluta medida en el interior del depósito, la correspondiente al aire seco será:

Pa = Pr − ( Ps − Pv ) = Pr − Ps (1 − ϕ ) Siendo Ps la presión de saturación, Pv la presión de vapor y esto el factor de corrección por presión resulta:

fp = Pn = 760 mm Hg = 1013,25 mb

5.2.

Pr − ( Ps − Pv ) Pn

=

ϕ

la humedad relativa. Teniendo en cuenta

Pr − Ps (1 − ϕ ) Pn

presión normal o estándar.

FACTOR DE CORRECCION POR TEMPERATURA

El factor de corrección por temperatura distinta de la estándar es ft :

ft =

Ts Ta

Siendo: Ts = 273.15 + 25 = 298.15 ºk y Ta la temperatura del aire ambiente en ºk.

5.3.

FACTOR DE CORRECCION POR VISCOSIDAD

La teoría cinética de los gases establece que la viscosidad dinámica µ es proporcional a la raíz cuadrada de la temperatura absoluta (e independiente de la presión para valores superiores a 10 bar ):

µ≈ T siendo necesario aplicar una corrección por las diferencias de temperatura entre la de ensayo y la normalizada que se expresa :

fv =

Ta

Ts =

1 Ts

Ta

16

5.4.

FACTOR DE CORRECCION TOTAL

El factor de corrección total resulta:

    P − Ps (1 − ϕ )   Ts  Ts 1   Pr − Ps (1 − ϕ )  fc = f p ft fv =  r *  =    Pn Pn Ta     Ta   Ts   T a    De modo que el caudal medido llevado a condiciones normales de presión y temperatura finalmente se determina como:

[q ] STP = f c [q ]med . Siendo:

[q ] med . el caudal en volumen medido en condiciones P , T r

a

y

ϕ

de presión y temperatura (absolutas)

y humedad ambiente respectivamente.

6.

APLICACION DEL PROCEDIMIENTO A UN FLUJOMETRO BENDIX

Con el objeto de verificar la confiabilidad del método se aplicó el procedimiento descrito a un flujómetro Bendix para medición de caudales de oxigeno, cuya curva original de calibración se disponía., ignorándose el método de calibración aplicado En la Tabla Nº 1 se resumen los resultados correspondientes a los caudales en peso de aire medidos y los valores finales de caudales para aire y equivalentes de oxígeno en condiciones estándar de presión y temperatura. En el Gráfico Nº 1 se presenta una comparación entre las curvas de calibración original y la obtenida con el presente método para oxigeno, agregándose también la equivalente a nitrógeno.

7.

REFERENCIAS

1. Normas ASTM D3195-73 y D1071 2. Delmée G. - Manual de Mediçao Vazao - Edgar Blücher Ltda - 1983.

FLUJOMETRO BENDIX Tipo 31TA2073-1 Tubo Nº F2-18-600 0/600 mm Caudal en volumen (LPM)

8

7

6

NITROGENO STP Calibración 01.11.96 2 3 LPM = a + b*H + c*H + d*H a = 0.1004278595 b = 0.0210752307 c = -2.9210797074e-5 d = 2.5752535164e-8

5

OXIGENO STP Calibración original 02.09.81 BENDIX CORP. INSTRUMENTS & LIFE SUPPORT DIV. DAVENNPORT , IOWA

4

3

OXIGENO STP 2

Calibración 01.11.96 2 3 LPM = a + b*H + c*H + d*H a = 0.0938753594 b = 0.0197001596 c = -2.7304914072e-5 d = 2.4072289367e-8

1

Lectura H (mm)

0 0

100

200

300

400

Gráfico Nº 1 – Resultados obtenidos

500

600

TABLA Nº 1 PORTABLE MASTER FLOWMETER BENDIX Tipo 31TA2073-1 Tubo Nº F2-18-600 H=0/600 mm H ( mm ) 40 154 227 355 446 541

P atm ( mb ) 962.45 962.20 962.20 962.20 962.20 962.20

T aire (ºK ) 295.00 295.00 295.00 295.50 296.00 296.00

t agua (ºC ) 20 20 20 20 20 20

Ps ( mb ) 26.20 26.20 26.20 27.10 27.90 27.90

ϕ (%) 50 50 50 50 50 50

Pv ( mb ) 13.10 13.10 13.10 13.97 14.23 14.23

Pr dWa/dt γa ( mb ) (Kg/dm3) ( g/s ) 960.85 0.9983 15.32 959.60 0.9983 47.75 958.80 0.9983 62.39 957.43 0.9983 87.73 955.90 0.9983 102.76 954.88 0.9983 121.60

fp (-) 0.9482 0.9470 0.9462 0.9448 0.9433 0.9423

fv (-) 0.9950 0.9950 0.9950 0.9958 0.9966 0.9966

ft (-) 1.0102 1.0102 1.0102 1.0085 1.0068 1.0068

fc q(aire)STP (-) (lts/min) 0.9530 0.9208 0.9518 2.8699 0.9510 3.7498 0.9488 5.2729 0.9465 6.1762 0.9455 7.3086

q(oxi) q(oxi)STP (lts/min) (lts/min) 0.8760 0.8348 2.7305 2.5988 3.5676 3.3927 5.0166 4.7597 5.8761 5.5617 6.9534 6.5744