Robotica Industrial Herramientas Matemáticas para La Localización Industrial

 

TEMA MATEMÁTICAS 3: HERRAMIENTAS PARA LA LOCALIZACIÓN INDUSTRIAL

Ingeniería de Sistemas y Automática Control de Robots y Sistemas Sensoriales

Robótica Industrial ISA.ISA .- Ingeni Ingeniería ería de Sistema Sistemass y Automática

 

Herramientas matemáticas para la localización espacial Representación de la posición Representación de la orientación Matrices de transformación homogénea Cuaternios Relación y comparación entre métodos Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

2

 

Localización espacial  Manipulación  de

piezas

Movimiento espacial del extremo del robot

 Necesidad de herramientas matemáticas para especificar posición y orientación Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

3

 

Representación de la posición en coordenadas cartesianas Z Y p(x,y,z) x p(x,y) 0

z

a

Y

o y y X

x

X

2 dimensiones

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

3 dimensiones

4

 

Representación de la posición en coordenadas polares/cilíndricas Z Y p(r,0,z) p(r,0)

z

Y

O r r

0 0 O

X

X

Polares

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

Cilíndricas

5

 

Representación de la esféricas posición en coordenadas Z

p(r,0,0)

0 r

Y O 0 X

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

6

 

Representación orientación. MatricesdedelaRotación 2D Y

 

Y

V

V U

 j y iu

 j v

α

O

U

X

a)

O

 

T 

= [p x , p y ] = p x ⋅ i x + p y ⋅ j y

p uv

= [p u , p v ] = R

pu⋅ iu

X

b)

p xy

T 

ix

+

 p x 

p v ⋅ jv

 i x i u     i x   jv    =  j y   i u     j y jv   

 = R

 p y  R =

   pu

  cos α   sen α

 p v  - sen α 



c o s α 

• Una matriz de rotación es ortonormal: R-1=RT Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

7

 

Representación la orientación. Matrices dedeRotación 3D (I) Z

 

Z

W

W

α Y

V

O

V  

α U

Y

α

O

U X

 

X

a)

b)

T 

puvw = [ pu , p v , p w ] = pu ⋅  i u +   p v ⋅ jv +  p w ⋅  k w T  p xyw = [ p x , p y , p z ] = p x ⋅  i x +   p y ⋅ j y +  p z ⋅  k z

 i x i u i x   jv     i x k w  R =     j y  i  u     j y jv j y  k  w   k z iu k z   jv     k z k w 

 p x 

 pu  p y  = R   pv  p  pw   z 

1 0 R( x ,α ) = 0 cos α 0 senα

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

 - senα  cos α   0

8

 

Representación la orientación. Matrices dede Rotación 3D (II) Z

 

Z

W

φ W

θ V

O

Y

 

θ

φ  

U

Y

U

X

a)

 cos φ  R( y ,φ  ) =  0

O

θ

φ X

V  

b)

0 sen φ   1 0 

− sen φ 0 cos φ 

cos θ − sen θ  0   R( z ,θ  ) = sen θ cos θ  0  0

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

0

1

9

 

Representación de ladeorientación. Composición rotaciones Orden de la composición:   Rotación sobre OX   Rotación sobre YO   Rotación sobre OZ

Cθ T = R( z ,θ ) R( y ,φ ) R( x ,α  ) =  Sθ



0

CθCφ  

=  SθCφ  − Sφ

−CSθ θ 

0 Cφ 0     0

0 1

 − Sφ 0 − SθCα + CθSφSα 0

1

CθCα + SθSφSα CφSα

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

S φ  1 0    0

− 0S α  = C φ  0 Sα C α   SθSα + CθSφCα    0 Cα

− CθSα + SθSφCα    CφCα      10

 

Representación Angulos de la orientación. de Euler 

Girar el sistemaasí OUVW un ángulo φ con respecto al eje OZ, convirtiéndose en el OU'V'W'.  Girar el sistema OU'V'W' un ángulo θ con respecto al eje OU', convirtiéndose así en el OU''V''W''. 

Girar el sistema OU''V''W'' un ángulo ψ  respecto  respecto al eje OW'' convirtiéndose finalmente finalmente en el OU'''V'''W'' OU'''V'''W'''' Z W ''' '  W '''

W W '

φ ψ  V'''

θ

ψ  θ φ

O

φ θ UX

V '' V' Y V

ψ  U'''

U ' U ''

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

11

 

RepresentaciónRoll, de la Pitch orientación. y Yaw  

Girar el sistema OUVW un ángulo ψ  con  con respecto al eje OX. (Yaw) Girar el sistema OUVW un ángulo θ con respecto al eje OY. (Pitch)  Girar el sistema OUVW un ángulo φ con respecto al eje OZ. (Roll) Z W

φ

Roll

Pitch Ya w

O

θ

Y V

ψ  X U

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

12

 

Representación dePar la orientación. de rotación 

Mediante la definición de un vector k (k  y.k z) yOXYZ un ángulo de giro tal que el sistema OUVW corresponde alx ,k  sistema girado un θ, ángulo θ sobre el eje k Z

V W

k

θ

k   zz Y

O

k   xx k   yy X U b)

R o t( k ,θ ) p

= p c o s θ − ( k × p ) s e n θ + k ( k ⋅ p ) (1 − c o s θ )

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

  13

 

Representación de la orientación. Cuaternios  

Alta eficiencia computacional Utilizados por algunos fabricantes de robots (ABB) Q

= [ q 0 ,q 1 , q 2 ,q 3 ] =  [s, v ]

Giro de un ángulo 2 sobre el vector k: Q

= Rot( k ,θ  ) =  cos

θ 2

 , k sen

θ  2

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

 

14

 

Coordenadas homogéneas 

 

Coordenadas de unen espacio (n+1)-dimensional representar sólidos el espacio e spacio n-dimensionalpara p(x,y,z ) p(wx,wy,wz,w ) con w =factor =factor de escala Vector en coordenadas homogéneas:

 x   aw   a   y  bw  b p =   =   =    z   cw   c   w   w  1  T

 

Ejemplo: 2i+3j+4k Vector nulo:[0,0,0,n]T

T

[4,6,8,2]  ó [-6,-9,-12,-3]

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

15

 

Matrices de transformación homogénea 

Matriz 4x4 que representa la transformación de un vector en coordenadas homogéneas de un sistema de coordenadas a otro

R 3x3    T=  f 1x3    

p3x1 

 Rotacion cion  =   Rota Pers rspe pect ctiv iva a w1x1  Pe

Traslacio Tra slacion n Esca Escala lado do 

R3x3: matriz de rotación p3x1: vector de traslación f1x3: transformación transformación de perspectiva perspectiva w1x1: escalado global (1)

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

16

 

Aplicación de las homogénea matrices de transformación   R 3x3  T=  0 





p3x1

 Rotacion cion   Rota  =  0 1 

Tras Traslacio lacion n

1

 

Representar la posición y orientación de un sistema girado y trasladado O'UVW con respecto a un sistema fijo de referencia OXYZ., que es lo mismo que representar una rotación y traslación realizada realizada sobre un sistema de referencia. Transformar un vector expresado en coordenadas con respecto a un sistema O'UVW, a su expresión en coordenadas del sistema de referencia OXYZ. Rotar y trasladar un vector con respecto a un sistema de referencia fijo OXYZ Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

17

 

Traslación con matrices homogéneas 

Matriz básica de traslación:  1 0 0  px  T p

 0 1 0



 p y 

( ) = 0 0 1  pz 

 0 0 0



 1

Cambio de sistema de coordenadas:

r x 1 r y 0    r z  = 0  1  0

0 0 p x ru ru +  px  1 0 p y rv  rv +  py   0 1 p z  rw = rw+  pz 0 0 1  1  1 

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

18

 

Ejemplo de traslación (I) p   Según figura el sistema un (vector con r ) del vector respetoladel sistema OXYZ.O'UVW Calcularestá lastrasladado coordenadas r x , r y ,r  z(6,-3,8) cuyas coordenadas con respecto al sistema O'UVW son ruvw(-2,7,3)

r x   1 r y  0 r z  = 0 1    0

0 1  0 0

0 6 − 2  4   7  4  0 −3 1 8    3 = 11     0 1  1  1

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

19

 

Ejemplo de traslación (II) 

Calcular el vector r’xyz resultante de trasladar al vector rxyz(4,4,11) según la transformación transformación T(p) con p(6,-3,8)

 r' x   1 0  r' y  0 1   =  r' z  0 0  1  0 0

4  10     0 − 3   4   1

0

6   

=

 

1 0

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

8

 1

11  1

19   1 20

 

Rotación con matrices homogéneas 

Matrices de rotación básicas: 0 1 0 cos α T( x ,α ) =  0 senα 0 0



0 - senα 

0

 0

cos α  0   



0

1

 cos φ  0 T(y ,φ ) = − sen φ  0 

0 sen φ  0 1 0 0 0 cos φ  0 0 0 1

cos θ − sen θ  sen θ cos θ  T( z ,θ ) =  0 0  0 0 

0 0 1 0

0 0 0 1

Cambio de sistema de coordenadas:

 r x   ru  r y   rv       r z  = T  r w 1 1  Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

21

 

Ejemplo de rotación 

Según la figura el sistema OUVW se encuentra girado -90º alrededor del eje OZ con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas del vector rxyz si ruvw = [4,8,12]T

 r x   0  r y  - 1  =

1

0

0

0

 r1 z   00   

0 0

1 0

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

0

 4  8  0   8  - 4      =   0  12  12  1   1  1  22

 

Combinación de rotaciones(I)y traslaciones 



Es posible combinar rotaciones y traslaciones básicas multiplicando las matrices correspondientes El producto no es conmutativo:  

rotar y trasladar = trasladar y rotar

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

23

 

Combinacióntraslaciones de rotaciones (II)y 

Rotación seguida de traslación:

p x  0 1 0 0 cos  α − senα  p y     T(( x ,α ) , p) = 0 senα cosα  p z    0 1 0 0 

Traslación seguida de rotación:

p x 0  1 0 0 c osα − senα p cosα − p senα   y z   T(p ,( x ,α )) = 0 senα cos α p y senα + p z cosα    0 0 0 1   Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

   

24

 

Ejemplo de combinación traslación-rotación traslación-rotaci ón (I)   Un sistema OUVW ha sido girado 90º alrededor del eje OX y posteriormente posteriormente trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ. Calcular las coordenadas (r x ,r y ,r z) z) del vector r con coordenadas ruvw (-3,4,-11)

 r x  1 0 0 8   − 3   5  r y  0 0 1 4   4   7    r z  = 0   1 −0 −12    − 11 = 16   1  0 0 0 1   1   1         Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

25

 

Ejemplo de combinación traslación-rotación traslación-rotaci ón (II)  

Un sistema OUVW ha sido trasladado un vector p(8,-4,12) con respecto al sistema OXYZ y girado 90º alrededor del eje OX. Calcular las coordenadas (r x , r y , r z) z) del vector r de coordenadas ruvw (-3,4,-11)

8  −3  5   r x  1 0 0 r y  0   0 − 1 − 12  4   − 1         r z  = 0 1 0 − 4    − 11 =  0       1  0 0 0 1   1  1    Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

26

 

Significado geométrico de las matrices homogéneas  n x ox a x   p x   n o a p    n  y y y   y  T  =  n z oz a z   p z  =  0 0 0 0 1

o

a

p

0

0

1

n,o,a terna ortonormal que representa la orientación p   vector que representa la posición ||n||=||o||=||a||=1 n x o = a [n o a]-1=[n o a]T Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

27

 

Inversa de una matriz de transformación homogénea  n x n y n z − nT   p  T    x y z -1 oT   p    T = o o o −  a x a y a z − a   p   0

0

0

1

 r xyz   = T r uvw uv w

 -1

T r xyz

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

= r uvw

28

 

Composiciónhomogéneas de matrices 



Una transformación compleja puede descomponerse en ylatraslaciones) aplicación consecutiva de transformaciones simples (giros básicos Una matriz que representa un giro de un ángulo α sobre el eje OX, seguido de un giro de ángulo φ sobre el eje OY y de un giro de un ángulo θ sobre el eje OZ, puede obtenerse por la composición de las matrices básicas de rotación 0 Cθ − Sθ  0 0  Cφ 0 Sφ  0  1 0    Cθ  0 0     0 1 0 0    0 Cα − Sα  T = T( z ,θ ) T( y ,φ ) T( x ,α  ) =  Sθ 0 0 1 0  − Sφ 0 Cφ  0  0 Sα Cα    0   0 0 1  0 0 0 1  0 0 0  CφCθ − SθCα + CθSφSα SθSα + CθSφCα   0   CθCα + SθSφSα   =  SθCφ − CθSαCα+CSφθSφC  α   00  − Sφ CφSα  0  0 0 1 

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

0

 0 = 0  1

29

 

Criterios de composiciónhomogéneas de matrices 

Si el sistema fijo OXYZ y el sistema transformado O'UVW son coincidentes, la matriz homogénea de transformación será la matriz 4 x 4 unidad, I4



Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema fijo OXYZ, la matriz homogénea que representa cada transformación se deberá premultiplicar sobre las matrices de las transformac transformaciones iones previas.



Si el sistema O'UVW se obtiene mediante rotaciones y traslaciones definidas con respecto al sistema móvil, la matriz homogénea que representa cada transformación transformación se deberá postmultiplicar sobre las matrices de las transformac transformaciones iones previas. Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

30

 

Ejemplo de composición de matrices homogéneas (I) PREMULTIPLICACIÓN 

Obtener la matriz de transformación que representa al sistema O'UVW obtenido adel partir partir siste ma OXYZ mediante un giro de ángulo alrededor eje del OX,sistema de una traslación de vector pxyz(5,5,10) y un-90º giro de 90º sobre el eje OZ T = T( z ,90 ) T( p ) T( x ,-90 o

o

01 −01 )=  0 0 0 0 

0 0 1 0

0 1 0  0    0  0

 1  0

0 1

0 0

0

1

0

0

 01 00    10  0  − 1  1  0 0 5 5

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

0 1 0 0

0 0 − 1 − 5   = 1 0 0 5  10  0  0 − 1 0    0 1  1 0 0 0 0 

31

 

Ejemplo de composición de matrices homogéneas (II) POSMULTIPLICACIÖN 

Obtener la matriz de transformac transformación ión que representa las siguientes transforma transformaciones ciones sobre un sistena fijo de referencia: giro deOXYZ -90º sobre el eje O'U del traslación sistema de un vector pxyz(-3,10,10); trasladado y giro de 90º sobre el eje O'V del sistema girado

1 0 T = T(p ) T( u ,-90º ) T ( v ,90º ) =  0 0 

0 1 0 0

0 − 3 1 0 0 1 0  0 0   1 1 0  0 − 1  0 1  0 0

0 1 0 0

0  0 0  0   0 − 1  1  0

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

0 1 0 0

1 0 0 0

0  0 0 0 − 1 0 =  0  0 − 1   1  0 0

1 − 3 0 10  0 10   0 1

32

 

Gráficos de transformación

−1

(  M  TO )  R

TO  R

 M 

  T R

 R

T E 

 E 

T H  =

 

O

=   R T E   E  T H  ( O T H )

TO

 

−1

= (  M  T R )

Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

 M 

T H 

−1

TO

33

 

Comparación entre métodos de localización espacial   Método

Ventajas

Inconvenientes

Matrices de transformación homogénea

• Posición y orientación

• Alto nivel de redundancia

de forma conjunta • Comodidad

(12 compon. para 6 gdl) • Coste computacional

Angulos de Euler

• Notación compacta

 

• Sólo orientación • Dificultad de manejo para composición

Par de rotación

• Notación compacta

 

• Sólo orientación • Dificultad de manejo para composición

Cuaternios simple y y • Sólo orientación relativa   • Composición eficiente de rotaciones traslaciones Robotica Industrial- Herramientas Matemáticas

34