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RA ZONAMIEN ZONA MIENT TO MATEMÁTICO MATEMÁTICO -TEMA 8

ANÁ ANÁL ISIS SIS COM C OMB BINATO NA TOR RIO

En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurre n en una situación dada se convierte en algo difícil de lograr o tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio permite enumerar tales casos o sucesos y obtener la probabilidad de eventos más complejos. Ocurre con frecuencia que tenemos que formar conjuntos que reúnan ciertas condiciones, eligiendo sus elementos entre los de otro conjunto dado. Por ejemplo es muy natural que formemos grupos para conversar o realizar cualquier actividad.

Una hormiga se introduce en un panal en búsqueda de un poco de miel, la miel se encuentra en el fondo del panal. ¿De cuántas maneras diferentes puede la hormiga llegar a la miel, teniendo en cuenta que no debe retroceder?

4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 7! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 = 5040 8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40320 9! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 = 362880 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 36228800 Nota: Por convención 0! = 1

II. DESARROLLOPARCIALDEUNFACTORIAL 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

I. FACTOR ACTORIAL DE UN UN NÚM NÚMERO Se define factorial de un número n al producto de los números enteros y consecutivos desde la unidad hasta n inclusive. Se denota por: n! Se lee: "Factorial de n" o "n factorial"

7!

64444 4744444 8

8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1

1444 424444 3

6!

n!=1 x 2 x 3 x 4 x ... x (n-1) n ∀n ∈ Z+

8! = 8 x 7! 8! = 8 x 7 x 6! n ! = n(n − 1)! n ! = n(n −1)(n − 2)!

Ejemplo:

6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 20! = 1 x 2 x 3 x ... x 19 x 20  3    2  !  no existe    (-5)! no existe

IDEAS FUERZA

m

El f actorial actor ial estádefi tádefi nido ni do só sólo en los núme númerr os  naturales.

m

El factor act orial ial de un número número puede desco descomponerse mponerse en  el factor f actorial ial de un nú n úmer mer o menor. menor.

Ejemplos de factoriales:

1! = 1 2! = 1 x 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6 UNCP REGULAR 2009 - II

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TEMA 8 / RAZ. MATEMÁTICO

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Exigimos más!

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III. COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL DE UN NÚMERO a) Si n es un número par positivo.

Resolución:

El televisor lo podrá adquirir en:

n!!=2 x 4 x 6 x 8 x ... x (n-2)n

6!! = 2 x 4 x 6 = 48 8!! = 2 x 4 x 6 x 8 = 384 b) n es un número impar positivo.

∴  Se compran de 14 maneras diferentes.

n!!=1 x 3 x 5 x 7 x ... x (n-2)n

5!! = 1 x 3 x 5 = 15 7!! = 1 x 3 x 5 x 7 = 105

Ejemplo:

Karina tiene 3 faldas: roja, azul y verde; también tiene 2 blusas: blanca y crema. ¿De cuántas formas diferentes puede vestirse utilizando dichas prendas?

IV. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO  Veamos el siguiente caso: Carolina desea viajar de Lima a Tacna y tiene a su disposición 2 líneas aéreas y 5 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras distintas puede realizar el viaje?

Las formas son: R  B  A C

Carolina puede elegir viajar por aire o por tierra, pero evidentemente no puede viajar por ambas vías al mismo tiempo. Luego:  Actividad A (viajar por tierra) o 5 maneras

+

 V

 Actividad B (viajar por aire) 2 ma neras

SUGERENCIAS

= 7 maneras

m

∴  Carolina tiene 7 maneras diferentes de realizar su viaje. Podemos ahora en base a este ejemplo enunciar el principio de adición.

Es importante que el alumno note que las posibilidades  de una actividad quedan asociadas a las posibili dades  de la otr a actividad.

blusa blanca - falda roja  blusa blanca - falda azul  blusa blanca - falda verde   6 formas blusa crema - falda roja  blusa crema - falda azul   blusa crema - falda verde 

V. PRINCIPIO DE ADICIÓN Si una actividad A ocurre n maneras diferentes y otra actividad B ocurre de m diferentes, entonces A o B ocurren de m + n maneras diferentes. Ejemplo:

Laura desea comprar un televisor a crédito ha preguntado en 3 tiendas comerciales donde le ofrecieron 3, 5 y 6 sistemas de crédito respectivamente. ¿De cuántas maneras puede Laura comprar el televisor?

Se observa que tienen 2 formas a elegir una blusa y para cada una de éstas tiene 3 formas más de elegir falda.  Actividad A  Actividad A (elegir blusa) y (elegir falda) x

= 6 formas

IDEAS FUERZA

m

∴  Karina tiene 6 formas diferentes de vestirse.

El principio de la adición se aplicar ácuando las  actividadessehagan por separado, es decir de manera  excluyente.

TEMA 8 / RAZ. MATEMÁTICO

Podemos ahora anunciar el principio de multiplicación. 2

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VI. PRINCIPIO DE MULTIPLICACIÓN Si una actividad A se puede realizar de m maneras y para cada una de estas maneras otra actividad B se puede realizar de m x n maneras. En el principio de multiplicación las actividades se realizan una a continuación de otra o simultáneamente.

Exigimos más!

Una variación se diferencia de otra si tiene al menos un elemento diferente o si sus elementos tienen un orden diferente. 1. Variaciones lineales

Se da cuando los elementos son todos diferentes y se arreglan u ordenan en línea recta. Recordemos el caso anterior:

Ejemplo:

De un grupo de 10 estudiantes, 4 varones y 6 damas, se va a elegir una pareja mixta para participar en un concurso de baile. ¿De cuántas formas diferente s se puede hacer dicha elección? Resolución: Se va a escoger una pareja.

 A B C  A C B B A C B C A C A B

6 formas

C B A

También podemos calcular de la siguiente forma:  Asientos

∴  Se puede elegir de 24 formas una pareja mixta. IDEAS FUERZA

m

El principio de la multiplicación seaplicarácuando las  actividadessecomplementenosehaganconjuntamente.

Total = 3 x 2 = formas "Hemos ordenado a 3 personas tomándolas de 2 en 2".

Ejemplo:

¿De cuántas maneras diferentes se puede ir de A hacia C?  A

B

3

 V 2 = 3x2 =

C

 V32 = (3 3! − 2)!

Resolución:

En general, el número de variaciones de "n" elementos tomados de "k" en "k", se calcula así:

De "A" hacia "C", tengo que ir:  A hacia B

y

B hacia C

5

x

3

∴  existen 15 maneras.

n

= 15 maneras

 ; 0