Rm - Sucesiones y Sumatorias - John Neper

SUCESION: Es un conjunto de términos ordenados: números, III. SUCESIÓN NUMÉRICA figuras, letras, o a la combinación de ambos (alfanuméricas), etc. Consideremos al conjunto numérico: Basados en una secuencia lógica llamada ley de formación. Esta 1, 2, 3, 4, 5, … , n secuencia es la que nos permite diferenciar un elemento de otro, Como los números “ordinales” es decir aquellos que indican el a estos elementos se le denomina término de la sucesión. lugar del término de una sucesión. I. SUCESIÓN GRÁFICA Una sucesión de figuras se forma de acuerdo a un “criterio de movimiento” de sus elementos. Se debe percibir el desplazamiento ó giro. Ejemplo: ¿Qué figura continúa?

;

;

; ……

II. SUCESIÓN LITERAL Una sucesión de letras se puede construir a partir de 3 criterios generales. 1. Según el alfabeto: A B C J K L R S T

D M U

E N V

F Ñ W

G O X

H P Y

I Q Z

Observación: Las letras CH y LL se consideran cuando por lo menos una de ellas aparece en la sucesión o en las alternativas. Ejemplos: 1.- ¿Qué letra continúa? a ; d ; h ; m; …… A) ñ

B) s

C) q

D) r

B) n

C) o

D) ñ

Cada uno de los términos de la sucesión posee un número ordinal que indica su posición y el número de términos hasta dicho término. Ejemplo: ¿Qué número continúa? 1, 4, 27, 256, … Resolución: Se puede reemplazar cada número por una expresión que está en función de su ordinal. 1 , 4 , 27 , 256, …

11 , 22 , 33 , 44 , … Por lo tanto continúa 55 = 3125 A.

E) m

1

2

3

4

5

Sucesión

𝑎1

𝑎2

𝑎3

𝑎4

𝑎5

Naturales

1

2

3

4

5

Pares

2

4

6

8

10

Impares

1

3

5

7

9

Cuadrados

1

4

9

16

25

Rectangulares

2

6

12

20

30

… … … … … … …

Triangulares

1

3

6

10

15

…

Cubos

1

8

27

64

125

…

1

1

2

3

5 11

Fibonacci Primos

2

3

5

7

Polinomial

-1

-1

1

5

11

Geométrica

5

15

45

135

405

Factorial

1

2

6

24

120

2. Son iniciales de nombres con un orden dado: Ejemplos: 1.- ¿Qué letra continúa? U;D;T;C;… A) S

B) C

C) N

D) X

B) M

D) O

E) N

3. Completan una palabra o frase: Ejemplo: 1.- ¿Qué letra continúa? E;T;N;A;I;D;U;T;S;… A) M

B) E

C) R

𝑎2 , ± 𝑏1

CICLO: VERANO ENERO – MARZO 2017 - I

𝑎 =𝑎

+𝑎

𝑛 𝑛−1 𝑛−2 … Donde n=2;3;4;... … Sólo Poseen 2 divisores 𝑛2 − 3𝑛 + 1 … 5𝑥3(𝑛−1) … 𝑛! …

Sucesión Aritmética o Polinomial Es aquella sucesión ordenada de cantidades en la que cada término se obtiene por diferencia o adición de un valor constante o variable, al término anterior. Así: 𝑎1 ,

D) Y

𝑛3

E) Z B.

C) S

n 𝑎𝑛 n 2𝑛 2𝑛 − 1 𝑛2 𝑛(𝑛 + 1) 𝑛(𝑛 + 1) 2

 𝑎𝑛 : Se le llama término enésimo o también “término general”. Representa a toda la sucesión.  Es importante considerar siempre a las sucesiones notables porque a partir de ellas se forman nuevas sucesiones.

2.- ¿Qué letra continúa? E;F;M;A;… A) J

Sucesiones notables

Ordinal

E) t

2.- ¿Qué letra continúa? c ; d ; g ; k ; …… A) ll

𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , … , 𝑎𝑛

E) A

𝑎3 , ±𝑏2

±𝑐1

𝑎4 , ±𝑏3

±𝑐2

𝑎5 , … → 𝑆𝑢𝑐𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑎𝑑𝑎 ±𝑏4 … → 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠

±𝑐3

… → 𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑓𝑖𝑙𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑎𝑧𝑜𝑛𝑒𝑠

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Academia Pre U de Ingeniería “JHON NEPER” Ejemplo:

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO 

5, 6, 9, 14, 𝑎5 , … +1 +3 +5 +𝑏4 +2 +2 +2 En este caso se usa la fórmula de la sucesión Polinomial General, la cual es: 𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑏1 Donde: 𝑎𝑛 = 5 + 1

𝑎1 = 5;

𝑛−1 (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) + 𝑐1 +⋯ 1! 2! 𝑏1 = 1;

𝑐1 = 2

𝑛−1 (𝑛 − 1)(𝑛 − 2) +2 +⋯ 1! 2!

Desarrollando se obtiene:

𝑎𝑛 = 𝑛2 − 2𝑛 + 6

La cual es la Ley de Formación, llamado también enésimo término, que es el que da origen a cada uno de los términos que componen la sucesión: Por ejemplo, para hallar el 4º y 20º término se procede así:

Si la razón Geométrica es constante en la primera fila de razones, a la sucesión se le denomina PROGRESIÓN GEOMÉTRICA. Así: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , … xr xr xr xr Para hallar el término general se usa la siguiente fórmula: 𝑛−1

𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑟 Donde: 𝑎1 = 1º 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑎𝑛 = Ú𝑙𝑡𝑖𝑚𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑛 = 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 Ejemplo: 4, 12, 36, 108, 𝑎5 , … x3 x3 x3 x3 Desarrollando tenemos: 𝑎5 = 4. 35−1 𝑎5 = 4. 34 𝑎5 = 324 Para calcular la suma de los “n” primeros términos de una progresión geométrica; se utiliza la siguiente fórmula: 𝑟𝑛 − 1 𝑆𝑛 = 𝑎1 [ ] 𝑟−1

𝑎4 = 42 − 2(4) + 6 ⇒ 𝑎4 = 14 𝑎20 = 202 − 2(20) + 6 ⇒ 𝑎20 = 366

Si la razón Aritmética es constante en la primera fila de razones, a la sucesión se le denomina PROGRESIÓN ARITMÉTICA, sucesión lineal o sucesión aritmética de primer grado. Así: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , … ± 𝑟 ±𝑟 ±𝑟 ±𝑟 … Donde: 𝑎1 = 1º 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑟 = 𝑟𝑎𝑧ó𝑛 𝑎𝑟𝑖𝑡𝑚é𝑡𝑖𝑐𝑎 Ejemplo: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4, 𝑎5 , … 7, 11, 15, 19, 23, … +4 +4 +4 +4 

𝑎𝑛 = 𝑎1 + 𝑟(𝑛 − 1) Por ejemplo, para hallar el 9º y 18º término se procede así: 𝑎9 = 7 + 4(9 − 1) ⇒ 𝑎9 = 39 𝑎18 = 7 + 4(18 − 1) ⇒ 𝑎18 = 75 La suma de los elementos de una Progresión Aritmética: se puede calcular por la fórmula: 𝑎1 + 𝑎𝑛 𝑆𝑛 = [ ]𝑛 2 Por ejemplo: Para sumar los dieciocho (18) primeros términos: 7 + 75 𝑆(18) = [ ] 18 = 738 2 Sucesión Geométrica Es aquella en la cual cada término se obtiene por división o multiplicación de un valor constante o variable, al término anterior. Así: 𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 , 𝑎5 , … 𝑥 𝑏1 𝑥𝑏2 𝑥𝑏3 𝑥𝑏4 … 𝑥𝑘 𝑥𝑘 𝑥𝑘 … Ejemplo: 3, 6, 24, 192, 𝑎5 , …. x2 x4 x8 𝑥𝑏4 x2 x2 x2 Primero hallamos: 𝑏4 = 8(2) = 16 Luego tenemos que: 𝑎5 = 192(16) = 3072

35 −1

Ejemplo: 𝑆5 = 4 [ 

242

] = 4[

2

] = 484

SUMA DE UNA PROGRESION GEOMETRICA INFINITA

S LIMITE 

t1 1 r

0