RLM - Teoria Dos Conjuntos

CURSOS PREPARATÓRIOS MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO PARA CONCURSOS PÚBLICOS TURMA PMPB / 2023

Teoria dos Conjuntos

Prof. Aderbal Soares (83) 98150-8110 t.me/preparatoriopmpb @matematica_com_aderbal

Fala, guerreiros! O meu nome é Aderbal Soares. Sou Graduado, Especialista e Mestre em Matemática pela Universidade Federal da Paraíba (UFPB). Passei nos concursos de Oficial de Justiça (1992), Infraero (1998), Professor da Secretaria de Educação de Santa Rita (2010), Professor da Secretaria de Educação de Cabedelo (2010), Professor da Secretaria de Educação do Estado da Paraíba (2011) e Professor da Secretaria de Educação de João Pessoa (2012) onde atuo até hoje. Sou oficial de justiça do TJPB há 28 anos. Esta é uma aula extremamente importante pois nos ajudará a formar uma base sólida na disciplina. Durante a teoria, explicaremos o que é um conjunto, quais as operações que podemos realizar com eles e o princípio da inclusão-exclusão. O conteúdo teórico desta aula conta com uma variedade de exemplos resolvidos, de modo que podemos visualizar como está sendo a cobrança nos principais concursos. Ao final de tudo, temos uma lista de exercícios para fixarmos o que foi abordado. Espero que aproveitem os estudos! Um grande abraço, Prof. Aderbal Soares

"Tente uma, duas, três vezes e se possível tente a quarta, a quinta e quantas vezes for necessário. Só não desista nas primeiras tentativas, a persistência é amiga da conquista. Se você quer chegar onde a maioria não chega, faça o que a maioria não faz." (Bill Gates)

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A Teoria dos Conjuntos foi criada por Georg Cantor. A noção matemá ca de conjunto é pra camente a mesma que se usa no co diano: um agrupamento ou coleção de objetos. Poderíamos usar os termos “classe” ou “coleção” como sinônimos para a noção de conjuntos. Adotamos sem definição, ou seja, são consideradas conceitos primitivos, as noções de conjunto, elemento e relação de pertinência entre elemento e conjunto. Vejamos alguns exemplos: i) ii) iii)

conjunto das vogais. conjunto dos países membros da União Europeia. conjunto dos números pares positivos.

Cada objeto que faz parte da formação do conjunto é chamado de elemento. Não há restrições na escolha dos elementos. Assim, é possível, por exemplo, formar um conjunto com um número, uma pessoa e uma comida. Nos exemplos acima, os elementos são, respectivamente: i) ii) iii)

a, e, i, o, u Alemanha, Áustria, Bélgica, Bulgária, Chipre, Dinamarca, Eslováquia, ... 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

Na realidade, o elemento de um conjunto pode ser qualquer coisa.

Quando um elemento faz parte de determinado conjunto, dizemos que o elemento PERTENCE ao conjunto. Essa relação de pertinência entre um elemento e um conjunto é representada pelo símbolo ∈. Seja o conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑒, 2, 8, 12, 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑐𝑖𝑠𝑐𝑜, 𝐸𝑑𝑢𝑎𝑟𝑑𝑜, 𝐴𝑙𝑒𝑚𝑎𝑛ℎ𝑎, 𝐵é𝑙𝑔𝑖𝑐𝑎}. Então:  a∈A  8∈A  Eduardo ∈ A Atente-se à simbologia! Podemos dizer que um elemento não pertence a um determinado conjunto. Para isso, utilizamos o símbolo "não pertence": ∉.   

c∉A 6∉A Maria ∉ A

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Existe mais um tipo de relação que devemos estudar: a relação de inclusão. Nesse tipo de relação, é estabelecido um relacionamento entre dois conjuntos e não mais entre um elemento e outro conjunto. Para isso, usamos uma simbologia específica que você deverá guardar: ⊂ (está contido), ⊄ (não está contido), ⊃ (contém) 𝑒 ⊅ (não contém). Vamos ver com calma o que cada um deles diz! Considere 𝑨 = {𝒂, 𝒃, 𝒄, 𝒅, 𝒆}, 𝑩 = {𝟎, 𝟐, 𝟒, 𝟔, 𝟖} e 𝑪 = {𝟏, 𝟑, 𝟓, 𝟕, 𝟗, 𝟏𝟏, 𝟏𝟑, 𝟏𝟓, 𝟏𝟕, 𝟏𝟗}        

{𝑎, 𝑐, 𝑒} ⊂ A {0, 2, 4, 6, 8} ⊂ B {1, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19} ⊂ C ∅⊂B {𝑎, 𝑒, 𝑖} ⊄ A A ⊃ {𝑏, 𝑐, 𝑑} B ⊃ {0, 2, 4, 6, 8} B ⊅ {0, 1, 2, 3}

A relação de inclusão envolve 2 conjuntos! Diante disso, podemos introduzir um novo termo: o subconjunto. O subconjunto nada mais é do que parte de um conjunto maior. Quando dizemos, por exemplo, que {𝒂, 𝒆} está contido em 𝑨, estamos dizendo, com outras palavras, que {𝑎, 𝑒} é um subconjunto de 𝑨.

(UNESPAR 2019) Considerando os conjuntos 𝐴 = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}, 𝐵 = {1, 3, 4, 5, 6, 9, 10} e 𝐶 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, assinale a alternativa CORRETA: A) O conjunto A está contido no conjunto B. B) O conjunto B está contido no conjunto A. C) O conjunto C está contido no conjunto B. D) O conjunto C está contido no conjunto A. E) O conjunto A está contido no conjunto C. Comentários: 𝑪 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒, 𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖} Observe que os elementos destacados em vermelho são exatamente todos os elementos do conjunto A. Perceba, portanto, que A está contido em C. Para facilitar a visualização, veja o diagrama a seguir.

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Gabarito: Letra E

Quais são os subconjuntos do conjunto 𝐴 = {𝑎, 𝑏}?    

∅⊂A {𝑎} ⊂ A {𝑏} ⊂ A {𝑎, 𝑏} ⊂ A

Seja 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐}. Vamos listar os seus subconjuntos também?        

∅⊂B {𝑎} ⊂ B {𝑏} ⊂ B {𝑐} ⊂ B {𝑎, 𝑏} ⊂ B {𝑎, 𝑐} ⊂ B {𝑏, 𝑐} ⊂ B {𝑎, 𝑏, 𝑐} ⊂ B

O conjunto vazio é subconjunto de qualquer outro conjunto. Qualquer conjunto é também um subconjunto de si mesmo! Pessoal, observe que os subconjuntos de um conjunto são apenas diferentes combinações de seus elementos. Portanto, se você precisar listar os subconjuntos, siga os seguintes passos: 1. O primeiro conjunto que você deve anotar como subconjunto é o conjunto vazio. 2. Depois, transforme em subconjunto cada elemento, um por um. 3. Em seguida, escreva os subconjuntos formado por pares de elementos. 4. Acabando os pares, pegue os trios e assim sucessivamente. Será que é possível estabelecer uma fórmula para calcular o número de subconjuntos baseado na quantidade de elementos de um conjunto? PROF. ADERBAL SOARES – PREPARATÓRIO PMPB

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É possível sim e a fórmula é bem simples. Seja 𝒏(𝑨) o número de elementos de um conjunto 𝑨. Então, o número de subconjuntos de 𝑨, 𝒏(𝑺𝑨 ), é dado por:

𝑨

𝒏(𝑨)

(IBADE 2020) Quantos subconjuntos possui o conjunto das vogais? A) 10 B) 25 C) 32 D) 50 E) 56 Comentários: Seja 𝑽 o conjunto formado por todas as vogais, então temos que: 𝑉 = {𝑎, 𝑒, 𝑖, 𝑜, 𝑢} O conjunto acima possui 5 elementos, sabemos que o número de subconjuntos de um conjunto depende da quantidade de elementos e é dado através de uma fórmula. 𝑛(𝑆 ) = 2 ( ) 𝑛(𝑆 ) = 2 𝑛(𝑆 ) = 32 Gabarito: Letra C Dizemos que um conjunto A é um subconjunto de um conjunto B se todo elemento que pertencer a A também pertencer a B. A notação matemática é a seguinte: A ⊂ B. A expressão A ⊂ B pode ser lida das seguintes maneiras: - A é subconjunto de B. - A é parte de B. - Todo elemento de A é elemento de B. Podemos também escrever com a seguinte simbologia: B ⊃ A. Esta expressão é lida das seguintes maneiras: - B contém A. - B inclui A. - B é universo de A. - B é superconjunto de A.

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Você sabia que podemos juntar todos os subconjuntos de um conjunto para formar um novo conjunto? Esse novo conjunto formado é denominado conjunto das partes e é representado pelo símbolo ℘. Por exemplo, os conjuntos das partes de 𝐴 = {𝑎, 𝑏} e de 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} são: ℘(𝐴) = {∅, {𝑎}, {𝑏}, {𝑎, 𝑏}} ℘(𝐵) = {{ }, {𝑎}, {𝑏}, {𝑐}, {𝑎, 𝑏}, {𝑎, 𝑐}, {𝑏, 𝑐}, {𝑎, 𝑏, 𝑐}} Observe que ℘(𝐴) e ℘(𝐵) são conjuntos formados por outros conjuntos! Note ainda que a sua quantidade de elementos é exatamente a quantidade de subconjuntos calculada pela fórmula 𝒏(𝑺𝑨 ) = 𝟐𝒏(𝑨) . Um outro ponto que chamamos atenção é que, no conjunto das partes, listamos o conjunto vazio { } explicitamente com um dos seus elementos. (UPENET – IAUPE 2019) Dado um conjunto A, representa-se por ℘(𝐴) o conjunto formado por todos os subconjuntos de A – o chamado conjunto das partes que também costuma ser representado por 2A. Se 𝐴 = {𝜙, {𝜙}, 1, {1}}, qual das alternativas seguintes NÃO é elemento de ℘(𝐴)? A) 𝜙 B) {𝜙, 1} C) {1, {𝜙, 1}} D) {𝜙, {𝜙}} E) {1, {1}} Comentários: O jeito mais imediato de resolver a questão é listar todos os subconjuntos de 𝑨. Perceba que teremos 24 = 𝟏𝟔 subconjuntos. Para nos auxiliar, vamos usar uma tabela. Vale também destacar que 𝝓 representa o conjunto vazio e você deve lembrar que o conjunto vazio é sempre subconjunto de qualquer conjunto.

Ao listar os subconjuntos do conjunto 𝐴, percebemos que apenas o conjunto {𝟏, {𝝓, 𝟏}} não é elemento de ℘(𝐴). Isso acontece, pois o conjunto {𝝓, 𝟏} não é elemento de A. Gabarito: Letra C

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Você deve ter visto ao longo da aula que apareceram alguns conjuntos na forma de diagramas. Esses diagramas são bastante conhecidos no meio matemático e possuem um nome especial: são os Diagramas de Venn-Euler ou, simplesmente, Diagramas de Venn. Esse tipo de representação é utilizado principalmente quando precisamos representar vários conjuntos ao mesmo tempo. Utilizamos uma curva fechada e não-entrelaçada para representar o conjunto.

Vamos considerar dois conjuntos dados: A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} Utilizando o diagrama de Euler-Venn, temos o seguinte:

Observe que há dois elementos comuns aos conjuntos A e B. Vamos agora descrever as possíveis operações que podem ser realizadas entre os conjuntos A e B.

Dados os conjuntos A e B, a reunião A ∪ B é o conjunto dos elementos que pertencem a pelo menos um dos dois conjuntos. Abaixo, em cores, destacamos a união de A e B.

 

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𝑨 ⋃ 𝑩 = {𝑥 | 𝑥 𝜖 𝐴 𝒐𝒖 𝑥 𝜖 𝐵} No nosso exemplo temos que A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

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Observe que 𝑥 ∈ A ∪ B significa 𝑥 ∈ A ou 𝑥 ∈ B. Desta maneira, a operação A ∪ B entre conjuntos constitui a contrapartida matemática do conectivo lógico “ou” (disjunção inclusiva). Nos diagramas abaixo, A ∪ B é representado pela região sombreada.

PROPRIEDADES DA UNIÃO (REUNIÃO) Consideremos três conjuntos quaisquer A, B, C e U o conjunto universo. São válidas as seguintes propriedades: i) ii) iii) iv) v)

A ∪ A = A (idempotente) A ∪ B = B ∪ A (comutativa) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (associativa) Se A ⊂ B, então A ∪ B = B A ∪ ∅ = A (elemento neutro)

A interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto formado pelos elementos que são comuns a A e B, isto é, pelos elementos que pertencem a A e também pertencem a B. Designamos a interseção de A e B por A ∩ B (lê-se A inter B ou A interseção B). A ∩ B = {𝑥|𝑥 ∈ A e 𝑥 ∈ B} Vamos destacar no nosso exemplo anterior a interseção dos conjuntos A e B.

Desta forma, temos que A ∩ B = {4, 5}.

Observe que 𝑥 ∈ A ∩ B significa 𝑥 ∈ A e 𝑥 ∈ B. Desta maneira, a operação A ∩ B entre conjuntos constitui a contrapartida matemática do conectivo lógico “e” (conjunção).

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Nos diagramas abaixo, A ∩ B é representado pela região sombreada.

Quando A ∩ B = ∅, ou seja, quando os conjuntos A e B não possuem elementos comuns, A e B são denominados conjuntos disjuntos. PROPRIEDADES DA INTERSEÇÃO Consideremos três conjuntos quaisquer A, B e C. São válidas as seguintes propriedades: i) ii) iii) iv) v) vi)

A ∩ A = A (idempotente) A ∩ B = B ∩ A (comutativa) A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C (associativa) Se A ⊂ B, então A ∩ B = A A∩∅=∅ (A ∩ B) ⊂ A e (A ∩ B) ⊂ B

PROPRIEDADES DA UNIÃO E INTERSEÇÃO Sendo A, B e C conjuntos quaisquer, são válidas as seguintes propriedades que relacionam a reunião e a interseção de conjuntos. i) A ∪ (A ∩ B) = A ii) A ∩ (A ∪ B) = A iii) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Esta é a propriedade distributiva da interseção em relação à reunião. iv) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Esta é a propriedade distributiva da reunião em relação à interseção. (UNIFIL 2020) Sejam os conjuntos 𝐴 = {0, 1, 3, 5, 7}, 𝐵 = {0, 2, 4, 6, 8} e 𝐶 = {0, 14, 15}, assinale a alternativa correta. A) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {0} B) 𝐴 ∪ 𝐶 = {1, 3, 5, 7, 14, 15} C) 𝐵 ∩ 𝐶 = {2, 4, 6, 8, 14, 15} D) 𝐴 ∪ 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15} Comentários:

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Devemos verificar alternativa por alternativa. A) 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {0} Alternativa correta. Nessa alternativa, devemos buscar a intersecção dos três conjuntos dados no enunciado. A intersecção é formada pelos elementos que são comuns aos três conjuntos. Por exemplo, observe que o número 0 pertence tanto ao conjunto 𝑨, 𝑩 e 𝑪. Logo, com certeza o 0 é elemento de 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶. Observe que não há nenhum outro elemento que aparece nos três conjuntos. Com isso, podemos dizer que, de fato, 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = {0}. B) 𝐴 ∪ 𝐶 = {1, 3, 5, 7, 14, 15} Alternativa incorreta. Para obter a união de dois conjuntos, juntamos todos os elementos dos dois conjuntos e se houver elementos repetidos, basta escrevê-los apenas uma vez, eles não vão contar duas vezes. Veja, no entanto, que o 𝟎 é elemento de 𝑨 e de 𝑪, mas não aparece no conjunto união dos dois. C) 𝐵 ∩ 𝐶 = {2, 4, 6, 8, 14, 15} Alternativa incorreta. A intersecção representa apenas os elementos em comum entre dois ou mais conjuntos. Quais são os elementos em comum entre B e C? O número 0 é o único elemento comum aos dois. Logo, 𝐵 ∩ 𝐶 = {0}. D) 𝐴 ∪ 𝐵 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15} Alternativa incorreta. Note que o conjunto está quase correto, o único erro seria a presença desse elemento “15”. O “15” não faz parte de A nem B, portanto, não pode fazer parte do conjunto que é a união dos dois. Esse é o erro da alternativa. Gabarito: Letra A

A diferença entre A e B, representada por A – B, corresponde ao conjunto dos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. Vamos utilizar novamente o nosso exemplo anterior dos conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}. A figura abaixo representa a diferença entre os dois conjuntos (destaque em cores): Designamos a diferença de A e B por A – B, ou por, A\B (lê-se A menos B).

A − B = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑨 𝑒 𝑥 ∉ 𝑩} No nosso exemplo temos que A − B = {1, 2, 3}.

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Podemos também considerar a diferença de B e A. Neste caso, devemos considerar os elementos de B que não pertencem a A.

B − A = {𝑥 | 𝑥 ∈ 𝑩 𝑒 𝑥 ∉ 𝑨} B − A = {6, 7, 8, 9, 10}

Observe que 𝑥 ∈ A − B significa 𝑥 ∈ A e 𝑥 ∉ B. Nos diagramas abaixo, A − B é representado pela região sombreada.

Um detalhe importante é que se 𝐴 e 𝐵 são conjuntos disjuntos, então 𝑨 − 𝑩 = 𝑨 𝒆 𝑩 − 𝑨 = 𝑩. Veja como essa informação pode ser representada:

PROPRIEDADES DA DIFERENÇA i) ii) iii) iv)

Se A ∩ B = ∅, então A − B = A e B − A = B A−A=∅ A−∅=A Se A ⊂ B, então A − B = ∅

(IBADE 2020) Dados os três conjuntos numéricos: 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 𝐵 = {0, 2, 4, 6}, 𝐶 = {1, 3, 5, 7, 9}. O resultado de (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶 é igual a: A) {1, 3, 5} B) {1, 3, 5, 7, 9} C) {0, 1, 3, 5, 7, 9} D) {2, 4, 6} E) {0} Comentários:

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Primeiramente, devemos fazer a diferença entre o conjunto A e B. Lembre-se, quando tivermos a diferença entre dois conjuntos, por exemplo, 𝐴 − 𝐵, estamos procurando o conjunto dos elementos de A que não são elementos de B. Na nossa questão, temos que: 𝐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6} 𝐵 = {0, 2, 4, 6} Primeira pergunta: quais elementos estão ao mesmo tempo em A e em B? Observe que 2, 4 e 6 são os três elementos comuns aos dois conjuntos. Segunda pergunta: que conjunto é formado quando eu removo esses elementos em comum do conjunto A? É exatamente o conjunto diferença! 𝐴 = {1, 𝟐, 3, 𝟒, 5, 𝟔} 𝐴 − 𝐵 = {1, 3, 5} A questão não termina aqui. Ainda devemos fazer a intersecção desse conjunto com o C. Note que C possui todos os três elementos do nosso conjunto diferença. Portanto, coincidentemente, vamos ter que: (𝐴 − 𝐵) ∩ 𝐶 = {1, 3, 5} Gabarito: Letra A

Dados dois conjuntos A e B, chama-se diferença simétrica de A com B o conjunto A ∆ B tal que A ∆ B = (A − B) ∪ (B − A). No nosso exemplo:

A ∆ B = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9, 10}

Pelo diagrama acima, podemos facilmente perceber que A ∆ B corresponde aos elementos que pertencem a A ∪ B e não pertencem a A ∩ B. Portanto, podemos escrever: A ∆ B = (A ∪ B) − (A ∩ B) (ESAF 2005) Considere dois conjuntos, A e B, onde A = {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se que a operação Ψ é definida por A Ψ B = (A – B) ∪ (B – A), então a expressão (A Ψ B) Ψ B é dada por: A) {X1, X5, X4} b) {X1, X2} c) {X1, X2, X3, X4} d) {X4, X6, X5} e) {X1, X6} PROF. ADERBAL SOARES – PREPARATÓRIO PMPB

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Comentários: Na realidade a questão atribuiu o símbolo Ψ à operação correspondente à diferença simétrica. A Ψ B = (A − B) ∪ (B − A) A Ψ B = {X2, X3} ∪ {X5, X6} = {X2, X3, X5, X6} Vamos chamar de C este conjunto obtido. A Ψ B = C = {X2, X3, X5, X6} Queremos calcular (A Ψ B) Ψ B = C Ψ B C Ψ B = (C − B) ∪ (B − C) C Ψ B = {X2, X3} ∪ {X1, X4} = {X2, X3, X1, X4} Lembre-se que não há ordem entre os elementos de um conjunto. Portanto, (A Ψ B) Ψ B = {X1, X2, X3, X4} Gabarito: Letra C

Consideremos dois conjuntos A e B, tais que A ⊂ B. Chama-se complementar de A em relação a B o conjunto B – A, ou seja, o conjunto formado pelos elementos de B que não pertencem ao conjunto A. Observe no seguinte diagrama de Venn.

Indicamos por 𝐂 o complementar de A em relação a B.

A diferença B – A só será chamada especialmente de “complementar de A em relação a B” quando A ⊂ B. Em outras palavras, se A não é subconjunto de B, não tem sentido em falar sobre complementação. A complementação só ocorre quando um conjunto é subconjunto do outro. Suponha que U seja o conjunto universo, em uma situação problema envolvendo os conjuntos A e B. Desta maneira, A ⊂ U e B ⊂ U. O complementar do conjunto A em relação ao universo U é indicado por 𝑨 𝑜𝑢 𝑨𝑪 𝑜𝑢 𝑨′. Desta maneira, 𝑨 representa todos os elementos que não pertencem ao conjunto A.

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𝑨 = 𝑨𝑪 = 𝑨 = {𝑥 ∈ 𝑈 | 𝑥 ∉ 𝑨} Observe que 𝐴̅ significa 𝑥 ∉ A. Em outras palavras, dizer que 𝑥 é elemento do complementar de A significa dizer que 𝑥 NÃO pertence ao conjunto A. A operação 𝑨 constitui a contrapartida matemática do operador lógico da negação (advérbio “não”). Vamos fazer uma comparação entre as operações entre conjuntos e os operadores lógicos:

PROPRIEDADES DA COMPLEMENTAÇÃO i) 𝑨 ∪ 𝑩 = 𝑨 ∩ 𝑩 ii) 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑨 ∪ 𝑩 Estas duas primeiras propriedades são conhecidas como Leis de De Morgan. Fazendo uma comparação com os conectivos lógicos, teríamos: i. a negação da disjunção “ou” corresponde à conjunção “e” das negações. ii. a negação da conjunção “e” corresponde à disjunção “ou” das negações. Em outras palavras, estas relações significam que a negação de “A ou B” é “Não A e não B” e a negação de “A e B” é “Não A ou não B”. iii) iv) v) vi)

𝑨−𝑩 = 𝑨∩𝑩 𝑨=𝑨 𝑨 ∪ 𝑨 = 𝑼 (conjunto universo) 𝑨∩𝑨=∅

(INSTITUTO AOCP 2020) A é o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma espanhol e B é o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma inglês, conforme representado no diagrama a seguir:

Com base nessas informações, é correto afirmar que

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A) a região I representa o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma inglês, mas não dominam o idioma espanhol. B) a região II representa o conjunto de todas as pessoas que dominam os dois idiomas. C) a região III representa o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma espanhol, mas não dominam o idioma inglês. D) a região IV representa o conjunto de todas as pessoas que dominam os dois idiomas. E) U representa o conjunto de todas as pessoas que não dominam nenhum desses dois idiomas. Comentários: Vamos analisar cada uma das alternativas tendo em mente que: • 𝐴 é o conjunto das pessoas que dominam ESPANHOL; • 𝐵 é o conjunto das pessoas que dominam INGLÊS. A) a região I representa o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma inglês, mas não dominam o idioma espanhol. Alternativa incorreta. A região I representa o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma ESPANHOL, mas não dominam o idioma INGLÊS. B) a região II representa o conjunto de todas as pessoas que dominam os dois idiomas. Alternativa correta. A região comum aos 2 conjuntos representa as pessoas que dominam os dois idiomas. C) a região III representa o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma espanhol, mas não dominam o idioma inglês. Alternativa incorreta. A região III representa o conjunto de todas as pessoas que dominam o idioma INGLÊS, mas não dominam o idioma ESPANHOL. D) a região IV representa o conjunto de todas as pessoas que dominam os dois idiomas. Alternativa incorreta. A região IV é toda área fora dos dois conjuntos. Isso significa que ela representa aqueles não dominam nenhum dos dois idiomas. E) U representa o conjunto de todas as pessoas que não dominam nenhum desses dois idiomas. Alternativa incorreta. 𝑈 é o conjunto universo e representa todos aqueles que dominam ou não os idiomas.

O Princípio da Inclusão-Exclusão é uma fórmula para calcular o número de elementos que pertencem à união de vários conjuntos. Na sua forma mais simples, o princípio afirma que 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩) é o número de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A e B

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Para contar os elementos de A ∪ B, contamos todos os elementos de A e todos os elementos de B. Desta forma, os elementos da interseção foram contados duas vezes, uma em A e outra em B. Portanto, devemos descontar a segunda contagem desses elementos e obtemos a fórmula acima. Há uma expressão parecida quando estão envolvidos três conjuntos, para memorizar, escrevemos da seguinte maneira: 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪) − 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪) é o número de elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A, B e C.

Para quatro conjuntos teríamos: 𝒏(𝑨 ∪ 𝑩 ∪ 𝑪 ∪ 𝑫) = 𝒏(𝑨) + 𝒏(𝑩) + 𝒏(𝑪) + 𝒏(𝑫) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑫) − 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪) − 𝒏(𝑩 ∩ 𝑫) − 𝒏(𝑪 ∩ 𝑫) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑫) + 𝒏(𝑨 ∩ 𝑪 ∩ 𝑫) + 𝒏(𝑩 ∩ 𝑪 ∩ 𝑫) − 𝒏(𝑨 ∩ 𝑩 ∩ 𝑪 ∩ 𝑫)

O número de elementos da união é obtido somando os números de elementos de cada conjunto, subtraindo os números de elementos das interseções dois a dois, somando os números de elementos das interseções três a três, subtraindo os números de elementos das interseções quatro a quatro, somando os números de elementos das interseções cinco a cinco e assim por diante.

A verdade é que não precisamos decorar fórmulas para responder questões que envolva esse princípio. Utilizando um pouco de lógica e diagramas de Venn, podemos encontrar a quantidade de elemento de cada conjunto envolvido em um problema típico de Princípio da Inclusão-Exclusão. Antes disso, quero deixar claro para vocês o significado de cada uma das regiões nos seguintes diagramas:

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 2 Conjuntos

 3 Conjuntos

(FCC 2018) Em uma escola com 150 alunos, são oferecidos cursos de Inglês e Francês. Conforme um levantamento, 15 alunos desta escola não estão frequentando estes cursos e 90 frequentam o curso de Inglês. Se 72 alunos frequentam o curso de Francês, então o número de alunos que frequenta um e somente um dos cursos é igual a A) 144. B) 138. C) 132. D) 108. E) 126. Comentários: O conjunto universo da nossa questão é formado pelos 150 alunos da escola. Esses 150 alunos podem fazer 2 cursos ou não fazer nenhum. A primeira informação que temos é que 15 alunos PROF. ADERBAL SOARES – PREPARATÓRIO PMPB

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não frequentam nenhum dos cursos. Em diagramas, podemos representar essa informação da seguinte maneira:

Observe que a questão não informou a quantidade de alunos que fazem os dois cursos simultaneamente. Portanto, vamos chamá-la de 𝒙 e colocá-la no diagrama.

Se 90 frequentam o curso de inglês, então 90 − 𝑥 frequentam APENAS o curso de inglês. Se 72 alunos frequentam o curso de Francês, então 72 − 𝑥 frequentam APENAS o curso de Francês.

Nosso diagrama está completamente preenchido. Você concorda que ao somar individualmente as quantidades acima, deveremos obter o total de alunos dessa escola, isto é, 150? (90 − 𝑥) + (72 − 𝑥) + 𝑥 + 15 = 150 177 − 𝑥 = 150 𝑥 = 27 A questão não quer saber quantos alunos fazem os dois cursos simultaneamente. Ela pede a quantidade de alunos que fazem APENAS um único curso. Logo, (90 − 𝑥) + (72 − 𝑥) = 63 + 45 = 108 Gabarito: Letra D

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(CESPE – CEBRASPE 2019) Em determinado tribunal, os conselheiros atuam nos conselhos I, II e III, podendo atuar em apenas um, em dois ou em todos os conselhos, como mostra a tabela seguinte.

Nesse caso, a quantidade de conselheiros que atuam em, no máximo, um dos conselhos é igual a A) 26. B) 36. C) 50. D) 58. E) 84. Comentários: Temos três conselhos de atuação, sendo que os conselheiros podem atuar em apenas um, em dois ou em todos os conselhos. É uma questão clássica de diagrama de Venn e PIE. Nesse tipo de questão, devemos sempre começar com a quantidade de elementos na intersecção dos três conjuntos. De acordo com a tabela, temos 4 conselheiros que atuam nos três conselhos.

Uma vez com a quantidade de elementos da intersecção dos três conjuntos, partimos para a análise dos elementos das intersecções de dois conjuntos. Por exemplo, da tabela é possível ver que 10 conselheiros atuam nos conselhos I e II. Como já contamos 4 deles na intersecção, temos que 10 − 4 = 6 conselheiros atuam APENAS nos conselhos I e II. Podemos usar esse raciocínio para as demais intersecções.

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Agora que achamos as quantidades das intersecções, devemos partir para a análise das quantidades de conselheiros que atuam APENAS um único conselho. A tabela diz que 35 conselheiros atuam no conselho I, nosso diagrama mostra que 6 + 4 + 8 = 18 estão conselheiros estão atuando no conselho I mas também em outros conselhos. Portanto, devemos fazer 35 − 18 = 17 para obter a quantidade de conselheiros que estão atuando apenas no conselho I. Analogamente, se o conselho II possui 25 conselheiros e contabilizamos 6 + 4 + 4 = 14, então sobra que 11 conselheiros atuam somente no conselho II. Por fim, dos 24 conselheiros de III, temos contabilizados 8 + 4 + 4 = 16 no diagrama. Logo, 8 atuam apenas em III.

Com o nosso diagrama completo, podemos analisar o que a questão pede. O examinador quer o número de conselheiros que atuam em apenas um dos conselhos. 𝑁 = 17 + 11 + 8 𝑁 = 36 Gabarito: Letra B

(FGV 2022) Em um grupo de 70 pessoas, há 50 capixabas e 40 torcedores do Vasco. Em relação a esse grupo de pessoas, é correto concluir que A) no máximo 20 são capixabas torcedores do Vasco. B) no mínimo 20 não são nem capixabas nem torcedores do Vasco. C) exatamente 30 são capixabas não torcedores do Vasco. D) no máximo 40 são capixabas torcedores do Vasco. E) é possível que nenhuma delas seja capixaba torcedor do Vasco. Comentários: Sejam U, C e V os conjuntos união, dos capixabas e dos vascaínos, respectivamente. Considere, também, 𝒙 como a interseção de C e V e 𝒚 como o complementar de C ∪ V

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Pelo PIE, temos: 𝑈 = 𝑛(𝐶 ∪ 𝑉) + 𝑛(𝐶 ∪ 𝑉 ) = 𝑛(𝐶) + 𝑛(𝑉) − 𝑛(𝐶 ∩ 𝑉) + 𝑛(𝐶 ∪ 𝑉 ) 70 = 50 + 40 − 𝑥 + 𝑦 70 = 90 − 𝑥 + 𝑦 𝒙 = 𝟐𝟎 + 𝒚 Analisando a expressão 𝒙 = 𝟐𝟎 + 𝒚, com 𝒙, 𝒚 𝒏𝒂𝒕𝒖𝒓𝒊𝒂𝒔, concluímos que: 



quando 𝑦

= 0, então:

quando 𝑥

𝑥 í = 20 + 𝑦 í 𝑥 í = 20 + 0 𝑥 í = 20 = 40 (isso acontece quando 𝑽 ⊂ 𝑪), então: 𝑥 á = 20 + 𝑦 á 40 = 20 + 𝑦 á 𝑦 á = 20

á

Logo, no máximo, 40 são os capixabas que também torcem pelo Vasco. Gabarito: Letra D

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QUESTÕES DE CONCURSOS [Introdução à Teoria dos Conjuntos] 1. (IDCAP 2020) Na teoria matemática ao se agrupar elementos como números, objetos ou mesmo pessoas por características (cor dos olhos, cabelo, etc), estamos formando o que é chamado de: A) Grupo B) Emaranhado C) Mistura D) Conjunto E) Agrupamento 2. (IBFC 2019) Leia as afirmativas abaixo. O símbolo _____ significa que o conjunto está vazio. Na sentença x ∈ C, o símbolo “∈” significa que x ______________ a C. Assinale a alternativa que completa correta e respectivamente as lacunas A) Ø / não pertence B) ( ) / pertence C) { } / não pertence D) Ø / pertence 3. (IBFC 2019) Analise as afirmativas abaixo e de valores Verdadeiro (V) ou Falso (F) ( ) Um conjunto vazio é aquele em que não há elementos. Ele pode ser representado por { } ou pelo símbolo Ø. ( ) Pode-se dizer que a diferença entre conjuntos corresponde ao conjunto de elementos que estão no primeiro conjunto e não aparecem no segundo. ( ) O exemplo a seguir se refere a diferença entre conjuntos: A={a, e, i, o, u} B={u, o, i, e, a}. Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta de cima para baixo. A) V, V, V B) V, F, V C) F, V, F D) V, V, F

4. (IBFC 2019) Considere o conjunto A = {12, 17, 19, 23}. Sobre o número de subconjuntos não vazios de A, com três ou menos elementos, assinale a alternativa correta. A) 12 subconjuntos B) 13 subconjuntos C) 14 subconjuntos D) 16 subconjuntos

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5. (IBFC 2017) As afirmações a seguir referem-se aos conjuntos A = {0, 1, {2}, 3} e B = {{0,1}, 2, 3}: I. {1} está contido no conjunto A. II. {0, 1} pertence ao conjunto B. III. {2} pertence ao conjunto A. IV. o conjunto vazio está contido no conjunto B. Pode-se afirmar que são corretas: A) todas B) somente três delas C) somente duas delas D) somente uma delas 6. (IBFC 2017) Um conjunto possui N elementos distintos. Assinale a alternativa que apresenta quantos subconjuntos diferentes com uma quantidade de elementos menor que N podem ser formados a partir deste conjunto. A) 2N B) 2N - 1 C) N2 D) (N−1)2 E) N! 7. (CALEGARIOX SERVIÇOS) Quantos elementos tem o conjunto “A” sabendo que podemos formar 256 subconjuntos ao todo? A) 5 B) 6 C) 8 D) 11 8. (QUADRIX 2012) Quantos subconjuntos distintos e com 3 elementos podem ser formados com as 5 vogais do alfabeto? A) 10 B) 12 C) 9 D) 11 E) 8 9. (CESGRANRIO 2017) Os conjuntos P e Q têm p e q elementos, respectivamente, com p + q = 13. Sabendo-se que a razão entre o número de subconjuntos de P e o número de subconjuntos de Q é 32, quanto vale o produto pq? A) 16 B) 32 C) 36 D) 42 E) 46

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10. (MSCONCURSOS 2018) Considerando o conjunto 𝐴 = {Ω, Δ, {Δ}} qual das afirmações abaixo não está correta? A) Ω ∈ A B) Ω ⊂ A C) {Δ} ⊂ 𝐴 D) {Δ} ∈ 𝐴 11. (CESPE – CEBRASPE 2014) Para o conjunto Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, se A for um subconjunto de Ω, indique por S(A) a soma dos elementos de A e considere S(Ø) = 0. Nesse sentido, julgue o item a seguir. Se A e B forem subconjuntos de Ω, tais que A ⊂ B, então 0 ≤ S(A) ≤ S(B) ≤ 55. ( (

) Certo ) Errado

12. (QUADRIX 2013) Um conjunto A tem 3 elementos, enquanto que um conjunto B tem 2 elementos. Quantos são os subconjuntos possíveis de A X B? A) 6 B) 12 C) 24 D) 32 E) 64 13. (FGV 2010) Dado um conjunto A, chamamos subconjunto próprio não vazio de A a qualquer conjunto que pode ser formado com parte dos elementos do conjunto A, desde que: • algum elemento de A seja escolhido; • não sejam escolhidos todos os elementos de A. Sabemos que a quantidade de subconjuntos próprios não vazios de A é 14. A quantidade de elementos de A é igual a: A) B) C) D) E)

4 5 6 7 8

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[Operações com Conjuntos] 14. (INSTITUTO CONSULPLAN 2023) Se um conjunto A contém todos os números naturais que são múltiplos de 3 e um conjunto B contém todos os números naturais que são múltiplos de 5, então o conjunto dos números naturais que são múltiplos de 15 pode ser representado pela seguinte relação: A) 𝐴 ∪ 𝐵 B) 𝐴 + 𝐵 C) 𝐵 − 𝐴 D) 𝐴 ∩ 𝐵 15. (FGV 2022) Sobre dois conjuntos A e B sabe-se que:  A união de A e B tem 130 elementos.  A diferença B – A tem 50 elementos.  A diferença A – B tem 60 elementos. Sendo x o número de elementos de A e y o número de elementos de B, o valor de x + y é igual a A) 110 B) 120 C) 130 D) 140 E) 150 16. (IBFC 2017) Considerando os conjuntos finitos A = {0,1,2,3,4} e B = {1,2,3,4,5,6}, assinale a alternativa incorreta: A) Algum elemento de A é elemento de B. B) Há elemento de B que não é elemento de A. C) Há pelo menos um elemento de A que não é elemento de B D) Há, no mínimo, três elementos de B que não são de A. 17. (IBFC 2019) Considere os conjuntos finitos A = {0, 1, 3, 5, 6}, B = {-1, 0, 2, 4, 5, 6, 7} e C = {1, 2, 3, 4, 7, 8} e as afirmações: I. O total de elementos do conjunto que representa a união entre os conjuntos A e B é igual a 8. II. O total de elementos do conjunto que representa a intersecção entre os conjuntos A e C é igual a 3. III. O total de elementos do conjunto que representa a diferença entre os conjuntos A e B, nessa ordem, é igual a 2. IV. O total de elementos do conjunto que representa a diferença entre os conjuntos B e C, nessa ordem, é igual a 4. Assinale a alternativa que apresenta o total exato de afirmações corretas: A) 1 B) 2 PROF. ADERBAL SOARES – PREPARATÓRIO PMPB

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C) 3 D) 4 18. (IBFC 2017) Os 18 primeiros dias do mês de maio são os elementos de um conjunto A e os 17 últimos dias do mesmo mês são os elementos do conjunto B. Se os elementos do conjunto B – A representam os dias que um assistente administrativo participou de uma formação, então o total de dias de formação desse assistente foi: A) 28 B) 14 C) 13 D) 15 19. A) B) C) D) E)

(FGV 2006) Os conjuntos A, B e C satisfazem A - (B ∩ C) = (A - B) ∪ (A - C): nunca. se e somente se A = B = C. se e somente se B = C. se e somente se B ∩ C = ∅. sempre.

20. (FGV 2018) Em uma palestra estiveram presentes 60 pessoas. Dentre elas, 37 eram homens, 42 eram advogados(as) e, entre as mulheres, 8 não eram advogadas. Quantos homens presentes não eram advogados? A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10 21. (VUNESP 2019) Em uma caixa, estão 42 carrinhos e 25 bonecos. Os brinquedos nessa caixa ou são da cor verde ou são da cor amarela. O número de carrinhos amarelos na caixa é 11, e, no total, 47 brinquedos são verdes. O número de bonecos amarelos nessa caixa é A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12 22. (FCC 2019) Uma loja vende chaveiros em formato quadrado ou redondo, nas cores azul ou amarelo. Em um determinado mês, essa loja vendeu 27 chaveiros redondos. Sabendo que o total de chaveiros azuis vendidos nesse mês foi de 17, dos quais 15 são quadrados, e que 1/6 dos chaveiros amarelos vendidos são quadrados, é correto concluir que o total de chaveiros vendidos pela loja nesse mês foi de A) 51 B) 48 PROF. ADERBAL SOARES – PREPARATÓRIO PMPB

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C) 50 D) 49 E) 47 23. (VUNESP 2019) Observe o diagrama de conjuntos e considere que há elementos em todas as suas regiões.

A partir dessa disposição, é correto afirmar que A) há elemento de G que é também elemento de A e C. B) qualquer elemento que esteja em dois desses conjuntos, certamente pode estar em qualquer um desses sete conjuntos. C) qualquer elemento de G, que não esteja em E, certamente estará em A ou em B ou em C D) qualquer elemento que esteja em três desses conjuntos, certamente está em C e em D. E) há elemento de G que também é elemento de A, mas não é elemento de B. 24. (VUNESP 2023) Em um grupo de músicos há cantores, zabumbeiros e sanfoneiros. O diagrama lógico a seguir apresenta a distribuição desses músicos em relação às suas habilidades pessoais. Todas regiões do diagrama, incluindo as intersecções, têm representantes.

A partir das informações fornecidas pelo diagrama é correto afirmar que A) B) C) D) E)

qualquer cantor que é zabumbeiro é também sanfoneiro. há pelo menos um sanfoneiro que é cantor e não é zabumbeiro. os sanfoneiros cantores também são zabumbeiros. não há zabumbeiro que seja apenas zabumbeiro. os zabumbeiros cantores não são sanfoneiros.

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25. (CESPE – CEBRASPE 2023) Texto CB2A3-I Se estudo para concurso e vou bem nas provas, tiro boas notas. Se tiro boas notas, sou aprovado. Logo, sou aprovado Considerando que, com base no argumento apresentado no texto CB2A3-I, tenha sido elaborado um diagrama em que um retângulo representa o conjunto de todos os candidatos de concursos e dois balões (A e B) representam, respectivamente, o conjunto de candidatos que estudam para concursos e o conjunto de candidatos que vão bem nas provas, assinale a opção que mostra o diagrama em que a área mais escura representa corretamente a proposição “O candidato estuda para concurso e vai bem nas provas.”.

26. (CESPE – CEBRASPE) Texto CB1A3-I Todo animal é racional. O homem é um animal. Logo, o homem é racional. A partir do texto CB1A3-I, José elaborou diagramas lógicos, em que balões representados por A e B correspondem ao conjunto de seres que são animais e ao conjunto de seres que são racionais, respectivamente. Tendo como referência essa situação hipotética e o argumento apresentado no texto CB1A3-I, assinale a opção que apresenta um diagrama lógico que representa corretamente a proposição “Todo animal é racional.”.

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27. (IBFC 2023) Se o total de multas aplicadas por um órgão ambiental é o mesmo que o total de elementos da operação A – B, onde A = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8} e B = {3, 5, 6, 7, 9}, então o total de multas aplicadas foi: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 28. (FCC 2018) Dados os conjuntos A = {x ∈ N / 3 < x ≤ 9}, B = {y ∈ N / 6 ≤ y ≤ 11} e C = {z ∈ N / 4 < z < 10}, sabe-se que D = A ∪ (C ∩ B) é um conjunto com um número de elementos igual A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 29. (IBFC 2023) Um conjunto A possui 7 elementos distintos e um conjunto B possui 8 elementos distintos. Nessas circunstâncias é correto afirmar que: A) Os conjuntos A e B são disjuntos B) Se o conjunto A tiver 3 elementos em comum com o conjunto B, então a união entre A e B possui 18 elementos distintos C) Se o conjunto A tiver 5 elementos em comum com o conjunto B, então a união entre A e B possui 10 elementos distintos D) Se a intersecção entre os conjuntos A e B tiver 3 elementos, então a união entre A e B terá 15 elementos distintos E) Se a intersecção entre os conjuntos A e B for vazia, então A e B não são disjuntos 30. (CESPE – CEBRASPE 2023) Acerca da teoria dos conjuntos, julgue o próximo item. Para 3 conjuntos, A, B e C, não vazios, se A está contido em B e se C não contém B, então C também não contém A. (

) Certo

(

) Errado

31. (CESPE – CEBRASPE 2023) Considere-se que um grupo de 50 servidores de um tribunal tenha sido selecionado para realizar cursos de aperfeiçoamento e que cada pessoa desse grupo faça pelo menos um dos seguintes dois cursos: gestão de projetos e ciência de dados. Nessa situação hipotética 29 pessoas fizerem ambos os cursos e 37 pessoas fizerem pelo menos o curso de gestão de projetos, o número exato de pessoas que farão apenas o curso de ciência de dados é igual a A) 8 B) 33 C) 42 PROF. ADERBAL SOARES – PREPARATÓRIO PMPB

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D) 13 E) 21 32. (FGV 2023) Em um grupo de alunos que fez provas de Português e de Matemática, 14 foram reprovados em Português, 11 foram reprovados em Matemática, 15 foram aprovados em pelo menos uma dessas duas disciplinas e 13 foram aprovados em apenas uma dessas duas matérias. Nesse grupo, a quantidade de alunos aprovados em Matemática supera a quantidade de aprovados em Português em A) B) C) D) E)

3 unidades 4 unidades 5 unidades 6 unidades 7 unidades

33. (IDECAN 2023) No que diz respeitos às operações com conjuntos, marque a alternativa correta. A) (A – BC) – CC = A ∩ (B U C) B) (A – BC) – C = A U (B ∩ CC)C C) BC U CC = (B ∩ C)C D) (A – B) U (B – A) = A E) Se (A U B)C ⊂ C, então CC ⊂ A. 34. (FGV 2013) Seja A e B duas características de uma população, tais que: A = alta escolaridade, B = alta renda As características complementares seriam, respectivamente, Ac = baixa escolaridade, Bc = baixa renda em que o sobrescrito c representa a característica complementar. A expressão Pr(Ac ∩ Bc) significa que a probabilidade do indivíduo ter baixa escolaridade e baixa renda. Essa probabilidade pode ser igualmente expressa como: A) B) C) D) E)

Pr[(A ∪ B)] Pr[(A ∪ B)c] Pr[(A ∩ B)c] Pr[(A ∩ B)] Pr[(Ac ∩ B)]

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35. (FGV 2021) Com os elementos do conjunto C = {1, 2, 3, ..., 18, 19} devemos formar dois conjuntos A e B tais que: •A∪B=C •A∩B=∅ • Os elementos de A e de B têm mesma soma. O número de elementos de A é, no mínimo, igual a A) B) C) D) E)

5 6 7 8 9

36. (VUNESP 2018) De acordo com as leis de De Morgan, o complementar da união é igual a intersecção dos complementares. Assim, dado um conjunto X, seja XC o seu complementar em relação ao conjunto universo. Considerando V = {a, e, i, o, u} o conjunto universo, sejam os subconjuntos A = {a, e} e B = {o, u}. O conjunto AC ∩ BC é igual ao conjunto A) {i} B) {o} C) {o, i} D) {a, i} 37. (IBFC 2019) 15 pessoas responderam “sim” a duas perguntas de uma pesquisa, e 20 pelo menos uma vez “sim” às mesmas duas perguntas. O total de pessoas consultadas na pesquisa é de 40 pessoas. Assinale a alternativa que indica corretamente o número de pessoas que responderam “não” a pelo menos uma das perguntas. A) 10 B) 15 C) 20 D) 25

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[Princípio da Inclusão-Exclusão] 38. (VUNESP 2023) Uma enquete com 85 pessoas verificou se as pessoas entrevistadas acessavam o site A, ou acessavam o site B, ou acessavam esses dois sites, ou não acessavam esses sites. Do resultado sabe-se que 7 não acessavam esses sites, 41 acessavam o site A, e o site B era acessado por 13 pessoas a mais que acessavam o site A. O número de pessoas que acessavam apenas um desses sites é igual a A) 49 B) 53 C) 58 D) 61 E) 78 39. (IBFC 2019) Um supermercado realizou uma pesquisa sobre o consumo de arroz em sacos de 5kg na qual verificou que 40% dos clientes compravam o produto da marca A, 10% compravam da marca A e B, e 30% compravam da marca B. Assinale a alternativa que indica corretamente o espaço nas prateleiras que deve ser dedicado aos demais sacos de arroz de outras marcas caso se queira respeitar a proporção estatística do consumo verificada na pesquisa. A) B) C) D)

10% 20% 30% 40%

40. (CESPE – CEBRASPE 2023) Texto 1A3

A figura precedente apresenta um esquema da Praça dos Três Poderes, em Brasília – DF, na qual há 8 pontos turísticos de interesse: o Congresso Nacional, o Palácio do Planalto, o Supremo Tribunal Federal, o Museu Histórico de Brasília, o Espaço Lúcio Costa, a estátua Dois Candangos, o Pavilhão Nacional e o Panteão da Pátria. Cada pessoa que vai à Praça dos Três Poderes pode criar seu próprio itinerário de visitação a esses 8 pontos turísticos. Considerando-se, a partir do texto 1A3, que, em um dia, 512 pessoas visitem o Congresso Nacional e 390 não visitem o Museu Histórico de Brasília e, ainda, que 190 pessoas visitem esses dois pontos turísticos, é correto afirmar que o número de pessoas que não visitem nem o Congresso Nacional nem o Museu Histórico de Brasília está entre

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A) B) C) D)

40 e 60 61 e 80 81 e 100 101 e 150

41. (FCC 2019) Em uma determinada secretaria municipal no Brasil, do total de 49 servidores, há 21 deles que não falam nenhum idioma estrangeiro; os demais falam inglês ou espanhol ou ambos. Se 13 falam espanhol e 22, inglês, então o número de servidores que falam apenas espanhol é A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 42. (FGV 2021) Em um grupo de esportistas, 1/3 deles só gostam de vôlei e, dos demais, 2/5 gostam de vôlei e também de basquete. Todos os esportistas desse grupo gostam de, pelo menos, um desses dois esportes. Em relação ao total de membros desse grupo, a fração daqueles que só gostam de basquete é: A) B) C) D) E)

2/3 2/5 3/5 4/15 1/15

43. (VUNESP 2023) A figura a seguir representa um diagrama lógico composto por 4 conjuntos. Nesse diagrama, há regiões de intersecção de 3 e apenas 3 conjuntos, regiões de intersecção de 2 e apenas 2 conjuntos e regiões que são de apenas 1 conjunto.

Nesse diagrama lógico, cada região que possui elementos de apenas 1 conjunto possui 24 elementos, e em cada região que se caracteriza por ser intersecção de 3 e apenas 3 conjuntos possui 40 elementos. Sabe-se que, no total, são 416 elementos que fazem parte desse diagrama e que o número de elementos que pertencem a cada região, que se caracteriza por ser intersecção de 2 e apenas 2 conjuntos, é igual entre si. E esse número é A) B) C) D) E)

40 36 48 60 80

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44. (INSTITUTO CONSULPLAN 2023) Em uma turma com 50 alunos do ensino médio, sabe-se que: • Todos os alunos que gostam de matemática também gostam de física; • Nenhum aluno que gosta de português gosta de matemática; • 38 alunos gostam de física; • 19 alunos gostam de português; e, • 10 alunos gostam apenas de física. Considerando que, nessa turma, os alunos gostam de pelo menos uma das disciplinas citadas, o número de alunos que gostam de matemática é: A) B) C) D)

18 19 20 21

45. (FGV 2022) Em um grupo de 45 soldados, 27 gostam de marchar e 38 gostam de praticar tiro ao alvo. Sejam: X: o número de soldados desse grupo que gostam de marchar e também de praticar tiro ao alvo; Y: o número de soldados desse grupo que não gostam nem de marchar nem de praticar tiro ao alvo. Nesse caso, é correto afirmar que A) B) C) D) E)

X é no máximo 20. Y é no mínimo 7. quando X = 23, tem-se Y = 7. quando Y = 7, tem-se X = 20. quando Y = 5, tem-se X = 25.

46. (FGV 2022) Uma empresa possui 32 funcionários que trabalham nos setores A, B e C. Sabese que 20 funcionários trabalham no setor A, 14 funcionários trabalham no setor B e 9 funcionários trabalham no setor C. Há funcionários que trabalham simultaneamente nos setores A e B, há funcionários que trabalham simultaneamente nos setores A e C, mas nenhum funcionário trabalha simultaneamente nos setores B e C. O número de funcionários que trabalha apenas no setor A é igual a A) B) C) D) E)

4 5 6 8 9

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47. (FCC 2019) Em um censo realizado em uma cidade em que são consumidos somente os sabonetes de marca X, Y e Z, verifica-se que: I. 40% consomem X. II. 40% consomem Y. III. 47% consomem Z. IV. 15% consomem X e Y. V. 5% consomem X e Z. VI. 10% consomem Y e Z. VII. qualquer elemento da população consome pelo menos uma marca de sabonete. Então, escolhendo aleatoriamente um elemento dessa população, a probabilidade de ele consumir uma e somente uma marca de sabonete é igual a A) 80%. B) 76%. C) 79%. D) 70%. E) 60% 48. (FGV 2022) Em um grupo de 50 pessoas, 27 gostam de filmes de suspense e 32 gostam de filmes de terror. Com relação a essas 50 pessoas, é correto concluir que A) no máximo 18 delas não gostam de filmes de suspense nem de filmes de terror B) exatamente 9 delas gostam tanto de filmes de suspense como de filmes de terror C) exatamente 18 delas só gostam de filmes de suspense. D) exatamente 23 delas só gostam de filmes de terror. E) no mínimo 18 delas gostam tanto de filmes de suspense como de filmes de terror 49. (CESPE – CEBRASPE 2013) Considere que, em um conjunto U de homens, está indicado por A o conjunto daqueles que têm mais de 1,85 m de altura e por B, o conjunto dos que pesam mais de 85 kg. Considere, ainda, uma empresa de segurança verificou que havia erro no seguinte trecho de um anúncio publicado: “Contratam-se homens com mais de 1,85 m de altura ou com mais de 85 kg”. Assim, fez a devida correção e publicou um segundo anúncio com a seguinte forma: “Contratam-se homens com mais de 1,85 m e mais de 85 kg”. Considerando que o conjunto U tenha 32 elementos, A tenha 20 elementos e B tenha 18 elementos, assinale a opção em que é apresentado o número máximo de homens que não poderiam satisfazer aos requisitos de nenhum anúncio. A) 32 B) 2 C) 6 D) 12 E) 14

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50. (FCC 2014) Em uma grande empresa, 50% dos empregados são assinantes da revista X, 40% são assinantes da revista Y e 60% são assinantes da revista Z. Sabe-se que 20% dos empregados assinam as revistas X e Y, 30% assinam as revistas X e Z, 20% assinam as revistas Y e Z e 10% não assinam nenhuma das revistas. Considerando que existam somente as revistas X, Y e Z, obtém-se que a porcentagem dos empregados que assinam mais que uma revista é igual a A) 80%. B) 40%. C) 60%. D) 50%. E) 70%.

GABARITO 1. D 2. D 3. D 4. C 5. A 6. B 7. C 8. A 9. C 10. B

11. CERTO 12. E 13. A 14. D 15. E 16. D 17. B 18. C 19. E 20. E

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21. B 22. E 23. B 24. C 25. D 26. C 27. C 28. E 29. C 30. ERRADO

31. D 32. A 33. C 34. B 35. B 36. A 37. D 38. D 39. D 40. B

41. C 42. B 43. C 44. D 45. E 46. E 47. B 48. A 49. D 50. D

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