RIOS DE TINTA MATEMÁTICAS
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MATEMÁTICAS 1 Secundaria
Carlos Armando Cuevas Vallejo Yani Y ani Be Beta tanc ncour ourtt Gon Gonza zale lezz Ma. del Socorro Cervantes Estrada Carolina Rubí Real Ortega Arturo Rodríguez Espinosa
Dirección general
Autores
Jorge Velasco y Félix
Carlos Armando Cuevas Vallejo
Dirección editorial
Yani Betancourt Gonzalez Ma. del Socorro Cervantes Estrada Carolina Rubí Real Ortega Arturo Rodríguez Espinosa
Ma. Georgina Adame Moreno Edición
Jessica Martín del Campo Novoa Apoyo editorial
Edurne Uriarte Santillán Manuel Edmundo Meza Coriche Revisión y corrección técnica
Jorge Alberto Limón Jiménez Sonia Ibarra Martínez Diseño y portada
S. Gabriela Badillo Hernández Formación
Black Blue, Impresión y Diseño, S.A. de C.V. Gabriela Ortiz Nava
Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav)
Matemáticas 1
Primera edición Ríos de Tinta, 2012 D.R.© Ríos de Tinta S.A. de C.V. ISBN: 978-607-758 978-607-7586-26-5 6-26-5 Morelos 16, piso 5. Centro C.P.. 06040, México, D. F. C.P Teléono (55) 51404900, ext. 31957 www.riosdetinta.com Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Registro número: 3483.
Investigación iconográfca
José Francisco Corona Durán Gabriela Ortiz Nava Colaboradores Corrección de estilo
David Gutiérrez Gómez Víctor Rubén Caro Hernández Lecturas de producción
Carlos Sánchez Ilustraciones
Tikiliki Ilustración: David Octavio Yáñez Rivas Samantha Gasca Méndez Luxola arte: Carlos Ortega Contreras Ma. del Carmen Gutiérrez Cornejo Alejandro Herrerías Silva Nora Millán Jaramillo Francisco de Anda
Matemáticas 1
Se terminó de imprimir en mayo de 2012, en Edamsa, Av. Hidalgo 111, Fracc. San Nicolás Tolentino, C.P. 09850, México, D.F.
Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el otocopiado, sin autorización escrita del editor. Impreso en México. Agradecimiento
A los archivos otográfcos de los museos y las entidades públicas que nos han proporcionado material iconográfco. La editorial está a disposición de los poseedores de los derechos eventuales de uentes bibliográfcas e iconográfcas no identifcadas.
Carlos Armando Cuevas Vallejo Centro de Investigaciones y Estudios Avanzados del Instituto Politécnico Nacional (Cinvestav)
Yani Betancourt Gonzalez • Ma. del Socorro Cervantes Estrada • Carolina Rubí Real Ortega • Arturo Rodríguez Espinosa
Palabras dirigidas a los
ALUMNOS E
l libro que tienes entre tus manos tiene como propósito presentarte herramientas flexibles y plantearte problemas matemáticos para que construyas y desarrolles conocimientos que te ayudarán en tu vida cotidiana y en tus cursos posteriores de Matemáticas. Cada contenido considera aspectos que tienen que ver con la reflexión, el análisis, la ormulación de preguntas y la búsqueda de respuestas. Es posible que te hayas preguntado alguna vez: ¿para qué son útiles las matemáticas? ¿Se pueden utilizar en la vida cotidiana? A lo largo del curso comprobarás que las matemáticas son una herramienta undamental para resolver una gran cantidad de inquietudes y dudas. Desde hace miles de años los seres humanos hemos buscado respuesta a las interrogantes que nos permitan explicarnos el porqué de las cosas, de nosotros mismos y del universo; las matemáticas nos han brindado algunas respuestas, quizá algunas de ellas sean las más certeras. Por otra parte, la acultad de pensar y discernir es exclusiva del ser humano, por eso son
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importantes las matemáticas, pues te ayudan a estructurar el pensamiento y a establecer relaciones lógicas, esenciales para el razonamiento, undamentadas en ciras y cálculos. Las actividades de este libro te apoyarán en el desarrollo de tus competencias matemáticas, pues plantearás y resolverás dierentes tipos de problemas, interpretarás y compartirás inormación matemática, explicarás y justifcarás soluciones a situaciones relacionadas con la vida cotidiana, utilizando órmulas y algoritmos matemáticos. Tendrás, además, elementos para distinguir e interpretar la inormación que diariamente recibes a través de los medios de comunicación y las tecnologías digitales (calculadoras, teléonos y computadoras), pues se trata de herramientas que te ayudan a realizar cálculos y a almacenar gran cantidad de inormación. Cuando trabajes con tu libro, recuerda que si bien el aprendizaje es individual, tanto tu maestro como tus compañeros estarán a tu lado para compartir, reflexionar, cuestionar y hacer que tus logros sean cada vez mayores. La experiencia para resolver con prontitud y efcacia problemas matemáticos es una habilidad que irás adquiriendo, para lo cual la reflexión y la práctica constantes serán los elementos que te permitirán desarrollar tus competencias en esta materia.
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Palabras dirigidas a los
PROFESORES L
ograr que nuestros alumnos se interesen y aprecien esta asignatura es un trabajo cotidiano y permanente, que requiere de todas y cada una de las herramientas disponibles. Esta obra es una propuesta que contribuye a despertar y ortalecer el interés de sus alumnos en las matemáticas, pues incorpora ejemplos para modelar situaciones en contextos acordes a la realidad, además de orecer recursos que permitirán llevar a sus alumnos a erigir su construcción de conocimiento de las matemáticas de una manera amena, práctica y clara. A lo largo de la obra pueden encontrar vínculos con otras asignaturas, con la fnalidad de promover que sus estudiantes apliquen y utilicen los aprendizajes logrados en cada una de ellas, para que, de esta manera, amplíen su acción social y comunicativa y enriquezcan su comprensión del mundo y de la sociedad. El aprendizaje de las matemáticas requiere de un trabajo sistemático en el que su intervención y experiencia como docentes es esencial. A su cargo está el diseñar y aplicar actividades didácticas que avorezcan la adquisición de los conocimientos, así como el desarrollo de 6
las habilidades y actitudes necesarias para que los alumnos comprendan que las matemáticas son una necesidad, no una imposición. En Matemáticas 1 encontrarán algunas sugerencias que los orientarán para aprovechar las tecnologías de la inormación y la comunicación en el desarrollo de la materia. Con seguridad, a partir de éstas podrán ampliar y proponer actividades nuevas y dierentes. Cada eje temático que se encuentra en los cinco bloques tiene como propósito coadyuvar al desarrollo de las competencias matemáticas que sus alumnos deben lograr: 1. Resolver problemas de manera autónoma. 2. Comunicar inormación matemática. 3. Validar procedimientos y resultados. 4. Manejar técnicas efcientemente. Es conveniente que compartan con los alumnos sus propias actividades de lectura y resolución de problemas, y que aporten, al igual que ellos, sus opiniones y experiencias en las actividades cotidianas, ya que el ejemplo que pueden darles representa una valiosa uente de enseñanza, que se complementa con las actividades didácticas que realicen para la consecución de los aprendizajes.
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PARA TRABAJAR CON TU LIBRO Es importante que analices su estructura y que sepas que se divide en cinco bloques y cada bloque, a su vez, en lecciones que se organizan de la siguiente manera:
Aprendizajes esperados
Número de bloque
Temas
Ejes
Cada lección comienza con un texto para introducir el tema que se estudiará.
En la sección Para comenzar se presenta una actividad breve que te permite recordar algunos conocimientos y reflexionar sobre posibles maneras de resolver un problema. Las lecciones están conormadas por actividades que te permiten practicar y ormalizar el conocimiento. 8
También cuentas con una sección Para resolver en la que se proponen ejercicios con los que reflexionarás sobre los temas estudiados. Por último, la sección Para terminar es una actividad que reúne en una situación problemática lo que estudiaste durante la lección.
Además, a lo largo de cada bloque encontrarás las siguientes secciones:
Para saber más
Las curiosidades de esta sección son un apoyo para ampliar tus conocimientos. Esta sección te orece inormación adicional sobre los temas de cada lección.
Reflexiona
Son actividades en las que reflexionarás y responderás algunas preguntas acerca de los temas estudiados. Es importante que se resuelvan todas, pues te ayudarán a saber si has aprendido lo que necesitas para seguir avanzando.
Tarea en casa
Esta sección contiene ejercicios y problemas para que sigas ejercitando los temas de las lecciones en casa.
TIC
En este espacio encontrarás sugerencias para hacer ejercicios, consultar lecturas en línea y diversas uentes de inormación en Internet.
Reto
Son actividades con las que demostrarás qué tanto has aprendido en algunas lecciones.
Lecturalia
Aquí encontrarás sugerencias de lecturas que puedes aprovechar para desarrollar tus conocimientos y tu imaginación científca.
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Defniciones
Historia de las palabras
Son defniciones o conceptos en los que se resumen algunos temas. Son una guía y acompañamiento, ya que te ayudarán a reorzar los contenidos que ya construiste a través de la reflexión.
Cada palabra tiene un origen. Con seguridad, te sorprenderás al conocer algunas de las historias sobre la etimología y evolución de las palabras que esta sección orece.
Matemáticas históricas
Esta sección contiene inormación acerca de personajes, acontecimientos y descubrimientos relevantes en la historia de las matemáticas.
Aorismos
Se trata de una cápsula en la que encontrarás rases relacionadas con las matemáticas y el pensamiento científco, de flósoos, músicos, arquitectos. Esta inormación te ayudará a comprender mejor el pensamiento matemático y su relación con otros campos de conocimiento.
Iconos
Antes de realizar las actividades, guíate con los siguientes iconos; debes saber si trabajarás de manera individual, en parejas, en equipo o en grupo.
Individual Parejas
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Equipo Grupo
Evaluación
Al fnal de cada bloque podrás, con la ayuda de tu proesor, comprobar qué has aprendido y en qué debes mejorar.
ÍNDICE BLOQUE 1
Sucesiones fgurativas Sucesiones con progresión geométrica
14
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
LECCIÓN 1
Conversión de fracciones decimales y no decimales a su escritura decimal y viceversa 16 Fracciones y decimales en una repartición Fracciones decimales De número decimal a racción
17 17 18
Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones 20
21 22 23
LECCIÓN 3
Resolución y planteamiento de problemas que impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones 25 Problemas con suma y resta de racciones Métodos para sumar o restar dos racciones con distinto denominador
34
LECCIÓN 5
Explicación del significado de fórmulas geométricas, al considerar las literales como números generales con los que es posible operar 38 Fórmula para calcular el perímetro ¿Cómo se escriben las órmulas? Letras que representan números en las órmulas
39 40
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
26 27
Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el uso de juego de geometría
44
Trazo de triángulos Triángulos a la medida Trazo de cuadriláteros Trazo de rombos Trazo de trapecios
45 47 48 51 52
LECCIÓN 7
Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo Mediatrices Bisectrices Medianas de los triángulos Alturas de los triángulos
53
54 57 59 60
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
LECCIÓN 8
LECCIÓN 4
Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones
30
Sucesiones con progresión aritmética
31
LECCIÓN 9
Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles
67
Registro de resultados con juegos de azar
67
EVALUACIÓN
70
38
LECCIÓN 6
LECCIÓN 2
¿Todos los números se pueden ubicar en la recta numérica? La recta numérica Números decimales en la recta numérica
32
Resolución de problemas de reparto proporcional
63
Problemas de reparto proporcional
63
BLOQUE 2
72
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
LECCIÓN 1
Formulación de criterios de divisibilidad entre 2, 3 y 5. Distinción entre números primos y compuestos
74
Números divisibles y no divisibles Números primos
75 79
LECCIÓN 2
Resolución de problemas que impliquen el cálculo del máximo común divisor y el mínimo común múltiplo 82 Problemas y actores primos: m. c. d. y m. c. m. 83
LECCIÓN 3
Resolución de problemas aditivos en los que se combinan números fraccionarios y decimales en distintos contextos
88
Problemas aditivos con racciones y decimales
89
LECCIÓN 4
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división con números fraccionarios en distintos contextos
92
Problemas con multiplicación y división de racciones 93
11
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
LECCIÓN 5
Resolución de problemas geométricos que impliquen el uso de las propiedades de la mediatriz de un segmento y la bisectriz de un ángulo Mediatrices y bisectrices de algunas fguras geométricas
97
98
LECCIÓN 6
Justificación de las fórmulas de perímetro y área de polígonos regulares, con apoyo de la construcción y transformación de figuras 105 Perímetro de cuadrados y rectángulos Área de triángulos Perímetro y área de polígonos Área del trapecio y el paralelogramo
106 107 109 110
MANEJO DE LA INFORMACIÓN Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo "valor faltante" en diversos contextos, con factores constantes fraccionarios 113 Magnitudes y proporciones 114 Magnitudes directamente proporcionales 116
120
BLOQUE 3 122 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
LECCIÓN 1
Resolución de problemas que impliquen la multiplicación y división de números decimales en distintos contextos utilizando el algoritmo convencional 124
12
125 126
El uso de la escala para trazar mapas Reducción a escala de imágenes
153 153
LECCIÓN 6
129
Anticipación de resultados de una experiencia aleatoria, su verificación al realizar el experimento y su registro en una tabla de frecuencias 158
130
Registro de recuencias
127
LECCIÓN 2
Resolución de problemas que impliquen el planteamiento y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b y ax + b = c , utilizando las propiedades de la igualdad, con a, b, c números naturales, decimales o fracciones 131 ¿Qué representan las letras? 132 Ecuación de primer grado 134
159
LECCIÓN 7
Lectura y comunicación de información mediante el uso de tablas de frecuencia absoluta y relativa 163 Registro de inormación en una tabla de recuencias Frecuencia absoluta Frecuencia relativa
164 165 168
EVALUACIÓN
170
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
LECCIÓN 7
EVALUACIÓN
Multiplicación de un número natural por un número decimal Multiplicación de dos números decimales División de un número natural por un número decimal División de un número decimal por un número natural División de un número decimal por otro decimal
LECCIÓN 3
Construcción de polígonos regulares a partir de distintas informacioneS. Análisis de la relación entre los elementos de la circunferencia y el polígono inscrito en ella 138 Construcción de polígonos
139
LECCIÓN 4
Resolución de problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de polígonos regulares Perímetro de un polígono regular Área de un polígono regular
146
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
LECCIÓN 1
Planteamiento y resolución de problemas que impliquen la utilización de números enteros, fraccionarios o decimales positivos y negativos 174 Números positivos y negativos
175
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA 147 148
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
LECCIÓN 5
BLOQUE 4 172
Formulación de explicaciones sobre el efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas 152
LECCIÓN 2
Construcción de círculos a partir de diferentes datos o que cumplan condiciones dadas Construcción de círculos Cuerdas y circunerencias
178
179 184
LECCIÓN 3
Justificación de la fórmula para calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo Explicitación del número (Pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro 188 ¿Cómo calcular la medida de una circunerencia? Cálculo de las medidas de un círculo
189 191
EVALUACIÓN
216
BLOQUE 5 218 SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO Resolución de problemas que implican el uso de sumas y restas de números enteros 220 Operaciones con enteros positivos y negativos
LECCIÓN 4
Aplicación de la regla de tres
213 214
LECCIÓN 1
MANEJO DE LA INFORMACIÓN Análisis de la regla de tres, empleando valores enteros o fraccionarios
Gráfcas circulares Gráfcas de barras
195
196
LECCIÓN 5
221
LECCIÓN 2
Uso de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas 227
Análisis de los efectos del factor inverso en una relación de proporcionalidad, en particular en una reproducción a escala 199
Operaciones con cantidades muy grandes o muy pequeñas 228 Operaciones con notación científca 229
Reproducción a escala Factor inverso de proporcionalidad
LECCIÓN 3
200 202
LECCIÓN 6
Resolución de problemas de conteo mediante diversos procedimientos. Búsqueda de recursos para verificar los resultados 206 Problemas de conteo
206
LECCIÓN 7
Lectura de información representada en gráficas de barras y circulares. Comunicación de información proveniente de estudios sencillos, eligiendo la representación gráfica más adecuada 211 Representación gráfca de la inormación
212
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
LECCIÓN 5
Uso de las fórmulas para calcular el perímetro y el área del círculo en la resolución de problemas
249
Problemas: cálculo del perímetro y el área de círculos
250
MANEJO DE LA INFORMACIÓN
LECCIÓN 6
Resolución de problemas de proporcionalidad múltiple
252
Problemas 253 La regla de tres compuesta 255
EVALUACIÓN ANEXOS
258 260
BIBLIOGRAFÍA PARA EL ALUMNO
262
BIBLIOGRAFÍA PARA EL PROFESOR
263
Resolución de problemas que impliquen el cálculo de la raíz cuadrada y la potencia de exponente natural de números naturales y decimales 234 Volumen expresado como potencia Base y exponente Raíz cuadrada por aproximaciones sucesivas
235 236 237
LECCIÓN 4
Obtención de la regla general (en lenguaje algebraico) de una sucesión con progresión aritmética 241 Sucesión con progresión aritmética Término general de una sucesión con progresión aritmética
242 246 13
1
Aprendizajes esperados Durante este bloque serás capaz de: Convertir números fraccionarios a decimales y viceversa. Conocer y utilizar las convenciones para representar números fraccionarios y decimales en la recta numérica. Representar sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada y viceversa.
E U Q O L B
TEMA
SUBTEMA
EJE: SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO 1.1 Conversión de fracciones decimales y no decimales
1
2
3
a su escritura decimal y viceversa.
Números y sistemas de numeración
1.2 Representación de números fraccionarios y decimales en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.
1.3 Resolución y planteamiento de problemas que
Problemas aditivos
impliquen más de una operación de suma y resta de fracciones.
1.4 Construcción de sucesiones de números o de figuras a partir de una regla dada en lenguaje común. Formulación en lenguaje común de expresiones generales que definen las reglas de sucesiones con progresión aritmética o geométrica, de números y de figuras.
4
Patrones y ecuaciones
1.5 Explicación del significado de fórmulas geomé-
5
tricas, al considerar a las literales como números generales con los que es posible operar.
EJE: FORMA, ESPACIO Y MEDIDA 1.6 Trazo de triángulos y cuadriláteros mediante el
6 7
8
9
uso del juego de geometría.
Figuras y cuerpos
1.7 Trazo y análisis de las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.
EJE: MANEJO DE LA INFORMACIÓN Proporcionalidad y funciones Nociones de probabilidad
1.8 Resolución de problemas de reparto proporcional.
1.9 Identificación y práctica de juegos de azar sencillos y registro de los resultados. Elección de estrategias en función del análisis de resultados posibles.
EVALUACIÓN
14
La arquitectura y las matemáticas están íntimamente ligadas; por ejemplo, en el diseño y construcción de un rascacielos se utilizan patrones y proporciones, y cada parte de la estructura representa una fracción respecto a la totalidad del edificio. Si el edificio Si el edificio de lade figura la figura consta consta de nueve de nueve secciones secciones y en cada y en cada sección sección hay cinco hay cinco pisos,pisos, ¿se podría ¿se podría decirdecir qué fracción qué fracción representa del cada piso respecto edificio representa a cada cada sección? piso? ¿Y con respecto a todo el edificio?
BLOQUE 1 • 15
O C I A Y R B E O C I G L R É A O M T U N E N I O M D I A T S N N E E S P
LECCIÓN 1 CONVERSIÓN DE FRACCIONES DECIMALES Y NO DECIMALES A SU ESCRITURA DECIMAL Y VICEVERSA
S
i compramos un envase de jugo de 34 de litro, ¿es posible verter esa cantidad de líquido en tres frascos de 225 mililitros cada uno? ¿Quedará jugo en el envase original o se podrá vaciar todo? Si esto último fuera posible, ¿los tres frascos quedarían al ras o habría espacio para un poco más de jugo? Es posible que en ocasiones te enfrentes a problemas similares. Este tipo de preguntas justifican la necesidad de conocer que existen diferentes maneras de representar una fracción, pues 225 mililitros representan también una fracción de un litro, y esto nos conduce a un nuevo problema: si las formas de representación no son compatibles entre sí para efectuar sumas y restas, necesariamente debemos aprender a convertir una forma de representación a la otra y viceversa. En esta lección aprenderás a efectuar la conversión entre ambas formas de expresar una fracción.
PARA COMENZAR
Lee la siguiente situación y coméntala con tus compañeros.
La señora Lupita hizo una lista de las frutas y verduras que necesita comprar en el mercado. Sin embargo, como tiene una lesión en el hombro derecho, no puede cargar más de cuatro kilogramos, así que debe pensar muy bien antes de comprar, para que la mercancía no rebase esta cantidad y no ponga en riesgo su salud.
LI ST A
3.5 k g d e j i to mat e C uat ro k i l ogr amos d e nar an j as 1 21 k g d e c al ab ac i ta s D os k i lo gr amos d e z anahor i as 4 k g d e p ap a 1 4 k g d e a j o Me di o k i l ogr amo d e aguac at e 2 21 k g d e t omat e v e rd e
Responde las preguntas. a. Si la señora Lupita desea saber cuánto pesarán todas sus compras, ¿qué necesita hacer? b. ¿Cómo puede representar la señora Lupita medio kilogramo en fracción y en decimal? c. La señora Lupita compra 2 1 kg de tomate verde y se da cuenta que requiere de 2 3.5 kg para su guiso. ¿Cuánto tomate más tiene que comprar? d. De acuerdo con la lista, ¿de cuántas formas distintas se representa un número? 1 e. ¿Cuánto pagaría por 3 kg de jitomate si cada kilogramo cuesta 15 pesos? 2 f. ¿Qué propósito tiene que expresar una cantidad como fracción? Con la guía de tu profesor comparte las respuestas con tus compañeros.
16
NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Fracciones y decimales en una repartición Es importante conocer y reflexionar acerca de las diversas representaciones de los números, como los que aparecen en la lista de la señora Lupita.
REFLEXIONA
Para poder sumar, multiplicar o restar números, éstos deben estar en una misma representación, ¿cuál? Registra tus ideas y coméntalas con el grupo para llegar a un acuerdo. Con la guía de su profesor lleguen a una conclusión.
Para operar con los números se requiere que estén en una representación apropiada. Copia en tu cuaderno la tabla obtenida de la lista de la señora Lupita y completa con las representaciones equivalentes de cada número. Palabras
División
Una fracción es un cociente formado por dos números enteros: un denominador y un numerador. El denominador es el número de partes en las que se divide la unidad, mientras que el numerador el número de partes que se toman de ella.
Decimal
Fracción
3.5 Cuatro
1 4
Dos 4.0 Un medio Peso total=
En la lista de compras de la señora Lupita aparecen algunas cantidades en forma de fracción: En el caso de los ajos que compró la señora Lupita, ¿qué relación existe entre el numerador y el denominador? b. ¿Qué representa el numerador? c. ¿Qué representa el denominador? a.
La señora Lupita también compró una bolsa de canicas para sus nietos, hizo algunas cuentas y concluyó que debía repartirlas así: a Manuel le tocan 2, a Juan 13 y a Roberto las sobrantes. 38
a. b. c.
Cuando un reparto se escribe como fracción, se tiene en el numerador lo que se reparte y en el denominador el total.
En total, ¿cuántas canicas compró la señora Lupita? ¿Cuántas canicas recibió Roberto? Expresa en forma de fracción la parte de las canicas que le tocaron a Roberto.
Comparte tus respuestas con el resto de los equipos, y, con la guía del profesor lleguen a una conclusión. BLOQUE 1 • 17
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Fracciones decimales Con la guía de su profesor, analicen de nuevo el problema de la señora lupita y respondan: ¿Cuáles son fracciones decimales? 3 4 3 6 De las fracciones 10 , 5 , 100 , 9 , ¿cuáles son Las fracciones decimales son aquéfracciones decimales y por qué? llas cuyo denominador es 10 o un múltiplo de ¿Cómo distingues a una fracción decimal de otras 10; por ejemplo, las del problema de la página fracciones? anterior: 6 . 20
En una tienda de materias primas, donde venden fruta seca, cacahuates, pepitas y otras semillas, un muchacho le pide al tendero 1 kg de semillas de girasol; pero su báscula sólo 4 puede pesar gramos. ¿Qué operación tendrá que realizar para poder calcular el peso exacto de semillas de girasol que le pidieron? Expresa tu respuesta en número decimal. Con la guía de tu profesor comparte tus respuestas con un compañero; si son diferentes, comparen las operaciones realizadas y, corrijan los errores para llegar a un resultado común.
De número decimal a fracción El sistema de numeración decimal es posicional; esto quiere decir que la posición que una cifra ocupa en una s s s s s s s e a a e a l a d e m m a i r n n cantidad determina su valor. Para leer números decimales, a t e e a . m s i s l d l n c i i é i t é debes identificar primero la posición que ocupa cada l c e i n e n m e c d u e m d c cifra en la cantidad después del entero a partir del punto decimal. En el ejemplo de las semillas, la fracción equivalente es . 1 1 4 , es decir: 0.25 = 4 . ¿Cómo piensas que se llegó a ese 4 5 6 7 . 6 2 1 resultado? ¿Qué número es múltiplo de 25 y de 100? ¿Se puede decir que el muchacho que compró semillas de girasol pidió un cuarto de kilogramo?, ¿por qué? ¿Cuándo la división es TIC exacta?, ¿cuándo no lo es? Con tu calculadora, haz las operaciones siguientes para:
1. Comprobar que 0.12 = 12 . 99
2. Convertir, las siguientes fracciones a números decimales. 98 = 23 = 234 33 = 2456
18
745 496 = 7295
Números decimales aproximados Mariana acompaña a su mamá al supermercado; al pagar, la cajera le pregunta a su mamá si le gustaría que su cuenta se redondeara, la cantidad total a pagar era de $245.50 ¿Qué cantidad pagó la mamá de Mariana si aceptó redondear? ¿Qué procedimiento se utiliza para redondear?
En la siguiente tabla se muestran algunas cantidades que se desea redondear a tres cifras significativas. Utiliza tu calculadora científica para llevar a cabo la actividad. a. b. c.
Oprime tres veces la tecla MOD Oprime la tecla 1 Oprime la tecla 3 (este número indica cuántas cifras significativas tomará la calculadora)
Ahora ingresa la primer cantidad, la tecla con el signo “=”, escribe el resultado obtenido en la columna de redondeo de la tabla de la derecha: Analiza cada uno de los números y su redondeo, ¿qué característica debe tener la cuarta cifra para que la tercera aumente su valor? ¿Qué característica debe tener la cuarta cifra para que la tercera cifra no aumente su valor? Utiliza las respuestas anteriores para completar la tabla de la derecha Con ayuda de tu profesor compartan sus respuestas con el resto de sus compañeros y de manera grupal obtengan el procedimiento para llevar a cabo el redondeo. En la actividad anterior se realizó el redondeo de cifras, ahora analizaremos cómo realizar el truncamiento de cifras, para ello es necesario que analices la tabla que se presenta y contestes las preguntas. ¿Es importante el valor de la tercera cifra para poder truncar? ¿Qué número obtienes al truncar a cuatro dígitos el número 3.14159265?
Números
4.2539 4.2528 4.2517 4.2506 4.2555 4.2534 4.2563 4.2572 4.2591 4.2530
Números
Redondeo a tres cifras significativas
4.254
Redondeo a dos cifras significativas
3.141 2.345 1.250 0.267
cantidad
Cantidad truncada dos cifras
1.2569 2.368027 0.32169 0.059
1.25 2.36 0.32 0.05
Con ayuda de tu profesor comparte tus respuestas con el resto de tus compañeros y de manera grupal obtengan el procedimiento para truncar de cifras:
PARA TERMINAR
Ernesto tiene un puesto de frutas. Una mañana le pidieron varios platos de fruta, así que compró 3 1 3 4 kilogramos de piña, 5 4 de sandía; 2 kilos y medio de fresa y 2.6 kilogramos de trocitos de melón. El tendero le preguntó si quería una
bolsa o dos y le advirtió que cada bolsa soporta 13.8 kilogramos. ¿Cuántas bolsas necesita Ernesto?, ¿cómo se puede determinar esto? ¿Cómo se podría representar con una fracción lo que se puede cargar en una bolsa?
BLOQUE 1 • 19
O C I A Y R B E O C I G L R É A O M T U N E N I O M D I A T S N N E E S P
LECCIÓN 2 REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS FRACCIONARIOS Y DECIMALES EN LA RECTA NUMÉRICA A PARTIR DE DISTINTAS INFORMACIONES Material: Dos metros de papel estraza, una cartulina, regla, color rojo y cinta métrica.
E
l comercio es la actividad económica más importante de nuestro país, según el Censo Económico 2009 realizado por el inegi; los principales productos que comercializamos son los que produce el campo: frutas, verduras y semillas. Si vas a un mercado, tianguis o tienda de autoservicio podrás notar que estos productos se venden según su peso, por ejemplo, dos kilogramos de manzana, un kilogramo de sandía o 100 gramos de nuez. Sin embargo, en ocasiones, las personas desean más de un kilogramo de sandía, un kilogramo y medio, por ejemplo, ¿a cuántas sandías equivale? La respuesta dependerá de cuánto pese cada sandía; en kilogramo y medio quizás sean 31 de sandía. El estudio de esta lección, te permitirá ubicar las fracciones decimales en una recta numérica. PARA COMENZAR
Observa los siguientes instrumentos de medición y después responde las preguntas. a. b.
c. d.
e.
f.
¿Qué necesitas para conocer tu peso? ¿Cómo averiguarías cuál es tu estatura? ¿El instrumento que utilizan los albañiles para medir paredes y los carpinteros para diseñar muebles es el mismo? ¿Qué tienen en común los instrumentos de medida que aparecen a continuación? ¿Cuál consideras que es el elemento matemático común en todos los instrumentos de medición? ¿Por qué existen diferentes instrumentos para medir? ¿Recuerdas qué es una Cinta métrica. escala numérica y cuál es su función?
Comenta las respuestas con tus compañeros.
Báscula colgante. Báscula vertical.
20
NÚMEROS Y SISTEMAS DE NUMERACIÓN
Flexómetro.
¿Todos los números se pueden ubicar en la recta numérica? Con la guía de tu profesor, formen equipos de cinco integrantes y realicen la siguiente actividad: Cada equipo escoja un espacio en la pared del salón en el que puedan colocar dos pliegos de papel estraza. Procuren colocarlos desde el suelo. b. Por equipo, elijan una unidad de medición de longitud y con ella tracen y dividan una línea con marcas de acuerdo a la medida seleccionada. c. Por turnos, cada integrante del equipo se colocará junto al papel estraza. d. Anoten las mediciones en su cuaderno y contesten las siguientes preguntas. ¿Las marcas de cada estatura coincidieron con la escala elegida? Si no coincidieron, ¿qué pueden hacer? ¿Es posible medir siempre de manera exacta con la escala elegida? a.
Guiados por su profesor, comenten sus resultados en el grupo y lleguen a un acuerdo.
Asesorados por su profesor, realicen la siguiente actividad. a. b. c. d. e. f. g. h.
Verifiquen que el suelo esté limpio y peguen en él la otra cara del papel estraza que utilizaron en la actividad anterior. Tracen dos líneas, una en cada extremo del papel. Colóquense al otro lado de las marcas que trazaron y lancen una moneda tratando de que ésta quede entre las líneas trazadas y sin salir del papel. ¿Cómo se puede precisar la ubicación de la moneda con respecto a la línea de salida sin usar una cinta métrica? Discutan con su equipo las posibles respuestas. Tracen una marca sobre el papel indicando el lugar donde cayó la moneda. Retiren la moneda y doblen el papel a la mitad. ¿Se puede precisar ahora dónde cayó la moneda? Vuelve a doblar por la mitad varias veces hasta que algún doblez coincida lo más posible con la marca de la moneda. ¿A qué distancia entre los dos segmentos cayó la moneda?
Cuando señalaron las primeras marcas en el juego, establecieron la longitud sobre la que iban a trabajar. Después, la siguiente marca fraccionó este segmento, ¿cómo se expresa la mitad de la unidad en matemáticas?
BLOQUE 1 • 21
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
La recta numérica ¿Se pueden situar en una recta numérica los números enteros, decimales y fraccionarios?, ¿por qué? En la actividad anterior, la línea con la escala elegida simula una recta numérica. ¿Cómo se dividen las rectas numéricas? ¿Cómo podrías elaborar otras rectas numéricas? Observa la siguiente línea:
0
1
a.
Guiados por su profesor profesor,, comenten las siguientes preguntas: ¿Es una recta numérica? Si la divides en cuatro partes iguales, ¿la distancia entre cada una de las divisiones será la misma en todos los casos? Si divides la línea en diez, ¿cuál sería la distancia?
b.
Escribe en tu cuaderno la representación numérica y el nombre de cada parte cuando la unidad se divide en cinco, seis, siete, ocho, nueve y once.
Fracciones propias. Numerador menor que denominador ¿Qué significa que el numerador sea menor que el denominador? y ¿por qué es importante considerarlo para trazar una recta? Jaime es costurero y quiere dividir una cinta de tela en ocho partes. ¿Cómo debe dividirla? De esas ocho secciones, necesita cinco, pues le encargaron hacer unos moños. ¿Cómo se representa en fracciones fracciones lo que utilizó Jaime para los moños? moño s? Traza un segmento de recta en tu cuaderno y ubica la fracción, que acabas de establecer. b. ¿En cuántas partes tuviste que dividir el segmento? c. A partir de la primera marca, ¿cuántas marcas contaste para situar la fracción? 7 d. Si la fracción fuera ahora 9 , ¿te serviría la división anterior para situar esta nueva fracción? a.
Con la guía de tu profesor, discute con tus compañeros las respuestas.
22
Fracciones impropias. Numerador mayor que denominador ¿Qué sucede cuando el numerador es mayor que el denominador? ¿Cómo se representa la fracción 13 ? Cuando el numerador es mayor que el denominador, la fracción se 5 expresa como fracción mixta, es decir, se efectúa la división indicada en fracción y se escribe la fracción resultante después del mayor entero encontrado, por ejemplo, 13 = 2 3 . 5 5
En tu cuaderno, realiza lo que se te indica. Traza una recta y ubica la fracción 18 . 5 ¿Cuál fue la fracción mixta que resultó de esta fracción impropia? ¿En cuántos enteros tuviste que dividir el segmento? ¿Cuántas divisiones tuviste que hacer para ubicar la fracción después del entero? b. Compara el resultado con tu compañero. ¿Fue el mismo resultado que el tuyo? Si fue diferente, ¿en qué lo fue? c. Sin importar la longitud del segmento elegido, ¿se podría suponer que el resultado es el mismo? a.
Comenten con su profesor sus conclusiones.
Números decimales en la recta numérica También los números decimales pueden ser convertidos en fracción; por ejemplo, al número 0.5 corresponde el valor de 12 . Por tratarse de una fracción decimal, ¿en cuántas partes será necesario dividir el segmento de una recta numérica? Realiza las siguientes actividades en tu cuaderno. Traza un segmento de recta en tu cuaderno y ubica el número 0.4. Convierte a decimales las fracciones 35 y 23 . Traza dos rectas numéricas de la misma longitud que la anterior y representa el resultado en ellas. c. De las tres fracciones decimales que ubicaste, ¿cuál de ellas es la mayor y cuál la menor, de acuerdo con su representación gráfica? d. ¿Cómo se determina esto a partir del segmento de recta? a. b.
Comenten con su profesor sus resultados.
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SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
LECTURALIA
Para una aventura con números: El diablo de los números , de Hans Magnus Enzersberger, escritor alemán. Encuéntralo en librerías y bibliotecas, editado por Siruela (Madrid, 2009). Puedes consultar el libro en línea en: http://www.librosmaravillosos.com/eldiablodelosnumeros/capitulo04.html
PARA TERMINAR
Con la guía de su maestro, formen formen equipos equipo s de tres integrantes y asignen a cada uno un número del 1 al 3.
a. El alumno 1 propondrá un número entero; después, el alumno 2 propondrá otro entero. b. El alumno 3 pensará un número que esté entre los dos enteros propuestos. c. Repitan la actividad dos veces. ¿Se podrá encontrar un número entero entre otros dos que se propongan?
d. Intercambien Intercambien el orden y repitan la actividad con la siguiente modificación. e. El alumno 1 propondrá una fracción; después, el alumno 2 propondrá otra fracción. f. El alumno 3 propondrá un número entre las dos fracciones propuestas.
24
g. Repitan la actividad al menos dos veces más. ¿Siempre se podrá encontrar un número entre dos que propongan?
h. Realicen la misma actividad, pero ahora utilizando números decimales. Anoten sus resultados. i. Con base en los resultados respondan las siguientes preguntas preguntas:: ¿Se puede encontr encontrar ar una fórmula para dicho número? ¿Importa que el número sea entero, fracción o decimal para la fórmula encontrada? j. Con base en lo anterior podrías enunciar una regla: entre dos números cualesquiera siempre ______________. Con la guía de su profesor, compartan sus repuestas con el resto de los equipos y lleguen a conclusiones comunes.
LECCIÓN 3 RESOLUCIÓN Y PLANTEAMIENTO DE PROBLEMAS QUE IMPLIQUEN MÁS DE UNA OPERACIÓN DE SUMA Y RESTA DE FRACCIONES
O C I A Y R B E O C I G L R É A O M T U N E N I O M D I A T S N N E E S P
Material: Tijeras y dos hojas tamaño carta.
¿
Puede la unidad ser algo distinto a 1? ¿Cuánto es un tercio de la mitad de la mitad? Éstas y más preguntas surgieron desde que el hombre tuvo la necesidad de repartir objetos o alimentos. Por ejemplo, los comerciantes necesitaban medir telas, madera; pesar especias y otros productos; y los gobiernos, medir terrenos y territorios para cobrar impuestos. Como las medidas no siempre resultan números enteros, aparecieron en forma natural las fracciones, que son parte de la unidad. ¿Cómo calculamos el peso total de mercancías cuando las cantidades no son números enteros? ¿Cuánto suma 12 kilogramo de jamón y 34 de queso manchego? En esta lección resolverás y plantearás problemas que impliquen sumar y restar fracciones. PARA COMENZAR
Lee el siguiente ejemplo y después contesta las preguntas. 1)
Una empresa dedicada a la venta de terrenos tiene disponibles varios lotes del mismo tamaño, que pueden ser vendidos en su totalidad o por partes. Adriana acompañó a su papá a conocer los lotes y le enseñaron un mapa con ellos:
Del lote número 1, un cliente sólo se interesa por la mitad, ¿cómo se representa en fracción esta parte? ¿En cuántas partes fue seccionado el lote número 2 y qué fracción representa cada sección? ¿A qué lote corresponde la suma de las siguientes fracciones: 21 + 41 + 41 ? Si tomas tres secciones del lote 4 y una sección del lote 2, ¿qué resultado se obtiene? Si sumas dos secciones del lote 2 y seis secciones del lote 4, ¿cuál es el resultado?
2)
3)
4)
Comenta tus respuestas con tus compañeros, con la guía de tu maestro.
PROBLEMAS ADITIVOS
25
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Problemas con suma y resta de fracciones En la actualidad contamos con diversos instrumentos de medición para cualquier necesidad que se nos presente. Sin embargo, en ocasiones, cuando es necesario conocer una medida y no se cuenta con el instrumento requerido se deben tomar otro tipo de acciones.
¿Qué se puede hacer para estimar de manera aproximada una medida? ¿Qué se puede emplear en lugar del instrumento de medición original?
Imagina que el pizarrón de tu salón se va a trasladar a uno más pequeño que el tuyo. Lo adecuado es medirlo y medir también el nuevo salón para ver si cabe, pero si no se tiene una cinta métrica a la mano y hay que tomar una decisión, ¿qué se puede hacer? Con la guía de tu maestro, reúnete con un compañero y lleva a cabo la siguiente actividad.
Con un lápiz o una pluma mide el largo y el ancho del pizarrón. Expresa tu resultado en fracción. ¿Cómo se puede emplear la pluma para efectuar la medición? ¿Cuántas veces cupo la pluma al medir el pizarrón? ¿Quedó espacio sin medir? ¿Qué se puede hacer si la pluma no cabe un número exacto de veces?
En vez del pizarrón, puedes optar por medir la mesa del maestro o una ventana del salón. Anota las mediciones en tu cuaderno. Si te queda un espacio sobrante sin medir, coloca una marca a la mitad de la pluma y mide dicho espacio. Si vuelve a quedar un sobrante coloca una marca a la mitad de la mitad y así sucesivamente hasta que logres una precisión aceptable en tu medición.
¿Cuántas divisiones tuviste que hacer hasta obtener una medida más precisa? ¿Todas las parejas obtuvieron los mismos resultados? Si no fue así, ¿cuál fue la causa? Si la pluma es la unidad de medida, ¿qué fracciones obtuviste respecto a esta unidad cada vez que hacías una nueva división? Expresa el resultado de la medición con el número entero de veces que corresponda más la fracción que se haya obtenido finalmente.
Con la guía de tu maestro, compartan sus comentarios y observaciones con el resto del grupo. En una clase de manualidades, la maestra lleva una bolsa con cuentas de colores para hacer pulseras y collares. Antonia recibe la tercera parte, Ana dos novenas partes y Esther una sexta parte. El resto se lo reparten las demás alumnas. 26
Ana y Esther deciden abandonar el taller y le venden sus cuentas a Antonia.
¿Puedes decir cuánto tiene ahora Antonia? ¿Tiene más cuentas o menos cuentas que el resto de las alumnas? ¿Qué operación se debe efectuar para contestar la primera pregunta?
Cuando llega a su casa, Antonia le regala algunas cuentas a sus hijas, pues al igual que su mamá, también quieren aprender a hacer pulseras. La mayor, Tina, recibe tres octavas partes de las cuentas que lleva su mamá, mientras que a Lilí le toca una quinta parte.
Finalmente, ¿con qué parte se quedó Antonia del total de cuentas que la maestra repartió al principio? ¿Qué operación se requiere efectuar para determinar esto?
Lilí está estudiando fracciones en su escuela, ¿cómo representaría en fracciones lo que Ana y Esther le vendieron a su mamá? ¿Cómo representaría lo que su mamá les regaló a ella y a su hermana Tina? Con la guía de tu maestro, compartan sus comentarios y observaciones con el resto del grupo.
Completa la siguiente regla: Cuando se tienen dos fracciones con el mismo denominador para restarlas o sumarlas basta sumar o restar los .
Métodos para sumar o restar dos fracciones con distinto denominador Para poder hacer una suma o resta de fracciones con distinto denominador es necesario primero convertirlas a fracciones equivalentes con el mismo denominador para luego aplicar la regla anterior. ¿Qué operación debes aplicar entre los denominadores para encontrar uno común? • • •
Suma División Multiplicación
Una vez que se haya encontrado el denominador común para realizar las operaciones de suma o resta de fracciones, éste se divide entre cada uno de los denominadores y el resultado se multiplica por cada uno de sus numeradores, los números que resulten se suman o restan según lo indique la operación.
BLOQUE 1 • 27
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Resuelve las siguientes sumas de fracciones y describe el método que utilizaste: •
2 3
+ 3=
•
3 4
− 2=
•
6
•
6
5 3
+ 3=
7 5
− 1=
2
•
•
2
4 5
− 1=
8 4
− 3=
2
2
Para obtener dos fracciones equivalentes con el mismo denominador, se multiplica el numerador y el denominador de la primera fracción, por el denominador de la segunda fracción; luego, se multiplica el numerador y el denominador de la segunda fracción por el denominador de la primera fracción.
3 5
+ 4 = 3 × 7 + 4 × 5 = 3 × 7 + 4 × 5 = 21 + 20 7
5
7
7
5
5×7
7×5
35
35
Método abreviado
Multiplica los denominadores para obtener el denominador de la fracción resultante. 5 3
+8= 7
? 21
×
Multiplica el denominador de la segunda fracción por el numerador de la primera para obtener el primer sumando o minuendo.
5 3
28
×
+ 8 = 35 7
21
Coloca el signo correspondiente después del primer sumando o minuendo obtenido.
5 3
+ 8 = 35 + ? 7
21
Multiplica el denominador de la primera fracción por el numerador de la segunda para obtener el segundo sumando o minuendo.
5 3
×
+ 8 = 35 + 24 7
21
Efectúa la suma o resta para concluir la operación.
PARA TERMINAR
Con la guía de tu maestro, reúnete con cuatro compañeros para resolver el problema. Al final, compara los resultados con los demás equipos. RECETAS
El tío de Josefina es chef repostero y la siguiente es la lista de los ingredientes que se necesitan para preparar un pastel de chocolate para cinco personas.
¿Cómo quedaría la lista de ingredientes si se prepara un pastel para 15 personas? ¿Cuánto pesarán todos los ingredientes que se necesitan para preparar un pastel para 15 personas?
1 4
k g d e c hoc ol at e e n t ab l et a 20 0 g d e mant eq ui ll a 1 5 k g d e al me nd r as t r i tu r ad as 10 0 g d e az úc ar e n p ol vo 1 1 2 k g d e har i na 3 4 k g d e hue vo
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O C I A Y R B E O C I G L R É A O M T U N E N I O M D I A T S N N E E S P
LECCIÓN 4 CONSTRUCCIÓN DE SUCESIONES DE NÚMEROS O DE FIGURAS A PARTIR DE UNA REGLA DADA. FORMULACIÓN EN LENGUAJE COMÚN DE EXPRESIONES GENERALES QUE DEFINEN LAS REGLAS DE SUCESIONES
U
na sucesión matemática es un conjunto ordenado de números u objetos que cumple una regla determinada. La sucesiones son útiles, por ejemplo para estimar y anticipar la cantidad que se ahorrará en un tiempo determinado o bien cuando necesitamos saber cuánto tiempo tardaremos en llegar a nuestro destino si utilizamos un transporte como el metro o tren, suponiendo que éste haga paradas cada dos minutos en sucesión, es decir, la primera parada a los dos minutos, la segunda a los cuatro y la tercera a los seis; si nuestro destino está en la parada número 8, ¿cuánto tiempo tardaremos en llegar? Las sucesiones numéricas están en todos los ámbitos, y es posible reconocerlas en materias como Biología y Geografía, en las que se describen procesos de crecimiento físico de algunas bacterias y animales, o sociales, cuando una población tiene un ritmo de crecimiento definido. PARA COMENZAR
Lee el siguiente problema y resuelve las preguntas.
Elena quiere comprarse una computadora y decidió ahorrar cinco pesos diarios hasta juntar la cantidad que necesita: $ 2 500.00. Ella hizo una tabla como la que se muestra a continuación, ayúdala a completarla: Número de días
Primer día
Segundo día
Tercer día
30
PATRONES Y ECUACIONES
Cantidad de pesos ahorrados
a.
Responde en tu cuaderno las siguientes preguntas.
Si Elena ahorra cinco pesos diarios, ¿cuánto dinero tendrá el tercer día? ¿Cuánto dinero tendrá en una semana? ¿Cuánto dinero ahorrará en 15 días? Si ahorra durante un año, ¿cuánto dinero tendrá al final? ¿Cuánto tiempo tardará en juntar el dinero que necesita? Escribe el procedimiento que permite calcular el número de pesos que ahorra de acuerdo con el número de días que transcurren. Escribe cómo aumenta diariamente la cantidad que ahorra durante 10 días.
Con la guía de tu maestro, comenta las preguntas y tus respuestas con el grupo.
Sucesiones con progresión aritmética Observa las siguientes secuencias de figuras.
Figura 1
a.
Figura 2
Figura 3
Figura 4
¿Cómo aumenta el número de rombos de una figura a otra?
Al considerar el número de rombos que tiene cada figura, podemos escribir una secuencia numérica. b.
Escribe en la línea los números que hacen falta:
c.
3,
, 9,
,
,…
¿Cómo se puede obtener el número de rombos que tendrá la figura 6?
El número tres aparece primero, ya que es el número de rombos que tiene la figura 1 de la primera secuencia, o bien, es el número que ocupa la primera posición de la misma secuencia. ¿De qué manera se puede calcular el número de rombos que tendrá una figura a partir de su posición en la secuencia?
Una sucesión con progresión aritmé- tica es una sucesión de números que se obtiene al sumar un número fijo al anterior para obtener el siguiente. El número fijo se llama “diferencia” y se representa con la letra d . BLOQUE 1 • 31
Figura 1
Figura 3
Figura 2
Figura 5
Figura 4
Las sucesiones numéricas que se muestran enseguida se relacionan con las que están incluidas en la tabla, complétalas:
6, 12, , 24, , ,… 5, , 15, , 25, 30, … 4, , 12, 16, , ,… 1, 3, 5, , 9, 11, ,…
De acuerdo con los resultados, comenta con tus compañeros lo siguiente. Si agregamos más columnas a las tablas anteriores y las nombramos como "figura 6", "figura 7", "figura 8", etcétera: ¿A partir del número de la figura cómo se puede obtener el número de corazones que tendrá la figura 10? b. Describe cuál es el procedimiento que se debe llevar a cabo para calcular cuántas flores tendrá la figura 7. c. Los esquemas que aparecen a continuación nos ayudan a obtener el número de cruces o caritas que tendrá cualquier figura, complétalos: a.
Núm. de cruces
=
Núm. de la figura
×
Núm. de caritas
=
Núm. de la figura
×
−
1
BLOQUE 1 • 33
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
Sucesiones con progresión geométrica Las sucesiones geométricas se utilizan frecuentemente en biología, pues éstas permiten saber cómo crece la población de animales o bacterias en un espacio y tiempo determinado. Por ejemplo, se puede calcular cuántos animales habrá en un tiempo determinado, así es más fácil diseñar estrategias para ayudar a su conservación; también se puede saber cuántas bacterias habrá en una hora o dos, con la finalidad de analizar cómo es el crecimiento de esos organismos y poder erradicarlos si es que ocasionan algún daño al ser humano. Con la asesoría de su maestro, reúnanse en equipos de cuatro o cinco integrantes, lean el siguiente texto y después contesten en su cuaderno lo que se pide. Alberto es un científico que quiere observar cómo se reproducen las bacterias. En la primera hora tenía dos bacterias; en la segunda, cuatro; en la tercera, ocho; en la cuarta, 16, etcétera. a.
Completen la tabla y contesten las preguntas en su cuaderno. Horas Transcurridas
Número de bacterias
1
2
2
2 × 2 = ________
3
2 × 2 × 2 = ________
4
2 × 2 × 2 × 2 = ________
34
¿Cuántas bacterias habrá en la quinta y en la sexta hora? Describan cómo se puede conocer el número de bacterias que habrá el séptimo día. ¿Cómo se puede calcular el número de bacterias que habrá el décimo día a partir del número de bacterias del día anterior? ¿Después de cuántas horas Alberto tendrá más de 1 000 bacterias?
Observen que el número de bacterias se incrementó de manera considerable. Por ejemplo, la cantidad que había en la segunda hora se duplicó en la tercera hora; la cantidad de la tercera hora se duplicó en la cuarta hora, y así sucesivamente. Con la guía de su profesor, comenten sus respuestas con el grupo.
Lee el siguiente texto con atención y después realiza lo que se pide. Don Toño tiene una granja de conejos. En una tabla registra mensualmente la cantidad de conejos que tiene, ya que quiere observar cómo crece el número de conejos, porque quiere criarlos y venderlos. Observó que el primer mes tenía cuatro conejos; el segundo, 16; el tercero, 64, y así, sucesivamente. a.
Ayuda a don Toño a completar la siguiente tabla. Escribe el número de conejos según corresponda. Mes
Cantidad de conejos
4
256
7 9 11
b.
Contesta las preguntas en tu cuaderno.
c.
¿Cuántos conejos tendrá en el sexto mes? ¿Cuántos conejos tendrá don Toño después de ocho meses? ¿Qué observas entre el número de conejos de un mes con respecto a los del siguiente mes?
Completa el siguiente párrafo.
Si en el séptimo mes don Toño tuviera conejos, en el octavo mes tendría y en el noveno mes , de tal forma que el número de conejos del mes anterior se para obtener los del siguiente mes. BLOQUE 1 • 35
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
d.
Completa el siguiente esquema con base en la información del párrafo anterior. Octavo mes
Séptimo mes 16 384
Noveno mes
× ______
× ______
¿En qué mes don Toño tendrá más de 1 000 000 conejos?
En una sucesión con progresión geométrica cada uno de los números se obtiene multiplicando el número anterior por una cantidad constante que se denomina razón.
Con la guía de tu profesor, comenta tus respuestas con el resto de tus compañeros.
MATEMÁTICAS HISTÓRICAS
L
eonardo de Pisa (1170-1250), también conocido como Fibonacci, fue uno de los matemáticos medievales más importantes de su época. Desarrolló el sistema de numeración decimal que actualmente utilizamos, donde aparecen por primera vez las nueve cifras hindúes y el cero inventado por los mayas. Leonardo publicó en 1202 el Liber abaci (el libro del ábaco o de los cálculos), estableció reglas para realizar las operaciones con enteros y con fracciones; creó la regla de tres, simple y compuesta; desarrolló normas para calcular la raíz cuadrada de un número; aplicó sus conocimientos al comercio y a la conversión de pesos y medidas. Fibonacci es conocido por la sucesión numérica (1, 1, 2, 3, 5, 8,
36
1
1
1
1
2
1+1
3
1+2
5
1+3+1
8
1+4+3
13 21
1+5+6+1 1+6+10+4
13, 21, 34, 55, 89...). La sucesión empieza con dos números uno y el resultado siguiente se obtiene de la suma de los dos números anteriores. De esta forma, el tres se obtiene de sumar dos más uno, el cinco resulta de la suma de tres más dos, y así sucesivamente. Uno de los problemas más conocidos es el “problema de los conejos”: Una pareja de conejos tarda un mes en alcanzar la edad fértil, a partir de ese momento cada vez engendra una pareja de conejos, que a su vez, tras ser fértiles engendrarán cada mes una pareja de conejos. ¿Cuántos conejos habrá al cabo de un determinado número de meses?
1 1 2
1 1 1 1 1 1
1
3 4
1 3
6
1 4 1
5 10 10 5 1 6 15 20 15 6
7 21 35 35 21 7
1
PARA RESOLVER
En parejas, observen las diferentes sucesiones y contesten las preguntas. a. b.
3, 9, 27, 81,... 5, 25, 125, 625,... ¿Cuál sería el siguiente término en cada sucesión? ¿Qué número aparecería en la décima posición de la sucesión? ¿Cuál es el procedimiento que nos permite obtener el siguiente término de la sucesión? ¿Qué número aparecerá en la octava posición de la sucesión de números? ¿Qué tipo de progresión tiene cada una de las sucesiones?
Con la guía de tu profesor, comparen sus respuestas con las de sus compañeros.
Tarea en casa
Realiza los siguientes ejercicios en tu cuaderno para practicar sucesiones con progresión geométrica. a. Observa las sucesiones y complétalas con el número que falta en cada caso. . 2, 6, 18, 54, . 5, 10, 20, 40, b. Construye una sucesión con progresión geométrica. Con la guía de tu profesor, compara los resultados con tus compañeros.
TIC Con la calculadora puedes construir fácilmente sucesiones con progresión geométrica. Elige un número y multiplícalo por sí mismo las veces que desees. Cada resultado es un elemento de la sucesión.
PARA TERMINAR
Con la guía de su maestro, reúnanse en equipos de tres o cuatro integrantes y realicen la siguiente actividad.
a. Establezcan diferentes sucesiones: aritméticas o geométricas, con palillos de madera.
b. Dibujen en su cuaderno las sucesiones que construyó cada uno de los equipos. c. Escriban preguntas acerca de las sucesiones. Asesorados por su profesor, compartan la actividad y coméntenla entre todos.
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LECCIÓN 5 EXPLICACIÓN DEL SIGNIFICADO DE FÓRMULAS GEOMÉTRICAS, AL CONSIDERAR LAS LITERALES COMO NÚMEROS GENERALES CON LOS QUE ES POSIBLE OPERAR Material: Un cordel de 2 m o 3 m de largo, tijeras y cinta métrica.
C
ontar y calcular trayectorias, perímetros y velocidades son acciones que realizamos todos los días. Sin darnos cuenta, utilizamos las matemáticas para casi cualquier cosa; por ejemplo, si decidimos decorar o proteger alguna superficie, cuando compramos un mantel para la mesa, al vendedor le especificamos el largo de tela que vamos a comprar, pero los rollos de tela vienen con determinado ancho, y no es el mismo para todas las telas. Si conocemos la superficie que vamos a cubrir, en el momento que el vendedor nos dice el ancho de la tela elegida, una rápida operación nos puede indicar, aunque sea de manera aproximada, la cantidad de tela que debemos comprar. Empleamos el pensamiento algebraico para tomar mejores decisiones al manejar cantidades cuyo valor se desconoce, empleando letras para representar dichas cantidades. Seguramente, en primaria estudiaste algunas fórmulas para calcular perímetros y áreas; en esta lección comprenderás cómo se establecen las fórmulas para calcular perímetros y entenderás también cómo se deducen. PARA COMENZAR
Lee con atención el siguiente ejemplo y contesta las preguntas.
María tiene un restaurante y quiere adornar sus manteles con listones de color para celebrar las fiestas patrias. Sin embargo no sabe cuántos metros de listones comprar, pues tiene 25 manteles que miden 1.35 metros por cada lado. a. b. c.
¿Cuántos metros de listón necesita para cada mantel? ¿Cuántos metros de listón necesita para todos sus manteles? Si los rollos de listón son de 50 centímetros, ¿cuántos deberá comprar?, ¿le quedará algún sobrante de listón?
Con la supervisión del profesor, comenta tus respuestas con el grupo.
Fórmula para calcular el perímetro Lee las instrucciones y responde lo que se te pide. En el siguiente esquema aparece el recorrido que sigue Martha de su casa al metro y del metro a la escuela. 38
PATRONES Y ECUACIONES
Edificio donde vive Martha.
Secundaria donde estudia Martha.
¿Cuál es la distancia que recorre Martha de su casa a la escuela cuando viaja en metro?
Si los segmentos de color azul representan el trayecto que puede llevar a cabo en transporte público y el de color verde el que puede recorrer en taxi:
¿Cuál es la distancia del recorrido de color verde?
Si esa distancia la representamos con la letra “r”, ¿cómo se puede expresar la distancia que recorrería Martha en total si viaja primero de su casa a la escuela en transporte público y regresa de la escuela a su casa en taxi? Con la guía del profesor, discute con tus compañeros tus respuestas.
¿Cómo se escriben las fórmulas? Para conocer cuánto mide el contorno de un triángulo es necesario calcular su perímetro; éste se puede determinar sumando la longitud de sus lados, o utilizando fórmulas que nos permitan simplificar la operación. Por ejemplo, l x 3, que significa que todos los lados miden lo mismo y que para obtener el perímetro sólo basta multiplicar la medida por tres. Las longitudes de los lados en los triángulos que se muestran a continuación se desconocen, por tal motivo, este dato se representa con letras. Obsérvalos y responde en tu cuaderno lo que se pregunta: b c
a
m
m
m
g
g
h
BLOQUE 1 • 39
SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
MATEMÁTICAS HISTÓRICAS
Indica qué tipo de triángulo es en cada caso. b. En el segundo triángulo, ¿qué significa que las letras sean iguales? c. Si la fórmula para calcular el perímetro del segundo triángulo es m + m + m , anota las fórmulas para calcular los perímetros de los otros dos triángulos. a.
E
uclides fue un matemático griego que vivió en el siglo 300 a. n. e. Es conocido como el padre de la geometría, y su libro más importante, Los elementos , es un documento asombroso donde desarrolla con gran método la lógica matemática y la geometría a partir de cinco postulados básicos. Destaca en el trabajo de Euclides su alto compromiso con los números y el rigor metodológico con el que realizó su trabajo, lo cual ha permitido que su pensamiento se mantenga vigente hasta nuestros días. Su geometría ha sido de gran utilidad para la física, la astronomía, la química y la ingeniería. Se cuenta que en una ocasión mientras enseñaba en la escuela de Alejandría, un alumno le preguntó qué ganaría al demostrar un problema, y Euclides le pidió a un esclavo que diera tres monedas al muchacho, “ya que quiere ganar algo con lo que aprende”.
Letras que representan números en las fórmulas
b × a
l + l + l + l
b × a
2
a.
Analiza las fórmulas y figuras.
40
¿Cómo representarías la fórmula para obtener el perímetro de un rectángulo si no conoces sus lados? ¿Te parece lógica la fórmula?, ¿por qué?
¿Cuáles fórmulas representan un procedimiento para calcular el área? ¿Qué significa la letra l ? ¿A qué se refieren las letras a y b ?
Asesorados por su profesor, comenten entre ustedes por qué estas fórmulas sirven para obtener el perímetro o el área de estas figuras. Cuando se desconoce el valor de una cantidad, ésta se puede representar con letras. El siguiente rectángulo se tomó del croquis de un salón de clases, analízalo y después responde lo que se indica. a
b
El salón mide metros de largo y Para calcular el perímetro, es necesario
de ancho. .
Si un rectángulo mide a centímetros de largo y b centímetros de ancho, ¿cuál sería la expresión que representa al perímetro de dicha figura? b. Completa lo siguiente y responde las preguntas: , y el ancho, Si el largo del rectángulo está representado con la letra con la letra . Entonces el perímetro del rectángulo se puede expresar HISTORIA DE como: LAS PALABRAS a.
P =
c.
+
+
+
Como las letras a y b representan cualquier número, la suma que completaste representa el procedimiento que se debe seguir para calcular el perímetro de cualquier rectángulo. Ahora bien, ¿cómo se puede escribir el procedimiento para obtener el perímetro de un rectángulo usando una suma y una multiplicación?
La palabra perímetro significa en griego “la medida de alrededor”. El cálculo del perímetro varía para cada figura y es el resultado de la suma de todos sus lados. En el siglo XVIII se utilizaba también la palabra ámbito para referirse a los lindes o límites que cercan un espacio, y en geometría designaba también la medida o magnitud de la línea o líneas que encierran una figura plana.
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SENTIDO NUMÉRICO Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
PARA RESOLVER
A continuación se presenta una tabla con diferentes figuras geométricas, analízalas y responde lo que se pide para cada una de ellas. a.
Construye la fórmula del perímetro para cada una de las siguientes figuras. x
w
w
x d
e
g
f z
z z
z m
n n
p v v a
b. c.
a
¿Por qué en algunas figuras se repiten las letras? ¿Conoces alguna otra manera de expresar una fórmula? Explica cuál.
Con la ayuda de tu profesor, analiza tus respuestas y las de tus compañeros.
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Lee el siguiente problema y contesta las preguntas. Alejandra hará un dibujo sobre papel pellón en su clase de manualidades, para adornar el contorno decidió utilizar hilo de colores y listón:
Si cada lado del papel pellón que Alejandra utilizó mide 30 cm, ¿cuántos metros de hilo deberá comprar? ¿Qué operación se llevó a cabo para saberlo? ¿Podemos usar otra operación?, ¿cuál? ¿Cuál es la fórmula que permite calcular el perímetro del cuadrado?
Con la guía del profesor, comenta tus respuestas con tus compañeros.
PARA TERMINAR
Con ayuda del profesor, lleven a cabo la siguiente actividad.
a. Formen equipos de tres personas y con una cinta métrica midan la longitud de los cuatro lados de una ventana del salón para obtener su perímetro. b. Después, hagan el cálculo con la fórmula correspondiente.
c. Comparen la medida que obtuvieron a partir de la medición de cada lado de la ventana con la que calcularon con la fórmula. d. Después, midan la longitud de los lados de su salón de clase y calculen el perímetro por medio de los dos métodos revisados. Guiados por su profesor, comenten los resultados con otros equipos.
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A D I D E M Y O I C A P S E , A M R O F
LECCIÓN 6 TRAZO DE TRIÁNGULOS Y CUADRILÁTEROS MEDIANTE EL USO DE JUEGO DE GEOMETRÍA Materiales: Regla, compás, transportador y cinco hojas tamaño carta.
E
n actividades como las que desempeña un diseñador de moda o un arquitecto, se utilizan instrumentos para realizar trazos y para hacer mediciones, de esta manera el diseñador confecciona y el arquitecto construye planos a escala de lo que será un inmueble. ¿Qué instrumentos imaginas que utilizan el diseñador y el arquitecto? Entre los trazos que se efectúan podemos encontrar triángulos, cuadrados, rectángulos y círculos, ya sea en una blusa, una falda, un plano a escala de una casa o un edificio; todos ellos se construyen y manufacturan a través de los trazos de los cuerpos geométricos mencionados, y en su elaboración se pueden utilizar instrumentos como regla, compás, transportador y escuadras. ¿Sabes utilizar estos instrumentos para construir un cuerpo geométrico? ¿Qué figuras puedes trazar con un compás y una regla? En esta lección estudiarás cómo se trazan los triángulos y cuadriláteros con ayuda estas herramientas. PARA COMENZAR
Roberto es diseñador de modas y le pidieron que elaborara una blusa. Analiza el patrón de corte que dibujó sobre la tela. a.
Contesta las preguntas. ¿Puedes identificar cuántos triángulos y cuadriláteros hay en cada patrón? ¿Qué instrumentos puede usar Roberto para construir los triángulos y los cuadriláteros?, ¿por qué? ¿Cómo harías para construir con regla y compás un ángulo exacto de 90°? Si te dan un segmento recto, ¿cuántos triángulos puedes trazar con ese segmento como lado? ¿Cómo trazarías con regla y transportador un rectángulo?
Con la guía de tu profesor, comenta tus respuestas con tus compañeros.
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FIGURAS Y CUERPOS
Trazo de triángulos Observa la casa en la que vive Susana y contesta las preguntas. C
A
B
Para que un arquitecto pueda diseñar una casa con un techo de dos aguas, necesita hacer algunos cálculos y trazos geométricos.
¿A qué figura geométrica se parece el segundo nivel de la casa vista de frente? ¿Cómo medirías los lados del techo? ¿Qué herramienta utilizarías para hacerlo? ¿Cómo es el ángulo que se forma entre los lados del techo? ¿Qué instrumento podrías utilizar para medir el ángulo? Si uno de los lados del techo mide 3 m y el otro 4 m, y el ángulo entre ellos es de 135°, ¿cómo determinarías la longitud del ancho de la figura que forma el segundo nivel? No puedes medir directamente en la casa, y no conoces la distancia que existe entre el punto A y el punto B . De acuerdo con esta información, ¿cómo calcularías la base de dicha figura?
Con la guía de tu profesor, comenta tus respuestas con tus compañeros. Usa tu juego de geometría para reproducir el triángulo a escala 1 m: 1 cm en tu cuaderno. Sigue los pasos enunciados a continuación: Marca un punto en cualquier lugar de la hoja con tu lápiz. Éste será el punto A. Traza en cualquier dirección un segmento de recta de longitud mayor a 5 cm a partir del punto A. Donde termine el segmento se marcará el punto D . c. Alinea el transportador con el segmento AD y fija el centro en el punto A. Después, marca un punto con tu lápiz a 135°, contados desde la línea; éste será el punto E . d. Traza con la regla un segmento de línea mayor a 4 cm que parta de A y pase por E . a. b.
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FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Del lado donde se encuentra el punto D , mide con la regla 3 cm a partir del punto A y marca el punto B . En el otro segmento de línea mide 4 cm a partir del punto A y marca el punto C . f. Por último, une los puntos B y C , con tu regla. e.
Observa los triángulos siguientes y contesta: ¿la figura que trazaste se parece a una de las figuras siguientes? A
4 cm 3 cm
C
B
A
4 cm C
3 cm B
Compara tu figura con la de otro compañero, ¿se parecen?, ¿son diferentes?, ¿por qué? Para determinar cuánto mide el ancho del techo de la casa de Susana, contesta lo siguiente en tu cuaderno.
¿Cuánto mide el lado BC del triángulo que trazaste? De acuerdo con la escala establecida al inicio de la actividad, ¿cuánto medirá en metros el ancho del techo de la casa de Susana? ¿Se pueden medir ángulos de izquierda a derecha con el transportador?, ¿y de derecha a izquierda?
Asesorados por tu profesor, comenta tus respuestas con tus compañeros.
Una línea recta es una figura de una dimensión que no tiene espesor y se extiende infinitamente en ambas direcciones, y no tiene curvas. Un segmento de recta es una parte de la recta comprendida entre dos puntos.
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En la actividad anterior pudiste observar que la regla y el transportador permiten trazar distintas figuras geométricas, como un triángulo. Además, estos instrumentos ayudan a medir las dimensiones de los lados y los ángulos de una figura geométrica.
Triángulos a la medida Con la guía de su profesor, realicen en parejas la siguiente actividad. Anoten las respuestas, los acuerdos y las construcciones geométricas en su cuaderno.
Triángulo 1
TIC Determinen qué instrumentos del juego de geometría utilizaCuando se trata de medir ángurían para construir un triangulo con dos lados iguales y el los, un instrumento útil es el ángulo entre ellos igual a 45°. transportador. Mejora tu habilib. Discutan y propongan un procedimiento para la construcción dad para medir ángulos practicando en el sitio Web: http://www. del triángulo del inciso a con los instrumentos que seleccionaron. educaplus.org/play-10-Transportac. Construyan el triángulo del inciso a bajo el procedimiento dor.html propuesto en el inciso b , ¿llegaron al triángulo deseado? Si algo falló, revisen el proceso de construcción. ¿Cuánto miden los lados y los ángulos del triángulo que construiste? a.
Con la guía de tu profesor, contesten en grupo:
¿Cuántos de sus compañeros realizaron una construcción parecida a la suya? ¿Utilizaron instrumentos diferentes a los que ustedes emplearon?
Triángulo 2 a.
Ordenen las instrucciones y después construyan el triángulo que se indica:
Abre el compás 10 cm y fíjalo en A, marca el punto C sobre la línea que va de A a G . Traza una línea mayor a 10 cm que inicia en A MATEMÁTICAS HISTÓRICAS y pasa por G . iparco de Nicea (190-120 a. n. Completa el triángulo trazando con la regla una e.) fue un astrónomo, geógrafo y matemático griego. Realínea de B a C . lizó el primer catálogo de estrellas, Marca los puntos A y B con una distancia entre calculó con gran precisión los equinocellos de 10 cm y traza una línea entre ellos. cios y la distancia que existe entre la Alinea el transportador con la línea de A a B , fija en el Tierra y la Luna. Inventó la trigonomecentro en A y dibuja el punto G a un ángulo de 55°. tría, que consiste en relacionar las medidas angulares con las lineales. A Hi¿Qué tipo de triángulo construiste? parco debemos la invención de un ¿Tus compañeros de grupo lograron construir el objeto muy importante para el cálculo mismo triángulo? y la geometría: el transportador. Para ¿Qué instrumentos del juego de geometría utilizaron? hacerlo, construyó una tabla de cuerdas
Con la ayuda de su profesor, reflexionen acerca de los procedimientos que siguieron y los resultados obtenidos.
H
donde relacionó los lados y los ángulos de todo triángulo plano.
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FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Trazo de cuadriláteros Los rectángulos y cuadrados son figuras que se utilizan con frecuencia para trazar el diseño de objetos tan diversos como faldas, sillas y hasta marcos para las obras que puedes observar en los museos o en la sala de tu casa. Para llevar a cabo la siguiente actividad. Necesitas un juego de geometría. Si es necesario, pidan ayuda a su profesor. En la carpintería El Astro Rey se construyen marcos de madera para obras de arte, como el de Poblanas , del pintor Carl Nebel, que se muestra en la imagen.
15 cm
3 cm
Federico, el dueño de la carpintería, para construir cada marco necesita conocer: El ancho de cada rectángulo, que debe ser igual a 3 cm. La longitud de los lados exteriores del cuadro, que debe ser igual a 15 cm. Contesta las siguientes preguntas. ¿Qué procedimiento creen que Federico utiliza para trazar los rectángulos que serán su patrón para construir los marcos? b. ¿Qué instrumentos utilizarán para diseñar el rectángulo en una hoja de papel? c. ¿Cuánto debe medir el lado mayor de cada rectángulo si el lado menor es igual a 3 cm y el marco debe medir 15 cm? d. ¿Cómo imaginan que Federico construye un rectángulo con regla, transportador y compás? a.
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Comparte tus respuestas con el resto del grupo. Consulta con el profesor las dudas que tengas.
Los rectángulos son cuadriláteros con lados paralelos iguales. Sus cuatro ángulos miden 90°.
Ayuda a Federico a trazar los rectángulos para formar el marco de la imagen de la página anterior. Trabajen en pareja, lean con atención y bajo la guía de su profesor realicen lo que se pide. a. b. c.
d.
e.
f.
g. h.
¿De cuántos rectángulos se compone el marco de madera?, ¿son iguales? ¿Qué longitud deben tener los lados mayores de cada rectángulo del marco de madera? ¿Con cuál trazo iniciarías para construir un rectángulo? Federico inicia trazando el lado mayor del rectángulo, aunque también acepta que se puede iniciar trazando el lado menor. Realiza en tu libreta el trazo que Federico hizo y en cada extremo del segmento marca un punto, a uno llámale A y al otro B . Federico regularmente utiliza el transportador para trazar dos segmentos de recta perpendiculares entre sí, pero no lo encuentra, ¿cómo los trazarías con el segmento AB , con una regla y un compás? Para trazar el lado menor sobre el punto A, necesitamos un segmento de recta perpendicular al lado mayor del rectángulo que ya tienes trazado. Con la regla, traza una línea perpendicular del segmento AB de 5 cm hacia arriba y 5cm hacia abajo. Marca sobre la línea del segmento AB los puntos C y D a los lados del punto A. Abre tu compás y fíjalo en C, por encima de A traza un segmento de círculo; hagan lo mismo en el punto D sin cambiar la amplitud del compás. En el cruce de los segmentos de círculo trazados, marca el punto E ; por último, traza una línea que pase por los puntos A y E . ¿Cuánto mide el ángulo entre el segmento AB y la línea que pasa por los puntos A y E ?, ¿son perpendiculares? Ahora traza el lado menor sobre el punto A, recuerda que mide 3 cm. Compara tu construcción con la de la imagen que aparece a continuación, ¿son equivalentes? E
3 cm D
A
C
B
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FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
i.
Haz lo mismo para trazar el lado menor del rectángulo sobre el punto B . Al final, con tu regla une los puntos que correspondan para formar el rectángulo deseado.
Con la asesoría de tu profesor, compara con otros compañeros tu construcción.
En los días de febrero, cuando el viento sopla con más ímpetu, en muchos lugares del país, como en Tlaxcala, se llevan a cabo competencias de cometas o papalotes Este año los hermanos Cervantes van a competir con un papalote que tiene la forma que se muestra en seguida.
El rombo es un cuadrilátero con todos sus lados iguales y sus ángulos son iguales dos a dos, lo que difiere con los cuadrados y rectángulos cuyos ángulos son iguales. El trapecio es un cuadrilátero irregular con dos de sus lados paralelos. Papalote de los hermanos Cervantes.
¿Qué figuras geométricas reconoces en el papalote?
Para construir el papalote, los hermanos Cervantes primero trazan sobre papel los cuerpos geométricos. ¿Qué instrumentos utilizaron? ¿Qué procedimiento siguieron? Describe en tu cuaderno el procedimiento que piensas siguieron los hermanos Cervantes.
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Trazo de rombos Los hermanos Cervantes saben que el compás es de mucha ayuda para construir un rombo, ¿concuerdas con esta afirmación?, ¿por qué? Construye un rombo en tu cuaderno, con base en el procedimiento que siguieron los hermanos Cervantes: a. Traza un círculo completo con el compás. b. Al centro del círculo nómbralo A. Sobre la circunferencia, marca los puntos B y C , y traza los segmentos AB y AC ; éstos son los primeros dos lados del rombo, ¿por qué? c. Al unir dos vértices opuestos de un rombo se forman dos figuras iguales, ¿qué figuras geométricas son? El segmento que une a los dos vértices opuestos es común a las dos figuras geométricas. En este caso el segmento común es BC , tracen sobre él su punto medio. ¿Cómo trazarías el punto medio de un segmento con regla y compás? d. Para trazar el punto medio de un segmento puede hacerse lo siguiente: se abre el compás igual al tamaño del segmento, se fija la punta del compás en uno de los extremos el segmento y se traza el círculo. Se hace lo mismo en el otro extremo del segmento. Se pone la regla sobre los dos cruces de los círculos y se traza el punto donde se cruzan la regla y el segmento. e. Una vez trazado el punto medio del segmento BC , al que se llama D , se traza una línea que pasa por A y D. ¿Qué faltaría para completar el rombo? Recuerda que el compás te permite trazar longitudes iguales. Los trazos hechos por los hermanos Cervantes se muestran en la siguiente imagen. ¿Coinciden con los que trazaste?
B E D
A
C
Rombo. BLOQUE 1 • 51
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Trazo de trapecios Para terminar su papalote, los hermanos Cervantes necesitan trazar un trapecio. ¿Qué características tiene el trapecio? Los hermanos Cervantes han observado que al trazar rectas perpendiculares que pasan por los extremos de lado menor del trapecio se forman algunas figuras geométricas conocidas
TIC La regla y la escuadra o cartabón son instrumentos útiles para trazar construcciones geométricas, por ejemplo, una paralela a una línea en un punto dado o una perpendicular. En el sitio www.disfruta lasmatematicas.com/geometria/construir-regla-cartabon. html podrás ver cómo realizar estas construcciones.
¿Qué figuras geométricas se forman? ¿Qué tipo de triángulos se forman?
Construyan el trapecio a través de las figuras geométricas conocidas y comparen sus construcciones con las de otros equipos. PARA TERMINAR
Lleva a cabo la siguiente actividad. Pide ayuda a tu maestro si lo consideras necesario.
c. Recorta los triángulos.
¿Podrías construir un rectángulo por medio de un triángulo?, ¿cuál?, ¿cómo lo harías? ¿Qué figuras geométricas conocidas puedes formar con estos triángulos?
Atiende a las siguientes sugerencias:
a. Traza un triángulo isósceles de cualquier tamaño, de modo que el ángulo entre los lados iguales sea de 72°. b. Recorta el triángulo y cálcalo para formar otros cuatro triángulos iguales a éste.
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¿Qué figuras geométricas conocidas puedes formar con estos triángulos?
d. Compara tu figura con la de tus compañeros. e. Traza un hexágono utilizando el mismo procedimiento, pero antes responde la pregunta: ¿de cuántos grados deberá ser ahora el ángulo entre los lados iguales del triángulo isósceles? Con la Asesoría de tu profesor, verifica con tus compañeros tus respuestas.
LECCIÓN 7 TRAZO Y ANÁLISIS DE LAS PROPIEDADES DE LAS ALTURAS, MEDIANAS, MEDIATRICES Y BISECTRICES EN UN TRIÁNGULO
A D I D E M Y O I C A P S E , A M R O F
Material: Hojas de papel de diferentes colores, regla, escuadra y transportador.
S
obre un restirador se diseñan las construcciones urbanas como edificios y puentes. Observa a tu alrededor, ¿qué estructuras hay?, ¿qué sostiene el techo de tu escuela o de tu casa?, ¿qué formas geométricas reconoces? Edificios, puentes y carreteras requieren del ingenio y cálculo de profesionales de la arquitectura y la ingeniería para soportar el peso, mantenerse en pie y protegernos del exterior. Todas estas construcciones tienen una estructura y, aunque no siempre puede observarse a simple vista, están construidas con figuras geométricas. Desde el siglo xix los arquitectos han trabajado en la resistencia de las construcciones a partir de triángulos. Esta técnica se llama “triangulación” y la encontramos en las modernas estructuras de algunos puentes de hierro que además de ahorrar material, los hacen más ligeros. PARA COMENZAR
Observa las siguientes imágenes y contesta las preguntas.
Sala de máquinas de la Isla, Nantes.
Edificio Hearst Tower, New York.
¿Qué figura geométrica se utilizó para construir las estructuras? ¿Cuáles son los diferentes triángulos que conoces?
Con guía de tu profesor, comenta con tus compañeros qué triángulos conoces y cuáles son sus características.
FIGURAS Y CUERPOS
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FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Traza los triángulos que nombraron y, en una tabla como la siguiente, registren la medida de los lados y los ángulos de cada triángulo.
Triángulo
Descripción de sus ángulos
Descripción de sus lados
Equilátero
HISTORIA DE LAS PALABRAS
Pocas palabras pueden definir a un mismo tiempo: ritmo, sentido de la orientación y buen trazo, como la palabra compás . Ésta proviene del latín vulgar compassare , y significa “medir distancias contando pasos”. El verbo passare indica movimiento, ir, y es una palabra compuesta, integrada por com (con) y passus (paso). El compás es un instrumento empleado para medir distancias y realizar trazos de curvas regulares y circunferencias. Es también sinónimo de la palabra brújula , un instrumento que se emplea conocer para la dirección geográfica. En la música, la palabra compás designa el ritmo.
Mediatrices Mediatriz de un segmento Con la asesoría de tu profesor, realiza las siguientes actividades. Toma una hoja y mediante el doblado de papel marca un segmento de recta, ¿cómo ubicarías el punto medio de este segmento? Encuéntralo y marca ese punto con tu lápiz. b. Comenta con tus compañeros por qué podemos decir que ese es el punto medio del segmento y escribe la conclusión a la que llegaron. La mediatriz de un segmento de recta es la recta perpendicular que pasa por c. Dobla nuevamente el papel en sentido opuesto, de el punto medio de éste y lo divide en dos manera que una línea perpendicular cruce el partes iguales. primer segmento por la mitad. d. Los siguientes trazos con regla y compás son parte del proceso de construcción de la mediatriz de un segmento, descríbelos con tus propias palabras: a.
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Pasos
1.
A
Descripción
B
2.
A
B
3.
A
B
4.
A
B
5.
A
B
Comenta tus respuestas con tus compañeros de grupo. Pidan orientación a su profesor si tiene dudas sobre cómo resolver este ejercicio.
BLOQUE 1 • 55
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Las mediatrices del triángulo Con la supervisión de tu profesor, lleva a cabo la siguiente actividad. Antes de comenzar lee con atención los pasos que debes seguir. a.
Usa tres hojas de papel de diferentes colores para trazar, por medio de dobleces, tres triángulos: un equilátero, un isósceles y un escaleno. Después, tracen sus lados con un lápiz.
El punto de intersección de las mediatrices se denomina circuncentro .
c.
b.
Traza la mediatriz de cada uno de los tres lados de los tres triángulos. Recuerden hacerlo por medio de dobleces. Observa el ejemplo.
¿Qué observas en común al marcar las mediatrices de los diferentes triángulos? ¿Crees que ese punto en el que se intersectan siempre está dentro del triángulo?, ¿por qué?
Traza un triángulo en tu cuaderno para que con el uso del compás y la regla construyas las mediatrices de cada uno de sus lados. Determina si se puede construir un círculo con centro en el circuncentro, de tal forma que pase por los vértices del triángulo que trazaste.
Comenta tus resultados con tus compañeros. Pidan ayuda a su maestro si tienen dudas. MATEMÁTICAS HISTÓRICAS
E
n 1966, el ingeniero mexicano Heberto Castillo, inventó la tridilosa, una estructura tridimensional que es, en esencia, una estructura formada con triángulos, sumamente resistente y ligera. Este invento reemplaza trabes y losas de concreto reforzado de los sistemas convencionales, lo que produce ahorros considerables en concreto y acero. Puedes observar estas estructuras en edificios como el Hotel de México, en la Ciudad de México; en el Hotel Morelia Misión en Michoacán y en el edificio Biosfera 2, en Arizona, Estados Unidos. También se ha utilizado en puentes donde pasan camiones muy pesados y cuya estructura, sin embargo, puede ser levantada por dos personas, una en cada extremo. 56
Bisectrices Bisectrices de ángulos Con la guía de tu maestro, reúnete con un compañero para llevar a cabo la siguiente actividad. a.
D
Tracen un ángulo, por medio del doblado de papel, y nombren al vértice y a sus lados, con las letras D , E y F . ¿Cómo harían un doblez que divida en dos partes iguales al
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