Richard R. Skemp Psikologi P. Math. (Terjemahan)

TERJEMAHAN PSIKOLOGI BELAJAR MATEMATIKA (RICHARD R. SKEMP)

Disusun oleh: PASUKAN MASCOT 2012 (Pend. Matematika A FMIPA UNY 2012)

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

BAB I PENGENALAN Saat ini, banyak perhatian dan kegiatan yang berkaitan dengan pembelajaran matematika. Di banyak bagian dunia, proyek, topik dan metode baru dalam pembelajaran metematika telah banyak diperkenalkan dan matematika modern menjadi ungkapan yang dapat diterima. Matematika di sekolah merupakan kumpulan aturan-aturan yang tidak mudah dipahami, sehingga dibutuhkan adanya perubahan. Akan tetapi, perubahan tidak selalu membawa ke arah yang lebih baik, dan pengenalan topik baru tidak akan secara otomatis membawa pemahaman yang lebih baik jika masih mengajar dengan cara lama yang sama buruknya. Beberapa pembaharu mencoba untuk menyajikan matematika sebagai suatu perkembangan logika. Pendekatan ini patut dipuji karena menunjukkan bahwa matematika masuk akal dan tidak berubah-ubah,

tetapi

pendekatan

ini

memiliki

dua

kesalahan.

Pertama,

pendekatan

ini

membingungkan pendekatan logis dan psikologis. Tujuan utama penyajian secara logis adalah untuk meyakinkan yang ragu; dan tujuan utama penyajian psikologis adalah untuk memberikan pemahaman. Kedua, pendekatan ini hanya memberi hasil akhir dari penemuan matematika dan gagal untuk membawa siswa ke dalam prosesnya. Permasalahan dari proses belajar mengajar adalah masalah psikologi. Dan sebelum kita dapat membuat banyak perbaikan dalam pengajaran matematika, kita perlu tahu lebih banyak tentang bagaimana itu belajar. Bagian pertama buku ini akan menjelaskan tentang apa itu pemahaman dan dengan cara apa kita dapat mewujudkannya. Kita pasti tahu, apakah kita paham akan sesuatu atau tidak, dan sebagian besar kita memiliki keyakinan bahwa hal itu penting. Apa yang terjadi ketika kita paham, tidak akan terjadi jika kita tidak paham. Kadangkala, kita berpikir bahwa kita telah memahami sesuatu, tetapi ternyata kita tidak paham. Jadi, sampai kita memiliki pemahaman yang lebih baik, kita akan berada dalam posisi yang lebih miskin, salah satunya dalam memahami matematika. Tentunya kemampuan utama yang diperlukan untuk matematika adalah kemampuan untuk membentuk dan memanipulasi ide-ide abstrak , dan pasti kemampuan ini bertepatan erat dengan apa yang kita maksud dengan kecerdasan.

Kebiasaan Belajar dan Cerdas Belajar Ada perbedaan kualitatif antara 2 jenis pembelajaran yang bisa kita sebut kebiasaan belajar , atau hafalan - hafalan , dan belajar yang melibatkan pemahaman , yang mengatakan belajar cerdas . a.

Yang pertama dapat direplikasi di laboratorium tikus atau merpati , dan untuk berbagai alasan (seperti tingkat kontrol yang lebih eksperimental yang mungkin) psikolog kontemporer telah lama tampaknya lebih memilih untuk mempelajari pembelajaran semacam ini . Sebagai Profesor Ben Morris menulis , ' ... sebagian besar bekerja pada pembelajaran secara umum adalah dalam hal spesies sederhana dari homo sapiens dan tidak signifikan relevan dengan jenis pembelajaran dengan mana pendidikan yang bersangkutan ' .

b.

Yang kedua jenis pembelajaran adalah bahwa di mana siswa paling unggul , dan di mana dia paling berbeda dari semua spesies lain . Sekarang , kecerdasan adalah subjek yang telah lama baik ke depan di penelitian psikologis. Namun penelitian di bidang ini telah di utama telah diarahkan baik terhadap psikometri atau kontribusi relatif dari keturunan dan lingkungan pada kecerdasan: sambil belajar teori miliki, sampai saat ini , sebagian besar mengabaikan interaksi antara kecerdasan dan belajar

Untuk psikolog yang tertarik dalam belajar cerdas, yang berarti pembentukan struktur konseptual dikomunikasikan dan dimanipulasi dengan cara simbol , * matematika menawarkan apa yang mungkin merupakan contoh yang paling jelas dan paling terkonsentrasi . Dalam mempelajari pembelajaran dan pemahaman matematika , kita sedang mempelajari fungsi kecerdasan dalam apa yang sekaligus murni khususnya , dan juga tersedia secara luas .

Apakah kecerdasan itu ? Belum ada kesepakatan umum di kalangan psikolog tentang bagaimana mungkin kecerdasan didefinisikan . Sebuah diskusi lengkap dari topik ini adalah di luar lingkup , atau kebutuhan, diberikan oleh Vernon : ' . Kecerdasan B adalah jumlah kumulatif dari skema atau rencana mental yang dibangun melalui interaksi individu dengan lingkungannya , sepanjang peralatan konstitusionalnya memungkinkan ' ^ Dua istilah di sini memerlukan penjelasan lebih lanjut : ' Intelijen B ' , dan ' skema ' . ' Intelijen B ' adalah istilah yang diperkenalkan oleh Hebb tahun 1949 . Dengan kata ini : "Dari sudut pandang ini tampaknya kata " kecerdasan " memiliki dua makna yang berharga . ( A ) Potensi bawaan , kemampuan untuk pengembangan , properti sepenuhnya bawaan yang berjumlah milik otak yang baik dan metabolisme saraf yang baik . ( B ) Fungsi otak dimana pembangunan telah berlangsung , menentukan tingkat rata-rata kinerja pemahaman oleh menyimpang tumbuh atau dewasa orang . tentu saja, diamati secara langsung , tetapi kecerdasan A , potensi asli ' * Istilah "kecerdasan B ' telah menjadi banyak digunakan juga dalam konteks fungsi mental

Matematika dan Intelijen B Matematika adalah contoh yang sangat baik dari intelijen B. Ada dua alasan untuk ini . Pertama pembelajaran matematika menghasilkan banyak dan jelas contoh perkembangan skema itu total Lalu, merupakan kecerdasan digambarkan oleh Vernon. Kedua , penerapan matematika untuk masalah ilmu alam , teknologi dan perdagangan begitu kuat bahwa matematika muncul sebagai salah satu yang paling , mungkin yang paling , sangat dikembangkan alat mental yang tersedia bagi kita untuk berurusan dengan lingkungan fisik kita . Jika kecerdasan B adalah kecerdasan jika berfungsi pemahaman , memprediksi dan mengendalikan lingkungan pisikal kita , maka matematika mencontohkan intelijen B di salah satu perkembangan yang paling sukses nya .

Potensi yang belum direalisasi homo sapiens Spesies kita sendiri , Homo sapiens , adalah terobosan baru dalam evolusi . Tapi intelijen di dalam kebohongan keunggulan kami tetap , dalam banyak kebudayaan , sebagian besar belum

direalisasi . Tidaklah berlebihan untuk mengatakan bahwa perbedaan standar material antara teknologi paling primitif , adalahsama besar atau lebih besar dari perbedaan antara yang terakhir dan merupakan spesies tertinggi dari spesies hewan lainnya . yang terlebih dahulu, perbedaan hasil tidak dari perbedaan dalam kecerdasan A , tentang bukti yang masih cukup meyakinkan , tetapi dari perbedaan dalam kecerdasan B , karena hal inilah yang efektif dalam mengendalikan lingkungan . Tetapi bahkan dalam budaya-budaya di mana , melalui sekolah , perguruan tinggi, percetakan , penyiaran, dan sarana lainnya , potensi kecerdasan A lebih lengkap direalisasikan sebagai fungsi intelijen B, proses perkembangan masih hampir seluruhnya didasarkan pada tradisi dan pendapat daripada pengetahuan ilmiah dan penelitian. Jika kita mampu sadar dan sengaja untuk mendorong pertumbuhan kecerdasan B , siapa yang tahu langkah apa yang selanjutnya yang dilakukan peradaban kita? Dan jika kita ingin mengetahui bagaimana cara terbaik untuk melakukan hal ini , mana yang lebih baik yang dapat kita pelajari proses atau pada pembelajaran matematika? Kemungkinan jangka panjang penyelidikan yang sekarang kitamemulai sama pentingnya dengan itu.

BAB II PORMASI KONSEP MATEMATIKA

ABSTRAKSI DAN KLASIFIKASI Istilah “konsep” sering digunakan, tetapi tidak mudah untuk didefinisikan. Karena tidak ada definisi secara langsung dan tepat untuk mengartikan kata “konsep” itu sendiri. Konsep matematika adalah sebuah pengertian yang abstrak. Untuk dapat menangkap pengertian konsep tersebut akan dimulai dengan contoh-contoh. Pada kasus perkembangan bayi masa pra-verbal dapat dijelaskan sebagai berikut: pertama, seorang bayi yang berumur 12 bulan, ketika ia mendapati botol susunya yang kosong, ia merangkak menghampiri dua botol anggur yang kosong kemudian ia meletakan botol susunya di samping kedua botol tersebut. kedua, seorang bayi berumur 2 tahun, dia melihat bayi lain merangkak, kemudian membelai kepalannya dan menepuk-menepuk punggungnya. (dia melakukan ini karena dia melihat kebayakan orang lain memperlakukan yang sama kepada anjing, tetapi tidak pernah melihat sebelumnya perlakuan pada bayi yang lainnya). Dari contoh kasus di atas dapat di simpulkan: pertama, mereka mengklasifikasikan sesuatu berdasarkan pengalaman-pengalaman sebelumnya. Kedua, memasangkan dari pengalaman mereka kedalam beberapa kelompok. Kitapun melakukan hal yang sama yaitu: kita mengambil pengalaman yang lalu untuk kita terapkan pada situasi saat ini. Aktivitas ini secara otomatis akan kita lakukan secara berkesinambungan atau terus menerus. Pada tingkatan bawah, kita mengelompokan setiap kali kita mengenal sebuah objek sebagai salah satu yang telah kita lihat sebelumnya. Dan ternyata tidak semua pengalaman ini sama, sampai kita dapat mengetahui perbedaan–perbedaan itu secara nyata. Dari perubahan ini kita mengabstrasikan ke dalam keberagaman sifat dan sifat-sifat ini masuk kedalam ingatan kita dalam jangka waktu yang lebih lama dari pada sesuatu yang kita lihat secara sepenggal-sepenggal dari suatu objek. Seperti pada diagram berikut: (gambar hal.20) C

C1

C2

C3

C4

C1, C2, C3... Cn menggambarkan pengalaman-pengalaman yang terdahulu tentang sejumlah objek yang mempunyai kesamaan yang disebut Particular chair. Dari sini kita mengabstrasikan sifatsifat umum dari objek-objek itu seperti yang di tunjukan oleh C. Ketika sebuah abstraksi itu terbentuk maka pengalaman-pengalaman yang lain akan mudah untuk kita bedakan apakah pengalaman itu

masuk kedalam abstraksi kita atau di luar abstrasi kita. Jika pengalaman itu diluar abstraksi kita, maka kita akan membuat abstraksi yang baru dan proses ini akan berulang-ulang. Sehingga kemampuan kita semakin cepat dalam melakukan abstraksi. Sebagai contoh: meja, karpet, lemari kita abstraksikan kedalam kelompok perabotan, tanpa melihat pertimbangan-pertimbangan yang lain. Penamaan dari pengkelompokan objek ini, mempunyai kelebihan atau kekurangan. Kita seharusnya bisa mengklasifikasikan suatu objek berdasarkan fungsi dan kegunaan, hubungan, waktu penggunaan dan mungkin juga berdasarkan simbol. Kita lanjutkan ke abstraksi lebih lanjut. Dari kursi C, C’, C”, kita mengabstraksikan lebih lanjut dalam variasi lain, yaitu Ch sebagai anggota golongan ini. Hal ini disebut abstraksi kedua (dari kelompok abstraksi C, C’, C”) yang diberi nama kursi. Variasi lain ini memiliki karakteristik yang lebih fungsional dan sedikt perceptual, yaitu lebih sedikit berkaitan dengan fisik sebuah kursi. Ch

C

C’

C’’

Ketika saya melihat keranjang-usaha, telur-bentuk, dan dari tali. Hal itu sedikit membosabkan atau tidak mirip dengan kursi yang pernah saya lihat, tetapi saya mengenalinya saat sebagai kursi. Dari abstraksi kursi, bersama-sama dengan abstraksi lainnya seperti meja, karpet, almari; abstraksi lebih lanjut yaitu perabot rumah tangga, dll. Penggolongan ini tidak berarti diperbaiki. Terutama bagi anak kecil, kursi juga digolongkan sebagai sesuatu yang dapat berdiri, peralatan senam, dan rangka kerja dari rumah bermain. Meja terkadang digunakan sebagai kursi. Fleksibilitas dalam penggolongan ini berdasarkan waktu, lebih tepatnya penyesuaian. Penamaan sebuah golonogan objek memiliki kelebihan dan kekurangan. Penggolongan yang terpenting adalah berdasarkan fungsi dan relasinya. Apa sajakah itu? Namun, saat benda digolongkan secara khusus, kita juga sedikit mengaitkan dengan penggolongan lain. Kebanyakan, kita menggolongkan mobil sebagai kendaraan, waktu-tabungan, dan mungkin status lambang dan penggolongannya berdasarkan fungsinya. Beberapa juga melihatnya sebagai objek letal dan tingkah lakuny. Oleh karena itu, sedikit dihitung daripada harus menggolongkannya. Hal ini berguna untuk menghubungkan beberapa istilah yang digunakan lebih jauh. Mengabstraksikan adalah suatu kegiatan yang menjadikan kita sadar akan adanya persamaan dari sesuatu yang pernah kita lihat sebelumnya. Menggolongkan berarti mengumpulkan semua pengalaman berdasarkan adanya persamaan. Hasil abstraksi memungkinkan kita untuk meengenali pengalaman baru dengan melihat persamaannya lalu membentuk golongan. Ringkasnya, kita dapat menggolongkan sesuatu dengan mendefinisikan suatu golongan. Untuk membedakan antara abstraksi sebagai aktivitas dan abstraksi sebagai hasil, kita harus mengenal konsep. Suatu kutipan tanda menunjukkan nama konsep tetapi hal ini tidak berarti konsep berdiri sendiri. Dengan demikian, konsep memelukan bentuk pengalaman yang umum. Ketika membicarakan konsep, kita juga membcarakan mengenai contohnya. Setiap konsep berasal dari pengalaman sehari-

hari dan conto bentuknya terjadi secara acak dalam konteks waktu. Kita sering menjumpai objek-objek yang secara umum dapat dikonsepkan lebih cepat tetapi banyak faktor lain yang mempengaruhinya. Salah satu contohnya membandingkan. Contohnya:

X mengeluarkan persepsi kita dari lima variasi bentuk O. objek yang tampak berbeda dari sekitarnya akan lebih mudah diingat dan persamaanya lebih abstrak dalam interval ruang dan waktu. Diagram itu juga menggambarkan fungsi bukan contoh dalam menentukan golongan. X yang berbeda dari semua bentuk, membuat persamannya lebih diperhatikan. Karakteristik esensial dari kursi dapat dijellaskan dengan menunjukkan bangku, dipan, tempat tidur, dan kursi taman bukanlah kursi. Hal ini sangat bermanfaat untuk memperbaiki batas dari suatu golongan. Kita menggunakan objek yang mungkin menjadi contoh dan bukan contoh.

Penamaan Bahasa bagi manusia sagat erat hubungannya dengan konsep dan bentuk konsep. Kita tidak dapat melepaskan penamaan dari diskusi ini. Tentu saja, banyak orang kesulitan untuk memisahkan konsep dengan namanya, seperti yang diilustrasikan oleh Vygotsky. Vygotsky menceritakan pada seorang anak untuk mengubah nama dari beberapa objek, kemudian akan menanyakan pertanyaan tentang objek itu. Seorang anak diminta menyebut seekor anjing dengan kata “sapi”. Dia kemudian bertanya, ‘Apakah sapi memiliki tanduk?’ anak: ‘Ya.’ Peneliti: ‘Tetapi, sapi ini sebenarnya seekor anjing.’ Anak: ‘Ya, jika anjing adalah sapi, jika itu dipanggil sapi, maka pastilah bertanduk. Begitu anjing dipanggil sapi, maka harus mempunyai tanduk kecil.’ Vygotsky juga mengutip cerita tentang seorang petani. Setelah mendengar dua orang siswa antronomi membicarakan tentang bintang, dia mengatakan dia mengerti bahwa dengan bantuan peralatan, dia dapat mengukur jarak dari bumi ke bintang dan menentukan posisinya dan pergerakannya. Permasalahannya, bagaimana mereka menemukan kata bintang. Perbedaan antara konsep dan nama itu adalah salah satu yang penting bagi pembahasan kita sekarang. Konsep adalah suatu ide. Nama sebuah konsep suara, atau tanda di atas kertas, yang terkait dengannya . Asosiasi ini dapat dibentuk setelah konsep telah terbentuk. Jika nama yang sama yang didengar atau dilihat setiap kali contoh konsep ditemui, pada saat suatu konsep dibentuk nama telah menjadi terkait erat dengan itu bahwa bukan hanya oleh anak-anak bahwa itu keliru untuk konsep itu sendiri. Secara khusus , angka (konsep-konsep matematika ) dan numeral ( nama-nama yang kita gunakan untuk angka) sangat membingungkan. Hal ini dibahas lebih lanjut dalam Bab 5 . Dikaitkan dengan konsep, penggunaan nama yang sehubungan dengan obyek membantu kita untuk mengklasifikasikannya. Bertujuan untuk mengenalinya sebagai kelas yang ada . ' Apa ini ? ' Sebuah jenis baru dari pembuka botol, yang bekerja dengan udara terkompresi . " Sekarang kita telah mengklasifikasikan itu, yang kita dapat lakukan dengan sifat persepsi itu saja, jadi kita tahu apa yang harus dilakukan. Klasifikasi ini dilakukan dengan membawa konsep pembuka botol untuk kesadaran pada saat yang sama sebagai pengalaman baru .

Berhubungan dengan konsep, penggunaan nama dalam menghubungkan suatu objek menolong kita untuk mengklasifikasi, yaitu untuk mengenali suatu benda termasuk ke dalam kelas yang sudah ada. Penamaan dapat berperan secara maksimal, kadang-kadang penting, dalam pembentukan konsep baru. Jika nama yang sama muncul dari pengalaman-pengalaman yang berbeda, akan mempengaruhi kita untuk mengelompokkan pengalaman itu ke dalam satu pikiran kita dan kemudian mengabstraksi kesamaan ekstrinsiknya sehingga membantu kita untuk dapat memisahkan kelompok mereka sendiri-sendiri.

Komunikasi Konsep Bisa kita lihat bahwa bahasa dapat digunakan untuk mempercepat pembentukan sebuah konsep. Namun dapatkah bahasa digunakan untuk mempercepat mendefinisikan konsep yang sederhana secara verbal? pada keadaan tertentu hal ini sering dicoba. Perhatikan contoh berikut, misalnya kata “merah” dan bayangkan kita menanyakan arti kata ini pada orang yang buta sejak lahir. Arti dari kata itu adalah konsep yang terkait dengan kata itu, jadi tugas kita sekarang adalah bagaimana membuat orang tersebut mampu membentuk konsep merah dan menghubungkannya dengan kata merah. Ada dua cara yang mungkin dapat kita lakukan, yaitu memberikan suatu definisi misalnya “merah adalah warna yang kita nyatakan sebagai panjang gelombang cahaya pada daerah 0,6 mikro”. Apakah sekarang dia mengerti konsep ’merah’? Tentu saja bukan. Sehingga definisi sia-sia untuknya, dan tak diperlukan untuk yang lain. Secara intuitif, dari kasus tersebut dapat diberikan contoh beberapa objek yang berhubungan dengan kata merah misalnya, diary merah, dasi merah, penjepit merah dan seterusnya. Dari dua cara tersebut pemberian contoh merupakan cara yang lebih tepat pada kasus ini untuk dapat menemukan konsep merah dan memperoleh pengalaman baru sehingga dapat mengabstraksi sifat-sifat umum dari merah. Di sini penamaan merah tidak dipakai. Jika ada pertanyaan “apa artinya warna?” maka dengan mudah kita menyebut merah, biru, hijau, kuning, dan seterusnya yang disebut konsep. Jika dia telah memiliki konsep tersebut dalam pikirannya, kehadiran konsep tersebut dipikiranya tidak cukup maka kumpulan kata warna dari mereka yang mungkin, meskipun tidak dijamin proses ini adalah abstraksi. Penamaan sekarang menjadi faktor penting dari proses pengabstraksian. Sekarang kita perlu membedakan antara dua macam konsep, yaitu konsep-konsep primer, yang berasal dari rangsangan misalnya merah, berat, panas, manis, dan lain sebagainya, dan konsep-konsep

sekunder yang berasal dari pengalaman yang di abstraksikan dari konsep-konsep lain. Jika konsep A adalah contoh dari konsep B, maka kita katakan bahwa B setingkat lebih tinggi dari pada A. Secara jelas jika A sebuah contoh dari B, dan B dari C, maka C juga lebih tinggi tingkatannya dari B dan A. tingkat yang lebih tinggi di sini maksudnya adalah “diabstraksikan dari” (secara langsung atau tidak langsung). Bahwa tingkatan diantara konsep-konsep dan susunan konsep, membuat kita mampu mengkomunikasikan sebuah konsep dengan definisi. konsep-konsep seperti warna, cahaya, hanya dapat dibentuk jika konsep konsep seperti merah, biru, hijau dan lain sebagainya telah terbentuk. Pada umumnya konsep-konsep dengan tingkat tinggi tidak dapat dikomunikasikan dengan pendefinisian, tetapi hanya dengan menunjukkan contoh-contoh yang sesuai.

Apa digunakan, jika ada, kemudian, adalah definisi? Dua kegunaan dapat dilihat sekaligus, jika itu dibutuhkan (misalnya untuk filter warna fotografi) untuk menentukan ketetapan batas yang dapat kita sebut dengan warna merah, selanjutnya definisi di atas akan memungkinkan kita untuk berkata dimana merah itu bermula dan berakhir. dan setelah melangkah lebih jauh dalam proses abstaksi , yaitu pada pembentukan kelas yang lebih besar berdasarkan persamaannya, sebuah definisi memungkinkan kita untuk menyelidiki kembali langkahlangkah kita. Dengan menyatakan kepada semua (dan hanya mereka) kelas tentang konsep tertentu yang kami miliki, kita dibiarkan dengan hanya satu kemungkinan konsep- satu-satunya yang kita definisikan. Pada proses kami telah menunjukkan bagaimana kaitannya dengan konsep-konsep yang lain secara hirarki. Definisi dapat sedemikian diperlihatkan sebagai 1 cara untuk menambahkan ketepatan batas-batas dari suatu konsep, sekali terbentuk, dan menyatakan dengan eksplisit hubungannya dengan konsep lain. Konsep-konsep baru, dari orde yang lebih rendah, dapat juga dikomunikasikan pertama kali dengan cara ini. Contohnya, jika kita seseorang yang buta bertanya ‘Apa itu warna magenta?’ dan kita tidak dapat menemukan sebuah kepastian untuk menunjukkan warna magenta padanya, kita dapat berkata “ini adalah warna, diantara merah dan biru, dan lebih condong ke warna biru daripada merah.”Asalkan dia sudah memiliki konsep warna merah dan biru, dia paling tidak dapat membentuk permulaan dari konsep magenta meski tanpa mellihat warna ini. Karena sebagian konsep baru yang kita butuhkan pada kehidupan sehari-hari adalah konsep dengan orde rendah, kita biasanya dapat menemukan konsep-konsep dengan tingkat tinggi yang dapat dengan mudah dikomunikasikan dengan definisi sebagai sebuah konsep baru; sering diikuti dengan satu atau dua contoh , yang kemudian menyajikan sebuah perbedaan- berikut ilustrasinya. “Apa itu bangku?””Bangku adalah kursi untuk satu orang, tanpa sandaran”, adalah sebuah definisi yang cukup baik, tetapi meskipun demikian beberapa contoh akan menentukan konsep sedemikian rupa untuk mengecualikan kursi kaki, sofa-sofa, dan ayunan taman jauh lebih berhasil daripada menjelaskan definisi. Dalam matematika, bagaimanapun, tidak hanya konsep=konsep yang lebih abstrak daripada kehidupan sehari-hari, akan tetapi arah belajarnya adlah untuk menumbuhkan kemampuan abstraksi. Komunikasi dari konsep matematika cukup sulit, bagi komunikator maupun penerima. masalah ini akan dibahas lagi segera, setelah topik-topik umum tertentu sudah dijelaskan. Konsekuensi lain dari prinsip ini, kita dapat menyimpulkan bahwa konsep-konsep pada tingkat tinggi secara hirarki tidak dapat dikomunikan kepada seseorang dengan definisi. Ini adalah, bahwa konsep-konsep itu sendiri tidak dapat didefinisikan: untuk beberapa konsep tertentu harus dapat menjadi contoh dari konsep ini, dan kerannya ebh tinggi daripada konsep lain. We bagaimanapun dapat mendiskripsikan beberapa karakteristik dari konsep-konsep, mendiskusikan bagaimana

fungsinya,

dan

membangun

pemahaman

umum

tentang

suatu

ide

dengan

menguhungkannya dengan ide-ide yang lain. Hal ini memadai untuk tujuan kita, karena memang itu harus. Saya percaya bahwa matematika tidak dapat secara pasti didefinisikan, tetapi hanya dengan dicontohkan.

Konsep-konsep sebagai sebuah warisan budaya Konsep tingkat rendah dapat dibentuk, dan digunakan, tanpa menggunakan bahasa. Kriteria untuk memiliki konsep bukanlah dengan dapat menyebutkan namanya, tetapi dari kelakuannya yang dapat menunjukkan sebuah pengelompokan berdasarkan kesamaan. hewan berperilaku dengan cara yang satu mungkin cukup menyimpulkan bahwa mereka membentuk konsep sederhana. Perilaku hewan dapat dibentuk dengan suatu cara sehingga kita dapat menyimpukan bahwa mereka membentuk konsep sederhana. Seekor tikus, dilatih untuk memilih sebuah pintu berwarna middle abu2 yang lebih condong ke abu-abu terang, jika disajikan pintu berwarna middle abu-abu dan abu-abu gelap yang condong ke abu-abu gelap . itu memproses persyaratan data 'gelap yang'. Diskontinuitas paling jelas antara manusia dan hewan lain adalah bahwa manusia menggunakan bahasa. apa ini berarti kurang jelas. jika kita memilih sebuah kata secara acak kita akan hampir selalu menemukan bahwa konsep nama- arti kata-bukanlah objek tertentu atau pengalaman, tapi clasa. (kata benda pengecualian parsial). Sekarang, terdapat dua cara untuk menumbuhkan sebuah konsep; yaitu , menyebabkan ia mulai berfungsi. Pertama adalah dengan memberi contoh-contoh dari konsep. Konsep kemudian dijadikan sebagai bentuk tindakan untuk kemudian digunakan sebagai cara kita mengkalasifikasi contoh dan pengalaman dasar yang ditekankan adalah pengenalan . Cara yang lainnya adalah dengan mendengar , membaca , atau kalau tidak mengetahui nama atau simbol lain , untuk konsep . Hewan dapat melakukan pertama , dan yang kedua hanya bisa dilakukan manusia kedua . Dan alasan untuk itu tidak terletak pada keunggulan alat vokal unggul, tetapi kemampuan untuk mengisolasi konsep dari salah satu contoh dapat ,mereka lakukan . Hanya dengan melepas dari pengalaman sensorik dari mana mereka berasal konsep dapat dikumpulkan bersama sebagai contoh dari konsep-konsep baru , dan abstraksi yang lebih besar dapat dibentuk . Kami berharap kemampuan untuk melepas ini dapat berkaitan dengan kemampuan abstraksi , karena semakin kuat organisasi mental yang tidak didasarkan pada data arti langsung tetapi pada kesamaan di antara mereka , semakin besar kita akan mengharapkan kemampuannya untuk berfungsi sebagai entitas independen . Pandangan ini didukung oleh bukti-bukti dari beberapa sumber . Anak denganKecerdasan yang sangat rendah tidak belajar bicara , meskipun perlengkapan vokalnya memadai. Simpanse , dikatakan paling dekat hubungannya dengan manusia, dia bisa belajar untuk duduk di meja dan minum dari cawan , tapi tidak bicara . Manusia adalah yang paling cerdas dan paling mudah beradaptasi daripada semua spesies . Dia juga satu-satunya spesies yang bisa bicara. Konsep dari pengalaman yang muncul pada mereka, dan keterikatan mereka bukan untuk bahasa, adalah inti dari superioritas manusia atas spesies lain . Ini adalah langkah pertama menuju realisasi potensi yang kecerdasannya lebih besar. Kecerdasan membuat pembicaraan mungkin, tetapi pembicaraan (yang harus dipelajari ) sangat penting untuk pembentukan dan penggunaan yang lebih tinggi agar konsep secara kolektif membentuk warisan ilmiah dan budaya kita . Konsep adalah cara pengolahan data yang memungkinkan pengguna untuk membawa pengalaman masa lalu yang berguna pada situasi sekarang. Tanpa bahasa masing-masing individu harus membentuk konsep sendiri langsung dari lingkungan. Tanpa bahasa, konsep-konsep primer tidak dapat dibawa bersama-sama untuk membentuk konsep tatanan yang lebih tinggi. Dengan

bahasa, bagaimanapun, proses pertama dapat dipercepat, dan yang kedua adalah dimungkinkan. Selain itu, konsep masa lalu, dengan susah payah diabstraksikan dan perlahan-lahan terakumulasi oleh generasi berturut-turut, menjadi tersedia untuk membantu individu baru membentuk sistem konseptualnya sendiri . Pembangunan yang sebenarnya dari sebuah sistem konseptual adalah sesuatu yang setiap individu harus lakukan untuk dirinya sendiri. Tetapi proses dapat sangat dipercepat jika, sehingga untuk berbicara, bahan yang untuk tangan. Hal ini seperti perbedaan antara membangun perahu dari kayu gergajian, dan harus mulai dengan berjalan kaki ke hutan, penebangan pohon, menyeret mereka pulang, membuat papan - setelah pertama ditambang beberapa bijih besi dan dilebur untuk membuat kapak dan gergaji ! Terlebih lagi, karya genius dapat dibuat oleh orang biasa. Konsep seperti gravitasi, hasil penelitian oleh salah satu kecerdasan dunia telah dikenal, menjadi tersedia untuk semua ilmuwan yang mengikuti. Orang pertama yang membentuk konsep baru ini harus mengabstraksikannya sendiri, tanpa bantuan. Setelah itu, bahasa dapat digunakan untuk mengarahkan pikiran mereka yang mengikuti sehingga mereka dapat membuat penemuan yang sama dalam waktu kurang dan dengan kecerdasan kurang. Namun bahkan newton itu tidak berarti sama sekali tanpa bantuan. Ia mengatakan , dengan kerendahan hati , " jika saya telah melihat sedikit lebih jauh daripada yang lain , itu karena saya telah berdiri di bahu raksasa ' . Struktur konseptual matematika sebelumnya dan ilmuwan yang tersedia baginya . Dalam konteks ini, ide umum dari suara berguna . Dengan ini dimaksudkan Data yang relevan dengan komunikasi tertentu, sehingga apa suara dalam satu konteks mungkin tidak begitu di lain hal. ( misalnya , jika kita mendengarkan musik ketika telepon berdering , suara bel menyampaikan informasi bahwa seseorang memanggil kita, tapi bunyi relatif terhadap musik. ) semakin besar suara, semakin sulit untuk membentuk konsep. Sebelum membaca, silakan memasukkan tangan Anda di atas diagram yang berada di sisi kanan halaman berikutnya. Cobalah untuk membentuk konsep dari contoh-contoh tinggi suara dan non - contoh. Sekarang menghapus tangan Anda dan mencoba untuk membentuk konsep dari contoh-suara rendah dari konsep yang sama . Dari contoh kanan jauh lebih mudah untuk melihat bahwa konsep ini memiliki garis berpotongan . Ekstra suara pada contoh kiri sebagian berasal dari garis tambahan , tetapi sebagian besar dari fakta bahwa masing-masing tampak seperti sesuatu . Sebuah atribut dari kecerdasan yang tinggi adalah kemampuan untuk membentuk konsepkonsep dalam kondisi kebisingan/suara yang lebih besar. Tetapi sekali kita memiliki sebuah konsep, kita bisa melihat contoh itu di mana sebelumnya kita tidak bisa.

Kekuatan pemikiran konseptual Pemikiran

konseptual

menganugerahkan

pada

pengguna

kekuatan

besar

untuk

mengadaptasikan perilakunya terhadap lingkungan, dan untuk membentuk lingkungannya untuk memenuhi kebutuhan sendiri. Ini hasil sebagian dari detasemen konsep dari kedua hadir akal - data dan perilaku, dan manipulasi secara mandiri. Kami mengambil begitu banyak untuk diberikan bahwa kita tidak menyadari keuntungan besar dari tidak harus melakukan sesuatu dalam rangka untuk mengetahui apakah itu adalah hal terbaik untuk dilakukan! Tapi , tentu saja, semua kegiatan utama ,

dari mendirikan bisnis untuk membangun pesawat terbang , disatukan dalam pikiran sebelum mereka dibangun pada kenyataannya . Kekuatan konsep juga berasal dari kemampuan mereka untuk menggabungkan dan menghubungkan banyak pengalaman yang berbeda , dan kelas pengalaman . Semakin abstrak konsep , semakin besar kekuasaan mereka untuk melakukan hal ini . Orang yang mengatakan ' Jangan buat khawatir saya dengan teori – hanya berikan fakta-fakta ' adalah orang yang berbicara bodoh . Satu set fakta hanya dapat digunakan dalam situasi di mana mereka berada , sedangkan teori yang tepat memungkinkan kita untuk menjelaskan , memprediksi , dan mengendalikan sejumlah besar peristiwa tertentu di kelas yang berhubungan. Sebuah kontribusi lebih lanjut untuk kekuatan pemikiran konseptual berkaitan dengan rentang perhatian kami . Memori jangka pendek kami hanya dapat menyimpan , rata-rata , 7 kata atau simbol lainnya . ( Kisaran biasanya dikutip adalah 7 + - . 3 ) Jelas semakin tinggi urutan konsep yang merupakan simbol-simbol ini , semakin besar pengalaman yang mereka bawa. Matematika adalah yang paling abstrak , sehingga yang paling kuat dari semua sistem teoritis . Oleh karena itu , berpotensi paling berguna, ilmuwan pada khususnya , tetapi juga ekonom dan navigator , bisnis dan insinyur komunikasi , menemukan suatu alat yang sangat diperlukan (sistem pengolahan data ) untuk pekerjaan mereka . Kegunaannya adalah, bagaimanapun, hanya potensi , dan banyak yang bekerja keras dan berusaha untuk belajar sepanjang mereka masih sekolah memberi sedikit manfaat , dan tidak ada kenikmatan . Hal ini karena mereka tidak benar-benar belajar matematika sama sekali. Yang terakhir adalah proses yang menarik dan menyenangkan , meskipun banyak akan menemukan ini sulit untuk percaya . Apa yang diderita banyak anak dan siswa adalah memanipulasi simbol yang memiliki sedikit atau tidak ada makna yang melekat , menurut sejumlah aturan hafal-menghafal. Hal ini tidak hanya membosankan (karena berarti), itu sangat sulit, karena aturan yang tidak berhubungan jauh lebih sulit untuk diingat daripada struktur konseptual terpadu. Titik terakhir akan diambil dalam capter berikutnya. Di sini kita akan memusatkan perhatian pada komunikasi konsep-konsep matematika .

Belajar konsep matematika Kebanyakan dari pengetahuan sehari-hari kita dipelajari secara langsung dari lingkungan sekitar, dan konsep yang kita dapati tidak abstrak. Permasalahan khusus atau yang juga merupakan kekuatan dari matematika terletak pada hebatnya keabstrakan dan keumuman yang dicapai oleh generasi-generasi sebelumnya. Pelajar jaman sekarang harus mengolah konsep matematika yang telah ada, bukan konsep yang masih mentah. Hal ini bukan hanya sebuah keuntungan yang tak terkira, bahwa seorang siswa bisa memperoleh pengetahuan tentang konsep dengan cepat, padahal konsepkonsep itu memerlukan waktu berabad-abad untuk mengembangkannya. Selain itu, hal ini juga dapat menghadapkan kita pada suatu tantangan tertentu. Matematika tidak dapat dipelajari secara langsung dari lingkungan sehari-hari, namun hanya dipelajari secara tidak langsung dari matematikawan yang lain. Sisi baiknya, hal ini dapat membuat sebagian besar pelajar bergantung pada gurunya, termasuk pada siapa saja yang menulis buku-buku matematika. Sisi buruknya, hal ini menghadapkannya pada kemungkinan untuk memperoleh rasa takut seumur hidup dan membenci matematika.

Meskipun prinsip pertama dalam belajar matematika adalah mudah, ini merupakan komunikator dari ide-ide matematika, dan bukan penerima yang sangat perlu untuk mengetahuinya. Dan meskipun mereka cukup sederhana, aplikasi matematika mereka melibatkan banyak berpikir keras. 1.

Konsep yang lebih tinggi yang dimiliki seseorang tidak dapat dikomunikasikan kepada

siswa hanya dengan sebuah definisi, melainkan dengan mengatur sedemikian rupa sehingga ia menemukan sejumlah contoh-contoh yang cocok. 2.

Dalam matematika, contoh-contoh selalu mendasari banyak konsep. Ini berarti bahwa

contoh-contoh itu harus dikuasai di dalam pemikiran siswa

sehingga konsep-konsep itu dapat

dikuasai oleh siswa Prinsip pertama ini dipatahkan oleh sebagian besar buku, baik dulu maupun sekarang. Akhirakhir ini, pada buku manapun kita melihat topik baru diperkenalkan bukan dengan contoh, melainkan dengan definisi. Hal ini sangat mengagumkan bagi guru-guru yang sudah menguasai konsep tersebut, tetapi bagi siswa hal ini sangat menyulitkan. Guru yang baik secara intuitif membantu siswa memahami sebuah definisi dengan contoh. Contoh yang dipilih harus memiliki sifat yang sama dalam membentuk konsep. Dengan kata lain, contoh-contoh itu harus sama cara peng-abstraksian-nya dan bila terdapat banyak sifat-sifat yang tidak relevan dengan konsep harus dihilangkan, atau lebih diteliti. Perlu diingat, sifat-sifat yang tidak berhubungan ini dapat dipandang sebagai noise (gangguan), meski kita bisa mengatakan bahwa beberapa noise diperlukan dalam membangun sebuah konsep. Pada tahap awal, noise tingkat rendah bisa memperjelas konsep sampai mendetail; tetapi jika konsep menjadi lebih besar, meningkatnya noise mengajarkan kita untuk dapat meng-abstraksi-kannya pada contoh-contoh yang lebih sulit, sehingga hal ini akan semakin mengurangi ketergantungan siswa kepada gurunya. Dalam menyusun sekumpulan contoh yang cocok, dibutuhkan daya cipta dan pemahaman yang mantap tentang konsep yang akan dikomunikasikan. Kemampuan ini harus dipunyai, dan dipergunakan, meski terkadang dimungkinkan adanya satu konsep pada taraf intuitif yang kita gunakan tanpa sadar. ini berlaku terutama untuk beberapa ide yang paling mendasar dan sering digunakan. Sebagai contoh, beberapa anak di Afrika sedang belajar teorema phytagoras. Mereka telah meniru segitiga siku-siku dari papan tulis, kemudian disuruh untuk membuat sebuah persegi pada setiap sisinya. Mereka dapat melakukannya dengan mudah pada dua sisi yang terpendek. Namun mereka mengalami kesulitan saat menggambar persegi pada sisi miring. Beberapa dari mereka bahakan ada yan menggambar seperti gambar berikut.

Dari prinsip kedua memahami matematika disebutkan bahwa dibutuhkan pengabstraksian lebih lanjut dari konsep-konsep yang sudah dimiliki sebelumnya. Untuk melakukan ini kita harus menemukan konsep-konsep pembantu, dan untuk setiap konsep pembantu harus ditemukan lagi konsep pembantunya, begitu seterusnya sampai ditemukannya konsep primer dari pengalaman yang dianggap telah diketahui. Bila hal ini telah dikerjakan, maka dapatlah dibuat sebuah rencana pembelajaran yang cocok, yang nantinya akan disajikan kepada siswa, misalnya bisa berupa tugas. Analisa konseptual ini melibatkan jauh lebih banyak kerja daripada sekedar memberikan definisi-definisi. Bila hal ini dilaksanakan secara konsisten akan memberikan hasil yang menggembirakan. Ide seperti ini, mula-mula baru diajarkan di Universitas, sekarang dianggap cukup sederhana sehingga sudah dikenalkan pada Sekolah Dasar. Contohnya topik mengenai himpunan dan korespondensi satu-satu. Sementara itu, ada topik yang dinggap elementer, setelah dianalisa ternyata berisi ide-ide yang sebagian besar belum dikuasai oleh guru, seperti pada topik pecahan. Ada dua konsekuensi lain dari prinsip kedua ini. Pertama, dalam menyusun abstraksi-abstraksi haruslah berurutan. Sebab bila dalam suatu tingkatan tertentu konsep tidak dikuasai secara sempurna, maka pada tingkat selanjutnya akan semakin mengalami kesulitan. Keterkaitan seperti ini hanya dijumpai pada pelajaran Matematika tetapi tidak pada pelajaran-pelajaran yang lain. Kita dapat mengerti ilmu bumi tentang Afrika meskipun kita tidak mempelajari ilmu bumi tentang Eropa. Sejarah abad ke-19 dapat dikuasai walaupun kita tidak mempelajari peristiwa abad ke 18. Dalam fisika, orang bisa mengerti panas dan cahaya birapun ia tidak mengerti suara. Sedangkan untuk bisa menguasai Aljabar harus betul-betul memahami ilmu hitung, sebab ilmu hitung mendasari ilmu aljabar. Karena itu, belajar aljabar tanpa menguasai ilmu hitung adalah hal yang mustahil. Karena banyak siswa yang mempelajari ilmu tidak sempurna, tidaklah mengherankan bahwa matematika menjadi sebuah buku yang tertutup bagi mereka. Bahkan bagi mereka yang memulai

(belajar) dengan baik, oleh karena

absen, kurang perhatian, atau alasan lain, dapat gagal membentuk konsep pada suatu tahap tertentu. Akibatnya, konsep–konsep berikutnya yang tergantung pada konsep itu mungkin tidak akan pernah dipahami. Akibat lainnya, siswa bias kehilangan ketajaman pikirannya. Tetapi, akibat yang terakhir ini masih bias diperbaiki bila dimungkinkan untuk melakukan penjajakan kembali; misalnya kalau buku yang dipakai memuat penjelasan yang cukup rinci dan bukan sekedar berupa kumpulan soal–soal latihan. Berarti keberhasilan juga ditentukan sebagian oleh kemampuan siswa belajar sendiri. Konsekuensi yang kedua adalah sumbangan konsep-konsep yang diperlukan untuk menentukan langkah-langkah baru dalam mengabstraksi haruslah tersedia. Ini berarti bahwa kapankapan saja konsep masa lalu diperlukan, konsep itu harus yang dapat diakses. Dan hal ini tidak cukup hanya mempelajari konsep tersebut di masa lalu karena konsep itu setiap kali diperlukan. Lagi–lagi ini berkaitan dengan tersedia atau tidaknya syarat–syarat untuk melakukan pelacakan kembali. Bagi pemula, bimbingan guru sangat bermanfaat dalam melakukan pekerjaan ini. Sedang bagi siswa yang aktif akan lebih baik bila melakukannya atas kesadaran sendiri. Implikasinya, suatu jawaban dari pertanyaan mempunyai arti yang lebih banyak bagi yang bertanya dibanding yang mendengar.

Belajar dan Mengajar Dalam belajar matematika, meskipun kita mampu mengkreasikan suatu konsep dalam pikiran kita, namun tidak bila lepas dari konsep-konsep matematika yang ditemukan oleh ahli matematika terdahulu. Seorang jeniuspun tidak akan melakukanya tanpa ini (konsep-konsep terdahulu). Hal ini terutama pada tahap awal menjadikan dan pada kebanyakan siswa sangat bergantung pada pengajaran yang baik. Untuk mengetahui apa iitu matematika, bagaimana mengajarkannya dan bagaimana mengkomunikasikannya pada orang yang tingkat konseptualnya lebih rendah merupakan beberapa hal yang perlu diperhatikan. Khusus mengenai bagaimana mengajarkan matematika pada orang yang tingkat konseptualnya lebih rendah saat ini kurang mendapat perhatian. Akibatnya banyak siswa selama sekolah tidak suka bahkan takut terhadap matematika. Banyak usaha yang telah dilakukan untuk memperbaiki hal ini. Misalnya, dengan memperkenalkan silabi model baru, penyajian yang lebih menarik, penyajian melalui TV dan lain-lain. Semua usaha ini akan lebih berarti bila proses mental yang terjadi dalam matematika juga diperhatikan. Dalam pembahasan ini, biarpun kita sedang membicarakan konsep-konsep matematika, namun kebanyakan contoh yang dipakai adalah non matematika. Konsep-konsep matematika dihasilkan dari beberapa pengabstraksian, disimpulkan dari abstraksi-abstraksi dan seterusnya, sehingga alas an psikologis yang semula dalam bahaya menjadi hilang oleh kekomplekkan contohcontoh matematika. Bahkan setelah diperiksa topik-topik sederhana seperti menghitung perkalian panjang, banyak memuat konsep-konsep tingkat rendah.

BAB III IDE DARI SKEMA Meskipun dalam bab sebelumnya perhatian kita dipusatkan pada pembentukan konsep tunggal, masing-masing dengan sifatnya tertanam dalam struktur konsep lain . Setiap (kecuali konsep primer) berasal dari konsep lain , dan berkontribusi terhadap pembentukan dari yang lain, maka itu adalah bagian dari hirarki. Tetapi pada setiap tingkat klasifikasi alternatif yang mungkin, mengarah ke hirarki yang berbeda. Sebuah mobil dapat digolongkan sebagai kendaraan ( dengan bus, kereta api , pesawat terbang ) , sebagai simbol status ( dengan judul , alamat yang baik , mantel bulu ) , sebagai sumber pendapatan pedalaman ( dengan tembakau , minuman , dan anjing lisensi ) ; sebagai ekspor ( dengan piringan hitam , wiski Scotch , Harris tweed ) , dll. Terlebih lagi , konsep kelas di mana kita telah bicarakan sejauh ini tidak berarti satu-satunya jenis . Mengingat koleksi , bukan dari benda tunggal tetapi pasangan benda , kita mungkin menyadari kesamaan antara pasangan . Sebagai contoh: Puppy , dog ; kitten , cat ; chicken, ayam . Di sini kita melihat bahwa masing-masing pasangan ini dapat dihubungkan dengan gagasan ' ... adalah muda ... ' . Contoh lain : Bristol , Inggris ; Hull , Inggris , Rotterdam ; Belanda. Dalam hal ini , masing-masing pasangan dapat dihubungkan dengan gagasan ' ... adalah pelabuhan ...' . Kedua ide menghubungkan mereka sendiri adalah contoh ide baru yang disebut relasi . Sebuah hubungan matematis dapat dilihat dalam koleksi pasangan berikut . ( 6 , 5 ) , ( 2 , 1 ) , ( 9 , 8 ) , ( 32 , 31 ) ... Kita dapat menyebut relasi ini 'adalah salah satu lebih dari ' , atau ' adalah penerus dari ' . Contoh lain matematika : ( 1/2 , 2/4 ) , ( 1/3 , 2/6 ) , ( 1/4 , 2/8 ) ... Hubungan ini disebut ' setara dengan ' . Fraksi-fraksi di masing-masing pasangan , meskipun tidak identik , mewakili jumlah yang sama . Pemberitahuan ( 1 ) bahwa dalam matematika itu adalah biasa untuk menyertakan pasangan dalam hubungan yang diberikan dalam kurung , seperti di atas , (2 ) bahwa urutan dalam pasangan biasanya penting . ini : ( 5 , 6 ) , ( 1 , 2 ) , ( 8 , 9 ) , ( 31 , 32 ) Berada dalam hubungan yang berbeda dari ini : ( 6 , 5 ) , ( 2 , 1 ) , ( 9 , 8 ) , ( 32 , 31 ) Kita bahkan dapat mulai mengelompokan hubungan ini . Mereka hubungan matematika yang diberikan sebagai contoh di paragraf terakhir yang dipilih untuk contoh dua jenis tertentu : urutan hubungan , dan hubungan kesetaraan . Hubungan urutan lainnya adalah : lebih besar dari , adalah nenek moyang , yang terjadi setelah . Hubungan kesetaraan lainnya adalah : adalah ukuran yang sama seperti , adalah saudara kandung , adalah warna yang sama dengan . Kedua hubungan urutan dan hubungan kesetaraan memiliki sifat umum yang penting . Jadi kita tidak hanya memiliki struktur hirarkis konsep kelas , tetapi struktur lain hubungan individu, dan kelas hubungan , yang membentuk silang - hubungan dalam struktur pertama.

Sumber lain linkages silang muncul dari kemampuan kita untuk ' mengubah satu ide ke lain ' dengan melakukan sesuatu untuk itu . Contoh

: baik → buruk

panas → dingin

tinggi → rendah

Contoh lain

: baik → terbaik

buruk → terburuk

tinggi → tertinggi

Ini 'sesuatu yang bisa kita lakukan untuk sebuah ide ' disebut transformasi , atau yang lebih umum fungsi. Ada banyak jenis transformasi , dan , terlebih lagi, kita dapat menggabungkan dua transformasi tertentu untuk mendapatkan transformasi lain (hanya salah satu dapat menggabungkan dua nomor untuk mendapatkan yang lain ) . Misalnya dengan menggabungkan dua transformasi di atas kita mendapatkan Baik → terburuk , panas → terdingin , dll Jadi transformasi keduanya terhubung di antara mereka sendiri , dan juga sumber lain hubungan antara ide-ide yang mereka terapkan . Hal tersebut di atas menawarkan singkat , dan mungkin lebih terkonsentrasi , sekilas kekayaan dan berbagai cara di mana konsep bisa saling terkait , dan struktur yang dihasilkan . Studi tentang struktur sendiri merupakan bagian penting dari matematika , dan studi tentang cara-cara di mana mereka dibangun , dan fungsi , di bagian paling inti dari psikologi pembelajaran matematika . Istilah umum psycholigical untuk struktur mental adalah skema . Istilah tidak hanya mencakup struktur konseptual matematika kompleks, tetapi struktur yang relatif sederhana yang mengkoordinasikan aktivitas sensorik-motorik . Di sini kita seharusnya mengaitkan dengan skema konseptual abstrak . Bab sebelumnya telah menunjukkan bahwa konsep-konsep memiliki asal-usul mereka dalam pengalaman indrawi , dan aktivitas motorik lebih ke arah , dunia luar . Tapi mereka segera dilepas dari asal-usul mereka , dan pengembangan lebih lanjut berlangsung dengan interaksi dengan matematikawan lain , dan dengan satu sama lain . Skema memiliki dua fungsi utama . mengintegrasikan pengetahuan yang ada , dan peralatan mental untuk mendapatkan pengetahuan baru .

Menggabungkan Fungsi dari Skema Ketika kita mengenali sesuatu sebagai contoh dari suatu konsep kita dapat mengetahuinya pada dua tingkat: sebagai sesuatu itu sendiri, dan sebagai anggota dari suatu golongan. Demikian juga ketika kita melihat beberapa bagian dari mobil, dengan sendirinya kita dapat mngenalinya sebagai bagian dari golongan mobil pribadi. Tetapi golongan konsep ini dihubungkan oleh mental skema kita dengan skema yang sangat banyak, yang ada untuk membantu kita beradaptasi terhadap berbagai situasi yang diakibatkan dari mobil. Andaikan mobil tersebut akan dijual, kemudian semua pengalaman kita dengan mobil ikut dijual untuk menunjang mobil tsb, pemeriksaan-pemeriksaan penampilannya mungkin dapat terpanggil kembali, pertanyaan-pertanyaan yang harus dipertanyakan sekarang pada mobil tersebut. Andaikan harganya di luar keseimbangan saldo bank kita saat ini, kemudian sumber penghasilan (pinjaman bank, biaya penyewaan) datang pada pemikiran. Andaikan dengan kemugkinan lain bahwa mobil tersebut berada di jalan, tetapi mengalami kendala (kerusakan), kemudian hal-hal yang dapat membantu antara lain bengkel terdekat, nomor telepon yang dapat dihubungi.

Kebanyakan skema ini sudah dihubungkan dengan konsep mobil yang sebelumnya. Tapi, andaikan sekarang kita parkir di tepi pantai, dan mendapati roda mobil kita terbenam di pasir yang halus. Masalah ini diselesaikan dengan skema dari pengalaman di medan lain yang mengharuskan dijual untuk menunjang: seperti perilaku pasang, cara untuk membuat permukaan yang kuat di atas pasir. Skema yang lain yang sudah kita miliki, menjadi kesempatan paling baik untuk meniru untuk kejadian yang tidak terduga.

Skema sebagai Alat Pembelajaran Lebih Lanjut Skema yang kita miliki sangat diperlukan sebagai pelengkap pengetahuan selanjutnya. Hampir semua yang kita pelajari bergantung pada sesuatu yang sudah kita ketahui sebelumnya. Untuk mempelajari desain pesawat terbang kita harus tahu aerodinamis, yang bergantung pada kalkulus, yang memerlukan pengetahuan tentang aljabar, yang bergantung pada aritmatika. Untuk mempelajari kemajuan psikologi, dibutuhkan biokimia yang memerlukan pengetahuan tentang kimia dasar. Hal ini dan semua pembelajaran tingkat tertinggi bergantung pada dasar skema dari menulis, membaca, dan berbicara (atau, kecuali mengomunikasikan dengan cara lain) dengan bahasa asli kita. Prinsip ini (ketergantungan pembelajaran baru pada skema yang cocok yang sudah ada) adalah generalisasi dari kedua prinsip pembelajaran konseptual yang dinyatakan dalam bab 2 halaman 32. Dalam bentuk umum, banyak hal baru yang penting yang kurang kita sadari ketika kita berpusat pada konsep pembelajaran tertentu, meskipun dengan belajar dari pengalaman yang lalu kita menjadi lebih paham pada konsep tersebut. Sebagai perkenalan, konsep ini akan berguna untuk melihat sebuah percobaan yang bertujuan untuk mencoba mengisolasi faktor skema dalam belajar, lebih tepatnya untuk mengetahui seberapa besar perbedaan skema yang cocok untuk membuat jumlah materi baru yang dipelajari lebih banyak. Untuk tujuan percobaan tersebut, sebuah skema buatan dipikirkan, agak mirip bahasa isyarat Red Indian. Pada hari pertama subjek yang dipelajari mempunyai enam arti dasar dari tanda. Pada hari kedua, pengertian diberikan untuk memasangkan atau mengelompokkan tiga simbol. Arti dari kelompok simbol ini dihubungakan dengan arti dari masing-masing simbol tunggal, yang dapat diperiksa pembaca. Pada hari ketiga dan keempat, kelompok yang diajarkan ditingkatkan, pengertiannya dihubungkan dengan kelompok kecil. Tugas terakhir pada hari keempat adalah mempelajari dua halaman simbol yang masingmasing berisi seratus simbol pada sepuluh kelompok yang masing-masing mempunyai 8-12 simbol. Pada satu halaman, masing-masing kelompok diberikan sebuah arti yang berkaitan dengan arti dari kelompok kecil, seperti contoh yang diberikan. Halaman lain berisi kelompok-kelompok dengan arti yang sama untuk membandingkan kelompok, tetapi tidak pada subjek. kelompok pembanding telah belajar simbol yang sama tetapi mempunyai arti berbeda, dan ini sudah dibangun untuk sebuah skema yang berbeda. Jadi tugas akhir mereka, masing-masing kelompok mempunyai skema yang cocok untuk satu halaman. Dengan kata lain apa yang berarti untuk satu kelompok, bukan berarti mempunyai arti pada kelompok lain, dan sebaliknya. Ketika hasil pembelajaran dengan skema dan menghapal dibandingkan, perbedaannya mencolok.

Pada kasus ini, metode pembelajaran dengan skema dua kali lebih teringat dari pada menghapal, ketika diuji setelah itu, pada empat minggu ke depan, proporsinya berubah 7 kali lipat. Belajar dengan skema tidak hanya belajar yang baik, tetapi juga baik untuk mempertahankan. Secara objektif, dua halaman simbol sama untuk semua pelajaran. Satu-satunya perbedaan adalah pada struktur mental yang mereka miliki untuk belajar. Jelas oleh karena itu skema yang kita buat pada awal pembelajaran akan sangat penting untuk mengetahui kemudahan atau kesulitan untuk menguasai topik selanjutnya. Kekita belajar skematik kita tidak hanya belajar lebih efisien, kita juga dapat menyiapkan alat mental untuk menerapkan pendekatan yang sama untuk pembelajaran selanjutnya, di bidang tersebut. Berikutnya menggunakannya untuk mengkonsolidasi isi skema dari awal. Skema memberikan tiga kali lipat untuk mengingat. Kerugian yg mungkin untuk dipertimbangkan. Jika tugas yang dipertimbangkan dalam isolasi, skematik belajar mungkin memakan waktu lebih lama. Aturan untuk memecahkan persamaan yang sederhana atau untuk menggunakan logaitma capat mengingat lebih lama dari pada hanya mengerti. Sehingga jika semua ingin mempelajari yang melakukan pekerjaan khusus, mengingat sebuah cara cepat. Satu keinginan untuk maju kemuadian nomor dari peraturan untuk mempelajari dengan tekun lebih memberatkan sampai lebih banyak. Sebuah skema adalah lebih dari pada sebuah konsep. Lebih banyak skema matematika, semua itu dimaksudkan untukmenyalurkan ide mengaplikasikan matematika yang secara umum. Menghabiskan waktu memproleh itu semua tidak hanya hasil psikologi. Tetapi hasil matematika. Konteks yang dimaksud adalah, psikologi bagus maka matematika bagus.Skema memiliki efek yang rinci pada pengalaman kita. Tidak hanya skema yang tidak cocok sebuah atasan untuk belajar kedepan. Setiap skema yang sudah hasil yang nyata. Mengembangkan skema berarti yang struktur individu adalah pengalaman masa lalu mereka. Dan skema harus disimilasi data baru. Skema harus d akomondasi dengan data yang baru. Ini akan enjadi sulit , dan jika ini fatal maka setiap tidak dapat diatasi. Tidak hanya konsep baru untuk dimengerti pada pengalam baru mereka dan juga terdiri dari konsep dasar yang khusus. Skema terdiri dari hasil yang berdiri sendiri dan dapat mengubahnya menjadi menakjubkan. Skema memberikan perasaan kekuasaan dan membuasakan menyenanginya. Salah satu skema matematika paling dasar yang kita pelajari adalah menghitung angka (penjumlahan dan perkalian). Setelah belajar untuk menghitung sampai sepuluh, anak dengan cepat berkembang menjadi dua puluh, dan bersemangat untuk melanjutkan proses. Untuk memperluas penambahan dua digit nomor membutuhkan pemahaman tentang sistem dari penomoran berdasarkan nilai tempat, tetapi setelah itu dikuasai, penambahan tiga, empat, lima angka lagi akan langsung berjalan. Perkalian muncul dari penjumlahan berulang dan perkalian panjang dari perkalian sederhana. Selama proses tersebut, asimilasi mendominasi lebih dari pada akomodasi. Masalah muncul, ketika angka-angka pecahan yang ditemukan. Pecahan merupakan system penomoran baru dengan karakteristik yang berbeda misalnya, jumlah tak terbatas dari fraksi yang berbeda dapat digunakan untuk mewakili nomor yang sama. Perkalian tidak lagi dapat dipahami dalam hal penambahan berulang. Sebelum angka-angka pecahan dapat dipahami, akomodasi utama skema nomor diperlukan. Beberapa orang memang menjalani hidup tanpa pernah benar-benar memahami angka-angka pecahan. Guru mereka mungkin tidak pernah memahamkan mereka dengan

baik: dan ini membutuhkan anak tingkat jenius untuk mencapainya tanpa bantuan pada usia ketika tugas ini ditemui. Sejarah matematika berisi beberapa contoh menarik yang menunjukkan kesulitan Ketika Pythagoras menemukan bahwa panjang sisi miring dari segitiga siku-siku tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan rasional. Dalam sejarah terkenal matematika, * Bell mengatakan: 'ketika angka negatif pertama kali muncul dalam pengalaman, seperti dalam debit bukan kredit, mereka seperti angka imajiner yaitu √−1 , √−2

dst,.... sistem Hindu-Arab dari angka untuk nomor dasar juga bertemu

dengan perlawanan besar ketika pertama kali diperkenalkan ke Eropa pada abad ketiga belas, dan di beberapa tempat penggunaannya bahkan dibuat ilegal. Ini adalah cara dimana peralatan kerja matematika yang biasa sekarang ini telah semuanya terkarakterisasi oleh beberapa matematikawan yang telah lebih dulu menemukannya. Tapi sekarang kita tahu bahwa yang terpenting dari skema bagi kita adalah, kita dapat mulai mengerti pertahanan alami dari reaksi ini pada ide-ide baru dengan yang berusaha menyingkirkannya.

Memahami Untuk memahami sesuatu berarti mengasimilasi ke dalam skema yang tepat . Ini menjelaskan sifat subjektif dari pemahaman , dan juga menjelaskan bahwa ini biasanya tidak semua . Dalam hal ini , skema yang tepat melibatkan ide tentang percikan listrik , sehingga tidak sampai abad kedelapan belas bahwa setiap pemahaman yang benar itu mungkin. Langkah pertama dan utama diambil oleh Benjamin Franklin , yang berasimilasi konsep tentang badai yang berkaitan dengan muatan listrik . Pemahaman yang lebih lengkap , melibatkan pengetahuan tentang proses ionisasi dalam atmosfer dengan skema yang lebih luas . Apa yang terjadi dalam kasus seperti ini adalah bahwa skema dasar menjadi membesar , dan titik awal asimilasi kebisingan, kilatan petir ke percikan listrik. Organisasi yang lebih baik dalam skema internal juga dapat meningkatkan pemahaman , dan jelas tidak ada tahap di mana proses ini selesai . Salah satu hambatan bagi peningkatan lebih lanjut dari pemahaman adalah keyakinan bahwa salah satu sudah berdiri sepenuhnya . Adaptasi yang baik itu penting untuk dilakukan. Perbedaan antara kemampuan beradaptasi yang berdasarkan aturan, dan hasil dari pemahaman, telah baik ditunjukkan secara eksperimen, oleh MA Bell * contoh ini dipilih dari cabang matematika (topologi) yang mungkin baru bagi pembaca;. Dan jika ia ingin, cobalah untuk dirinya sendiri. Ini memiliki keuntungan bahwa skema yang relevan dapat cepat dibangun sedangkan sebagian dari matematika akan memakan waktu lebih lama. Untuk melintasi relasi berarti mengikuti jalan terus-menerus, meliputi setiap busur relasi sekali dan hanya sekali. Beberapa percobaan akan menunjukkan bahwa relasi dapat dilalui, sedangkan tidak bisa. Berikut adalah contoh. Dengan trial and error , mudah untuk menemukan relasi yang dapat dilalui dan pembaca akan segera menjadi yakin bahwa tidak bisa, meskipun hal ini tidak sama dengan membuktikan bahwa tidak mungkin. Sebagai relasi menjadi kompleks, metode trial and error menjadi lebih melelahkan dan kesimpulannya, terutama jika negatif, membawa sedikit keyakinan. Namun ada aturan sederhana .Untuk setiap titik , menghitung berapa banyak busur ada yang bertemu di sana. Untuk jangka pendek kita mengatakan bahwa simpul aneh atau bahkan menurut apakah pesananadalah ganjil atau genap .

Aturan : relasi dapat traversedif dan hanya jika jumlah simpul ganjil adalah nol , atau dua. Dengan aturan ini adalah mudah untuk memverifikasi relasi yang dapat dilalui, mulai di pojok kiri atas dan

tidak

bisa.

Relasi

yang

lebih

rumit

menyajikan

sedikit

kesulitan

besar.

Dua kelompok anak usia 11 tahun diperkenalkan dengan ide-ide di atas. Kelompok 1 diberi peraturan ini , dan juga penjelasan ( yang akan diselenggarakan dari pembaca pada tahap ini ) dari alasan untuk aturan. Kelompok 2 diberi hanya aturan. Kedua kelompok anak-anak kemudian diberi 12 masalah semacam ini, termasuk beberapa relasi cukup rumit. Semua anak dari kedua kelompok mendapat semua masalah yang tepat. Pada tahap ini, seseorang tidak bisa membedakan dengan hasil mereka antara

anak-anak

yang

mengerti

alasan

bagi

kekuasaan

dan

mereka

yang

tidak.

Satu set lebih lanjut dari masalah relasi ini kemudian disampaikan kepada 2 kelompok , dengan satu perbedaan kecil. Berikut adalah 4 relasi khas dari set. Masalah baru adalah mencoba untuk menemukan mana relasiyang bisa dilalui seperti sebelumnya, tapi kali ini berakhir di titik awal untuk mencoba menemukan aturan untuk melakukan hal ini . Sebelum membaca lebih lanjut , pembaca mungkin peduli untuk mencobanya sendiri. Kelompok ketiga, tanpa pengalaman sebelumnya masalah ini dan tidak ada pengetahuan tentang aturan, juga diberikan tugas baru ini. Hasilnya , dalam hal anak-anak menemukan aturan baru yang benar , adalah : Kelompok I ( aturan pertama dengan pemahaman ) Kelompok II ( aturan pertama tanpa pemahaman )

9 anak dari 12 anak

75 %

3 anak dari 10 anak

30 %

2 anak dari 12 anak

17 %

Kelompok III ( tidak memiliki pengetahuan sebelumnya ) Bahwa hasil awal dari kelompok 1 dan 2 telah dibedakan, ini masalah baru menunjukkan kesenjangan yang besar antara mereka. 75 % dari kelompok pertama lebih mampu beradaptasi dengan tugas baru, tetapi hanya 30 % yang kedua, yang melakukan sedikit lebih baik daripada group III tanpa pengalaman sebelumnya.Sekarang ambil selembar kertas polos dan salin di atasnya simpul hanya relasi. Selanjutnya, menggambar relasi dimulai pada setiap titik, tanpa mengangkat titik pensil Anda dari kertas. Perhatikan bahwa setiap kali Anda memasukkan dan meninggalkan titik, Anda menambahkan dua busur ke nomor yang bertemu di sana, yang Anda meningkatkan agar vertex oleh dua. Lakukan hal yang sama untuk relasi dan untuk relasi dimulai di pojok kiri.Penjelasan ini, yang tentu saja lebih singkat dari yang diberikan kepada anak-anak, akan diharapkan memberi petunjuk yang cukup bagi pembaca untuk memahami aturan pertama. Saya baru-baru datang di program mahal yang disebut " Pengantar Topologi ", dipublikasikan dengan mesin pengajaran mahal, di mana aturan pertama diberikan, dan tanpa penjelasan . Dalam bentuk ini, tidak hanya sulit untuk beradaptasi dengan masalah jenis kedua. Hal ini tidak memungkinkan seseorang untuk menjawab pertanyaan terkait lainnya seperti " Bagaimana kita bisa yakin bahwa aturan ini relasi ? " , Dan terutama " Bagaimana bisa yakin bahwa relasi tersebut tidak dapat dilalui oleh seseorang cukup pintar ? " Semua pertanyaan ini dapat dijawab oleh seseorang yang

telah memahami penjelasan dari aturan, ada dengan menunjukkan lebih lanjut adaptasi lebih besar dari skema untuk masalah baru .

Mengimplikasi pembelajaran matematika Pentingnya memahami skema adalah untuk melakukan asimilasi terhadap sesuatu yang lebih sulit. Belajar memanipulasi simbol-simbol untuk memperoleh jawaban mungkin awalnya sulit dilakukan pada awal pembelajaran konseptual. Siswa tidak akan dapat membedakan dua hal jika tidak memiliki pengalaman pemahaman matematika. Kita tahu bahwa simbol adalah sesuatu yang dapat dilihat atau didengar. Untuk mengetahui suatu konsep tepat atau tidak, perlu dilakukan pembuktian, bukan perhitungan mekanik. Siswa yang cerdas memiliki kemampuan menghafal yang luar biasa, tetapi tetap saja yang terpenting adalah pemahaman konsep. Hal ini bukan berarti menghafal tidak diperlukan, untuk kasus tertentu menghafal juga perlu. Pemahaman skema jangka panjang sangat diperlukan. Guru harus melihat jauh melampaui tugas ini dari peserta didik, dan sedapat mungkin mengkomunikasikan ide-ide baru dalam sedemikian rupa sehingga skema jangka panjang yang tepat terbentuk. Terlepas dari kekurangannya, skema di atas masih terbandingkan lebih baik daripada kumpulan aturan tanpa alasan yang kadang-kadang diajarkan , karena tidak masuk akal , sehingga berpengaruh terhadap keyakinan keseluruhan dalam matematika sebagai kegiatan yang berarti . Mungkin juga terkadang sulit untuk memilih antara skema awal yang mudah tapi jangka pendek, dan yang sulit tetapi jangka panjang . Kita harus mengakomodasi mereka , yang seperti telah kita lihat dapat menimbulkan kesulitan . Jadi pilihan tidak selalu mudah. secara umum, sering terjadi bahwa lebih umum , jangka panjang , ide-ide tidak selalu sulit untuk belajar , tetapi hanya sulit untuk menemukan awalnya. Pada tahap awal pembelajaran, guru memiliki tanggung jawab yang besar. Dia harus memastikan bahwa pembelajaran skema, bukan hanya menghafal dan manipulasi simbol. Dia harus tahu mana tahap hanya memerlukan asimilasi langsung , dan ketika akomodasi yang diperlukan , karena pada tahap terakhir kecepatan harus lebih lambat , dan kemajuan lebih hati-hati diperiksa . Dan dia harus merencanakan secara jangka panjang skema yang akan paling mudah beradaptasi dengan masa depan serta kebutuhan saat ini . Kita tidak akan tahu bagaimana siswa belajar matematika di masa depan, untuk itu yang perlu kita lakukan adalah: Pertama cobalah meletakkan dasar yang terstruktur dengan baik mengenai ide matematika dasar , di mana peserta didik dapat membangun satu pemikiran bahwa perlu untuk menemukan diri sendiri , dan membantu siswa untuk menemukan pola dasar. Kedua , mereka selalu akan mencari ini untuk diri mereka sendiri , dan ketiga, untuk mengajar mereka selalu siap untuk mengakomodasi skema - agar mereka menghargai nilai ini sebagai alat kerja , tapi selalu bersedia menggantinya dengan yang lebih baik . Hanya dengan ini murid dapat mempersiapkan masa depannya yang tidak diketahui.

BAB IV KECERDASAN INTUITIF DAN REFLEKTIF Ada sebuah anekdot tentang seorang profesor matematika yang sangat terkenal. Dia menceritakan pengalamannya ketika menangani audien, kemudian menulis sebuah pernyataan matematis di papan yang berbunyi: “Ini, tentu saja, ini nyata”. Dengan melihatnya lagi, dia mengatakan “Setidak-tidaknya, saya berpikir bahwa ini nyata”. Keraguannya semakin bertambah, kemudian dia berkata “Permisi” dan dia mengambil pensil dan kertas, kemudian keluar dari ruang kelas sekitar 20 menit. Setelah kembali, dia berkata “Ya, saudara-saudara, ini adalah nyata”. Secara psikologis, yang menjadi daya tarik dari cerita ini adalah tidak adanya ketepatan dan kemantapan antara pernyataan pertama yang dapat dipercaya dengan lamanya waktu yang dibutuhkan untuk berpikir. Setelah timbul keraguan, maka tidak akan ada lagi kepercayaan yang didapat kembali oleh profesor tersebut. Pada pernyataan pertama, dapat diartikan “Secara intuisi kami dapat menerima kebenaran dari pernyataan itu”. Pada pernyataan kedua, diartikan bahwa melalui analisis logika, penerimaan secara intuisi pada pernyataan pertama dibenarkan. Menjadi yakin akan sesuatu adalah satu hal; mengetahui mengapa sesuatu itu yakin adalah hal lain. Contoh lain yang serupa misalnya mengalikan 16 dengan 25. Maka akan timbul pertanyaan. 1) Berapakah jawabannya? 2) Jelaskan bagaimana anda mengerjakannya! Mungkin untuk menjawab pertanyaan pertama, kita dapat menjawab cepat, tetapi untuk menjawab pertanyaan kedua, kita akan mengalihkan perhatian dari tugas pertama dan melibatkan proses mental dalam memperoleh jawaban pertanyaan kedua. Contoh lainnya yaitu penggunaan kata “is” pada dua kalimat berikut ini. “What I am writing with is chalk” dan “Chalk is white”. Maka akan timbul pertanyaan 1) Tepatkah penggunaan kata “is”? 2) Apakah artinya sama? Pertanyaan pertama dapat segera dijawab; tetapi untuk menjawab pertanyaan kedua kita harus memikirkan penggunaan kata “is” dalam setiap kalimat. Pada ketiga contoh di atas, terdapat perbedaan antara dua model fungsi kecerdasan yaitu intuitif dan reflektif. Intuitif dapat diartikan berdasarkan bisikan hati atau bersifat intuisi, yaitu daya atau kemampuan mengetahui atau memahami sesuatu tanpa dipikirkan atau dipelajari. Reflektif dapat diartikan gerakan badan diluar kesadaran atau kemauan atau bersifat refleks, yaitu gerakan otomatis dan tidak dirancang terhadap rangsangan dari luar yang diberikan suatu organ atau bagian tubuh

RECEPTORS

EFFECTORS

EXTERNAL ENVIRONMENT

INTERVENING MENTAL ACTIVITIES

yang terkena.

Pada tingkat intuitif, kita menyadari bahwa melalui reseptor/ alat indera (terutama penglihatan dan pendengaran), kita dapat mengetahui lingkungan luar. Hal ini dikarenakan, secara otomatis data tersebut diklasifikasikan dan dihubungkan dengan data serupa yang sudah ada, dengan

struktur konsep yang dijelaskan di Bab 2 dan 3. Dengan otot-otot yang dimiliki, kita dapat menggerakan kerangka untuk berbuat pada lingkungan luar (deskripsi terdiri atas berkata dan menulis). Aktivitas ini banyak dikontrol dan diarahkan oleh umban balik, informasi selanjutnya mengenai kemajuan dan hasilnya dapat diketahui melalui reseptor luar kita. Dalam banyak kasus, hal tersebut dapat berhasil sepenuhnya tanpa adanya kesadaran dari proses intervensi mental. Contohnya, ketika membaca nyaring, mengemudi mobil, atau menjawab pertanyaan ‘16x25?’. Pada tingkat reflektif, aktivitas mental yang berintervensi itu menjadi obyek kesadaran untuk introspeksi/ mawas diri. Seorang anak bertanya kepada kita mengapa kita dalam mengucapkan kata “accelerate” seperti “axelerate”, bukan “ackelerate”. Maka, kita akan menjelaskan (dalam hal yang tepat untuk pendengar dan dengan contoh-contoh) bahwa pada c yang pertama diucapkan keras karena diikuti dengan konsonan, sedangkan c yang kedua diucapkan lembut, karena diikuti e atau i. Kemudian perlu dijelaskan lebih lanjut dengan menunjukkan ketepatan (kekonsistenan) pengucapan kata-kata lainnya dengan kelas-kelas tertentu yang dapat diterima oleh respon. Atau, seorang siswa yang menumpang kendaraan bertanya kepada kita “Mengapa kita harus mengubah gigi (gear) sebelum melewati tikungan tajam?”. Seolah-olah kita telah melakukan “tanpa berpikir” (hal itu dapat dikatakan tanpa refleksi), kita tidak memiliki kesulitan dalam menjelaskan alasan kita. Atau, setelah menjawab dalam sekejap ‘400’ untuk pertanyaan ‘16x25’ kita mungkin akan bertanya ‘Bagaimana kamu melakukan itu begitu cepat?’ dan setelah menjelaskan metode kita (ada banyak untuk memilih dari), kita mungkin juga akan diminta untuk membenarkan itu – lebih dari pertanyaan pencarian, melibatkan referansi ke properti asosiatif perkalian. Data-data yang diperlukan untuk menjawab seluruh pertanyaan, tidak datang dari lingkungan, tetapi dari sistem konseptual kita sendiri. (diagram hal. 56) Perhatian kita arahkan pada sumber data, sehingga dengan begitu mudah dan terbiasa kita mampu melakukan aktifitas secara refleks. Dari situlah akan timbul kejutan. Kesadaran kita akan dunia luar dapat diketahui melalui panca indera (misalnya mata, telinga, dan sebagainya) dan urat syaraf. Tetapi tidak ada susunan syaraf yang dapat mengungkapkan sesuatu yang ekuivalen dengan “melihat” bayangan atau “mendengar” ucapan batin kita. Kemampuan refleks ini sangat kurang pada anak-anak. Berikut ini dua contoh karya Piaget: 1.

Weng (7 tahun)

Guru : “Sebuah meja panjangnya 4 meter, kemudian 3 meja disusun memanjang. Berapa panjang meja sekarang?” Weng: “12 meter” Guru : “Bagaimana kamu menghitungnya?” Weng: “Saya menambahkan 2 dan 2 dan 2 dan 2 dan 2, dan 2” Guru : “Mengapa 2? Mengapa tidak mengambil bilangan lain?” 2.

Gath (7 tahun)

Guru: “Jika akan dibagikan 9 apel kepada 3 anak, maka berapa banyak apel yang diterima setiap anak?” Gath: “Tiga buah”

Guru: “Bagaimana kamu menghitungnya?” Gath: “Saya mencoba berpikir” Guru: “Apa?” Gath: “Saya mencoba berpikir di kepala” Guru: “Apa yang dipikirkan di kepalamu?” Gath: “Saya menghitung … Saya mencoba melihat bagaimana itu terjadi dan akhirnya saya menemukan 3” Dengan mengetahui kemampuan anak mengerjakan suatu hal, maka kita dapat mengetahui bagaimana dia mengerjakan hal lain. Bagaimanapun juga tergantung dari perbedaan individu, dan penulis baru-baru ini memperolah jawaban dari seorang anak yang berusia 6 tahun 10 bulan (mengenai pertanyaan panjang meja) yaitu “12 kaki”. “Dapatkah kamu menjelaskan bagaimana jawabanmu?”. “Baik saya berangkat dari 3, 6, 9, 12”. Untuk pertanyaan kedua (mengenai membagi apel) yaitu “Tiga”. “Bagaimana kamu menemukannya?”. “3 dan 3 dan 3 menjadi 9”. Kemudian secara spontan “Cara cepatnya yaitu 3 sebanyak 3 yaitu 9” Setelah kita mampu memikirkan pada skema kita sendiri, langkah penting selanjutnya dapat diambil, yaitu mengkomunikasikannya dan mempersiapkan skema baru. Seseorang anak mungkin tidak dapat menyelesaikan 16 x 25 secara cepat, tetapi setelah diberi petunjuk bahwa 16 x 25 dapat ditulis menjadi 4 x (4 x 25) = 4 x 100 maka dimungkinkan dapat langsung menemukan jawabannya yaitu 400. Sehingga dengan cara yang sama, diharapkan anak juga dapat menyelesaikan perkalian lain seperti 24 x 25 secara cepat, bahkan menyelesaikan 25 x 25. Jika seorang anak dapat menyelesaikan semua itu, ini akan menunjukkan bahwa anak tersebut telah mencapai skema sederhana dan tidak sekedar jawaban atas pertanyaan tertentu. Kita dapat mengganti skema lama dengan yang baru. Sebagai gambaran, jika pembaca pernah mencoba mendorong mobil dengan boat trailer atau caravan yang digandengkan, maka dia dapat mengapresiasi contoh non matematis berikut: Penulis menahan roda stir, sedangkan di sisi lain pembaca menginginkan trailer maju. Hal ini tidak akan berhasil, oleh karena itu teman pengemudinya menyarankan pendekatan alternatif yaitu jika pembaca hanya mendorongnya dengan tangan, maka akan mengalami kesulitan menyetirnya. Kemudian bayangkan jika diri anda sendiri mendorong mobil dengan menggunakan boat trailer yang digandengkan, maka mobil tersebut juga akan maju dengan mudah. Substitusi skema ini ternyata sangat berhasil. Kita dapat membenahi kesalahan dalam skema yang ada. Jika kita mengatakan “Saya melihat kesalahan yang saya lakukan”. Ini berarti kita tidak hanya berpikir pada metode yang kita gunakan, tetapi kita berusaha menemukan detail-detail khusus didalamnya yang menyebabkan kegagalan, yang biasanya diikuti dengan perubahan detail-detail itu. Tetapi yang belum diketahui adalah bagaimana kita mampu membuat perubahan pada skema kita. (diagram hal.58) Berikut ini contoh yang melibatkan aktifitas reflektif. Seseorang ingin mengetahui bagaimana mengalikan dua pecahan desimal, misalnya 1,2 dan 0,57. Maka kita dapat menerangkan bahwa titik desimal dapat dihilangkan terlebih dahulu, kemudian mengalikan 12 dan 57 dengan cara biasa, dan langkah terakhir menyisipkan kembali titik desimal dengan cara menghitung total banyaknya angka

dibelakang titik desimal dari dua angka tersebut. Aturan ini memungkinkan anak mendapatkan jawaban benar, tetapi siswa tidak mengetahui pengertian notasi desimal. Setelah menyelesaikan perkalian tersebut, kita dapat melangkah ke bagian selanjutnya, tanpa disadari kita telah menggunakan metode komunikasi. Kemudian kita dapat memutuskan metode yang lebih baik nantinya untuk mendemonstrasikan metode yang utama, sebelum menunjukkan (atau meminta peserta didik untuk mencari) cara cepatnya. Sehingga kita akan dapat mengkomunikasikan skema perkalian desimal. Jenis aktifitas reflektif yang jangkauannya lebih jauh adalah aktivitas yang mengarah pada generalisasi matematis. Dalam proses mempelajari perkalian pangkat (sebagai contoh), kita dapat melalukan secara langsung maupun melalui berberapa tahapan. Jika

=

×

kemudian

=

×

×

=

×

×

sehingga dengan mudah dilihat jika ×

×

×

Sehingga dengan cara yang sama kita dapat memperoleh

= ×

=

Pembagian juga menggunakan cara yang sejenis sehingga dapat di peroleh

×

=

Setelah kita memperkenalkan cara-cara tersebut kepada anak, barulah kita memberitahukan anak bahwa ×

=

÷

=

Dimana m dan n sebagai bilangan natural (Asli) (Sebagian teks hilang/dirangkum) Proses generalisasi matematis merupakan aktifitas yang rumit dan tangguh. Rumit karena melibatkan pemikiran pada bentuk metode di dalamnya. Sedangkan tangguh karena membutuhkan kesadaran yang tinggi, perlu pengendali dan harus akurat. Akurat yang dimaksud, tidak hanya pada jawaban tetapi pada langkah-langkahnya. Selanjutnya, kita menciptakan contoh-contoh baru yang sesuai dengan konsep tersebut. Sebuah contoh yang banyak ditemui generalisasi matematika berturut adalah bilangan. Secara historis, dan untuk pelajar individu, (menghitung) bilangan asli datang pertama. Ini adalah sifat dari set diskrit benda (dan sebagainya dihitung), dan metode untuk menambahkan dan mengurangkan, mengalikan dan membagi ini, yang dikembangkan selama berabad-abad, yang dipelajari dalam dekade pertama atau begitu oleh anak-anak dari budaya kita sendiri. Selanjutnya hal-hal lain yang dihadapi disebut 'pecahan', 'angka negatif', dan aturan yang diberikan yang diduga menjadi cara yang benar untuk menambah dan mengurangi, mengalikan dan membagi. Benar menurut kriteria apa? Semua terlalu sering, satu-satunya yang ditawarkan adalah bahwa apa pun guru memutuskan bahwa aturan dimiliki, atau belum, diikuti secara benar. Dalam kasus tersebut, pemahaman telah hilang, mungkin tidak pernah ditangkap kembali. Lebih buruk lagi, 'masuk akal' tidak lagi menjadi kriteria dimana pernyataan matematika itu dinilai . Terburuk, pelajar lain telah yakin bahwa matematika membosankan dan tak berarti, benar apa yang disajikan kepadanya di bawah kedok ini, tapi matematika palsu. Bagaimana mungkin gagasan tentang bilangan menjadi berhasil umum melalui tahapan angka-angka pecahan, bilangan bulat, bilangan rasional, dll. Sebuah jawaban rinci diberikan dalam

Bab 10 dan 11, tetapi perlu mengambil awal di sini. Secara singkat, kita perlu merumuskan apa sifat formal dari sistem bilangan asli. Dengan sistem bilangan asli kita berarti himpunan bilangan asli, bersama-sama dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian, dimana setiap dua anggota dari himpunan dapat dikombinasikan (dalam satu cara atau yang lain) untuk mendapatkan anggota lain dari himpunan. Dengan sifat formal yang kita maksud properti-properti yang tidak bergantung pada contoh tertentu yang kita pilih. Jadi 12 + 9 = 21 dan 12 x 9 = 108 tidak sifat formal. Tapi 12 + 9 = 9 + 12 dan 12 x 9 = 9 x 12 yang meskipun tidak dinyatakan secara umum. Kelima sifat formal sistem bilangan asli adalah: a+b=b+a axb=bxa a + (b + c) = (a + b) + c a x (b x c) = (a x b) x c a x (b + c) = a x b + a x c di mana a, b, c adalah setiap bilangan (asli). Hal ini menggoda untuk menganggap sifat ini sebagai hal yang sepele, tetapi mereka adalah sangat dasar dari semua manipulasi numerik, seperti yang dijelaskan dalam Bab 9. Sebagai contoh, tanpa properti pertama ukuran tagihan belanja kami akan tergantung pada yang kami beli pertama dan tanpa ketiga, itu akan tergantung pada dua item yang asisten tambahkan bersama pertama. Kelima sifat juga dengan bantuan notasi indeks, dasar aljabar dasar, seperti dijelaskan pada Bab 12. Ternilai meskipun sistem kami menghitung bilangan adalah, ia memiliki keterbatasan. Dengan bantuan unit dapat diperpanjang untuk memungkinkan pengukuran obyek terus-menerus; tapi kami segera menemukan bahwa angka-angka yang ada tidak mencantumkan semua yang kita perlu untuk berurusan dengan ukuran-ukuran yang kurang dari unit. Jadi bilangan baru, sesuai dengan unit-unit yang rusak, diperkenalkan. Tapi kami terlalu dini memanggil mereka bilangan, sebelum kita mengeneralisasikan skema 'sistem bilangan', kita harus memenuhi dua persyaratan konsistensi dan kegunaan. (Seorang ahli matematika murni akan puas dengan yang pertama - tetapi yang kedua biasanya mengikuti, cepat atau lambat. Beberapa ide-ide matematika umum yang besar gagal untuk menjadi berguna, dalam perjalanan waktu). Konsistensi berarti bahwa kita harus menciptakan cara 'menambahkan' dan 'mengalikan' entitas baru yang memiliki lima sifat formal yang sudah terdaftar. Kegunaan berarti bahwa hasil manipulasi harus memberitahu kami sesuatu yang kita ingin tahu dalam hal obyek material yang dirujuk entitas ini. Dan meskipun hal ini tidak penting, itu akan menjadi sangat membantu jika tandatanda untuk entitas baru dapat dikembangkan dari tanda-tanda umum yang sudah digunakan (sama seperti kita menggunakan huruf abjad yang ada kata-kata yang baru diciptakan), dan jika metode untuk 'menambahkan' dan 'mengalikan' dapat memanfaatkan sejumlah besar penambahan dan perkalian hasil yang telah kita pelajari. Semua persyaratan ini, ketika puas, memungkinkan asimilasi dari sistem nomor baru untuk skema kita yang sudah ada dan mudah dipraktekkan. Cara di mana mereka semua bertemu adalah subyek yang menarik, dan para pembaca yang mengeksplorasi lebih lanjut akan belajar banyak tentang dasar-dasar pemikiran matematis. Hal yang sama berlaku untuk pengembangan bilangan bulat positif dan negatif, bilangan rasional (sering diidentikkan dengan angka-angka pecahan), dan bilangan real (sistem yang mencakup irrationals

seperti √ 2, π). Di sini kita prihatin terutama dengan proses daripada hasil, dan khususnya dengan aktivitas merenungkan sifat formal dari skema yang merupakan bagian dari proses daripada hasil, dan khususnya dengan aktivitas merenungkan sifat formal skema yang merupakan bagian dari proses generalisasi matematika, dan yang merupakan salah satu kegiatan yang paling canggih dari kecerdasan reflektif. Fungsi kecerdasan reflektif sangat penting untuk kemajuan matematika ke tingkat yang lebih tinggi, dan lebih penting lagi untuk mengetahui pada usia berapa mulai muncul kecerdasan reflektif, dan bagaimana kita dapat membantu atau mempercepat munculnya kecerdasan reflektif. Pertanyaan pertama dapat dijawab melalui penelitian Inhelder dan Piaget yang menunjukkan bahwa anak akan mengembangkan kemampuan untuk memikirkan pada isi (content) selama usia 7 – 11, dan memanipulasi ide-ide konkret dengan berbagai cara, seperti melakukan aksi (dalam imajinasi). Tetapi mereka menemukan bahwa subyeknya tidak dapat beralasan secara formal sampai masa dewasa. Yang berkaitan erat dengan ini, mereka menyatakan bahwa anak-anak yang lebih muda tidak dapat membantah hipotesis meskipun hipotesis ini bertolak belakang dengan pengalaman mereka. Dalam penelitian ini, subyek diambil secara acak di sekolah Swiss. Dapat dikatakan, penelitian menunjukkan kemajuan perkembangan kecerdasan reflektif pada anak-anak, dengan interaksi kemampuan bawaannya dengan pengalaman kebudayaan dan pendidikan yang mereka dapati. Apa yang tidak kita ketahui saat ini adalah sejauhmana tingkat perkembangan kecerdasan reflektif dapat membantu anak dalam belajar. Sebagai pertimbangan, kebanyakan anak belajar menyanyi secara spontan. Seorang anak laki-laki yang menjadi anggota koor King’s College, Cambridge, atau Magdalen College, Oxford, awalnya mendengar orang lain menyanyi kemudian menirunya. Tetapi pembelajaran ini banyak dipercepat sehingga banyak hal yang dicapai dalam waktu singkat. Sekarang perkembangan kemampuan reflektif dan pemberian alasan formal bukanlah subyek yang sengaja diajarkan. Hal ini dikarenakan tidak terlalu penting dan kita tidak tahu bagaimana cara mengajarkannya, karena kita juga belum tahu bagaimana hal itu dipelajari. Hipotesis yang beralasan mengenai pendapat terakhir tersebut adalah adanya situasi yang menghendaki siswa untuk merumuskan idenya secara eksplisit dan menunjukkan mereka dapat berpikir secara logis dari ide lain dan ide-ide yang dapat diterima secara umum. Dengan kata lain, saling pendapat dan diskusi adalah cara-cara pembelajaran yang sangat bermanfaat bagi pengembangan kecerdasan reflektif. Guru telah mencoba mengajarkan kecerdasan reflektif. Dalam mengajarkan suatu topik, guru lebih menekankan pada klarifikasi pemikiran siswanya. Penelitian sederhana juga mendukung pandangan ini. Siswa-siswa SLTP yang berusia sekitar 14 tahun diajarkan beberapa topik yang berbeda oleh guru matematikanya. Masing-masing diberikan sebuah tes mengenai topik yang telah diajarkan, kemudian siswa dibagi menjadi dua kelompok yang sama berdasarkan hasil tes tersebut. Kelompok pertama mengajarkan apa yang telah mereka pelajari mengenai bilangan kepada kelompok kedua. Siswa yang beraksi sebagai tenaga pengajar berpikir bahwa siswanya akan dites mengenai apa yang telah diajarkan oleh mereka. Sebenarnya, pada akhir penelitian semua dites lagi atas topik yang telah mereka pelajari. Tujuannya adalah untuk membandingkan efek pengajaran suatu topik pada orang lain, dan terus mempraktekkannya sendiri. Hasilnya nampak sangat jelas bahwa kelompok siswa yang menjadi tenaga pengajar mempunyai hasil tes akhir yang lebih baik.

Komunikasi muncul sebagai salah satu pengaruh yang menguntungkan pada perkembangan kecerdasan reflektif. Salah satu faktor yang bersangkutan adalah perlunya mengkaitkan ide dengan simbol-simbol (selengkapnya dibahas pada bab berikutnya). Faktor lainnya adalah adanya interaksi ide-ide seseorang dengan ide-ide orang lain, tetapi ide umum yang dihasilkan kurang egosentris, lebih bebas sesuai pengalaman individu. Sebagaimana telah dikemukakan, arah dan tujuan diskusi pada pembelajaran adalah menjelaskan ide-ide dalam pikiran seseorang, menyebutnya dengan istilah-istilah yang tidak menimbulkan salah paham, menyatakan hubungannya dengan ide-ide lain; memodifikasi kelemahan pihak lain, dan akhirnya mendapatkan struktur yang lebih kuat dan lebih kohesif dibandingkan sebelumnya. Peringatan diinginkan di sini. Pembahasan sebelumnya telah membawa implikasi bahwa seorang individu pada tahap intuitif, mampu berpikir mengenai gabungan bentuk dan isi, dan mampu beralasan formal. Secara umum, jika seorang anak berada pada tahap tertentu yang seharusnya sedang mempelajari materi A, maka ia sudah mampu menguasai materi B. Sehingga melalui tahapan-tahapan serupa dalam setiap materi baru, mereka harus lebih cepat maju dibandingkan anak lain yang seumuran. Setiap orang hampir tidak dapat diharapkan untuk memikirkan konsep-konsep yang belum dibentuk, walaupun sistem reflektif seseorang dapat berkembang bagus. Sehingga tingkatan “intuitif sebelum reflektif” sebagian bisa benar untuk materi baru pada bidang studi matematika. Walaupun kita relatif kurang mengetahui mengenai faktor-faktor yang mempengaruhi pertumbuhan kecerdasan reflektif pada umumnya, tetapi satu hal dapat kita pastikan adalah kecerdasan reflektif pasti muncul walaupun terlambat. Siswa yang masih pada tahap intuitif, biasanya banyak tergantung pada cara penyajian materi oleh guru. Jika konsep baru yang didapati sangat jauh dari skema yang ada, mungkin dia tidak mampu mengasimilasikannya; khususnya karena tingkat akomodasi yang mungkin pada tingkat intuitif lebih rendah daripada yang dicapai dengan refleksi. Maka pada tahap-tahap awal, guru harus menganalisis konseptual siswa secara cermat sebagai dasar merencanakan pembelajaran, sehingga siswa dapat melakukan sintesa struktur-struktur dalam ingatannya sendiri. Itulah hal yang harus diperhatikan, tidak peduli apakah pembelajaran terjadi langsung oleh guru, maupun pembelajaran tidak langsung yaitu dari buku. Pembelajaran langsung oleh guru mempunyai keuntungan yaitu pertanyaan dapat diajukan, penjelasan dapat diberikan; dan bahkan keuntungan yang lebih besar bahwa guru yang sensitif dapat mempersepsikan perkembangan skema tiap siswanya, dan mengajarkan materi yang tepat sesuai dengan kondisi siswa. Pendekatan ini lebih fleksibel, disesuaikan dengan penguasaaan siswa sehingga tidak harus tepat sesuai rencana yang telah disiapkan. Kontribusi akhir dari guru adalah mengurangi ketergantungan siswa padanya. Contohnya, ketika seorang anak sedang mengerjakan sebuah teka-teki (jigsaw puzzles) untuk pertama kalinya, maka ibunya biasa memberi bagian-bagian yang dirasa cocok dengan apa yang telah dia tempatkan bersama. Tetapi ketika tahap intuitif dan reflektif telah dicapai, maka anak tidak akan suka jika dibantu dalam mengerjakan, sehingga guru harus memberi kebebasan kepada siswanya. Setelah seorang siswa mampu menganalisis materi baru untuk dirinya sendiri, maka dia dapat mencocokan pada skemanya sendiri dengan cara-cara yang paling berarti bagi dirinya sendiri; dan mungkin mempunyai cara yang sama dengan apa yang disajikan oleh guru.

Dari uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa ada tiga hal yang harus dilakukan oleh tenaga pengajar matematika, yaitu: 1.

Guru harus menyesuaikan materi matematika sesuai dengan status perkembangan skema

matematis siswa. 2.

Guru harus menyesuaikan cara penyajian materi sesuai dengan kemampuan berfikir

3.

Secara bertahap guru harus meningkatkan kemampuan analitiknya untuk mencerna

siswa. terlebih dahulu sebelum materi diberikan kepada siswa, ketika siswa berada pada tahap dimana mereka tidak lagi tergantung pada guru. Dan meskipun kami memiliki beberapa dugaan yang masuk akal tentang bagaimana perkembangan terakhir ini mungkin didorong, pengetahuan kita di daerah ini masih jauh dari selesai. dalam hal ini, seperti di banyak negara lainnya, guru terbaik adalah mereka yang masih pelajar aktif.

BAB V SIMBOL-SIMBOL Pada pembahasan sebelumnya kita telah dijelaskan mengenai bentuk-bentuk konsep, fungsi skema (struktur-struktur konsep) dalam pengetahuan integrasi yang sudah ada, asimilasi pengetahuan baru, dan kekuatan tambahan yang datang dari kemampuan merefleksikan suatu skema. Dalam setiap proses ini sebuah bagian yang penting adalah bagaimana bermain dengan simbol yang memiliki fungsi-fungsi penting. Fungsi simbol yaitu: i.

Komunikasi

ii.

Mencatat pengetahuan

iii.

Membentuk konsep baru

iv.

Membuat bermacam-macam penggolongan menjadi mudah untuk dipahami

v.

Memberi penjelasan-penjelasan

vi.

Membuat mungkin kegiatan yang dipikirkan

vii.

Membantu menunjukkan struktur

viii.

Membuat pengerjaan rutin menjadi otomatis

ix.

Membangkitkan kembali informasi dan pengertian

x.

Kegiatan mental yang kreatif.

Kebanyakan dari ini saling berhubungan, terutama yang pertama. Mencatat pengetahuan adalah berkomunikasi dengan pembaca, penjelasan adalah jenis spesial dari komunikasi, refleksi adalah komunikasi tanpa orang lain, dan hubungan-hubungan yang lain akan ditunjukkan kemudian. Oleh karena itu judul dimaksudkan hanya untuk kenyamanan, seperti diskusi berikut, bukan sebagai partisi.

i.

Komunikasi

Konsep adalah murni mental objek-tak terdengar dan tak terlihat. karena kita tidak memiliki cara untuk mengamati secara langsung isi pikiran orang lain atau yang memungkinkan akses dari seseorang ke orang lain, kita harus menggunakan cara-cara yang dapat terdengar atau terlihat – katakata terucap atau suara-suara lain, kata-kata tertulis atau tanda di atas kertas (notasi). Simbol adalah suara, atau sesuatu yang terlihat yang secara mentalitasterhubung dengan ide. Ide ini adalah arti dari simbol. Tanpaadanya ide, simbol kosong, tidak berarti. Telah disebutkan bahwa simbol terhubung pada suatu konsep yang sama dalam pikiran A dan B yang kemudian diucapkan dengan simbol ini. A dapat membangkitkan memori konsep B kedalam pengetahuannya – dapat menyebabkan dirinya mampu memikirkan konsep ini di masa sekarang. Ketentuan ini, bagaimanapun, tidak ada yang kecil. Setelah koneksi terjalin, artinya diproyeksikan pada simbol, dan keduanya dianggap sebagai satu kesatuan. Jadi, sulit untuk menyadari bahwa apa yang bermakna bagi diri sendiri mungkin tidak berarti bagi pendengar. Kesulitan yang dialami oleh banyak orang ketika berbicara dengan orang asing atau sebuah maksud yang sama tetapi tidak dapat ditangkap. Contohnya kata ‘penjepit’, mungkin artinya bagi orang Inggris yaitu alat untuk menjepit

celana, tetapi bagi orang amerika yaitu sepasang tanda kurung { }. Kita mungkin berpikir bahwa kita sedang berkomunikasi disaat kita tidak berkomunikasi, dan memang mustahil untuk mengetahui secara pasti dan jika demikian untuk apakah suatu gelar itu. Untuk alasan di atas, kita biasanya menerima begitu saja tetapi link komunikasi sangat genting dan sangat tidak dapat diakses untuk belajar, itulah yang perlu dilakukan lebih baik agar terkejut bahwa kita dapat mengomunikasikan ide kita untuk tiap-tiap orang. Setelah semua, hal ini telah mengambil jutaan tahun evolusi untuk memproduksi sebuah hewan yang dapat melakukannya untuk segala bagian tanda. Mari kita memulai poin (i) bahwa sebuah simbol, dan gabungan konsep, adalah dua hal yang berbeda. (ii) bahwa perbedaan ini bukan non-trivial, antara sebuah obyek dan nama dari obyek tersebut. Jika sebuha obyek disebutkan dengan nama lain, kita tidak dapat mengubah obyek tersebut, dan ini tetap benar untuk setiap obyek yang dipikirkan pada konteks sekarang, sebuah ide matematika. Contohnya ‘five’, ‘cinq’, ‘5’, V’, dan ‘101’. Semua mengarah pada nomor yang sama tetapi dengan notasi yang berbeda. Kita tidak dapat menyebutkan ‘five’ sebuah angka dalam Bahasa Inggris dan ‘cinq’ untuk angka dalam bahasa Perancis, atau harus kita sebut 5 adalah angka Arab dan V adalah angka Romawi. Tetapi kita tetap membaca, instruksi sering diberikan kepada murid ‘Ubahlah angka biner 101 menjadi angka desimal’. Obyek secara keseluruhan, tentu tidak untuk mengubah bilangan itu tetapi proses merepresentasi dalam cara yang lain. Untuk menerjemahkan bahasa Perancis ke bahasa Inggris kita mencoba untuk mempertahankan makna yang sama disaat sedang mengubah kata-katanya. Dalam mengkonversi dolar, kita mencoba untuk mempertahankan nilai dalam barang atau pelayanan yang sama tetapi dalam representasi yang berbeda (koin, nota) atau simbol (angka atau cek atau transfer bank). Istilah bilangan biner juga menunjukkan bahwa konversi ke bilangan biner adalah property yang bisa dimiliki bilangan, seperti halnya menjadi bilangan genap, prima, bilangan bulat dll. Tetapi angka biner dapat digunakan untuk merepresentasikan semua bilangan yang ada, baik itu ganjil atau genap, prima atau komposit, bilangan asli, bilangan bulat, rasional, atau bilangan real. Yang pertama dibutuhkan dalam pengomunikasian ide adalah jelas terhadap hal yang ingin dijelaskan. Biasanya saat menyebut symbol kita mengharapkan perhatian dari pendengar tentang ide yang dilambangkan oleh symbol itu daripada symbol itu sendiri. Kita dapat menunjukkan ini dengan tanda kutip. (lebih banyak symbol ! mereka tak terhindarkan) misalnya : 5 dan V keduanya symbol untuk bilangan lima Symbol untuk bilangan disebut angka dan system penomoran adalah system untuk menulis sebagai bilangan yang berbeda seperti yang kira suka dengan jumlah yang relative kecil dari digit ( angka tunggal seperti 0,1,2,3,4,…,9). System decimal menggunakan sepuluh digit, system biner menggunakan dua. Jika tidak jelas dari system mana diguakan, hal ini dapat ditampilkan secara sederhana dan jelas oleh tanda akhiran=(‘ sama dengan ‘) berarti bahwa kita mengacu pada konsep yang sama, ( biasanya) oleh simbo yang berbeda. Jadi misalnya 5(sepuluh)=101(dua) ( 101 dalam biner berarti sama dengan 5 dalam notasi decimal) Serupa 8 (sepuluh)=10(delapan) =1000(10) dll Tapi ‘8 (sepuluh) ’≠’ 10’ (delapan) bilangan sama tetapi angka berbeda. *kadang-kadang disebut denaru. Tapi Desem adalah inti untuk sepuluh sementara dinar berarti sen.

Presi yang berlebihan dalam penggunaan bahasa secara benar dianggap sebagai sifat teliti dan cermat. Sehingga itu adalah pertanyaan wajar pada tahap ini bertanya apakah label ini berlaku untuk pembahasan sebelumnya. Apakah itu benar- benar penting, misalnya, apakah kita katanan atau tulis: Menulis bilangan biner 11010 sebagai bilangan decimal atau menulis 11010 dua dalam notasi decimal? Pertahanan mudah akan mengklaim bahwa itu adalah bagian dari tugas matematika seperti accura yang mungkin sepanjang waktu. Tapi ini meskipun dapat diterima, tidak akan berlaku, misalnya berarti bahwa kita tidak harus menggunakan nyaman, tetapi frase longgar seperti ‘ kecil kami suka’. Bagian dari tujuan matematka, dengan abstraksi dan penghilangan tidak relevan, untuk memungkinkan kita ‘melihat kayu untuk pohon’, dab hal ini tidak akan tercapai dengan menambahkan, sebagai gantinya, masa detail matematika dalam nama akurasi. Jenis ketelitian dengan yang bersangkutan saat ini adalah ketelitian komunikasi dengan berusaha untuk mendapatkan sedekat mungkin bisa untuk ketidak mungkinan menghasilkan ide yang sama dalam pikiran penerima pada komunikator atau panggilan ke perhatiannya. Sekarang kita dapat membedakan tiga kategori pendengar dan pem bicara. Pertama mereka yang belum tahu siapa yang belum tahu apa yang kita bicarakan, tetapi ingin tahu untuk ini kita harus memilih symbol dengan sangat hati-hati mungkin, dan menggunakan mereka seakurat mungkin dengan tujuan mengkomunikasikan apa-apa selain kebenaran, meskipun belum tentu seluruh kebenaran, meskipun belum tentu seluruh kebenaran. Konsep yang dilakukan dengan menggunakan derajat dan perkiraan pertama pasti akan lengkap dan mungkin perlu merapikan secara detail. Tetapi tidak boleh ada sesuatu yang penting untuk belajar. Juga diingat bahwa untuk seorang pelajar cerdas pernyataan singkat tapi akurat juga mungkin lebih membingungkan daripada pernyataan agak lebih panjajang tapi akurat. Kategori kedua meliputi yang kita bicarakan, sebagai latar belakang umum dimana kami mencoba untuk berkomunikasi beberapa aspek tertentu. Jika mereka bersedia untuk ‘ pergi bersama ‘ dengan kita, kita bisa mengambil banyak untuk diberikan, menghemat waktu. Dan berkonsentrasi pada sesuatu yang penting. Guru saya sering menggunakannya di limit dan konvergen kalimat seperti ‘sedekat sialan ke … ‘ kami berdua tahu apa yang dimaksudkannya dan keduanya dapat diungkapkan kembali untuk maksud yang lebih teliti. Jadi untuk tugas ditangan idenya dapat dikomunikasikan dengan akurasi yang komplit dengan kalimat yang singkar dan ekspresif. Kategori ketiga dari pendengar atau pembaca terdiri dari orang-orang yang tahu apa yang kita bicarakan , tetapi ingin menyalahkan itu . Sebuah contoh nonmatematika dari kegiatan ini adalah dapat ditemukan setiap kali pajak baru dibuat undang-undang . Menteri keuangan mengatakan ' Aku ingin pajak .... ' . Begitu ini menjadi hukum , akuntan ahli akan pergi bekerja atas nama klien mereka untuk melihat bagaimana pajak ini secara hukum dapat dihindari atau dikurangi . Jadi sebelum tagihan berlaku, juru rancang parlemen harus mencoba untuk menghentikan semua celah di muka. Hasilnya adalah untuk membuatnya hampir tidak dapat dimengerti . Seperti dalam matematika , ketelitian dan kemudahan dalam pemahaman tidak muncul bersama-sama . Seni komunikasi adalah , pertama, untuk menyampaikan makna . Setelah itu , ide-ide baru dapat melalui analisis , dan lebih presisi diperkenalkan di mana kelemahan yang ditemukan . Perbedaannya adalah bahwa sekali skema ditetapkan , serangan kritis ini melayani tujuan yang

berguna , membangkitkan informasi, kesadaran reflektif yang lebih besar , dan penguatan dari skema tanpa kehilangan integrasi - dari ' gambaran keseluruhan ' . Kritik ini dapat berasal dari orang lain, atau mungkin berasal dari ' setan penyokong ' dalam diri . Hal ini tampaknya menjadi fungsi lain dari sistem reflektif : untuk mengambil ' tampilan luar ' dari sebuah argumen atau komunikasi lainnya, dan dengan kritik-diri mengantisipasi kritik eksternal .

( ii ) Mencatat Pengetahuan Ide tidak hanya terlihat dan tak terdengar , mereka tidak tahan lama . Ketika kita mati , pengetahuan kita mati bersama kita , kecuali kita telah berkomunikasi atau merekamnya . Salah satu episode yang paling mengharukan dalam sejarah matematika adalah bahwa dari Galois muda yang duduk sepanjang malam , menulis melawan waktu untuk berkomitmen kertas teori, sebelum kematian tragis dan sia-sia pada usia dua puluh . Rekaman adalah kasus khusus untuk berkomunikasi , karena biasanya dilakukan dengan maksud agar rekaman tersebut harus , dalam waktu dekat atau jauh , dilihat oleh orang lain . Jadi semua bagian sebelumnya berlaku . Sedangkan komunikasi lisan biasanya ( meskipun tidak selalu ) terjadi dalam keadaan yang memungkinkan pertanyaan dan penjelasan yang akan diberikan, ditulis atau dicetak simbol harus menyampaikan semua makna yang diperlukan , tanpa ada kesempatan kedua di kedua sisi . Jadi komunikator harus mengambil lebih banyak kesulitan untuk mencoba untuk memastikan hal ini . Ada, bagaimanapun , keuntungan bahwa penerima memiliki catatan permanen , untuk revisi dan pengecekan poin sebelumnya . Dia juga bisa menyesuaikan dengan kecepatan yang sesuai dengan tingkat sendiri mengenai asimilasi . Seperti telah dibahas dalam Bab 2 , struktur konseptual matematika adalah sesuatu yang jauh melebihi apa yang ada orang yang bisa , membangun , tanpa bantuan, dalam seumur hidup . Area terbatas telah mengambil tahun kerja oleh beberapa individu yang paling berbakat di dunia. Ini adalah penyimpanan akumulasi pengetahuan generasi sebelumnya dengan sistem ditulis dan dicetak simbol (dan terakhir dengan teknik lain seperti rekaman , sinematografi , mikrofilm ) , bersama dengan penjelasan tambahan dari guru-guru yang hidup , yang memungkinkan untuk beberapa masingmasing generasi baru untuk belajar dalam beberapa tahun ide yang melibatkannegara upaya kolektif untuk membentuk untuk pertama kalinya , dalam setiap kasus , mengumpulkan mereka lagi , dan dalam beberapa kasus membangun pengetahuan baru dan menambahkan ini ke penyimpanan. . Salah satu persyaratan pertama untuk menghindari ambiguitas yang satu akan berharap untuk dicermati adalah bahwa setiap simbol dikaitkan dengan satu konsep , dan sebaliknya . Pengaturan ini , namun, jarang ditemukan dalam praktek , bahkan dalam satu bahasa . Matematikawan tampaknya sangat malas tentang menciptakan simbol baru , mengandalkan sebagian besar pada huruf kapital dan huruf dari alfabet Romawi , alfabet Yunani , tanda baca , dan sejenisnya : masing yang tidak beberapa tugas. Jadi satu simbol mungkin berdiri untuk berbagai konsep . Susunan ini mungkin dapat mengakibatkan kebingungan (Diagram hal.74) Kata 'field' akan menimbulkan konsep yang berbeda dalam pikiran masing-masing individu yang disebut di atas. Atau jika kita menangani seseorang dengan kepentingan dalam semua topik ini, maka kita tidak bisa memastikan dimana konsep akan ditimbulkan oleh 'field' kata dalam pemisahan.

Tetapi tentu saja kata tersebut jarang digunakan dalam pemisahan. Biasanya pendengar mengetahui topik yang sedang dibahas, dan hanya ide-ide dalam topik ini yang diterima sebagai kemungkinan arti untuk kata tersebut. Jika tidak, maka pembicara atau penulis menggunakan satu atau lebih simbol untuk membuat skema yang relevan secara keseluruhan. Ini menetapkan 'set' sebagai keadaan pikiran di mana konsep ini termasuk dalam skema tertentu yang lebih mudah ditimbulkan. Simbol yang digunakan dalam cara ini yaitu untuk menentukan skema di mana simbol tertentu mengambil maknanya,disebut konteksnya. Dari sini, tiga aturan sederhana dapat di formulasikan untuk menyampaikan makna yang diinginkan ketika satu simbol berhubungan dengan banyak konsep. 1.

Pastikan

bahwa

skema

yang

digunakan

itu

dikenal

dengan

baik

oleh

pendengar/pembaca 2.

Di dalam skema itu buatlah supaya setiap simbol (lambang) hanya mewakili satu

gagasan saja 3.

Janganlah mengubah skema-skema tanpa sepengetahuan pendengar/pembaca

Itu diperbolehkan (meskipun apakah keuntungan yang diperoleh merupakan pertanyaan lain) untuk menggunakan simbol yang sama dalam konteks yang berbeda dan makna yang berbeda. Tetapi, dalam konteks yang sama simbol harus hanya memiliki satu makna. Aturan ini tampak mudah dan jelas, tetapi tidak selalu terlihat, dengan konsekuensi menimbulkan kebingungan untuk pelajar. Contohnya: Anak-anak pertama belajar arti dari mengalikan dalam konteks bilangan asli, yang mengacu pada set diskrit, benda dihitung. Sehingga operasi 3 x 4 terkait dengan menggabungkan 3 set, masingmasing 4 objek dan menghitung hasilnya. Mereka menggunakan tanda “x”, yang berarti selama beberapa tahun, dan hanya ini yang mereka tahu. Kita dapat mengubah sistem bilangan baru yang disebut bilangan pecahan atau bilangan bulat di mana tanda (atau kata) memiliki arti yang berbeda. Kita tidak menceritakan kepada mereka bahwa kita telah mengubah konteks dan telah menggeneralisasikan arti dari “x” yang sesuai dengan konsep baru. Sehingga mereka tidak lagi mengerti apa yang mereka lakukan. Jika konteks yang baru sangat berbeda dari yang lama, anak-anak mungkin akan menemukan apa yang terjadi tanpa bantuan. Tetapi, konteks yang cukup sama untuk membuat sulit bagi mereka untuk melakukannya. Salah satu cara untuk menunjukkan perubahan ini sudah digunakan dalam teksteks lanjutan. Simbol ⨂ dan juga ⊕ digunakan dalam konsep baru untuk menunjukkan bahwa operasi ini seperti yang lain, tetapi kita tidak mengharapkannya untuk menjadi sama persis. Pembaca mungkin termasuk dalam kategori ketiga (Mereka yang tahu banyak apa yang kita bicarakan, tetapi sengaja ………ingin menyalahkan atau mencari celah ) yang akan cepat untuk melihat ketidaktepatan. Tapi mereka yang ketepatan dari komunikasi yang paling penting adalah mereka dalam kategori pertama yang belum tahu apa yang sedang dibicarakan, tetapi ingin tahu. Ketika melewati ini pada kategori dua, kita dengan mudah dapat kembali ke simbol '+' dan 'x', karena mereka sekarang dapat menetapkan makna yang tepat sesuai dengan konteks.

Kata “garis” biasanya digunakan dengan setidaknya memiliki tiga arti yang berbeda: -

Garis panjang terbatas

-

Perluasan tanpa batas di kedua arah, salah satu yang dimulai pada suatu titik tertentu

dan meluas tanpa batas dalam satu arah dari itu -

Salah satu yang panjang terbatas dibatasi oleh dua poin

Dari 3 arti ini dapat dibedakan dengan istilah ‘garis’, ‘sinar’, dan ‘ruas garis’. Sehingga titik X pada garis AB (atau BA), dan juga sinar BA tapi bukan pada sinar AB, dan juga ruas garis AB. Jika AB mewakili garis lurus, X merupakan tujuan kita dan A merupakan titik awal kita. perbedaannya hampir sepele. Pengalaman matematika pembaca seharusnya tidak memiliki kesulitan dalam menemukan contoh lain yang ambigu dalam penggunaan simbol. Beberapa saran: Apa yang dimaksud dengan 'AB= 3 cm'? apa yang dimaksud dengan 'barisan 1 +1 /2+1/4+1/8+...'? Dan dalam konteks kelompok adalah istilah 'elemen identitas' dan 'elemennetral' identik Sejauh ini, penekanan dalam bagian ini adalah bahwa dalam konteks tertentu (yang mungkin bisa secara eksplisit atau implisit) satu symbol hanya menggambarkan satu konsep saja. Kita harus mempunyai ini (gambar hal.77) Bukan seperti ini Tetapi, mungkin, ini bahkan lebih baik Apa yang perlu dipermasalahkan adalah artinya (arti dari konsep yang dimaksud); dan ketetapan bahawa satu symbol hanya menggambarkan satu arti. Suatu keuntungan bila kita sering memiliki pilihan. Bila A menggunakan istilah yang jarang digunakan atau tidak familiar kepada B, dia bisa mencoba kembali dengan menggunakan istilah lain. Pemilihan symbol juga membuat kita untuk mampu mengklasifikasikan ide yang sama dengan cara yang berbeda-beda, fungsi yang akan dibahas lebih lanjut di bagia IV dari bab ini; dan masih berhubungan dengan ini, pemilihan symbol akan membantu kita untuk menekankan aspek ide yang kompleks yang paling relevan dengan suatu keadaan tertentu. Misalkan, fungsi adalah konsep yang memiliki aplikasi yang luas; dan di bab 14. Kita akan melihat bahwa tidak ada yang lebih berguna daripada 6 cara berguna dalam mepresentasikan fungsi yang diberikan. Keuntungan lain dalam menggunakan beberapa symbol berbeda untuk konsep yang sama akan di bahas di bagian lain dalam bab ini. Jika kita melakukan ini, tindakan pencegahan yang jelas sangat dibutuhkan untuk memastikan agar pembaca tahu bahwa apa yang sedang kita bicarakan sekarang adalah objek yang sama, meskipun menggunakan nama-nama yang berbeda dan ini menjadi lebih penting dalam pencatatan matematika;semenjak berbeda dengan komunikasi muka ke muka; karena pemv=bca tidak bisa bertanya. Ini adalah arti dari symbol ‘=’; bahwa symbol pada setiap sisi dari tanda sama dengan merupakan benda yang sama.

(iii) Pembentukan konsep baru Akan diingatkan kembali dari bab 2, pendapat dibuat bahwa konsep baru yang memiliki level lebih tinggi dari konsep sebelumnya, hanya bisa dimengerti dengan memberikan satu set contoh agar ia bisa mengklasifikasikan dalam otak mereka.

Apabila konsep yang baru adalah konsep primer, ex merah; ini memungkinkan kita untuk tidak menggunakan symbol, hanya perlu menunjukkannya saja.

Kata-kata ‘ini adalah…’ dengan

mudah menarik perhatian, mereka adalah petunjuk verbal. ‘dasi merah’, ‘buku merah’, dll, namun, jangan lupa untuk menggunakan contoh-contoh yang berbeda setiap waktunya dan ketetapan konsep. Secara intuitif, mereka akan menghubungkan berbagai macam contoh dengan berbagai macam kata, dan belajar mengenai nama untuk konsep sambil membentuknya. Jika konsep yang diberikan adalah konsep sekunder, layaknya semua konsep matematika, maka satu-satunya cara untuk memberikan contoh yang benar adalah dengan memberikan kata yang cocok. ‘merah,biru, kuning, semua ini adalah warna’. Dengan memanipulasi kata2, kita bisa memanipulasi pemikiran peserta didik. Biasanya dengan sepertujuannya.(jika dia merasa sebaliknya, alaminya akan muuncul rasa keengganan atau menolak untuk belajar: liat bab 7). Dengan cara seperti ini, diharapkan peserta didik meras tertolong untuk bisa melihat sesuatu yang umum diantara contohcontoh , yang didapatkan secara terpisah-pisah, yang mungkin tetap tersimpan di pikiran mereka. Newton membutuhkan waktu untuk menemukan kesamaan antara jatuhnya apel dengan pergerakan planet-planet disekitar matahari; tetapi ketika dia membawa idenya pada kita, kita bisa mengerti tentang konsep gravitasi. Cara lain untuk mengkomunikasikan atau memberitahukan konsep baru adalah dengan menghubungkan semua klasifikasi yang pernah diberikan kepada peserta didik. ‘apa itu cingalese?’,’habitat ceylon’, ‘apa itu laying-layang?’(dalam konteks geometri).’segi empat dengan 2 sisi samping yang sama panjang’, ‘apa itu variable?’,’sebuah anggota yg tdak ditentuan banyaknya dari sebuah set.’, jika pendengar sudah mempunyai konsep kelas yang disebutkan, ini membuktikan bahwa ia mengerti contoh2nya; sehingga ia bisa mencari contoh untuknya sendiri untuk konsep yang baru. Ini merupakan tanda bahwa ia sudah memahami sebagian tentang konsep yang baru. Tetapi, respon ini nampaknya juga memuaskan keingintahuaan yg lebih dalam. Terkadang, sebuah konsep didapat dengan cara yang baru saja dijelaskan tampaknya tidak lengkap sampai memiliki beberapa contoh. Dari penjelasan tentative ini disebutkan bahwa concept memberikan kita kemampuan untuk mengklasifikasikan kumpulan2 contoh dengan benar. Biasanya jika kita memperoleh kemampuan atau skill baru, nampaknya membawa kebutuhan untuk melatihnya. Contoh dari konsep baru diberikan, tidak harus dari pengalaman yang sudah ada. Seseorang dapat melihat poligon segi-100 tanpa harus pernah melihat dan menggambar. Memang, metode generalisasi matematika yang menarik itu untuk menciptakan sebuah kelas (penggolongan) baru, kemudian mencoba untuk menemukan beberapa anggota kelas tersebut. Contoh: kita sudah mempunyai konsep akar kuadrat, angka negatif, dan menggabungkan kedua konsep tersebut menjadi konsep baru. Pencarian contoh dan sifat-sifat

konsep/kelas baru tersebut, mengarah pada

pembangunan satu set ide baru (konsep baru). melalui bilangan imajiner, yang banyak digunakan dalam fisika misalnya teori tentang putaran sirkuit.

(iv) Membuat berbagai penggolongan agar mudah untuk dipahami Suatu objek dapat digolongkan dalam berbagai cara dan nama yang berbeda-beda. Kita dapat menunjukkan klasifikasi yang biasanya digunakan. Misal seorang yang sama dapat dipanggil Mr John, Pak, Tng terhormat, Paman, Jack, Ayah, atau John. Sudut yang sama pun dapat digolongkan sebagai

sudut yang berlawanan dengan...atau sudut ketiga dalam segitiga. Bilangan yang sama, misal: 8 kuadrat, 4 kubik, atau 10 kuadrat dikurango 6 kuadrat yang dapat disimbolkan dengan 82, 43, 102 - 62 . Dengan pilihan simbol, kita mempu memusatkan perhatian kita pada perbedaan sifat dari objek yang sama. Seperti yang telah dicatat, kita menunjukkan bahwa kita masih sering menggunakan simbol ‘=’ untuk hal yang sama, dan mengganti nama yang sesuai dengan sudah ada, dan dapat menemukan arti/maksud yang awalnya tidak jelas. Contoh: 4x2 - 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2, x dan y variabel. Kita tahu bahwa kumpulan simbol tersebut mewakili beberapa bilangan. Dengan menulis 4x2 - 12xy + 9y2 = (2x – 3y)2 = (2x – 3y)2 Kita tahu hal baru—bahwa persamaan di atas selalu positif. Meskipun prinsipnya sederhana, itu berakibat sangat

luas. Setelah kita menggolongkan

sesuatu, kita akan mengetahui bagaimana kita menghadapinya. ‘Appropiately ' berarti dengan cara , atau cara-cara yang membantu kita untuk memecahkan masalah. Dan semakin banyak cara kita menggolongkan sesuatu, semakin banyak pula kita memecahkan masalah. Itu artinya semakin banyak seimbol yang dapat kita gunakan dalam konsep yang sama, semakin banyak pula cara yang dapat kita kerjakan.

(v) Penjelasan Penjelasan artinya mengkomunikasikan sesuatu kepada seseorang dengan maksud agar seseorang tersebut memahami sesuatu yang belum ia mengerti sebelumnya. Memahami hasil dari asimilasi terhadap skema yang sudah ada, jadi ada tiga kemungkinan penyebab skema itu gagal: a.

Salah menggunakan skema.

Dalam hal ini, penjelasan itu dibutuhkan untuk mengaktifkan/memahamkan skema. Dalam buku ini misalnya, kata-kata ‘fungsi’, ‘gambar’, ‘kelompok’ sering digunakan dalan kehidupan seharihari dan matematika. kegagalan pemahaman dapat terjadi akibat memberikan arti yang berbeda dari yang dimaksudkan. Ini hanya masalah konteks. (b) Kesenjangan antara ide baru dan (sesuai) skema yang sudah ada mungkin terlalu besar. Gunakan lagi contoh indeks (halaman 59), anggap bahwa yang salah satu dimulai dengan menunjukkan notasi a2 = a x a a3 = a x a x a dan kemudian dilanjutkan langsung ke am x an = a(m+n). Sangat mungkin pelajar akan mengatakan bahwa dia tidak mengerti, mungkin menambahkan ‘Anda sudah trlalu cepat.’ Penjelasan dibutuhkan disini untuk menyediakan tahap intervensi lebih, bisa dengan menjembatani kesenjangan. Secara psikologis, orang yang menjelaskan akan mengucapkan simbol yang cocok yang akan digunakan untuk membangkitkan konsep yang berkaitan dengan skema yang sudah ada dengan ide baru. (c) Skema yang sudah ada mungkin tidak mampu berasimilasi dengan ide baru tanpa mengalami akomodasi, yang merupakan kasus khusus yaitu generalisasi matematika. Dalam hal ini, fungsi (dalam arti psikologis) dari sebuah penjelasan untuk membantu subjek untuk merefleksikan

skemanya, untuk lepas dari set asli dari contoh yang mana sekarang memiliki efek terbatas, dan untuk memodofikasinya dengan tepat. Perpanjangan indeks notasi ke nol, bilangan negatif dan pecahan akan ditawarkan sebuah contoh ini, jika ide baru ditampilkan di awal komunikasi perlu untuk membuatnya dapat dimengerti. Hal ini tampaknya menjadi sebuah cara penyesuaian yang sempurna dalam mengajar. Hal ini tidak diinginkan untuk tidak pernah menempatkan seorang pelajar sebelumnya yang tidak berhubungan dengan tahapan yang mudah untuk apa yang telah kita ketahui. ‘Over Programing’ tidak memberikan tantangan dan tidak bervariasi. Hal ini sering kali penting ketika pertama kali melihat permasalahn yang dibicarakan, bahwa menemukan pemecahan masalah secara instan; berikutnya untuk menganalisis tugas – tugas yang disertakan, dalam hal ini termasuk menentukan makna yang sesuai seketika itu juga; dan mengembangkannya secara metodik dengan proses yang dijelaskan, sebuah konsep baru (seperti halnya limit) dibutuhkan untuk memecahkan masalah.

(vi) Membuat aktivitas reflektif yang mungkin Hal ini termasuk kesadaran akan suatu konsep dan skema; memperhatikan struktur dan hubungannya; menggunakannya dengan cara yang bervariasi. Ketiga fungsi sistem reflektif tersebut diberikan dalam diagram yang diberi label ‘receptor’ , ‘intervening process’, dan ‘efector’. (diagram hal. 82) Dalam konteks saat ini, proses intervensi adalah suatu kognitif, dan membuat mungkin keseluruhan aktivitas yang kita sebut kecerdasan reflektif. Tetapi bukan hanya proses intervensi yang akan muncul; variasi lainnya akan dibahas pada bab 7. Proses penyadaran akan suatu konsep pada saat pertama kali mempelajarinya terasa sedikit susah. Seperti yang telah disebutkan pada bab 3, pengembang keseluruhan dari kemampuan untuk memperpanjang sebuah angka pada masa kanak – kanak. Akan tetapi, seseorang yang di dalam dirinya mempunyai kemampuan reflektif yang sangat baik sekalipun, masih butuh perjuangan dalam membentuk ide kesadaran yang benar – benar baru. Membuat sebuah ide kesadaran tampaknya berhubungan erat dengan keterkaitannya dengan simbol. Hanya mengapa hal ini harus belum diketahui. Kensep adalah hal yang sulit dipahami dan tidak dapat diakses, dan mungkin bahwa simbol (yang dengan sendirinya konsep primer) adalah yang paling abstrak dari konsep yang kita dapat dengan jelas menyadarinya. Tentu pengetahuan yang lebih dari proses akan sangat meningkatkan kekuatan pikiran kita. Salah satu asosiasitelah terbentuk, sibol tampaknya bertindak sebagai label yang menggabungkan dan menangani, dimana kita apat memilih (dari ruang memori kita) dan memanipulasi konsep kita saat diinginkan. Hal ini terutama dengan menggunakan simbol-simbol yang kita capai kontrol sukarela atas pikiran kita. Pemikiran verbal (yang dapat diperluas untuk mencakup aljabar dan simbol yang diucapkan lainnya) diinternalisasi bahasa seperti dapat dikonfirmasi dengan melihat tahap transisi pada anakanak. Pengguanaan simbol yang diucapkan untuk berpikir adalah hubungan erat dengan komunikasi, satu mungkin menggambarkannya sebagai komunikasi dengan diri sendiri. Jadi menjadi sadar akan pikiran seseorang tampaknya menjadi hubungan arus pendek proses dari mendengarkan diri memberitahukannya kepada orang lain. . Pandangan ini didukung oleh pengamatan umum yang benar-benar dilakukan untuk pendengar yang sabar (berpikir keras) hampir selalu membantu ketika

seseorang bekerja pada masalah. Berpikir visual merupakan hal yang jauh lebih individual, dan hubungan antara kedua jenis pencitraan akan dibahas lebih lanjut dalam bab berikutnya.

(vii) Membantu untuk menunjukkan struktur Fungsi simbol ini terkait dengan bagian sebelumnya, karena salah satu tujuan dari refleksi adalah untuk menjadi sadar betapa satu ide yang berhubungan, dan untuk mengintegrasikan mereka lebih lanjut. Tapi rentang memori langsung adalah kecil, yaitu, jumlah informasi yang dapat tetap dalam kesadaran pada suatu waktu sangat terbatas. apalagi, semakin sulit topik, semakin kita perlu memusatkan perhatian seseorang pada satu hal pada suatu waktu. Tapi juga perlu untuk dapat merujuk dengan cepat dan mudah untuk bekerja sebelumnya. Jadi seorang mencatat pikiran seseorang di atas kertas sebagai salah satu kemajuan. ni adalah bentuk yang lebih permanen 'berpikir keras' dibahas di bagian sebelumnya, yang mengurangi ketegangan kognitif menjaga seluruh informasi yang relevan diakses. Cara lain untuk mengurangi tekanan kognitif, dan yang kuat, adalah singkatnya notasi matematika. Bandingkan: (x+a)2 = x2 + 2ax + a2 kuadrat dari jumlah dua angka adalah sama dengan jumlah kuadrat ditambah dua kali mereka. Df derivate dari (fungsi) f D-1f yang antiderivate dari f 2751 2751 δ>O; ƎN: n≥N, |xn - x| < δ diberikan (positif) nomor δ, ada sejumlah N sedemikian sehingga untuk semua nilai n yang sama atau lebih besar dari N, perbedaan antara suku ke-n dari x1, x2, x3 .... dan x kurang dari δ Tapi ada yang lebih dari ini. Pilihan cocok yang simbol dapat menjadi penolong dalam membangkitkan konsep yang tepat dalam hubungan yang tepat, atau hambatan, jika dipilih dengan sembarang. berikut adalah beberapa contoh. (seperti biasa di Bagian A, pembaca yang sangat tidak matematika disarankan untuk menghilangkan orang-orang yang asing baginya). Notasi konvensional untuk logaritma dari sejumlah x ke base adalah logax (dibaca sebagai 'log untuk base dari x'). Dari definisi logaritma, yang tidak perlu kita bahas di sini - itu dijelaskan dalam pasal 14 - jika logaritma ini dilambangkan dengan n, maka x = an notasi Logax = n predisposisi kita untuk menulis a = xn yang salah Namun jika kita menulis (log x) a = n (log x untuk dasar) ini akan membantu kita untuk mengingat bahwa x = an Cara konvensional untuk menamakan sudut ini adalah < ABC . Hal ini menunjukkan bahwa titik sudut berada pada A , yang itu tidak . Jika tidak ada ambiguitas , kita lihat < B , tidak < A. Alternatif penggunaan ^ ABC lebih baik dari sudut pandang ini , meskipun kurang populer dengan printer . Tapi sekarang mari kita berpikir tentang ide-ide yang kita inginkan untuk melambangkannya

Sudut ditentukan oleh dua arah melalui titik . Setiap arah dapat diwakili oleh dua sinar , BA dan BC . Jika kita khawatir dengan pergantian dari satu arah ke arah lainnya , diwakili oleh sudut ditandatangani ( konvensi si untuk mengambil giliran berlawanan arah jarum jam sebagai positif ) ini akan diwakili oleh sepasang memerintahkan sinar ( BA , BC ) yang dapat terkondensasi ke Bac dan di mana tidak ada ambiguitas akan menghasilkan , ke B. Penambahan dan pengurangan sudut pada suatu titik dapat dikurangi dengan aljabar sederhana, setelah 'aturan pembatalan ' telah dilihat dan dihafal . Bca + Bdc = Bda. Pengurangan dari sudut setara dengan menambahkan kebalikannya , yaitu sudut yang sesuai dengan giliran dalam arah yang berlawanan sehingga Bda - Bdc = Bda + Bcd  Bca Apa yang terjadi jika kita mencoba untuk mengurangi sudut yang lebih besar dari yang lebih kecil . Mari kita coba . Aljabar Bdc - Bda = Bdc + Bad  Bac Untuk apa ini sesuai dalam gambar ? Mengembalikan sekarang untuk persamaan pertama , , Bca + Bdc = Bda dan membandingkannya dengan AC + CD = AD pembaca yang akrab dengan penambahan vektor bebas akan mengakui bahwa seluruh aljabar atas ( ditandatangani ) sudut isomorfis dengan untuk penambahan dan pengurangan vektor bebas, huruf yang dibaca dalam berlaku umum arah positif ke atas, dan kiri ke kanan . Tidak ada harapan mengganti notasi lama mapan untuk sudut dengan di atas - satu-satunya harapan membangun notasi yang baik adalah di awal . Pembaca mungkin tidak , dalam hal apapun , diyakinkan oleh argumen ini mendukung itu Tapi diharapkan bahwa ia setidaknya akan setuju bahwa pilihan notasi harus dilakukan dengan hati-hati , dan dengan beberapa memperhatikan seberapa efektif itu merupakan ide yang ( sebagai bab ini telah dikhususkan untuk menunjukkan ) sangat bergantung pada itu . Contoh terakhir dalam bagian ini dibawa ke perhatian saya oleh Bapak JS Friis . Hal ini membutuhkan pengetahuan dasar tentang aritmatika modular , dan kelompok . Hal ini mudah diverifikasi bahwa { 0,1,2,3 } adalah kelompok di bawah + mod 4 , dan sebagainya adalah { 1,2,4,3 } bawah + mod 5 . Tabel Kombinasi masing-masing adalah , Hal ini dapat dilihat dari tabel ini bahwa kedua kelompok isomorfik : kedua kelompok siklik menjadi urutan 4 . Tetapi jika tangan kanan ditulis ulang dalam kekuatan dari 2 , isomorfisma terungkap agak baik . Pembaca juga akan mengamati bagaimana lancar notasi indeks umum dengan konteks baru. Ini , tentu , adalah kriteria lain untuk notasi yang baik .

viii) Membuat manipulasi rutin otomatis Berpikir adalah kerja keras. Setelah kami telah memahami proses matematis, itu adalah keuntungan besar jika kita dapat berjalan melalui itu pada kesempatan berikutnya tanpa harus mengulang setiap kali ( bahkan dengan lebih kefasihan ) kegiatan konseptual yang terlibat . Jika kita ingin membuat kemajuan dalam matematika itu, memang, penting bahwa proses dasar menjadi otomatis, sehingga membebaskan perhatian kita untuk berkonsentrasi pada ide-ide baru yang sedang dipelajari yang , pada gilirannya, juga harus menjadi otomatis. Di tingkat manapun, kita juga bisa membedakan antara manipulasi rutin dan kegiatan pemecahan masalah dan kecuali bekas dapat dilakukan dengan perhatian yang minim, tidak mungkin untuk berkonsentrasi berhasil pada kesulitan. Hal yang sama berlaku keterampilan apapun. Tidak ada yang bisa menjadi pengemudi yang baik

sampai ia dapat mengubah gigi tanpa berpikir. Seorang pemain biola tidak bisa memberikan dirinya untuk interpretasi musik sampai tekniknya adalah usaha. Dalam matematika, hal ini dilakukan dengan melepaskan simbol dari konsep mereka, dan memanipulasi mereka sesuai dengan kebiasaan baik dibentuk tanpa memperhatikan maknanya . Ini kinerja otomatis tugas-tugas rutin harus dibedakan secara jelas dari manipulasi mekanik simbol berarti, yang bukan matematika . Sebuah mesin tidak tahu apa yang dilakukannya. Matematika A, bekerja secara otomatis , dapat setiap saat dia ingin berhenti dan pasang kembali makna untuk simbol dan ia harus mampu lulus dengan mudah dari satu bentuk kegiatan yang lain , sesuai dengan persyaratan tugas. Perekonomian usaha yang terlibat mencolok. Pertama, kita belajar untuk memanipulasi konsep bukan benda nyata, maka, setelah label konsep, kita memanipulasi label sebagai gantinya. ( Dan jika manipulasi dapat direduksi menjadi proses mekanis , kita bahkan dapat memprogram komputer untuk melakukannya untuk kita). Akhirnya, mungkin, kita membalikkan proses dengan reattaching konsep untuk simbol , dan kemudian kembali mewujudkan konsep dalam tindakan nyata dengan benda-benda nyata dari mana mereka pertama kali diabstraksikan. Jadi kita menghitung, mengatakan, menekankan terlibat, dan desain ( mekanik ) struktur untuk menahan tekanan tersebut, untuk pesawat aero terbang pada dua kali kecepatan suara sebelum meninggalkan tanah, dan bahkan sebelum piring pertama terpaku bersama. Kekuatan matematika sangat besar, dan pada semua tahap simbol membuat kontribusi besar untuk kekuatan ini. Tapi tanpa kemampuan matematika untuk berinvestasi mereka dengan makna, mereka tidak berguna.

ix ) Memulihkan informasi dan pemahaman Fungsi ini simbol agak seperti yang dibahas dalam bagian ii ), rekaman pengetahuan, dan ayat ( vi ) , di mana simbol-simbol yang digambarkan sebagai label gabungan dan menangani untuk mengidentifikasi dan memanipulasi konsep. Di sini kita prihatin dengan menggunakan mereka untuk membawa kembali ke konsep ketersediaan dan skema dari toko memori seseorang jangka panjang. Bahkan konsep yang digunakan saat adalah objek yang sulit dipahami, mereka yang belum bekerja selama beberapa waktu mungkin cukup tidak dapat diakses tanpa, sehingga untuk berbicara, semacam pegangan dimana untuk menarik mereka kembali. Lakukan percobaan ini. Tanyakan subjek yang cocok apa bentuk reflektor harus memberikan sinar paralel. Apakah dia menjawab 'itu adalah permukaan yang dibentuk oleh berputar terhadap suatu sumbu simetri kurva memiliki properti bahwa untuk beberapa titik S pada porosnya, dan semua titik P pada kurva, sinar SP dan garis melalui P sejajar dengan sumbu sama-sama cenderung tangen pada P dengan kurva. Kurva ini disebut parabola. "Atau apakah ia segera menjawab ' parabola ', kemudian menjelaskan sifat baru saja dijelaskan? Dengan kata lain, apakah ia pertama mengingat struktur konseptual, atau apakah ia ingat pertama label? Contoh lain, bagi mereka dengan beberapa pengetahuan tentang persamaan kuadrat. Memiliki akar real persamaan berikut ? 3x2 - 4x +2 = 0. Pada kebanyakan kasus, baik kata ' diskriminan ', atau ' b2 - 4ac ' simbol pertama akan datang ke pikiran. Setelah itu, metode yang didasarkan pada ini akan ingat. Satu contoh lagi. Pernahkah Anda bertemu, katakanlah, sesekolah tua

atau kolega, yang Anda tidak mengakui : tapi segera setelah dia berkata ' Aku ...' Anda tidak hanya diakui, tapi ingat banyak lagi tentang dia? Proses pemulihan informasi dengan bantuan simbol dicontohkan oleh semua mnemonik. Salah satu contoh akan cukup. (diagram hal.90). Ini adalah perangkat yang terkenal untuk mengingat tanda perbandingan trigonometri dari sudut 00-360. Diagram memberikan rasio positif. Perbedaan antara mnemonic dan formula adalah bahwa yang terakhir mewujudkan struktur apa yang akan diingat. Dari formula, oleh karena itu, pemahaman bisa direkonstruksi, bahkan jika itu tidak segera mengikuti recall simbol. Dengan mendengar atau melihat ' hukum Ohm ' kata-kata, rumus E / I = R akan, bagi banyak orang, akan ditimbulkan - yaitu, itu akan datang ke dalam kesadaran hadir dari toko memori jangka panjang. Dari pertimbangan lebih lanjut dari rumus mudah untuk merekonstruksi artinya : bahwa untuk diberikan rangkaian rasio gaya gerak listrik untuk saat ini adalah kontra. Ketika kita mengungkapkan ulang suatu percakapan atau bacaan, kebanyakan orang akan mengungkapkan kembali artinya tetapi mengekspresikannya dalam bahasa mereka masing-masing. Begitu pula dengan guru yang terkadang berkata ‘Jangan menghafalkan hasil, ini akan lebih mudah untuk merekonstruksikannya kembali ketika kau ingin!’. (Contohnya dalam persamaan garis atau curva). Ini tentu juga menunjukkan bahwa proses awal dari mengingat sangat lebih mudah jika menggunakan symbol yang berarti daripada teori yang tidak berarti. Dalam matematika, apa yang kita simpan adalah kombinasi struktur konseptual yang terkait dengan symbol, dan pembentuk terlihat penting dalam keseluruhan ingatan. Pertanyaannya adalah, bagian mana dari kombinasi symbol dan konsep yang paling mudah untuk ditangkap ketika kita mencoba memanggil kembali materi dari otak ke dalam kesadaran kita? Dan walaupun terlihat beberapa bukti bahwa dengan symbol, pemanggilan ulang paling dapat tercapai. Sudut pandang ini menjadi konsisten dengan fungsi lain dari symbol, situasi yang belum terlalu jelas. Peneleitian lebih lanjut masih diperlukan.

x) Aktivitas mental kreatif Dalam satu rasa, sejak semua pembelajaran baru dalam matematika melalui metode pembentukan konsep mengandung bentuk ide baru masing2 individu, kreatif dari sudut pandangnya. Inilah mengapa, belajar adalah cara, matematika adalah pengejaran yang menarik. Tetapi deskripsi digunakan lebih khusus untuk membentuk ide baru yang belum pernah ada sebelumnya, untuk membuka jalan baru, daripada menapaki jalan yang telah ada, walaupun belakangan merupakan hal yang baru bagi pelajar untuk mengikutinya untuk pertama kali. Proses pertama merupakan proses yang diandalkan, dan bisa jadi bertahun-tahun. Sekali wawasan baru tercapai, itu dapat dikomunikasikan seperti yang telah didiskusikan pada semua hal yang mempunyai skema pengembangan cukup jauh ke arah yang benar untuk menyerapnya. Ghisselin, dalam karya klasiknya ‘The Creative Process’, telah bersama-sama mengumpulkan laporan dari banyak pengarang dalam berbagai bidang-musisi, penulis, ilmuwan, matematikawan. Dari situ, apa yang paling jelas muncul adalah bahwa proses ini tidak akan ditampilkan untuk memerintah. Bagian utama dari aktivitas adalah kesadaran dan kesukarelaan.

Bagaimanapun terdapat kesepakatan yang adil bahwa kebutuhan awal adalah periode konsentrasi intens pada masalah. Oleh karena itu, biasa terdapat sebuah periode dimana masalah dikesampingkan, sejauh pikiran sadar diperhatikan: Periode relaksasi, mental lain atau aktivitas tubuh, atau tidur. Muncul dalam periode, aktivitas kesadaran mental berkaitan dengan permasalah yang berlanjut, untuk tiba-tiba sebuah pengetahuan menghubungkan kepada masalah – mungkin penyelesaian lengkap – meletus menjadi kesadaran, pada saat yang tidak disengaja memberikan kemajuan pada masalah. Pengetahuan ini dibersamai oleh perasaan senang yang kuat; dan secara menarik, mendesak untuk dikomunikasikan. Bagian mana dari proses simbolik yang memiliki aktivitas kreatif? Sejak tahap pertama, dimana ide-ide yang sudah ada tiba-tiba bersama-sama sesuai dengan cara baru untuk menghasilkan kesemua ide baru, secara sadar dan sukarela, hal ini mungkin dikatakan sebagai apakah atau seberapa luas symbol berperan penting atau memberikan kontribusi di sini. Dalam pendahuluan dan tahap keberhasilan, bagaimanapun, fungsi symbol adalah penting. Tahap pertama adalah intens, seringkali berlangsung lama, terkonsentrasi pada masalah; dimana semua ide yang relevan dibawa bersama, dan dipertimbangkan dari berbagai aspek dan dalam banyak kombinasi yang berbeda dan berhubungan satu sama lain. (Belum semua, untuk tahap ini kombinasi pengetahuan belum dihasilkan) Selama periode refleksi, symbol berperan penting; ini melalui kegunaan symbol bahwa kita mencapai control sukarela di luar pikiran kita. Ini mungkin bagus bahwa pada tahap ini, kontribusi konsep cukup tinggi dalam aktivitas untuk sintesis selanjutnya dalam level sadar. Ketika pengetahuan terjadi, mungkin kita menyisipkan pengetahuan secara spontan pada symbol yang sesuai; ini terlihat berhubungan erat dengan proses membentuk kesadaran. Tetapi ini belum lengkap, dan simbolisasi harus berlanjut secara beratahap, agar menjadikan komunikasi dan perekaman hasil yang melalui proses yang kreatif mungkin terjadi. Formulasi ini dan perekaman, berhubungan erat dengan proses membentuk kesadaran utuh, seringkali melalui perjuangan yang menyakitkan. Sayangnya, juga, tidak semua ide yang muncul dengan cara ini memenuhi janji mereka. Setelah pengetahuan datang dengan verifikasi. Dalam ilmu, ini berarti pengujian ide melalui pengalaman. Dalam matematika, ini berarti menggunakan analisis logika, pengujian untuk konsistensi internal, bahwa symbol itu penting. Mungkin juga, jika terpilih dengan teliti (yang sayangnya tidak selalu dalam semua kasus) memberikan kontribusi yang penting untuk mengungkapkan struktur baru. Perpanjangangan dari bagian ini (ini merupakan yang terpanjang dalam buku) adalah ukuran seberapa penting symbol dalam pembelajaran dan kegunaannya dalam matematika. Ada dua cara dalam konsep yang relevan yang mungkin

dimunculkan; dan dengan menggunakan hubungan

symbol, yang membuat kemungkinan control sukarela, komunikasi, dan mencatat pengetahuan. Bahasa inggris dan matematika keduanya telah dijelaskan oleh Bruner sebagai ‘pemikiran kalkulus’, dan ini adalah sistem symbol yang menjadikannya demikian. Tanpa bahasa yang sesuai, banyak sisa potensi kecerdasan manusia yang tidak disadari.

BAB VI IMAJINASI SIMBOL MATEMATIKA Dulu sekitar tahun 1880an, Galton menemukan bahwa setiap orang sangat berbeda imajinasi mentalnya. Beberapa orang, seperti dirinya sendiri, memiliki imajinasi visual yang kuat; dan yang tidak memilikinya sama sekali berpikir melalui kata-kata. Inilah yang terjadi selama ini; dan ada juga individu yang dapat melakukan keduanya, berpikir untuk menentukan pilihan pada beberapa kemampuan. (hal ini tidak benar, bagaimanapun juga, mudah untuk memutuskan imajinasi apa yang digunakan orang itu, atau bahkan mereka memiliki keduanya, imajinasi visual dan imajinasi verbal.) Dalam bab ini kita akan mempertimbangkan dua jenis simbol yang digunakan dalam matematika, visual dan verbal; keduanya merupakan imajinasi mental, dan hal lain yang ditandai dengan simbol.

Simbol Visual dan Simbol Verbal Pertama, penggunaan istilah simbol perlu penjelasan lebih lanjut; karena ketika kata-kata dituliskan kata-kata itu menjadi sesuatu yang dilihat, bukan didengar. Namun demikian kata-kata adalah simbol yang berhubungan dengan pendengaran, dan cara mengkomunikasikannya adalah ucapan, bukan tulisan. Jadi simbol verbal dapat kita akan artikan sebagai kata yang diucapkan dan kata yang dituliskan. Simbol visual contohnya adalah diagram, khususnya gambar bentuk-bentuk geometri. Tetapi ke dalam kategori mana kita harus meletakkan simbol aljabar seperti ini? sin { x : x2  0 } Pada dasarnya ini adalah stenografi lisan. Tulisan ini dapat dibaca dengan jelas, atau dikomunikasikan tanpa melihat bentuk visual. Yang pertama dibaca sebagai ”Integral a sampai b dari sin x dx”; dan yang kedua sebagai ”himpunan semua nilai x sedemikian hingga x2 lebih besar atau sama dengan nol”. Keuntungan dari notasi-notasi aljabar tersebut adalah, pertama, singkatan ini – menghemat waktu dan mengurangi kesalahan serta menambah kejelasan dan kekuatan karena ide-ide yang dipertahankan muncul dalam waktu yang singkat. Tetapi singkatan ini lebih bermanfaat. Mungkin ada sedikit kecenderungan untuk membacanya; kemudian memberikan aspek visual. Tetapi dalam pembicaraan yang sering digunakan, simbol aljabar dan simbol verbal biasa digunakan daripada diagram dan gambar geometri. Contoh pernyataan yang sesuai, adalah “Jika p adalah bilangan prima, dan

p|ab  p|a atau p|b ” (“jika p adalah bilangan prima, dan p membagi habis ab maka p

membagi habis a atau p membagi habis b”). Kedua simbol, visual dan verbal digunakan dalam matematika secara bersamaan maupun terpisah. Oleh karena itu, kita menemukan diagram-diagram dengan penjelasan verbal dan, bentuk perhitungan-perhitungan trigonometri; kita menemukan kurva disertai persamaannya; tetapi kita juga menemukan bentuk aljabar tanpa gambar atau diagram. Hal itu terlihat seolah-olah simbol verbal (termasuk aljabar) sangat diperlukan , tetapi simbol visual tidak.

Meskipun terkadang simbol-simbol tidak dibutuhkan, namun tidak ada keraguan bahwa simbol visual sangat berguna dan mungkin simbol visual lebih dapat dimengerti daripada simbol verbal dalam bentuk aljabar. Sudah sepantasnya jika fungsi-fungsi yang disimbolkan dengan dua cara yang berbeda, mungkin saling melengkapi. Ingat pada pembahasan simbol di Bab V, tentang manfaat simbol. Pada bagian yang membahas fungsi simbol matematika ini yang penting sekali. Sehingga, beberapa sajian tentang bagaimana memilih dan menggunakan simbol dan menemukan satu yang baru akan memberikan nilai sangat baik. Simbol visual kelihatannya menjadi dasar, paling tidak dalam menyajikan bentuk yang sederhana untuk menunjukkan obyek yang sesungguhnya. Seperti yang ditunjukkan Piaget, sekalipun persepsi kita terhadap sebuah obyek termasuk di dalamnya sebuah bentuk konsep. Ketika kita melihat beberapa obyek dari sudut pandang tertentu dalam kesempatan tertentu, pengalaman ini menimbulkan ingatan pada pengalaman-pengalaman yang lalu sebagai sebuah abstraksi terhadap sesuatu. Kita mengakui pada saat kita menemukan sebuah obyek baru tidak berdasarkan pada data masukan tetapi pada konsep obyek yang diperoleh. Jadi sebuah gambaran visual, atau sebuah representasi, dari sebuah obyek lebih baik digambarkan sebagai simbol; walaupun konsep obyek ini merupakan aturan yang digunakan dalam matematika. Berdasarkan sifat visual dari sebuah obyek kita lebih mudah menggambarkannya selama digambarkan oleh simbol visual daripada simbol verbal. Untuk contoh matematika, pertimbangkan diagram ini, yang mewakili sebuah blok tinggi pada flats yang berdiri di atas tanah. Untuk tujuan saat ini kami hanya tertarik dalam bentuk dan tingginya.

Selanjutnya kita merepresentasikan pengamatan seorang surveyor. Dari sudut ketinggian dari atap bangunan, diambil pada jarak 100 meter dari bawah. Yang menarik untuk dicatat adalah surveyor itu sendiri adalah observasinya direpresentasikan oleh simbol tertentu (titik dan garis) pada saat pengukuran, dan tinggi yang tidak diketahui diwakili oleh simbol aljabar verbal. (gambar hal. 97) Tentu saja kita membutuhkan kedua, dan sesegera melakukan perhitungan lalu melengkapinya . h = 100 tan 300 Meskipun demikian diagram sangat membantu untuk mewakili keseluruhan struktur masalah. Itu memberikan

konteks darimana perhitungan secara khusus diperlukan untuk

diabstraksikan. Meskipun lebih mendasar, gambaran visual lebih sulit dikomunikasikan daripada yang lain. Untuk yang terakhir, yang harus kita lakukan adalah mengubah pemikiran vokal kita ke dalam ucapan. Tetapi untuk mengkomunikasikannya kita harus menggambar, melukis atau membuat sebuah

film. Ini memberikan pemikiran verbal lebih memberi keuntungan dari pada visual. Lebih jauh lagi, sebuah pemikiran sangat berhubungan dengan penggunaan simbol. Pemikiran yang sama diperoleh bersamaan dengan kesadaran, tentu saja, simbol yang digunakan mempunyai perkiraan arti yang sama untuk keduanya. Jadi ketika membicarakan pemikiran kita kepada orang lain, kita juga mengkomunikasikan pemikiran tersebut kepada diri kita sendiri.

Pemikiran yang disosialisasikan Dari sini dapat dikatakan bahwa pemikiran verbal kita lebih mudah untuk disosialisasikan, hal itu memperluas hasil akhir tidak hanya pemikiran kita tetapi juga hal lain, dan interaksi keduanya. Untuk melihat sesuatu, secara harfiah, dari sudut pandang orang lain, seharusnya kita berdiri di tempatnya, atau menerima gambaran darinya, mengingat dia dapat mengatakan pada kita apa yang dia lihat, dan kita dapat mendengar suara yang sama pada saat berdiri pada tempat yang berbeda dan melihat arah yang berbeda. Pada sesuatu yang nyata, penglihatan bersifat individu, pendengaran bersifat kolektif. Dan ini menarik untuk diperhatikan, ketika kita sangat berharap untuk menegaskan aspek individu daripada aspek kolektif, kita berbicara tentang sebuah ”sudut pandang”. Bahkan ”aspek” adalah sebuah perubahan visual. Jadi perbedaan antara dua jenis simbol ini, adalah sebagai berikut: Visual

: lebih sulit diutarakan, lebih individual.

Verbal

: lebih mudah diutarakan, lebih kolektif.

Manusia adalah makhluk sosial; dan manfaat dari komunikasi sangatlah besar, adapun keunggulannya, sebagaimana dinyatakan sebelumnya, dari pemikiran verbal dapat dijelaskan berdasarkan pada dasar-dasar di atas. Tapi manfaat dari komunikasi merupakan hal yang kebetulan (kita memiliki loudspeaker, tapi tidak memiliki proyektor gambar) dan tidak timbul dengan sendirinya secara alami simbol-simbol itu. Memang, kadangkala dikatakan bahwa ”sebuah gambar sama dengan seribu kata”. Jika memang demikian, maka dari pada menulis buku (sekitar 90.000 kata), penulis akan lebih baik menghabiskan waktu dengan membuat 90 gambar. Dengan teknik reproduksi modern, maka publikasi tidak memiliki kesulitan apapun. Lebih lanjut, kata-kata yang ditulis kehilangan manfaat dari interaksi antara, pendengar dan pembicara. Jadi apakah menulis buku dan membacanya, bukannya menggambarnya dan melihat gambaran tersebut, hanyalah sekedar kebiasaan yang diambil dari kebiasaan percakapan dan diskusi? Ataukah juga terdapat manfaat-manfaat intrinsik di dalam simbol jenis verbal-aljabar?

Simbol-simbol visual di dalam geometri Geometri menunjukkan bahwa dirinya merupakan konteks yang menguntungkan untuk menyelidiki pertanyaan, karena merupakan salah satu cabang matematika dimana diagram tampaknya merupakan bagian yang penting. Kita harus mencatat bahwa simbol yang dilibatkan disini lebih abstrak daripada representasi visual dari sebuah objek. Bahkan foto dari sebuah objek hanya menunjukkan aspek tunggal, dan untuk memperluas hal tersebut akan membangkitkan konsep dari objek sebagai sesuatu dari keseluruhan, dapat dijelaskan sebagai sebuah simbol untuk objek. Abstrak presentasi lainnya lebih lanjut, biasanya menunjukkan bentuk, warna, tekstur, ukuran. Tingkat

abstraksi lainnya dapat ditemukan di dalam gambaran yang mewakili, bukan sebuah objek secara khusus. Sebuah perbedaan penting antara kedua jenis simbol, foto dan kata, adalah yang satu lebih tampak sebagai objek tipikal dari set/rangkaian yang diwakilinya, dimana yang satunya lagi tidak tampak seperti itu. Jadi simbol visual ini, pada tingkat apapun, memiliki hubungan yang lebih erat dengan konsep daripada dengan simbol verbal. Hal yang sama berlaku bagi simbol-simbol geometris. Berikut ini adalah simbol geometris: (pict hal. 100) Simbol verbal dari simbol geometris diatas adalah lingkaran. Persamaan simbol geometris dengan konsepnya memiliki kelebihan dan kekurangan. Manfaatnya adalah menimbulkan sifat-sifat konsep. Hal ini terjadi ketika kita menggambarkan secara visual beberapa konsep secara bersama-sama. Diagram tersebut menjelaskan pada kita hubungan antara konsep daripada representasi verbal dari konsep yang sama dengan lebih jelas. Sebuah lingkaran demgan dua garis singgung dari suatu titik diluar lingkaran; dan jari-jari melalui titik-titik singgung dari kedua garis singgung tersebut. (pict hal.100) Sebuah kelemahan dari simbol visual adalah simbol tersebut harus digambarkan agar dapat dikomunikasikan. Ingat, bahwa simbol itu tidak menyajikan suatu lingkaran tertentu, garis singgung dan lain-lain. Tetapi menyajikan variabel-variabel suatu lingkaran. Bukan pula sebuah lingkaran dengan jari-jari dan diameter seperti yang terlihat. Kata - kata ini mengingatkan kita secara eksplisit mengenai hal ini. Sebuah diagram tidak dapat menunjukkan lingkaran tertentu. Oleh sebab itu, kita harus mengabaikan suatu kualitas tertentu dan bekerja dengan simbol - simbol secara umum. Tahapan ini merupakan tahap yang lebih konkret sehingga kita harus melakukan beberapa abstraksi dalam diri kita. Dalam contoh ini, kedua kelemahan kecil tersebut cukup sebanding dengan keringkasan dan kejelasan dari simbol-simbol visual. Namun demikian, kita menemukan bahwa kebanyakan komunikasi geometris dimulai dengan sebuah diagram, kemudian segera beralih ke simbol aljabarverbal, bersamaan dengan penambahan simbol geometri. Dalam studi vektor, ruas garis berarah diganti dengan pasangan terurut, tiga, atau n-tupel angka. Sebuah kerugian pada simbol visual yaitu simbol visual harus digambar untuk dapat dikomunikasikan- tetapi pensil dan kertas, papan tulis dan kapur, cukup mudah untuk digunakan. Kita juga harus ingat bahwa itu menggambarkan, bukan sebuah bagian lingkaran tertentu, garis singgung, atau lainnya, namun menunjukkan variabel – sebuah lingkaran, bukan lingkaran dengan pusat dan radius yang kita lihat. Karena diagram tidak bisa tidak menunjukkan lingkaran tertentu dan lainnya, kita harus ingat untuk mengabaikan sifat tertentu dan bekerja dengan suatu hal umum yang bisa melambangkan. Karena itu adalah sebuah tahap yang lebih konkrit, kita harus melakukan sesuatu abstrak diri. Dalam contoh sekarang ini, bagaimanapun, ada dua kelemahan kecil yang cukup ditutupi oleh keringkasan dan kejelasan simbol visual. Namun demikian kita menemukan bahwa ketika komunikasi geometris yang dimulai dengan sebuah diagram, mereka dengan cepat beralih ke simbol verbal aljabar, bersamaan dengan salah satu gemotris tambahan seperti

, (tegaklurus), ||. Dan elemen visual

yang kadang-kadang dihapuskan sama sekali. Dalam pembelajaran vektor, ruas garis yang dituju, digantikan oleh pasangan terurut, tiga, atau n-tupel dari angka; dan salah satu arah di mana geometri tampaknya bergerak adalah bahwa sistem aksioma aljabar dimanipulasi. Mengapa tidak begini, salah satu cabang yang paling visual dalam matematika berada di tahap awal, tetap begitu?

Penyajian Argumen Visual Contoh-contoh berikut menunjukkan bahwa kita mungkin, dengan keuntungan, tinggal di mode visual yang lebih dari yang kita lakukan saat ini. Dengan konvensi sederhana, diagram di bawah ini menyampaikan segalanya bahwa pernyataan verbal yang dilakukan, lebih jelas dan gamblang. Garis singgung lingkaran dari titik di luar itu sama panjang.

(Perhatikan bahwa diagram juga menunjukkan bagian mana dari garis singgung yang kami maksud, yang dalam keterangan lisan dibiarkan secara implisit dan hanya bisa dibuat eksplisit oleh begitu banyak kata-kata tambahan yang artinya maka akan kurang jelas dari sebelumnya.)

Sudut luar segitiga adalah sama dengan jumlah dari bagian sudut yang berlawanan.

(Ini adalah pernyataan biasa. Kita benar-benar harus mengatakan "ukuran sudut eksterior ..." karena suatu objek, dan ukuran suatu objek, merupakan ide-ide yang berbeda. Dalam diagram sudut diwakili oleh sepasang garis, dan ukuran mereka diwakili dengan huruf. Dan siapa yang akan tahu mana sudut yang kita maksud dengan 'eksterior' dan 'interior berlawanan' tanpa diagram? Di sinilah pernyataan verbal kalah dibandingkan visual.) Kita juga dapat menunjukkan sebuah teorema dan kebalikannya. Sudut dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

Begini, → berarti 'menyiratkan'. Sebelah kiri panah menunjukkan data, menggunakan konvensi bahwa titik ditarik kira-kira pada pusat lingkaran, sebenarnya memang merupakan pusat. Sebelah kanan panah mewakili kesimpulan yang diperoleh teorema ini dari data.

Kebalikan dari teorema ini juga benar. Jika garis pada lingkaran berhadapan dengan sudut siku-siku pada keliling, maka garis tersebut merupakan diameter. (Lihat diagram di atas pada halaman 103.) Dengan menggunakan tanda ↔ untuk dua arah implikasi, kita dapat mewakili secara simultan baik teorema dan kebalikann ya. Sudut

dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku. Begitu juga , jika garis pada lingkaran berhadapan dengan sudut siku-siku pada keliling, maka garis tersebut merupakan diameter.

Sejauh ini, pernyataan visual jauh lebih jelas dan singkat. Kesulitan mulai muncul ketika kita ingin melakukan dua hal lagi - memberikan bukti logis, dan perhatian langsung ke bagian-bagian tertentu dari diagram. Yang pertama ini sering memerlukan yang kedua. Teorema di atas adalah kasus khusus berikut ini. (Ukuran) sudut di pusat lingkaran adalah dua kali (ukuran) sudut di keliling oleh garis yang sama.

Bukti

dari

teorema

mempertimbangkan garis lurus

sebelumnya menunjukkan bahwa kita dapat ini sebagai sebuah

sudut dg ukuran dua sudut siku-siku, memiliki

di pusat lingkaran.

titiknya di sini

Teorema yang terakhir diberikan untuk memberitahu kita bahwa sudut ini dua kali ukuran sudut ini.

Tetapi ukuran sudut ini adalah dua sudut siku-siku,

sehingga ukuran sudut ini adalah satu sudut siku-siku. Ini masih jelas, tapi lebih kaku. Dalam situasi tatap muka, diagram yang sama akan digunakan seluruhnya, dan pembicara akan menunjuk ke bagian-bagian diagram tentang apa yang ia bicarakan pada saat yang tepat. Kendalanya adalah terjemahan dari tindakan menunjuk ke diagram. Setelah kita tarik panah, kita tidak bisa menghapusnya dengan cara yang sesuai dengan penarikan tangan seseorang, kita harus kembali menggambar diagram tersebut. Dan panah juga mengacaukan diagram, karena mereka terlalu seperti menyatu dengan diagram. Warna yang berbeda dari panah dan diagram akan lebih membantu. Penggunaan kata-kata lain telah menganjurkan klasifikasi baru untuk pembaca, Misalnya, bahwa garis lurus dapat dianggap sebagai jenis tertentu dari sudut. Ini juga dapat ditampilkan secara visual.

Itu memang membuat lebih banyak ruang, tetapi lebih jelas. Ada kemiripan tertentu dengan strip-kartun; dan jika seseorang memiliki sumber daya untuk menuju ke tahap yang lebih jauh dan membuat diagram animasi, seperti yang terlihat dalam program televisi sekarang ini, presentasi visual dapat mempertahankan semua keuntungannya. Apa yang akan menjadi tahapan animasi seperti itu? Berikut ini adalah salah satu kemungkinannya. Diketahui bahwa angka pertama mewakili data.

Untuk perbandingan, di sini adalah bukti konvensional teorema yang sama.

Data

AOB adalah diameter lingkaran, pusat O.

P adalah setiap titik pada keliling. Untuk bukti

= 1 rt <

Bukti

=2

Tetapi

(< pada pusat = dua kali < pada keliling) = 2 rt < s,

karena AOB adalah garis lurus.

= 1 rt < Q.E.D Di sini kita menggunakan huruf sebagai pengganti untuk menunjuk. Ketika huruf-huruf yang ditemukan dalam bukti (verbal-aljabar), kita kemudian harus menemukan hruuf-huruf tersebut dalam diagram, dan ini memberitahu kita di mana mencarinya. Ini lebih rapi daripada panah panjang digunakan pada halaman 104, dan menyimpan menggambar ulang diagram. Yang lebih mudah untuk diikuti, pembaca harus menilai dirinya sendiri. Bagaimana pendekatan visual murni' mengatasi bukti yang lebih kompleks? Ruang harus membatasi kita ke salah satu contoh lebih lanjut; sebuah bukti dari teorema ini lebih umum sudah disebut.

Teorema

Bukti

Apakah ini jelas dari bukti lisan-aljabar (yang, melihat teks geometri sekolah tradisional), atau itu kasus lain 'lihat, anak-anak, tidak ada tangan' - kali ini, ada kata-kata? Karena individu berbeda dalam preferensi mereka untuk visual, atau lisan - aljabar, simbolisme, mungkin tidak ada jawaban umum untuk pertanyaan ini. Saat ini sistem yang terakhir telah mencapai dominasi, dan tujuan utama dari hal tersebut telah mempertanyakan fait accompli ini, dan menguji kontribusi tertentu simbolisme visual.

Kedua sistem dalam hubungannya Secara historis, salah satu pernikahan paling bahagia kedua sistem adalah bahwa karena Descartes. Setiap titik pada bidang kertas ditentukan jarak nya dari dua (biasanya tegak lurus) jalur, yaitu, dengan dua angka, ditulis sebagai pasangan. Koordinat ini, sebagaimana mereka disebut, bisa positif atau negatif. (gambar koordinat P(5,2)) Sebuah titik variabel sesuai dengan sepasang variabel numerik; (gambar koordinat P(x,y)) Dan satu himpunan titik dengan properti karakteristik tertentu, misalnya bahwa jarak dari asal selalu sama dengan r, diwakili oleh persamaan dipenuhi oleh semua pasangan koordinat (x, y).

(gambar lingkaran x2 + y2 = r2) Dengan cara ini kurva dapat direpresentasikan aljabar yang sulit untuk menarik akurat, misalnya elips, bentuk sebuah planet mengorbit mengitari matahari, parabola, bentuk reflektor untuk memberikan sinar paralel (seperti untuk lampu mobil), atau berkonsentrasi sinar jauh ke titik (seperti untuk sebuah teleskop radio). (gambar parabola y2 = 4 ax) Sifat umum dan berirama dapat ditangani dengan cara ini, sifat umum, dengan menggunakan hubungan umum antara koordinat variabel, dan berirama, dengan memberikan nilai numerik khusus untuk variabel ini. Apa pengobatan ini aljabar geometri menambah kekuatan yang besar manipulasi, dan akurasi yang jauh melampaui apa yang tersedia dengan menggambar akurat untuk skala dan pengukuran gambar. Tapi kita masih perlu gambar untuk menunjukkan apa himpunan titik-titik seperti, secara keseluruhan. Hal ini, misalnya, tidak jelas dari persamaan bahwa kurva diwakili oleh y2 = 4 ax menghilang ke kejauhan, dalam dua arah, atau yang diwakili oleh

+

= 1 bergabung

dirinya lagi, atau bahwa perubahan sederhana dari tanda di kedua akan memberi kita sesuatu yang tampak sama sekali berbeda. (gambar kurva hiperbolik

−

=1)

Bahwa representasi tidak lebih unggul dalam segala hal ditunjukkan oleh fakta yang sering kita gunakan metode secara terbalik . Alih-alih memulai dengan kurva yang diketahui ( semua di atas diketahui geometers Yunani, sekitar delapan belas abad sebelum Descartes ) dan mewakili itu aljabar , kita dapat mulai dengan konsep aljabar , bahwa fungsi , dan mewakilinya grafis . Gagasan tentang fungsi matematika adalah salah satu umum besar. * Secara garis besar , berfungsi memberitahu kita bagaimana objek dalam satu himpunan sesuai dengan orang-orang di negara lain , misalnya , bagaimana jarak yang ditempuh oleh suatu benda dapat ditemukan jika kita tahu waktu , bagaimana arus melalui sirkuit yang diberikan dapat ditentukan jika kita tahu tegangan. Fungsi dapat diwakili dalam berbagai cara , termasuk persamaan dan grafik . Untuk menemukan korespondensi individu, sebuah persamaan sangat nyaman . Misalnya jika d meter adalah jarak yang ditempuh oleh tubuh jatuh bebas di bawah gravitasi ( mengabaikan hambatan udara ) , dan t kedua kali itu telah jatuh , maka d = 4,9 t2 . Jadi , jarak jatuh setelah 1 detik adalah 4,9 x 1 meter , setelah 2 detik itu adalah 4,9 x 4 meter , dan sebagainya. Dengan mengambil ( t , d ) sebagai koordinat Cartesian , kita dapat menunjukkan secara grafis fungsi secara keseluruhan .

Dua Sistem Dibandingkan Ragu-ragu, sekarang kita dapat mencoba meringkas dari perbedaan, dan sebagian pelengkap, sifat dari dua jenis simbol.

Visual Abstrak sifat spasial, seperti bentuk, posisi.

Lisan-algebraic Abstrak sifat yang independen dari konfigurasi spasial, seperti nomor.

Sulit untuk berkomunikasi

Lebih mudah untuk berkomunikasi.

Dapat mewakili pemikiran yang lebih

Dapat mewakili pemikiran lebih

individual.

disosialisasikan.

Integratif, menunjukkan struktur.

Analytic, menampilkan detail.

Simultan.

Sequential.

Intuitif.

Logis. Disosialisasikan sifat dari sistem lisan - aljabar telah pasti memberikan kontribusi

terhadap sistem visual . Namun setiap kali kita ingin mewakili struktur keseluruhan beberapa topik , argumen , atau situasi , kembali simbolisme visual, seperti dalam bagan organisasi (bentuk perusahaan untuk tim sepak bola ) , diagram alir , dan pohon keluarga. Nilai simbolism visual juga ditunjukkan dengan cara di mana ia superimposes diri pada lisan - aljabar , dalam bentuk penataan ruang simbol tertulis. Simbol pendengaran pasti berurutan dalam waktu. Ketika ditulis, mereka yang hadir secara bersamaan , mengurutkan dipulihkan dengan memindai mereka dalam urutan konvensional disepakati . Tetapi perintah ini dapat berangkat dari setiap kali kita ingin . Kami mungkin terlihat cepat di awal dan kesimpulan dari argumen , sebelum memeriksa rincian . Kita mungkin rekapitulasi setiap kali kita inginkan , dan ini menjadi perlu lebih sering sebagai argumen menjadi lebih terlibat . Dengan kata lain , penjelasan lisan - aljabar , setelah ditulis, menunjukkan over-semua struktur di samping implikasi logis - sekuensial dalam struktur , dan dapat dipindai dengan cara lain selain kiri konvensional ke kanan , atas ke bawah . Simbolisme spasial menemukan jalan ke setiap detail dari sistem aljabar verbal. Posisi dari digit membantu menunjukkan

2 7

3

digit itu merupakan angka apa

2 ratusan 7 puluhan 3 satuan

Posisi yang menunjukkan mana dikurangi mana,

9-5

atau dibagi dengan yang...

16/4

Posisi menunjukkan korespondensi

1 2 3 4 5

Antara dua set, seperti dalam Proporsi ini.

4 8 12 16 20

Penataan ruangnya

a1 a2 a3

Adalah properti penting

b1 b2 b3

Dari matriks. Banyak lain contoh dapat diberikan .

c1 c2 c3

Sebelum mengakhiri bab ini akan menarik untuk kembali sebentar ke perbedaan individu dalam citra diperhatikan oleh Galton , dan disebutkan di awal . Jika kita benar dalam berpikir bahwa citra visual adalah bahwa paling menguntungkan bagi integrasi ide , jika tidak disengaja bahwa ketika kita pertama kali mengetahui bagaimana ide-ide berhubungan satu sama lain , kita lihat pengalaman seperti di penglihatan , tidak seperti di - pendengaran , maka kita mungkin cukup berhipotesis orangorang yang telah dicatat atas kontribusi mereka terhadap pemahaman matematika dan ilmiah akan ditemukan. Daftar ini adalah salah satu yang parsial dan dipilih, kita tidak memiliki informasi lengkap tentang matematika terkenal lainnya yang akan mendukung atau menolak hipotesis. Sebuah diskusi yang menarik sepanjang garis yang lebih umum, ciri-ciri kepribadian yang hebat matematika dan lainlain, dapat ditemukan dalam Lampiran 2 dari Kemampuan Spasial Macfarlane Smith; * banyak bahan lain yang menarik dalam konteks ini juga dapat ditemukan. Analisis, argumentasi logis, dan pemikiran disosialisasikan adalah, benar, jauh lebih dihargai dalam matematika, tetapi kita juga perlu pemikiran individu, wawasan, dan sintesis. Untuk beberapa mantan tampaknya mampu diajarkan, yang terakhir, saat ini, hanya dapat dicari. Jika kita dapat menemukan lebih banyak tentang fungsi dari dua macam simbol yang dibahas dalam bab ini, dan menjadi lebih terampil dalam memilih dan menggunakan mereka, ini mungkin juga membantu kita untuk mengembangkan dan berhubungan ini dua aspek yang saling melengkapi pemikiran matematis kami.

BAB VII FAKTOR INTERPERSONAL DAN EMOSIONAL Ini adalah buku terutama tentang belajar matematika dengan pemahaman , bukan mengajarkan tentang hal itu , meskipun ada banyak implikasi untuk nantinya . Tetapi kebanyakan pembaca cenderung memiliki sikap yang sama dengan subjek karena mereka diperoleh di sekolah. Dan bagaimana mereka dapatkan itu masih relevan. Bagi mereka dengan perasaan tidak suka atau keheranan atau putus asa terhadap matematika, tujuan dari bab ini adalah untuk menunjukkan bahwa kesalahan itu bukan milik mereka - memang, bahwa respon ini mungkin juga telah yang sesuai dengan non - matematika yang mereka temui . Dan orang-orang yang mengingat matematika-sekolah mereka dengan minat dan kesenangan akan menyadari , yang sebelumnya belum menyadari, betapa beruntungnya mereka . chapter 2 dan 3 , khususnya, telah menekankan ketergantungan tertentu pada pengajaran yang baik dari mahasiswa matematika, terutama pada tahap awal , ketika skema yayasan , dan juga apa yang mungkin sikap jangka panjang untuk subjek , sedang terbentuk . Sebelum kontak dengan peserta didik (usia berapapun), guru matematika memiliki dua tugas penting: pertama, untuk membuat analisis konseptual bahan. kedua, untuk merencanakan dengan hati-hati cara di mana skema yang diperlukan dapat dikembangkan, dengan perhatian khusus ke tahap di mana restrukturisasi skema pelajar akan dibutuhkan. Kemudian, ketika kontak langsung dengan peserta didik, guru bertanggung jawab untuk memberi arahan umum atau bimbingan pekerjaan, untuk menjelasakan dan untuk mengoreksi kesalahan. Guru juga memerlukan, pada tingkat yang berbeda-beda, untuk menciptakan dan memelihara ketertarikan siswa. Tugas sebelum kontak biasanya akan dilakukan oleh orang lain selain guru-tatap-muka. Mereka sulit dan memakan waktu, dan guru yang terlibat dalam pekerjaan mengajar sehari-hari jarangberada dalam posisi melakukannya. Siapa pun yang melakukan hal-dosen perguruan tinggi atau penulis teks matematika memainkan peran penting dalam proses pengajaran. Tapi mari kita di sini untuk kenyamanan membatasi istilah 'guru'

untuk guru tatap muka yang berada dalam kontak

langsung dan berkelanjutan dengan peserta didik. . Dalam bab ini kita akan prihatin dengan interaksi pribadi antara guru, dalam pengertian ini, dan pelajar, dan cara-cara di mana mereka dapat mempengaruhi pembelajaran matematika dengan pemahaman.

Kriteria apa? Matematika memiliki banyak kesamaan dengan ilmu-ilmu alam dan kurang kesamaan dengan bahasa dan mata pelajaran seperti sejarah, sastra Inggris. Ini berbeda dari semua ini, namun, dalam satu hal yang penting. Dalam ilmu alam, dasar kriteria untuk validitas pernyataan atau bagian dari pekerjaan adalah eksperimen. Memang, tidak semua percobaan akan dilakukan, atau bahkan disaksikan, oleh siswa. Tetapi yang utama, jika mereka bersedia menerima itikad baik bahwa peristiwaperistiwa tertentu hasil jika kondisi tertentu diatur, Dan terutama jika mereka memiliki beberapa skema dasar berdasarkan percobaan dan pengamatan mereka sendiri,mahasiswa ilmu alam mengembangkan ilmunya situasi antarpribadi di mana daya tarik utamanya adalah untuk fakta dan bukan pada otoritas guru.

Hal ini berbeda dengan beberapa subjek lain, misalnya, latin, di mana kebenaran sepotong terjemahan memutuskan pada otoritas guru, atau Inggris, di mana lagi wasit akhir manfaat dari esai adalah guru. Di contoh yang lalu, pendapat guru mungkin akan didukung oleh kata yang tercetak, tapi ini juga didasarkan pada otoritas, tidak bereksperimen. Dalam kasus terakhir, tidak ada banding yang tersedia sama sekali, kecuali mungkin untuk guru lain - pendapat kedua, bukan verifikasi yang obyektif. Dimana matematika berdiri ? Pertanyaan penting, karena beberapa orang benar-benar seperti diberitahu mereka salah, atau berkurang. Tapi mahasiswa cenderung menerima ini lebih mudah jika mereka dapat memberikan bukti yang lebih baik daripada 'karena A berkata begitu' baik yang dinyatakan dengan demikian atau lebih sopan. Jadi apa kriteria akhir untuk validitas sepotong matematika kerja - solusi persamaan, bukti dari teorema atau jawaban atas suatu masalah dalam mekanika? Memang dalam matematika murni, pembanding utama bukan untuk eksperimen. (dengan apa eksperimen di laboratorium dapat membuktikan bahwa akar dari -1 bukanlah bilangan nyata?) dan juga tidak , atau lebih tepatnya harus , kepada otoritas guru . ( jika seorang siswa menawarkan solusi yang salah untuk persamaan , setiap guru akan memberitahu mereka untuk memeriksa kembali apakah itu memenuhi persamaan atau tidak ) . Kriteria akhir dari setiap bagian dari matematika adalah konsistensi : dengan dirinya sendiri , yaitu konsistensi internal , atau dengan sistem matematika yang lebih besar dari bagian. Apakah ini ada konsistensi masalah kesepakatan antara faktor seorang matematikawan dan lainnya, dan antara guru dan siswa . Yang menarik , dan agak mengejutkan , hal tingkat tinggi dari perjanjian yang dapat dicapai atas dasar tersebut . Terlebih lagi , kriteria secara implisit diterima untuk mengikat guru dan siswa sama. Jika seorang guru membuat kesalahan saat menulis di papan tulis, dan anggota kelas itu keluar , guru tidak memiliki pilihan lain kecuali untuk memperbaikinya . Dia tunduk pada aturan yang sama seperti murid-muridnya , dan ini tidak aturan hirarki otoriter tetapi struktur berbagi konsep . Dalam matematika , mungkin lebih daripada yang lainnya , proses belajar tergantung pada kesepakatan , dan kesepakatan ini bersandar pada akal murni .

Penginaan terhadap Intelegensi (Rangkuman HAL. 116-118) Inti: 

Dalam pembelajaran tidak ada yang mutlak benar, oleh karena itu antara guru dengan

murid harus saling membenarkan jika terjadi kesalahan di dalam kelas penghinaan terhadap kecerdasan siswa sudah tidak perlu menerima apapun yang tidak menyenangkan untuk kecerdasan sendiri - idealnya ia memiliki kewajiban untuk tidak terima . dan itu dengan latihan kecerdasan guru , dan bukan oleh gengsi , kefasihan , atau tirani , bahwa siswa harus dipimpin setuju dengan pendapatnya. pengajaran dan pembelajaran matematika harus menjadi interaksi antara kecerdasan , masing-masing menghormati dengan yang lain . siswa menghormati pengetahuan yang lebih besar dari guru , dan mengharapkan pemahaman sendiri untuk diperbesar. Misalkan sekarang bahwa apa yang dia menemui materi yang tidak cerdas atau tidak dimengerti sama sekali, tapi serangkaian aturan berarti , misalnya bahwa ia harus memecahkan persamaan , ' mendapatkan semua x di satu sisi dan

semua nomor di sisi lain ' dan cara untuk menyelesaikan ini adalah dengan ' membawa mereka ke sisi lain dan mengubah tanda ' ? ( lihat halaman 118 ) instruksi semacam ini mungkin cukup digambarkan sebagai serangkaian penghinaan terhadap intelijen , karena mereka mengaku didasarkan pada alasan , tapi (biasanya ) tidak . Istilah ' penghinaan ' digunakan di sini baik dalam arti sehari-hari, dan dalam arti medis sesuatu yang merugikan organisme . mencoba memahami sesuatu yang melibatkan akomodasi dari skema seseorang . sampai-sampai apa yang sedang dikomunikasikan tidak dimengerti , penerima mencoba untuk mengakomodasi skema untuk mengasimilasi yang berarti. untuk melakukan hal

ini

berarti

setara

dengan

penghancuran

skema

ini

:

setara

mental

cedera

.

dilihat dalam sudut pandang ini , kita dapat mulai dengan melihat mengapa beberapa siswa yang kurang antusiasme pada matematika , tapi jijik. Terlebih lagi, mereka berada dalam keadaan ini cukup tepat dalam melakukannya, karena salah satu fakultas tertinggi mereka , kecerdasan mereka berkembang , sedang terkena pengaruh yang berbahaya. Bahwa guru tidak berarti membahayakan, namun hanya bertindak dalam kebodohan , tidak mempengaruhi situasi dari sisi penerima. Dan siswa mungkin lebih cerdas yang pikirannya merusakkan pada koleksi terorganisir dari aturan tanpa alasan, yang seringkali merupakan ajaran yang disebut matematika. Mereka sadar bahwa mereka tidak dapat menemukan makna dalam apa yang disajikan kepada mereka, tetapi menyadari bahwa kesalahan bukan milik mereka . Entahlah , dalam bentuk yang disajikan kepada mereka , tidak bermakna, atau mereka belum memberi ide awal tertentu yang diperlukan untuk memahami yang baru . inti: 

Seorang guru yang baik seharusnya memberikan kesempatan pada murid untuk

berkreasi sesuai kehendak mereka, agar mereka tidak merasa tertekan akan satu pola pikir. Aturan tanpa alasan. Ini semacam pengajaran adalah seolah-olah seseorang belajar mengemudi diberitahu bahwa setiap kali dia ingin beristirahat ia harus menekan pedal kopling serta rem , tanpa pernah diberitahu apa fungsi dari pedal kopling . ' Mengapa? ' Dia bertanya . ' jika Anda tidak melakukan , mesin akan berhenti . ' 'mengapa' ' ya seperti itu. "Alasan pertama terdengar sangat jauh dari topik; 'tapi untuk menjawab kedua , dua fakta-fakta dasar yang diperlukan . Pertama , bahwa mesin pembakaran internal tidak akan mati , seperti motor listrik atau mesin uap , mulai dari beristirahat di bawah beban . Ia memiliki kecepatan operasional minimal . Kedua, bahwa untuk memungkinkan mesin untuk tetap berjalan secara bebas dari gear box dan roda, alat yang disebut kopling dipasang memungkinkan mesin

terhubung

ke

gearbox

dan

terputus

dari

gearbox

,

sesuka

hati.

' untuk membagi dengan 2/3 , Anda kalikan dengan 3/2 . ' 'mengapa' pembaca diajak untuk mencari kembali dalam ingatannya untuk menemukan apakah ia pernah diberikan alasan yang baik untuk ini; ? atau sebaliknya, untuk mencari penjelasan dari seorang anak sekolah usia yang cocok , untuk mengetahui apakah dia telah menerima alasan yang baik . inti: 

Kita harus mengetahui fungsi dari suatu alat, tidak cuman dsuruh dan ikut saja.

Setidaknya kita harus tahu kegunaannya agar kita tidak seperti mesin yang bergerak tanpa berpikir.

Daftar contoh matematika dapat dilanjutkan hampir tanpa batas , baik di tingkat SD dan di tingkat yang lebih tinggi. Beberapa pembaca mungkin ingat belajar untuk memecahkan persamaan dengan beberapa metode seperti berikut , dan buku yang pertama kali diterbitkan pada tahun 1960 masih memperkenalkan solusi persamaan sederhana dengan kata-kata : " Kami menggunakan aturan bahwa ketika kita mengubah ruas, kita mengubah tanda . Untuk menyelesaikan persamaan pertama kita mendapatkan semua x di satu ruas dengan mengambil x atas dan mengubah tanda. Kemudian kita mengambil -3 ke sisi lain

6 −3 = 7 + ∴6 −

−3=7

∴6 −

=7 +3

∴ 5 = 10

dan mengubah tanda . Sederhanakan kedua ruas Ambil 5 dan ubah tanda .

∴

= 10 ÷ 5 ∴

=2

Jika semua yang ingin dapat memecahkan persamaan semacam ini dengan cepat dan efisien, metode tersebut cukup. Jika, bagaimanapun, beberapa yang penting terlampir untuk mengerti apa yang kita lakukan, maka itu tidak. Dan pemahaman ini bukan hanya mewah yang membuat tugas lebih menyenangkan: itu adalah suatu keharusan jika satu adalah untuk dapat mengadaptasi pengetahuan seseorang untuk situasi baru. Contoh topologi yang diberikan dalam Bab 3 ( hal. 47 ) diperkenalkan untuk membuat hanya point ini. Dalam contoh itu, ide-ide yang diperlukan untuk mengkonversi aturan tanpa alasan menjadi informasi yang dapat diasimilasi oleh intelijen yang hanya sedikit dan sederhana. Dalam kasus persamaan, skema awal membutuhkan waktu lebih lama untuk membangun, sehingga akan ditunda sampai Bab 13.

Dua jenis otoritas Setiap kali, dan sejauh itu, gagasan prasyarat bagi pemahaman belum tersedia bagi pelajar, maka apa pun dikomunikasikan hanya bisa dalam bentuk pernyataan, dan ini tidak akan memberikan nutrisi bagi kecerdasan tumbuh. ( Perumpamaan metafora sangat dekat pada makanan. Makanan asli menjadi bagian dari tubuh dari orang yang memakannya: bahan dicerna diinternalisasi, tetapi tidak diasimilasi, dan upaya untuk mempertahankan itu selamanya bertentangan dengan fungsi alam kita . ) Penerimaan sebuah pernyataan tergantung pada penerimaan kekuasaan guru, dan bertindak dalam ikut serta lebih dari sifat ketaatan daripada pemahaman. Sebaliknya, asimilasi bahan yang penuh arti tergantung pada penerimaan kecerdasan siswa. Bertindak dari hasil diatas, dan memperkuat, pembesaran skema siswa . Sejauh ini 'otoritas' kata telah digunakan dalam apa yang mungkin konotasi umum, bahwa seseorang yang menghormati dan taat adalah wajar, sebagai akibat dari statusnya atau fungsi. Otoritas juga bisa, bagaimanapun, hasil dari pengetahuan unggul: dan ini adalah, atau seharusnya, jenis otoritas yang berkaitan dengan guru seperti itu. Di sekolah, namun ( untuk lita yang pertama, dan beberapa dari kami terakhir, mencoba untuk belajar matematika ), ada kebingungan dan konflik antara kedua jenis otoritas . Mantan jenis berkaitan erat dengan pembentukan dan pemeliharaan disiplin - perilaku tertib, dan ketaatan kepada instruksi guru. Ini adalah jenis yang sama dari disiplin, meskipun dari jenis

ringan (biasanya ), selain yang ditentukan dalam angkatan bersenjata. Tapi kita bicara juga, meskipun kurang umum, dari disiplin ilmu matematika, kimia , filsafat, dll ketika orang baik menarik murid, yang datang kepadanya sebagai peserta didik, dan ketika mereka taat, itu adalah sukarela, karena mereka ingin belajar dari dia. Seorang guru sekolah harus melaksanakan kedua jenis otoritas, dan mempromosikan kedua jenis disiplin. Jika dia gagal untuk mengontrol siswa muda, yang mungkin tidak bersekolah karena kehendak mereka sendiri, ia memiliki sedikit kesempatan untuk mengajar mereka. Namun pada dasarnya kedua peran tidak hanya berbeda, tetapi dalam konflik. Dalam keadaan lain mereka biasanya dipisahkan. Pada pertemuan lembaga belajar, mantan peran yang dilakukan oleh ketua, yang menyebut pertemuan untuk memesan, menunjukkan siapa yang mendapat giliran berbicara, dan dalam kendali umum pelaksanaan pertemuan, sedangkan pembicara lain - mengundang tamu, atau sukarelawan dari penonton - menginformasikan dan berdebat. Hal ini tidak tepat bagi siapa saja untuk bertindak bertentangan dengan kewenangan ketua, tetapi sepenuhnya tepat bagi siapa saja untuk mempertanyakan dan mendiskusikan pernyataan atau salah satu pembicara lain, namun terkemuka. Kombinasi dari kedua fungsi tersebut dalam satu pribadi mungkin diperlukan, namun jelas disayangkan. Itu penting perilaku tertib, kinerja tugas yang diberikan, pilihan materi pelajaran, itu adalah pandangan saya - yang beberapa akan memandang cara kuno - bahwa siswa harus menerima peran pengendali guru, sedangkan belajar dengan pemahaman materi pelajaran berkembang pada pertanyaan dan diskusi antar siswa dan antara siswa dan guru. Biasanya modus vivendi cukup memuaskan tercapai, di mana siswa belajar seberapa jauh guru, dalam peran pertamanya, memungkinkan dan bahkan mendorong mereka untuk menyatakan ketidaksetujuan dengan dia dalam peran kedua. Meski begitu , murid berseni dapat menggunakan yang kedua sebagai bentuk terselubung perlawanan pada yang pertama, sedangkan guru mungkin subyektif mengalami kebutuhan yang tulus untuk penjelasan sebagai mempertanyakan otoritasnya ( controlling), dan bereaksi tidak tepat . Peran konflik ini penting khususnya di bidang matematika untuk alasan yang diberikan sebelumnya , bahwa untuk ini semua mata pelajaran, pembelajaran dan pengajaran yang paling dibutuhkan harus didasarkan pada akal dan kesepakatan. Situasi akan diperparah bila guru tidak dapat memberikan alasan yang baik, karena (mungkin bukan karena kesalahan sendiri ) dia tidak mengenal mereka, dan setiap kali ( karena kurangnya analisis konseptual yang memadai ) dia belum mengembangkan skema siswa dalam sedemikian rupa sehingga bahan yang sudah mereka punyai sebelumnya masuk akal. Dalam kondisi ini pembelajaran berdasarkan pada pemahaman yang rusak, dan digantikan ( jika sama sekali ) dengan belajar berdasarkan rasa hormat dan ketaatan.

Guru sebagai pemimpin kelompok Sikap seperti yang telah dijelaskan di atas adalah salah satu yang sangat matang, yang tidak berarti semua orang yang mengambil bagian dalam diskusi menerima bagian, apakah anak-anak, remaja, atau orang dewasa. Dan kita juga tahu, semua terlalu baik, bahwa orang-orang dalam kelompok bisa jauh lebih kreatif, lebih merusak, bahkan terkadang kurang seperti manusia daripada anggota mereka secara individual. Memang, hal ini akan terjadi lebih mudah daripada interaksi kreatif yang telah kita bahas.

(Pada intinya, dalam sebuah kelompok ada berbagai macam karakter yang tak terduga. Kejadian seperti ada anggota yang tidak aktif mengambil bagian dalam diskusi, ketidakcocokan dalam kelompok lebih mudah terjadi daripada interaksi kreatif.) Faktor apa saja yang berada di tempat kerja belum sepenuhnya diketahui. Penelitian tentang garis Freudian menunjukkan bahwa beberapa di antaranya tidak jelas. Dua diantaranya, bagaimanapun, adalah jelas: ukuran, dan kepemimpinan. Kelompok yang besar lebih mudah merosot menjadi massa daripada kelompok kecil, dan bagian yang dapat diambil masing-masing individu dalam diskusi berkurang secara cepat terhadap ukuran. Pengalaman saya sendiri adalah bahwa kelompok yang cukup kecil, sekitar dua sampai lima atau enam, adalah yang terbaik, meskipun 30 dan 40 telah menjadi jumlah yang lebih biasa untuk kelas sekolah, saat ini tren, terutama di sekolah dasar, baik terhadap kerja individu atau kerja dalam kelompok kecil. (intinya, kelompok yang lebih kecil lebih efektif (antara 2-6), walaupun kini biasanya dalam satu kelas ada 30-40 anak. Bagian masing-masing anak dalam diskusi akan menurun seiring meningkatnya jumlah kelompok.) Dimana pengajaran kelas tradisional digunakan untuk kelas yang sebagian besar siswa yang berada disana bukan karena pilihan mereka sendiri, ada tekanan pada guru untuk mengambil sikap otoriter. Jika guru tidak membangun dan menjaga ketertiban, ia tidak dapat memenuhi fungsinya sebagai komunikator pengetahuan. Namun demikian, kedua peran dasarnya dalam konflik, seperti yang ditunjukkan sebelumnya, dan kelompok yang lebih besar, akan semakin besar konflik yang dihadapi. Idealnya, seorang guru yang baik harus dapat berperan sebagai sersan mayor dan konduktor orkestra, mampu bergantian antara dua peran ini sesuai dengan kebutuhan. Untuk menggabungkan ini dengan pengetahuan tentang subjek ini sungguh hal yang berat. Saya pernah menyaksikan sebuah pelajaran di mana guru mencapai ketiganya sekaligus. Kendalinya atas kelas itu begitu baik dan peran ini tidak terlihat sama sekali. Dalam perjalanan pelajaran, seorang gadis memberikan jawaban yang salah. Guru menulis di papan tulis, dan dengan pertanyaan terampil ia memimpin kelas secara keseluruhan tidak hanya untuk menemukan jawaban yang tepat, tetapi untuk belajar lebih banyak dari jawaban yang salah daripada mereka memberikan jawaban pertama yang benar. Selain itu, gadis yang memberi jawaban itu tidak dibuat malu atau dipermalukan oleh kesalahannya. Itu juga menarik untuk merasakan intra - kelompok perasaan pada tahap ketika sekitar setengah kelas telah melihat titik, sementara setengahnya tidak. Mereka yang mengerti menunjukkan, di wajah mereka, kesenangan yang menyertai wawasan baru, tetapi mereka juga benar-benar khawatir untuk mencoba 'menarik sisa kelas atas stile'. Ketika semua orang mengerti, ada relaksasi umum ketegangan dan perasaan kepuasan. Penanganan kelasnya oleh guru ini sehingga terkesan bahwa, pada pertemuan berikutnya saya memintanya untuk memberitahu kami bagaimana dia melakukannya. Setelah beberapa menit itu jelas bahwa dia tidak tahu, secara sadar. Kepemimpinan kelompok terampil nya berfungsi pada tingkat intuitif, dan belum pada tingkat reflektif. Mereka yang benar-benar memahami matematika yang tidak banyak, mereka yang dapat berkomunikasi, kurang begitu banyak, mereka yang juga pemimpin kelompok yang sangat baik, lebih

sedikit lagi, sementara mereka yang juga dapat berkomunikasi ini kemampuan terakhir memang langka.

Kecemasan dan aktivitas mental yang lebih tinggi Alasan lain mengapa hubungan interpersonal yang tepat sangat penting dalam memahami matematika adalah bahwa kecemasan itu sendiri dapat meningkatkan, secara subyektif, kesulitan pemahaman. Mengingat sebuah eksposisi yang, meskipun tidak sangat baik, namun sama sekali tidak memadai, beberapa murid akan dapat memahaminya, beberapa tidak. Jika orang-orang yang tidak mengerti merasa terlalu cemas pada kegagalan mereka, mereka tidak akan ragu untuk melakukan upaya yang lebih besar untuk memahami. Tapi ini lebih - kecemasan dapat merugikan diri sendiri, dalam hal ini benar-benar dapat mengurangi efektivitas upaya mereka. Semakin cemas siswa, semakin keras ia mencoba, tapi lebih buruk ia mampu memahami, dan semakin ia menjadi lebih cemas. Dengan demikian lingkaran setan mungkin diatur dalam operasi. Memang, dua : satu jangka pendek saja dijelaskan, dan juga satu - jangka panjang. Mengingat beberapa pengalaman semacam ini, situasi itu sendiri, dari pelajaran matematika atau kuliah, menjadi stimulus yang dipelajari untuk kegelisahan, sehingga siswa mulai setiap pelajaran sudah sebagian dikalahkan. Bahwa ini bukan gambar yang berlebihan akan dijamin oleh banyak orang, dari pengalaman pribadi mereka. Berikut adalah beberapa argumen yang mendukung keyakinan bahwa kecemasan mengurangi - atau mungkin dalam kondisi tertentu mengurangi efisiensi - pemikiran matematis. Sebuah prinsip yang dikenal sebagai hukum Yerkes - Dodson kini, atas dasar bukti eksperimental, telah cukup umum diterima oleh psikolog. Hukum ini menyatakan bahwa tingkat optimal motivasi untuk tugas yang diberikan menurun dengan kompleksitas tugas. Dengan kata lain, untuk tugas sederhana, semakin kuat motivasi, semakin baik kinerja. Tapi untuk tugas yang lebih kompleks ini hanya jadi sup untuk titik. Mulai dari motivasi nol, yang diperkirakan menghasilkan kinerja nol, meningkatkan motivasi meningkatkan kinerja. Tapi di luar tingkat tertentu motivasi, peningkatan lebih lanjut tidak menghasilkan perbaikan lebih lanjut dari kinerja, tetapi kerusakan. Dan lebih kompleks tugas, semakin rendah tingkat motivasi yang memberikan kinerja terbaik. Motivasi adalah hal yang cukup untuk menilai secara akurat, meskipun kinerja biasanya mudah. Hal ini karena motivasi internal untuk orang yang bersangkutan, dan tidak secara langsung diamati, di sisi lain, jelas eksternal dapat dinilai secara objektif. Untuk menilai motivasi eksperimental, kita harus menyiapkan kondisi yang berasumsi akan memiliki efek motivasi tertentu pada subjek. Misalnya, dalam satu percobaan tikus yang diperlukan untuk memecahkan masalah diskriminasi di bawah air. Mereka dihadapkan dengan dua pintu yang berbeda, salah satunya terkunci, yang lain terbuka dan mengarah ke udara. Tingkat motivasi ada di sini bervariasi dengan menjaga mereka terendam selama 0, 2, 4, dan 8 detik sebelum mereka diizinkan untuk memulai. Tiga tingkat kesulitan yang berbeda dari masalah yang digunakan, dan hasilnya sesuai dengan hukum Yerkes - Dodson. Di sini kita kembali ke situasi interpersonal, dan ketika mempertimbangkan pembelajaran matematik, sulit untuk menjauhkan diri dari itu untuk waktu yang lama. Bahkan siswa dewasa belajar mandiri dari teks, tidak bisa lepas dari pengaruh keyakinan mereka sendiri guru sejarah awal,, atau kurang percaya diri, dalam situasi belajar matematika . Ketika mengajar, statistik SD hingga mahasiswa psikologi, penulis menemukan bahwa dengan banyak tugas pertamanya ditingkatkan satu, untuk

meyakinkan mereka bahwa mereka mampu memahami matematika. Saya berharap bahwa setiap pembaca yang memiliki kenangan bahagia dalam upaya terakhir pembelajaran matematika akan bersedia menerima, sebagai hipotesis kerja, bahwa penyebab kita sendiri di samping kurangnya kecerdasan.

Penyebab awal kecemasan Pada bagian terakhir itu menyarankan bahwa kecemasan, pernah ada, bisa membawa sebuah lingkaran setan sebab dan akibat dalam situasi pembelajaran matematika. Pada prinsip bahwa mencegah lebih baik daripada mengobati, bagaimana kita harus mencari penyebab kecemasan yang dapat diperkenalkan dalam contoh pertama. Salah satunya telah disarankan - seorang guru otoriter. Ini termasuk, tentu saja, disiplin yang ketat dari sekolah tua. Tapi dalam arti lebih ringan, kita juga harus ingat bahwa setiap kali skema yang diperlukan untuk pemahaman yang tidak hadir, dan saat ini tersedia, dalam pikiran siswa, pembelajaran apa pun yang terjadi hanya dapat didasarkan pada penerimaan - penerimaan bersedia, mungkin, jika guru yang disukai - guru adalah otoritas. Belajar semacam ini adalah belajar hafalan, bukan belajar skematik. Awalnya mungkin tidak disertai dengan kecemasan: mungkin justru sebaliknya . Yah - hafal tabel perkalian, menghasilkan kolom kutu merah rapi, yang bermanfaat untuk guru dan siswa. Masalahnya di sini adalah bahwa anak yang cerdas dan bersedia bisa menghafal begitu banyak proses dasar matematika dengan baik, sehingga sulit untuk membedakannya dari pembelajaran berdasarkan pemahaman. Cepat atau lambat, bagaimanapun, ini harus datang untuk kesedihan , karena dua alasan. Yang pertama adalah bahwa sebagai matematika, menjadi lebih maju dan lebih kompleks, jumlah rutinitas yang berbeda untuk dihafalkan memaksakan beban yang tidak mungkin pada memori . Kedua, rutin hanya bekerja untuk rentang masalah yang terbatas, dan tidak dapat diadaptasi oleh pelajar untuk masalah lain, ternyata berbeda, tetapi didasarkan pada ide-ide matematika yang sama. Skema pembelajaran adalah lebih baik mudah beradaptasi, dan mengurangi beban pada memori. Seperti yang disarankan kepada para siswa karena mereka telah mencapai tahap di mana mereka ditinggalkan oleh keberhasilan nyata. Cobalah seperti mereka mungkin, mereka tidak bisa lagi ' mendapatkan semua jumlah mereka benar' . Upaya mereka membuat, tentu saja, di sepanjang garis yang salah - mencoba mengingat semakin banyak aturan dan metode . Benar-benar mereka harus kembali ke awal dan mulai lagi pada baris baru. Apakah ini mungkin, rutinitas baik dipelajari akan berdiri dalam manfaat yang baik ( lihat halaman 88 ) . Tapi mereka dan guru mereka tahu apa yang terjadi, dan bahkan jika mereka tidak ada, mungkin tidak ada waktu. Di sinilah sesungguhnya situasi kecemasan-merangsang, dan sekarang ada dua lingkaran setan mungkin diatur dalam operasi. Yang pertama adalah bahwa dijelaskan dalam bagian terakhir, yang kedua adalah bahwa upaya peningkatan siswa membuat pasti akan menggunakan satu-satunya pendekatan yang dia tahu, menghafal . Ini menghasilkan efek jangka pendek, tetapi tidak ada retensi jangka panjang. Jadi kemajuan lebih lanjut terhenti, dengan kecemasan dan hilangnya harga diri . Ada, sampai batas tertentu, lebih-sederhana dalam rekening di atas, dalam beberapa derajat skema selalu hadir. Bahkan aturan dapat dianggap sebagai skema sejenis, atau tidak dapat diterapkan pada berbagai contoh. Siswa akan selalu mengatur apa yang mereka pelajari dalam beberapa cara satu hal penting adalah apakah organisasi ini mewujudkan konsep dasar matematika dan struktur yang

diperlukan untuk jangka panjang serta keberhasilan jangka pendek. Jadi perbedaan antara hafalanpelajar dan skematik bukan dikotomi, tetapi sebuah kontinum. Pemahaman ini tidak semua-atau-tidak, dan kita semua memiliki lebih banyak untuk belajar, bahkan tentang topik-topik dasar. Apa yang sebenarnya penting adalah apakah skema yang tersedia sedemikian rupa sehingga mereka dapat tumbuh, dan tumbuh cukup cepat untuk mengimbangi dengan materi baru untuk dipelajari, atau tidak . Dalam kasus terakhir, sambil menerima bahwa mereka tidak tanpa beberapa struktur dan beberapa fleksibilitas, akan lebih mudah untuk memanggil organisasi-organisasi mental dengan nama yang berbeda: kebiasaan, atau rutinitas . Seperti sudah stres, kita perlu untuk mengurus kebiasaan dalam manipulasi rutin masalah yang diberikan dan bebas untuk memusatkan perhatian kita pada aspekaspek baru, sehingga membutuhkan adaptasi ide-ide kita. Ini adalah sangat kegunaan kebiasaan, dan keberhasilan awal yang dapat mereka bawa, yang dapat menyesatkan kita ke ketergantungan pada kebiasaan belajar sendiri .

Adaptasi Kecemasan Dua hal yang harus dilakukan dalam kualifikasi penting. Yang pertama adalah bahwa hukum Yerkes - Dodson mengacu pada motivasi secara umum , dan kami sejauh ini berkonsentrasi pada motivasi dengan kecemasan . ini tidak berarti satu-satunya , atau yang terbaik , dimotivasi . yang kedua adalah bahwa tingkat optimal motivasi untuk tugas diberikan tergantun pada individu . ini adalah untuk batas tertentu implisit dalam pernyataan sebelumnya , bahwa penurunan level optimal dengan kompleksitas tugas : untuk apa adalah tugas kompleks untuk satu orang mungkin menjadi salah satu yang relatif mudah bagi orang lain . yang kompeten besar akan membantu dia dalam dua cara . ia akan merasa tidak cemas karena ia tahu ia bisa mengatasi , dan ia dapat menggunakan kecemasannya konstruktif bekerja pada masalah. sejumlah kecemasan dapat menjadi stimulus yang berguna , dan bagian dari latar belakang pendidikan adalah belajar untuk menggunakannya seperti itu. ini kita sebut ' adaptasi kecemasan ' . bagian dari hasil adaptasi dari memiliki teknik untuk menyelesaikan pemeriksaan , dalam konteks kita sekarang . tapi bagian lain adalah variabel kepribadian. seperti itu. itu berada di luar cakupan buku ini , tetapi itu bernilai baik ada bahwa banyak dari yang telah memberikan kontribusi terhadap pengetahuan telah tidak tanpa masalah pribadi mereka . kita dapat berspekulasi - tetapi pada saat itu hanya spekulasi - yang dalam beberapa cara orang-orang ini telah menemukan dalam pekerjaan mereka melarikan diri dari kecemasan, perharps karena situasi impersonal , mungkin juga karena mengandung permasalahan yang mereka dapat memecahkan.

Motivasi untuk belajar Sejauh upaya kami telah diarahkan mencoba memahami beberapa faktor yang mempengaruhi pembelajaran dan pemahaman matematika, dengan asumsi bahwa kita atau mahasiswa yang bersangkutan, ingin melakukannya. tapi sekarang, mari kita n keseriusan semua aske pertanyaan: mengapa orang harus mau belajar matematika? memang dikatakan bahwa pertanyaan ini shuld datang tepat di awal penyelidikan, karena tanpa semacam motivasi tidak akan ada alasan untuk mengharapkan orang untuk melakukan upaya yang diperlukan. Namun, jika Anda telah membeli buku ini, Anda mungkin memiliki semacam motivasi. jadi mari kita lihat apa ini mungkin - atau ini, sejak beberapa motivasi dapat menggabungkan dalam aktivitas tunggal.

‘Termotivasi' adalah deskripsi yang kami terapkan pada perilaku yang diarahkan pada kepuasan beberapa kebutuhan. jika kita mengatakan bahwa bagian tertentu dari perilaku tampaknya motif bagi kita, kita berarti bahwa kita tidak tahu, dan bahkan tidak bisa menebak, apa yang perlu puas dengan cara itu. sehingga pertanyaan tentang motif biasanya, yang menyamar, pertanyaan tentang kebutuhan. Beberapa kebutuhan seperti makanan, kehangatan, tidur adalah bawaan. lain seperti tembakau, sabun, satu set televisi dipelajari. matematika tampaknya cukup jelas menjadi kebutuhan yang dipelajari, jadi bagaimana (jika semua) orang belajar membutuhkan matematika? Salah satu cara di mana kebutuhan baru bisa diperoleh adalah dengan belajar bahwa mereka menyebabkan pemenuhan kebutuhan yang sudah ada. dalam budaya kita sekarang kita akan belajar bahwa jika kita punya uang kita dapat menggunakannya dalam berbagai cara untuk memenuhi berbagai kebutuhan. matematika juga teknik tujuan yang berharga dan umum untuk memenuhi kebutuhan lainnya. secara luas dikenal sebagai alat penting untuk ilmu pengetahuan, teknologi, dan perdagangan, dan untuk masuk ke banyak profesi. ini adalah tujuan yang memotivasi banyak orang dewasa untuk matematika, tetapi mereka terlalu jauh untuk dapat diterapkan pada tahun-tahun awal sekolah, ketika kami pertama kali mulai matematika. di dalam kelas, motivasi jangka pendek lebih cenderung efektif: dua yang paling langsung diterapkan di sini adalah keinginan untuk menyenangkan guru, dan takut tidak menyenangkan dia atau dia. reward and punishment secara luas digunakan sebagai metode untuk melatih anak-anak dan hewan muda lainnya, dan lebih tua dari sekolah itu sendiri. Kedua jenis motivasi ekstrinsik untuk matematika itu sendiri, namun. guru dapat senang, atau ketidaksenangan mereka dihindari, dengan memancarkan perilaku yang diinginkan (lisan atau tertulis) dengan sedikit atau tanpa pemahaman, sehingga tidak ada jaminan bahwa pemahaman telah dicapai. memang, karena pemahaman bisa lebih lama bahwa burung beo-learning, motivasi ekstrinsik dari salah satu jenis dapat mendukung kedua karena membawa hasil pembisik - persetujuan lebih cepat, atau lebih cepat lega rom kecemasan, sebagai kasus mungkin. dari dua, motivasi dengan kecemasan mungkin adalah lebih kondusif untuk belajar hafalan karena, seperti telah kita lihat, ia memiliki efek penghambatan pada aktivitas reflektif kecerdasan.

Motivasi interinsik Tetapi ada beberapa orang, matematika adalah aktivitas yang menyenangkan dan aktifitas itu sendiri juga bermanfaat, terlepas dari hal yang lain nya tujuan nya juga bermanfaat. Terdapat beberapa orang yang saya anggap benar-benar seorang matematikanwan; dan jika pandangan ini diterima, maka sekitar tujuh, sepuluh, dan dua belas tahun usia yang pantas dideskripsi banyak, atau lebih dari dari bentuk keenam dan siswa yang dewasa. Mengapa orang menikmati belajar dan mempraktek matematika untuk kepentingan diri sendiri?bagaimanapun, jauh dari kenyataan jika kita tetap pada pada hipotesis yang sebenarnya bahwa setiap perilaku termotivasi memenuhi beberapa kebutuhan. Mari kita langsung ke pokok masalahnya, dengan beberapa contoh. Lihat anak kecil, yang jalan-jalan bersama orang tua mereka, menyeimbangi tinggi rendah tembok lebih disukai daripada berjalan di sepanjang trotoar. atau lihat sampan, terombang ambing di atas air lebih di sukai daripada ketepatan yang lebih besar dan kenyaman sebuah motor tempel. Atau lihat seorang pendaki gunung,

bersusah payah dan berbahaya mendaki gunung, dimana dia bisa mendaki dengan cepat dan aman dengan gerbong yang di gerakan. Berjalan kaki, pelayaran, pendaki gunung bukan kebutuhan dasar; tapi mereka juga tidak muncul untuk digunakan sebagai sarana untuk tujuan-tujuan lain, karena dalam masing-masing contoh ada cara sederhana dan langsung untuk mencapai tujuan akhir. Yang jelas kontadiksi bisa diselesaikan jika kita melakukan hipotesis lain yang sangat mendasar, kebutuhan yang sangat umum: kebutuhan untuk bertumbuh. Kata “bertumbuh” disini digunakan tidak hanya pemtumbuhan fisik, tapi bertumbuh dalam ketrampilan, kekuatan, pengetahuan, and pertumbuahn fisik lain nya, motor-sensorik, atau bagian mental yang sesungguhnya atau potensi kesenangan hidup. Seorang anak kecil tidak membutuhkan keseimbangan di atas tembok, memanjat pohon, melompat mendaki, melakuan berulang-ulang. tetapi semua kegiatan ini, bervariasi secara langsung, pertumbuhannya perlu: mereka mengembangkan paru-parunya, otot, dan kontrol. Perkembangan mental bahkan lebih penting untuk kelangsungan hidup daripada pertumbuhan fisik; dan aktifitas dimana memberikan kontribusi kepada pertumbuhan metal oleh karena itu harus dinikmati oleh anak-anak setidaknya sebanyak kegiatan fisik. Pemtumbuhan mental, selain itu, dapat dilanjutkan lebih lama setelah pertumbuhan fisik telah berhenti; sehingga kesenangan yang berasal dari berbagai cara melatih kecerdasan seseorang harus terus sejak kecil hingga usia tua. jika disepakati bahwa matematika yang sebenarnya hanyalah sebuah bentuk khusus dari kegiatan inteligensi, maka kita tidak perlu lagi bertanya-tanya mengapa harus dinikmati untuk diri sendiri. Kesenangan yang kita alami dari kegiatan, fisik atau mental, yang melayani kebutuhan pertumbuhan kita adalah pengalaman intrinsik dalam kegiatan itu sendiri. Seorang anak kecil tidak suka memanjat karena dia tahu bahwa hal itu bisa membuat dia kuat dan tangkas. sebaliknya, ia bertambah kuat dan lincah karena dia suka memanjat. apa yang lebih baik, membiarkan anak-anak memanjat pohon adalah cara yang lebih baik untuk membantu mereka menjadi kuat dan lincah daripada menyuruh mereka melakukan latihan. imbalan melakukan sesuatu kesenangan yang bersifat segera, dan kondusif untuk memperpanjang aktifitas itu sendiri; sedangkan untuk tujuan yang lebih jauh, semakin besar rentang imajinatif diperlukan untuk menghubungkan aktivitas saat ini untuk itu, semakin lambat kemajuan kelihatan nya, dalam kaitannya dengan seluruh jarak yang akan dilalui, dan secara umum, semakin lemah motivasi. Untuk orang tua, situasi belajar yang bijak salah satunya adalah jaka pendek dan jaka panjang jadi satu. yang jangka pendek menjadi kesenangan belajar dan melakukan matematika - motivasi intrinsik - dan yang jangka panjang menjadi beberapa tujuan pribadi, pratical, atau akademis yang harus dicapai dengan bantuan pengetahuan matematika. tapi dari dua, motivasi intrinsik mungkin adalah lebih penting. Beberapa hal kita pelajari karena kita tahu bahwa hal itu tidak berguna tetapi langkah besar yang telah dibuat, dalam matematika sebagai ilmu, telah dihasilkan dari pencarian pengetahuan untuk kepentingan sendiri. Faraday dikatakan telah menjawab, seorang wanita yang melihat pertunjukan defleksi jarum kompas dengan kumparan kawat yang dilalui arus listrik lewat dan bertanya apa yang digunakan: Madam, apa gunanya bayi baru lahir? "salah satu karakteristik bayi adalah bahwa ia akan tumbuh, yang lain, bahwa kita tidak dapat memprediksi jenis orang dewasa, dan bahkan Faraday hampir tidak bisa menebak hasil jangka panjang penemuannya, dimana hubungan antara daya tarik dan listrik didirikan. Sama, kecenderungan pertumbuhan adalah kualitas intrinsik dari jenis organisasi mental yang kita sebut skema. bahwa kita mengalami kesenangan dari kegiatan

yang menguntungkan bagi pertumbuhan mereka adalah insentif yang paling kuat untuk belajar, matematika atau subjek lainnya. bahwa pengetahuan setelah itu akan berguna, atau dengan cara apa, tidak dapat diprediksi pada saat belajar, lebih dari ketika saya membeli obeng saya tahu persis apa yang saya akan lakukan dengan benda itu. ketika mereka sedang mempelajari kalkulus dan geometri aljabar di perguruan tinggi, para ahli matematika dari program penelitian ruang angkasa Amerika tidak tahu bahwa mereka akan menggunakan pengetahuan mereka untuk orbit plot untuk modul lunar Seberapa efektif motivasi intrinsik untuk belajar matematika mungkin dimana sesuatu yang banyak guru belum hargai. jumlah kesempatan, guru menemukan bahwa anak-anak benar-benar menikmati matematika ketika kecerdasan dalam mempelajari matematika. Hal ini di laporkan kepada saya dengan perasaan terkejuta dan dan beracampur bahagia, tapi juga ragu; seolah-olah ada sesuatu yang harus salah dengan pendekatan matematika yang anak-anak menikmati. tapi sampai motivasi intrinsik ini lebih baik dipahami dan dikerjakan, matematika akan tetap berguna bagi banyak subjek lain untuk di aplikasikan, tidak menikmati, dan akan turun drastis setelah hasil ujian yang di ingini telah dicapai.