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ANDREA SANTI/Corso Ingegneria Meccanica/Università degli studi di Parma Riassunto del programma di analisi 1. Prof: Mario Tosques TEORIA ESSENZIALE PER GLI ESERCIZI INSIEME COMPATTO

Un insieme generico K⊂R3 si dice compatto se sono rispettate entrambe queste condizioni (chiamiamo ∂K=bordo di K): (1) K è un insieme chiuso ⇔ ∃ una “palla” (di raggio finito!) in grado di contenerlo tutto (se K⊂R2 la palla è un cerchio!) (2) Anche il bordo di K appartiene a K ⇔ ∂K∈K NB: K⊂R3 è un compatto ⇒ ∂K è una superficie (o se K⊂R2 una curva) chiusa NB: di solito un insieme compatto lo si chiama K poiché sta per “Kompact”=Compatto!

CONTINUITA’ DI UNA FUNZIONE A DUE

Posta f:D⊂R2→R, X=(x,y)→f(x,y)=z, e posto X0=(x0,y0) diciamo che:

VARIABILI

f è continua in X0 ⇔ limX→X0 f(X)=f(X0) ⇔ lim(x,y)→(x0,y0) f(x,y)=f(x0,y0)

DERIVATA DIREZIONALE PRIMA (E

Posta f:R2→R, (x,y)→f(x,y)=z, e posto V(V1,V2)∈R2, si ha che la derivata direzionale prima lungo V di f nel punto (x0,y0) è data da:

DERIVATA PARZIALE PRIMA)

(∂f/∂V)(x0,y0)=limt→∞ [f((x0+V1•t),(y0+V2•t))-f(x0,y0)]/t

Una funzione si dice in generale “continua” se è continua ∀X∈D

Le derivate parziali prime sono 2 casi particolari di questa definizione: V=(1,0) ⇒ (∂f/∂V)(x0,y0)=(∂f/∂x)(x0,y0)=derivata parziale di f su x (nel punto (x0,y0)) V=(0,1) ⇒ (∂f/∂V)(x0,y0)=(∂f/∂y)(x0,y0)=derivata parziale di f su y (nel punto (x0,y0)) NB: (∂f/∂V)(x,y) ⇔ (∂f/∂V) GRADIENTE DI UNA FUNZIONE

(cioè se (x0,y0) è un punto generico, ovvero è (x,y), si abbrevia la scrittura del simbolo di derivata)

Il vettore gradiente di una funzione (f:R2→R, (x,y)→f(x,y)=z) nel punto (x0,y0) è così definito: ∇(f)(x0,y0)=[(∂f/∂x)(x0,y0),(∂f/∂y)(x0,y0)]

(∇(f)=(∂f/∂x,∂f/∂y))

Vedremo parlando di differenziale che tale vettore è fondamentale per calcolare il piano tangente alla funzione in un punto… NB: il versore gradiente ∇ si calcola così: ∇=∇(f)(x0,y0)/∥∇(f)(x0,y0)∥ con ∥∇(f)(x0,y0)∥=[(∂f/∂x)(x0,y0)2,(∂f/∂y)(x0,y0)2]1/2 DIFFERENZIABILITA’ (NELLO SPAZIO)

Posta f:D⊂R2→R, (x,y)→f(x,y)=z, f è differenziabile in (x0,y0) ⇔ se valgono entrambe queste 2 proprietà: (1) ∃∇(f)(x0,y0), e inoltre poniamo che ∇(f)(x0,y0)=(A,B) (2) f(x,y)=f(x0,y0)+[A•(x-x0)]+[B•(y-y0)]+o([(x-x0)2+(y-y0)2]1/2)

∀(x,y)∈D

⇔ lim(x,y)→(x0,y0) {f(x,y)-f(x0,y0)-[A•(x-x0)]-[B•(y-y0)]}/[(x-x0)2+(y-y0)2]1/2=0

∀(x,y)∈D

Vale poi che: f è differenziabile in (x0,y0) ⇔ ∃ il piano tangente alla funzione in (x0,y0) TEROEMA DI LEGAME FRA

Posta sempre f:R2→R, (x,y)→f(x,y)=z vale che:

DIFFERENZIBILITA’ E CONTINUITA’

f è continua in (x0,y0) ⇔ f è differenziabile in (x0,y0)

EQUAZIONE DEL PIANO TANGENTE

L’equazione del piano tangente a f in (x0,y0) è: z=f(x,y)=f(x0,y0)+[A•(x-x0)]+[B•(x-y0)]

OSSERVAZIONI UTILI IN IMPLICAZIONE

(1) f è differenziabile in (x0,y0) ⇒ (∂f/∂V)(x0,y0) è una funzione lineare ∀V∈R2

ALLA DIFFERENZIABILITA’

(2) f è differenziabile in (x0,y0) ⇒ Posto V(V1,V2) si ha che (∀V∈R2): (∂f/∂V)(x0,y0)=〈∇(f)(x0,y0),V〉

TEOREMA DEL DIFFERENZIALE

Considerando sempre una funzione del tipo: f:R2→R, (x,y)→f(x,y)=z, si può dire che:

TOTALE

∃(∂f/∂x)(x0,y0), ∃(∂f/∂y)(x0,y0) ed entrambe sono continue ⇒ f è differenziabile in (x0,y0)

NB: 〈∇(f)(x0,y0),V〉=[(∂f/∂x)(x0,y0)•V1]+[(∂f/∂y)(x0,y0)•V2]

NB: questo teorema non dice nulla se le derivate parziali non esistono o non sono continue. In questi casi l’unico modo di vedere se la funzione è o no differenziabile è utilizzare la definizione di differenziabilità (quella con il limite), scritta sopra… DERIVATA SECONDA

Scriviamo ora le notazioni che si utilizzano per le derivate seconde nel caso “direzionale” (cioè nel caso generico), posti V,R∈R2: (1) V≢R ⇒ “Derivate miste”: (∂f(∂f/∂V)/∂R)(x0,y0)=(∂2f/(∂R•∂V))(x0,y0) , (∂f(∂f/∂R)/∂V)(x0,y0)=(∂2f/(∂V•∂R))(x0,y0) (2) V≡R ⇒ “Derivata doppia”: (∂f(∂f/∂V)/∂R)(x0,y0)=(∂f(∂f/∂V)/∂V)(x0,y0)=(∂f(∂f/∂R)/∂R)(x0,y0)=(∂2f/∂V2)(x0,y0)=(∂2f/∂R2)(x0,y0) Il caso “parziale” si ottiene molto semplicemente sempre come caso particolare: (1) Derivate miste: (∂f(∂f/∂x)/∂y)(x0,y0)=(∂2f/(∂y•∂x))(x0,y0) , (∂f(∂f/∂y)/∂x)(x0,y0)=(∂2f/(∂x•∂y))(x0,y0) (2) Derivate doppie: (∂f(∂f/∂x)/∂x)(x0,y0)=(∂2f/∂x2)(x0,y0) , (∂f(∂f/∂y)/∂y)(x0,y0)=(∂2f/∂y2)(x0,y0)

TEOREMA DI SHWARTZ

Considerando sempre una funzione del tipo: f:R2→R, (x,y)→f(x,y)=z, si può dire che: ∃∂2f/(∂x•∂y), ∃∂2f/(∂y•∂x) ed entrambe sono continue in (x0,y0) ⇒ (∂2f/(∂x•∂y))(x0,y0)=(∂2f/(∂y•∂x))(x0,y0) NB: questo teorema fa anche capire che, in generale: (∂2f/(∂x•∂y))(x0,y0)≠(∂2f/(∂y•∂x))(x0,y0)

MATRICE HESSIANA

Posta f:R2→R, (x,y)→f(x,y)=z la matrice Hessiana nel punto (x0,y0) è una matrice 2x2 fatta come segue:

Hf(x0,y0)

=

(

(∂2f/∂x2)(x0,y0)

(∂2f/(∂y•∂x))(x0,y0)

(∂2f/(∂x•∂y))(x0,y0)

(∂2f/∂y2)(x0,y0)

)

NB: questa matrice si può facilmente generalizzare nel caso di funzioni a più di 2 variabili… DEFINIZIONE DI MASSIMO/MINIMO

Considerando sempre una funzione del tipo: f:D→R, (x,y)→f(x,y)=z (D=dominio della funzione) si hanno 4 casi:

(ASSOLUTO) DI UNA FUNZIONE SUL

(1) f(x,y)-f(x0,y0)>0 ∀(x,y)∈D ⇔ f(x0,y0)=min(f)D=minimo (assoluto) della funzione f sull’insieme D, e (x0,y0)=punto di minimo

DOMINIO

(2) f(x,y)-f(x0,y0)0 e (∂2f/∂x2)(x0,y0)0 e (∂2f/∂x2)(x0,y0)>0 ⇒ f(x0,y0)=min(f)D (3) det[Hf(x0,y0)]0, (∂2f/∂x2)(x0,y0)=0, ma di solito non accade mai in quanto le funzioni date

hanno quasi sempre derivate seconde miste uguali, perciò risulta sempre che: (∂2f/∂x2)(x0,y0)=0 ⇒ det[Hf(x0,y0)]0). Poniamo: r1(x),…,ri(x),…,rh(x)=soluzioni distinte (ri(x)∈R ∀i) mi=molteplicità della soluzione i (reale distinta!) (2) Ci sono anche delle soluzioni complesse per t, oppure (se h=0) tutte le soluzioni sono complesse. Poniamo: (α1±i•β1),…,(αj±i•βj),…,(αk±i•βk)=soluzioni distinte mj=molteplicità della soluzione j (complessa distinta!) Teorema fondamentale dell’algebra ⇒ ∑i=1h mi+∑j=1k mj=n A questo punto si può dimostrare che vale che: (1) in corrispondenza della soluzione ri si ha che: yi,0(x)=eri•x , yi,1(x)=x•eri•x ,…, yi,n-1(x)=xmi-1•eri•x (2) in corrispondenza della soluzione αj+i•βj si ha che: yj,0(x)=eαj•x•cos(x•βj) ,…, yj,n-1(x)=xmj-1•eαj•x•cos(x•βj) in corrispondenza della soluzione αj-i•βj si ha che: yj,0(x)=eαj•x•sen(x•βj) ,…, yj,n-1(x)=xmj-1•eαj•x•sen(x•βj) Con questo metodo si trovano quindi le y1(x),…,yn(x). Per trovare invece la soluzione generale della z(x) (che dipende sempre da b(x)) il procedimento è uguale a quello illustrato nel primo ordine, considerando però che: - il punto (2) va ovviamente esteso fino al calcolo di z(n)(x) - le 3 tipologie di z(x) (derivanti dalle 3 tipologie di b(x)) scritte prima devono essere linearmente indipendenti dalla soluzione dell’omogenea yp(x)). Esempio: y1(x)=ex ⇒ z(x)=x•g•em•x (con m,g∈R) La soluzione totale si trova poi sempre così: y(x)=[∑i=1n ci•yi(x)]+z(x)

ci,…,cn∈R

(non trattati)

APPENDICE - GRAFICI NOTEVOLI GRAFICI IN 2D (VARIABILI X, Y)

GRAFICI IN 3D (VARIABILI X, Y, Z)

Nome

Equazione

Note

Nome

Equazione

Note

Retta

Y=m•X+q

m=tg(α)=-a/b

Piano

(a•X)+(b•Y)+(c•Z)=d

P(xp,yp,zp)=punto del piano

α=angolo retta-asse x (α>0)

(a•X)+(b•Y)+c=0 Perimetro di una

a•(X-xp)+b•(Y-yp)+c•(Z-zp)=0

q=intersezione retta-asse y=-c/b

Y=(a•X2)+(b•X)+c

Parabola

N(a,b,c)=vettore ┴ al piano d=(a•xp)+(b•yp)+(c•zp)

V(xv,yv)=vertice parabola

Superficie di un

[(X-xv)2/a2]+[(X-yv)2/b2]

V(xv,yv,zv)=vertice parabola

xv=-b/(2•a)

Paraboloide

-[2•c•(Z-zv)]=0

NB: il paraboloide iperbolico è

yv=(a•xv2)+(b•xv)+c

Ellittico

a>0 ⇔ concavità verso l’alto

Superficie di un

[(X-xv)2/a2]-[(X-yv)2/b2]

ab

C(xc,yc,zc)=“centro” iperboloide masintoti piano x-y=±(b/a) masintoti paino y-z=±(c/b)

falde Perimetro di una Ellisse

[(X-xc

)2/a2]+[(Y-y

2 2 c) /b ]=1

C(xc,yc)=centro ellisse

Superficie di un

[(X-xc)2/a2]+[(Y-yc)2/b2]+

C(xc,yc,zc)=centro ellisse

a=semiasse ellisse su asse x

Ellissoide

[(Z-zc)2/c2]=1

a=semiasse ellisse su asse x

b=semiasse ellisse su asse y

b=semiasse ellisse su asse y c=semiasse ellisse su asse z Superficie di un

[(X-xc)2/a2]+[(Y-yc)2/b2]-

Cono

[(Z-zc)2/c2]=0

C(xc,yc,zc)=centro cono (vertice)