Reynolds

 

Fluidos reales: Leyes de conservación. Física Ambiental. Tema 5.

Tema 5. FA (prof. RAMOS)

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Tema Tem a 5.- "Fluidos "Fluidos reales: reales: Leyes Leyes de conservación" • Vo Volu lume men n de cont contro rol. l. • Teo Teorem remaa de Transp Transport ortee de Reynol Reynolds ds (TTR (TTR)) unidimensional para flujos estacionarios. • Con Conser servac vación ión de la masa masa:: ecuació ecuación n de contin continuid uidad. ad. • Co Cons nser erva vaci ción ón de dell mom momen ento to.. • Co Cons nser erva vaci ción ón de la ener energí gíaa . • Cas Caso o singu singular lar:: ec ecuac uación ión de Bern Bernoui ouilli. lli. • Aplic icaaciones.

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 Fluidos reales: Leyes de conservación. Estructura de los procesos de flujo. Fluidos Reales Definición del sistema

Teorema de Transporte de Reynolds

Características Termodinámicas Densidad

Leyes de conservación

Viscosidad

Masa (teorema de Continuidad) Momento lineal (ecuación dinámica)

Geometría

Energía (ec. de Bernouilli)

Variables dinámicas Volumen de control

Superficie de control

Procesos termodinámicos en su interior 

Intercambio de flujos Ma Mate teriria En Ener ergí gíaa

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Volumen de Control. El estudio de un fluido en movimiento pasa por la definición del sistema en estudio, para ello se define la región del espacio que está ocupada por el fluido. En este espacio se definen las características termodinámicas, dinámicas y energéticas del fluido. El volumen de control co ntrol está limitado por una superficie cerrada, superficie de control, a través de la cual se realizan los procesos de intercambio de energía y masa con el entorno.

El volumen de control está formado por un tubo de corriente cerrado por dos superficies laterales. Tema 5. FA (prof. RAMOS)

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Volumen de Control. Una vez seleccionados el volumen y la superficie de control para nuestro sistema, se analizan en ellos las siguientes características:

Volumen de Control:

Superficie de control:

- Propiedades termodinámicas del fluido en su interior:

- Intercambio de flujos: -Energía Q y W.

- Energía interna.

- Caudales de entrada y salida.

- Temperatura.

- Distribución de velocidades.

- Entalpía. - Presión. Tema 5. FA (prof. RAMOS)

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Teorema de Transporte de Reynolds (TTR) El TTR, es una herramienta que nos permite relacionar las fuerzas que provocan el movimiento del fluido con los parámetros que definen este movimiento. TTR. La evolución temporal de un parámetro arbitrario del fluido, evaluado en el interior de un volumen de control (VC) con una superficie de control (SC), está definido por la siguiente expresión:

 DΦ S   Dt 

∂ = ∫∫∫ [ ρϕ    ]  dV  + ∫∫ ρϕ [vr.nr ]dS  ∂t  VC  SC 

φ- Parámetro del fluido. ϕ- Parámetro específico(φ/M). ρ- Densidad. r

 v - Velocidad del fluido.

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Teorema de Transporte de Reynolds (TTR). Régimen estacionario. En régimen estable, no hay dependencia temporal de las variables del fluido:

En estas condiciones el TTR tiene la expresión:

En el caso de fluido incompresibles, densidad constante:

 DΦ S   Dt 

Considerando valores promedios de los  parámetros del fluido fluido sobre las superficies de entrada y salida:

 Dt 

=  ρ [ϕ  s v  s A s − ve Aeϕ e ]

 ρ vA =   m & =

 

dm

 DΦ S 

 

⇒

∂t 

 DΦ S   Dt 

 DΦ S 

  ∂ [ ρϕ ] = 0

 Dt 

 

r r

 ρϕ [v .n ]dS  = ∫∫ SC    r r =  ρ ∫∫ ϕ [v .n ]dS  SC 

= [ϕ m&  ] s  − [ϕ m& ]e

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dt 

Conservación de la masa. Aplicación del TTR al parámetro φ=M, masa del sistema.

φ  =  M   ⇒ ϕ  = 1

⇒

Variación total de la masa del sistema:

& ] s   DM Sistema = [m  Dt   DM Sistema

Flujo de masa en la superficie de entrada : Flujo de masa en la superficie de salida :

− [m& ]e

 Dt 

[m& ]e [m& ] s

Flujo neto de masa a través de la superficie de control: m &  s    m & e

[ ]  − [ ]

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Conservación de la masa. Ecuación de continuidad. Si no hay generación ni pérdida de masa en el interior del volumen de control:

 DM Sistema

 

=0

 Dt 

[m& ] s  =   [m& ]e

⇒

La masa por unidad de tiempo que pasa por la superficie de entrada es igual a la que atraviesa la superficie de salida.

  dmdt  ⇒

 ρ vA =   m & =

  [ ρ vn An ] s =  [ρ vn A n ]e  ⇒ [vn An ] s = [vn An ]e

El caudal que atraviesa la superficie de salida de la superficie de control es igual que el que atraviesa la superficie de entrada. Problema 1. Hoja FA5

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Conservación del momento. r

d 

 F ext  = dt  ( M v )

∑

Ley de Newton de la mecánica:

Aplicando el TTR al momento lineal del fluido transportado: r

 D (  M  v

Sistema

 Dt 

)

 

Momento lineal de entrada del fluido.

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r

 

φ  =  M v  ⇒ ϕ  =

= [m& vr ] s − [m&   vr ]e = 

Momento lineal de salida del fluido

Problema 2. Hoja FA5

r

∑

Φ  M 

= vr

r

 F  sistema

Fuerza ejercida sobre el volumen de control.

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Conservación del momento: fuerzas resultantes. Fuerzas internas:

Fuerzas externas:

debidas a campos de fuerzas, por ejemplo

aplicadas sobre la superficie del

el gravitatorio.

volumen de control.

⇓ r

⇓ r

r

  ∫∫

 F Vis cos as  =  

 F  g  =  ρ  g V 

r

τ dA

 F Pr es

= ∫∫ (  −nr ) PdA

SC 

∑

r

r

 F VC  =  ρ  g V  + 

∫∫

  r

 (−   n ) PdA +

SC

Problema 3. Hoja FA5

SC 

∫∫τ dA SC

 

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Conservación de la energía. Aplicación del TTR al parámetro φ=E, energía del sistema.

φ  =  E  ⇒ ϕ  = Por el TTR:  DΦ S 

 Dt 

 E   M 

=e

⇒

 DE S   Dt 

= [em& ] s  − [em& ]e

=  ρ [ϕ  s v  s A s − ve Aeϕ e ]

A partir del primer principio de la termodinámica, desarrollamos:

 DE S 

& & & = Q& Sitema + W     E & Sup = Q&VC  + W &VC  + E & Pr esión  + E & vis cos as Sistema = QVC  + W VC  +

 Dt  Tema 5. FA (prof. RAMOS)

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Conservación de la energía. La potencia debido a las fuerzas de presión viene determinada por la expresión: &  E  Pr es

Teniendo en cuenta que el vector velocidad es  perpendicular a toda la Superficie de control, excepto en aquéllas caras de entrada y salida del

rr

= ∫∫ (n.v ) PdA SC 

fluido, donde los vectores son paralelos: p aralelos: & En ausencia de fuerzas viscosas:  E  Pr  es

Q& VC 

   P  + W & VC  −      ρ 

Intercambio de  potencia por por calor  y trabajo.

m&

   P     −      ρ    s 

  P  =    ρ  m&

   P  −   s   ρ 

m&     

m&

  e

    = [e m& ] s − [e m& ]e e

Intercambio de  potencia por las fuerzas de presión.

Intercambio de potencia  por convección. convección.

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Conservación de la energía. La potencia total transportada a través de la superficie de control es una combinación de términos convectivos, e(dm/dt) y los debidos a las fuerzas necesarias para mantener el movimiento del fluido, (P/ρ)(dm/dt). Término de la energía total transportada:

  P  [e m& ] +    ρ 

  m&  =  e +  

e

=

u

 +

v2 2

 P      m &  ρ  

 = h + 

+  gz 

h

v2 2

=  u +

 +  gz   m&   P   ρ 

La ecuación de la potencia para p ara el volumen de control, VC:

Q& VC  m&

−

W & VC  m&

 = h + 

Calor másico Trabajo másico intercambiado intercambiado en el VC. en el VC.

v2 2

  +  gz   −  h +  S  

v2 2

 +  gz   e

Energía másica del

Energía másica del

fluido de salida.

fluido de entrada.

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Conservación de la energía: aplicaciones. h s

Si consideramos como fluido un gas ideal:

Q& VC  m&

& W  VC 

1

2

− h e =  c   p (T  s − T e )

2

− m& = c  p ( T  s − T e ) + 2 ( v s − v e ) +  g  ( z  s −  z e )

Si consideramos como fluido un líquido, se suele utilizar la siguiente expresión:

     P  v 2   P  v 2 Q&  1 =  + +  z  −  + +  z  + u s − ue −   g m m & &   g   ρ  g  2 g   s  ρ  g  2 g   e  & W 

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Conservación de la energía. Reordenando términos obtenemos la ecuación energética siguiente: 2

2

&

&

 P  + v + z  =   P  + v + z  + u s − ue − Q  1 − W   ρ  m &   g   g m &   g  2 g  e  ρ  g  2 g   s     H 

Te

Altura de la columna correspondiente a la  presión total total de entrada.

=

 H 

  TS 

 

+

h

 P 

+

h

w

Altura de la columna Altura de la columna correspondiente a la correspondiente a la  presión total de salida.  presión debida debida a la transferenciaa de calor  transferenci del fluido.

Altura de la columna correspondiente a la  presión debida debida a la transferenciaa de transferenci trabajo en el fluido.

Tal y como están expresados los términos de la ecuación tienen unidades de longitud, correspondiente a la columna de fluido que genera la presión correspondiente. Tema 5. FA (prof. RAMOS)

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Caso singular: ecuación de Bernouilli. &      P  v 2   P  v 2 Q&  1 W   z   z  u u + − − − = + + + +  ρ  g  2 g    ρ  g  2 g       s e m&   g   g m&   s  e  

 H 

=

Te

 H 

  TS 

 

+

h

+

 P 

h

w

Hipótesis Generales: -Fluido incompresible. -Régimen estacionario. -Propiedades uniformes en las superficies de entrada y salida. Hipótesis restrictivas: -Flujo reversible y adiabático (dQ/dt)=0. - No hay convección ni viscosidad, h p=0. -No hay realización de trabajo mecánico (dW/dt)=0, hw=0. Tema 5. FA (prof. RAMOS)

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Caso singular: ecuación de Bernouilli.

hw

=

h  p

  P    ρ  g  + 

=  0  ⇒  H Te =

   P  +  z  =  + 2 g   e   ρ  g  v2

H Ts

 +  z  2 g    s v2

Teorema de Bernouilli:

 P  + 1  ρ   v  2 2 Problema 4. Hoja FA5

+

ρ  gz 

= cte .

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