Rey Pastor - Analisis Matematico Vol 2

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P A S T O R C A L L E J A

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ENSE

Í11905081

Análisis m ate m á tic o V olum en

II: C á l c u l o

infinitesimal

de varias

variables.

Aplicaciones.

O

75

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ANiVtRSARIO D£ LA

'90S . 1980

E R .

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I

Moreno

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372

·

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A

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Buenos Ai re s

r O y sólo = O, h1 a = 0. En muchos textos se desi^rnan como espacios aeudoeuclídeoa a loB euclídeos que no lo son propiamente. En la nota II se generaliza el concepto de espacio euclídeo para un número cualquiera de dimensiones, definiéndose el ángulo mediante el producto escalar.

/) Trabajo de una fuerza. — Si un vector F representa una fuerza constante, y otro e el desplazamiento de un punto al que se aplica, el producto escalar F . e representa el trabajo, por ser igual al desplaza­ miento por la componente de la fuerza sobre él.

6. Multiplicación vectorial. — a) Llamaremos producto vec­ torial o externo a A b de dos vectores, a otro vector p de mó­ dulo p = | a A b | = a . 6 sen (a, b), perpendicular al plano (a, b), y (jue forma con a y b un triedro (a, b, p) del mismo sentido que el e legid o p a r a el t r ie d r o de coordenadas (§ 60-3, a ), en nuestro caso, directo. El módulo del producto vectorial es, por lo tanto, igual al área del pa­ ralelogramo construido sobre los dos vectores (figura 2 0 1 ). Al permutar a y b cambia el sen­ tido del triedro, luego : [60-31]

aA b = — bAa.

b) Condición n e c e s a ria y sufi­ ciente para que dos vectores a y b sean paralelos es a A b = 0. En par*· ticular a A a = 0.

11

ÁLGEBRA VBCTORIAt

§ 60 -6

Una condición más sencilla de paralelismo, que resulta de § 60-2, teór. 1, es que existan X y \i tales q u e hii -|- \ibi = O, o sea si 6i 4= O: ~

CÍ-2 / & 2

“

®3 /^ 3

t

y si por ejemplo 61 = 0 : »1 = 0 , a-j/bz — as/bs·

c) Probaremos que el producto vectorial de los vectores [60-19] está dado en forma de determinante por: i j k fti ci>2 az

[60-32] a A b =

a^. Oz &2 bz

bi 62 bz

az a\ bz bí j +

1+

a¿ bi bz

para lo cual bastará verificar que este vector cumple las con­ diciones de la definición dada en a ) . Ci)

El cuadrado del módulo es: (Oa&s — 0 *6» ) ’ 4 " {dsbi — Cti6 $)* +

(®i&3— 0261) “,

expresión que mediante [60-24], su análoga para el vector b, y [60-30], se reduce a a*6* sen* (a, b). ca) Es perpendicular a a y a b pues, por ejemplo, su producto es­ calar por a es (§ 13-3, Ct, C o r.): Oi

a,

,

a* Oí

. ( h a »

i..

6.

+

i.. 6.

6.

h.

Cti Ch (h (ti dt di

Os =

bi

ba

0.

ba

Ca) Para ver que el sentido es el que corresponde al triedro de coor­ denadas basta aplicar [60-32] al caso a = i, b = j. Resulta

iA j =

i 1 0

0

j k = k.

0 1 0 AI variar las componentes de a y b en [60-32], por continuidad el sentido de la terna será siempre el mismo.

d) De la expresión en coordenadas [60-32] y la regla de descomposición de un determinante en suma de otros de igual orden (§ 13-4, Ci), resulta la propiedad distribu tiva [60-33]

a A (b -fc ) = a A b + aA c.

e) El área del t r iá n g u lo de vértices P ’ (x i,yi,Z x ), R ( » » , 2/s,«i) es por a ), [60-32], § 60-3, nota, y [60-23] s = M 1 1 /

= -2 ] /

PQ ^ PR 1 = s

2

ya — y i

Z a ---- Zi

y» — y i

Z a ---- Zi

Q (»s,ys,«»),

+

Xa — Xi

Za — Zi

Xs — X i

Za — Zi

3

+

Xa — X i

ya — y i

Xa — X i

ya — yi

Cada determinante de segundo orden representa el área de la pro­ yección del rectángulo construido sobre los vectores, sobre una cara del triedro de coordenadas. /) El producto vectorial se ha introducido como una generalización natural del momento de un vector a fijo, o bien axial (§ 60-1, nota 3)

12

XVII. GEOMETRÍA LINEAi Y CUADRÁTICA

§ 60 -6

r«'M|)ücU) do un punto P, al cual podremos ahora definir como 'producto i'rrioi'itti di'l vector que tiene el origen Y y el extrem o en la recta de a, /)o/' i'l vector a. Dü [00-33] resulta: el momento de una sum a de vectores es la suma lio N/íH viomentos.

U) Notaciones vectoriales. — Todavía se usan diversas notaciones piiru el producto vectorial, única operación nueva de la Aritmética veclorinl, ya que el producto escalar, por ser generalización del producto de números, debe designarse como se hace en Álgebra, es decir, con un punto o 8 in signo ninguno, de igual modo que la adición y la sustracción se Miguen representando por 4 - y — . El signo A de B u r a l i - F orti es usado por los autores italianos y l.uinbién por algunos de otros países (B u tty, Garnier, Lainé, . . . ) . A l >funo8 alemanes siguen usando la notación ( A . B) para el producto esca Ifu- y la [ A . B ] para el vectorial. E l cóm odo s ig n o X se v a im p o n ie n d o e n lo s lib r o s m o d e rn o s f r a n c e H(!H (JuvET, V e r o n n e t , . . . ) , a le m a n e s ( K o w a l e w s k i , L a g a l l y , . . . ) i'Bpnñoles, etc ., a u n q u e p o r u s a r s e ta m b ié n en m u c h o s te x to s , s o b re to d o ita lia n o s , p a r a r e p r e s e n t a r el p r o d u c to e s c a la r , p u e d e d a r l u g a r a c o n f u Hionos. P a r a e v it a r la s , r e p r e s e n t a m o s el p ro d u c to e s c a l a r p o r el p u n t o y el v e c to r ia l p o r A q ue c u a n d o so n u s a d o s tie n e n p a r a to d o s los a u to r e s (‘«loa s ig n ific a d o s .

7. Productos reiterados. — a) El producto m ix to (a A b ) . c (íH un escalar cuya expresión en coordenadas se obtiene aplicando [60-20] a los vectores [60-32] y c = Cii + C2j + Csk: (íi A b ) . c ==

0-2

as

b2

b.

Cl +

«3 63

ai

C2 +

«2

bl

Ca =

&2

ai

«2

aa

bl

b2

63

Ci

C2

C3

Como la otra manera de asociar los factores, a A ( b . c ) , ca­ rece de sentido, puede om itirse el paréntesis. Puesto que un determ inante de tercer orden no altera permutando cíclicamen1.0 las filas, resulta 160-34]

aAb.c = bAc.a = a.bAc

,

|)or lo cual pueden suprim irse tam bién los signos A y . , indi­ cando el producto m ixto así: (a, b, c). h'l producto m ix to es en valor absoluto igual al volum en del paralelepípedo construido sobre los tre s vectores como arisl(ín concurrentes, indicando su signo el sentido directo (-h) o inverso (— ) del tried ro form ado p o r ellos. E n efecto, si a A h |), tendremos por [60-14], (a, b, c) = p . c = pCp, repreMeiit lindo el primer factor la base (§ 60-6, a) en sentido di­ recto, y el segundo la altura orientada, del paralelepípedo en nieHUÓn. l'or coiiHiguiente: condición necesaria y suficiente p a ra que t rrs vcrto res sean coplanares, es que se anule su producto mixto.

§ 60 -8

13

ÁLGEBRA VECTORIAL

N ota . Multiplicando por filas (§ 13-6) los determinantes que expre­ san en coordenadas los productos mixtos, se tiene por C60-201 a . a' a .b ' a . c' (a, b, c )(a ', b', c') = b . a' b . b' b .c ' c . a' c . b' c , c' este determinante, formado por productos escalares, se llama determ inante

c \ ( 2i, \y ,, , à

u

, y es enton-

C ^

oes igual al producto de los volúmenes de los paralelepípedos construidos sobre cada terna, con signo -f ó — según que ambas tengan igual sen­ tido o no. Si las dos ternas coinciden se tiene el determ inante de G r a m ya considerado en § 60-5, nota 1; G(a, b, c) > O, y sólo = O si a, b y c son coplanares. b) El doble producto vectorial a A (b A c) es un vector situado en el plano (b ,c) por ser normal al vector b A c que a su vez es normal al plano. Será entonces (§ 60-2) combinación lineal de b y e, y se demues­ tra (ver ejercicio 21 de § 60) que b c [60-35] a A (b A c) = a .b a . c

8, Aplicaciones: rectas y planos. — a) R ecta y plano en fo rm a s vecto ria l y param étrica. — ai) Recta. — Una recta queda determinada por la condición de pasar por un punto Po(íí^o, y o, Zo) y ser paralela a un vector a = a-ii -1- a 2j + o-sk ^ 0 . Es F ( x , y , z ) un punto d.e la rec ta si y sólo si son pa­ ralelos los vectores PqP y a, y entonces (§ 60-2, teor. 1 ) PoP = ua.. o llamando ro = OPo, r = OP a los vectores que si­ túan los puntos Po y P con respecto al origen O PqP = OP — OPo = r — ro = ua.. Así, resulta [60-36] r = ro + , (a 0) , llamada ecuación vecto ria l pa ra m étrica de la recta. Para cada valor del p a rá m etro u se tiene un punto P de la recta, dado por el vector que lo sitúa desde el origen, y recíprocamente. N o t a s : 1. En un espacio vectorial E« (nota I ) los vectores r — ro fo r­ man un subespacio vectorial o lineal (nota I, a·^) de una dimensión, sien­ do a una base. Por tal razón los vectores r dados por [60-36] definen (nota I, 0 «) una variedad lineal de una dimensión, también llamada linea

recta. 2. En Ea, [eO-Se] es equivalente a poner (r — ro)Aa = 0, es decir:

i

j

k

X — Xo y — y O si se elige n hacia el sem iesp acio que no contiene el origen O (fig. 202 ). N o t a 7. En el plano, la ecuorción norm al o hessiana de la recta

es (cfr. nota 5) [60-48]

xai -t- 2/tta = p

siendo p la distancia del origen O a la recta, y ai, aa los cosenos direc­ tores de su normal. &a) Ecíiación general. Cosenos directores y distancia a un punto. — Vimos ( 6 i, h^) que un plano se representa por una ecuación de prim er grado en x, y, z. Recíprocamente, toda

ecuación de primer grado

axX + «22/ + « 3« -f- »4 = O

[60-49]

con « 1, Ü2 , «3 no simultáneamente nulos, representa un plano, por lo cual se llama a [60-49] ecuación general d el plano. En efecto, dividiendo [60-49] por ±: se la lleva a la forma normal [60-47], y entonces los coeficientes «i, « 2, «3 son parámetros directores del plano [60-49] siendo sus cose­ nos directores, y la distancia del origen a él, dados por: [60-50]

ai «i

=

±: V [60-51]

p =

“1“ ^2^ “f~ «3^

{i = 1, 2, 3) ;

— «4 ± : V «1^ + « 2^

« 3^

En general (cfr. nota 8 ) elegiremos el signo de las raíces de modo que resulte p > O (cfr. h^). En la aplicación práctica Gfl importante recordar que si un coseno director resulta posi­ tivo (negativo) se refiere a un ángulo agudo (obtuso). ICJbmpLO 2. Sea el plano

— 3 ¡/-l-62: = 5 . La ecuación no es normal, pues la raíz de la suma de cuadrados de loH cooficicntos directores es V 4 - f 9 -f-36 = 7, pero se convierte en normnl dividiondo por 7 y resulta: 2» 3y _6 « ______^ 7 — 7 + 7 7 ·

§ 60 -8

ÁLGEBRA VECTORIAL

17

Los cosenos directores son: 2/7, — 3/7, 6/7, y la distancia del origen al plano es 5/7. N o t a 8 . En los haces de planos paralelos conviene adoptar para to­ dos éstos los coeficientes a< de uno (lo que equivale a fija r un sentido en la normal) y entonces toma p valores positivos o negativos según la posición del plano.

La distancia entre dos planos paralelos:

a-íX + a^y + » 32: + «4 = O

;

a-^x + a^x + azx -f- a'4 = O

es por consiguiente a \ — 0.4 si estas ecuaciones están en forma normal. En caso contrario, habrá que dividirlas precisamente por V - f . La distancia del punto (aJo, Vo, Zq) al plano [60-49] se ob­ tiene trazando por este punto el plano paralelo ai(a; — íCo) + « 2 ( 2/— 2/0) +

— 2o) = O

,

o sea [60-52]

ttiíc - f a^y + a^z = ci^xq + a^yo + a^Zo

,

y la distancia del punto al plano [60-49] es la distancia entre los planos [60-49] y [60-52], es decir [60-53]

d =

ttiíCo -h a^yfí -h a^zn -t-

. Luego, la distancia de un punto a un plano es el valor que toma en ese punto el cuutrinomio de la ecuación normal. Para íCq = 2/o = = O se obtiene el signo de d en [60-53] que corresponde al lado del plano donde está el origen, una vez fijado el signo del radical del denominador. bi) Casos particulares. — 1 ^) La condición para que el plano [60-49] pase por el origen es a« = O, es decir que se anule el término indepen­ diente (cfr. bz). 2^) Si y sólo si en [60-49] falta una variable, es decir se anula su (Mx'ficiente, el plano es paralelo al respectivo eje de coordenadas. Por «vi«>inplo si 03 = 0 , la ecuación aix + azy + ai = O

,

•|im «11 ol plano {x, y) representa una recta s, representa en el espacio ( •"•l/fi) un plano por s y paralelo al eje z, pues si Po(xo, yo) es un lMiiil(» dtt H, satisfacen a la ecuación todos los puntos del espacio {xo,yo,z) con M III bitrario. Cfr. ejemplo 1.

/>ti) Plano por tres puntos. — Dados tres puntos no alineadoH { xi,yx,Zi), {X2 , y 2 , z 2 )y {xz,yz,Zz), la ecuación

60-54]

X

y

z

x^

Vi

Zi

X2

2/2

Z2

X&

2/8

Za

1 1 1 1

= O r;'·;

IH

XVII.

g e o m e t r ìa l in e a l y

CUADRATICA

§ 60 -8

(ís (i(; primer grado y se satisface por las coordenadas de los tros puntos; luego, representa el plano determinado por éstos. Otro modo de escribir la misma ecuación es:

X — Xx ()0-55]

y —

^ 2 --- Xx -~X x

^

2/1

V 2 -------- 2/1 Z2 ----- Zx = 0 2/3 — V i

Zz — Zi

(lue se deduce restando la segunda fila de cada una de las otras. E j e m p l o 3. ( 1. 2 , 1 ).

P la n o d eterm in a d o por los p u n to s ( 2 , — 1 , 5 ) , ( 4 , 0 , — 3 ) , X— 2 .

y

1

z— 5

2

1

—8

— 1

3

— 4

= 0.

N o t a s : 9. E n el ca so en que la ecu ación [6 0-5 4 ] o su e q u iva len te [6 0 -55 ] t e n g a todos lo s c o e fic ie n te s nulos, es decir, sea n n u lo s lo s t r e s m enores c o m p lem e n ta r io s de lo s e lem en to s de la p r im er a f ila de [60 -55 ] y por ta n to se v e r ifiq u e : xz — a?i

yo —Vi

Z i --- Zi

Xa-

Va —

Z 3 ------- Z i

■X l

y i

están alineados los tres puntos en virtud de [60-39]. 10. Los puntos P ( x , y , z ) y F í {x í , y i ,Z i) , {i = 1 ,2 , 3), son coplanares si y sólo si lo son los vectores PiP, P 1P 2, PiPs y así resulta también de S 60-7, a, la ecuación [60-55] y su equivalente [60-54]. Esta deducción muestra también que para cualquier punto P(a;, y, z ), el volumen del te­ traedro de vértices P y P