Rey Pastor - Analisis Matematico Vol 1

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Análisis matemático Volumen

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Todos los derechos foservaclo:; por ( 0 , 1952) EDITORIAL KAPELUSZ S.A. Huonos Aires Hecho ol do()ósilo qiio esl.itjieco Iíi loy 11 723 Octava odiclón, julio ció 1!)R9 LIUHO Dí:^ [ OICIÜN ARC.I NTINA fnnlod in Atdofilina

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INDICE GENERAL PÁG. Presentación................................................................................. Nota a la segunda edición ................................................... Nota a la séptima ediciÓ7i ....................................................... Plan de la obra ........................................................................ 1. Finalidad y estructura. g ra fía general.

2. Contenido.

xvii XIX xix xx

3. Biblio­

Capítulo I

FUNDAMENTACIÓN DEL NÚMERO RACIONAL 1.

Introducción lógica 1. U nidad y conjunto. 2. Lógica deductiva. 3. Méto­ dos de d e m o s t r a c i ó n . 4. Conceptuación matem ática. 5. Igualdad. Eelaciones de equivalencia. 6. Definiciones por abstracción. 7. Axiomática. 8. E stru c tu ra de la M atem ática. Ejercicios.

§ 2.

El número natural .......................................................

13

1. Diversas fundamentaciones del número n atu ral. 2 . Indi^ción_cp.mpleta. Axiomas de P e a n o . 3. Definiciones por recurrencia. 4. Operaciones fundam entales. 5. De­ finición de mayor y menor. Leyes de la desigualdad. 6. Leyes form ales: principio de permanencia. 7. Con­ cepto de orden. 8^ Corresp,Qndencia. 9, Conjuntos finitos. 10. Número cardinal. 11. Conjuntos num erables. “ Ejercicios.

§ 3. El número entero ..................................................................... 30 1, Definición de número entero. 2. Enteros positivos y negativos. 3. Suma, producto y desigualdad. 4. Ley uniform e y leyes formales. 5. Isomorfismo entre los n ú ­ meros natu rales y los enteros positivos. 6. La su strac­ ción. Operaciones enteras. 7. Módu'los de las operaciones fundamentales. 8. Productos de valor nulo. 9. Regla de los signos y de la desigualdad. 10. Representación gráfica. 11. La facultad de abstracción. Ejercicios.

X 4. Símbolos numéricos y operatorios. Polinomios . . . 1. Símbolos numéricos. 2. Monomios. 3. Símbolo I I · -1. Símbolo S. 5. Producto de potencias de igual base. r>. Supresión de paréntesis. 7. Polinomios. 8. P ro ­ d u c t o do (ios s u m a s . 9. Producto de v arias sumas.

10. (JuHOH iiotiil)ioH.

KjcrcicioH,

11. Valor numérico de un polinomio,

39

ÍNDICE GENERAL PÁG.

§ 5.

Divisibilidad numérica ................................................

46

1. División entera, 2. Divisibilidad y orden parcial. 3. La, divisibilidad respecto a la adición y a la sustracción. 4. La divisibilidad respecto a la multiplicación. B. Má­ ximo común divisor y mínimo común múltiplo de dos nú­ meros. 6. El algoritmo de E u c l i d e s . 7. Divisores y múltiplos comunes de varios números. 8. Descomposi­ ción en factores primos: teorema fundam ental. 9. Apli­ caciones del teorema fundam ental. 10. Obtención de to­ dos los divisores de un número, 11, Congruencias y cla­ ses residuales, 12, Operaciones con clases residuales. Grupos, anillos, cuerpos. Ejercicios.

§ 6.

El número racional ....................................................

65

1. Definición de número racional. 2. Suma y producto de números racionales; leyes formales. 3. Isomorfismo con los enteros. 4. La división en el campo racional. Opex-aciones racionales. 5. La desigualdad en el campo de los números racionales. 6. Representación g ráfica de los números racionales. 7. Potencias de exponente en­ tero. 8. Series de fracciones iguales y desiguales. 9. Medias aritm éticas, geométricas y armónicas. E je r­ cicios.

Votas al Capitulo I ..................................................................

77

I. E l álgebra de B oole. II. El algoritmo de la nume­ ración. III. Complementos sobre divisibilidad numérica, IV. Bibliografía. C a p í t u l o II

EL NÚMERO REAL Y EL NÚMERO COMPLEJO § 7.

Concepto de número r e a l ............................................

93

1, Segmentos inconmensurables y resolución aproxim ada de ecuaciones. 2. Sucesiones.____ 3. Aproximaciones de­ cimales y sti generall z ^ ó n .___ -4._JDfilinÍCÍQíL de número real" por sucesiones de intervalos, e n e ja d o s . 5. OperacIoríes“ fun3am entales y desigualdad entre números reales. 7. Com6. Clases contiguas y co rtad u ras de Dedekind. j untos lineales: intervalos. Ejercicios. ’

§ 8 . Potencias y logaritmos de los números reales . . .

111

1. Raíz aritm ética. 2. Cálculo de radicales. 3. Racio­ nalización de denominadores. 4. Potencias de exponente racional. 5. Variación y representación gráfica de las potencias de exponente racional. 6. Potencias de expo­ nente r e a l : su variación. 7. Logaritmos de los números reales positivos: su variación. 8, Cálculo logarítmico. Ejercicios.

§ 9.

Concepto de número co m p lejo ............................................... 126 1, Origen aritmético de los números complejos. 2. De­ finición de número complejo. Operaciones fundamentales.

ÍNDICE GENERAL

VII

PÁG.

3. Representación geométrica.. 4. Módulo y argum ento de un número complejo. 5. Las operaciones racionales en el campo complejo. Ejercicios.

§ 10 .

Potencias y raíces en el campo co m p le jo ...............

137

1. Potencias de exponente entei’o. 2. Raíces de los nú­ meros complejos; representación gráfica. 3. Raíz cua­ drada en form a binómica. 4. Raíces de los números re a ­ les. 5. Raíces prim itivas de la unidad. Ejercicios.

Notas al Capítulo II ..............................................................

144

L Plenitud y unicidad del sistema de los números reales. IL El infinito matemàtico. III. Sistemas hipercomplejos. IV. Bibliug’ afia. C a p ít u l o I I I

COMBINATORIA. ÁLGEBRA LINEAL § 11.

Análisis combinatorio ..................................................

153

1. Variaciones. 2. Permutaciones. 3. Combinaciones. 4. Números combinatorios. 5. Sustituciones. 6. Sus­ tituciones circulares: descomposición en ciclos. E je r­ cicios.

§ 12.

Potencias de binomios y polinomios ........................ 1. Potencia de un binomio. Ejercicios.

§

166

2. Potencia de un polinomio.

13. D e te rm in a n te s ...............................................................

170

1. Origen de la teoría de los determ inantes. 2. D eter­ m inantes de segundo y tercer orden. 3. Determ inantes de orden cualquiera: sus propiedades. 4. Desarrollo de un determ inante. 5. Menores complementarios. Regla de L aplace. 6. Producto de determinantes. 7. Determ i­ nantes especiales. Ejercicios.

8

14. Cálculo de matrices .....................................................

191

1. Definiciones. 2. Dependencia lineal de filas y colum­ nas. 3. C a r a c t e r í s t i c a de una m atriz; su cálculo. Ejercicios.

§

15. Sistemas de ecuaciones lineales ...............................

195

1. Expresiones algebraicas: su valor numérico. 2. P lan ­ teamiento y transform ación de ecuaciones. 3. Teorema fundam ental de equivalencia en los sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción. 4. Regla de C r a m e r . 5. Sistema general de ecuaciones lineales. 6. Sistemas de ecuaciones lineales homogéneas. 7. Sustituciones li­ neales. Ejercicios.

Notas al Capítulo III ................... .......................................... I. CrupoH (le s u s t i t u c i o n e s e n t r e p e r m u t a c i o n e s . b lio jír a fíii.

II. B i-

214

VIII

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PÁG.

C a p ít u l o

í

V

ALGORITMO ALGEBRAICO § 16.

Principio de identidad. Operaciones racionales con polinomios.......................................................................

221

1. Principio de identidad de los polinomios de una v a ria ­ ble. _ 2. Principio de identidad de polinomios de varias v a ria b le s. 3. O p e r a c i o n e s enteras con polinomios. 4. División en tera de dos polinomios de una variable. 5. Di­ visión de un polinomio por x — a. 6. División entera de dos polinomios de v arias variables. 7. Método de los coeficientes indeterminados. Ejercicios.

§

17. Divisibilidad algebraica

........................................

231

1. Concepto de irreducibilidad en un campo racional. 2. Teo­ rem as fundam entales de la divisibilidad algebraica entre polinomios de una o más variables. 3. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los polinomios de una variable. 4. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los polinomios de varias variables. 5. Des­ composición en factore? primos de un polinomio de una o más variables: teorema fundam ental. Ejercicios.

;

18. Ceros de dos polinomios de una v a r ia b le .................

245

1. Teorema fundam ental uel álgebra. 2. Descomposición factorial. Relaciones entre las raíces y los coeficientes. Ejercicios.

19. Resolución elemental deecuaciones

por radicales .

250

1. Ecuación de segundo grado. 2. Ecuaciones reducibles a cuadráticas. 3. Ecuación cúbica. 4. Ecuación cuártica. Ejercicios.

Iotas al Capítulo IV .............................................................. I. Números algebraicos y trascendentes. clásicos del álgebra. III. Bibliografía.

265

IL Problemas

Ca p ít u l o V

EL LÍMITE ARITMÉTICO 20. Sucesiones de números reales .................................

273

1. L í m i t e s f i n i t o s e i n f i n i t o s . 2. P r o p ie d a d e s de l o s límitpH fiiü to a . 3. S u ce.sio n o s c o n t e n i d a s en o t r a . 4. S u (M'Miotu'H m o n ó t o n a s do n ú m e r o s r o a le s. 5. L í m i t e s de os(’ilnclóii (lo m in nupoaíón. (1. C r ite r io g e n e r a l d e c o n v e r S iu ’oHionoH roprijluroa. E j e r c ic io s .

21. (Yilniio do lím ite s ......................................................... I. liliniU'H (lo luH o i)o r u o io n e s r a c io n a le s . 2. L í m i t e de los loifiirilm oH y p o te n c in a . 3. L ím i t e s de p o t e n c i a s en lo s

282

ÍNDICE GENERAL

IX

PÁG.

casos singulares. 4. Límites indeterminados. núm ero e. 6. Sucesiones de númei’os complejos. cicios.

i § 22 .

5. El E je r ­

Series n u m é ric a s ..........................................................

295

1. Propiedades generales de las series. 2, Series de té r­ minos positivos: criterios de convergencia. 3. Series al­ ternadas. 4. Series de térm inos p o s i t i v o s y n eg ati­ vos. 5. Series de térm inos complejos. 6. Operaciones con series. Ejercicios.

Notas al Capítulo V

................................................................

330

I. A l g o r i t m o s g e n e r a l e s de convergencia y sumación, IL A r i t m é t i c a d e c im a l de lo s números aproximados. III. Fracciones continuas. IV. Bibliografía. C a p ít u l o V I

,

LAS FUNCIONES REALES Y LA CONTINUIDAD

§ 23.

La noción de fu n c ió n ..................................................

353

1. V a r i a b l e s y c o n s t a n t e s . 2, Noción de función. 3. Campo de existencia. Funciones uniform es y m ultifor­ mes, Definición general de función. 4, C aracterística de una función. Funciones de varias variables, 5. Breve re ­ seña histórica, 6, Expresión algorítmica de funciones. 7, Punciones racionales y funciones enteras. 8. Funcio* nes algebraicas y curvas algebraicas. Funciones trascen­ dentes. 9. Funciones pares e impares. 10. Función p o te n c ia l. 11. F u n c i o n e s c r e c i e n t e s o decrecientes. 12. F u n c i o n e s i n v e r s a s . 13. F u n c i ó n de función. 14. Cotas y extremos de variables o conjuntos reales. Ejercicios,

{i

24. El límite fu n c io n a l.......................................................

372

1. E l límite de u n a función. 2, Propiedades de los lími­ tes, 3. Infinitésimos. 4, Cálculo de límites. 5. Lí-* m ite infinito y límite p a ra a —> oo. 6. Form a topològica de la definición de límite. 7. Criterio de convergencia de B o l z a n o -C a u c h y . 8. Límites de oscilación. 9. Lí­ mite aritm ético y límite funcional. Ejercicios.

S

25, Noción de continuidad. Discontinuidades ................

387

1. Continuidad. 2. D iversas clases de discontinuidades. 3. Discontinuidades evitables. Verdadero valor, 4. Lí­ mites laterales y d i s c o n t i n u i d a d e s de p rim era especie, 5, C o n t i n u i d a d la tera l y continuidad en un intervalo, f). Discontinuidades de segunda especie. 7. Operaciones con las funciones continuas. Ejercicios.

*

2 (’>. Propiedades de las funciones

continuas en un in­

tervalo c e r r a d o 1. í/ori H" r v í i t’ión de s i g n o en el entorno de un punto. 2, CoroH (!«' luH funciones continuas, 3. Resolución de

396

ÍNDU'K

CKNKKAl,

PÁG.

ecuaciones. 4, L a propiedad 1) do las funciones conti­ nuas. 5, Máximos y mínimoa do funciones continuas. 6. C o n t i n u i d a d uniforme. Teorema de H b i n k -C a n t o b . Ejercicios.

Notas al Capítulo VI

.............................................................

401

t. N ota h i s t ó r i c a sobre la continuidad. II. Conjuntos lineales. III. El lema de B orel y sus a p l i c a c i o n e s . IV. Discontinuidades puntuales y totales. V. Funciones semicontinuas. VI. Bibliografía.

Capítulo VII

I ^ L A S FUNCIONES TRASCENDENTES ELEMENTALES §

27, Funciones exponencial, logarítmica ypotencial . .

411

1. Función exponencial. 2. La continuidad en las fu n ­ ciones monótonas. 3. Función logarítmica. 4. F u n ­ ción potencial. Ejercicios.

§

28. Funciones c irc u la re s .....................................................

414

1. Funciones circulares. 2. El límite de (sen x ) / x p ara x-> 0. 3. P e r i o d i c i d a d , 4. Función s i n u s o i d a l . 5. Funciones circulares inversas. 6. Continuidad de las funciones circulares. Ejercicios.

§

29. Funciones hiperbólicas ................................................ 1. Funciones hiperbólicas. ca. Ejercicios.

2, Representación param étrí-

Notas al Capítulo V II .......................................................... I. Curvas de P e a n o .

425

428

II. Tablas de funciones.

Capítulo VIII

FUNCIONES DERIVARLES » § 30.

Concepto de d e riv a d a .................................................

438

1. Incrementos y razón incremental. 2. Noción de deri­ vada. 3. Cálculo directo de algunas derivadas. 4. In ­ terpretación geométrica de la derivada. 5. Derivadas laterales. Derivada infinita. 6. La f u n c i ó n deriva­ da. 7. Ángulo de dos curvas. 8. Continuidad de las lunciones derivables. Ejercicios.

o§ 31.

Las primeras aplicaciones de la derivada .............. 1. Ecuación de la tangente a una curva plana unifor­ me. 2. Ecuación de la normal. 3. Segnmentos deter­ minados por la tangente y la normal. 4. Movimiento rectilíneo. Velocidad. Ejercicios.

442

INDICE GENERAL

XI

PÁG.

» § 32. Cálculo de la derivada .................................................

446

1. Lineaiidad de la derivación. 2. D erivada del logarit­ mo. 3. Derivada de una función de función. 4. El método de la derivada logarítmica. Reglas ael producto y del cociente. 5. Derivación de determ inantes, 6. De­ rivadas de las funciones potencial y exponencial. 7. De­ rivadas de las funciones circulares. 8. Derivada de la función inversa. 9. Aplicación a las funciones circularesinversas. 10. D erivadas de las funciones hiperbólicas directas e inversas. 11. Tabla de derivadas. E jerci­ cios.

*

33. Variación de las funciones .........................................

457

1. C riterios de crecimiento y decrecimiento. 2. Máximos y mínimos relativos. 3. Condición necesaria de máximo o de mínimo. 4. Determinación de máximos y míni­ mos. 5. Criterio 1*¡*: Variación de la función. 6. C ri­ terio 2*?: Variación de la derivada prim era. 7. Criterio 3*?: Mediante la derivada segunda. 8. Simplificaciones en el cálculo de máximos y mínimos. 9. Concavidad. Puntos de inflexión. 10. Estudio de la variación. E je r ­ cicios.

34. La diferencial .................................................................

469

1. Definición de diferencial y expresión analítica. 2. Re­ presentación geométrica. 3. Relación con el incremen­ to. 4. Reglas ae diferenciación. 5. Diferencial de una función de función. 6. Tangente y normal a una curva plana dada en form a param étrica. 7. Tangentes a la? curvas planas en coordenadas polares. Ejercicios.

Notas al Capítulo V III ...........................................................

474

I. Orígenes del Cálculo diferencial.

Capítulo IX

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO Y CONSECUENCIAS •

35.

Teoremas del valor m e d io ..........................................

477

1. El teorema del incremento finito y su significado geo­ métrico. 2. Demostración del t e o r e m a de L a g r a n GB. 3. Consecuencia. Teorema fundam ental del Cálculo integral. 4. A c o t a c i ó n d el e r r o r en u n a función. 6. Interpolación lineal. Acotación del error. 6. Cálculo a p r o x im a d o de lo g a ritm o s . 7. Derivación gráfica. 8. Teorema de C a u c h y , Ejercicios.

. í; 'Mí.

I^imites indeterminados ............................................. F orm a 0 / 0 . Regla de B e r n o u l l i - l ' H o s p i t a l . 2. Apli­ cación reiterada. 3. G e n e r a l i z a c i o n e s . Límite p a ra !T—>00, y f o r m a co/oo. 4. F o r m a s O.co e — co. 5. FormaH exponenciales 20®, O®, l'» . 6. Sustitución de vurinhh'K equivalentes. Ejercicios. 1.

483

XII

ÍNDICE GENERAL

PÁG.

§ 37.

Infinitésimos e infinitos. Asíntotas ................................. 492 1. Cálculo con' i n f i n i t o s . 2. Comparación de infini­ tos. 3. Órdenes fundam entales de infinitud. 4. ó rd e ­ nes infinitesimales fundam entales. 5. Escalas de infini­ tésimos e infinitos. 6. A síntotas y direcciones asintóticas de las curvas planas. Ejercicios.

Notas al Capítulo I X .............................................................

499

I. C á lc u lo l o g a r í t m i c o . II. R e l a c i ó n de P e a n o . III. Criterio de S to l z . IV. Propiedades de la función derivada. V. Números derivados y funciones deriva­ das. VI. E l teorema fundam ental del Cálculo integral. VII. Funciones continuas sin derivada. V III. Biblio­ grafía. C a p ít u l o X

FÓRMULA DE TAYLOR. ECUACIONES ALGEBRAICAS §

38. Derivadas sucesivas y ap licaciones..........................

515

1. D e r i v a d a s s u c e s i v a s . 2. Diferenciales sucesivas. 3. Aceleración en un movimiento rectilíneo. 4. D eriva­ da w-ésima de un producto. 5. La función de C a u c h y . 6. Ceros reales de las funciones continuas. 7, Cambios de signo de f ( x ) y de f '( » ) . 8. órdenes de contacto de dos curvas. Ejercicios.

§

39. Fórmula de T a y l o r .......................................................

525

1. Introducción: expresión de un polinomio por sus deriva­ das en un punto, 2. F órm ula de T a y l o r . 3. Diversas form as del térinino complementario. 4. D iversas expre­ siones de la fórm ula de T a y ;,or . 5. Desarrollos de las funciones elemiíntales. 6. Aplicación al cálculo de lími­ tes indeterminados. Ejercicios.

§

40. Aproximación lineal y cuadrática ............................

532

1. Aproximación lineal. 2. Discusión general de la con­ cavidad e inflexiones. 3. Discusión general de los m á­ ximos y mínimos relativos. 4. Resolución aproxim ada de ecuaciones. 5. P arábola osculalriz. 6. Circunfe­ rencia osculatriz. Ejercicios.

§

41. Resolución numérica general deecuaciones alge­ braicas 1, Función general de variable compleja. 2. Raíces m úl­ tiples. Reducción de la ecuación y continuidad de las raíces. 3. Búsqueda de las raíces reales. Acotación de las r a í­ ces. 4. Investigación de las r.aíces racionales de una ecuación de coeficientes racionales. 5. Teorema de R o­ lle. 6. Función racional de coercientes reales: exceso algebraico. Sucesión de S t u r m . 7. El problema fu n d a­ mental. Teorema de S t u r m . 8. Teorema de B u d a n - F o u RIER. 9. Teorema de H a r r io t - D esc a r t e s . 10. Cálculo de las raíces irracionales de una ecuación de coeficientes reales. 11, Cálculo de las raíces complejas de una ecua­ ción algebraica. 12. Introducción al método de G r a f f e , Ejercicios.

541

ÍNDICE GENERAL

xm

PÁG.

§ 42.

Eliminación algebraica ..............................................

573

1. E l i m i n a c i ó n : m é to d o del máximo común divisor. 2. Método de eliminación de E ü l e r . 3. Método de eli­ minación de BÉZOUT. 4. Sistemas de dos ecuaciones con dos incóffnitas. Teorema general de B é z o u t . 5. Método de K r o n e c k e b . Ejercicios.

Notas al CapifMo X ................................................................

588

I. CoeficienLcb diferenciales o derivadas generalizadas de P eano. II. Derivadas sucesivas de una función de fu n ­ ción. III. Funciones simétricas de las raíces: discrimi­ nante. IV. Resolución gráfica de ecuaciones: método de L i l l . V. Bibliografía.

Capítulo XI

SERIES DE POTENCIAS Propiedades generales ................................................

601

1. Campo y radio de convergencia. 2. Operaciones con series de potencias. 3. Series de funciones. Convergen­ cia uniforme. 4, Convergencia uniform e de series de potencias. 5. Derivadas y primitivas. Ejercicios.

44. Desarrollos en series de potencias ..........................

612

1. Definición y unicidad. 2. Desarrollo por la fórmula de M a c - L a u r i n . 3. Función racional. Desarrollo por di­ visión. 4. Método de los coeficientes indeterminados. Ejercicios.

§ 45. Aplicación a las trascendentes ele m en tale s...........

620

1. Función exponencial y = e*. 2. Funciones circulares 6 hiperbólicas. 3, Las trascendentes elementales en el campo complejo. 4. Serie logarítmica. 5. Serie binómica. 6. Desarrollos de las funciones circulares inver­ sas. Ejercicios.

Notas al Capítulo X I

.............................................................

I. Teoremas tauberianos. II. El número vr. ductos infinitos. IV. Bibliografía.

632

III. P ro ­

CAPÍTULO XII

INTERPOLACIÓN Y DIFERENCIAS FINITAS 46. Interpolación entre valores c u alesq u iera ................ L Teorema de existencia. 2. F ó r m u l a d e L a g r a n GE. 3. La interpolación parabólica progresiva. 4. Des­ composición do una fracción algebraica en fracciones sim­ ple«. Ejorciclo·.

641

XIV

ÍNDICE GENERAL

PÁG.

§ 47.

Interpolación entre valores equidistantes .............

650

1. Diferencias sucesivas de una función. 2. Operadores simbólicos. 3. Diferencias sucesivas de un polinomio. 4. Diferencias sucesivas de los factoriales. 5. Fórm ula de N e w t o n -G regory . 6. Término complementario y pa­ so al límite. Ejercicios.

Notas al Cavitulo X I I .............................................................

656

I. Diferencias divididas. II. Empleo de diferencias cen­ trales. III. Bibliografía. C a p ít u l o

XIII

a EL ÁREA Y LA INTEGRACIÓN §

48. Concepto de integral según C a u c h y ........................

663

1. Noción de área en el plano. 2. El ái’ea del trapezoi­ de. 3. La integral definida. 4. Cálculo directo de al­ gunas integrales. 5. Propiedades de la integral defini­ da. 6. Teorema del valor medio. Ejercicios.

§

49. Integral de Riemann ................................................... La integral según R i e m a n n . y superior. Ejercicios. 1.

§

2.

674

Integrales inferior

50. Integral y p r im itiv a ....................................................

677

1. La función integral y su derivada. 2. Regla de B a RROW. 3. Sobre la aplicación de la regla de B a r r o w . 4. Integrales generalizadas. Ejercicios.

Notas al Capítulo X III ...........................................................

683

I. Orígenes de la noción de integral. II. La integx'al co­ mo límite según la norma. III. Condiciones de integrabilidad (R ). IV. Derivada acotada no integrable (R ). V. Bibliografía. Ca p ít u l o

XIV

0 CÁLCULO DE PRIMITIVAS Y APLICACIONES

§ 5Í.

Métodos generales de in te g ra c ió n ...........................

691

P rim itivas inmediatas. 2. Integración por descompo­ sición. 3. Integración por sustitución. 4. Integrales calculables por sustitución. 5. Integración por partes. Ejercicios. 1.

§ 52.

Integración de clases particulares de funciones .. 1. Funciones racionales. 2. Irracionales algebraicos. 3. Funciones i’acionalcs de las funciones circulares. EjercicioH.

704

INDICE GENERAL

XV

PÁG.

§ 53.

Cálculo de algunas integrales d e f in id a s .................

716

1. Integrales calculables mediante prim itivas. 2. A lgunas integrales calculables por partes. 3. F órm ula de W a ­ l lis. 4. Fórm ula de S t i r l i n g . 5. In teg ral de P o i s ­ son. Ejercicios.

722

Notas al Capitulo X IV . . . I. Tablas de integrales.

Capítulo XV

APLICACIONES GEOMÉTRICAS Y FÍSICAS 8 54. Áreas y v o lú m en es....................................................... 1. Áreas en coordenadas cartesianas. 2. Áreas en coor­

723

denadas polares. 3. Volumen de un sólido de revolución. 4. Volumen por secciones. 5. Á rea de una superficie de revolución. Ejercicios.

w 55. Rectificación de curvas planas .................................

732

Longitud j i e - un. arco. 2. Vector d s. Cosenos direc­ tores de la tangente. 3. Rectificación de la elipse. In ­ tegrales elípticas. 4. Curvas planas en coordenadas po­ lares. 5. C u rv atu ra de curvas planas. 6. C u rv atu ra en coordenadas polares. 7. Vértices de las curvas en ge­ neral. 8. E voluta. 9. Variación total y longitud. Ejercicios.

1.

§ 56. Aplicaciones f ís ic a s .......................................................

747

T rabajo en un desplazamiento rectilíneo. 2. T rabajo de expansión de un gas. 3. Medias cuadráticas. E je r ­ cicios. 1.

Nnh(}i al Capítulo X V ..............................................................

752

I. Convergencia según la norma. II. Principio de semicontinuidad inferior. III. Bibliografía,

CAPÍTULO XVI

INTEGRACIÓN APROXIMADA íj fi7.

/

Integración n u m é r ic a ..................................................

757

I, Objeto del capítulo. 2. Fórm ula de los trapecios. 3. Método de S i m p s o n . 4. Integración por desarrollo en Hcrio. 5. F órm ula de integración de G a u s s , 6. Aplinición de los métodos de interpolación. Ejercicios,

r>K. Integración g r á f i c a ....................................................... I. ÍMt.t'grnción gráfica do funciones escalonadas, 2, Inteurnrlón gr/ific« do fundones cualesquiera. Ejercicio».

767

VI

ìn d ic e

GENERAL

PÁG.

; 59.

Integración mecánica ..................................................

771

In tèg rafo de A b d a n k A b a k a n o w i t z , 2. Planim etros de ruedecilla integradora. 3. Planim etro de P r y t z . Ejercicios. 1.

^otas al Capítulo X V I ..........................................................

779

I.

Método de P. M a n s i o n . II. F òrm ula sum atoria de E u ler - M ac L a u r i n . III. Polinomios de L e g e n d r e . IV. Bibliografía.

ìespuestas a ejercicios .................... .■.................................. ndice de símbolos y a b re v ia tu ra s....................................... ndice alfabètico .....................................................................

789 811 819

PRESENTACIÓN /yOH libros en que durante cuatro decenios expusimos diver­ titi n ramas de la Matemática, con reflejos del estado progresii'iinii nfc alcanzado en los países creadores, merecieron tan beHt'iuila acogida en el mundo de origen hispánico, que con ellos rtf hau formado varias generaciones de estudiosos e investigaihut'H, (¡nienes no solamente conocen ya la moderna literatura tnmu rudl, sino que colaboran en ella, hecho que habría paredfht niijiosible y fabuloso a las mentes españolas de comienzos ilr niitln. Pero por halagador que sea este balance, el propio mil ni i'H rl menos satisfecho de sus obras, que ya no reflejan »/ lint IX) modo con que la Maiemática está a punto de reorganhtiiMi·. y desde hace años viene estimulando a sus jóvenes • a emprender la publicación de libros en que tenga eco u fin tiKi ese nuevo rumbo, al que ningún país puede quedar •fii iin, ¡I que ya cuenta con fieles devotos y aun colaboradores •ii'tnuiH ni. España e Hispanoamérica. ('limo cada año que pasa se hace más sensible esta necesiihiil, rl propio autor se ha decidido al fin a organizar la piiblivnrinn de. un nuevo tratado de Análisis matemático, que reíh IV todo lo bueno de lo clásico y de lo novísimo. Con entusias­ mi! iiiiu-nil y competencia insuperable pusieron mano a la obra li>M iloH ainigos colaboradores, plenamente autorizados para iihlinir aiayito les agradara de nuestros libros, innovando liiiirm nilr en el resto, y aquí sale a luz el primer fruto de su • 1 1nionliiiario esfuerzo, realizando el milagro, no superado en III liirnilura matemática, de organizar una obra que es a la iiilrodncción, texto y enciclopedia bibliográfica. JuHlific.a. este último calificativo la información exhaustiva ih Ion progresos realizados hasta el día dentro del campo deni,n i'(id(i, y no incorporada aún a los libros extranjeros. La no hiiiiiUida riqueza en ejemplos y ejercicios, resueltos y cuidadoaiinit'iilo uri endonados, avalora su utilidad didáctica. ¡•'(iiuinihlr coyuntura para la renovación ansiada por los Im i rohihoradares ha sido nuestra larga ausencia, que impidió ihñi'iifir ron vxccsiva. minuciosidad gran parte de la obra, en­ fi ni fu mío iiiirsfras distantes opiniones, como se hizo con todo i' iihi ni (ilginios capitidos, dejavdo establecido un criterio me'/»·«· rn busca del método de m ejor comprensión intuitiva, es decir, más liroximo a los conceptos usuales en la práctica, se introduce el número iritl (§ 7) m ediante sucesiones monótonas contiguas, por ser generalizariiin inm ediata de las aproximaciones decimales con que se está acostumhrndo a dar como resueltas ecuaciones del tipo de la pitagórica, cuyo exanii'ii y la conexa existencia de segmentos inconmensurables juzgamos es t'l mrjor exordio, tanto histórica como racionalmente, para ju stifica r la tu traducción del nuevo concepto. S in embargo, también se consideran los «Iros métodos que existen para completar" la recta racional. E n el núuivro complejo se llega sólo a la radicación (§ 1 0 ), dejando para el cajnliilo X I introducir naturalmente, por prolongación analítica, las definicioui'H de potenciación y logaritmación cualesquiera. A l final del capítulo II, Hit nota I sobre plenitud y unicidad de los números reales sirve para que ni tra ta r en la nota I I del infinito matemático, se dé la demostración que »/ plitud se ejemplifica en la nota I ’le fin al de capítulo, mediante las cio'vas de P e a n o . La nota I I se dedica a tablas de funciones, mencionando lo realizado vltim am ente por norteamericanos e ingleses. E l capítulo V III, sobre funciones derivables, introduce el concepto con la posibilidad de que le derivada sea única in fin ita (con signo deter­ minado). El capitulo IX , sobre teoremas del valor medio y consecuencias, em­ pieza dando la idea intu itiva del teorema del incremento finito, para luego precisar su alcance y demostrarlo en form a rigurosa y generalizada. La admisión de derivada única infin ita permite trata r en form a completa los limites indeterminados, aclarando con adecuados ejemplos el alcance de la regla de B e r n o u t tj - l ’H o s p i t a l . Se dan los órdenes fundam entales de infinitud, su nrtiiraleza no arquimediana y su aplicación al estudio de asíntotas y detecciones asíntóticas de las curvas planas, donde, apartán­ donos de lai^ exposiciones usuales, se distingue bien el caso de rama para­ bólica, de aquel en que existe dirección asintótica pero no asíntota, ni propia, m impropia. Asimismo, se precisa en los ejercicios la distinción entre ( áintota y posición limite de la tangente, cuyo punto de contacto se aleja sobre la ram a de curva considerada. L a nota IV , sobre propiedades de Ja función derivada, trata de la convergencia uniform e de la razón incremental y del teorema de D a r b o u x . L a nota V, sobre números derivados y funciones derivadas, es m u y profunda, habiéndose conseguido exponer los clásicos teoremas de S c h e e f f e r con demostraciones breves y sintéticas La nota V I se dedica al teorema fundam ental del Cálcido integral, intro duciendo la función ternaria de C a n t o r , que, modificada adecuadamente sirve para dar un ejemplo m u y sencillo de no cumplimiento de dicho teo rema para funciones continuas, si se exige solamente la igualdad de de vivadas, sin sobrentender que sean finitas. E n la nota V II va una expo-

]’LAN

DE LA OBRA

XXV

Htrioti i lrnirntalizada del ejemplo de VAN De r W a e r d e n de función continiiii. ijiir rn todo punto carece de derivada fin ita , n i a u n lateral. ríi¡)ílulo X se dedica a la fórm ula de T a y l o r y a las ecuaciones iili/i'lnttintu. Como aplicación de la derivación sucesiva (§ 38) se tratan hm ctToH reales m últiples de las funciones continuas, p a r a lo cual es m uy Util la precisión con que se ha introducido el orden in fin itesim a l, y que ln-niiHird estudiar con gran generalidad en las hipótesis, la validez de la fin iiiiila de T a y l o r y de las diferentes form as de su térm ino complementitriii. La fórm ula de T a y l o r (§ 39) se introduce na tu ralm ente, mediante lii norión in tu itiva de polinomio “osculadoi'”, para lo que se han estudiado lamente los órdenes de contacto de dos curvas planas. E n aproxima­ ción lineal, se tra ta la resohición num érica de ecuaciones cualesquiera mriliante la regla de N e w t o x - F o u r ie r , en conexión con el extenso § tiíilirr resolución nurnáHca de ecuaciones algebraicas con separación de lait'iH y teorema de S t u r m , cálculo de raíces racionales, irracionales y i'iiiniilejas, e idea del método de G r á f f e . V a otro p a rá g ra fo (§ ^2) sobre rliiiiiiiación algebraica. E n el método de E u l e r , es de señalar la form a fni'larial .de la resultante dada modernamente por E . T . W h i t t a k e r , y iii)lire todo la demostración sencilla y rigurosa que hem os obtenido en el i'UHii de que los dos polinomios de grado m y n te n g an el m. c. d. precisa­ mente de grado r > 1. E sto nos sirve para dem o stra r en form a breve el tvnrenia general de BÉZOUT, acabando el parágrafo con el método de eliininaeión de K r o n e CKER. Aprovechamos la ocasión p a ra lam entar que en iniieliDS textos dedicados a ingenieros, y mucho m ás a físicos o matemátienn, se omitan totalmente estas cuestiones, algunas de las cuales son tamtiii n de valor práctico. L a nota 111, sobre funciones sim étricas de las raiHiilución algebraica, ^irve para ju stifica r los procedim ientos y a empleailiiH en el capítulo I V para la resolución de las ecuaciones elementales, hln la nota IV , sobre resolución gráfica de ecuaciones, nos detenemos so~ hre todo en el método de L i l l , dando de la N o m o g ra fía una adecuada orientación bibliográfica en la nota sigtiiente. El capítulo X I, sobre series de potencias, em pieza estudiando sus pro\>i>(Uules generales en el campo complejo, incluso la convergencia %inifornm, tema a tra ta r m ás extensamente en el volum en II. Los parágrafos 0Íljiiientes se dedican a los métodos de desarrollo y a la aplicación a las trancendentes elementales. A u n cuando la prolongación analítica se tratiirá en el volumen III, se estudian ahora las trascendentes elementales en el eampo complejo, para dar la teoría aritm ética de las funciones circu­ lare« e introducir naturalm ente las definiciones de potenciación de expo­ líente complejo y de logaritmación y potenciación cualesquiera. A s í se ¡iiHlifica la importancia intrínseca de la admirable fó rm ula de E u l e r , ’/Mí! liga los cinco números m ás im portantes de la m a tem á tica : ei'TT-|- 1 = O, iiHl como la linea de pensamiento que en fo rm a no rigu ro sa siguió el m is­ ino E u l e r para obtener la serie exponencial en el cam po complejo, como l l m ( l + x / n ) " para n —>oo. También queda com pletam ente justificado nn ejemplo paradójico original, que se dio en el capítulo II, para explicar la restricción de tom ar siempre base positiva en el estudio de la poteneiaeión en el campo real. L a nota I I tra ta de los m étodos para calcular ninnerosas cifras del número vr, dando cuenta del error de S h a n k s , deseabierto en 1946 por FERGUSON. L a nota I I I se dedica a los productos infinitos, tem a im portante, que se aplica posteriorm ente, eyitre otras cues­ tiones, a la Teoría de Funciones, y que se descuida en muchos textos. El capítulo X II , sobre interpolación y diferencias finitas, da prim e­ ramente, en la form a más sencilla y práctica posible, la fórm ula de L a cuANC.E y la interpolación parabólica progresiva, aprovechando la primera liara estudiar la descomposición de una fracción algebraica en fracciones Hini/des. Se estudia luego en particular la interpolación entre valores riiuidistantes, dando los útiles operadores simbólicos, llegándose a la fór-

XXVI

PLAN DE LA OBRA

mula de N e w t o n -G regory por varios caminos. E n la nota 1 se estudian las diferencias divididas y su aplicación a la obtención de las fórmulas de L a g r a n g e y de N e w t o n , y a la im portante significación que mediante ellas adquieren los coeficientes diferenciales de P e a n o , definidos en la nota I del capítulo X . E n la nota 11 se estudia el empleo de diferencias centrales con la intuitiva notación de S h e p p a r d , así como sencillas demos­ traciones de las fórm ulas de B e s s e l y S t i r l i n g , previa deducción de la de N e w t o n -G a u s s y uso práctico del término complementario en cada caso; la distinta utilidad de las diferentes fórm ulas queda aclarada m e­ diante oportunos diagramas y la notación de S h e p p a r d . E l capítulo X l l l introduce el concepto de integral según C a u c h y (§ -45), con todo rigor, pero basándolo en la noción in tu itiv a de área. Se dedica el breve % A9 a la integral de R i e m a n n , y en el % 50, sobre inte­ gral y prim itiva, se estudia con todo cuidado la aplicación más generali­ zada posible, de la regla de B a r r o w , jyara lo que se dan también breves nociones de integrales generalizadas, de intervalo infinito o de integrando infinito, y cuyo estudio detenido se deja para el volumen 11, y para el 111 el de la teoría superior de la integración y su aplicación a las series de F o u r ie r . L a nota 111, sobre condiciones de integrabilidad ( R ) , da las debidas a R i e m a n n , D u B o is R e y m o n d y L e b e s g u e , esta últim a mediante la definición directa de conjunto de medida nula. L a nota IV , sobre deri­ vada acotada no integrable ( R ) , desarrolla en form a gráfica y elemental el clásico ejemplo de V o l t e r r a . E n el capítulo X I V {Cálculo de prim itivas y aplicaciones), el § 51 estudia los métodos generales de integración, con numerosos ejemplos; la sustitución de variable en la integral definida se ha hecho en condiciones cuidadosamente estudiadas para que quede justificada en casos más gene­ rales que los que suelen darse en textos de otros autores. E l capítulo X V , sobre aplicaciones geométricas y físicas, empieza con el cálculo de áreas y volúmenes que suele hacerse en todos los textos, pero tratando cuidadosamente la atribución de signo al área orientada, cuestión sobre la que se propone un ejercicio m u y instructivo. E n la rec­ tificación de curvas planas (§ 55) se procura que, sin perder rigor, el tema se desarrolle en form a progresiva respecto a su dificultad. Se dice algo sobre integrales elípticas, y se sigue con curvatura, vértices y evo­ luta, esto último a completar en el volumen 11. E l parágrafo acaba con variación total y longitud, incluyendo el criterio de J o r d a n , que constituye una de las justificaciones para introducir la integral de L e b e s g u e , a tra­ tar en el volumen 111. Se deja para las notas finales del capítulo el con­ siderar la convergencia según la norm a en los conceptos de longitud y variación, con el conexo lema de D a r b o u x , referente a la definición de integral, y la demostración de la continuidad de la longitud, así como el principio de semicontinuidad inferior, básico en la generalización de la teoría a las superficies según L e b e s g u e , y que se verá en el volumen 111. E l último capítulo de este volumen se dedica a la integración apro­ ximada, desarrollada en form a bastante completa. E l parágrafo m ás im ­ portante (§ 57) tra ta de la integración numérica, y se empieza por la fó r­ mula de los trapecios, cuya inclusión se ju stifica en vista de su perfec­ cionamiento mediante la fórm ula de E u l e r - M a c l a u r i n , que se incluye en la nota 11 de fin a l de capitulo. E n el método de S i m p s o n se da el resto de P e a n o , y otro menos preciso, pero más fácilmente obtenible. Se apro­ vecha la integración por desarrollo en serie para introducir como ejem­ plos la función error, la integral-seno, la exponencial-integral y la logaritmo-integral. L a fórm ula de integración de G a u s s se empieza a estudiar en form a elemental, pasando luego al caso general mediante los polino­ mios de L e g e n d r e , que son objeto de la nota 111 de fin a l de capítulo. La aplicación de los métodos de interpolación completa la obtención de la fórm ula anterior y da también la antigua, aunque menos preferible, fór­ mula de N e w t o n - C o t e s . E l § 58 trata de integración gráfica, incluyendo

PLAN DE l a o b r a

XXVII

lu t'iinKfilin de escalas, tema a veces descuidado, y m uestra bien la ventaja tir rftu'ixar la compensación por verticales y no por horizontales para el il inailo de la curva integral. E l últim o parágrafo (§ 59) trata de la inh fjrariôn mecánica, exponiendo sólo los principios generales en que se hiiniin iutvgrafos y planimetros. Se tra ta la teoria general de los plani­ ne!) uh ili·, ruedecilla integradora, dando cuenta de las principales causas 110 nn-or. E l parágrafo term ina con la descripción del notable y sencillo /iliniiinrlro de pRYTZ y un bosquejo de su teoría, basada en un principio iliutnito de los anteriores. M H i b l i o g r a f í a g e n e r a l . — L a últim a nota de catía capitulo se de· itii'ii n dar orientación bibliográfica, en f o r m a critica y explicativa. Por 111 üinirral se citan libros y no m em orias, y entre aquéllos se han elegido lili» i¡n4'i consideramos m ás apropiados para ser consultados por nuestros hu tiirrH, o bien representan cimas m aestras, de influencia decisiva en la ntitri'ha del pensamiento científico. E n ellos, no sólo podrá efectuarse un m i miII) más amplio de las diversas teorías aquí expuestas, sino que tam1'nhi Ht' encontrarán citadas las m onografías originales, que podrán continltar aquellos que quieran em prender un estudio m ás profundo de la iiifnilón que interese. Ahora, y con carácter general, citaremos primero la obra enciclopétlirn completa, de ú til consulta para toda teoría m atemática, con los resulhiiliiH obtenidos h asta la fecha de su publicación y abundantísima bibliouuffio de m em orias originales, cuyo título es: Enzyklopädie der M athem atischen W issenschaften. (19 volúmenes, pu­ lii IiiuIoh p o r T eubner, Leipzig, 1898-1931. Comenzada recientemente su • i'ii(lición). h a sido tra d u c ia a en p a r te al francés, con artículos refundidos, IihJ o ri títu lo : Nncyclopédie des Siences M athém atiques pures et appliquées. (GauHiin Villars, P aris, 1904-1931). Un resum en enciclopédico, m ás sintético que la obra anterior, indican iIm l»iltliografía fundam ental, se da en el: l'ascals R epertorium der höheren M athem atik. (2^ ed.; I : Analysis, iIi i Ik I'Io por E. S a l k o w s k i ; 1. A lgebra, D ifferential- und Integralrech»MMiy, 1910; 2. D ifferentialgleichungen, Funktionentheorie, 1927; 3. Reelle l'Unililiimen, Neuere E n tw icklungen, Zahlentheorie, 1929; I I : Geometrie, illilKÌ