Revisi Perkembangan Matematika Dari Thales Ke Euclid

 

  PERKEMBANGAN MATEMATIKA DARI THALES KE EUCLID

Disusun oleh:

 NAMA KELOMPOK 5 : 1.  MAGVIRA AMRI

( A 231 16 015 )

2.  YUSRIANI

( A 231 16 098 )

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MIPA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN   UNIVERSITAS TADULAKO 2019

 

 A.  A .  Se  Sejara jarah h M atemati ka Tha Thale less (624 (624-55 -550 0 SM SM))

Thales Lahir sekitar tahun 624 SM di Miletus, Asia Kecil (sekarang Turki), dia adalah anak dari Examyes dan Cleobuline. Dia meninggal sekitar tahun 546 SM di Miletos, Turki. Thales adalah filsuf, ilmuwan, dan matematikawan Yunani pertama yang dikenal. Beberapa orang menganggapnya sebagai guru Pythagoras, meskipun mungkin hanya

menyarankan

Pythagoras untuk pergi ke Mesir dan Kasdim. (Minor, 2000) Thales adalah seorang filsuf yang mengawali sejarah filsafat Barat pada abad ke-6 SM. Sebelum Thales, pemikiran Yunani dikuasai cara berpikir mitologis dalam menjelaskan segala sesuatu. Pemikiran Thales dianggap sebagai kegiatan berfilsafat pertama karena mencoba menjelaskan dunia dan gejala-gejala di dalamnya tanpa bersandar pada mitos melainkan pada rasio manusia. Ia juga dikenal sebagai salah seorang dari Tujuh Orang Bijaksana (dalam bahasa Yunani hoi hepta sophoi), yang oleh Aristoteles diberi gelar ‘filsuf yang pertama’. Selain sebagai filsuf, Thales juga dikenal sebagai ahli geometri, astronomi, dan politik. Bersama dengan Anaximandros dan Anaximenes, Thales digolongkan ke dalam Mazhab Miletos. Thales tidak meninggalkan bukti-bukti tertulis mengenai pemikiran filsafatnya. Pemikiran Thales terutama didapatkan melalui tulisan Aristoteles tentang dirinya. Aristoteles mengatakan bahwa Thales adalah orang yang pertama kali memikirkan tentang asal mula terjadinya alam semesta. Karena itulah, Thales juga dianggap sebagai perintis p erintis filsafat alam (natural philosophy). (Thales, 2012)

 

Di dalam geometri, Thales dikenal karena menyumbangkan apa yang disebut teorema Thales, kendati belum tentu seluruhnya merupakan buah pikiran aslinya. Teorema Thales berisi sebagai berikut:

G am amb bar 1 Jika AC adalah sebuah diameter, maka sudut B adalah selalu sudut siku-siku

G am amba barr 2 Teorema Thales : 1.  Sebuah lingkaran terbagi dua sama besar oleh diameternya. 2.  Sudut bagian dasar dari sebuah segitiga samakaki adalah sama besar. 3.  Jika ada dua garis lurus bersilangan, maka besar kedua sudut yang saling berlawanan akan sama. 4.  Sudut yang terdapat di dalam setengah lingkaran adalah sudut siku-siku.

 

5.  Sebuah segitiga terbentuk bila bagian dasarnya serta sudut-sudut yang bersinggungan dengan bagian dasar tersebut telah ditentukan.

B .  Se  Sejara jarah h M atemati ka E uc uclid lid

Subjek yang dibahas oleh euclid mencakup bentuk-bentuk, teorema pythagoras,  persamaan dalam aljabar, lingkaran, tangen, geometri, teori proposisi, bilangan prima,  bilangan sempurna, integer positif, bilanagan irrasional, dan gambar tri-marta. Komplikasi hasil karya matematikawan sebelumnya lewat bukunya

the elements 

menunjukkan dalam “benang merah” bahwa pengembangan matematika tidak lepas dari  peran pemikir yunani. Kritik terhadap euclid justru memicu munculnya non-euclidian yang melengkapi bahasan bentuk parabola, hiperbola dan ellips sehingga mulai mendapatkan perhatian dari pada matematikawan. Arti penting buku

the elements  tidaklah

terletak pada pernyataan rumus-rumus

 pribadi yang dilontarkannya. Hampir semua teori yang terdapat dalam buku itu sudah  pernah ditulis orang sebelumnya, dan juga sudah dapat dibuktikan kebenarannya. Sumbangan euclid terletak pada cara pengaturan dari bahan-bahan dan permasalahan serta formulasinya secara menyeluruh dalam perencanaannya penyusunan buku. Disini tersangkut, yang paling utama, pemilihan dalil-dalil serta perhitungan-perhitungannya,

 

misalnya tentang kemungkinan menarik garis lurus diantara dua titik. Sesudah itu dengan cermat dan hati-hati dia mengatur dalil sehingga mudah dipahami oleh orang-orang sesudahnya. Bila perlu, ia menyediakan petunjuk cara pemecahan hal-hal yang belum terpecahkan dan mengembangkan percobaan-percobaan terhadap permasalahan yang terlewatkan. Definisi-definisi yang dikemukakan euclid dalam

the elements:

a.  Sebuah titik adalah sesuatu yang tidak punya bagian.  b.  Suatu garis sesuatu yang punya panjang dan tidak punya lebar c.  Ujung-ujung suatu garis adalah titik-titik. d.  Suatu garis lurus adalah garis-garis yang terletak merata dengan titik terletak  padanya. e.  Suatu sudut tumpul adalah suatu sudut yang lebih besar dari sudut siku-siku f.  Bangun-bangun yang berisi tiga, suatu segitiga siku-siku adalah suatu segitiga yang mempunyai suatu sudut siku-siku; Suatu segitiga yang mempunyai suatu sudut tumpul, dan segitiga lancip adalah segitiga yang ketiga sudutnya lancip. g.  Dari bangun-bangun bersisi empat, suatu persegi adalah sesuatu bangun yang sisi-sisinya sama panjang dan sudut-sudutnya siku-siku. Suatu persegi panjang adalah sudut siku-siku yang tidak mempunyai semua sisi yang sama panjang. Suatu belah ketupat adalah bangun bersisi empat yang keempat sisinya sama  panjang tetapi sudut-sudutnya tidak siku-siku. Sebuah layang-layang adalah  bangun bersisi empat dengan sudut dan sisi yang saling berhadapan adalah sama, tetapi panjang sisinya tidak sama dan sudutnya juga tiidak siku-siku. Bangun bersisi empat lain dari yang disebutkan ini disebut trapesium. h.  Garis lurus - gadis lurus yang sejajar adalah garis lurus yang terletak pada  bidang yang sama dan diperpanjang sampai tak hingga pada p ada kedua arah,tidak  berpotongan pada arah yang manapun.

 

C.   DUP DUPLI LI KASI , T TRI RI SEK SI, DAN Q QUADRATO UADRATOR R Tiga abad terakhir sebelum masehi ada tiga problem matematika yang sangat menarik yang tak terpecahkan, yakni duplikasi kubus, membagi sudut menjadi 3 sama  besar dan kuadratur lingkaran. 1.  Duplikasi Kubus Duplikasi kubus adalah melukiskan/mengkonstruksi rusuk suatu kubus sehingga volumenya dua kali volume kubus yang di ketahui. Problem duplikasi kubus ini muncul adanya perintah seorang raja di Yunani yakni Minos untuk memperluas makam anaknya sehingga luasnya menjadi dua kali luas makam yang ada kepada  bawahannya. Karena bawahannya tidak mengerti matematika, perintah di laksanakan dengan mendua lipatkan sisinya. Hal ini jelas salah karena hasilnya menjadi 4 kali luas semula. Problem ini di kenal dengan Delian Problem. Problem ini di diskusikan di Akademi Plato dengan pendekatan Geometri tingkat tinggi. Duplikasi kubus ini  pertama kali di reduksi oleh Hippocrates (± 440 SM) dengan konstruksi  perbandingan dua rata-rata antara dua segmen garis yang panjangnya s dan 2s. Dua perbandingan rata-rata misalnya x dan y, maka: s : x = x : y = y : 2s Dari perbandingan di atas di dapatkan x 2 = sy dan y2 = 2sx. Dengan mengeleminir y di dapatkan x3 = 2s 3 dari persamaan terakhir maka x merupakan rusuk kubus yang di cari dan s rusuk kubus yang di ketahui. Setelah reduksi di kemukakan oleh Hippocrates, banyak tokoh matematika lain yang mengemukakan penyelesaian duplikasi kubus ini, di antaranya oleh Archytas (± 400SM), Eudoxus pada tahun ± 370 SM, Menachmus (± 350 SM), Eratosthenas (± 230 SM), Apollonius (± 225 SM). 2.  Triseksi Sudut Salah satu dari problem matematika Yunani yang menarik adalah triseksi sudut, yaitu membagi sudut menjadi tiga bagian sama besar. Setiap tahun jurnal matematika memuat tentang cara penyelesaian triseksi ini, begitu pula para

 

matematikawan selalu berkomunikasi melalui koran tentang cara penyelesaian triseksi ini. Triseksi ini pertama kali di reduksi oleh bangsa Yunani yang di sebut dengan Verging problem, seperti gambar berikut. Sudut ABC pada persegi panjang ABCD yang di bangun oleh garis BC dan diagonal BA. Pandanglah garis yang melalui B memotong CA di E dan DA di F sedemikian sehingga EF = 2 BA. Titik G merupakan titik tengah EF, maka EG = GF = GA = BA sehingga < ABG = < AGB = < GAF + < GFA = 2 < GBC. Jadi garis BEF sebagai garis bagi tiga < ABC.

3.  Quadratur Lingkaran Quadratur Lingkaran adalah suatu problem untuk melukiskan suatu bujur sangkar yang luasnya sama dengan lingkaran yang di ketahui. Di sekitar tahun 1800 SM bangsa Mesir kuno sudah memecahkan problem ini, yakni dengan mengambil sisi bujur sangkar yang sama dengan 8/9 diameterr lingkaran. Formula ini di gunakan oleh ribuan para pekerja waktu itu. Orang Yunani pertama memecahkan problem ini adalah Anaxagoras (499-427 SM), tetapi cara ini tidak di ketahui. Penyelesaian problema Quadratur Lingkaran ini di kemukakan oleh Archimedes (225 SM) yang di kenal dengan spiral Archimedes. Suatu titik P pada sinar/garis yang berputar mengelilingi titik pangkal pada  bidang datar. Dengan menggunakan system koordiant polar (kutub) dengan posisi garis horizontal OA dengan titik pangkal O sebagai kutub (pusat) di mana tiitk P  berhimpit dengan titik O yang akan menghasilkan sinar OP apabila garis OA

 

 berputar, sehingga di dapatkan perbandingan OP dengan sudut AOP yang mendapatkan perbandingan jari-jari spiral r = a dengan a sebagai jari-jari lingkaran seperti gambar berikut:

Gambarlah suatu lingkaran dengan titik pusat O dan jari-jari a, maka OP dan  busur lingkaran antara OA dan OP adalah ad alah sama yaitu AO. Jika OP tegak lurus OA, maka panjang OP sama dengan seperempat keliling lingkaran. Jika K luas lingkaran adalah perkalian setengah jari-jari dan keliling lingkaran, sehingga di dapat : K = ½ a (4OP) = (2a) (OP) Sisi bujur sangkar adalah perbandingan rata-rata antara 2a dan OP atau antara diameter lingkaran dan panjang jari-jari sector spiral yang tegak lurus OA.