Revisi 2 SPLTV

 

  MAKALAH Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

Disusun untuk Memenuhi Tugas Terstruktur Mata kuliah Kapita Selekta 2 Dosen: Arif Abdul Haqq, S.Si.,M.Pd. Pada Jurusan Tadris Matematika Tahun Akademik 2017/2018

Disusun Oleh : Kelompok : 13

1.  DWI HARTATI 2.  SRI FUJI ASTUTY 3.  SUSISKA ARUM

(1608105047 (1608105047)) (1608105052) (1608105052) (1608105078) (1608105078)

Kelas/Semesterr : B/IV Kelas/Semeste KEMENTRIAN AGAMA REPUBLIK INDONESIA INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI SYEKH NURJATI CIREBON 2018

 

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI................................................................... ISI........................................................................................................................................ ....................................................................... .. 1 BAB I I...................................................................................................................................................... ................................................................................................................   ...................................... 2 ................................................................................................................................. 2 PENDAHULUAN ................................................................................................................................. 1.1.   1.1.

LATAR BELAKANG  BELAKANG........................................................................................................... ...........................................................................................   ................ 2

1.2.   1.2.

METODOLOGI .................................................................................................................... METODOLOGI   3

1.3.  1.3. 

.......................................................................................   ................ 3 RUMUSAN MASALAH MASALAH .......................................................................................................

....................................................................................................................................... ................................................................................... ............. 4 BAB II ................................................................. PEMBAHASAN............................................................ PEMBAHASAN ............................................................................................................................... ........................................................................ ..... 4 2.1.   2.1.

LEARNING TRAJECTORY  TRAJECTORY............................................................................................... ....................................................................   ........................... 4

2.2.   2.2.

TEORI Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ......................................................... .............................................................. ..... 8

2.2.1.  2.2.1. 

Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel  Variabel.  .... 8

2.2.2.   2.2.2.

Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel ............................................. Variabel ............................................. 9

2.2.3.   2.2.3.

Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Variabel ...................................................  ................................................... 14

2.3.   2.3.

EKSPRESI PEMAHAMAN  PEMAHAMAN............................................................................................... ......................................................................   ......................... 16

2.4.  2.4. 

 ...................................................................................... 19 ANALISIS SITUASI DIDAKTIS DIDAKTIS ......................................................................................

BAB III  III................................................................................................................................................. ..................................................................................................   ............................................... 21 PENUTUP ............................................................................................ PENUTUP ............................................................................................................................................   ................................................ 21 3.1.  3.1. 

................................................................................................................... ........................................................... 21 KESIMPULAN........................................................ KESIMPULAN

...............................................................................................................   ........... 22 DAFTAR PUSTAKA  PUSTAKA..........................................................................................................................

1

 

BAB I PENDAHULUAN 1.1.LATAR BELAKANG Matematika banyak memegang peran penting dalam pemecahan masalah disetiap

 bidang kehidupan. Kemampuannya menerjemahkan berbagai fenomena kehidupan dalam  bahasa matematika sebagai ilmu dasar yang harus dikuasai oleh setiap orang. Banyak masalah dalam kehidupan kita sehari-hari yang sulit untuk diselesaikan misalnya masalah keuangan dalam sistem perbankan, masalah menentukan harga sebuah barang dan masalahmasalah lainnya. Oleh karena itu, dapat kita menggunakan sistem persamaan Linier Tiga Variabel untuk menyelesaikan persamalahan tersebut. Sistem Persamaan Tiga Variabel dapat diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode yaitu Subtitusi, Eliminasi, Campuran dan determinan. Keempat metode yang telah disebutkan merupakan cara menyelesaikan SPLTV dan dapat menyelesaikan permasalahan di kehidupan sehari-hari. Dengan demikian, kami akan membahas keempat metode tersebut dalam makalah ini, kemudian kami akan memaparkan bagaimana konsep, prinsip dan prosedur dalam menyelesaikan permasalahan SPLTV.Kemudian kami akan mengkaji bagaimana dan sejauh mana ekspresi pemahaman siswa terhadap masalah dalam SPLTV ini. Pada jenjang pendidikan menengah, terjadi peralihan yang signifikan dari konsep aritmetika menuju konsep aljabar. Masa peralihan dari aritmetika menuju aljabar ini menjadi salah satu penyebab munculnya kesuitan siswa dalam mempelajari aljabar (Herscovics & Linchevski, 1994: Sfard & Linchevski, 2003;Kieran, 2004; Malisani & Spagnolo,2009;Radford,2015). Selanjutnya kesulitan yang muncul tersebut dapat dikelompokkan berdasarkan kategori yang telah di buat oleh Brousseau. Terkait dengan adanya masa transisi siswa dari aritmetika menuju aljabar, Selain LO, hal penting lainnya yang perlu menjadi pertimbangan dalam proses  pembelajaran adalah alur lintasan belajar siswa (dikenal sebagai learning trajectory,  trajectory,  disingkat LT). Kesuksesan dalam mengembangkan kurikulum dan memimpin suatu  penelitian dalam pembelajaran matematika adalah dengan menjadikan LT sebagai dasar (Clements&Sarama,2004).Clements &sarama (2009) menyatakan bahwa LT membantu guru memahami tingkat pengetahuan siswa sebagai kunci untuk menyajikan apa yang siswa  butuhkan. Dengan menjadikan LT siswa sebagai bahan pertimbangan dalam menyampaikan materi, diharapkan siswa mampu memahami materi yang disampaikan secara utuh. Selain mengacu pada hasil penelitian lewat dokumen dan menganalisis identifikasi LO yang dialami siswa. Dalam tes kemampuan siswa tersebut diberikan salah satu soal dan dari hasil yang siswa kerjakan terdapat kesalahan dalam menentukan operasi hitung yang tidak tepat. Dari temuan ini, terlihat masih terdapat siswa yang belum memahami cara melakukan operasi hitung pada ekspresi aljabar dengan benar. Dan kita dapat analisis situasi didaktis.

2

 

1.2.METODOLOGI

Metode adalah cara kerja dalam mencapai sasaran yang diperlukan untuk memahami objek dalam penelitian.1 riset perpustakaan atau sering juga disebut studi pustaka, ialah serangkaian kegiatan yang berkenaan dengan metode pengumpulan data pustaka, membaca dan mencatat serta mengolah bahan penelitian. 2Penyusunan makalah ini menggunakan metode penelitian kepustakaan yaitu dengan menggunakan beberapa buku referensi, journal maupun artikel yang sesuai dengan rumusan masalah yang telah di tentukan. Dalam studi pustaka ini kami melakukan 3 tahapan secara berurutan. Langkah pertama yang kami lakukan adalah dengan mengumpulkan data-data dari  beberapa perpustakaan terdekat yang berupa buku teks dan perpustakaan online yang  beberapa e-book, journal, artikel, dan lain sebagainya. Pengumpulan Pengumpulan data dilakukan dilakukan untuk mengetahui definisi, sifat-sifat, bentuk persamaan dan pertidaksamaan serta grafik dan  penerapannya mengenai fungsi eksponen dan logaritma. Sumber utama yang kami gunakan adalah buku “ Matematika Untuk Kelas X SMA /MA Kurikulum 2013”. Langkah yang kedua adalah dengan melakukan beberapa pembuktian-pembuktian penyelesaian  beberapa permasalahan mengenai Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel yang yang ada dalam  bentuk latihan soal yang terdapat dalam buku tersebut.  tersebut.   Langkah ketiga adalah dengan mencatat data-data penting yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dan berkaitan dengan materi yang akan ditulis kembali dalam bentuk makalah “Sistem “ Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel” Variabel” ini.

1.3.RUMUSAN MASALAH 1.  Bagaimana learning trajectory dalam pembelajaran Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel? 2. Bagaimana Teori (konsep, prinsip, dan prosedur) Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel? 3. Bagaimana Ekspresi Pemahaman Sistem Persamaan Linear Linear Tiga Variabel? 4. Bagaimana analisis situasi didaktis dalam pembelajaran Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel?

1 2

  (“METODE PENELITIAN,” 2006)    (“METODE PENELITIAN,” 2006) 

3

 

BAB II PEMBAHASAN 2.1.LEARNING TRAJECTORY

Penggunaan istilah learning trajectory ( LT) LT) pertama kali diterapkan dalam proses 3  pembelajaran matematika oleh Simon.  Ia menggambarkan perhatiannya pada cara guru mengajar dan harapannya untuk memberikan informasi kepada siswa bagaimana berpikir tentang konsep matematika, serta menciptakan suatu pengalaman baru atau masalah yang dirancang untuk membantu proses pemahaman siswa. Menurut Simon : “Hypothetical learning   trajectories are defined by reseacherdevelopers as goals for meaningful learning, a set of  tasks to accomplish those goals, and a hypothesis about students’ thinking and learning “  “   Jadi menurut Simon, alur belajar yang bersifat hipotetik atau alur belajar hipotetik terdiri atas tiga komponen utama yaitu: tujuan belajar untuk pembelajaran bermakna, sekumpulan tugas untuk mencapai tujuantujuan tersebut, dan hipotesis tentang bagaimana peserta didik belajar dan bagaimana  peserta didik berpikir.4  Berikut ini adalah sebuah siklus pembelajaran yang memuat alur belajar yang dikonstruk oleh guru untuk perencanaan pembelajaran yang mengacu pada: (a) tujuan  belajar, (b) pengaturan pembelajaran dan aktivitas, aktivita s, dan (c) proses belajar yang mungkin untuk melibatkan peserta didik secara aktif. 2.1.1.  Lintasan Belajar

Himpunan Penyelesaian

Cara Penyelesaian

Bentuk Umum

Definisi

Kegiatan pembelajaran atau Alur pembelajaran yang akan dilakukan siswa/i didalam kelas adalah sesuai dengan grafik alur pembelajaran yang tertera diatas, urutannya adalah yang pertama siswa mampu memahami mem ahami dan menjelaskan konsep dari Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, yang kedua siswa mampu megetahui metode 3 (Fuadiah, n.d.) 4

 (Nurdin, 2011)

4

 

metode penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, yang ketiga siswa mampu menerapkan metode tersebut kedalam soal latihan yang berkaitan, yang keempat siswa mengetahui aplikasi atau penerapan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dalam kehidupan sehari-hari. Yang terakhir setelah siswa mengetahui semua tahapan tersebut siswa diharapkan mampu mengaplikasikannya kedalam kehidupan sehari-hari. 2.1.2.  Tujuan Belajar a.  Siswa mampu memahami definisi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel  b.  Siswa dapat menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variable dengan tepat melalui diskusi kelompok dan penemuan (discovery)  c.  Siswa dapat membuat model matematika sistem persamaan linear tiga variable dari masalah kontekstual dengan tepat melalui diskusi kelompok dan penemuan (discovery)  d.  Siswa dapat terampil mengidentifikasi sistem persamaan linear tiga variable dengan tepat melalui dikusi kelompok dan penemuan (discovery) 

Mampu memahami definisi SPLTV

Dapat menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variable

dapat membuat model matematika sistem persamaan linear tiga variable

dapat terampil mengidentifikasi sistem persamaan linear tiga variable

Metode Pembelajaran

Pendekatan Pembelajaran

: Scientific

Model Pembelajaran

: Discovery Learning

Metode Pembelajaran

: Diskusi dan studi pustaka

1.1.3.  Kegiatan Belajar

Penyimpulan dan Refleksi

Studi Pustaka

Diskusi

Memberikan Contoh Latihan

5

 

Berikut ini merupakan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan oleh siswa/i mengenai Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel: 1)  Siswa dibagi menjadi beberapa kelompok dengan anggota 4 siswa secara heterogen.Kemudian siswa Melakukan studi pustaka ke perpustakaan atau pada  buku bahan ajar yang dipegang oleh masing-masing siswa 2)  Siswa diminta berfikir kritis/saling kritis/sali ng berargumentasi dengan mendiskusikanny mendiskusikannyaa antar kelompok mengenai konsep SPLTV dalam kehidupan sehari-hari yang telah masingmasing kelompok pahami 3)  Siswa diarahkan untuk mengkomukasikan dengan mengajukan pertanyaan pertanyaan 4)  Siswa diajak berkolaborasi mengenai hasil diskusi untuk menemukan hubunganhubungan setiap informasi yang diperoleh dari setiap pernyataan yang telah masingmasing kelompok utarakan serta pertanyaan yang diajukan oleh masing-masing siswa yang berargumen. 5)  Siswa diarahkan berfikir kritis untuk menemukan konsep dan penyelesaian sistem  persamaan linear tiga variable berdasarkan data yang telah dikumpulkan. 6)  Salah satu kelompok diminta mengkomunikasikan hasil diskusinya dengan mempresentasikan ke depan kelas. 7)  Siswa diajak berfikir kreatif kre atif merumuskan konsep penyelesaian SPLTV dengan menggunakan bahasa pemahamannya sendiri. 8)  Siswa bersama guru merefleksi dan menyimpulkan tentang proses pembelajaran menemukan konsep pembelajaran menemukan konsep dan menentukan  penyelesaian sistem SPLTV 9)  Siswa diberi soal evaluasi

1.1.4.  Peta Konsep Eliminasi

Subtitusi Persamaan

Persamaan Linear

Menentukan Himpunan Penyelesaian

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Gabungan

Determinan

Keterangan : Tujuan Penyelesaian

6

Permasalahan umum

Pokok Bahasan

Pembahasan Khusus

Metode Penyelesaian

 

1.1.5.  Proses Belajar Guru membagi siswa kedalam kelompok yang masing-masing beranggotakan 4 orang. Kemudian siswa melakukan studi pustaka ke perpustakaan atau pada bahan ajar yang mereka pegang. Mendiskusikannya dan Memaparkannya didepan kelas. Setelah  penyampaian materi sesuai dengan peta konsep pembahasan, selanjutnya siswa/i diberi latihan sebagai usaha pemantapan dan berpikir untuk mengembangkan hipotesis. 1.1.6.  Kompetensi Inti dan Kompetensi Kompetensi Dasar Dasar Materi Sistem Pe Persamaan rsamaan Linear Tiga Variabel 1.  Kompetens Kompetensii Inti Sikap

1.  Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya.   2.  Menghayat Menghayatii dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerja sama, toleran, damai), santun, responsif dan proaktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. 

Pengetahuan

3.  Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

Keterampilan 

1.  Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan.

2.  Kompetensi Dasar Indikator pencapaian Kompetensi 1)  Menyusun sistem persamaan linear tiga variable dari masalah kontekstual 2)  Menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variable dari masalah kontekstual 3)  Membuat model matematika sistem persamaan linear tiga vaeriabel dari masalah kontekstual 4)  Menyelesaikan masalah kontekstual yang berkaitan dengan sistem persamaan linear tiga variable 5)  Terampil mengidentifikasi sistem persamaan linear tiga variable 6)  Terampil membuat model matematika sistem persamaan linear tiga variable dari masalah kontekstual

7

 

2.2 TEORI Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel 2.2.1  Definisi

Tujuan : Siswa dapat memahami Pengertian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel Kegiatan Belajar

: Menghapal

Proses Belajar

: Mencari Bahan ajar melalui sudi pustaka

 Persamaan Linear Tiga Variabel (PLTV) adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan memiliki tiga variable dengan masing-masing  berpangkat satu.  Himpunan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel adalah himpunan semua tripel terurut (x, y z) yang memenuhi setiap persamaan linear pada sistem  persamaan tersebut

2.2.2  Menyusun dan Menemukan Konsep Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Tujuan

: Siswa Dapat menemukan konsep sistem persamaan linear tiga variable

Kegiatan Belajar : Studi Pustaka di Lanjutkan Pembagian Kelompok Diskusi Proses Belajar : Diskusi antar Kelompok Inti Perbedaan sistem persamaan linear dua variabel dengan sistem persamaan linear tiga variabel terletak pada banyak variabel yang akan ditentukan nilainya 5  Bentuk Umum persamaan linear tiga variabel adalah sebagai berikut 6 :                         adalah  bilangan real.               

 + +  =  + +  =   ,  ,  ,  , , + ,   ,+ ,  =,  ,  ,       ,  ,          ,  ,           ,  ,         .

Selanjutnya perhatikan beberapa sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV  ( SPLTV ) berikut:  2 x +  x + 3 y +  y + 5z = 0 dan 4 x +  x + 6 y  y +  + 10 z  =   = 0. Sistem persamaan linear ini 1.  Diberikan SPLTV  2 memiliki lebih dari satu penyelesaian; misalnya, (3,  –  – 2,0), 2,0), (  –  – 3, 3, 2,0) dan termasuk (0,0,0). Selain itu, kedua persamaan memiliki suku konstan nol dan grafik kedua

5 6

(  Kemendikbud, n.d.)  (Siswanto, 2013)

8

 

 persamaan adalah berimpit. Apabila penyelesaian suatu SPLTV tidak semuanya nol, maka SPLTV   itu itu disebut memiliki penyelesaian yang tak trivial.  3 x +  x + 5 y +  y + z   z  =  = 0; 2 x +  x + 7 y +  y + z   z  =  = 0, dan x dan x  –   –   2 2 y  y +  + z   z  =  = 0. Sistem persamaan 2.  Diberikan SPLTV  3 linear ini memiliki suku konstan nol dan mempunyai penyelesaian tunggal, yaitu untuk  x =  x = y  y =  = z   z  =  = 0. Apabila suatu SPLTV  memiliki  memiliki himpunan penyelesaian ( x  x,,  y  y,,  z ) = (0, 0, 0), maka SPLTV  itu  itu disebut memiliki penyelesaian trivial ( x =  x = y  y =  = z   z  =  = 0).

 ,  ,   

Jika     masing-masing bernilai nol, dinamakan sistem persamaan linear homogen, sedangkan homogen,  sedangkan jika tidak semuanya bernilai nol, sistem persamaan linear diatas disebut sistem persamaan linear nonhomogen.7  Sebuah SPLTV dengan semua konstanta sama dengan nol disebut SPLTV homogen. Bila salah satu konstantanya tidak nol, maka SPLTV tersebut tidak homogen.  homogen.  SPLTV yang homogen memiliki dua kemungkinan, yaitu memiliki  penyelesaian yang  yang  trivial   atau memiliki banyak penyelesaian nontrivial   selain satu  penyelesaian trivial .8 

2.2.3  Penyelesaia Penyelesaian n Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel

Cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dapat dilakukan seperti cara menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel, Umumnya penyelesaian sistem  persamaan linear tiga variabel diselesaikan dengan m metode etode eliminasi dan subtitusi serta metode gabungan yaitu metode eliminasi dan metode subtitusi. Berikut ini merupakan  beberapa metode penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel : 1)  Menyelesa Menyelesaikan ikan Sistem Persamaan Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Metode Subtitusi Tujuan : Dapat memahami dan Dapat membuat model matematika sistem  persamaan linear tiga variable menggunakan Metode Subtitusi Kegiatan : Pemaparan Hasil diskusi oleh kelompok yang memperoleh bagian ini. Proses Pembelajaran :Tanya-Jawab dan Latihan mengerjakan contoh.

Langkah-langkah yang digunakan digunakan dalam menyelesaikan sistem persama persamaan an linear tiga variabel adalah sebagai berikut 9 : 2.2.3.1.1.1.1.1 Ambil salah satu persamaan (misalnya, persamaan 1) dan nyatakan salah satu variabel (misalnya variabel x) kedalam variabel lain sehingga diperoleh suatu  persamaan. 2.2.3.1.1.1.1.2 Subtitusikan persamaan yang diperoleh dari langkah 1 ke persamaan yang lain (misalnya persamaan 2 dan 3) sehingga diperoleh sistem persamaan linear li near dua variabel. 2.2.3.1.1.1.1.3 Selesaikan sistem persamaan linear dua variabel tersebut dengan metode subtitusi sehingga diperoleh nilai dua variabel lainnya, yaitu variabel y dan z. z. 7 8 (Siswanto,

2013) (  Kemendikbud, n.d.) 9  (Siswanto, 2013)

9

 

2.2.3.1.1.1.1.4 Subtitusikan nilai-nilai variabel yang diperoleh dari langkah 3 ke  persamaan yang diperoleh dari langkah 1 sehingga diperoleh nilai variabel yang  belum diketahui. 2)  Penyelesaian persamaan persamaan linier tiga variabel dengan metode eliminasi Tujuan : Dapat memahami dan Dapat membuat model matematika sistem  persamaan linear tiga variable menggunakan Metode Eliminasi Kegiatan : Pemaparan Hasil diskusi oleh kelompok yang memperoleh bagian bagian ini.

Proses Pembelajaran

:Tanya-Jawab dan Latihan mengerjakan contoh.  contoh. 

Ada beberapa langkah dalam metode ini : Langkah 1: Pilihlah salah satu dari persamaan yang sederhana, kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.  y.  Langkah 2:  2: 

Subtitusikan x atau y atau z yang diperoleh langkah 1 ke dalam persamaan lainya sehingga didapat didapa t SPLDV.  Langkah 3:  3:  Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2. 3)  Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Metode Gabungan

Tujuan : Dapat memahami dan Dapat membuat model matematika sistem  persamaan linear tiga variable menggunakan Metode Gabungan Gabungan Kegiatan : Pemaparan Hasil diskusi oleh kelompok yang memperoleh bagian ini. Proses Pembelajaran :Tanya-Jawab dan Latihan mengerjakan contoh. Umumnya penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel diselesaikan dengan metode eliminasilinear dantigasubtitusi. Berikutmetode ini akan disajikan contoh menyelesaikan persamaan variabel dengan campuran eliminasi dan 10 substitusi.   Contoh :

Jumlah tiga bilangan sama dengan 45. Bilangan pertama ditambah 4 sama dengan  bilangan kedua, dan bilangan ketiga dikurangi 17 sama dengan bilangan pertama. Tentukan masing-masing bilangan tersebut! Penyelesaian :

Misalkan

10

 (Barnok Sinaga, Pardouman N J M Sinambola, Andri Kristianto, 2017)

10

 

x = bilangan pertama y = bilangan kedua z = bilangan ketiga Berdasarkan Berdasarka n informasi pada soal diperoleh persamaa persamaan n sebagai berikut. x+y+z

= 45

(1)

x+4

=y

(2)

z –  17

=x

(3)

Ditanyakan: Bilangan x, y, dan z. Kamu dapat melakukan proses eliminasi pada persamaan (1) dan (2), sehingga diperoleh : x + y + z = 45 x –  y  y

= – 4

2x + z

= 41

+ 

Diperoleh Diperol eh persamaan baru, 2x + z = 41

(4)

Lakukan proses eliminasi pada persamaan (3) dan (4), sehingga diperoleh : x –  z  z

= – 17 17

2x + z

= 41 +

3x

= 24

Diperoleh 3x = 24 atau x =

  atau x = 8. 

Lakukan proses substitusi nilai x = 8 ke persamaan (2) diperoleh : x+4

=y

(8) + 4= y 12

=y

Substitusikan x = 8 ke persamaan persamaan (3) diperoleh : z –  17 = x z –  17 = 8 z

= 8 + 17

z

= 25

Dengan demikian, demikian, bilangan x = 8, bilangan y = 12, dan bilangan z = 25.

4)  Menyelesa Menyelesaikan ikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel dengan Metode Determinan

11

 

Tujuan : Dapat memahami dan Dapat membuat model matematika sistem  persamaan linear tiga variable menggunakan Metode Determinan Kegiatan : Pemaparan Hasil diskusi oleh kelompok yang memperoleh bagian bagian ini. Proses Pembelajaran :Tanya-Jawab dan Latihan mengerjakan contoh. Penyelesaian SPLTV dapat juga di selesaikan dengan metode determinan.

    | |      = |      |       Petunjuk :

 Jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis penuh dan hasilnya



dikurangi dengan jumlahkan hasil perkalian bilangan-bilangan pada garis putus-putus.   Lakukan pada pembilang dan penyebut. Dengan menggunakan cara menentukan nilai z, ditentukan nilai x dan y dengan cara  berikut.

  |       = |     

   |       |    

   |   = |     

   |       |    

Contoh : Perhatikan ciri penyelesaian untuk x, y dan z diatas. Coba temukan pola  penentuan nilai x, y dan z, sehingga sehingga akan memudahkan menentukan peny penyelesaian elesaian SPLTV. x + y + z = 40 x = 2y 75x +120y +150z = 4020

Jawab :

12

A1 = 1

a2 = 1

a3 = 75

B1 = 1

b2 = -2

b3 = 120

C1 = 1

c2 = 0

c3 = 150

D1 = 40

d2 = 0

d3 = 4020

 

Oleh karena itu, nilai x, y dan z ditentukan sebagai berikut.

   −  =      −    

 −       − 

 

= ((150+0+150 150+0+150) 8040+0+0) 8040+0+0))((12000+0+0 12000+0+0) 300+0+120) 300+0+120)) = 8040+12000 300120 = 3960 180 = 22         

 =        −   −     

0+0+6000))  (0+0+4020 0+0+4020)) = 60004020 = 1980 = 11  = (0+0+6000 180 180 180    −   −

=

      

  

  −     −   6000+0+4020))  (8040+4800 8040+4800)) = 1980+3240 = 1260 = 7 = (6000+0+4020

180

180

180

 

Berdasarkan hasil perhitungan diatas diperoleh himpunan penyelesaian SPLTV adalah (22, 17 dan 7). Penyelesaian SPLTV dapat juga di selesaikan dengan metode matriks dengan membuat persamaan menjadi matrik ordo 3x3 atau menjadi auqmented matriks (matrik yg di perbesar) . kemudian mengubah nya menjadi matriks identitas , coba  perhatikan persamaan berikut ini : a1x + b1y + c1z = d1 a2x + b2y + c2z = d2

12 12 12    = 1 2  3 3 3  3

a3x + b3y + c3z = d3

(auqmented matriks)

lalu di ubah menjadi matriks identitas

1 0 0 1 0 1 0  2  0 0 1 3

lalu operasikan menggunakan prinsip OBE = operasi barisan element , yaitu dengan membuat formula operasi agar koefisien- koefisien dari variable yang ada di auqmented matrik di ubah menjadi 0 dan 1 . Contoh : x + y + 2z = 9 13

 

2x + 4y –  4y –  3z  3z = 1

1 1 2 9 2 4 3   = 1  3 6 5  0

3x + 6y –  6y –  5z = 0 menjadi

setelah dari bentuk persamaan

1 1 2 9 matriks , maka ambil matriks koefisien dan hasil ,     setelah itu lakukan 32 64 53 10 OBE untuk mengubah matriks menjadi matriks identitas . 1 1 2 1 1 2 9 1 1 2 9 2 4 3  1  (-2.b1 + b2),(-3.b1 + b3) 0 2 1   17  (b2/2) 0 1 7/2  0 3 11 27 0 3 11 9 3 6 5 0 17/2  27 1 1 2 9 1 1 2 9 (-3.b2 + b3) 0 1 7/2  17/2  (-2.b3) 0 1 7/2   17/2  0 0 1/2 3/2 0 0 1 3 (7/2.b3 + b2)

010 10 021    239  (-2.b3 + b1) 010 10 01    233 

(eselon baris tereduksi atau eliminasi gauss Jordan )

(-b2 –  b1) (-b2 –   b1)

010 100 01    231 

Jadi nilai x = 1 , y = 2 dan z = 3 . Untuk pembuktian maka subtitusikan nilai x, y dan z ke dalam persamaan 1, 2 dan 3 diatas.   2.2.4  Aplikasi Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel •  Tujuan : Dapat terampil mengidentifikasi sistem persamaan linear tiga variable dalam kehidupan sehari-hari Kegiatan : Pemaparan Pemaparan Hasil diskusi oleh kelompok yang memperoleh bagian bagian ini. Proses Pembelajaran :Refleksi dan Penyimpulan hasil diskusi oleh siswa dan guru.

Banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diterjemahkan dalam model matematika. Langkah yang perlu dilakukan pertama kali untuk menerjemahkan masalah dalam model matematika adalah mengidentifikasi  bahwa masalah yang diselesaikan itu merupakan sebuah system persamaan. 11  Setelah itu, lakukan langkah berikut :   1.   Nyatak  Nyatakan an besaran besara n yang ada dalam masalah masa lah sebagai sebag ai variable variab le system  persamaan.  persa maan.  2.  Rumuskan system persamaan yang merupakan model matematika dari suatu masalah.  3.  Tentukan penyelesaian penyelesaia n model matematikanya.  4.  Tafsirkan hal yang diperoleh sesuai dengan permasalahannya.  11

 (Inti, Dasar, & Kompetensi, n.d.)

14

 

Contoh :  :  Sebuah kios menjual bermacam-macam buah di antaranya jeruk, salak, dan apel. Seseorang yang membeli 1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel harus membayar Rp33.000,00. Orang yang membeli 2 kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel harus membayar Rp23.500,00. Orang yang membeli 1 kg jeruk, 2 kg salak, dan 3 kg apel harus membayar Rp36.500,00. Berapa harga per kilogram salak, jeruk, dan apel?   apel? Jawab : a.  Misalkan harga per kilogram jeruk x jeruk  x,, harga per kilogram salak  y,  y, dan harga per

kilogram apel  z .  b.  Model matematika : 

  1 kg jeruk, 3 kg salak, dan 2 kg apel Rp33.000,00

 x   x  + 3 y  + 2 z   = 33.000 ...1 

  2kg jeruk, 1 kg salak, dan 1 kg apel Rp23.500,00

2  x +  y + z   = 23.500 …2  





  

kg jeruk, 2 kg kg salak, dan 3kg apel Rp36.500,00    1 kg

 x   x  + 2 y   y  + 3 z   = 36.500 …3 

c.  Penyelesaian Sistem persamaan di atas adalah :  

  Mengeliminas Mengeliminasii variabel  x pada  x pada persamaan (1) dan (2)



 = 33.000 × 2   x  x  + 3 y + 2 z  =

2 x   x + 6 y   y + 4 z  = 66.000

2 x + y + z   = 23.500  × 1 

2 x   x +  y   y  +  z  

= 23.500 −  5 x   x + 3y = 42.500 …… 4

  Mengeliminas Mengeliminasii variabel  x pada  x pada persamaan (1) dan (3)



 = 33.000   x  x  + 3 y + 2 z  =  x + 2 y + 3 z  = 36.500 −  y − z = − 3.500

y = z − 3.500

…. 5

  Substitusi persamaan (5) ke persamaan (4),



sehingga : 5  5  z   3.500  + 3 z  =  = 42.500  z  − 3.500 5 z  +  + 3 z  =  = 42.500 + 17.500   8 z  =  = 60.000   z  = 7.500 

   Nilai z   = 7.500 disubstitusikan disubstitusikan ke persamaan (5) sehingga sehingga diperoleh : 



 y  y   = z  − 3.500   y

= 7.500 − 3.500  

 y = 4.000   y = 4,000 dan z  = 7.500 disubstitusikan ke persamaan (1)   Kemudian, nilai y 



15

 

sehingga   = 33.000   x  x  + 3y + 2 z  =  x  x  + 3 (4.000) + 2 (7.500) = 33.000   x  x  + 12.000 + 15.000 = 33.000    x  x   + 27.000 = 33.000   x  x  = 33.000 −  27.000   x = 6.000  Jadi, harga 1 kg jeruk Rp6.000,00, 1kg salak Rp4.000,00, dan 1kg apel Rp7.500,00

2.3  EKSPRESI PEMAHAMAN 2.3.1.  Contoh Soal

1.  Manakah yang merupakan Persamaan-Persamaan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel? a. 2 x - 2 y - 2 z = 9   - 6 y - 3 z = -28  b. y c.3 x2 + 2 y + z = 9 Jawaban : (A) Alasan : Karena menurut definisi persamaan persamaan linier tiga variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh (=) , dan memiliki tiga ti ga variabel yang masing masing –   masing berpangkat satu.  –  masing Contoh soal ini termasuk ke tingkatan C1 (memilih) yaitu hanya mengingatka mengingatkan n dengan diberikan soal untuk memilih mana yang termasuk kedalam system persamaan linier tiga variabel,dan siswa juga diminta untuk memberikan alasannya, dengan tujuan agar siswa menginat definisi dari system persamaan linier tiga variabel.

2.  Tentukan penyelesaian dari SPLTV berikut dengan Eliminasi x + y + 2z = 9 ………………. (1)  (1)  2x + 4y –  4y –  3z  3z = 1 ……………. (2)  (2)  3x + 6y –  6y –  5z = 0 ……………. (3)  (3)   Penyelesaian Penyelesaia n: -  Eliminasi z dari persamaan (1) dan (2) sehingga diperoleh: x + y + 2z = 9 2x + 4y –  4y –  3z = 1

- 

- 

- 



| x 3  3x + 3y + 6z = 27 | x 2  4x + 8y –  8y –  6z = 2 + 7x + 11y = 29 ……………..(4)  ……………..(4)  Eliminasi z dari persamaan (2) dan (3) sehingga diperoleh persamaan: 2x + 4y - 3z = 1 | x 5  10x + 20y - 15z = 5 3x + 6y –  6y –  5z = 0 | x 3  9x + 18y –  18y –  15z = 0 _ x + 2y = 5 ………….. (5)  (5)  Dari persamaan (4) dan (5) diperoleh SPLDV, yaitu: 7x + 11y = 29 …………… (4)  (4)  x + 2y = 5 …………….. (5)  (5)  Eliminasi x pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai y  7x + 11y = 29 7x + 11y = 29 | x1  7x + 14y = 35 _ x + 2y = 5 | x7 -3y = -6 y =2

16

 

- 

Eliminasi y pada persamaan (4) dan (5) diperoleh nilai x  14x + 22y = 58 7x + 11y = 29 | x2 x + 2y = 5 | x11  11x + 22y = 55 _ 3x =3 x =1 -  Substitusikan nilai x = 1 dan y = 2 ke persamaan yang paling sederhana (misal  persamaan  persama an (1)) sehingga sehingga diperoleh nilai z x + y + 2x = 9 + 1 + 2z = 9 2z = 6 z=3

 1

  Penyelesaian SPLTV tersebut adalah x = 1, y = 2, z = 3 atau (1, 2, 3) Sedangkan himpunan penyelesaiannya {(1,2,3)} 

Contoh soal ini termasuk ke tingkatan C2 (Memahami) (Memahami) yaitu Dapat Menunjukkan Menunjukkan Model Permasalahan dengan cara penyelesaian menggunakan metode Eliminasi.

3.  Ibu Sonia membeli 5 kg telur, 2 kg daging, dan 1 kg udang dengan harga Rp 265.000. Ibu Endang membeli membeli 3 kg telur dan 1 kg daging dengan harga Rp 126.000. Ibu Sinta membeli membeli 3 kg daging dan 2 kg udang dengan harga Rp 320.000. Jika Ibu Ani membeli 2 kg telur, 1 kg daging, dan 1 kg udang ditempat yang sama. Hitunglah berapa uang yang harus dibayar Ibu Ani! Penyelesaian : Misalkan : harga 1 kg telur = x   x  harga 1 kg daging = y = y   harga 1 kg udang = z   Dari pernyataan soal kita buat persamaannya 5x + 2y + z = 265.000 ... (i) 3x + y = 126.000 ... (ii) 3y + 2z = 320.000 ... (iii) Eliminasikan y dari persamaan (i) dan (ii) 5x + 2y + z = 265.000 |×1| 5x + 2y + z = 265.000 3x + y = 126.000 |×2| 6x+2y = 252.000   -x + z = 13.000 ...(iv) Eliminasikan y dari persamaan (i) dan (iii) 5x + 2y + z = 265.000 |×3| 15x + 6y + 3z = 795.000 3y + 2z = 320.000 |×2| 6y+4z = 640.000   15x - z = 155.000 ...(v) Eliminasikan z dari persamaan iv dan v -x + z = 13.000 15x - z = 155.000 + 14x = 168.000 x = 168.000 / 14 x = 12.000 Subtitusikan x = 12.000 ke dalam persam persamaan aan iv -x + z = 13.000 -12.000 + z = 13.000





17

 

z = 13.000 + 12.000 z = 25.000 Subtitusikan x = 12.000 ke dalam persam persamaan aan ii 3x + y = 126.000 3 (12.000) + y = 126.000 36.000 + y = 126.000 y = 126.000 - 36.000 y = 90.000 Diperoleh x = 12.000 y = 90.000 z = 25.000 Harga 2 kg, 1 kg daging, dan 1 kg udang = 2x + y + z = 2 (12.000) + 90.000 + 25.000 = 24.000 + 90.000 + 25.000 = 139.000 Jadi Ibu Ani harus membayar sebesar Rp 139.000 Contoh Soal ini termasuk t ermasuk tipe soal C4 yaitu menganalisis, Siswa mengidentifikasi mengidentifikasi Masalah yang terjadi dan menyelesaikannya menggunakan model matematika. 2.3.2.  Latihan Soal 1)  Dapatkah kamu menemukan Kasus Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel didalam kehidupan sehari-hari? Berikan Contohnya ! (Selain ( Selain yang terdapat pada Contoh)  Pertanyaan ini termasuk kedalam tingkatan C2 ( Memaham Memahamii ) , yaitu siswa diminta untuk Memberi Contoh / mengkaitkan mengkaitkan Konsep SPLTV kedalam kehidupan sehari-hari . 2)  Dengan metode gabungan antara metode eliminasi dan subtitusi, selesaikan sistem  persamaan  persama an linear berikut :  a.  4x + 7x = -13    b.  x + z = 7 5x - 3y + 4z = -23 x  –  y = -1 -x + 2y –  2y –  8z  8z = 29 y + 3z = 18

Pertanyaan termasukGabungan kedalam tingkatan C3 ( Menerapkan ) , yaitu siswa diminta untuk MenerapkaniniMetode untuk menyelesaikan Permasalahan sehingga dapat menunjukkan Nilai x, y dan z. 3)  Diketahui kerangka sebuah balok terbuat dari kawat yang panjangnya 48cm. Kerangka tersebut dibuat dengan ketentuan sebagai berikut, panjang balok ditambah tiga kali lebarnya dan dikurangi dua kali tingginya sama dengan 14cm. Adapun lebar balok ditambah dengan tingginya sama dengan panjang balok itu i tu sendiri. Tentukan panjang, lebar, dan tinggi balok tersebut! t ersebut!  Pertanyaan ini termasuk kedalam tingkatan C4 ( Menganalisis Menganalisis ) , yaitu siswa diminta untuk mengidentifikasi Masalah dengan menggunakan penalaran logis sehingga dapat diselesaikan menggunakan SLTV. . 4)  Tentukan nilai x, y, dan z jika diketahui x, y, dan z memenuhi sistem persamaan berikut : 

18

 

a. 

 +  +  =     

 +  +  =            =        contoh soal ini termasuk kedalam tingkatan C6 ( menciptakan ), yaitu siswa diminta untuk menemukan nilai , dan mereka tidak diberikan perintah untuk menggunakan metode yang mana untuk menjawab soal ini.

5)  Dani bekerja selama 6 hari dengan 4 hari diantaranya adalah lembur. Budi bekerja selama 5 hari dengan 2 hari diantaranya adalah lembur. Irwan bekerja dengan  peraturan upah sama dengan Dani dan Budi. Upah yang diterima diter ima Dani dan Budi masing-masing Rp74.000,00 dan RP55.000,00 . Jika Irwan bekerja lembur 5 hari  berturut-turut, berapakah upah yang diterima diterima oleh Irwan?   Pertanyaan ini termasuk kedalam tingkatan C4 ( Menganalisis Menganalisis ) , yaitu siswa diminta untuk mengidentifikasi Masalah dengan menggunakan penalaran logis sehingga dapat diselesaikan menggunakan SLTV. 

2.4  ANALISIS SITUASI DIDAKTIS A.  Desain Didaktis  Indikator Penalaran Matematis

19

Aspek Penalaran Matematis

Memperkirakan jawaban dan proses solusi.

Siswa dapat memahami dan menduga dalam menyelesaikan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

Menganalisis pernyataanpernyataan dan memberikan penjelasan/alasan yang dapat mendukung atau bertolak belakang.

Siswa dapat memeriksa jawaban atau pendapat atas pernyataan yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Siswa dapat memeriksa pernyataan perny ataan berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

Mempertimbangkan validitas dari argumen yang menggunakan berpikir deduktif atau induktif.

Siswa dapat merancang pola suatu masalah tertentu berdasarkan kondisi yang berkaitan dengan Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, kemudian dapat menunjukkan bukti kebenaran dari jawaban yang diberikan.Siswa diberikan.Siswa dapat

 

menunjukkan bukti kebenaran/ketidakbenaran kebenaran/ketidakbenaran tentang metode penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel. Menggunakan data yang mendukung untuk menjelaskan mengapa cara yang digunakan

Siswa dapat menyajikan alasan dari pernyataan tentang Metode penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel.

serta jawaban adalah benar; dan memberikan penjelasan dengan menggunakan model, fakta, sifatsifat, dan hubungan. B.  Kriteria Penilaian Penalaran Matematis Skor

Kriteria

4

Jawaban secara substansi benar dan lengkap.

3

Jawaban memuat satu kesalahan atau kelalaian yang signifikan.

2

sebagian jawaban benar dengan satu atau lebih kesalahan atau kelalaian yang signifikan.

1

Sebagian besar jawaban tidak lengkap tetapi paling tidak memuat satu argumen yang benar.

0

Jawaban tidak benar berdasarkan proses atau argumen, atau tidak ada respon sama sekali.

PREDISKI RESPON Prediksi Respon

Kemampuan Siswa Tinggi

Siswa dapat memahami materi Persamaan Linear Tiga Variabel dan dapat meyelesaikan soal secara substansi benar dan lengkap. Kemampuan Siswa Sedang

Siswa dapat memahami materi Persamaan Linear Tiga Variabel dan dapat mengerjakan soal sebagian jawaban benar dengan salah satu lebih kesalahan atau kelalaian yang signifikan. Kemampuan Siswa Rendah 

Siswa tidak dapat memahami materi Persamaan Linear Tiga Variabel sehingga menyelesaikan soal dengan jawaban yang tidak benar berdasarkan proses atau argumen.

20

 

C.  Analisis Situasi Didaktis Learning Obstacle

Siswa kesulitan memahami konsep SPLTV.

Siswa memakan banyak waktu dalam memahami konsep SPLTV. Siswa kesulitan dalam mengerjakan soal ketika mencari nilai variabel.

Antisipasi Didaktis

Antisipasi pedagonis

Siswa diarahkan untuk melakukan pengandaian dalam memahami konsep

Guru memberikan teknik penjelasan pengandaian tentang konsep SPLTV.

SPLTV. Siswa diarahkan untuk memahami konsep SPLTV dengan waktu tambahan.

Guru memberikan waktu mengajar tambahan kepada siswa.

Siswa diarahkan untuk mengerjakan soal dengan berbagi metode pengerjaan SPLTV.

Guru memberikan penjelasan berbagai metode dalam mengerjakan soal mencari nilai variabel.

BAB III PENUTUP 3.1. KESIMPULAN Matematika banyak memegang peran penting dalam pemecahan masalah disetiap  bidang kehidupan. Kemampuannya Kemampuannya menerjemahkan berbagai fenomena kehidupan dalam  bahasa matematika sebagai ilmu dasar yang harus dikuasai oleh setiap orang. Bahasa lainnya adalah Model Matematika . Oleh karena itu, dapat kita menggunakan sistem  persamaan Linier Tiga Variabel untuk menyelesaikan persamalahan tersebut diselesaikan dengan menggunakan beberapa metode yaitu Subtitusi, Eliminasi, Campuran dan determinan. Kita dapat mencari himpunan penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan tiga variable adalah Himpunan semua triple terurut (x, y, z) yang memenuhi setiap Persamaan Linear. 

a.  SARAN

Penulis sangat berharap penyusunan makalah ini dapat berguna bagi yang pembaca terutama bagi siswa. Saran dan kritik sangat diharapkan agar penyusunan makalah ini kedepannya dapat lebih baik lagi.

21

 

DAFTAR PUSTAKA

Barnok Sinaga, Pardouman N J M Sinambola, Andri Kristianto, T. A. hutapea. (2017).  Matematika Kemendikbud . Fuadiah, N. F. (n.d.). H YPOTHETICAL L EARNING T RAJECTORY PADA PEMBELAJARAN BILANGAN H YPOTHETICAL L EARNING T RAJECTORY OF  NEGATIVE NUMBERS NUMBERS BASED ON THEOR THEORY Y OF, 6 , 13 – 24. 24. Inti, A. K., Dasar, B. K., & Kompetensi, C. I. P. (n.d.). Buku Siswa Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel, 2 – 6. 6. Kemendikbud. (n.d.). BSE (n.d.). BSE Matematika Siswa SMA/MA/SMK/MAK SMA/MA/SMK/MAK Kelas X . METODE PENELITIAN. (2006), 27 – 32. 32.  Nurdin. (2011). Trajektori dalam Pembelajaran Matematika, 1(April), 1 – 7 7.. Siswanto. (2013). Matematika (2013). Matematika untuk Kelas X SMA dan dan MA kurikulum 2013. 2013. Solo: PT Tiga Serangkai Pustaka Mandiri. Wikipedia. (n.d.). Persamaan Linear. Retrieved from https://id.m.wikipedia.org/wiki/Persamaan_Linear

22