Resumo Matemática 12º ano

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VOLUME 1

Probabilidades e combinatória Definição clássica de probabilidade – lei de Laplace A probabilidade de um acontecimento A de um espaço de resultados cujos acontecimentos elementares são equiprováveis é: número de casos favoráveis à ocorrência de A p(A) = ###### número de casos possíveis Definição axiomática de probabilidade. Propriedades das probabilidades Seja E um espaço de resultados e sejam os acontecimentos A e B , tais que A ! E e B ! E .

• Axioma 1: p(A) ≥ 0 ; • Axioma 2: p(E) = 1 ; • Axioma 3: Se A " B = { } (A e

B são incompatíveis), então p(A # B) = p(A) + p(B) .

Teorema 1

– – Se A é o acontecimento contrário de A , tem-se p(A) = 1 – p(A) .

Corolário 1

Se A é o acontecimento impossível, então p(A) = 0 .

Corolário 2

Para qualquer acontecimento A , tem-se 0 ≤ p(A) ≤ 1 .

Teorema 2

Se A e B são acontecimentos, então: p(A # B) = p(A) + p(B) – p(A " B)

Dados os acontecimentos A e B de um espaço de resultados E , com p(B) ≠ 0 , chama-se probabilidade condicionada de A , dado B , e escreve-se p(A | B) , ao valor definido por: p(A " B) p(A | B) = # p(B) Relações úteis:

• p(A " B) = p(A | B) × p(B) = p(B | A) × p(A)

• p(A | B) =

p(B | A) × p(A) ## p(B)

Teorema da probabilidade total Seja A um acontecimento do espaço de resultados E , assim como B1, B2, … , Bn (n acontecimentos). Se B1, B2, … , Bn são incompatíveis dois a dois e B1 # B2 # … # Bn = E , então: p(A) = p(B1) × p(A | B1) + p(B2) × p(A | B2) + … + p(Bn) × p(A | Bn) Acontecimentos independentes Dois acontecimentos A e B são independentes se: p(A " B) = p(A) × p(B) Portanto, os acontecimentos A e B , com p(A) ≠ 0 e p(B) ≠ 0 , são independentes se só se: p(A | B) = p(A) (ou, de modo equivalente, p(B | A) = p(B) ) Tabela de distribuição de probabilidades As probabilidades p1, p2, … , pn devem satisfazer as seguintes propriedades:

• 0 < pi ≤ 1, ∀ i = 1, 2, … , n • p1 + p2 + … + pn = 1

xi

pi = p(X = xi)

x1

p1

x2

p2

…

…

xn

pn

Valor médio ou esperança matemática de uma variável aleatória X , que toma os valores x1, x2, … , xn com probabilidades p1, p2, … , pn , respetivamente, é o número: n

! = x1 p1 + x2 p2 + … + xn pn =∑ xi pi i=1

Desvio padrão populacional: … " = !p "1"(" x1" –" !)"2" +" p2"(x"2" –" !)"2" +" ··" ·+" pn"(x"n" –" !)"2 =

!

### ∑ p (x – !) n

i=1

i

i

2

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Modelo normal ou gaussiano A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória normal fica descrita !0,14%

pelos seus parâmetros, valor médio ! e desvio padrão " , e representa-se por

!–"

! – 2"

! – 3"

N (!, ") .

!0,14% !+"

!

!68,27% !95,45% !99,73%

! + 2" ! + 3"

Permutações, arranjos e combinações A uma maneira de ordenar n objetos distintos dá-se o nome de permutação de n objetos.

Pn = n! = n × (n – 1) × … × 1

Arranjo de n objetos distintos, tomados k a k , é uma sequência (a1, a2, … , ak) , onde cada termo ai é um dos n objetos, não podendo existir termos repetidos.

nA k

Arranjo com repetição de n objetos distintos, tomados k a k , é uma sequência (a1, a2, … , ak) , onde cada termo ai é um dos n objetos, podendo haver termos repetidos.

n! =# (n – k)!

nA' k

Combinação de n objetos, tomados k a k , é um subconjunto {a1, a2, … , ak} , onde cada termo ai é um dos n objetos, não havendo termos repetidos.

nC

k

nA = ##k ; k!

= nk

nC

k

n! =# (n – k)! k!

Triângulo de Pascal 0C 0 1C

1C

0

2C 3C 4C

0

2C

0 3C 1

0 4C

1

1 2C

1

2

3C 4C 2

3C

2 4C

3

3

4C

4

Propriedade 1:

k = n – k , ∀ n, k $ IN0 com n ≥ k nC

nC

Caso particular: nC0 = nCn = 1, ∀ n $ IN0

Propriedade 2: nC + nC n + 1C k k+1 = k + 1 , ∀ n $ IN, ∀ k $ IN0 , com n > k Propriedade 3: nC + nC + … + nC n n 0 1 n – 1 + Cn = 2 , ∀ n $ IN0

Binómio de Newton (a + b)n = nC0anb0 + nC1an – 1b1 + … + nCn – 1a1bn – 1 + nCna0bn , com n $ IN0 Distribuição binomial de probabilidade de parâmetros n e p (B(n, p)) Se Y é uma variável aleatória com distribuição binomial de parâmetros n e p , B(n, p) , então: p(Y = x) = nCx · px · (1 – p)n – x O valor médio e o desvio padrão de uma variável aleatória binomial de parâmetros n e p são dados, respetivamente, por: np "" (1" –" p") ! = np ; " = !"

Este formulário é uma oferta que acompanha o manual Y, 12.o ano, não podendo ser vendido separadamente.

…

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VOLUME 2

Introdução ao cálculo diferencial II Função exponencial x ! ax , a > 1 • D = IR • D' = IR+ x • lim a = +! • lim ax = 0 x → +!

Função logarítmica x ! loga x, a > 1 • D' = IR • lim + loga x = –!

• D = IR+ loga x = +! •x lim → +!

x → –!

y

y

f(x) = ax com a > 1

1

O

x→0

f(x) = loga x com a > 1

x

1

x

O

• y = loga x ⇔ x = ay • aloga x = x • loga ax = x • log x = log10 x • In x = loge x • loga(xy) = loga x + loga y • loga (x : y) = loga x – loga y • loga (xu) = u loga x log x

b " • loga x = " logb a

In x log x e, em particular, loga x = "" e loga x = "" In a log a

Operações sobre limites infinitos

• #! # ! = #! • #! + b = #!, b ! IR

• #! × (#!) = +! • #! × b = #!, b ! IR+

b

#!

" = 0, b ! IR • #! b

•" b

= #!, b ! IR+ •" 0±

= #!, b ! IR+

• #! × ($!) = –! • #! × b = $!, b ! IR– #!

•" b

b

= $!, b ! IR– •" 0±

ou b = +!

= $!, b ! IR–

ou b = –!

Limites notáveis

• lim !1 +

1 " n

"

n

ax

" = +!, a > 1, p ! IR •x lim → +! xp

=e

ex – 1

log x

a " = 0, a > 1 •x lim x → +!

In (x + 1)

" =1 • xlim x →0

" =1 • xlim x →0

Indeterminações !–!

! " !

0 " 0

0×!

Continuidade • A função f diz-se contínua no ponto a (que pertence ao domínio e é seu ponto de acumulação) se e só se lim f(x) = f(a) . x→a

• Se • Se

lim f(x) = f(a) a função f diz-se contínua à esquerda no ponto a .

x → a–

lim f(x) = f(a) a função f diz-se contínua à direita no ponto a .

x → a+

Teorema de Bolzano Se a função f é contínua em [a, b] e se f(a) < k < f(b) ou f(b) < k < f(a) , então: ∃ c ! ]a, b[: f(c) = k

Assíntotas verticais f(x) = ±! ou lim f(x) = ±! , então a reta de equação x = a é assíntota vertical • Se xlim → a+ x → a– do gráfico da função f .

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Assíntotas não verticais

• Se

lim [f(x) – (mx + b)] = 0 ou lim [f(x) – (mx + b)] = 0 , com m, b ! IR , a reta de

x → +!

x → –!

equação y = mx + b é assíntota do gráfico da função f . Se m = 0 a assíntota diz-se horizontal e se m ≠ 0 a assíntota diz-se oblíqua.

• A reta de equação m = lim

x → +!

y = mx + b , com m, b ! IR , é assíntota do gráfico de f se e só se:

f(x) f(x) " e b = lim [f(x) – mx] ou m = lim " e b = lim [f(x) – mx] x x → +! x → –! x x → –!

f(x) = b ou lim f(x) = b , com b ! IR , então a reta de equação y = b é assíntota • Se xlim → +! x → –! horizontal do gráfico de f .

f(b) – f(a) Taxa média de variação da função f no intervalo [a, b] : t.m.v.f, a, b = " b–a Derivada da função f no ponto a (f'(a)) f(a + h) – f(a) f '(a) = lim "" h h→0

f(x) – f(a) ou f '(a) = lim "" x–a x→a

Quando f '(a) é um número real, a função f diz-se derivável em a . Equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a Se f é derivável no ponto a , a reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa a é a reta de equação:

y = f '(a)(x – a) + f(a)

Derivabilidade e continuidade Se uma função é derivável no ponto a então é contínua em a . O recíproco não é verdadeiro: uma função contínua no ponto a pode não ser derivável em a .

Regras de derivação

(u · v)' = u' · v + u · v'

u' · v – u · v' !"v "' = "" v

(eu)' = u' · eu

(au)' = u' · au · In a

u' (In u)' = " u

(g

˚

f)'(x) = g'[f(x)] · f'(x)

2

(un)' = n · un – 1 · u' u' (loga u)' = " u · Ina u'

n ! #n $u "' = "" n un – 1

· #$$$

Derivada, monotonia e extremos relativos Se f é uma função derivável, o estudo da variação de sinal da derivada permite tirar conclusões acerca da monotonia e extremos da função f . Se f é derivável em a e se tem um extremo para x = a , então f '(a) = 0 . Segunda derivada, sentido da concavidade e pontos de inflexão Se f é uma função duas vezes derivável, o estudo da variação de sinal da segunda derivada permite tirar conclusões acerca do sentido da concavidade e pontos de inflexão do gráfico da função f . Se a função f é duas vezes derivável numa vizinhança de a e se f tem um ponto de inflexão para x = a , então f'' (a) = 0 .

Este formulário é uma oferta que acompanha o manual Y, 12.o ano, não podendo ser vendido separadamente.

u

(u + v)' = u' + v '

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VOLUME 3

Trigonometria e números complexos Funções trigonométricas \

Seno

Cosseno

Tangente

Domínio

IR

IR

!x ! IR: x ≠ !π2 + kπ, k ! ZZ"

Contradomínio

[–1, 1]

[–1, 1]

IR

Zeros

kπ, k ! ZZ

π ! + kπ, k ! ZZ 2

kπ, k ! ZZ

Positivo

Positivo π π – ! + k2π, ! + k2π , 2 2

#

]k2π, π + k2π[, k ! ZZ Sinal

Negativo

#

Máximo 1, para π x = ! + k2π, k ! ZZ 2 Mínimo –1, para π x = – ! + k2π, k ! ZZ 2

Monotonia

$

#

x = k2π, k ! ZZ

Negativo π ! + kπ, π + kπ , k ! ZZ 2

$

Não tem extremos

Mínimo –1, para x = π + k2π, k ! ZZ

Estritamente crescente

#

$

Negativo π 3π ! + k2π, ! + k2π , 2 2 k ! ZZ

$

Máximo 1, para

Estritamente crescente π π – ! + k2π, ! + k2π , 2 2 k ! ZZ Estritamente decrescente π 3π ! + k2π, ! + k2π , 2 2 k ! ZZ

$

#

k ! ZZ

]π + k2π, 2π + k2π[, k ! ZZ

Extremos

Positivo π kπ, ! + kπ , k ! ZZ 2

$

[π + k2π, 2π + k2π], k ! ZZ

Estritamente crescente

Estritamente decrescente

#– !2 + kπ, !2 + kπ $, k ! ZZ

#

π

π

[k2π, π + k2π], k ! ZZ

Paridade

Ímpar

Par

Ímpar

Período positivo mínimo

2π

2π

π

Assíntotas do gráfico

Não tem

Não tem

x = ! + kπ, k ! ZZ

π 2

Limite notável sen x lim ! = 1 x→0 x Fórmulas da soma, da diferença e da duplicação cos (α – β) = cos α cos β + sen α sen β

sen (α – β) = sen α cos β – cos α sen β

cos (α + β) = cos α cos β – sen α sen β

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

cos (2α) =

cos2

α–

tg α – tg β tg (α – β) = !! 1 + tg α tg β

sen2

α

sen (2α) = 2 sen α cos α

tg α + tg β tg (α + β) = !! 1 – tg α tg β

2 tg α tg (2α) = !! 1 – tg2 α

Derivadas das funções trigonométricas (sen x)' = cos x

(cos x)' = –sen x

1 (tg x)' = !! cos2 x

(sen u)' = u' cos u

(cos u)' = –u' sen u

u' (tg u)' = !! cos2 u

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Operações com números complexos na forma algébrica Sejam z1 = a + bi e z2 = c + di números complexos:

• z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i • z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i • z1 × z2 = (a + bi) × (c + di) = (ac – bd) + (ad + bc)i z1 a + bi ac + bd bc – ad i = " + " •" z2 = " c + di c2 + d2 c2 + d2 Representação de números complexos na forma trigonométrica z = ρ cos ! + (ρ sen !) i = ρ(cos ! + i sen !) = ρ cis ! Se z = ρ cis ! então z– = ρ cis (–!) . Se z = ρ cis ! então –z = ρ cis (! + π) . Operações com números complexos na forma trigonométrica

• z1 × z2 = ρ1 cis !1 × ρ2 cis !2 = ρ1ρ2 cis (!1 + !2) ρ1 ρ1 cis θ1 z1 =" = " cis (!1 – !2) " ρ2 cis θ2 ρ2 z2

• • z n = (ρ cis θ)n = ρn cis (n θ) , com

n ! IN

θ + k2π

ρ cis"" θ = !" ρ cis " , com • !"z = !""" # n $ n

n

n

k ! {0, 1, … , n – 1}, n ! IN

Domínios planos e condições em variável complexa

|z1 – z2| representa a distância entre as imagens geométricas dos complexos z1 e z2 . |z – z0| = r , com r ! IR+ , é uma condição em variável complexa que define a circunferência de raio r com centro em Z0 . A condição em variável complexa |z – z1| = |z – z2| define a mediatriz do segmento de reta [Z1Z2] .

Im (z) Z1 |z – z1| = |z – z2|

O

Re (z)

O conjunto das imagens geométricas dos números com-

Im (z)

plexos z , cujo argumento é θ , é a semirreta com origem

arg (z) = !

na origem do referencial que forma com o semieixo real

Z

positivo um ângulo orientado de amplitude θ e que se pode representar pela condição arg (z) = θ .

! O

· um A semirreta com origem em Z0 , que forma com Ox

Re (z)

Im (z)

arg (z – z0) = !

ângulo orientado de amplitude θ , é o conjunto das ima-

Z

gens geométricas dos números complexos z que satisfazem a condição arg (z – z0) = θ . Z0 O

!

Re (z)

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Z2