Resumo Hayt

Eletromagnetismo  volume I

∇.D=ρ ∇×E =0 ∇×H =J ∇.B=0 Prof. Evandro C. Gondim

Livro texto: Eletromagnetismo - Willian H. Hayt Jr (Livro Técnico) Livros recomendados: recomendados: Eletromagnetismo - Joseph A. Edminister (Coleção Schaum) Schaum) Eletromagnetismo - Kraus-Carver (Ed. Guanabara)

CAPITULO 1 - RECORDAÇÃO DA TEORIA BÁSICA DA ANÁLISE VETORIAL 1 - Sistemas de coordenadas. coordenadas. São usados os três sistemas: cartesiano, cilíndrico e esférico sendo que a escolha depende da geometria do campo vetorial. De um sistema para outro não passa-se vetores, passa-se apenas coordenadas de pontos.

2 - Representação de unitários e vetores Para evitar confusão com outras grandezas usa-se as seguintes notações cartesianas: A=Axax+Ayay+Azaz cilíndricas: A=Ar ar+Aøaø+Azaz A=Ar ar+Aθaθ +Aøaø esféricas: obs.: usa-se o r em lugar do ρ porque esta letra grega é usada para outras grandezas. No restante adotaremos sempre a notação do livro texto.

3 - Os três sistemas e mudanças de coordenadas de um ponto dos sistemas cilíndrico e esférico para o sistema cartesiano. Todos os sistemas se referenciam sempre ao sistema cartesiano. Coordenadas cilíndricas:

a r ×aφ=az

z

z

P(r ; φ ; z)

r

y

φ x • Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar • O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360° • Mudanças de coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o cilíndrico e vice-versa:

 ____ r=√x2+y2  , ø=arctg(y/x) ø=arctg(y/x) , z=z e também x=rcosø , y=rsenø y=rsenø , z=z 1

Exemplos: cartesiana para cilíndricas: x=8 ; y=7 ; z=6  _____ r=√82+72=10,63 ; ø=arctg(7/8)=41,186 °

;

z=6

cilíndricas para cartesianas: r=10 ; ø=40 ø=40 °; z=7 x=10cos40°=7,66

;

Coordenadas esféricas:

y=10sen40 °=6,428

;

z=7

a r ×aθ=aφ

z

P(r ; θ ; φ)

θ r

y

φ x • Por definição r é sempre positivo ou seja não existe um valor −r como existe um valor −x entretanto poderá haver uma direção negativa de r ou seja −ar. • O sentido de contagem de ø é contrário ao ponteiro dos relógios a partir do eixo x variando de 0 a 360°. • O sentido de contagem de θ é no sentido do ponteiro dos relógios a partir do eixo z variando de 0 a 180°  apenas, para evitar que um ponto possa ser definido por dois conjuntos de coordenadas

diferentes.

• Para memorizar : o angulo que não e comum aos dois sistemas no caso θ é que fica limitado a apenas 180°. coordenadas de um ponto do sistema cartesiano para o esférico e vice-versa: • Mudanças de coordenadas x=rsenθcosø , y=rsen θsenø , z=rcos θ  z 

r=  x 2 +  y 2 + z 2 , θ=arccos  x

2

2

+  y + z 

2

, ø=arctg(y/x) ø=arctg(y/x)

Exemplos: cartesiana para esféricas: x=3 ; y=5 ; z=9  _______ r=√32+52+92=10,724 ; θ=arccos(9/10,724)=32,939°

ø=arctg(5/3)= 59,036°

;

esféricas para para cartesianas: cartesianas: r=35 ; ø=60 ø=60 ° ; θ=29° x = 35sen29 °cos60°=8,484

;

y = 35sen29 °sen60°=14,695

2

;

z = 35cos29°=30,612

4 - Campos vetoriais Temos um campo vetorial quando os módulos das componentes dos vetores nas três direções não são expressas por escalares e sim por funções que assumem valores diferentes para cada ponto no espaço. Em eletromagnetismo temos inúmeros campos vetoriais tais como por exemplo um campo elétrico qualquer que poderíamos exprimir por: E=x3ax+(x2+z4)ay+ y7az este mesmo campo poderia variar com o tempo E=[x3ax+(x2+z4)ay+ y7az]senwt

5 - Operações básicas com vetores que são muito usadas em Eletromagnetismo. Em todas as leis existem o uso do produto escalar e do produto vetorial. O produto vetorial em particular evita que se use a antiga regra da mão direita com os três dedos da mão em leis que podem ser expressas por este produto.

ax ay az AxB= Ax Ay Az Bx By Bz Para achar o sentido desta operação usamos a regra do parafuso de rosca destrógira ou a mão direita: B×A

A B

Além dos produtos escalar e do produto vetorial que são iguais nos três sistemas é muito comum na resolução de problemas nos depararmos com as seguintes operações:

5.1 - Dados dois pontos encontrar a distância entre os mesmos e o vetor correspondente. Só pode ser usado para coordenadas cartesianas não valendo para outros sistemas. Em outros sistemas temos que converter os pontos para coordenadas cartesianas.  ____________________ Distância entre dois pontos A(x 1,y1,z1) e B(x2,y2,z2): d= √ (x1−x2)2+(y1−y2)2+(z1−z2)2 Vetor apontando do ponto A(x 1,y1,z1) para o ponto B(x 2,y2,z2)

R = (x2−x1)ax+(y2−y1)ay+(z2−z1)az final origem 5.2 - Unitário aN normal a uma reta e apontando da reta para o ponto e menor distância R. z

Dado uma reta caracterizada por: todo x=x2 e todo y=y2 (reta paralela ao eixo z) e o ponto P(x 1,y1,z1) ( x − x )a + ( y − y )a R= ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y2 )2 ; aR = 1 2 x 2 1 2 2 y ( x1 − x 2 ) + ( y1 − y2 )

aR  y2 x2 x

3

P(x1;y1;z1) R  y

5.3 - Componente de um vetor B em uma direção especificada. O produto escalar resolve este tipo de problema 

 por um unitário a qualquer: Ba=(B.a)a

 A  A B.A A em uma direção especificada por um vetor A: B A = B.  | A | = [ ] | A |2 | A |   5.4 - Referenciar um vetor R à um sistema de coordenadas qualquer 

R =r−r’ com r’ sendo um vetor da origem do sistema para a origem do vetor  a R  =

r − r' | r − r '|

r’ origem

R =r−r’ r

5.5 - Vetores deslocamento dL: Importante: O vetor dL é sempre positivo ! cartesianas: dL=dxax+dyay+dzaz cilíndricas: dL=dr ar+rdøaø+dzaz esféricas:

dL=dr ar+rdθaθ +r senθdøaø

Elementos diferenciais de volume e área:

6 - As arestas são as componentes do vetor deslocamento Praticamente todas as fórmulas se baseiam nestes elementos diferenciais

cartesianas

cilíndricas

4

esféricas

SISTEMA cartesianas cilíndricas esféricas

VOLUME dv=dxdydz dv=rdrdødz dv=r 2senθdrdødθ 

ÁREA ds=dxdy ; ds=dydz ; ds=dzdx ds=rdrdø ; ds=rdødz ; ds=drdz ds=r 2senθdθdø ; ds=rdθdr ; ds=rsenθdrdø

7 - Vetor área ds=dsaN onde ds é o modulo do vetor que igual à área aN é um vetor unitário normal a área e com sentido determinado em cada lei formulada

8 - Vetores genéricos Podem ser definidos como vetores apontando de qualquer ponto pertencente à uma reta, área ou até um volume para um determinado ponto no espaço. Exemplos esclarecem o assunto: Em coordenadas cartesianas vetor apontando de uma reta sobre o eixo z para um ponto P(x 1;y1;z1) com x1,y1,z1>0 R 21=x1ax+y1ay−(z −z1)az ou R 21=x1ax+y1ay+(z1−z)az Em coordenadas cartesianas vetor apontando de um plano z=z 2 para um ponto P(0;0;z 1) com z1>z2 e z1,z2>0

z

R 12= −xax−yay+(z1−z2)az

z=z1 Plano

R 

y x5

fica negativo porque z 1 r 1: V12 = −

ρ  L dr r 2 2πε  r  0 r 1

∫ 

=−

 ρ  ln r ρ L (ln r1 − ln r2 ) = −  L 2πε 0   2πε 0

−

ρ L ln ∞   ρ  ln r   = − L 2πε 0   2πε 0

+0=−

ρ L ln r  2πε 0 z

r 2 Potenciais se afastando da reta

 ρ  ln r  V = −  L ; 2πε 0

  ρ  L ln r       2πε 0  

∂  −

∇V =

∂ r

r 1

∇V E

ρ  a r = −  L a r  ; E= − 2πε 0 r 

∇V ; E =

y

ρ  L a 2πε 0 r  r 

x

V=f(r) logo as superfícies equipotenciais são cilindros concêntricos com a reta. E4.8 do Hayt V=50x 2yz+20y2 V=? no vácuo. Z

a) no Pt (1; 2; 3) V=50×12×2×3 + 20×22 = 380 V  b) EP = ?

4 106

 ∂ V ∂ V ∂ V   EP= − ∆V= −  a x + ay + a z   ∂ y ∂ z    ∂ x

3 106

Y

2 106

30 20

1 106

EP = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az

10 0

X 0

EP= −600ax−230ay−100az c) ρP=? ∇.D=∇.ε0E = ρ

10

20

30

Z=3

E = −100xyz ax−(50x2z+40y) ay−50x2y az

∇.ε0E = d)

∂ε 0 E x ∂ x

dV =? dN

+

∂ε 0 E y

E=−

∂ y

+

dV a dN  N

∂ε 0 E z ∂ z

∴ ρP = −100ε0zy − 40ε0= − 5,66 nC/m3

EP= −600ax−230ay−100az ∴ 26

dV = 600 2 + 230 2 + 100 2 = 650  V/m dN

esta resposta corresponde à máxima taxa de variação da função potencial. e) a N em Pt (1; 2; 3) = ? −

a N =

dV a = −600ax−230ay−100az ∴ dN  N

600;230;100 = 0,923ax+ 0,35ay + 0,154az 600 2 + 230 2 + 100 2

6 - O dipolo elétrico São duas cargas pontuais, iguais sinais contrários e separadas por uma distância "d" muito pequena. O estudo desta configuração de cargas se deve, a necessidade de termos elementos para estudar os materiais dielétricos mais adiante. Em coordenadas esféricas  e com o dipolo na origem temos V em um ponto P com R 1 e R 2>>>>>>> d. R 1 θ ar r  R 2

+Q

Q   1 1   Q R 2 − R 1 VP =  −   = 4πε 0  R 1 R 2   4πε 0   R 1 R 2

d

−Q

V=? em P

dcosθ

considerando-se a diferença entre R 2 − R 1=dcosθ e desprezando-se a diferença  entre R 1 e R 2 e r VP =

∇ V=

1 ∂ V 1 ∂ V ∂ V ar + aθ + aø r  ∂θ  r sen θ  ∂φ  ∂ r 

;

Qdcosθ  4πε 0 r 2

E= − ∇ V

  Qdcosθ  Qdsenθ    Qd a aθ    a a − = r  3 3 3 (2cosθ  r  + senθ  θ  )   2 r  4 r  4 r  πε  πε  πε  0 0 0    

E = − −

Definindo-se um vetor d dirigido de −Q para +Q e também um “momento de dipolo”

p = Qd  C.m como d.ar =dcos θ (dipolo na origem): VP =

p. a r  Qdcosθ  Qd. a r  2 = 2 = 4πε 0 r  4πε 0 r 4πε 0 r   2

Centro do dipolo

+Q '

Generalizando-se

d

'

p. ( r − r ) p. ( r − r ) 1 V( r ) = = 2 3 r − r' 4πε 0 r − r ' 4πε 0 r −  r '

r-r’

V( r)

−Q r’

r − r' r − r'

r Origem do sistema de coordenadas

EXEMPLO:

E4.9 p = 400πε0(0,6ax− 0,75ay+0,8az) C.m em um dipolo centrado na origem. V=? em P A(0; 0; 5) 27

r − r’ = 5az

z

400πε 0 (0,6a z − 0,75a y + 0,8a z ). (5a z ) V( r ) =  = 3,2 V 4πε 0 53

+Q

P y

x

−Q

7-Energia total no campo eletrostático, em uma região. 7.1 Energia em um sistema de cargas pontuais

O trabalho realizado por uma fonte externa para trazer uma carga de um ponto distante até um ponto mais próximo de uma outra carga fica acumulado na forma de energia potencial que seria liberada no caso de desligamento da fonte externa. Portanto a energia potencial de um sistemas de cargas será a soma dos trabalhos realizados pela fonte externa para posicionar cargas. Em um universo vazio e sem cargas para trazer a primeira carga não trabalha contra nenhum campo  portanto não é realizado trabalho pela fonte externa.  pont O trabalho para trazer a segunda carga e coloca-la no ponto é: W 2=Q2V21 Para uma terceira carga a energia acumulada é:

Carga que  provoca o  potencial

WE= W1+ W2 +W3=0 + Q2V21 + Q3V31+ Q3V32 Para obter simplificações computa-se o trabalho para trazer as cargas em ordem inversa e pelo principio da superposição podemos somar estas duas ultimas expressões: WE= W3+ W2 +W1=0 + Q2V23 + Q1V13+ Q1V12 2WE= Q2V21 + Q3V31 + Q3V32 + Q2V23 + Q1V13 + Q1V12 = Q1 (V12 + V13) + Q2 (V21 +V23 ) + Q3 (V31 + V32) V1 V2 como o trabalho foi computado duas vezes o seu valor é dividido pela metade: 1 WE= Q1V1 + Q2V2+ Q3V3 2 1 n Para “n” cargas a energia total dentro do volume é: WE = Q V  Joules 2 m =1 m m WE J E a densidade de energia: = 3 volume m

V3

∑

7.2 Energia em um sistema de contínuo de cargas Em uma região com distribuição contínua de cargas: dQ m=ρdvm e o somatório se transforma em uma integral: 1 WE = V Vρ dv  Joules 2

∫ 

fazendo-se uso da identidade vetorial : ∇.(VD) ≡V(∇.D)+D.(∇V) e ∇.D = ρ 28

WE =

1 2

∫

Vρ dv = V

1 2

1 2

∫

V(∇. D)dv = V

∫ [∇.(VD) − D.∇V]dv V

∫  ∇. (VD)dv = ∫ VD. ds

• A primeira integral pelo teorema da divergência resulta:

V

S

E= −∇V

• A segunda integral resulta: −

1 1 D. ∇Vdv = 2 V 2

∫

logo: WE =

1

1

∫  D. Edv = 2 ∫  ε E. Edv = 2 ∫  ε  E dv V

V

1 1 D. d s + V 2 S 2

∫ 

0

2

V

0

∫  ε  E dv 2

V

0

Em torno de uma carga pontual, em um volume esférico de superfície com raio b vem: 1 2π π  Q Q 2 1 2π π  a Q2 WE = × 2 r  sen θ d θ d φ  + ε 0 2 2 2 4 r 2senθ drdθ dφ  2 0 0 4πε 0 r  4π r  2 0 0 b 4 π  ε 0 r 

∫ ∫ 

∫ ∫ ∫ 

Q2 Q2 WE = + 4πε 0 b 4πε 0

 1 − 1   = Q 2     a  b   4πε 0 a 

logo o resultado independe da superfície do volume   pois

a primeira integral diminui na mesma proporção que a segunda aumenta. Calculando-se para um volume com superfície infinita a integral de área é nula portanto: WE =

1 2

∫ 

D. Edv = V

1 2

∫  ε  E dv   Joules 2

V

0

EXEMPLOS: 1-Calcular a energia acumulada por metro de um cabo coaxial:

E=

ρ S a a r  (a < r < b) ; WE ε 0 r 

1 WE = 2

2 2 1 2π  b ε  ρ S 0 2 0 0 a ε 0 2

∫ ∫ ∫ 

a

r 

=

1 2

∫  ε  E dv  ; dv = rdrdφdz 2

V

0

π a 2 ρ S2  b rdrdφ dz = ln   Joules/m a ε 0

2-Quanto vale a energia acumulada em um sistema de duas cargas pontuais Q 1=3nC e Q 2= − 3nC separadas  por 0,2 metros. 2WE= Q1

Q2 4πε 0 d

+ Q2

Q1 4πε 0 d

∴

WE=

Q1Q 2 4πε 0 d

2

3 × 10-9 ) ( = = − 405  nano Joules 4πε 0  0,2

E4.11 coordenadas esféricas 10 ≥ r V=100r 2 WE = ? é uma esfera porém deve-se integrar a variável junto com o volume

1 2π π  10 2 WE = (−200r) ε 0 r 2 senθdrdθdφ   ∴ 2000

∫ ∫ ∫ 

WE =

ε 0 4 × 109

2×5 29

2π 

∫  0

 Porque negativa?

E= − ∇V= ∂(− 100r 2)/∂r = − 200r 

− cos θ π o dφ  = 44,51 mJ

CAPITULO 5 CARGAS ELÉTRICAS EM MOVIMENTO, CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 1-Corrente elétrica Cargas elétricas passando por um ponto ou superfície constituem uma corrente elétrica. A corrente elétrica não constitue um campo vetorial, e isto porque não seria possível representar uma corrente por um vetor dentro de um condutor de seção reta variável tal como por exemplo uma esfera, visto que ela teria uma direção diferente em cada seção da esfera. Quando a razão das cargas que passam por uma determinada superfície for 1 coulomb/segundo teremos um Ampère. 1 Ampère=1 Coulomb/1 segundo  Nos metais as cargas são os elétrons que tem cargas negativas ( nos condutores líquidos as cargas são conduzidas por íons ). Entretanto mais uma vez vamos utilizar cargas positivas para uma definição dentro do eletromagnetismo e como resultado disto a corrente terá o sentido contrário ao movimento dos elétrons em um condutor. I=dQ/dt Assim o campo elétrico e a corrente tem o mesmo sentido  em um condutor fluindo portanto dos pontos de maiores potenciais para os de menores potenciais. E e I  - elétron

2- Corrente de condução e corrente de convecção.

• Corrente de condução é o movimento dos elétrons dentro de um fio metálico que é feita de átomo a • • • •

átomo Corrente de convecção é um movimento de elétrons transportados de um ponto para outro como por exemplo dentro de um tubo de raios catódicos de um monitor de computador em que os mesmos  bombardeiam uma película de substâncias fosforescentes com um feixe de elétrons.  Na corrente de condução o limite é o condutor.  Na corrente de convecção o limite é o espaço de movimento das cargas  Na corrente de convecção o movimento das cargas tem o mesmo sentido dos elétrons.

Algumas definições que veremos não se aplicam a ambos os tipos de correntes. 3- Densidade de corrente  Definição:

com a área suficientemente pequena para se considerar a corrente uniformemente distribuída,  para uma corrente incremental ∆I que atravessa uma área incremental ∆S temos:

∆ I =Jn∆Sn

no limite temos

∆ I  ∆S  →0 ∆S

Jn= lim

logo dI=Jnds

n

ds Jn

onde: Jn densidade de corrente com direção normal  ao plano S e medida em A/m2. Integrando-se e com o conceito de se achar a componente de um vetor em uma dada direção vem:  I  = J.ds

∫  S 

onde: ds é o vetor área.  No espaço livre J=0 (não existe cargas) 3.1-Relacionamento pontual entre J e ρ.

Tem-se um volume com uma carga incremental Q t, conforme figura, posicionado em t=0 com uma das faces colada na origem tendo um plano colado na sua face mais distante da origem e portanto perpendicular ao eixo x e a uma distancia ∆L desta.Em um tempo incremental ∆t a carga moveu-se de uma distância ∆x. 30

∆Qt=ρ∆v

t=0

∆S

t=∆t

∆x

∆x

∆L

∆S

∆L

vx componente da velocidade na direção de x

A carga total no volume é ∆Qt=ρ∆V=∆S ∆Lρ em um tempo logo ∆t passou pelo plano

∆I=ρ ∆S vx segue finalmente:

∆I =

∆I = ρvx = Jx ∆S

∆Q X ρ ∆S∆x   mas: v =lim ∆x = x ∆ t → 0 ∆t ∆t ∆t

J=ρv

Generalizando-se:

onde: v é o vetor velocidade de deslocamento das cargas. Logo J = f(densidade volumétrica de cargas e velocidade de deslocamento) assim como a quantidade de veículos que passam em um túnel depende da proximidade entre eles e de suas velocidades. Isto se aplica a qualquer tipo de corrente. 4-Equação da continuidade - continuidade da corrente. O princípio da conservação de cargas estabelece que as cargas não podem ser destruídas nem criadas, embora quantidades iguais de cargas positivas e negativas possam ser criadas nas mesmas quantidades. Assim em uma região confinada dentro de uma superfície fechada :  I  = J.ds  que pelo teorema da divergência vem  I = ∇. Jdv

∫ 

∫ 

S 

V 

onde I é a corrente que atravessa a superfície fechada saindo dela a carga dentro dela decresce na razão negativa de − dQi/dt onde Qi a carga inicial, assim:  I  =

∫ J.ds = − dQ /dt S 

i

que é a forma integral da equação da continuidade.

Se as cargas fossem elétrons (negativas) teríamos uma taxa positiva ou seja acréscimo de cargas dentro da superfície fechada. Vamos deduzir agora a forma pontual usando o teorema da divergência: d .Jdv = −  I  = J.ds = I = ∇. Jdv ; Qi= ρ dv   temos ∇ ρ dv S  V  V  V dt V  com o volume constante a derivada transforma-se em parcial e podemos levar ela para dentro da integral:

∫ 

∫V∇. Jdv = − ∫ V 

∫ 

∫ 

∫

∂ρ  dv integrando-se em um volume: ∂ t 

∫ 

∇. J = −

∂ρ  ∂ t 

que é a forma pontual

Usando-se a interpretação física do resultado de uma operação de divergência que é o quanto de uma  grandeza esta “deixando” ou “entrando” em um volume vemos que existem sumidouros dentro do volume  pois a divergência é negativa. Este sumidouro é a corrente para fora do volume que é alimentada pelas cargas. 31

EXEMPLO: E5.2 Haytt a) I=?

superfície esférica centrada na origem com r=1mm com J=10r −1,5ar   Não precisa integrar porque é a superfície de uma esfera

 I  =

π 

2π 

0

0

∫ J.ds = ∫  ∫  10r S 

−1,5

a r .r 2 sen θ dθd φ a r =10r −1,5 4πr 2=40π r =40π 0,001 =3,97 A

c) Qual a taxa de variação de ρ? ∇. J = −

∂ρ  ∂ t 

1 ∂ r 210r −1,5 ∂ρ  ∂ρ  ∇. J = 2 = 5r −2,5 − = 5r −2,5 com r=1mm = −1,58 × 10 8 C/m3 r  ∂ r  ∂ t  ∂ t  d) com que taxa esta variando a carga no interior da esfera de r=1mm? Como existe corrente através da superfície de 3,97 Amp a carga esta diminuindo − 3,97 C/seg. 4- Condutores metálicos átomo

E

Banda de condução Zona proibida Banda de valência

condução valência

condução

condução

Zona proibida valência valência

condutor

dielétrico

semicondutor

Os átomos tem os elétrons em orbita conforme os níveis de energia sendo que os elétrons dos níveis mais altos estão na "banda de valência". Estes elétrons da banda de valência são os elétrons de condução ou ainda livres que podem se liberar do átomo em determinadas circunstâncias.. Acima desta faixa existe uma em que a energia é proibida podendo:

∗ não existir:neste caso teremos um condutor ∗ ser bastante larga:neste caso teremos um isolante ∗ ter um valor intermediario:neste caso teremos um semicondutor Acima desta faixa temos a "banda de condução". Sob ação de um campo elétrico externo os elétrons da  banda de valência podem atravessar a faixa proibida e atingindo a banda de condução onde fica frouxamente ligado ao átomo podendo migrar de um átomo para o outro constituindo uma corrente elétrica. •  No caso de condutores este campo elétrico pode ter um valor moderado e nos bons condutores (cobre, alumínio, prata, etc.) ele pode ser ainda mais moderado. •  No caso dos dielétricos (mica, asbestos, derivados do petroléo, etc) este campo deve ser bastante intenso  para que os elétrons atravessem a banda proibida e neste caso se diz que rompeu-se o dielétrico. •  No caso intermediário dos semicondutores (silício, germanio, etc) sob condições controladas eles podem se tornar condutores, sendo portanto úteis na fabricação de componentes eletrônicos. Do acima exposto podemos tirar duas conclusões:

♦  Dentro de um condutor E =0 em condições estáticas, caso contrário não haveria a condição estática. ♦  Dentro de um dielétrico não pode haver cargas livres provocadas por campos elétricos, apenas  poderiam existir se provocadas por trabalho mecânico tal como atrito.

4.1-Velocidade de arrastamento (drift) e mobilidade do elétron.

J=ρ v mas dentro de um condutor v tem uma notação vd e se denomina “velocidade de arrastamento” O campo elétrico submete o elétron a uma força: F=QE como no caso Q é um elétron F= − eE 32

onde "e" é a carga do elétron = − 1,609×10−19 Coulombs O elétron acelerado por F começa a se chocar com a estrutura cristalina gerando calor e uma força de atrito Fa. Quando F= Fa ele adquire uma velocidade constante vd. Para poder-se tabelar  v d em diversos materiais, portanto com diferentes estruturas cristalinas, em função de um determinado E foi criada a grandeza µe que é a “mobilidade do elétron” (positiva por definição) e tem unidade m2/Volts.segundo: vd= − µeE ( sinal negativo devido ao sentido de deslocamento do elétron) µe é também diferente para cada temperatura devido a maior ou menor vibração desta estrutura causando mais choques do elétron com a mesma e portanto maior força de atrito. Valores típicos da mobilidade dos elétrons são na temperatura ambiente: Al 0,0012 m2/Volts.segundo Cu 0,0032 m2/Volts.segundo Ag 0,0056 m 2/Volts.segundo Finalmente para um condutor podemos escrever:

J=ρevd= − ρeµeE

onde: ρe  é a densidade de carga elétrons, que é negativa e assim J e E apresentam orientações iguais tal como ocorre em um condutor. Mais adiante no estudo do campo magnético é mostrado como se calcula vd e µe de forma indireta em um condutor com o auxilio do efeito Hall. EXEMPLOS: 1-Seja um fio de cobre com área de 1,5 mm2 e extensão 1000 metros submetido a uma ddp entre os dois terminais de 220 V. Qual a velocidade de arrastamento dos elétrons? esta é uma corrente de condução logo E=220/1000=0,22 V/m vd= − 0,0032×0,22= − 0,000704 m/seg ou seja 2,534 m/h ou ainda 22km por ano. 2-Um elétron de um feixe de raios catódicos esta submetido à um potencial de 1000V. Se o elétron parte do repouso qual a sua velocidade? esta é uma corrente de convecção E Tela do tubo de −19

q= − 1,6×10  C m = 9,1×10−31 kg V=1000 V =Vab a Wab = −q E.dL = −qVab

raios catódicos do monitor

Canhão do tubo Va=1000 V

V b=0 V

∫  b

considerando-se a variação de energia na fonte externa temos: Wab=(1/2)m(v b)2 − (1/2)m(va)2 e como va=0 (repouso) logo − qVab=(1/2)m(v b)2 − (− 1,6×10−19)×(1000)=(1/2)×9,1×10−31(v b)2 ∴ v b=1,88×10 7 m/seg=18800 km/seg Comparando-se estes dois exercícios: 18800 km/seg>>>>>0,00074 km/seg ou seja muito maior que a velocidade da corrente de condução. a

5- Resistência

R=

Vab = I

− ∫ bE.dL

∫ J.ds S 

• J e E são uniformes no interior de um condutor com corrente não variável no tempo. • E é constante ao longo de um condutor com mesma direção de dL e ds. Assim com b>a: 33

a

R=

Vab = I

− ∫ bE.dL

∫ J.ds

a

a

− EdL − E ∫ bdL EL = ∫ b = =

∫ Jds

S 

S 

∫ 

R =

JS

J ds

EL JS

S 

6-Condutividade Visto que a resistência de um condutor depende do tipo do material, forma e tamanho torna-se necessário definir uma grandeza que varie só com a substância. Esta grandeza é a condutividade σ (sigma). A unidade é mho/metro com 1mho=ampère/volt=1Siemens (que é a unidade mais moderna). mho é ohm ao inverso por isto o símbolo também é o omega ao inverso Ω. O relacionamento entre J e E passa a ser dado por: J=σE (que é a forma pontual da lei de Ohm) Pode-se conseguir agora uma forma mais simples de cálculo da resistência baseada na σ: R =

EL EL L = = JS σES σ S

R =

L σ S

Valores típicos de condutividade: Al-->3,82×107 mho/metro Cu-->5,80×107 mho/metro

Ag-->6,17×107 mho/metro

O valor inverso da condutividade é a resistividade com unidade ohm/metro. Não usaremos a resistividade  por isto não vamos atribuir símbolo para ela. como ρe é negativa σ é positiva.

J= − ρeµeE ; J=σE logo σ= − ρeµe

Com temperatura mais elevada µe diminui devido a maior vibração da estrutura cristalina em conseqüência: • condutividade → diminui ( sentido contrário ao dos semicondutores!!) e portanto: • resistividade → aumenta • vd (velocidade de arrastamento) → diminui • J → diminui 7-Condições de contorno em condições estáticas. Em condições estáticas em um condutor: • E=0 no interior do condutor. • Qualquer carga que exista dentro do condutor é forçada pela atração ou repulsão com os elétrons para a superfície, sendo retida pela estrutura cristalina do mesmo, constituindo em uma ρS que pode alterar os campos externos. Deve-se verificar quais são estas alterações e estas verificações são denominadas “condições de fronteira” ou “condições de contorno”. Serão feitas outras verificações similares mais adiante sempre usando-se a mesma técnica e ferramentas. Condições de contorno condutor ×vácuo: Vácuo Dn

D Dt

Condutor E=0

∆s ++++++++++

a

∆w  b

∆h

∆h ++++++++++ d ∆w c

E

En

Fronteira Infinita

Et

Cargas livres dentro do condutor expulsas  para a superfície

legenda: n = normal e t = tangencial Decompondo-se o campo externo em duas componentes onde os índices indicam as direções: 34

Componentes tangenciais  No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem:

∫ 

b

c

a

b

d 

a

∫ ∫ ∫ ∫ 

E.dL =0= + + + c

d 

Dentro do condutor E=0 portanto resta apenas o trecho do percurso fora do condutor: Et ∆w −En,em b(∆h/2) + En,em a(∆h/2)=0

⇒ ∆h→0 e ∆w pequeno e finito ⇒ ∆Va,b=0 desprezando-se as diferenças de potencial devido a presença de cargas na superfície Et ∆W=0, como ∆W≠0 logo Et=0 e também Dt=0 Componentes normais Aplicando-se no pequeno cilindro a Lei de Gauss: Q

= ∫ S D.ds = ∫ topo + ∫ base + ∫ lado

⇒ Et=0 logo a integração no lado é igual a zero ⇒ E=0 dentro do condutor (condições estáticas) logo a integração na base é também igual a zero ⇒ No topo com Dn constante ∆sρs=Dn∆s portanto Dn = ρs e En= Dn/ε0 En= Dn/ε0

Resumindo: Et=0

Dt=0

Dn=ρs

Logo: Em condições estáticas uma superfície condutora é uma equipotencial  pois Et=0 Generalizando-se a última expressão:

D=a Nρs

vácuo condutor

a N

EXEMPLO: E5.5 do Haytt P(−2 ; 4 ; 1) superfície condutor ×vácuo com E=400ax −290ay+310az V/m a) |E N| em P=? D=a Nρs logo |E N| = |E| = 583 V/m  b) ρs em P=? |D|=ρs |D|=|E|ε0= 583×8,854×10−12 = 5,16 nC/m2 8- Semicondutores Estes materiais seguem a lei pontual de Ohm J=σE, isto significa que sua σ não se altera com o aumento da corrente e com a direção da densidade de corrente.  Nestes materiais dois tipos de portadores de cargas estão presentes: • elétrons •  buracos Os "buracos" são estados de energia na banda de valência que se localizam nas posições vagas deixadas  pelos elétrons que atingiram a banda de condução após atravessar a banda proibida (que neste caso é um  pouco maior que nos condutores). Os buracos se movem também de átomo para átomo na rede cristalina. Os buracos podem ser tratados como tendo:

• uma carga positiva "e" de igual módulo da carga do elétron 35

• uma mobilidade µh≠µe • uma densidade volumétrica ρh≈ρe (eles se originam das "vagas" deixadas por estes) • movimento em direção oposta a do elétron por ter cargas de sinal oposto O elétron e o buraco contribuem para a corrente total logo:

σ = − ρeµe+ρhµh Os valores de µh aumentam muito mais com a temperatura do que µe diminui com esta. Esta uma característica importante destes materiais, que os fazem ter um comportamento oposto ao dos condutores no que se refere a condutividade porque com aumento da temperatura µh>>>>µe  e assim σ cresce. Por exemplo: Germanio na temperatura de 27° C temos: |ρe|=|ρh|=4,0 C/m3 (igual), µe=0,36 m2/volts.seg, µh=0,17 m2/volts.seg σ27 = − (− 4)0,36+4(0,17)=2,12 mho/metro

• com temperatura de 87°C ⇒ σ87=10σ27 σ  • com temperatura de −18° C ⇒ σ−18= 27 10

 Para componentes eletrônicos esta realimentação do fenômeno pode ser fatal: mais temperatura → mais corrente →  mais temperatura →  mais corrente... até queimar o componente.

Uma solução adotada no projeto de CPU mais modernas consiste em baixar a tensão de alimentação de 5 V na linha 486 para 3,5 V na linha dos Pentium e até 3,3 V na linha Pentium MMX. Outra solução é aumentar o tamanho das CPU’ s. 10-Dielétricos As características principais destes materiais são:

• Pouca ou nenhuma condutividade: ∗ nos casos reais é baixa (banda proibida é larga logo existem poucos elétrons livres) e denomina-se

neste caso o dielétrico de “dielétrico real”. ∗ Se σ=0, ρ=0, ρS=0 e se também for constituído de material isotrópico  (as propriedades são independentes da direção pois a estrutura molecular esta orientada aleatoriamente) denomina-se neste caso o dielétrico de “dielétrico perfeito”. • Capacidade de armazenar energia elétrica.

O modelo matemático é o dipolo: Pela ação de um campo elétrico externo, a energia potencial é armazenada como uma mola pelo deslocamento das posições das cargas positivas e negativas contra as forças atômicas e molecular do átomo.  Núvem de elétrons

E +

Centro (-) deslocado constituindo um dipolo

Este deslocamento das moléculas podem ser de duas formas dependendo do dielétrico: ◊ moléculas polares - que já possuem um dipolo permanente ocasionado pela existência de um centro de gravidade de cargas positivas e negativas constituindo dipolos. 36

◊ moléculas não polares - não tem previamente o dipolo porém na presença de um campo elétrico

externo que desloca suas cargas em direções opostas é formado um dipolo.  Na presença de um campo elétrico externo suficientemente forte estes dipolos se alinham com uma só direção. Os dipolos assim constituídos são denominados de cargas ligadas ou cargas de polarização   porque os elétrons não são livres, não se liberam dos átomos e apenas se afastam do núcleo do átomo. Momento de dipolo p=Qd C.m

d

+

-

Para um volume ∆v com "n" dipolos temos a soma vetorial pi: n∆v

∑ p  C.m

ptotal=

i

i =1

 por unidade de volume no limite temos a “polarização” P:

P = lim ∆1v ∆v → 0

n∆v

∑ p   C.m/m =C/m 3

2

P mesma unidade de D !!!

i

i =1

P = lim n∆pv ∆v →0

tomando-se o valor médio p de pi:

C/m2

11 - Densidade de fluxo elétrico D incluindo-se os materiais dielétricos.

P(r; θ; φ)

E (UNIFORME)

PONTO QUALQUER FORA DO VOLUME ONDE CALCULA-SE V +

-

+

+

+

+

+

-

+

-

+

-

DIELÉTRICO REAL (COM CARGAS LIVRES)

-

+

VOLUME DENTRO DO DIELÉTRICO CARGAS LIGADAS QUE ATRAVESSAM A SUPERFICIE DO VOLUME

Em coordenadas esféricas, os potenciais V produzidos por cada uma das cargas ligadas no ponto P situado a uma distância r (coordenada esféricas), com r de um valor tal que o ponto se situe fora do volume, é dado  por: p.a r  dVP =   onde p=Qd C.m 4πε 0 r 2 np

Para "n" dipolos e tomando-se o valor médio destes por unidade de volume P = lim ∆vi  logo: ∆v → 0 1   1  P. ∇  ∂      r     P.a r  ar 1   r     a r = 2 ∴ VP = VP  = dv   mas dv ∇   =    2 V  4πε  r  V  4πε      r  r r  ∂  0 0

∫ 

∫ 

utilizando-se ∇.(NA)≡A.∇ N+N(∇.A) com N=1/r e A=P  temos: ∇.(P/r)=P.∇(1/r)+(1/r)∇.P 37

VP  =

  P  dv - (∇. P)dv   ∫V ∇.       4πε 0   r   ∫ V  r    1  

Teorema da divergência VP =

  P  dv =  P  .ds   logo V  = 1    P  .ds +  (−∇. P) dv  . ∇           P ∫V   r   ∫ S   r   ∫ V    r         4πε 0  ∫S   r  

(1)

O potencial no ponto P devido a ρ de cargas livres dentro do volume, dividindo-se ρ em ρS e ρV é: ρ dv Q 1    ρ S    ρ     V VP = = = ds +   (2)   dv     S     V    r     4πε 0 r  4πε 0 r 4πε 0  r   

∫ 

∫

∫ 

Comparando-se (1) e (2) vemos que quando temos polarização é formada no volume uma densidade volumétricas de cargas ligadas ρP ρP= −∇.P C/m3 e QP= (−∇. P)dv C

∫ 

V 

e sobre a superficie do volume é formada uma densidade superficial de cargas ligadas ρPS: ρPS=|P| C/m2 e QPS= SP.ds  C

∫ 

Dentro do volume temos então uma densidade volumétrica de cargas total ρT

ρT=ρ+ρP=ρ −∇.P C/m3 Por outro lado quando foi definida a 1ª equação de Maxwell:

Div. é uma operação que envolve apenas as cargas dentro de um volume

∇.D=∇.Eε0=ρ (cargas livres)

Redefinindo a 1ª equação de Maxwell em função desta densidade de cargas totais dentro do volume: ∇.Eε0=ρT=(ρ −∇.P) ∴ ∇.(ε0E+P)=ρ (cargas livres) fica mais conveniente manter a 1ª equação de Maxwell conforme já formulada e exprimir o vetor D por:

D=ε0E+P onde: D é a densidade de fluxo em quaisquer dielétricos. E é o campo provocado no ponto P pelas cargas livres dentro do volume mais o campo externo que é  provocado por cargas livres.  Portanto ε0E  é a densidade de fluxo provocado por estas cargas livres. P é a densidade de fluxo provocada pelas cargas ligadas (C/m 2). Quando não houver polarização teremos de novo

D=ε0E

12 - Relação entre P, E e D A susceptibilidade elétrica é uma relação adimensional entre P e E que é que tem como notação χe (chi):

P=χeε0E (1) em um dielétrico D≠ε0E porque D=ε0E+P logo não vale P=χeD!! Para simplificar as fórmulas tornando-as mais parecidas com as anteriores define-se também uma “permissividade relativa εR ” (adimensional): χe =εR −1

D=ε0E+P=ε0E+χeε0E=ε0E+(εR −1)ε0E=εR  ε0E

D=εR  ε0E 38

adota-se uma “permissividade” ε: ε=εR ε0 F/m, e assim nos dielétricos:

D=εE

Verificando-se vem: em (1) vem P = χeε0E = (εR −1)ε0E = εR ε0E−ε0E=D − ε0E ∴ D = ε0E+P (mesmo resultado) Usando-se a permissividade relativa que é tabelada em qualquer manual não precisamos fazer considerações sobre dipolos, momentos de dipolos, polarização e susceptibilidade. 1 D.Edv Quanto maior o valor de εR mais o dielétrico tem capacidade de acumular energia W  E  = 2  pois para um mesmo E, o módulo de D é maior e portanto melhor é o dielétrico. Para o ar atmosférico a εR =1,0006 logo ε=8,854×10 −12 F/m para fins práticos.

∫ 

EXEMPLO: E5.8 HAYTT P=? no interior de um dielétrico? a) D=1,5 µC/m2 e E=15 kV/m D=ε0E+P 1,5×10−6=ε015000+P P=1,328 µC/m2  b) D=2,8 µC/m2 ; χe=1,7 χe =εR −1 ∴ εR =2,7 ε=εR ε0=2,7ε0=23,90×10−12  F/m 2,8 × 10 −6 6 D=εE ∴ E = −12 = 0,117×10 23,9 × 10 D=ε0E+P 2,8×10 −6=0,117×10 6ε0+P ∴ P=1,764 µC/m2 c) 1020 moléculas/m3 cada com p=1,5×10 −26 C.m e E=10 5 V/m (então é bastante forte para polarizar) P=1020×1,5×10 −26=1,5×10 −6 C/m2 d) E=50 kV/m e εR =4,4 D=εR ε0E ; D=50×10 3×4,4×8,854×10 −12=1,947×10 −6 C/m2 D=ε0E+P ∴  1,947×10−6=8,854×10 −12×50×10 3+P ∴ P=1,504 µC/m2 13-Condições de contorno para dielétricos perfeitos a - dois dielétricos perfeitos diferentes  b - dielétrico perfeito×condutor

a- Contorno de dois dielétricos perfeitos diferentes

ε1

D

Dn Dt

ε2

∆s

a

∆h

∆w  b ∆h ∆w

E

En Et

Fronteira Infinita dentro de dielétricos perfeitos

ρS=0 (não existem cargas livres dentro de um dielétrico perfeito em condições estáticas)

componentes tangenciais:  No percusso fechado "a,b,c,d,a", como o campo é conservativo vem:

∫ 

Et1∆w−Et2∆w − En,em b∆h + En,em a∆h=0 sem cargas na superfície V a,b=0 e portanto: Et1∆w−Et2∆w=0 ou: Et1=Et2 39

b

c

a

b

d 

a

∫ ∫ ∫ ∫ 

E.dL =0= + + + c

d 

Ou seja a diferença de potencial entre dois pontos na superfície da fronteira é a mesma nos dois lados. A densidade de fluxo elétrico entretanto varia: D t1 ε 1 D t1 D = E t1 = E t2 = t2 ou = D t2 ε 2 ε1 ε 2 componentes normais: Considerando-se o cilindro com lados infinitesimais: + + Q = D.ds =

∫ 

∫  ∫  ∫ 

S 

topo

base

lado

 Nos lados Dt .ds  se anula em cada metade devido a direção de ds  No topo e na base: D n1∆s − Dn2∆s=∆Q=ρS∆s ∴ Dn1 − Dn2=ρS mas ρS=0 em um dielétrico perfeito assim: Dn1=Dn2 A densidade de fluxo elétrico é portanto contínua na direção normal.

ε1En1=ε2En2

O mesmo não acontece com E que desta vez é descontinuo: D t1 ε 1 = D t2 ε 2

ε1En1=ε2En2

Resumindo: Et1=Et2

Dn1=Dn2

 No caso de D ou E fazerem um ângulo com a superfície da fronteira podemos decompor o vetor em suas componentes normais e tangenciais conforme figura obtendo-se: (1) Dn1=D1senß1=D2senß2=Dn2 D t1 D1 cos β 1 ε 1 = = D t2 D 2 cos β 2 ε 2

D1 Dn1

D2

 ε  (2) D1cosß1= 1 D2cosß2 ε 2

β1 Dt1 Dn2

β2

Dt2

dividindo-se (1) por (2) vem: tgß1=

 ε 1 tgß2 ε 2

b- Contorno entre um dielétrico perfeito e um condutor Dielétrico Dn

∆s

D

++++++++++

Dt

a

∆h

∆w  b ∆h

Condutor E=0

En

++++++++++

∆w

E

Fronteira Infinita

Et

Cargas livres dentro do condutor expulsas para a superfície

Tem portanto a mesma configuração de cargas na fronteira que a fronteira entre um condutor ×vácuo, assim a demonstração é a mesma e os resultados também exceto que D n é dentro de um dielétrico perfeito. Resumindo:

Et=0

En =

Dn ε 

Dt=0

Dn=ρs

Generalizando-se a última expressão para este contorno: 40

D=a Nρs EXEMPLO E5.9 do Haytt

z0 ⇒ εR2=4 a) En1=? En1=Ez1az=70az V/m

a N

dielétrico condutor

E1= −30ax+50ay+70az  V/m

 b) Et1=? E1−Ez1az=(−30 ; 50 ; 0) V/m c) |Et1|=? |Et1|=(−302+ 502)1/2=58,3 V/m d) |E1|=?=91,1 V e) β1=?

E1cosβ1=Et1 ∴ β1=cos−1(|Et1|/|E1|)=50,21º

E5.10 a) Dn2=? Dn2= Dn1=ε1E n1=ε0 εR E n1=8,854×10−12×2,5×70,3=1,549 nC/m 2  b) Dt2=? Lembrando que E  t2=E t1 tem-se Dt2=ε2E t2=ε2E t1= 8,854×10−12×4×58,3=2,064 nC/m 2 c) D2=?

D2=ε2E t1+ε1E n1=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) nC/m 2

d) P2=?

P2=D2 − ε0E 2=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − ε0(D 2/ε0εR )=(−1,062 ; 1,771 ; 1,549) − (D 2/εR )

P2= (−0,797 ; 1,328 ; 1,162) nC/m 3 e) β2=?

D2cosβ2=Dt2 ∴ |(−1,062 ; 1,771 ; 1,549)| ×10−9 cosβ2=2,064 ×10−9 ∴ β2=37,059º

14 - Capacitâncias e capacitores Condutor

Só existem estas cargas logo: carga total zero

−Q1

-

D E

+

+ + + +

Condutor +Q2

Dielétrico erfeito

V0

 Neste sistema temos :

• As cargas estão todas na superfície do condutor porque as condições são estáticas. • De acordo com as condições de fronteira só existe componente do campo elétrico na direção normal às superfícies condutoras e cada condutor é uma superfície equipotencial (E t=0) • O fluxo e campo elétricos estão dirigidos de +Q 2 para − Q1

Se transferirmos uma carga +dQ (positiva) do condutor carregado negativamente  para o outro condutor carregado positivamente:

⇒ realiza-se trabalho contra o campo elétrico  aumentando o potencial na região com carga +Q 2. ⇒ pela Lei de Gauss, a densidade de fluxo elétrico aumentaria na superfície carregada positivamente em conseqüência o campo elétrico.

41

⇒ a ddp entre as duas superfícies condutoras aumentaria na mesma proporção da carga transportada logo podemos escrever uma relação constante: D.ds C  =

∫  = Q   1C/Volt=Farads − ∫ E.dL V  S

+

0

−

15 - Energia no Capacitor A energia necessária para carregar um capacitor até uma tensão V que eqüivale a energia para transferir de uma placa para outra uma carga Q. Pelo principio da conservação da energia esta energia fica acumulada no capacitor. Em termos de infinitésimos temos dW=Vdq ; V=

Q Q   logo dW= dq C C

Se o processo começar com uma carga zero e continuar até que uma carga Q seja fornecida o trabalho total que corresponde à energia acumulada no capacitor será W E: 1 WE = C

Q

∫  0

Q2 Qdq = Joules 2C

CV 2 QV que eqüivale a: W E = =  Joules 2 2

z Exemplo: Capacitor de duas placas paralelas condutoras e um dielétrico perfeito entre elas. z=d -ρS

En Condição de fronteira

∫ D.ds = ∫ ρ  a . dsa C  = − ∫ E.dL − ∫  ρ  a . dza ε  +

S S 0

−

d 

S

z

z 

=

S 

 z

z 

ρ S S ρ S d ε 

z=0 +ρS

y

Q 2 ρ 2S S2 Sdρ S2 = Farads ; WE = = = Joules d 2C 2ε S 2ε  d ε S

Condição de fronteira

42

CAPITULO 7 EQUAÇÕES DE LAPLACE E POISSON 1-Equação de Poisson ∇.D=ρ ; D=εE ; E= −∇V  ⇒ ∇.D=∇.εE= − ∇.(ε∇V )=ρ

∇. ∇V  = −

ρ  que é a equação de Poisson. ε 

A equação de Poisson só é válida para uma região homogênea em que a permissividade é constante. Expandindo a expressão da esquerda em coordenadas cartesianas:

∇.D=

∂  D x ∂  x

∇.∇V  =

∂  D y

∂  D z  ∂ V  ∂ V  ∂ V  ; ∇V= ax+ ay+ az ∂  y ∂  z  ∂  x ∂  y ∂  z  ∂ V     ∂ V    ∂    ∂ V    ∂  ∂     ∂  y        2 2 2  ∂  x   +     +   ∂  z    = ∂  V  + ∂  V  + ∂  V  ∂ x ∂ y ∂ z ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ z 2

+

+

 Nabla dois ou Laplaciano ∇2  ρ  ε 

∇2V= −   com ε = constante (região homogênea) 2-Equação de Laplace Em uma região sem cargas ( ρ=0), porém sem que isto implique não existir cargas grupadas de quaisquer formas nas fronteiras, como fontes de campos no interior da região.

∇2V =0 cilíndricas: esféricas:

que é a equação de Laplace.

∂ V  )] 1 ∂ 2V ∂ 2V  ∂  r  + 2 2+ 2 ∇ V = ∂ r ∂  z  r  r  ∂φ  2 ∂ V  ∂ V  [ ( ∂ r )] ∂  r  1 1 ∂[sen θ ( ∂θ )] 1 ∂ 2V  2 + 2 + 2 2 ∇ V = 2 2 r  r  sen θ  r  sen θ  ∂φ  ∂r ∂θ 2

1 ∂ [r (

A equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. A equação de Laplace fornece um meio de se obter a função potencial dentro de um volume limitado por superfície condutoras. A função potencial neste caso fica sujeita às condições de contorno estabelecidas e a solução desta equação depende destes valores nas fronteiras. “Aplicando-se a equação de Laplace em uma região em que não existe cargas para qualquer configuração de eletrodos ou condutores possíveis nas fronteiras o campo produzido deverá ser tal que ∇  ∇2  V=0”

Cargas nas fronteiras gerando V dentro da região

Região fechada +

V=?

ρ=0

+ + + +

43

V conhecido em fronteiras equipotenciais (superfícies condutoras

3-Soluções da equação de Laplace Como a equação de Laplace é uma equação diferencial parcial do segundo grau. O método mais simples de resolver esta equação é o da integração direta mais só serve se a variação for com apenas uma das coordenadas, ou seja variações unidimensionais. Para variações com duas ou três coordenadas o método é a solução produto que necessita, dependendo do sistema de coordenadas adotado, utilizar ferramentas matemáticas avançadas tais como funções de Bessel e Fourrier, harmônicos esféricos e cilíndricos e decomposição por séries infinitas. 4-Solução por integração direta.  Nos três sistemas de coordenadas esta solução se resumem em cinco casos porque: ♦ no sistema de coordenadas cartesianas só existe um caso: tanto faz a variação com x,y ou z porque existe simetria. ♦ no sistema de coordenadas cilíndricas só existem dois casos: a variação com z é igual à variação com z em coordenadas cartesianas. ♦ no sistema de coordenadas esféricas também só existem dois casos: a variação com Ø é igual à variação com Ø em coordenadas cilíndricas. 5-As cinco soluções da equação de Laplace por integração direta. 5.1-Sistema de coordenadas cartesianas 2

Com V=f(x) unicamente vem: ∇ V  =

∂ 2V  = 0  que passa para uma derivada total: ∂ x 2

d 2V  d  dV   dV  = 0 ou 0 integrando-se duas vezes vem: = A ∴ dV =Adx e V=Ax+B   =    dx 2 dx   dx   dx Generalizando-se: V=Ak+B onde: k=x,y ou z A e B são as constantes de integração Para se levantar as constantes de integração precisamos das condições de contorno. EXEMPLO: V=f(x) segue que: ⇒ com x constante V também é constante o que determina uma superfície equipotencial  que eqüivale em condições estáticas uma superfície condutora . ⇒ a superfície em que x é constante é um plano infinito perpendicular ao eixo x. ⇒ dois planos como este podem ser considerados fronteiras de uma região sem cargas (podendo existir cargas nestas fronteiras gerando os potenciais dentro da região). ⇒ fixando-se os valores de potencial nas fronteiras com auxílio da Equação de Laplace pode-se determinar a variação de potencial no volume limitado pelas fronteiras. Isto é o que existe em um capacitor de placas paralelas nos quais todas as cargas estão na superfície dos condutores e não existe cargas entre as placas. Fixando-se valores nas fronteiras: V1 V=V1 em x=x1 V=V2 em x=x2 V2 x1 substituindo-se em V=Ax+B tem-se um sistema de equações do primeiro grau: x2 V1=Ax1+B V2=Ax2+B resolvendo-se o sistema levanta-se as constantes de integração A e B:

44

A=

V1 − V2 x1 − x 2

;

B=

V2 x1 − V1 x 2 x1 − x 2

e V=Ax+B =

V1 (x - x2 ) − V2 (x - x1 ) x1 − x 2

Fixando-se os valores de V 1 e V 2 na fronteira, calcula-se a função potencial no interior de um volume.

EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um capacitor de placas paralelas: fazendo-se: V2=0 em x=0 ( referência dos potenciais ) V1=V0 em x=n

V1=Ax1+B V2=Ax2+B

0=A(0)+B V0=An+B

∴  B=0 ∴  A=(V0 − 0)/n

V1=0 z y V2=V0 x

x=n

a N

−ρS

a N

V0 x +ρS n onde: V a função que indica a variação do potencial entre as placas do capacitor com referência na placa situada em x=0. V0 é a ddp entre as placas V x   d     0   ε V0 n   a D=εE= − ε∇V  ; D = εE = − ε  a x =− dx n x  Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=Dna N e Dn=ρs onde: a N é um unitário que aponta do condutor para o dielétrico. logo em V=Ax+B temos V =

 Na placa situada em x=n temos: ε V ε V ε V ε V Dn= − 0 a N= − 0 (−ax)= 0 ax logo ρS= 0 significando que em x=n temos cargas positivas n n n n ε V0 ε V S A cargas na placa com cargas positivas é: Q = ds = 0  s n n εV S ε S logo C= 0 = nV0 n ε S ou C= com “d” a distância entre as placas ( mesmo valor encontrado anteriormente usando-se a Lei d de Gauss e potencial entre dois pontos).

∫ 

Teorema da unicidade

“Se uma resposta satisfaz uma condição de contorno também satisfaz a equação de Laplace ou seja: qualquer outro método aplicado diferente da equação de Laplace dará o mesmo resultado para os valores da função V na região”.

5.2-Sistema de coordenadas cilíndricas 5.2.1-Variando V somente em função da coordenada r V=f(r) com r constante temos V constante, logo isto gera superfícies equipotenciais cilíndricas concêntricas com o eixo z ou seja cabos coaxiais ou capacitores coaxiais. Podemos escrever com derivadas totais: 1 d[r( dV dr )] =0 r  dr  como r esta no denominador r ≠0 e permite que se multiplique ambos os lados por r. 45

d[r( dV dr )] dr 

= 0 integramos r( dV  dr ) = A ou dV=A(dr/r) portanto V=Alnr+B

EXEMPLO: Usando-se a Equação de Laplace calcular a capacitância de um cabo coaxial: Coloca-se o potencial zero de referência na capa externa do cabo ou no cilindro de raio maior igual a "b" e admite-se que ρ=0 no dielétrico entre os cabos (dielétrico perfeito). V=V0 em r=a V=0 em r=b com b>a Substituindo-se em V=Alnr+B temos: 0=Alnb+B ∴ B= − Alnb V0=Alna+B ∴ V0=Alna −Alnb=Aln(a/b) V=V0 z ou logo: V V ln b A= 0 B = − Alnb = − 0 a ln a b ln a b agora podemos escrever : V ln r  V0 ln b V0 V= 0 − = (ln r - ln b) = V 0 ln a b ln a b ln a b

dV D = −ε a =− dr  r

D=εE= −ε∇V 

ln b r  ln b a

  ln  b      r  d  V0    b  ln     a   dr 

D

d (ln u )

= dx

1 du u

dx

r  V0 d(ln  b) ε V0 a r = ε  ar = ar  b  b dr  ln a rln a

O sentido de D determina cargas positivas em r=a  Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=Dnan e Dn=ρs εV0 εV 2πaL εV0 2πL   = 0 = Q a,comp L = ρ ds = aln b a aln b a ln b a

∫

V=0

 b

∫ 

C=

2πε L ln b a

5.2.2-Variando V sómente em função da coordenada φ V=f(φ) as superfícies equipotenciais para cada valor de φ serão planos radiais em torno do eixo z 1 d 2V  =0 E r 2 dφ 2 V=V0 em φ=β como r esta no denominador tem valor diferente de zero.  Neste caso isto também significa que os planos não se tocam. ρS 2 d V  Multiplicando-se por r 2 ambos os lados =0 β dφ 2 V=0 em φ=0 Integrando-se duas vezes dV=Ad φ e finalmente: V=Aφ+B EXEMPLO: Calcular a capacitância deste sistema (que seria mais difícil pelos métodos anteriores) Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre os planos: V=V0 em φ=ß V=0 em φ=0 Levantando-se os valores das constantes de integração: V V=Aφ+B ; B=0 ; V 0=Aβ+B logo: A= 0 β 

46

V=

V0φ  β 

Volts, que é a variação da função V entre os planos.

1 dV V aø= − ε 0  aø pelo sentido de D temos cargas positivas em φ=β r  dφ  r β   Na fronteira condutor×dielétrico temos: |Dn|=ρs r 2  z 1 ε V ε z1 r 2 ε V0 z1 r 2 0 Q φ =β  = drdz = ln C ≅ ln F/m r 1 0 r 1 r 1 β r  β  β 

D=εE= − ε∇V

D= −ε

∫  ∫ 

r 1 para evitar curto-circuito e r 2 e z1 para evitar capacitância infinita 5.3-Sistema de coordenadas esféricas . 5.3.1-Variando V somente em função da coordenada r. V=(r) resulta que as superfícies equipotenciais são esferas concêntricas com a origem. 2 1 d[r ( dV dr )] =0 r 2 dr  r ≠0 multiplicando-se ambos os lados por r 2 vem: A r 2 (dV dr ) = A ; V= − + B r  EXEMPLO: Calcular a capacitância entre duas esferas concêntricas Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre as esferas: V=V0 em r=a b>a V=0 em r=b Levantando-se os valores das constantes de integração: A A 0=− +B V0  = − + B  b a V=0 V0 a V 0 1 1 − a V0 A  b  b = B= A= B=  b 1 −1 1 −1  b  b D  b a  b a 1 −1 A V= − + B V = V0 r   b 1 −1 r  a  b que é a variação da função V entre os planos.   1 − 1   d  V0 r   b     1 − 1   a  b   a D=εE= −ε∇V = −ε (dV dr ) ar  D = − ε  r dr  1 1 εV0 d( r  −  b) ε V0 D = −  ar  portanto cargas positivas em r=a = 2 1 −1 1 1 dr  r  ( a −  b) a  b  Na fronteira condutor×dielétrico temos: D=Dna N e Dn=ρs

∫ 

Q r =a = D n ds =Dn4πa2=4πa2 com b→∞

ε V0

a 2 ( 1a − 1 b)

=

4πε V0 ( 1a − 1 b)

C=

4πε    Farads 1 1 ( a −  b)

C=4πεa Farads esfera de raio “a” solta no espaço 47

V=V0

5.3.2- Variando V somente em função da coordenada θ V=f(θ) como V varia apenas com θ as superfícies equipotenciais são cones concêntricos com o eixo z e com vértice na origem. 1 d[senθ ( dV dθ )] =0 r 2 sen θ  dθ  Com r ≠0, θ≠0 e θ≠π vem multiplicando-se ambos os lados por r 2senθ Adθ  senθ (dV dθ ) = A ; V  = + B  que de uma tabela de integrais: senθ  V=A ln[tg(θ/2)]+B

∫ 

Fixando-se valores nas fronteiras e admitindo-se não haver cargas livres entre os cones: V=V0 em θ=θ1 V=0 em θ=θ2 Levantando-se os valores das constantes de integração: V0=A ln[tg(θ1/2)]+B e 0=A ln[tg(θ2/2)]+B V0 B= −A ln[tg(θ2/2)] e A = -ρs ln tg θ 1 2 − ln tg θ 2  2 +ρs r 2 θ1 E substituindo-se na expressão de Laplace : V = V0

ln tg θ 2 − ln tg θ 2  2

θ2

V=0 V=V0

ln tg θ 1 2 − ln tg θ 2  2 que é a variação da função V entre os cones .

r 1≠0

EXEMPLO: com θ2=90° calcular a capacitância com θ2=90° temos um plano em z=0, com θ1 --------> -----> ---> --> --> ---> -----> --------> -----------> campo que tem rotacional mostrando o rotacional ------------------> ------------------> ------------------>

----> -----> ------> ----> -----> ------> ----> -----> ------> ----> -----> ------> campo que tem divergência

campo lamelar, não tem divergência nem rotacional (denominado “lamelar”)

 "O módulo do vetor proveniente do rotacional de um campo vetorial é proporcional à taxa de

mudança da intensidade deste campo em uma direção perpendicular à direção do campo"   A direção do rotacional rotacional é perpendicular perpendicular ao plano plano que contem o campo vetorial.  campo resultante da operação de rotacional é solenoidal pois se fecha sobre si mesmo  e

como

conseqüência conseqüência direta disto

∇.rotacional A=0 

inverso vale: “ Se a divergência divergência de um campo é nula ele é o rotacional rotacional de um outro campo”.

Se uma roda com pás colocada dentro de um campo vetorial tiver ti ver rotação existe rotacional e o seu sentido é aquele indicado pela regra do parafuso de rosca destrógira.

59

 No exemplo haverá um rotacional entrando na pagina na parte superior e saindo da mesma na parte inferior. Quanto maior for a taxa de variação do campo na direção perpendicular a do campo mais rápido gira o medidor de rotacional e maior será o módulo do vetor rotacional do campo. CAMPO ROTACIONAL

--------> ------> ----> --> -> --> ----> ------> -------->

MEDIDORES DE ROTACIONAL

Expressões matemáticas para o rotacional. Em qualquer livro sobre operações com vetores encontramos: | ax ay az | rotA= | ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z| | Ax Ay Az |

OPERADOR logo  NABLA

H=∇×A

 ∂  H  z  ∂  H  y    ∂  H  x ∂  H  z     ∂  H  y ∂  H  x   ay+  az     − −  a +   ∂  z  − ∂  x     ∂  ∂  ∂  ∂   y  z   x  y          

Rotacional H=∇×A= 

lim

x

∫ A. dL = (∇ × A).a

∆S N →0 ∆S N

∇×A n

an

dL

∆S N

A última expressão indica que ele pode ser definido como uma " circulação por unidade de área " onde: "n" indica que o componente do rotacional é normal a superfície envolvida pelo percurso da integral de linha fechada dL é percorrida na periferia da área.

∫ D.ds = ∇.D

lembra-se que lim

∆v→0 ∆v

12 - Aplicação do rotacional ao Eletromagnetismo, 2ª e 3ª Equações de Maxwell. Seja um pequeno percurso fechado de lados dx e dy em coordenadas cartesianas e vamos aplicar nele a lei de Ampère e sabemos que no centro do mesmo temos uma intensidade de campo magnético conhecida e de valor: z

H0=Hx0ax+Hy0ay+Hz0az 1

4

∆y

3

Sentido da integração

∆x 2

y

x 60

(H.dL)1-2=Hy,1-2∆y

Integra-se na direção 1-2-3-4-1

A variação de Hy com a distância ∆x/2 do centro ao ponto médio do lado 1-2, é + Hy,1−2=Hy0+

∂ H y

∆x

∴

∂ x 2

   

(H.dL)1−2=  H y0 +

∂ H y

∂ H y

∆x

∴

∂ x 2

   

(H.dL)1−2+(H.dL)3−4=  H y0 +

∂ x 2

∂ H y

∆x    ∆y ∂ x 2  

A variação de Hy com a distância ∆x/2 do centro ao ponto médio do lado 3-4, é −

Hy,3−4=Hy0 −

∆x

   

(H.dL)3−4=Hy,3−4(−∆y)= −  H y0 −

∂ H y

∆x

∂ x 2

∂ H y

∆x    ∆y ∂ x 2  

∂ H y

∂ H y ∆x   ∂ H y ∆x     ∆x∆y  ∆y −  H y0 −  ∆y = ∂ x 2   ∂ x 2   ∂ x  

e assim sucessivamente nos lados restantes e somando-se tudo:

 ∂ H y ∂ H x     −  ∆x∆y = I = J z∆x∆y x y ∂  ∂     

∫ 

H.d L = 

ou no limite: lim

∆x,∆y→0

onde: lim

∆x,∆y→0

∫ H.d L = ∂ H ∆x∆y

 y

∂ x

−

∂ H x = Jz ∂ y

∫ H.d L é o rotacional para uma circulação no plano “xy” ∆x∆y

As mesmas operações para percursos semelhantes nos outros dois planos “zy” e “xz” resultam: H.d L ∂ H ∂ H z H.d L ∂ H z  ∂ H y  x  = Jy lim = − J e lim = − = x ∆x,∆z→0 ∆z∆x ∆y,∆z →0 ∆z∆y ∂ y ∂ z ∂ z ∂ x

∫ 

∫ 

Somando-se vetorialmente estas três ultimas expressões vem:

 ∂ H z ∂ H y    ∂ H x ∂ H z     ∂ H y ∂ H x   ay+  az=J=∇×H    −   −  ax+   ∂ z − ∂ x      z  y x y ∂  ∂  ∂  ∂            ∇×H =J segunda Equação de Maxwell  também é chamada forma pontual da Lei de Ampère.

Terceira equação de Maxwell nos campos estáticos E estático é um campo conservativo logo E.d L = 0

∫ 

∫ 

A. dL lim = (∇ × A). a n ∆S N →0 ∆S N

e

∇×E = lim ∫  =0 ∆S N →0 ∆S N E. dL

Em outros sistemas de coordenadas sem definir nabla nestes sistemas temos: cilíndricas 61

∇×E=0

 1 ∂  H  Z  ∂  H φ     ∂  H r  ∂  H  z     1 ∂ ( rH φ  ) 1 ∂  H r    aø+  az     − − ∇xH=   ar+   ∂  z  − ∂ r      r   z  r  r  r  ∂φ  ∂  ∂  ∂φ            esféricas

∇xH=

1  ∂  H φ  sen θ  ∂  H θ    1   1 ∂  H r  ∂ ( rH φ  )   1  ∂ ( rH θ  ) 1 ∂  H r     a  a aø       − + − + r θ  sen θ  ∂φ    r   ∂ r  − r  ∂θ    ∂φ    ∂  r sen θ    ∂θ  r  r         

13 - Densidade de fluxo magnético B É relacionado com a intensidade de fluxo magnético pela permeabilidade no vácuo. A unidade que utiliza-se é o Weber/m 2. A unidade oficial é a Tesla, a unidade Gauss é antiga. B=µoH  Wb/m2 ou Teslas µo=4π×10−7  Henrys/m 14 - 4ª equação de Maxwell e Lei de Gauss do Campo magnético nos campos estáticos. 4ª Equação de Maxwell nos campos estáticos O campo magnético é solenoidal porque não existem fontes nem sumidouros do campo magnético (as linhas de fluxo deste campo se fecham sobre si mesmas) e assim toda o valor de B que entra sai de dentro do volume logo: ∇.B=0 logo vem:

∫ B. ds = 0  s

que é a Lei de Gauss do campo Magnético

15 - Fluxo magnético Φ(fi maiusculo) É o fluxo que atravessa uma área especificada. A unidade é o Weber.

Φ= ∫ S B. d s Wb Estas grandezas possuem analogia com grandezas do campo elétrico:

∫ 

∫ 

B=µoH ⇒ D=ε0E ; Φ= B. d s ⇒ ψ = D. d s S 

S 

16 - As quatro equações de Maxwell nos campos estáticos Forma pontual (válida em um ponto) ∇.D=ρ

Forma integral (válida em uma região) D. d s = ρ dv V

∫ 

∫ 

S 

∇×E =0 ∇×H =J ∇.B=0

∫ E. d L = 0 ∫ H. d L = I ∫ B.d s =0 S 

Com estas equações e o auxilio de B=µoH ; D=ε0E ; E= −∇V ; Teorema da divergência e Teorema de Stokes pode-se deduzir qualquer uma das fórmulas até agora vistas. 62

16 - Teorema de Stokes Dividindo-se uma superfície qualquer em superfícies incrementais e aplicando-se a definição de rotacional temos: ∇×H dL

an

dL

∆S N

∫ 

H.dL lim = (∇ × H ).a n = ∇ × H ∆S N →0 ∆S N  Na figura cada lado de uma área ∆S é coberto duas vezes com direções opostas existindo portanto cancelamentos e isto só não ocorre nos lados externos da área ou seja no seu perímetro, logo:

∫  H.dL= ∫ (∇ × H) .ds

que é o Teorema de Stokes

S

onde:dL tem que ser percorrido no perímetro S tem que ser uma superfície aberta caso contrário  dL=0

APLICAÇÕES: 1 - Obter a Lei de Ampère a partir da 2ª equação de Maxwell.

∇×H=J multiplicando-se escalarmente ambos os lados por ds vem: ∇×H.ds = J.ds integrando-se e aplicando-se Stokes: ∫ ∇ × H. ds = ∫ J.ds = ∫ H.dL = I S S  2 - A divergência do rotacional de um campo vetorial é nula ∇.∇×A=0. Supondo-se que o resultado não é zero e sim um escalar T que seria o resultado da operação: ∇.∇×A=T A divergência é uma operação através de um volume com superfície fechada. Através de um volume fechado: ∇.∇ × Adv = VTdv

∫

∫ 

V 

usando-se sucessivamente o teorema da divergência (a superfície é fechada) e de Stokes temos:

∫ ∇. ∇ × Adv = ∫ ∇ × Ads = ∫ A.dL = ∫ Tdv   S

V

V 

dL=0 (é determinado no perímetro), assim a integral é nula em conseqüência VTdv = 0  e como dv ≠ 0 vem que T=0 e portanto: ∇.∇×A = 0 Como a superfície é fechada  temos

∫ 

EXEMPLOS: E8.4 HAYTT: Calcular a integral de linha no sentido anti-horário H=4sen0,4 πzay−(x2+2)2az. Percurso quadrado centro P(1 ; −3 ; 2), lados = 0,6 unidades, no plano x=1, arestas // eixos coordenados,. Z

4 1

3 2

Y

0,6 (1 ; -3 ; 2) X 63

4sen[0,4π(2 − 0,3)]×0,6 − (12+2)2×0,6 − 4sen[0,4π(2 + 0,3)]×0,6 + (1 2+2)2×0,6=1,4295 1−2 (ay) 2−3 (az) 3−4 (− ay) 4−1 (−az)  b)calcule o quociente da divisão da integral pela área envolvida pelo percurso. 1,4295/0,6×0,6=3,9709 c)Determine (∇×H)x (na direção x) em P(1 ; − 3 ; 2) ; H=4sen0,4 πzay−(x2+2)2az (∇×H)x =

∂ H z ∂ y

item b: item c:

−

∂ H y ∂  z 

 ax = −

d(4 sen(0,4π z)) 4 cos(0,4π z) d( 0,4π z) =− = −0,4π 4 cos(0,4π z) = 4,066 dz dz dz 2=

3,97 4,066

ve-se que os resultados se aproximaram sendo que a igualdade só seria obtida quando S---->0 devido a  própria definição do rotacional. Com os lados do quadrado 0,1 tem-se em b: 4,06388. E8.6 Haytt π 

A=2r 2(z+1)sen2φ aφ com percurso r=2 ;

π