Resumo Geometria Plana

 

Matemática  GEOMETRIA  PLANA   é  é  e s s a d a !  b a  b a r

Vem com a Gente aqui!

TIME DO FERRETTO

 

MATEMÁTICA professor

Geometria Plana

ferretto 

ÂNGULOS

Ânguo Aguo

Ânguo Reo

Ânguo Ânguo Complmetrs Suplmetrs

Ânguo Rao

Ânguo Obts

 β

0˚ < < 90˚

 = 90˚

90˚ <

a

c

 

 β

Ânguo itro e xtro e i e

Convexo

CÔNCAVO

n=4 n=5 n=6 n = 7  n=8 n=9 n = 10 n = 11 n = 12 n = 20

tinguo o tiáeo qudiáeo petgo hxágo hptgo octgo eágo dcágo udcágo decágo icoágn

i e

i

É td poígn covex qu posi  ldsequltr cogrets ) e ( oé âguo cngrets ( é quâgl). É par!

e i

Nomecltr n=3

O nmeo d igoas n = 4 qu pasm peo d c = 2 ceto d poígn é igul a med o nmeo d lo.

i e

i + e = 180˚

3 lds 4 lds 5 lds 6 lds

S i = 180˚⋅(n - 2)

n=4

7 lds 8 lds 9 lds 10 lds 11 lds 12 lds 20 lds

d=

Poems dze qu o âguo: a e e so corspnets; d e f so atro itro; b e h so atro extro; c e f so coaei neo; a e h so coaei xtro;

POLÍGONO REGULAR

Cocavid

Polígono

 + = 180˚

Se r//s, eto s âguo atro itro (u atro extro, u corspnets) ã cogrets.

vétc so igus!

POLÍGONOS

Polígono

b a c d f  e g h

miuo  β sguds Ânguo pots peo

1˚ = 60’ 1’ = 60”

π rad

= 180˚

a e b so âguo ajcets.

b

LEMBRE-SE

180˚

+ β = 90˚

so âguo cnecuivo;

Grau(º) Radia ian no (rad) 2π

< 180˚

 β

a e b, a e c, b e c

Unde d meia 360º

 

 β

Si = 180˚(4 - 2)

É ímpar!

Nehma dgoa n = 5 pas peo cnr d = 0 d poígn. c

Si = 360˚

Ânguo ceta ac = 360˚ n

ac

Se = 360˚ sempre!

Digoas n(n-3) 2

Apóema É o sgmet qu lga o ceto a pot méi d um ld e um poígn rgua.

a

To poígn rgua é iscrtve e cicuscrtve a um cicuenci. r=a

você sabia?

O petgo é o úic poígn cujo nmeo d lo n é igul a nmeo d igoas d. www.professorferretto.com.br/

R

r 

 

MATEMÁTICA professor

 TRIÂNGULOS

ferretto 

eA

Terma d bistz itra

Elmets

A

vétcs

iA

lds

b

c

a

âguo itro

iB

B e B

eC 

iC 

C 

a

Uma bistz itra d um tinguo dvie o ld opso em sgmets prpocins a lds ajcets.

c b

d

A bissetriz é uma smirt qu dvie o âguo em di âguo igus.

âguo extro

Clsifcaço

Cogrets = igul meia

QUANTO AOS LADOS

BARICENTRO Equilátero

isósceles

Escaleno

Dos ld cogrets

Trs ld ld  cogrets

A

QUANTO AOS ÂNGULOS a

b

b

a

a

b

B

c

c

c

Retângulo Tem um

Acutângulo Tem o tê

ObtusÂngulo Tem um âgl

âguo rt a² = b² + c²

âguo aguo a² < b² + c²

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS

a + b + c = 180˚

b

c

a a

TEOREMA DO ÂNGULO EXTERNO b

DESIGUALDADE TRIÂNGULAR

b

AG = 2.GM BG = 2.GM CG = 2.GM

O baiceto   ceto d C  grviae d tinguo.

M

NCENTRO É oIpno d ecot ds bistze itra d tinguo. A O iceto   ceto d cicuenci iscrt n râguo. I

B C  A mediatriz é uma rt qu pas n pot méi d um sgmet rt e  pepnicua  e. A

E

mao nguo

M

A

D

ORTOCENTRO

0

É o pno d ecot ds atrs d tinguo.

C 

B

c

É a fómua d áe d qulqe poígn rgua!

5 oma d cacur a ÁREA d qulqe tinguo h b

A= b·h 2

b

a · b · sen A= 2

www.professorferretto.com.br/

c

a

h

M

É o pno d ecot ds meitze d tinguo. F  O cicuceto   ceto M C  M d cicuenci cicuscrt cicuscr t a rnguo.

e

a < b + c Em td râguo ca b < a + c ld é smpr meo qu c < a + b a sm ds ots di.

a

B

CIRCUNCENTRO

e=a+b

mao ld

AO MAIOR LADO OPÕE-SE O MAIOR ÂNGULO

a

obts a² > b² + c²

Propriedades

pot méi

G M

M

Reparem só no meu BICO!

Pots Noáves

É o pno d ecot ds meins d tinguo.

Trs ld ld  NÃO cogrets

a c = b d

c

a R b

abc A=  4R

b

Semiprmeo p=a+b+c

c

a

2

r  b

A = p · (p - a) · (p (p - b) · (p (p - c)

A = p · r 

semiperímetro

apótema do triângulo

   

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Semlaç d tinguo

ferretto 

vái pa lds hmógo, peímto, atrs hmóga ...

três ângulos congruentes

a

x

c

a b c a+b+c = = = =K x y z x+y+z

z y

lados homólogos proporcionais

b

A rzã et áes d os tinguo smehns é igul a qudao d rzã d smehnça.

entre os mesmos dois ângulos

Reaçõs mérca n tinguo rtnguo Altura relativa à hipotenusa

b

c  a   t  e   t  o  

h

proteção

 

c² = m · a

projeção

m

n

a² = b² + c²

 a · h = b · c

O prdt o caeo  igul a prdt a hpoeua pe atr eaiv a e.

h² = n · m

O qudao d atr eaiv à hpoeua  igul a prdt a prjeçõs.

a hipotenusa

 β

a

b c

sen cos

=

tg =

=

+  = 90º = cos β sen Logo:  sen  β = cos

b c

Trâguo eqiáeo altura: l 

h

h = l   3 2

l 

To tinguo eqiáeo é um poígn rgua  e  e td poígn rgua é iscrtve e cicucrtve a cicue cicuenci. nci.

área:

Terma d bae mda

r  R=

2 h 3

r=

E

⁄

⁄

⁄

COSSENO

⁄

⁄

⁄

TANGENTE

⁄

1

3

Trâguo rtnguo iscrt

1 h 3

Terma d Tls r//s//t//u a

F 

A

su rspectvo lds, eto, AB é parl a CD e AB = CD .

b

2

x

Nes cao: AB = EF + CD 2

r  s

y t

B c

C

R

To tinguo rtnguo iscrt em uma cicuenci posi a hpoeua com dâmer.

D

Se A e B so pno méis d

www.professorferretto.com.br/

SENO

O toema tmbém s aplc a tpézi.

B

C 

60˚

R

apóem d tinguo

A

45˚

R

A = l   ²²4 3

l 

30˚

 β

CA c = HIP a sen cos

Pitágoras de Samos

Arco ntves

Razõs tigomérca n tinguo rtnguo CO b = HIP = a

A = k² A

Não esqueça da relação métrica mais importante, o meu Teorema!

Ca caeo lvao  qudao é igul a prdt et sa prjeçã n hpoeua   hpoeua.

b² = n · a

c

   t  o    t  e   a   c

K é a razão de semelhança

z

u

D

a b c a+b+c = = = x y z x+y+z

 

MATEMÁTICA professor

QUADRILÁTEROS

ferretto 

Trpézi

É o qudiáeo qu posi di lds palo.

b

área: h

A=

(B + b) · h 2

TRAPÉZIO ISÓSCELES

B

Posi ds âguo rts (90º). b h b

P1. AsPROPRIEDADES dagoi s necptm

É o qudiáeo qu posi  lds opts cogrets e palo. a

h

área:

B

em su pots méis. P2. Os âguo pots ã cogrets.

A=b·h

a

h B-b

tg =

h

B

Palogrm b a

TRAPÉZIO RETÂNGULO

Posi  lds no palo cngrets. b Os âguo ds bae so cogrets.

B-b

b

 β

M

a

 β

b

b

Reâguo a

P1. Em td rtnguo a dgoas o

cogrets e  crzam em su pots méis.

É o qudiáeo qu posi  quto âguo rts (90º).

b

b

área:

a M

b

A=a·b

a

D

d

l 

P1. As dagoi d lsngo ã bistze d su

É o qudiáeo qu posi  quto lds cogrets.

l 

área:

l 

vétcs e  crzam em su pots méis.

D·d A= 2

l

É o qudiáe q udiáeoo qu posi  quto âguo e s quto lds cogrets.

d

l 

área:

A = l ²

d 2

M

Qudao l 

d=l 2

O qudao é um poígn rgua e td poígn rgua é iscrtve e cicuscrtve a cicuenci.

a

To é lsngo e tdqudao qurd, lsngo ee rtnguo, rtnguo é palogrm.

To qudiáeo iscrt em uma cicuenci posi o âguo pots splmetrs.

c b d

l 

l ² =

²

²

( D2 ) + ( d2 )

D 2

l 

Quadrilátero inscrito

d² = a² + b²

a

a

Loag l 

d

b

b

d r 

d R= 2

  l 

r= 2 apóem d qudao

HEXÁGONO REGULAR É o hxágo qu posi  âguo itro e s ld cogrets er s.

Incrçã e Cicuscrçã

l 

c + d = 180º

a + b = 180º

Quadrilátero circunscrito a c d

b

Se um qarlto é cicuscrt cicuscr t a um cicuenci, cicue nci, a sm d di lds opts é igul à sm ds ots di. a+b=c+d

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l 

l 

R l 

l 

R = l 

l 

A = 6 · l ² 3 4

Fomam-sequltrs! 6 tinguo

Po is, tds o âguo itro d hxágo rgua mem 120˚!

r  r=h

=

l   

2

3

 

MATEMÁTICA professor

CIRCUNFERÊNCIA E CÍRCULO

ferretto 

Elmets segmento circular 

B

R

  r o  e  t   m raio  d  i  â  m

A = πR²

Comprmet d um aco

setor  circular 

l 

 d a  c o r

R

P

Área do círculo

C = 2πR

reta secante arco

A

Comprimento da circunferência

Ára d str cicua 

em rdao!! l   = · R Lid Ala Rome

R

l · R

A=

l 

2

R

flecha

reta tangente

Lembr d fómua d áe d tinguo!

R l 

PROP PR OPRI RIED EDAD ADE E DA TAN ANGE GENT NTE E

PROP PR OPRI RIED EDAD ADE E DA SE SECA CANT NTE E

SEGM SE GMEN ENT TOS TAN ANGE GENT NTES ES

t P

tnge

R

A

s R

Toa tnge a uma cicuenci éri prpedcua n pot d o tngêci.

R

B x

d xM

R² = d² + x²

A

PA = PB

R

C 

x

B

ÂNGULO CENTRAL E ÂNGULO INSCRIT INSCRITO O

P

R

Ânguo d sgmet

x = PC - R

Arco capz

  = Ânguo iscrt  β = Ânguo ceta t

 β

=

R  β R

 β

x   x

 2

Ânguo excnrco itro  x

x

a

b

 x =

a+b 2

=

 β

 2

l 

Ânguo excnrco extro  a

a

b

x

b

a

a-b x= 2

a

x

b

b

x

Poêci d pot o Terma ds cods ponto P i in nterno ponto P externo Pat exra x Toa = Pre xtra x Toa a

c

a·b=c·d d

P b

a b

P

b c d

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a

P

a (a + b) = c (c + d)

c

c² = a · (a + b)