RESUMO - Centro de Massa e Momento Linear

Centro de Massa e Momento Linear

Centro de Massa e Momento Linear Prof. Prof. F´abio abi o Nakagomi Nakag omi UDF - Centro Universit´ ario ario

1 de abril de 2013

Centro de Massa e Momento Linear

Sum´ ario 1

Centro Cen tro de de Massa Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Pa Part rt´´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema S istema de Part´ Part´ıcula ıculass

5

Colis˜ Col is˜ao ao e Imp Impul ulso so

6 7

  Conserva¸c˜ c˜ao ao do Mome Momento nto Lin Linear ear Sistem Sis temaa de d e Mass M assaa Vari´avel ave l

Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa

Sum´ ario 1

Centro de Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

5

Colis˜ao e Impulso

6 7

  Conserva¸c˜ao do Momento Linear Sistema de Massa Vari´avel

Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa

Introdu¸c˜ ao

Defini¸c˜ao O  Centro de Massa  de um sistema de part´ıculas ´e o ponto que se move como se: 1

Toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto.

2

Todas as for¸cas externas estivessem aplicadas nesse ponto.

3

Centro de Massa = Centro de Gravidade.

Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa

Se as part´ıculas est˜ao distribu´ıdas em trˆes dimens˜ oes, a posi¸c˜ao do es pontos: Centro de Massa  deve ser especificada por trˆ Coordenadas do  Centro de Massa X Centro de Massa =

Y Centro de Massa =

Z Centro de Massa =

1 M 

1 M 

1 M 

 m x  n

i  i 

 m y  i =1 n

i  i 

 m z  i =1 n

i  i 

i =1

(1.1)

Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa

O vetor posi¸c˜ao do  Centro de Massa:  + Z CM    r CM = X CM  i  + Y CM j  k 

 

(1.2)

Podemos utilizar uma ´unica equa¸c˜ao vetorial:   r CM =

1 M 

 m  r  n

i  i 

 

i =1

r i  Sendo o vetor posi¸c˜ao de cada massa i  ´e dado por  

(1.3)

Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa

Para uma distribui¸c˜ao cont´ınua de massa: Coordenadas do  Centro de Massa X Centro de Massa Y Centro de Massa

  1 x  m = M    1 y  m = M    1

Z Centro de Massa =

d

d

M 

z dm

(1.4)

Centro de Massa e Momento Linear Centro de Massa

Se considerarmos apenas objetos uniformes, temos que: Massa Espec´ıfica dm

M  ρ = = dV  V 

 

(1.5)

Coordenadas do  Centro de Massa X Centro de Massa Y Centro de Massa

  1 x  V  = V    1 y  V  = V    1

Z Centro de Massa =

d

d

V 

z dV 

(1.6)

Centro de Massa e Momento Linear Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

Sum´ ario 1

Centro de Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

5

Colis˜ao e Impulso

6 7

  Conserva¸c˜ao do Momento Linear Sistema de Massa Vari´avel

Centro de Massa e Momento Linear Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

O  movimento do  Centro de Massa  de qualquer sistema de part´ıculas ´e expresso pela equa¸c˜ao: Segunda Lei de Newton  res = M a cm F 

 

(2.1)

 res   - For¸ca resultante de todas as for¸cas externas que F  agem sobre o sistema. M  - Massa total do sistema.

  acm   - Acelera¸c˜ ao do Centro de Massa do sistema.

Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear

Sum´ ario 1

Centro de Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

5

Colis˜ao e Impulso

6 7

  Conserva¸c˜ao do Momento Linear Sistema de Massa Vari´avel

Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear

p  O   Momento Linear  de uma part´ıcula ´e uma  grandeza vetorial   definida como:

Momento Linear   p  = m  v    p  - Momento linear da part´ıcula. m - Massa da part´ıcula.

  v  - Velocidade da part´ıcula.

 

(3.1)

Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear

Segunda Lei de Newton

Newton expressou originalmente a sua Segunda Lei em termos de momento: Segunda Lei A taxa de varia¸c˜ ao com o tempo do momento de uma part´ıcula ´ e  igual ` a for¸ca resultante que atua sobre a part´ıcula e tem a mesma orienta¸ c˜ao que essa for¸ca.

Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear

Em forma de equa¸c˜ao, isso significa o seguinte: Segunda Lei  res = F 

d p   dt 

 

(3.2)

Demonstra¸c˜ao: d p   d  d v     F res = = (m  v ) = m = m  a dt 

dt 

dt 

 

(3.3)

Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

Sum´ ario 1

Centro de Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

5

Colis˜ao e Impulso

6 7

  Conserva¸c˜ao do Momento Linear Sistema de Massa Vari´avel

Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

Vamos estender a defini¸c˜ao de momento linear para um sitema de part´ıculas. Considere um sistema de n  part´ıculas, cada um com sua pr´ opria massa, velocidade e momento linear.  , O sistema como um todo tem um momento linear total P  que ´e definido como  a soma vetorial dos momentos lineares de todas as part´ıculas .   =   P  p 1  +   p 2  + · · · +   p n v 1  +  m2  v 2  + · · · + mn  v n = m1  = M v C  .M.

(4.1)

Centro de Massa e Momento Linear Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

Momento Linear para um sistema de part´ıculas O momento linear de um sistema de part´ıculas ´ e igual ao produto  da massa total do sistema pela velocidade do centro de massa.

A Segunda Lei para um sistema de part´ıculas:  res F 

  d P  = dt 

 

(4.2)

 res ´e a  for¸ca externa resultante  que age sobre o sistema. Onde F 

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

Sum´ ario 1

Centro de Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

5

Colis˜ao e Impulso

6 7

  Conserva¸c˜ao do Momento Linear Sistema de Massa Vari´avel

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

Colis˜ ao

p   de qualquer corpo que se comporta como uma O momento   part´ıcula n˜ao pode variar, a menos que uma  for¸ca externa  atue sobre o corpo.

Colis˜ao ao, a for¸ca exercida sobre o corpo ´ Em uma  colis˜ e de curta dura¸c˜ao, tem um m´odulo elevado e muda bruscamente o momento do corpo.

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

Temos que a Segunda Lei: d p     F (t ) =

dt   (t )dt  d p   = F 

(5.1)

Podemos determinar a varia¸c˜ao total do momento integrando ambos os membros da equa¸c˜ao de um instante t i   imediatamente antes da colis˜ao at´e um instante t f    imediatamente ap´ os a colis˜ao:

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

 

  d p   =     p  −   p  =     t f  

t i 

t f  

 (t )dt  F 

t i  t f  

i 

f  

 (t )dt  F 

(5.2)

t i 

t f  

∆  p  =

F (t )dt 

t i 

O lado direito, que ´e uma medida tanto da intensidade quanto da dura¸c˜ao da for¸ca da colis˜ao, ´e chamado de  impulso: Impulso   J  =

 

t f  

t i 

 (t )dt  F 

 

(5.3)

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

A aplica¸ca˜o da Segunda Lei de Newton a um corpo que se comporta como uma part´ıcula envolvido em uma colis˜ao leva ao teorema do impulso e momento linear : Teorema do Impulso e Momento Linear   p f   −   p i  = ∆  p  =   J 

 

(5.4)

 (t ) durante a colis˜ao e ∆t  Se considerarmos apenas a m´edia de F  como sendo a dura¸c˜ao da colis˜ao, para um movimento unidimensional temos: J  = F med ∆t    (5.5)

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

Colis˜ oes em S´erie

Quando uma s´erie de proj´eteis de massa m  e velocidade v   colide com um corpo fixo, a for¸ca m´edia que age sobre o corpo fixo ´e dada por: F med =

J  ∆t 

 

(5.6) Figura 1 :   Colis˜ oes em S´erie.

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

A varia¸c˜ao total do momento linear de n  proj´eteis durante o intevalo ∆t   vale n∆p . O impulso resultante J  a que ´e submetido o alvo no intervalo ∆t  pode ser escrito como: J  = − n∆p 

 

(5.7)

Onde o sinal negativo indica que J  e ∆p   tˆem sentidos opostos. Temos que: F med

J  n n = = − ∆p  = − m∆v  ∆t  ∆t  ∆t 

 

(5.8)

Centro de Massa e Momento Linear Colis˜ ao e Impulso

A equa¸c˜ao 5.8 expressa F med  em termos de n/∆, a taxa com a qual os proj´eteis colidem com o alvo, e ∆v , representa a varia¸c˜ao de velocidade dos proj´eteis. Se os proj´eteis param ap´os o choque: ∆v  = v f   − v i  = 0 −  v  = −v . Se os proj´eteis ricocheteiam sem mudan¸ca na velocidade escalar: ∆v  = v f   − v i  = −v  − v  = −2v . No intervalo ∆t , uma quantidade de massa ∆m = nm  colide com o alvo, podemos escrever: F med

∆m =− ∆v  ∆t 

 

(5.9)

Centro de Massa e Momento Linear Conserva¸ c˜ ao do Momento Linear

Sum´ ario 1

Centro de Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

5

Colis˜ao e Impulso

6 7

  Conserva¸c˜ao do Momento Linear Sistema de Massa Vari´avel

Centro de Massa e Momento Linear Conserva¸ c˜ ao do Momento Linear

Se um sistema est´a isolado de tal forma que nenhuma for¸ca   do sistema resultante externa  atua sobre ele, o momento linear P  permanece constante: Conserva¸c˜ao do Momento Linear   = constante P 

(6.1)

Esta equa¸c˜ao tamb´em pode ser escrita na forma: Conserva¸c˜ao do Momento Linear  f   = P   i  P 

 

(6.2)

Centro de Massa e Momento Linear Sistema de Massa Vari´ avel

Sum´ ario 1

Centro de Massa

2

Segunda Lei de Newton para um Sistema de Part´ıculas

3

  Momento Linear

4

Momento Linear de um Sistema de Part´ıculas

5

Colis˜ao e Impulso

6 7

  Conserva¸c˜ao do Momento Linear Sistema de Massa Vari´avel