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Electromagnetismo Electromagnetismo - Estática Electricidad

Magnetismo ̄ = λ ̄v  I : cantidad de carga que pasa por unidad  l  ,  I   I  d ̄ l  de tiempo = dQ/dt [C/seg=Ampere] q ' ̄v =  g  ̄ dA ,  g  ̄ = σ ̄v  g : densidad superf. de corriente [ A/m  A/m] ̄ dV ̄ = ρ ̄v  J : densidad volumétrica [C/m3*m/s=A/m2]  J   dV ,  J  [! "!esl#$=N/"C m/s$=N/A m ] 1   0 (q ̄v )×(r  r ' ) ̄r − ̄r 

{

{

 λ densidad lineal de carga [ C/m] r ' ) dl '   λ (̄r  σ  densidad  densidad superficial de carga [ C/m2] dQ ' = σ (̄r  r ' ) dS '   ρ densidad volumétrica de carga [C/m3]  ρ ( r  ̄r ' ) dV '  r −̄r  r ' ) r − r  q (̄r  ̄r ' ) [ N/C=V/m ̄ (̄r  ̄ (̄r r )= 1 ∫ dQ ' (̄r  r )=  E   N/C=V/m]  B ̄ (̄r  r )= )= Campo  E  3 3 Gauss= 104 ! 3 4π ε 0 ∥̄r  4π ε 0 ∥r  4π ∥̄r  r − ̄r  r ' ∥ r ' ∥ ̄r − ̄r  r −̄r  r ' ∥ ̄ l ' )× R     ̄ ̄ ̄ ' ̄ R ̄ (̄r r )= % e ∫ λ (̄r r ' ) dl3 ' ̄ R ̄ (̄r r )= % e ∭  ρ (r ̄r ' ) dV ̄ (r ̄r )=% m∫ (  d  l  ̄ (r ̄r )=% m∭ ( J dV ' 3)× R  E   E   B  B 3 3  &  &  &  & C  V  C  V  Campo en 1     ̄  R ' ̄ )× R Distrib.  E  ̄ dS ' )× % e = ̄ (̄r r )= % e∬ σ (̄r r ' ) dS ̄ (r ̄r )=% m∬ ( g  % m= 0  B 3 3 4π ε continuas 4π 0  &  & S  S  ̄ =̄r  ̄∥ r: vector donde eval"o el campo r': vector de fuente de campo# so$re el cual integro  R r −̄r  r ' , &=∥ R

Elemento Fuente

Forma Integral

E conser!ati!o

"otencial Fuer#a "oisson

̄ ⋅ E  ̄ = ρ ∇ ε0 ̄  E  ̄ =0 ∇×

Q e()

∯ E ̄⋅̄d d    S S = ε ∮ E ̄⋅d ̄l =0

 Gauss

Leyes (estática)

Forma Diferencial

∫  E ̄⋅d ̄ l  l = ΔQ+ 

V  * −V  A =−

 *

0

V ( r  ̄r )=% e

 A

∫ dQr  ' 

̄ =−∇   E  =−∇ V 

!ra$a'o = (uer)a * +ist. %otencial = !ra$a'o ,&arga = &o * +ist. ̄ =Q̄  E =−Q ∇ V ( ̄r    ( ̄r  F  r )=−∇  )=−∇   r ) ∇  V =− ρ / ε0

mpere monopolo

Form a Integral

Forma Diferencial  

∮ B̄⋅d ̄ l  l = 0 I e() S = 0 ∯ B̄⋅̄d d    S 

̄  B ̄ =  0 J  ̄ ∇×

̄

 J ( ̄r  r ' ) dV '  ∭  & V 

̄ (r ̄r )=% m  A

̄ ⋅ B ̄ =0 ∇ %otencial vectorial con gauge de &oulom$

̄ =̄∇ ̄  B ̄ ∇ × A

̄ = I d ̄ l  ̄ F   l × B

̄ = q ̄v × B ̄ F  -

̄ =− 0 J  ̄ ( ∇ - A -=− 0 .  - - , ∇ - A  =− 0 .    , ∇ - A 0=− 0 .  0 0 ) ∇   A

E$pansi%n Multipolar y Momentos Electricidad Magnetismo  1-p#(s( del pte()#l V C#mp E  de  del dpl 1-p#(s( del pte()#l A C#mp B del dpl E$pansi%n r ) ̄r  r  m× r  r  ̄ r  m r  r  ̄ + 3 ( p ̄ ⋅̄r  ̄ (m ̄⋅r  ̄r ) r  ̄r  ̄⋅̄r  ̄r̄  Q ̄r  ̄ ( r  ̄ (̄r  ̄ ( r   E  r )≈ )≈ % e − p  A  B r )≈ )≈ % e Q +  p ̄r )≈ % m ̄  3 ̄ +⋯ Multipolar V ( ̄r  ̄r )= % m − 3 + 3 3   3 +  +⋯ r  r  - r  r  r  r  r  r   Monopolo Q4 carga total   Monopolo  /o e*iste monopolo magnético 1 1 2 ̄ d5 ̄d  dir de -  & 2̄  p=∭V ̄  r ' ρ ( r ̄r ' ) dV '  [C m  ]  p m  l   l  ' d ̄ m= - ̄r  r × J   ' ×d ̄  d5  Dipolo ̄ = I S  n= I ̄  S  m ̄ = - I ∮C ̄ r  '  ̄ = q d  Momentos  Dipolo S4 6re# del dpl7 n  Nrm#l # l# )rre(te )( m#( ̄ / Q , 9 =∭  ρ ( ̄r  r ' ) ( 3 - ' - 9 ' −r '  :  9 ) dV '  [C m2 ] Q 2

[

Cuadrup

̄  1   E'  ρ  , σ   , ρ >  ,σ  D'  ρ  , σ    ,̄∇ B'  J  M'  J ̄ ?  , g ̄ ?  − ρ ?  ,− σ  ?  ̄ ∇ × %  ̄   ρ ?  , σ  ?   J  ? 28  g  ? 2 de 28 superficial  g    Densidades volumétrica  J  ̄  ,̄ D   ×n .  J ̄ ? =̄ ∇ ×̄ M   %' ρ >  ,σ   , σ  >  ,̄∇ ̄ ∇ × D corriente de magneti#aci%n  J   g  .  8 densidades de       ×n ̄  %   ρ > 2 8 superficial  g ̄ ?  =̄ M  ̄ Densidades volumétrica  ρ  ρ > =− ∇⋅ corriente li$res. n separa los medios. σ  > 2 de carga de polari#aci%n . ρ  8 σ   dens. ̄ ⋅n σ  > = %  ̄  M   ρ ? 2 8 superficial  σ  ? 2 de carga ̄ Densidades volumétrica  ρ ρ ?  =− ∇⋅ de cargas li$res. n separa medios. . (uncionan como cargas magnéticas# en pares magntica   ⋅n σ  ?  =̄ M  n σ  ?  polos /orte 8 6ur2. separa los medios. ̄ = @ p ̄ es la del medio momento es la magneti#aci%n del medio momento magnético por  %   M  m  @ 5 polari#aci%n  @  @5 / = / ̄ ̄

+eor,a dipolar por unidad de volumen2 Macros ρ > (̄r r ' ) c%pica 〈 V ( r  dV ' + ̄r ) 〉= % e

[

∭ ∥̄r r −̄r r ' ∥ V 

σ  ( r r ' )

]

dA '  ∯ ∥r ̄r >  −̄r ̄r ' ∥ dA'  S 

%otencial eléctrico

unidad de volumen2

[ [∭

̄ (r ̄r )〉= % m 〈 A

 J ̄ ( r  r )

] ]

dA '  ∭ ∥̄r r  ? −r ̄r̄ ' ∥ dV ' +∯ ∥̄r r̄  ? −̄r r̄ ' ∥ dA'  V 

 g  ( r  r )

S 

%otencial magnético vectorial

 ρ ?  (r ̄r ) σ  (r ̄r ) dV ' +∯  ?  dA'  dA '  %otencial magnético escalar  r  r − r  r  r −̄r  r ' ∥ ̄r ' ∥ V  ∥̄ S  ∥̄ ̄   ̄ = B ̄ /  01 %ermea$ilidad magnética  : constante dieléctrica# 9 1 ̄ =  m̄ &     &   M  En ̄ =  ē  E   D = ε̄ E  /   %  / m: 6ucepti$ilidad mag.. B#m#g(t)s 0# e: sucepti$ilidad dieléctrica  − 0   = % m  Medios    =ε − ε ε = % e ε    =  1le)trete  >#r#m#g(t)s  E   %  : &on =0: = 0: 5 0 8 puede  ;0# Derrm#g(t)s ;;0 m e-t  e -t  e 0  0 % m= 1 +  m % e =1 +  e L* ̄ × %  ̄ =∇ ̄ ∃ D 5 0. ∇̄ × D  m: %ermea$ilidad relativa. V  ? (̄r r )=% m

0

C. Cont.

̄2∥=̄ E    3∥  E 

0

̄ 2 ⊥ =̄ D   3⊥  D

̄2 ⊥ =̄ B   3⊥  B

Conductores deales  E = D= % = E o V =cte. !oda la carga en las superficies. n de cargas# corriente ingresando en superficie cerrada 6:  I =−∯S  J  ̄⋅n dS =−∭V  ∇⋅ ̄ dV  . /ormal ?acia  I =∬S ̄ J  dQ d  ∂ ρ ̄ ) dV =0 ⇒ afuera de 6#  positivo si entra carga en 6.  I = = ∭ ρ (̄r ' ) dV ⇒ ∭ ( +̄ ∇⋅ J  ∂ t  dq dt  V  5    J  ̄ =0 Ley de 45m Microsc%pica 1  J  ̄ = σ ̄ E    . σ : conducti$ilidad en [F m]2# ρ = 1, σ  resistividad. Ecuaci%n de Continuidad1 ∂ ρ +̄∇⋅ ∂ t 

   S = .S = σ1S ⇒  I = .S / l @V  . @lamo .S/l  = & la resistencia ̄⋅d ̄ l = 1 l  . %ero  I =∬S  J  ̄⋅̄d