Resumen Sucesiones y Series Nuevo

Curso: Cálculo Aplicado

Ayudante: Francisco Franci sco Valenzuela Riquelme

Sucesiones y series

2.2.2.- Serie p 

n 1

1.1.- Límite de una sucesión

Una sucesión an  tiene límite L si para cualquier

 0 existe un número N>0 tal que si n es un número entero y si n>N entonces an  L     

Se escribe:

1

n

 Lím an   L

 p

2.2.3.- Series Alternadas

Una serie alternada:

 (1) a n

n

n



ó

n 1

Una sucesión an  es:

a lím 

Decreciente si an

 an1 para todo n

*Una sucesión es monótona si es creciente o decreciente

n

n 1

0

n

n

 an1 para todo n

(ii)

n

an  0 y an 1  an n



Creciente si an

 (1) a

Es convergente si: 

(i)

1  r 

Converge si p>1; diverge si p≤1



1.2.- Definición de sucesiones creciente y decreciente

a



2.3.- Criterios de convergencia 2.3.1.- Criterio de comparación 

Sea la serie 2.- Series

a

n

una serie de términos postivos.

n 1



2.1.- Definición de la suma de una serie infinita

n

es

n 1



convergente con an  bn entonces

Si an  es una sucesión y:

b

(1) Si otra serie de términos positivos

a

n

converge

n 1

Sn  a1  a2  a3  ........  an



(2) Si otra serie de términos positivos

Entonces S n  es una sucesión de sumas parciales denominada serie infinita y se denota por: 



Donde los números a1; a2 ; a3 ............an son los términos de la serie infinita Si  Lim S n  S entonces la serie la serie es convergente

divergente con an  cn entonces

y S es la suma de la serie. Si el límite anterior no existe, entonces la serie es divergente, y la serie no tiene suma. 

a

n

es convergente,

n1



 Lím an  0 n

Si el límite anterior es distinto de cero no puede inferirse lo contrario. 2.2.- Algunas series

 a y b

Sean

n

n 1



an bn

diverge

si r   1

dos series de términos positivos

 c  0 , entonces las dos series

son convergentes o ambas son divergentes. (2) Si  Lím n 

an bn

c



, y si

b

n

converge, entonces

n 1



a

n

converge.

n 1

an bn



1  r 

n

n 1

(1) Si  Lím n 

(3) Si Lím

2.2.1- Serie geométrica

n

n1

n 

 ar 

a



entonces:

a



2.3.2.- Criterio de comparación por paso al límite

n

n 1

es

n 1

n1



n

n 1

an  a1  a2  a3  ........  an

Teorema 1: Si la serie infinita

c

b

n

n 1

diverge





, y si

a

n

n 1

diverge, entonces

Curso: Cálculo Aplicado

Ayudante: Francisco Franci sco Valenzuela Riquelme

El criterio de comparación en el límite es eficaz para comparar una serie algebraica con una serie p adecuada. Debe elegirse como p-serie una que tenga el término general de la misma magnitud que el término general de la serie dada. Serie dada 

 3n n1



1



n 1

5

Ambas series divergen

n

n 1



n 2  10

 4n

2

1



3n  2

n 1

Ambas series convergen

n 1

1



Conclusión

1

n

 4n  5

2





Serie para comparar

n2



1

 n  n

 n3

5

n 1

n 1

3

Ambas series convergen

(2) Si  Lím

an1

n

  L  1 o si  Lím n

an

an1 an

  , la serie

es divergente. a (3) Si  Lím n1  1 , no se puede concluir nada acerca n a n de la convergencia. *Éste criterio resulta útil para el cálculo del radio de convergencia de una serie. 2.4.3.- Criterio de la raíz 

Sea

a

una serie infinita para la cual cada

n

an

es

n1

diferente de cero:

2.3.3.- Criterio de la integral

Sea f una función continua, decreciente, y de valores positivos para toda x≥1. Entonces la serie infinita

  f  (n)   f  (1)   f  (2)   f  (3)  .......   f  (n)

absolutamente convergente. n

n

es divergente.

n 1

(3) Si  Lím n un  1 , no se puede concluir nada





n

(2) Si  Lím n un   L  1 o si  Lím n un   , la serie



-Es convergente si la integral

(1) Si  Lím n un   L  1 ,entonces la serie es

n 

 f  ( x)dx existe

acerca de la convergencia.

1

b

-Es divergente si

lím   b

Ejercicios Ayudantía

 f  ( x)dx  

(1) Determine el término general

1

parciales

2.4.-Definición 2.4.-Defini ción de converge convergencia ncia absoluta

1



a

La serie infinita

n

es absolutamente convergente

n 1

a

26



1 2 8

 .......  ..

  1  (2) Calcule el valor de    n 1       

es convergente

n

1

n 1

*Una serie que es convergente, pero no absolutamente convergente, se denomina condicionalmente convergente.

n

(3) Determine el intervalo y radio de convergencia 

de

 n 1

2.4.1.- Teoreman

(1) ( x  8) n

n 8

n

n



Si la serie

a

es convergente, entonces la serie

n

n 1



a

es convergente.

n

n 1

2.4.2.- Criterio de la razón 

Sea

a

n

una serie infinita para la cual cada

an

es

n 1

diferente de cero: (1) Si  Lím n

an1 an

  L  1 ,entonces la serie es

absolutamente convergente.

, las sumas

y la suma s de la serie





si la serie

24



sn

an

Bibliografía empleada y recomendada: - El cálculo Leithold - Calculo Vol.1 Larson Hostetler