Resumen Metodo de Rigidez
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Analisis Estructural...
Description
Análisis Estructural
Resumen del método de rigidez
Introducción D5
Grados de libertad
D4
F2
D3 D1
•
F6
D6 D2
•
F5 F4
Fuerzas generalizadas
F3 F1
Grados de libertad: • Deformaciones necesarias para definir la posición deformada de la estructura • Deformaciones necesarias para definir la posición deformada de cada una de las barras de barras de la estructura Fuerzas generalizadas: generalizada s: • Las necesarias para producir las deformaciones
Fundamento teórico D5
Grados de libertad
F5 D4
D2
F2
D3
F3 F1
D1
W
Conservación de la energía: Equilibrio (1º Castigliano):
F4
F6
D6
1
ext
2
F j
Fi
1 2
U
j
U
F i
j
Equivale al PTV
i
Sustituyendo U:
Fuerzas generalizadas
F j i
j
j
Desarrollo teórico Desarrollando 1º Castigliano con la U: Fi
U i
1 2
Fj i
j
j
Pero:
j i
2
U
j i
i
F j
U j
F j j
F i
F j j
F i
j
i
j
i
F i
Resultado:
j
j j
F j
j
F j
1 2
Fi
F j
1 2
j j
j
i
Resumen teórico del método de rigidez Equilibrio:
F j
F i
2
U
j j
j j
i
Fi
K ij
j
j
i
Estas expresiones de K no son útiles
j
F1
..
K 11
.. ..
.. .. .. ..
Fn
K n1
Fi
.. .. K 1 j .. .. .. .. K ii K ij .. .. .. .. .. .. .. .. K nj
.. K 1n 1 .. .. .. .. .. .. .. .. j .. .. .. .. K nn n
D5
F5 D4
F6
D6 D2
F2
D3 D1
F3 F1
F4
Significado físico de [K] Columna j de [K]: Fuerzas y momentos que hay que aplicar sobre los grados de libertad de la estructura, para imponer un desplazamiento unitario en la dirección j, y cero en todas las demás
F1
K 11
.. ..
.. .. ..
Fn
K n1
F j
Ki3
Ki1
No se puede emplear Para toda la estructura
K33 K11
.. K 1 j .. K 1n .. .. .. .. .. K jj .. .. .. .. .. .. .. K nj .. K nn
D1=1
D3=1
0
1
.. 1
j
.. n
0
Significado físico de [K] para una viga plana Se emplea a nivel de una barra sola, para obtener su matriz de rigidez local. dJY =D5
dIY =D2 dIX =D1
D1=1
dJX =D4
qIZ =D3
K41
K11
qJZ =D6
K22
K52 D2=1
K62
K32
F1
K 11
.. ..
.. .. ..
F6
K 61
F j
.. K 1 j .. .. .. K jj .. .. .. K 6 j
.. K 16 .. .. .. .. .. .. .. K 66
0
1
.. j
1
K23
D3=1
K53
K33
.. 6
0
Resolución sencilla: T. Mohr, o ecuación de la elástica.
K63
Significado físico de [K] para una viga plana Se emplea a nivel de una barra sola, para obtener su matriz de rigidez local. dJY =D5
dIY =D2 dIX =D1
D1=1
dJX =D4
qIZ =D3
K41
K11
qJZ =D6
K22
EA 0 L 12 EI 0 P IX L P 6 EI IY 0 M I L = P JX EA 0 P JY L 12 EI M J 0 L 6 EI 0 L
6 EI 2
0
0
3
L
4 EI
0
L
6 EI 2
L EA
0
0
L
6 EI 2
0
12 EI 3
L
2 EI L
K62
6 EI 2
L
D3=1
K53
2
2
L 0
K32 6 EI K23 d IX L 2 EI d IY K33 L q I d JX 0 d JY 6 EI q J L 4 EI L
D2=1
0
12 EI
L
2
2
EA L
3
3
0
K52
K63
Catálogo de elementos (0)
Cada barra tiene unos grados de libertad. Necesarios para:
Definir la deformada
Definir las ecuaciones de comportamiento (equilibrio) qIZ
YL dIY dIX
qZ
qJZ dJY
v u
dJX
Ecuaciones de comportamiento en la forma:
e L
K
e
e
P
(6x6)
Incluyen: equilibrio (3 de 6), material, pequeñas deformaciones Los GDL de las barras se acumulan/comparten en los nudos
Catálogo de elementos (1) Barras 2D
PJY
Barras 3D
PJX PJZ
XL
PIY
PIZ
PIX
Y
X
Z
YG XG ZG
Catálogo de elementos (2) Muelles
q2
q1
Barras curvas 2D
dIY y
dIX
dJY
dJY
dIY
dJX
dIX qI
+ otros en el futuro (MEF)
dJX qJ
Dos cuestiones fundamentales
En cualquier método de análisis estructural, se deben garantizar:
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Compatibilidad de deformaciones
Cómo se garantiza esto en el método de rigidez??
Compatibilidad de deformaciones
En el método de rigidez es automática: Las deformaciones de los nudos (grados de libertad) se comparten entre las barras que llegan a dicho nudo. Las deformaciones en el interior de las barras se definen en función de los grados de libertad de los nudos. DY
DY
qZ2 DY
DX
DX
DX
qZ qZ1
A)
B)
C)
qIZ
YL dIY dIX
qZ
qJZ dJY
v u
dJX
Grados de libertad. Ejemplo
Grados de libertad. Ejemplo
Grados de libertad
Equilibrio de cualquier trozo de la estructura
Cualquier trozo es siempre suma de nudos y barras, por lo tanto basta con cumplir: Equilibrio de todas las barras
e
KG
e
e
F
e
1, b
ext
FI
Equilibrio de todos los nudos e
FI
ext
FI
I
A
-FI
1, N
B
-FI
e
B
FI
B
B
FK
A FI
A
A
FJ
Equilibrio de cada barra de la estructura Equilibrio estático de la barra: 3 ecs. en el plano, 6 en el espacio Estas 3 o 6 ecuaciones se expresan en función de los grados de libertad y de las fuerzas en los extremos, mediante la ecuación de rigidez:
e
FJ
En el sistema local de la barra e
e
KLII
KLIJ
e
KLJJ
KLJI
e
I
PI
J
PJ
e
e
e FI
DI
e
En el sistema general de la estructura e
e
KGII
KGIJ
e KGJI
e KGJJ
e
I
FI
J
e FJ
Según el tipo de barra, sólo cambia el tamaño y el valor de las matrices
DJ
Equilibrio de los nudos Fuerzas en el nudo I, en el extremo de la barra ‘e’ e
KGII
e
I
e
KGIJ
FI
J
Equilibrio del nudo I: las fuerzas exteriores se equilibran con las fuerzas interiores en las barras e
ext A
-FI -FI
ext
FI
e
Sustituyendo las fuerzas interiores: e
KGII e
B
FI
B
e
KGIJ
I e
A, B
FI
B
FI
e
J
ext
FI
B
FK
A FI
A
A
FJ
Equilibrio de los nudos ext
FI
DI
DJ e
A
KGII
e
I
e
B
DK
Equilibrio del nudo I
..
..
..
..
..
..
e
..
KGII
e
..
..
..
..
..
KGIN
..
1
..
..
..
..
..
.. ext
e
e
..
J
ext
FI
e
.. KGI 1
KGIJ
I
.. N
Tantas ecuaciones de equilibrio estático como g.d.l. tiene el nudo Se repite el proceso para todos los nudos I=1, N
FI
..
Ensamblado de la matriz de rigidez de la estructura Se ensamblan una tras otra las ecuaciones de equilibrio de todos los nudos Sumando (ensamblando) la rigidez de cada barra a los grados de libertad a los que se conecta la barra Contribución de la barra ‘e’ a la ecuación de equilibrio total
..
..
..
..
..
..
e KGII
..
e KGIJ
..
..
..
..
..
..
..
KGJI
e
..
KGJJ
e
..
..
..
..
..
..
.. I
.. J
..
..
ext
FJ
ext FI
.. ext FJ
..
ext
FI
DI
e
DJ
Ejemplo 1
A
B
3
2
C
D
A
C
KG 11
E K
A
KG 11 A
KG 21 0
KG 12 A
KG 22
B
KG 22 B
KG 32
0 D
B
KG 22
KG 23 B
KG 33
E
KG 33
Ejemplo 3 B
1
C
A
B
KG 11 0
K
E
4
D
A
KG 11
2
0 C
KG 22
D
KG 22
KG 31
B
KG 32
C
0
KG 42
E
E
KG 22
F
KG 13
B
0
C
KG 24
E
KG 23 B
C
KG 33
KG 33 0
E KG 44
0 F
KG 44
Propiedades matemáticas de [K]
Simétrica: teoremas de reciprocidad de deformaciones
Definida positiva. Define la energía: Conservación de la energía: U F
Equilibrio:
U
Energía en función de :
U
Nota. Ahora se comprueba que:
0
0 2
K ij i
U j
1
ext
W
T
F
2
K
1
T
U
K
2
det
K)
0
1 2
K ij i
j
i
j
Propiedades topológicas de [K]
Su estructura topológica depende de la numeración de los nudos.
Sólo hay términos no nulos en las celdas (nudos) donde se conectan barras
Estructura dispersa, o de banda compacta.
Los programas reordenan la numeración de los nudos para obtener una estructura de banda compacta de [K]
Se necesita menos memoria para almacenarla
Se facilita su factorización 4
1
5
1
2
9
3
3 4 5 6
8
2
10
6
7
7 8 9 10
Celosía plana 10 nudos n=20 ecs.
Cada celdilla es 2 x 2
Propiedades topológicas de [K] A) 4
n=20 Matriz llena 5
Almacenamiento de K
1
9
3
A
B
C
n2
400
400
400
Llena Simétrica
n2/2+n/2
210
210
210
Banda Simétrica
n m –m2/2
210
168
102
98
98
98
Llena 8
B) 6
1
C) 2
1
2
10
7
6
n=20 Matriz banda m=12 7
2
8
3
9
10
5
4
3
6
5
8
7
Operaciones para factorizar K Algoritmo
n=20 Matriz banda m=6 4
Dispersa
10
9
A
B
C
Llena Simétrica
n3/6
1330
1330
1330
Banda Simétrica
n m2/2-m3/3
1330
864
288
Fuerzas aplicadas sobre los elementos
Se transforman en fuerzas nodales equivalentes, mediante la fase de empotramiento perfecto (fase 0)
Situación real
Las fuerzas de fase 0 pasan con signo (-) al vector de fuerzas exteriores
F
0 0
-F
Fase 0
Fase 1
Fases 0 y 1
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
Todas las barras son biempotradas.
Tienen M, Q, N y deformaciones locales, según el tipo de carga
Fase 1: los nudos se deforman bajo la acción de las cargas exteriores aplicadas sobre ellos (las de fase 0 con signo -)
Todas las barras se deforman según cúbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante)
F
-F
0
Fase 0 0
=0
0
u(x) v(x3)
Fase 1 K
1
0
=-F
Tipos de fuerzas sobre los elementos (I)
Puntuales y distribuidas sobre las barras.
Tablas para vigas empotradas en todos sus grados de libertad
Térmicas sobre las barras.
Temperatura media y gradiente en el canto de la barra
Tablas para vigas empotradas en todos sus g.d.l. EAaTm
EAaTm
0
PT
EIaTg EAaTm
EIaTg EAaTm
Tipos de fuerzas sobre los elementos (II)
Errores en la forma de las barras (deformaciones de montaje) Se conoce la diferencia (error) entre:
la forma natural (descargada) de la barra y
la forma en la que se le obliga a ser montada en la estructura Fuerzas de fase 0: las fuerzas necesarias para obligar a la barra a montarse en la estructura
Aplicar –
Errores de forma
Forma natural
E
E
XL
0
P
E
K
L
YL
E Barra montada en la estructura
Tipos de fuerzas sobre los elementos (III)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones) Puede ser cualquier sistema de fuerzas que se está aplicando sobre la barra en el momento del montaje de la misma en la estructura
Deben estar en equilibrio entre sí.
Son directamente las fuerzas de fase 0
0
Ppret
Forma natural
Barra montada
Tipos de fuerzas sobre los elementos (IV)
Fuerzas de montaje de las barras (Pretensiones) habituales
Dos fuerzas iguales y de sentido contrario.
Fuerzas aplicadas desde el exterior
N0
N0
0
Ppret
D P
Esfuerzos interiores finales en las barras
Esfuerzos interiores son la suma de las dos fases:
Fase 0: no hay deformaciones de los nudos.
e 0
F
Todas las barras son biempotradas.
Esfuerzos interiores M, Q, N según el tipo de carga (tablas o R.Mat.)
Fase 1: los nudos se deforman
e1
e
F
K
Todas las barras se deforman según cúbicas
Las barras tienen M (lineal), Q (constante) y N (constante) 0
F
0
M
Fase 0
2
qL 12
Fase 1 1
1
F =KD
e 1
Deformaciones finales en las barras
Deformación real es la suma de las dos fases:
Fase 0: Todas las barras son biempotradas
No hay deformaciones de los nudos. Deformaciones u,v de la barra según el tipo de carga (tablas o R.M.)
Fase 1: los nudos se deforman
Todas las barras se deforman:
F
Lateralmente a flexión, según cúbicas v (x 3) Axial: linealmente u (x ) -F0
0
v
u(x) v(x3)
0
Fase 0 0
=0
0
v C
5qL4 384EI
Fase 1 K
1
0
=-F
Deformación de las barras en la fase 1 Deformación lateral v de una viga sin cargas, en función de las 2 deformaciones laterales y los 2 giros extremos dJY
dIY
x
v
qI
L
qJ
v
(1 3
2
2 3)
(
IY
2
2
3
)L
(3
I
v C qJ
L/2
(
dJY
v C
qI
2 3 ) JY
L/2
3
1 2
Deformación lateral en el centro v C dIY
2
IY
JY
2
(
I
J
)
L
8
2
)L
J
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