Resumen de Mecanica _esfuerzos y Deformaciones
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Universidad Veracruzana FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL REGIÓN POZA RICA - TUXPAN
MECÁNICA DE MATERIALES TEMA INTEGRANTES: Arrieta Sebastián Jaime Bautista Sánchez Cinthia Cruz Antonio Omar Hernández Rangel Leslie Gisell Ortiz Calderón Iris Marlene
FACILITADOR: Raymundo Ibáñez Vargas
POZA RICA, VER,
10 DE MARZO DE 2010
CONTENIDO
1. OBJETIVO ............................................................................................................... 3 2. RESUMEN ............................................................................................................... 3 3. COMENTARIOS ................................................................................................. 31 4. CONCLUSIONES ............................................................................................... 31 5. BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................... 32
1. OBJETIVO Tiene como objetivo que el lector reconozca los tipos de esfuerzos y deformaciones que se emplean dentro de la mecánica de materiales y a su vez saber aplicarlos tanto en el campo laboral como en la vida cotidiana. Que todo lector pueda comprender y realizar correctamente el cálculo de esfuerzos y deformaciones, además de establecer relaciones entre estos conceptos tomando en cuenta el factor de seguridad para cada uno de los materiales utilizados.
2. RESUMEN ESFUERZO Y DEFORMACIÓN La mecánica de materiales es una rama de la mecánica que estudia las relaciones entre las cargas externas aplicadas a un cuerpo deformable y la intensidad de las fuerzas internas que actúan dentro de él. El objeto de estudio de la mecánica de materiales es proporcionar al estudiante un conocimiento de la relación entre las fuerzas exteriores aplicadas a una estructura de ingeniería y el comportamiento resultante de los miembros de la misma. La mecánica proporciona la base para el diseño en ingeniería. El origen de la mecánica de materiales data de principios del siglo XVII. Personajes como Leonardo Da Vinci y Galileo Galilei efectuaron experimentos para determinar la resistencia de alambres, barras y vigas, aunque no formularon teorías adecuadas para explicar los resultados de sus pruebas. Debido a que sus investigaciones se basaron en aplicaciones de la mecánica a los cuerpos materiales, llamaron a este estudio “resistencia de materiales”. Sin embargo, hoy en día llamamos a la misma “mecánica de los cuerpos deformables” o, simplemente, “mecánica de materiales”. 1. ESFUERZO La fuerza por unidad de área, o intensidad de las fuerzas distribuidas sobre una sección dada se conoce como el esfuerzo en dicha sección, y se utiliza la letra griega “sigma” (σ) para designarla. Tipos de esfuerzos: Esfuerzos normales: Cuando los elementos están sometidos a cargas axiales (carga que pasa por el eje de simetría).
Barra Axial
Plano imaginario cortante
Área transversal del plano
Esfuerzo Uniforme del prisma
Donde: σ = Esfuerzo unitario en lb/plg2 o en N/m2 P = Fuerza aplicada en lb o en N A = Área sobre la cual actúa la carga en plg2 o en m2 Esfuerzos cortantes: Se produce en un cuerpo cuando las fuerzas aplicadas tienden hacer que una parte se corte o deslice con respecto a otra. Son causadas por la aplicación de fuerzas transversales iguales y opuestas.
Donde: = Esfuerzo unitario en lb/plg2 P = Fuerza cortante en lb o en N A = Área sobre la cual actúa la fuerza cortante en plg2 o en m2 Esfuerzos de aplastamiento: Se originan por pernos, remaches y pasadores. Esfuerzos por flexión: Se originan por someter vigas a cargas que le generan momentos flexionantes.
Esfuerzos por aplastamiento: Tales esfuerzos se emplean en el análisis de una estructura simple que consta de elementos conectados por medio de pasadores y sometidos a dos fuerzas. 1.1 Esfuerzo Normal El esfuerzo en un elemento de sección transversal de área (A) sometido a una fuerza axial (P) se obtiene dividiendo la magnitud de (P) de la carga por el área (A) de la sección.
Un signo positivo indicará un esfuerzo de tensión (elementos a tensión), si la fuerza o esfuerzo normal “jala” sobre el elemento de área. Y un signo negativo señalará un esfuerzo de compresión (elementos a compresión), si la fuerza o esfuerzo normal “empuja” sobre el área. + σ = Tensión
- σ = Compresión
Las unidades de esfuerzo se dan en unidades de fuerza entre unidades de área. Las unidades del esfuerzo son lb/plg2. Cuando la magnitud de las fuerzas y los esfuerzos es muy grande, es más conveniente expresar estos términos en klb/plg2. Klb o kip es una abreviatura para kilolibra que corresponde a 1000 libras. En el S.I. el Newton es la medida de fuerza. En unidades del S.I. el esfuerzo se mide en N/m2. Esto se denomina un Pascal. En muchos casos, la fuerza en Newtons, y el esfuerzo en Pascales son unidades tan pequeñas que se usan más convenientemente múltiplos de estas unidades. 1 kN = 1 kilonewton = 1 x 103 N 1 MN = 1 Meganewton = 1 x 106 N 1 GN = 1 Giganewton = 1 x 109 N 1 kPa = 1 Kilopascal = 1 x 103 Pa = 1 x103 N/m2 1 MPa = 1 Megapascal = 1 x 106 Pa = 1 x106 N/m2 1 GPa = 1 Gigapascal = 1 x 109 Pa = 1 x109 N/m2 Por lo que la unidad de esfuerzo utilizada será:
Ejemplo: Una barra de tres piezas empotrada en uno de sus extremos y sujeto a cargas normales concentradas en 3P, P y 6P en los puntos A, B y C respectivamente. Determine las fuerzas existentes en la sección transversal en cada sección.
SECCIÓN AB
Fx = 0 3P + FAB = 0 FAD = -3P SECCIÓN BC
Fx = 0 3P –P + FBC = 0 2P + FBC = 0 FBC = -2P
Fx = 0 3P –P -6P + FCD = 0 -4P + FCD = 0 FCD = 4P
Considerando que los diámetros de cada porción del cilindro siendo dAB = 25 mm, dBC = 30 mm y dCD = 35 mm y el valor de P = 20 KN. Determine los esfuerzos en cada sección de la barra.
FAB = -3P = -3(20KN) = -60 KN FBC = -2P = -2(20KN) = -40 KN FCD = 4P = 4(20KN) = 80 KN dAB = 25 mm 2 (25 )2 = = = 491 2 = 491 10−6 2 4 4 DBC = 30 mm 2 (30 )2 = = = 707 2 = 707 10−6 2 4 4 dCD = 35 mm 2 (35 )2 = = = 962.02 2 = 962.02 10−6 2 4 4
=
60000 122 491 106 2
40000 56.58 707 106 2
80000 83.16 962 106 2
1.2 Esfuerzo Cortante Los esfuerzos cortantes se producen en un cuerpo cuando las fuerzas aplicadas tienden a hacer que una parte del cuerpo se corte o deslice con respecto a otra. En la siguiente figura se ilustra un método de cómo se pueden producir los esfuerzos cortantes. En este caso, la proporción propor superior del bloque tiende a cortarse o deslizarse con respecto a la porción inferior. Las fuerzas cortantes que resisten una carga aplicada P actúan sobre el área abcd mostrada en dicha figura. Estas cargas actúan en un plano paralelo a la carga aplicada, apl y no en un plano perpendicular a la carga como en el caso de los esfuerzos normales. El esfuerzo cortante o de cizallamiento actúa en dirección tangencial a la superficie del material. Cuya fórmula ya fue presentada en una sección anterior:
Ejemplo 1: Se usan tres pernos de ¾ plg para unir las dos placas de acero mostradas en la figura. La conexión trasmite una fuerza de 12 000 lb. Determine el esfuerzo cortante en los pernos. Solución: Cuando la línea de acción de la fuerza aplicada pasaa a través del centro de gravedad del conjunto de los pernos, se considera que cada perno soporta una parte igual de la carga. Esto es, la fuerza cortante sobre cada perno es de 4 000 lb. El esfuerzo de cada perno puede calcularse como:
4000 1 3 4 4
!
9050 "#/%"&!
uerzo de Aplastamiento 1.3 Esfuerzo
Un caso especial de esfuerzo normal ocurre cuando un cuerpo es soportado por otro. El esfuerzo de compresión desarrollado entre dos cuerpos en su superficie de contacto se llama esfuerzo de aplastamiento. En la siguiente figura se muestra un poste soportando una zapata, que a su vez, está soportada por el terreno.. El esfuerzo de apoyo ocurre en la superficie de contacto entre el poste y la zapata, que a su vez, está soportada por el terreno. El esfuerzo de apoyo ocurre en la superficie de contacto entre el poste y la zapata, y también entre la zapata y el terreno como se muestra en la figura (b) y (c). Su magnitud puede determinarse como σapl = Carga Axial ((P) / Área Proyectada (Ap)
Los esfuerzos de aplastamiento también ocurren sobre superficies curvas, tales como entre el perno y la placa mostrados en la siguiente figura. El valor del esfuerzo de aplastamiento se toma como la carga trasmitida por el perno, divida entre el área proyectada del agujero. El área proyectada es igual al diámetro del perno multiplicado por el espesor de la placa, como se muestra mediante el área sombreada de la siguiente figura (c).
Ejemplo 1: Un perno de ¾ plg se usa para unir dos placas de 3/8 plg de espesor, como se muestra en la siguiente figura. La conexión trasmite una fuerza de 4000 lb. Determine el esfuerzo de aplastamiento entre el perno y la placa. Solución: El área proyectada es A= Dt. Entonces: '
4000 = = 14 200 "#/%"&! 3 1 4 8
1.4 Esfuerzo por flexión M es el llamado momento flexionante. Se determina a partir de la adición vectorial de sus componentes. El momento flexionante es causado por las cargas externas que tienden a flexionar el cuerpo con respecto a un eje que se encuentra dentro del plano de área. Una distribución uniforme de esfuerzos es posible únicamente si la línea de acción de las fuerzas pasa por el centroide de la sección considerada, es decir que el elemento está sometido a una carga axial. Si un miembro de dos fuerzas se carga axialmente, pero excéntricamente, las fuerzas internas de la sección dada equivale a: la fuerza p aplicada en el centroide de la sección y a un par de momento M= P.d; la distribución de las fuerzas y la correspondiente distribución de esfuerzos no es uniforme, la distribución de esfuerzos tampoco es simétrico.
1.4 Casos típicos de Esfuerzos Existen particularidades que teóricamente nos son tomados en cuanta dentro de la mecánica de materiales, pero en muchas ocasiones, comúnmente en la práctica; el estado de los esfuerzos se puede reducir a otro más simple o viceversa. • •
Esfuerzo uniaxial: Cuando un esfuerzo normal actúa solamente en una sola dirección. Esfuerzo Triaxial: Un elemento sujeto solo a los esfuerzos σx , σy y σz y actuando en direcciones perpendiculares entre sí, se dice que están en un estado de esfuerzos.
•
Esfuerzo Bidimensional o esfuerzo en ele plano: En este caso, solo las caras “x” y “y” del elemento están sujetos a esfuerzos, y las fuerza actúan paralelamente a los ejes “x” y “y”. Los esfuerzos están realmente en forma tridimensional; sin embargo por conveniencia, usualmente se usa una vista bidimensional de los esfuerzos planos de los elementos cuando solamente están presentes dos esfuerzos normales, el esfuerzo es llamado biaxial.
•
Cortante puro: En este caso el elemento está sujeto a solo esfuerzos cortantes planos. El cortante puro ocurre típicamente a lo largo de la sección transversal y planes longitudinales.
1.5 Esfuerzo Permisible y Factor de Seguridad
Antes de que un material pueda cargarse hasta el último esfuerzo, ocurren deformaciones bastante grandes. En el acero dúctil la deformación correspondiente al esfuerzo último puede ser 150 veces o más la deformación en el punto de fluencia. Un ingeniero a cargo del diseño de un miembro estructural o elemento mecánico debe restringir el esfuerzo en el material o un nivel que sea seguro. Además, una estructura o máquina corrientemente en uso puede en ocasiones tener que ser analizada para ver qué carga adicional pueden soportar sus miembros o partes. Así que nuevamente es necesario efectuar los cálculos usando un esfuerzo permisible o seguro. Para garantizar la seguridad es necesario escoger un esfuerzo permisible que limite la carga aplicada a un valor que sea menor al que el miembro que pueda soportar plenamente. Las medidas previstas para una estructura o máquina pueden no ser exactas debido a errores en la fabricación o en el montaje de las partes componentes. Pueden ocurrir vibraciones desconocidas, impacto o cargas accidentales que no se hayan tomado en cuenta durante el diseño. Una manera de especificar la carga permisible para el diseño o análisis de un miembro es usar un número llamado factor de seguridad. El factor de seguridad (F.S.) es la razón de la carga de la falla, Pfalla, dividida entre la carga permisible, Pperm. La Pfalla se determina de ensayos experimentales del material y el factor de seguridad se selecciona con base en la experiencia, de manera que las incertidumbres mencionadas antes sean tomadas en cuenta cuando el miembro se use en condiciones similares de carga y geometría. Expresado matemáticamente:
(. ). =
*+,--, *./01
De aquí se deriva que, algebraicamente, el esfuerzo admisible se determina como:
'234565789 =
'4á; ?@A B CB&DAE=
Algunas consideraciones más importantes y necesarias al elegir un factor de seguridad (y por consiguiente un esfuerzo permisible) son: a) Conocimiento y exactitud de las cargas aplicadas: El factor de seguridad proporciona cierta amplitud en aquellos casos donde las cargas reales exceden a las cargas de diseño estimadas. b) Tipo de falla que ocurrirá: Los materiales frágiles o quebradizos, como el hierro colado no proporcionan ninguna advertencia cuando su fractura es inminente. Sin embargo, los materiales dúctiles, tales como el acero, se deforman
considerablemente antes de la fractura, proporcionando así unan advertencia de peligro. c) Naturaleza de las cargas: Las cargas cíclicas, o que se repiten muchas veces, producen fatiga en los metales. Esta fatiga puede producir la fractura de un miembro a esfuerzos mucho menores que los aceptaría si las cargas fueran estáticas. Se deben considerar cargas estáticas, dinámicas, clínicas y variables. d) Efecto de la corrosión y deterioro: El desgaste excesivo en las partes móviles o el posible abuso de la función de un miembro debe considerarse mediante una sección adecuada del factor de seguridad. e) Otras consideraciones: Se deben considerar también factores como la confiabilidad del material, concentraciones de esfuerzos, alta o baja temperatura de operación, gravedad de la falla, etc. 2. DEFORMACIÓN En ingeniería, la deformación de un cuerpo se especifica usando los conceptos de deformación unitaria normal y por esfuerzo cortante. Cuando se aplica una fuerza a un cuerpo, ésta tiende a cambiar la forma y tamaño del cuerpo. A esos cambios se les llama deformación y ésta puede ser visible o prácticamente inadvertida si no se emplea el equipo apropiado para hacer mediciones precisas. Por ejemplo, una banda de hule experimentará una deformación muy grande cuando se estira. En cambio, en un edificio sólo ocurrirán deformaciones ligeras en sus miembros estructurales debido a la carga de sus ocupantes. Un cuerpo también puede deformarse cuando la temperatura del cuerpo cambia. Un ejemplo común es la expansión o la contracción térmica de un techo causada por el clima. 2.1 Deformación unitaria 2.1.1 Deformación unitaria normal El alargamiento o contracción de un segmento de línea por unidad de longitud se llama deformación unitaria normal. Para desarrollar una definición formal de la deformación unitaria normal, consideremos la línea AB que está contenida dentro del cuerpo no deformado mostrado en la figura 2-2a. Esta línea está situada a lo largo del eje n y tiene una longitud original ∆s. Durante la deformación, los puntos A y B se desplazan a los puntos A’ y B’ y la línea recta se convierte en curva con longitud ∆s’, figura 2-2b. El cambio en longitud de la línea es entonces ∆s’ - ∆s. Si definimos la deformación unitaria normal promedio usando el símbolo FGHI4 , entonces: FGHI4
∆s’ − ∆s ∆s
A medida que el punto B se escoge cada vez más cercano al punto A, la longitud de la línea se vuelve cada vez más corta, de tal modo que ∆s 0. Igualmente, esto causa que
B’ se aproxime a A’, de modo que ∆s 0. Por consiguiente, la deformación unitaria normal en el punto A y en la dirección de n en el límite es: F M→O P QR QPSTR U "í
∆s ′ − ∆s ∆s
Si se conoce la deformación unitaria normal, podemos usar esta ecuación para obtener la longitud final aproximada de un segmento corto de línea en la dirección de n después de que ha sido deformado. Tenemos: ∆s′ ≈ (1 + F) ∆s Por tanto, cuando F es positiva, la línea inicial ∆s se alargará, mientras que si F es negativa, la línea se contraerá. 2.1.2 Deformación unitaria por Cortante (Deformación Angular)
Los esfuerzos cortantes que actúan sobre un elemento de material se acompañan de deformaciones unitarias por cortante (angular). Los esfuerzos cortantes no tienden a alargar o a cortar al elemento en las direcciones, y; en otras palabras, las longitudes de los lados no cambia. Los esfuerzos cortantes producen un cambio en la forma del elemento. El elemento original, que es un paralelepípedo rectangular, toma la forma de paralelepípedo oblicuo y las caras frontales y posteriores, se vuelven romboides.
Debido a esta deformación cambian los ángulos entre las caras laterales. El ángulo γ es una medida de la distorsión distorsión a cambio de forma del elemento, y se llama deformación unitaria por cortante (angular), como es un ángulo, se suele medir en grados o radianes.
Cuerpo no deformado
Cuerpo deformado
2.2 Componentes cartesianas de la deformación unitaria Para describir la deformación del cuerpo mostrado en la figura 2-4a, 2 imaginemos que el cuerpo está subdividido en pequeños elementos como el que se muestra en la figura 2-4b. 4b. Este elemento es rectangular, tiene dimensiones no deformadas ∆x, ∆y y ∆z, y está ubicado en la vecindad de un punto en el cuerpo, figura fig 2-4a. 4a. Suponiendo que las dimensiones del elemento son muy pequeñas, la forma deformada del elemento, como se muestra en la figura 2-4c, 4c, será la de un paralelepípedo, ya que segmentos de línea muy pequeños permanecerán aproximadamente rectos después de que el cuerpo se haya deformado. Con objeto de obtener esta forma deformada, podemos primero considerar cómo la deformación unitaria normal cambia las longitudes de los lados del elemento rectangular, y luego cómo la deformación unitaria cortante cambia los l ángulos de cada lado. Por tanto, usando la ecuación 2-3, 2 ∆s ′ W 1 X F ∆s,, con referencia a las líneas ∆x, ∆y y ∆z, las longitudes aproximadas de los lados del paralelepípedo son: 1 X F; ∆; Y1 X FZ [∆Z 1 X F\ ∆\ y los ángulos aproximados entre los lados , de nuevo originalmente definidos por los lados ∆x, ∆y y ∆z, son:
];Z 2 ]Z\ 2 ]\; 2
En particular, advierta que las deformaciones unitarias normales causan un cambio en el volumen del elemento rectangular, mientras que las deformaciones unitarias cortantes causan un cambio en su forma forma. 2.3 Ejemplo Una fuerza que actúa en la agarradera del brazo de la palanca palanca mostrada en la figura ocasiona que el brazo gire en sentido horario un Angulo ɵ=0.002 =0.002 rad. Determine la deformación unitaria normal promedio desarrollada en el alambre BC.
Solución I La longitud final del alambre, CB’, puede calcularse con el diagrama de desplazamiento mostrado en la figura 2-6b. 6b. Tenemos: CB’=^ 2_ X _ sin b ² X _ _ cos b ² =L^ 2 X sin b ! X 1 cos b ! =L^4 X 4 sin b X sin ²b X 1 2 cos b X cos ²b Como sin ²b X cos ²b 1, 1 Bo?@o>BC, CB’=√6 X 4 sin b 2 cos b Si ɵ es pequeño, sin b W b cos b W 1, %@A "@ pDB: CB’W 2_√1 X b 2_ 1 X b rs Finalmente usando la ecuación 2-5 2 con n=1/2, tenemos CB’W 2_ 1 X
g
!h
2_ 1 X
g
! l.ll!
2.002_
La deformación unitaria normal promedio en el alambre es entonces: Єprom=
iM j kiM iM
!.ll!mk!m !m
0.001
3. PROPIEDADES MECANICAS DE LOS MATERIALES 3.1 El diagrama esfuerzo – deformación unitaria A partir de los datos de un ensayo de tensión o de compresión, es probable calcular varios valores del esfuerzo y la correspondiente deformación unitaria en el espécimen y luego graficar los resultados. La curva resultante se llama diagrama esfuerzo-deformación unitaria y hay dos maneras de describirlo. Diagrama convencional esfuerzo-deformación unitaria. Usando los datos registrados, podemos determinar el esfuerzo nominal o de ingeniería dividiendo la carga P aplicada entre el área A0 de la sección transversal original del espécimen. Este cálculo supone que el esfuerzo es constante en la sección transversal y en toda la región entre los puntos calibrados. Tenemos:
'
₀
La deformación nominal o de ingeniería se determina directamente leyendo el calibrador o dividiendo el cambio en la longitud calibrada δ, entre la longitud calibrada original del espécimen L0. Aquí se supone que la deformación unitaria es constante en la región entre los puntos calibrados. Entonces: F
u _₀
Si se grafican los valores correspondientes de σ y ϵ, con los esfuerzos como ordenadas y las deformaciones unitarias como abscisas, la curva resultante se llama diagrama convencional de esfuerzo-deformación unitaria. Este diagrama es muy importante en la ingeniería ya que proporciona los medios para obtener datos sobre la resistencia a tensión de un material sin considerar el tamaño o forma geométrica del material. Sin embargo, debe ser claro que nunca serán exactamente iguales dos diagramas esfuerzo-deformación unitaria para un material particular, ya que los resultados dependen entre otras variables de la composición del material, de imperfecciones microscópicas, de la manera en que este fabricado, de la velocidad de carga y de la temperatura durante la prueba. En la figura 3-4 el diagrama característico esfuerzo-deformación unitaria de una probeta de acero, usando el método antes descrito. En esta curva podemos identificar cuatro maneras diferentes en que el material se comporta, dependiendo de la cantidad de deformación unitaria inducida en el material.
Comportamiento elástico. Se dice que la muestra responde elásticamente si retorna a su longitud o forma originales cuando se retira la carga que actúa sobre ella. Este comportamiento elástico ocurre cuando las deformaciones unitarias en el modelo están dentro de la región ligeramente sombreada que se muestra en la figura 3-4. Puede verse que la curva es en realidad una línea recta a través de toda esta región, así que el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria. En otras palabras, se dice que el material es linealmente elástico. El limite superior del esfuerzo en esta relación lineal se llama limite proporcional, σlp. Si el esfuerzo excede un poco el límite proporcional, el material puede todavía responder elásticamente; sin embargo, la curva tiende a aplanarse causando un incremento mayor de la deformación unitaria con el correspondiente incremento del esfuerzo. Esto continúa hasta que el esfuerzo llega al límite elástico. Fluencia. Un ligero aumento en el esfuerzo más allá del límite elástico provocara un colapso del material y causara que se deforme permanentemente. Este comportamiento se llama fluencia, y esta indicando por la región más oscura de la figura 3-4. El esfuerzo que origina la fluencia se llama esfuerzo de fluencia o punto de fluencia, σY, y la deformación que ocurre se llama deformación plástica. El punto superior de fluencia ocurre primero, seguido por una disminución súbita en la capacidad de soportar carga hasta un punto inferior de fluencia. Una vez que se ha alcanzado el punto inferior de fluencia, entonces la muestra continuara alargándose sin ningún incremento de carga. La figura 3-4 no esta trazada a escala. Si lo estuviera, las deformaciones unitarias inducidas debido a la fluencia serian de 10 a 40 veces más grandes que las producidas en el límite de elasticidad. Cuando el material esta en este estado, suele decirse que es perfectamente plástico.
Endurecimiento por deformación. Cuando la fluencia ha terminado, puede aplicarse mas carga a la probeta, resultando una curva que se eleva continuamente pero se va aplanando hasta llegar a un esfuerzo máximo llamado esfuerzo ultimo, σu. La elevación en la curva de esta manera se llama endurecimiento por deformación. Formación del cuello o estricción. En el esfuerzo último, el área de la sección transversal comienza a disminuir en una zona localizada de la probeta, en lugar de hacerlo en toda su longitud. Este fenómeno es causado por planos de deslizamiento que se forman dentro del material y las deformaciones producidas son causadas por esfuerzos cortantes. Como resultado, tiende a desarrollarse una estricción o “cuello” en esta zona a medida que el espécimen se alarga cada vez mas, figura 3-5. Puesto que el área de la sección transversal en esta zona esta decreciendo continuamente, el área mas pequeña puede soportar solo una carga siempre decreciente. De aquí que el diagrama esfuerzodeformación tienda a curvarse hacia abajo hasta que la probeta se rompa en el punto del esfuerzo de fractura σf.
Diagrama real esfuerzo-deformación unitaria. En lugar de usar siempre el área de la sección transversal y la longitud originales de la muestra para calcular el esfuerzo y la deformación unitaria, podríamos haber usado el área de la sección transversal y la longitud reales del espécimen en el instante en que la carga se esta midiendo. Los valores del esfuerzo y de la deformación unitaria calculados a partir de estas mediciones se llaman esfuerzo real y deformación unitaria real, y un trazo de sus valores se llama diagrama real esfuerzo-deformación unitaria. Advierta que ambos diagramas prácticamente coinciden cuando la deformación unitaria es pequeña. La diferencia entre los diagramas comienza a aparecer en la zona de endurecimiento por deformación, donde la magnitud de la deformación unitaria es mas significativa. En particular, note la gran divergencia dentro de la zona de formación del cuello. Aquí podemos ver que, según el diagrama σ-ϵ convencional, la probeta de ensayo en realidad soporta una carga decreciente, puesto que A0 es constante cuando se calcula el esfuerzo nominal, σ = P/A0. Sin embargo, según el
diagrama σ-ϵ real, el área A dentro de la región de formación del cuello esta siempre decreciendo hasta que ocurre la falla, σf, y así el material realmente soporta un esfuerzo creciente, puesto que σ = P/A. Siempre que el material sea “rígido”, como son la mayoría de los metales, la deformación unitaria hasta el limite de elasticidad permanecerá pequeña y el error en el uso de los valores nominales de σ y de ϵ será muy pequeño comparado con sus valores verdaderos. Un diagrama de esfuerzo deformación convencional de una probeta de un acero dulce. Con objeto de resaltar los detalles, la zona elástica de la curva se presenta en una escala de deformación exagerada. Siguiendo el comportamiento, en limite proporcional se alcanza en σlp = 35 ksi (241 MPa), cuando ϵlp = 0.0012 pulg/pulg. Este es seguido por un punto superior de fluencia de (σY)u = 38 ksi (262 MPa), luego súbitamente por un punto inferior de fluencia de (σY)l = 36 ksi (248 MPa). El final de la fluencia ocurre con una deformación unitaria de ϵY = 0.030 pulg/pulg, el cual es 25 veces mas grande que la deformación unitaria en el limite proporcional. Continuando, la probeta de ensayo se endurece hasta que alcanza un esfuerzo ultimo de σu = 63 ksi (434 MPa), y luego comienza la estricción hasta que ocurre la falla, σf = 47 ksi (324 MPa). En comparación la deformación unitaria en el punto de falla, ϵl = 0.380 pulg/pulg, es 317 veces mayor que ϵlp.
3.2 Comportamiento esfuerzo-deformación unitaria de materiales dúctiles y frágiles Los materiales pueden clasificarse como dúctiles o frágiles dependiendo de sus características esfuerzo-deformación unitaria. Materiales dúctiles.- todo material que pueda estar sujeto a deformaciones unitarias grandes antes de su rotura se llama material dúctil. El acero dulce, es un ejemplo típico.
Una manera de especificarla ductilidad de u material es reportar su porcentaje de reducción de área en el momento de la fractura. El porcentaje de elongación es la deformación unitaria del espécimen en la fractura expresada en porcentaje. Así pues, si la longitud original entre las marcas calibradas de una probeta es L0 y su longitud durante la ruptura es Lf , entonces: Porcentaje de elongación =
m₀km₀ m₀
(100%)
El porcentaje de reducción del área es otra manera de especificarla ductilidad. Esta definida dentro de la región de formación del cuello como sigue: Porcentaje de reducción del área =
O₀kOw O₀
(100%)
Aquí A₀ es el área de la sección transversal original y Af es el área en la fractura. Un acero dulce tiene un valor típico de 60%. En la mayoría de los metales no se presenta una fluencia más allá de la zona elástica. Un ejemplo de esto es el aluminio. En realidad este metal no tiene un punto de fluencia bien definido, y por consiguiente es una práctica normal definir una resistencia de fluencia para el aluminio usando un procedimiento grafico llamado método de la desviación. Normalmente se elige una deformación unitaria del 0.2% y desde este punto situado sobre el eje ϵ en el diagrama de esfuerzo-deformación, se traza una línea paralela a la porción recta inicial de la curva. El punto en que esta línea interseca a la curva define la resistencia de fluencia. Un ejemplo de la construcción de un diagrama para determinar la resistencia de fluencia de una aleación de aluminio se muestra en la figura 3-7. Según la grafica, la resistencia de fluencia es σYS = 51 ksi.
La resistencia de fluencia no es una propiedad física del material, puesto que es un esfuerzo que causo una deformación unitaria permanente especifica en el material. Por ejemplo el hule natural seria una excepción, ya que de hecho ni siquiera tiene un límite proporcional, puesto que el esfuerzo y la deformación unitaria no están linealmente relacionados, figura 3-8.
La madera es a menudo un material moderadamente dúctil, y como resultado se diseña por lo general para responder solo a cargas elásticas. Puesto que la madera es un material fibroso, sus características de tensión o de compresión difieren mucho cuando recibe carga paralela o perpendicularmente a su grano. Materiales frágiles.- los materiales que exhiben poca o ninguna fluencia antes de su rotura se llaman materiales frágiles. Un ejemplo es el hierro colado, o hierro gris, cuyo diagrama de esfuerzo-deformación bajo tensión se muestra por la porción AB de la curva en la figura 3-9.
Aquí la fractura a σf = 22 ksi tiene lugar inicialmente en una imperfección o una grieta microscópica y luego se extiende rápidamente a través de la muestra, ocasionando una fractura completa. En la figura 3-10a se muestra una probeta típica en la que ha ocurrido la falla.
Los materiales frágiles como el hierro colado exhiben una resistencia mucho mas elevada a la compresión axial, como se evidencia por la porción AC de la curva en la figura 3-9. En este caso cualquier grieta o imperfección en la probeta tiende a cerrarse, y conforme a la carga aumenta el material generalmente se abombará o adquirirá forma de barril a medida que las deformaciones unitarias van siendo más grandes, figura 3-10b. El concreto se clasifica también como material frágil y tiene baja capacidad de resistencia a la tensión. Las características de su diagrama esfuerzo-deformación dependen primordialmente de la mezcla del concreto y del tiempo y temperatura del curado. Figura 3-11
En la figura se muestra un ejemplo típico de un diagrama de esfuerzo-deformación “completo” para el concreto. Por inspección, su resistencia máxima a la compresión es de casi 12.5 veces mayor que su resistencia a la tensión, (σt)max = 0.40 ksi. Por esta razón, el concreto casi siempre se refuerza con barras de acero cuando esta diseñado para soportar cargas de tensión. La mayoría de los materiales exhiben un comportamiento tanto dúctil como frágil. Por ejemplo, el acero tiene un comportamiento frágil cuando tiene un contenido carbono alto, y es dúctil cuando el contenido de carbono es reducido. También los materiales se vuelven más duros y frágiles a temperaturas bajas, mientras que cuando la temperatura se eleva, se vuelven más blandos y dúctiles. Este efecto se muestra en la figura 3-12 para un plástico metacrilatico.
3.3 Elasticidad lineal, ley de Hooke y relación de Poisson Muchos materiales estructurales, como la mayor parte de los metales, madera, plásticos y cerámicas, se comportan en forma tanto elástica como lineal cuando se comienzan a cargar. En consecuencia, sus curvas de esfuerzo-deformación unitario comienzan con una recta que pasa por el origen. Un ejemplo de ello, es la curva esfuerzodeformación unitaria del acero estructural, donde la región desde el origen O hasta el límite proporcional (punto A) es tanto lineal como elástica. Otros ejemplos son las regiones bajo los límites de proporcionalidad y elásticos a la vez, en los diagramas de aluminio, los materiales frágiles y el cobre. Cuando un material se comporta en forma elástica y también presenta una relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria, se llama linealmente elástico. Esta clase de comportamiento tiene extrema importancia en ingeniería; al diseñar estructuras y
maquinas que funcionen en esta región uno evita deformaciones permanentes debido a la afluencia. 3.3.1 Ley de Hooke La relación lineal entre el esfuerzo y la deformación unitaria en una barra en tensión o compresión simple se expresa con la ecuación ' xF Donde ' es el esfuerzo axial, F es la deformación unitaria axial y x es una constante de proporcionalidad llamada modulo de elasticidad, modulo elástico. El modulo de elasticidad es la pendiente del diagama esfuerzo-deformación unitaria en la región linealmente elástica. Como la deformación unitaria es adimencional, las unidades de x son iguales a las unidades del esfuerzo. Las unidades normales de x son psi o ksi en el sistema ingles y pascales (o sus múltiplos) en el SI. La ecuación ' xF se acostumbra llamar Ley de Hooke, en honor de Robert Hooke. Fue el primero en investigar en forma científica las propiedades elásticas de los materiales, y ensayo materiales tan diversos como mátales, maderas, piedras, huesos y nervios o tendones. Midió el estiramiento de alambres largos que sostenían pesos y observo que los alargamientos “siempre guardan la misma proporción que los pesos que lo causaron”. De este modo, Hooke estableció la relación lineal entre las cargas aplicadas y los alargamientos resultantes. En realidad la ecuación ' xF es una versión muy limitada de la ley de Hooke, porque solo se relaciona con los esfuerzos y las deformaciones unitarias axiales causadas en tensión o compresión simple de una barra (esfuerzo uniaxial). Para manejar estados más complicados de esfuerzos, como los que existen en la mayor parte de la estructura y maquinas, se deben utilizar ecuaciones más generales de la ley de Hooke. El modulo de elasticidad tiene valores relativamente grandes en los materiales que son muy rígidos, como los metales estructurales. El acero tiene un modulo aproximado de 300
y87
G8zs
10 600
(210 GPa); para el aluminio son característicos los valores de más o menos y87
G{8zs
(73 GPa). Los materiales más flexibles tienen menores módulos. Los valores
en los plásticos van de 100 a 2000
y87
G{8zs
(0.7 a 14 GPa). Para la mayor parte de los
materiales, el valor de x en compresión es casi el mismo que el de tensión. Con frecuencia la modulo de elasticidad se le llama modulo de Young, por Tomas Young, científico ingles. En relación con una investigación sobre la tensión y compresión de barras prismáticas, Young introdujo la idea de un “modulo de elasticidad”. Sin embargo, su modulo no era el que usamos hoy, porque en el intervenía las propiedades de la barra y también del material.
3.3.2 Relacion de Poisson oisson Cuando una barra prismática se carga en tensión, el alargamiento axial se acompaña de una contracción lateral (esto es una contracción normal a la dirección de la carga aplicada). En este cambio de forma se represe representa nta en la figura, cuya parte muestra la barra antes de cargar y cuya parte la muestra muestra con carga. En la parte las líneas interrumpidas representa la forma de la barra antes de cargarla. Es fácil ácil observar la contracción lateral al estirar una banda de hule, pero en los metales los cambios en las dimensiones laterales (en la región lineal elástica) suelen ser demasiado pequeños para ser visibles. Sin embargo, se pueden apreciar con instrumentos de medición sensibles. La deformación unitaria lateral F´ en cualquier punto de la barra es proporcional a la deformación unitaria axial F en el mismo punto, si el material es linealmente elástico. La relación de esas deformaciones unitarias es una prop propiedad iedad del material, que se llama relación de Poisson o razón de Poisson. Esta relación adimensional se suele representar con la letra griega | (ni), y se puede definir con la ecuación |
BE@o DoE?=AE= "=?BA=" F´ BE@o DoE?=AE= =E=" F
El signo menos se intercala en la ecuación para interpretar que las deformaciones unitarias lateral y axial suelen tener signos opuestos. Por ejemplo, la deformación unitaria axial en una barra en tensión es positiva y la deformación unitaria lateral es negativa (porque disminuye el ancho de la barra). En la compresión se tiene el caso contrario: la barra se acorta (deformación unitaria axial negativa) y se ensancha (deformación unitaria
lateral positiva). Porr consiguiente para los materiales ordinarios la relación de Poisson tiene un valor positivo. Cuando se conoce la relación de Poisson de un material, se puede obtener la deformación unitaria lateral a partir de la axial como sigue: F´ |F Al usar las dos os ecuaciones anteriores se debe tener en cuenta que solo se aplican a una barra bajo esfuerzo uniaxial, esto es, una barra en la que el único esfuerzo es el esfuerzo normal ' en la dirección axial. La relación de Poisson lleva el apellido del famoso matematico francés Simeón Denis Poisson, quien trato de calcularla recurriendo a una teoría molecular de los materiales. Para los materiales isotrópicos, Poisson determino que | 1⁄4. Los cálculos más recientes, basados en mejores modelos de estructura atómica, atómica, dan como resultado | 1⁄3. Ambos valores se acercan a los valores reales experimentales, que están en el intervalo de 0.25 a 0.35 para la mayor parte de los metales y muchos otros materiales. Entre los materiales que tiene valores extremadamente bajos de la relación de Poisson están el corcho, con | practicamente cero y el concreto, para el que | queda aproximadamente entre 0.1 y 0.2. Un límite teórico superior de la relación de Poisson es 0.5. El hule se acerca a este valor límite. Para la mayor partee de los fines, se supone que la relación de Poisson es igual tanto en tensión como en compresión. Cuando las deformaciones en un material se hacen grandes, cambia la relación de Poisson. Por ejemplo, en el caso del acero estructural, la relación llega casi cas hasta 0.5 cuando se presenta fluencia plástica. En consecuencia la relación de Poisson solo es constante en la región linealmente elástica. Cuando el comportamiento del material es no lineal, la relación de las deformaciones unitarias lateral a axial se llama con frecuencia relación de contracción. Naturalmente que en el caso especial del comportamiento linealmente elástico la relación de contracción es igual a la relación de Poisson.
Limitaciones Dado un material, la relación de Poisson permanece constante en el intervalo linealmente elástico, como explicamos arriba, en consecuencia, en cualquier punto dado de la barra prismática de la figura,, la deformación unitaria lateral permanece proporcional a la deformación unitaria axial, a medid medidaa que aumenta o disminuye la carga. Sin embargo para un determinado valor de la carga (lo que equivale a que la deformación unitaria axial es constante en toda la barra), se deben satisfacer otras condiciones para que las deformaciones unitarias laterales sean iguales en toda la barra.
En primer lugar, el material debe ser homogéneo, esto es, debe tener la misma composición (y en consecuencia las mismas propiedades elásticas) en cada punto. Sin embargo, tener un material homogéneo no equivale a que las propiedades propiedades elásticas en determinado punto sean iguales en todas direcciones. Por ejemplo, el modulo de elasticidad podría ser distinto en las direcciones axial y lateral, como en el caso de un poste de madera. Así, una segunda condición para uniformidad en las l deformaciones unitarias laterales es que las propiedades elásticas deben ser iguales en todas direcciones perpendiculares al eje longitudinal. Cuando se cumplen estas dos condiciones, como ocurre habitualmente con los metales, las deformaciones unitaria unitariass laterales en una barra prismática sometida a una tensión uniforme serán iguales en cualquier punto de la barra e iguales en todas las direcciones laterales. Los materiales que tienen las mismas propiedades en todas las direcciones (sean axial, lateral o cualquier otra dirección) se llaman isotrópicos. Si las propiedades son distintas en distintas direcciones, el material es anisotropico. 3.4 El diagrama esfuerzo--deformación unitaria en cortante En la sección de esfuerzo se mostro que cuando un elemento de material está sometido a corte puro, el equilibrio requiere que se desarrollen esfuerzos cortantes iguales en las cuatro caras del elemento. Estos esfuerzos desde o hacia las esquinas diagonalmente de opuestas del elemento. Además, si el material es homogéneo hom e isótropo, entonces el esfuerzo cortante distorsionara al elemento de manera uniforme, (fig b109). La deformación unitaria cortante ];Z mide la distorsión angular del elemento con relación a los lados orientados inicialmente a lo largo de los ej ejes y ~.
El comportamiento de un material sometido a cortante puro puede ser estudiado en un laboratorio. Si se hacen mediciones del par aplicado y del ángulo de torsión resultante, entonces, según los métodos, los datos pueden usarse para determinar el esfuerzo cortante y la deformación unitaria cortante, y puede trazarse un diagrama de esfuerzo cortante-deformación cortante unitaria. En la (fig 109) se muestra un diagrama para un material dúctil. Al igual que en la prueba de tensión, este material exhibirá un comportamiento elástico-lineal cuando se le somete a corte, y tendrá un límite proporcional 8G definido. También, ocurrirá un endurecimiento por deformación hasta que se llegue al esfuerzo cortante último { . Finalmente, el material comenzara a perder su resistencia al cortante hasta que alcance un punto en que se fracture, w . En la mayoría de los materiales en ingeniería, el comportamiento elástico es lineal, de modo que la ley de Hooke para el cortante puede describirse como: ] Aquí se llama modulo de elasticidad por cortante, o modulo de rigidez. Su valor puede medirse por la pendiente de la línea en el diagrama ], esto es, 8G ⁄]8G . Advierta que las unidades de son las mismas que para x (Pa o psi), puesto que ] se mide en radianes, una cantidad adimensional. Las tres constantes del material, x, | y están relacionadas para la ecuación: x 2(1 + |) Siempre que x y se conozcan, el valor de | podrá determinarse por medio de esta ecuación en vez de recurrir a mediciones experimentales. Por ejemplo, en el caso del acero A-36, x2 = 29(10 ) ksi y 2 = 11.0(10 ) ksi, de modo que, según la ecuación anterior, |2 = 0.32. 3.5 Falla de materiales por flujo plástico y por fatiga Flujo plástico. Cuando un material tiene que soportar una carga por un periodo muy largo, puede continuar deformándose hasta que ocurre una fractura súbita o su utilidad se ve amenazada. Esta deformación permanece dependiente del tiempo se llama flujo plástico. Normalmente el flujo plástico es considerado cuando se usan metales o cerámicos como miembros estructurales o partes mecánicas sometidos a temperaturas elevadas. Sin embargo, en algunos materiales, como los polímeros y los materiales compuestos (incluyendo madera y concreto), la temperatura no es un factor importante, el flujo puede presentarse para aplicaciones estrictamente a largo plazo de la carga. Ejemplo, consideremos el hecho de que una banda de hule no retorna a su forma original después de haber sido liberada de una posición estirada en la cual se mantuvo durante un periodo de tiempo muy largo. Tanto el esfuerzo y la temperatura juegan un papel importante en la velocidad del flujo plástico. Cuando el flujo plástico resulta importante, el material se diseña por lo común para resistir una deformación unitaria por flujo plástico especificado para un periodo determinado. A este respecto, una propiedad mecánica importante que se considera en el diseño de miembros sometidos a flujo plástico es la resistencia por flujo plástico. Este valor representa el esfuerzo inicial más alto que el material puede soportar durante un
tiempo especificado sin causar una cantidad determinada de deformación unitaria por flujo plástico. La resistencia por flujo plástico variara con la temperatura y, para efectos de diseño, deberán especificarse la temperatura, la duración de la carga y la deformación unitaria por flujo plástico permisibles. En general, la resistencia por flujo plástico plástico disminuirá para temperaturas más elevadas o para esfuerzos aplicados más elevados. Para periodos más largos, deberán hacerse extrapolaciones de las curvas. Fatiga. Cuando un metal se somete a ciclos de esfuerzo o de deformación repetidos, ello ocasiona iona que su estructura se colapse, y, finalmente se fracture. Este comportamiento se llama fatiga, y por lo regular es la causa de un gran porcentaje de fallas en bielas y cigüeñales de maquinas, alabes de turbinas de gas o vapor, conexiones o soportes de puentes, ruedas y ejes de ferrocarril, así como otras partes sometidas a cargas cíclicas. En todos estos casos ocurrirá una fractura bajo un esfuerzo esfuerzo menor que el esfuerzo de cadencia del material.
La naturaleza de esta falla resulta del hecho que existen existen regiones microscópicas, normalmente en las superficies del miembro, donde el esfuerzo local es mucho más grande que el esfuerzo promedio que actúa en la sección transversal. Cuando este esfuerzo más grande se aplica en forma cíclica, conduce a la formación formac de grietas diminutas. La presencia de estas grietas provoca un aumento posterior del esfuerzo en sus puntas o fronteras, lo cual a su vez ocasiona una extensión posterior de las grietas en
el material cuando el esfuerzo continuo ejerciendo su acción. Con el tiempo el área de la sección transversal del miembro se reduce a un punto en que la carga ya no puede ser soportada, y como resultado ocurre la fractura súbita. El material, aunque sea dúctil, se comporta como si fuera frágil.
Con el objeto de especificar una resistencia segura para un material metálico para carga repetida, es necesario determinar un límite por debajo del cual no pueda ser detectada una evidencia de falla después de haber aplicado una carga durante un número determinado de ciclos. Este esfuerzo limitante se llama limite de fatiga o, más propiamente, limite de resistencia a la fatiga. Usando una maquina de ensayos para este propósito, una serie de muestras son sometidas a un esfuerzo específico y aplicado cíclicamente hasta su falla. Los resultados se trazan en una grafica que representa el esfuerzo ) (o ') como ordenada y el número de ciclos a la falla como abscisa. Esta grafica se llama diagrama ) , o diagrama esfuerzo-ciclos, y a menudo los valores de N se trazan en una escala logarítmica, puesto que generalmente son bastante grandes. 3. COMENTARIOS La realización de este tipo de trabajos es de gran utilidad, ya que nos permite adquirir nuevos conocimientos que serán necesarios en el desempeño de nuestra carrera para la buena aplicación de los conocimientos adquiridos. Además también nos enseña a realizar y llevar a cabo trabajos en equipo, y de esta manera realizar un buen trabajo ya que en nuestra área de desenvolvimiento trabajaremos de esta manera.
4. CONCLUSIONES En base a todas las investigaciones que hicimos en cuanto al tema de esfuerzo y deformación, llegamos a la conclusión de que el esfuerzo es la cantidad de fuerza requerida que se aplica a una sección dada. Y también que existen diversos tipos de esfuerzos como son los axiales, cortantes. Así como lo que es una deformación es un cambio de forma y tamaño en un cuerpo al aplicarle una fuerza. Las deformaciones pueden ser axiales o angulares. También podemos ver la utilización de vectores y funciones trigonométricas para la resolución de problemas que contienen deformaciones unitarias.
5. BIBLIOGRAFÍA • • • •
Mecánica de Materiales. Robert W. Fitzgerald. Alfaomega Grupo Editorial. México, D.F. 1996. Mecánica de Materiales. R.C. Hibbeler. Prentice – Hall Hispanoamericana, S.A. Edo. de México. 1997. Apuntes de Mecánica de Materiales.pdf. M.Sc. Raymundo Ibáñez Vargas. Mecánica de Materiales. Gere.
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