Resumen de Logaritmos 1

 

 

RESUMEN DE LOGARITMOS

Definición: Llamamos

logaritmo  en base a de un número b y lo denotamos por    , al número x que cumple que:  = . Es decir:

 

•

loga  b=x

⟺ax=b

Si en la exponencial, nos daban una base y nos preguntábamos cuál era el resultado de elevar esa base a una determinada cantidad, en el logaritmo, para esa misma base, nos dan el resultado y nos preguntamos a qu qué é exponente ten tendríamos dríamos

que elevar lla a

base para que diera ese resultado. El logaritmo, deshace lo que hace la exponencial, es su función inversa. Por tanto sus propiedades se derivan de las propiedades de la exponencial. Propiedades: De la definición de logaritmo podemos deducir: 1) No existe el logaritmo de un número negativo. ello implicaría que a < 0  lo que es imposible, por lo tanto: b>0 

2) El logaritmo de 1 es cero (en cualquier base). loga  1=x

⟺ax =1 ⟹∀ ⟹∀ a

 x=0

3) El logaritmo en base a de a es uno. loga  a=x

⟺ax =a ⟹  x=1 ∀ a

4) loga b∙logb a=1

loga b=x → ax =b logb a=y → by =a; si b=ax ax y=a→ ax∙y =a → x∙y=1⇔loga b∙logb a=1  5) El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente. loga  an =x

⟺ax =an   ⟹  x=n ∀ a 

6) No existe el logaritmo de un número con base negativa.

Dado que el logaritmo es la función inversa de la exponencial, el domino del logaritmo es el recorrido de la exponencial es decir,

R

+

por lo tanto, a>0  

Si a < 0, para determinados valores de x como por ejemplo x= , implicaría calcular raíces de índice par de número negativos.

 

−  =  √ − − 



 

 

Tienen especial importancia los logaritmos en base 10, se llaman logaritmos decimales y y los logaritmos cuya base es el número e, llamados logaritmos  Neperianos. Se denotan como:  

log x=log10  x

 

ln x=loge  x

e=2,718281828459045……….., Número de Euler

Operaciones con logaritmos I) El logaritmo de un producto es igu igual al a la suma de los logaritmos de los factores.   loga   x∙y=  loga  x+loga  y 

•

II) El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor.   loga  

•

x y

= loga x-loga  y 

III) El logaritmo de una potencia es iigual gual al producto del exponente por el llogaritmo ogaritmo de la base.   loga  xn = n∙loga  x 

•

IV) Cambio de base: Dado que sólo están tabulados los logaritmos decimales y los neperianos, cuando queramos calcular un logaritmo en base distinta de 10 o de e, hacemos un cambio de base de la siguiente manera: •

  loga  x=

logb x logb  a

 

EJEMPLOS: x

3

1º)  log2  8=x ⟶ 2 =8=2 ⟶x=3 x 4 2º)  log3  81=x ⟶ 3 =81=3 ⟶x=4

⟶ 4x =2⟶22x =2⟶2x=1⟶x= 12 

3º)

log4  2=x

4º)

log6=log 2∙3 = log 2+ log 3 =0, =0,3010 3010+0, +0,477 4771=0 1=0,77 ,7781 81 

5º) log8=log

16 = log 16- log 2 2

= =1,2 1,2040 040-0, -0,301 3010= 0= 0,9 0,9031 031 

3

6º)

log8=log2 = 3 lo log g 2=3 2=3∙0, ∙0,301 3010 0 =0, =0,903 9030 0 

7º)

log3  16=

log16 log3

=

1,2041 =2,5238 0,4771

 

 

EJERCICIOS

1º)  Calcula sin utilizar la calc calculadora: uladora:

a) log 5 0,2; b) log

27 3;

c) log

0,5 16;

d) log 3 ÷ log 81; e) log 9 25 ÷ log 3 5;

f) log 5 + log 20; g) log 2 3 × log 3 4; h) log 2 − log 0,2; i) log 4 64 + log 8 64; sol: a) -1; b) 1/3 c) -4; d) 1/4 e) 1; f) 2; g) 2; h) 1; i) 5 d)

e) g)

log3 1 log81 =log81  3= 4 

 

log9 25 log3 5

log3 25 log3 9

=

log3 5

2∙log 5

3 = = log 5∙2∙log 3 33

2 2

=1 

log  3

log  3

log  3

3

3

3

log2  3∙log3 4= log3 2  ∙log3  4= log3 2  ∙log3  22= log3 2  ∙2log3  2=log3 3∙2=2 

2º) Determina el valor de x.

a) log0,5  2 =x; =x; b) log2  x=-3; c) logx  25=-2 ; d) 10 2 + log 3 = x; e)  log 1

625  

= −

x 

125

 sol: a) -1; b) 0,125; c) 0,2; d) 300; e)   3º)  Si log 2 = a,

log 3 = b

y

a) log 6; b) log 49; c) log 5; d) sol: a) a+b ;

b) 2c;

c) 1-a;

log 7 = c , calcula:

√ 2 ; e) log 12; f) log 700; g) log 0,5; h) log 1,5 d) 0,5a;

e) 2a+b;

f) c+2;

g) -a;

h) b-a

4º)  Desarrolla apli aplicando cando las propi propiedades edades de los logaritmos:

a) log 2ab sol: a) log 2 + log a + log b

3a b) log   4

2∙a2   c) log 3

b) log 3 + log a – log 4

c) log 2 +2log a –log 3

5º)  Reduce a un s solo olo logaritmo:

a)

1 2

log x +

1 2

log y  

b) log p + log q – log r – log s

c) log (a + b) + log (a – b)

sol: a) log

x∙y; b) log √ x∙y;

d)

a+b p∙q ; c) log ; r∙s a-b

1 2

log x −

1 3

d) log

log y +

√ x 4   3 √ y∙ √ z

1 4

log z