Resumen de Funciones Secundaria

 

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FUNCIONES En las matemáticas las funciones son claves para el estudio de las ciencias exactas y sociales, ya que por medio de ellas se pueden establecer relaciones entre los elementos del entorno, y realizar interpretaciones de los fenómenos y predicciones pr edicciones como en el campo de la economía. A su vez son muy utilizadas para el establecimiento empírico de leyes naturales y sociales. Todos hemos hecho uso de las funciones, desde la escuela trabajamos con ellas,  por ejemplo las fórmulas de áreas son funciones, donde se hace una relación entre la medida de los lados de una figura y el área que esta posee. Las funciones hacen uso de variables, tanto independientes como dependientes.

Variable: Es una entidad que pueden cambiar de valor o representación de acuerdo al entorno de estudio. Variable independiente: Es aquella variable que cambia pero sin depender de otros hechos o variables. Variable Es aquelladependiente: que cambia de acuerdo a otras variables, por lo que depende de ellas. Por ejemplo el área de un cuadrado cambia según varia la medida de los lados, por lo tanto la medida de los lados es independiente y el área es dependiente de la medida de los lados. Ejemplos de variables dependientes e independientes Independiente dependiente Lugar de nacimiento Código para el número de cedula Medida de lados de un cuadrado Perímetro del cuadrado Posición de un país con respecto al Clima ecuador Estudios universitarios Estudios en secundaria Estudiantes Calificaciones Dinero Propiedades Claro está que varía de acuerdo al entorno, una variable independiente puede ser dependiente y viceversa, es necesario ddeterminar eterminar QUIÉN depende de QUÉ Por ejemplo trabajo y dinero, en este caso el dinero o sueldo depende del trabajo que se desarrolla, en este caso dinero es dependiente y el trabajo el independiente, pero si vemos estudios y trabajo, acá el trabajo depende de los estudios realizados por lo que varía. Cuando establecemos una relación entre dos conjuntos de variables independientes y dependientes es que conseguimos lo que se llama una RELACIÓN o

CORRESPONDENCIA.

 

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FUNCIÓN Es una correspondencia  o relación  entre conjuntos, donde a cada elemento independiente le corresponde un único elemento dependiente. dependiente. Cuando se logra establecer una función a los elementos independientes se les conoce como preimágenes y a los elementos dependientes imágenes.

Definiciones En una función al conjunto de preimágenes se le conoce como DOMINIO. En una función al conjunto que contiene a las imágenes se le conoce como CODOMINIO. Y al subconjunto del codominio formado exclusivamente por las imágenes (resultado) se la llama ÁMBITO.

Gráficos de VENN  En el estudio de funciones los gráficos de Venn son muy útiles para establecer funciones o relaciones, así como al análisis. ESTUDIANTES

NOTAS

 Xinia

40

 Alba

50

 Karina

60

 Josue

70

Carolina

80

 Alejandro

90

 Delany 

100

La relación anterior corresponde a una FUNCIÓN. ¿Por qué? En este caso Dominio = {Xinia, Alba, Karina, Josué, Carolina, Alejandro, Delany}  Codominio = {40, 50, 60, 70, 80, 90, 100} Ámbito = {60, 70, 80, 90, 100}

 

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¿Cómo se nos presentan las funciones?  Tanto en un contexto matemático, como en la vida cotidiana, nos encontramos a menudo con funciones. Se nos presentan de diferentes maneras: 1. 1.   Mediante su representación gráfica.

La cotización en bolsa de un determinado producto en los primeros 10 días en que se sacó a bolsa es la función representada en la imagen anterior. Como mejor podemos apreciar el comportamiento global de una función es mediante su representación gráfica, por eso, siempre nos será de mucha utilidad conseguir representar la función si no nos la dan ya representada. La variable independiente sería el tiempo en días y la variable dependiente el valor de cotización del producto en miles de euros. 2. 2.   Mediante una tabla de valores.

Observa los siguientes datos que se dan en una tabla:

x (horas)  y (miles) 

0

1

2

3

4

5

6

7

3

6

12

24

48

96

192

384

Corresponden al número aproximado de bacterias, en miles, de una colonia a lo largo del tiempo medido en horas. La variable independiente es el tiempo medido en horas y la dependiente el número de

 

4  bacterias en miles. miles. Los datos recogidos en esta tabla podrían representarse en un sistema cartesiano y con ello conseguir, al menos de forma aproximada, la gráfica de la función que mide los miles de bacterias en cada hora. 3. 3.   Mediante un enunciado.

" Un padr padr e q que ue e estuvo stuvo o obse bserr vando vando d de esde el balcón a su h hii j o A Albe lberr to ccom omo o iiba ba al colegio: .-De casa salió a las 8.30 y fue seguidito hasta casa de su amigo Tomás. Lo esperó un rato sentado en el banco y luego se fueron juntos, muy despacio, hacia el colegio. C uando ya estab staban an lle lleg ando ando,, mi hi hijj o se d dii ó cuenta d de eq que ue se hab habíí a d de ej ad ado o la car carte terr a en el b banco; anco; vo volvi lvió ó co corr r i endo, la rre ecogi cogió ó y lle lleg ó a la e escuela scuela a las 9 e en n punto."  

Este enunciado representa una función que describe la distancia a la que se encuentra Alberto según el instante entre las 8.30 y las 9.00 de la mañana, y su gráfica aproximada es la representada a la derecha.

4. Función expresada como un conjunto (gráfico) h  1,1; 2,4 ; 3,1; 4,9

A este tipo  de representación se simplemente le conoce como la función. El GRÁFICO GRAFICO una función es el conjunto de depares ordenados (preimagen, imagen) de la función. Cuando tengas una función expresada como un conjunto, debes tomar en cuenta que cada preimagen preimagen tenga una única image imagenn y si cumple con esto esto es una función, como en el caso anterior.

 

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ACTIVIDADES:  a. Esta gráfica muestra la evolución de la audiencia de radio en España en un día  promedio del año año 1993. El porcentaje porcentaje se refiere a toda la población española de 14 14 años o más.

         

¿Entre qué horas se realiza la medida? ¿En qué horas del día aumenta el porcentaje de personas que escuchan la radio?¿Cuándo disminuye? ¿En qué momento de la mañana es máximo el porcentaje de oyentes? ¿Cuál es el máximo de la tarde?¿Y de la noche? ¿Cuál es el porcentaje de oyentes a las 8 de la mañana?¿Y a las 9 de la noche?

 b. La siguiente siguiente tabla muestra los ddatos atos recogido recogidoss respecto a la longitud del feto durante el embarazo según las semanas de gestación:  

x5 

y1 

10 15 20

7 15 25

25 30 35 40

35 42 48 52

   

   

Usando la tabla de valores, representa gráficamente la función. Señala cuál es la variable independien independiente te y cuál la dependiente y en qué se mide cada una. Durante las primeras dos o tres semanas de gestación el feto es casi microscópico. ¿Cuánto medirá cuando la gestación sea de 12 semanas y media. ¿Cuál es la longitud que suele tener un niño al nacer? Si la expresión P = 0'025·l3 nos da de forma aproximada el  peso del feto en gramos seg según ún su longitud l en centímetros. Construye la correspondiente tabla y diguja la gráfica de la función que representa el peso en gramos del feto según la semana de gestación.

 

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c. Un remolque de una pista de montaña funciona de 9 de la mañana a 4 de la l a tarde y su recorrido es el siguiente: Desde la salida hasta la pista, que está a 1200 m, tarda 15 minutos. Se para en la pista 15 min. Baja hasta la base en 10 minutos. Está parado 20 min, y empieza de nuevo el recorrido.      

Dibuja la gráfica que representa el recorrido del remolque. ¿Cuál es la posición del remonte a las 12 h 30 min?¿Y a las 12 h 20 min? ¿Observas alguna característica especial en la gráfica?. Coméntala.

5. Mediante su expresión analítica o fórmula.

El área de un círculo es función de su radio y se calcula a través de la expresión  

. La variable independiente es la medida del radio (aquí se usa la letra r para esta variable) y la dependiente es la medida de la correspondiente área que aquí se representa  por la letra A. La expresión analítica es la forma más precisa y manejable de dar una función ,  pero a partir de ella el estudio posterior y la obtención de la gráfica es una tarea minuciosa se quieredarobtener gráficaindependiente lo suficientemente la función. Siempre essi posible a la una variable valoresreal y de conseguir los correspondientes de la variable dependiente con los que construir una tabla y conseguir una gráfica aproximada. OTROS EJEMPLOS  Figura

Esfera

Volumen

V(r)=

 

3

4  r 

 

3

Cubo Área cuadrado  Área círculo Área triángulo equilátero

V ()    3  A()    2 2

A=

  r

 A()  



2

3



4

 

En cada una de estas formulas (criterios), el área o el volumen de la figura varía de acuerdo a las dimensiones de esta. Por ejemplo Para el área de un cuadrado podemos obtener obtener diferentes áreas de acuerdo a como varíen sus dimensiones, pero para cada medida de lado, solo existe un área posible, o sea no existen dos áreas diferentes para un cuadrado de lado dos, todos los cuadrados de lado dos tienen área de cuatro.

 

7 Ejemplo  A()   

2

 A(2)  2  4

 A(5)  5  25

 A(3)  3  9

 A(6)  6  36

 

2

 

2

 

2

 

 A(4)  4  16

2

 

2

 

2

 A(7)  7  49

 Note que esta relación se clasifica como función dado que para cada medida de lado solo existe un área, de donde a cada elemento independiente le corresponde uno dependiente,, lo cual corresponde con el concepto de función. dependiente Para mayor comprensión, veámoslo con un grafico de Venn 2 3 4 5 6

4 9 16 25 36

7  

49   49

Escritura algebraica (analítica) de una función e interpretación i nterpretación El criterio de una función puede expresarse de varias formas, una de ellas es por medio de la notación de Leibniz, por ejemplo   f     f    (  x)  3   x   2

Donde f, significa función que depende de (x), o sea x es la variable independiente o  preimagen, y 3x+2 es la imagen asociada la preimagen (independiente) Una manera alterna de verlo es así  x    f     ( x)  A ca cada valor lor x le co corr res resp pond nde e un re resu sult lta ado  x  3 x   2

Veámoslo con un gráfico de Venn X 2 3 4 5 6 7  

3x+2   f  (2)  3  2  2  6  2  8

8 11 14 17 20 23   23

  f  (3)  3  3  2  9  2  11   f  (4)  3  4  2  12  2  14   f  (5)  3  5  2  15  2  17   f  (6)  3  6  2  18  2  20   f  (7)  3  7  2  21  2  23

 

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En algunos libros de texto se acostumbra por simplicidad expresar y = f(x) Por lo que nuestro criterio se puede escribir como y = 3x+2 Se debe tener claro que con esta representación X  es la preimagen y Y la imagen, la imagen corresponde al criterio expresado.

Calculo de imágenes y preimágene preimágeness  A partir del criterio de una función Cuando se posee el criterio de una función es posible calcular la imagen o preimagen si conocemos una de las dos, esto puede sernos útil de acuerdo al campo de estudio, por ejemplo un inversionista que desea conocer cuánto dinero invertir para obtener cierta ganancia (imagen), en este caso conoce la imagen, pero no la preimagen (el dinero). Otra situación puede ser, si tenemos la formula de población de un tipo de  bacteria y tenemos mil de ellas, cuantas bacterias tendremos a partir de diez horas. En este caso la variable independiente es el tiempo (preimagen) y la imagen la cantidad de  bacterias que se obtendrán. Este tipo de situaciones es importante resolverlas constantemente en las ciencias económicas y médicas, así como en otros campos. Como se observa en los ejemplos es importante establecer que es lo que se está averiguando,, la imagen o la preimagen averiguando

Reglas Cuando se desea averiguar la

IMAGEN Se sustituye el valor de la preimagen (que se conoce) en el criterio y calcula el valor numérico del criterio. PREIMAGEN Se resuelve una ecuación, igualando el criterio al valor de la imagen (que se conoce) Ejemplos: 1)  Sea f(x) = 6x –  5, la imagen de 4 es? Solución Para facilitar los cálculos es conveniente expresa expresarr la función como y = 6x –   55 Procedimiento Lo primero es determinar que se nos está solicitando, en este caso debemos averiguar la imagen, por lo tanto solo cambiamos el valor de x por 4   y  6  4  5   y  24  5     y  19

Por lo tanto la imagen de 4 es 19

 

9 2)  Sea g(x) = 5x + 7, la preimagen de 47 es? Solución y = 5x + 7

Procedimiento En este caso se nos pide averiguar la preimagen, o sea 47 es la imagen  47  5 x  7  47  7  5  x    40  5 x 

40 5

por lo tanto 8 es la preimagen de 47

  x

 8   x

3)  Sea h(x) = 4 –  3x, Solución y = 4 –  3x  3x

4 es preimagen de?

Procedimiento  Note que en este caso se nos está diciendo que 4 es preimagen, o sea 4 = x, por lo que debemos averiguar la imagen que le corresponde   y  4  3  4  y  4  12

 

Por lo tanto 4 es preimagen de – 8

  y  8

4)  Sea p(x) = -2x + 5 ,  –  9  9 es imagen de? Solución y = -2x + 5

Procedimiento  Note que en este caso se nos está diciendo que  –  9  9 es imagen, o sea  –  9   9 = y, por lo que debemos averiguar la preimagen que le corresponde  9  2 x  5  9  5  2 x  14  2 x    14   x  2  7   x

por lo tanto –  9  9 es imagen de 7

 

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GRAFICANDO FUNCIONES EN EL PLANO CARTESIANO Función continua y discontinua Cuando realizamos la gráfica de una función, de acuerdo a sus características o dominio esta puede ser continua o discontinua. Se dice continua cuando la gráfica no  tiene cortes y se dice discontinua si existe la gráfica presenta cortes o desuniones entre sus puntos. Ejemplos Función continua

función discontinua                                                                               Cuando se da el criterio de una función, también se debe dar el dominio y codominio sobre la que está definida, de la siguiente forma y

20 18 16 14 12

10 8 6 4

2

-22

-20

-18

-16

-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

x

2

4

6

8

10

12

14

16

-2 -4 -6 -8

-10 -12 -14 -16 -18

  f  : D    C    Donde D es el dominio C es el codominio  Ejemplo   IR   Sea f(x) = 3x 2 + 2 x + 5,   f  : 3  ,8  Se está indicando que el dominio de la función es el intervalo 3,8  y el codominio es el conjunto de los números reales. Note que el ámbito no es IR  

Plano Cartesiano Está conformado por dos rectas rectas numéricas, perpendiculares perpendiculares entre sí (ángulo recto entre ellas), intersecadas en el valor de cero. A la recta horizontal se le llama eje de las abscisas y al eje vertical eje de las ordenadas. En algunos algunos casos me referiré al eje de las abscisas como EJE X y al eje de las ordenadas EJE Y. En el eje de las X se representan r epresentan las preimáge preimágenes nes de la función y en el eje de las Y se representan las imágenes de la función. Cada punto en el plano Cartesiano se le llama PAR ORDENADO y siempre está formado por una pareja de valores, la preimagen e imagen correspondiente De esta forma (PREIMAGEN, IMAGEN)

 

11 Estos ejes conforman cuatro cuadrantes I, II , III y IV De esta forma se verifica la siguiente relación en signos para los puntos en el plano. I II III IV

(+,+) (-,+) (-,-) (+,-)

¿Como nos movemos en el plano cartesiano? Los pares ordenados (puntos) indican dos movimientos:   En el eje X el movimiento es horizontal, o sea que el punto debe encontrarse a la derecha o izquierda del eje Y, tantos “ PASOS” indique el valor.    En el eje Y el movimiento es vertical, o sea que el punto debe encontrarse arriba o abajo del eje X, tantos “ PASOS” indique el valor. Ejemplo Por ejemplo el punto (3, –  4)  4) indica que eell punto debe es estar tar 3 unidades a la derecha del eje Y  y 3unidades

y el valor –  4  4 que debe estar bajo el eje X cuatro unidades  x 4unidades

al unir ambos movimientos solo existe una posición en el plano que cumpla con ambos condiciones (posición)

(3.   4)

 

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Grafiquemos una función Ejemplo   IR     f  ( x)   5  2 x   f:  2,1, 0  ,1,2,3  Primero construyamos una tabla de valores

x  y 

  f  (2)  5  2  2  5  4  9

-2 9 -1 7 0 5 1 3 2 1 3 -1

  f  (1)  5  2  1  5  2  7   f  (0)  5  2  0  5  0  5   f  (1)  5  2  1  5  2  3   f  (2)  5  2  2  5  4  1   f  (3)  5  2  3  5  6  1

  7  5  9

  1  3

 

-3

 

-2

 

-1

  -3  -1

 

1

 

2

 

3

  -5  -7  -5

En este caso el Ámbito = 9,7,5 ,3,1  1   Al graficar una función se debe poner especial atención al dominio de esta, ya que de ser un conjunto continuo (intervalo) (intervalo) se debe trazar una curv curvaa suave que una los puntos representados en el plano cartesiano. En la gráfica anterior el ddominio ominio era  2,1,0  ,1,2,3 y el codominio  IR , por lo que no se unen los puntos al ser el dominio un conjunto de elementos discontinuos.

 

13 Para la función anterior, realicemos la gráfica pero variemos el dominio, como se muestra

f:  2  ,3    IR   En este caso la gráfica es una línea suave que une los puntos, y la tabla la construimos evaluando los extremos extremos y valores entre ellos, resultando la gráfica

  f  ( x)   5  2 x  

    5  9 7

 Nota: la tabla de valores Se mantiene

  1  3

 

-3

 

-2

 

-1

  -3  -1

 

1

 

2

 

3

  -5  -5

 

-7

Indique en este caso ¿cuál es el ámbito de la función? Note que no coincide con el codominio definido ANALISIS DE GRÁFICAS Dominio y ámbito de una función a partir de su gráfica. Como hemos observado existen situaciones donde se tiene la gráfica de una función antes que el criterio de la misma, pero es importante deducir a partir de ella, si esta corresponde a una función, el dominio, ámbito, intervalos i ntervalos de monotonía, puntos de intersección, entre otros. ¿Cómo deducir el dominio y ámbito partir de la gráfica? Recuerde que el dominio de la función esta dado en el EJE X, por lo que para determinar el dominio se hace una traslación vertical de los puntos de la gráfica hacia el eje de las abscisas, como muestra la figura

 

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De esta forma para la función el dominio = [ –   –  4  4 ,3[ De manera similar sucede para determinar el ámbito de una función, la diferencia esta en que las imágenes se encuentran en el EJE Y, por lo que se realiza una traslaci[on horizontal de los puntos, como en la siguiente figura

De esta forma para la función ámbito = [ –   –  4  4 ,2] 

MONOTONÍA DE UNA FUNCIÓN Hay dos tipos de monotonía: Concepto intuitivo Monotonía creciente: Una función es creciente en un intervalo si cuando la dibujo de izquierda a derecha hay que subir.   Monotonía decreciente: Una función es decreciente en un intervalo si cuando la dibujo de izquierda a derecha hay que bajar.  

 

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CONCEPTO TEORICO DE LA MONOTONÍA Crecimiento: Una función es creciente en un intervalo abierto si dados dos  puntos cualesquiera cualesquiera del interva intervalo lo ( a < b ) se verifica que f(a) < f(b)  Decrecimiento: Una función es decreciente en un intervalo abierto si dados dos  puntos cualesquiera cualesquiera del interva intervalo lo ( a < b ) se verifica que f(a) > f(b)  Una función es (monótona) ESTRICTAMENTE CRECIENTE  si crece en todo su dominio. Una función es (monótona) ESTRICTAMENTE DECRECIENTE si decrece en todo su dominio. *los intervalos siempre son abiertos. *La monotonía se mira en el eje X. *El dominio está señalado en verde Es creciente en el

]intervalo: - 6 , + ∞ [ 

Es decreciente en ]- ∞ , 1[  Es creciente en ] 1 , + ∞ [ 

Es decreciente en:

]-

∞ , 1

[ U ] 1,+

∞ [

 

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Es decreciente en todos los números reales, R  

]-

∞, + ∞ [= R

Es creciente en:

] - 2, 0 [U] 2, +

∞ [

Es decreciente en:

]-

Es creciente en:

] 0, 3 [U] 3, +

∞ [

Es decreciente en:

]-

∞, - 3 [ U ] - 3 , 0 [

∞, - 2 [U] 0, 2 [

 

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INTERSECCIÓN DE UNA FUNCIÓN CON LOS EJES Determinar los puntos de intersección de una función con los ejes es muy recomendable cuando se está realizando la gráfica, ya que estos puntos dependiendo la situación son de importancia en el estudio. Cuando tenemos la gráfica de la función es muy sencillo darse cuenta donde esta interseca los ejes, note por ejemplo En este caso es evidente donde la gráfica interseca al eje de las abscisas (-2,0) y en (2,0) Y al eje de las ordenadas (0,4)

Del caso anterior notemos dos aspectos interesantes de la gráfica, En los puntos donde la función interseca al eje de las X el valor de la imagen es y = 0 En cambio cuando interseca al eje de las Y el valor de la preimagen es x = 0, de donde  podemos generalizar generalizar este resultad resultadoo a cualquier función función

Puntos de intersección eje X Cuando deseamos averiguar los puntos de intersección de una función con el eje X a  partir de su criterio, se se sustituye Y por eell valor de cero, o sea y = 0 Puntos de intersección eje Y Cuando deseamos averiguar los puntos de intersección de una función con el eje Y a  partir de su criterio, se se sustituye X por eell valor de cero, o sea x = 0 Ejemplos Averigüemos los puntos de intersección con los ejes para las l as siguientes funciones 1)  f(x) = 5x –   33 y = 5x –   33 Solución Eje X y = 0  5x –  3 = 0  5x = 3 

  x

3 5

 

    de donde el punto es  ,0  3

 5  

 

18 Eje Y   x = 0   y = 5   0  3   3  y = –   3

de donde el punto es 0, 3

–  3x 2)  2) g(x) = x2  –   3x –   44 2 y = x   –   –  3x  3x –  4  4 Solución

Eje X y = 0   –  3x  3x –  4 = 0   x2 – 

se resuelve la ecuación

 4 ) (x + 1) = 0  (x –  4   x = 4 y x = –  1

–  1,0) De donde los putos son (4,0) y (  –   1,0)

Eje Y   x = 0  y = 02 –   –   330 –   44  y = –  4

De donde el punto es (0, –  4)  4)

DOMINIO MÁXIMO  En la función que tiene por expresión algebraica y = 2x +1 podemos dar a la variable x el valor que queramos y con ello obtener un correspondiente valor de y. Decimos que en este caso dicha función está definida en todo R  (conjunto  (conjunto de los números reales) o bien que su dominio máximo es R.  Sin embargo la función y = 1/x no permite calcular el correspondiente valor de y para todos los valores de x. En este caso el valor x=0 no puede ser del dominio de la función. Si la función es la que a cada alumnos/as de décimo le asocia la nota del examen que hizo el día 22 de mayo, el dominio de dicha función sería el conjunto de alumnos/as de décimo que hicieron ese citado examen.

Se llama dominio máximo de una función f , y se designa por D om f , al conjunto de valores de x para los cuales existe la función, es decir, para los cuales podemos calcular y = f (x). (x). Obtención del dominio máximo a partir de la expresión algebraica para algunas funciones sencillas.

Efectivamente nos limitaremos a aprender a calcularlo para algunas funciones sencillas y que utilizaremos a menudo. Éstas son: FUNCIONES POLINÓMICAS:

Aquellas cuya expresión algebraica es un polinomio, es decir, las funciones polinómicas, tienen como dominio máximo todo el conjunto de los números reales: R ,  puesto que a partir de una expre expresión sión polinómica, y sustituyendo eell valor de x por el

 

19 número real que hayamos elegido podemos calcular sin ningún problema el número real imagen y. Por ejemplo:

 f( x )= 3x5- 8x + 1; D(f) = R g( x )= 2x + 3; D(g) = R h( x)=½ x)=½ ; D(h) = R FUNCIONES RACIONALES:

Si la función es racional, esto es que su expresión es un cociente de dos polinomios, nos va a plantear el problema de tener que excluir del dominio las raíces del polinomio denominador. Así pues si el polinomio denominador es Q(x), resolveremos la ecuación Q(x)=0 y obtendremos dichas raíces x 1, x2,..., xn, y así tendremos que D(f) =  R  –   {x1, x2,..., xn}. Esto significa que forman el dominio máximo  de la función todos los números reales excepto x 1, x2,..., xn. Por ejemplo: I) Resolvemos la ecuación x2- 9 = 0; y obtenemos x1  = 3 y Por lo tanto D( D(f) f) = R –  {3,  {3, -3} 

x2  = -3.

II)

Resolvemos la ecuación x2+ 1 = 0; y nos encontramos que no tiene solución. No hemos encontrado valores que anulen el denominador y por lo tanto no tenemos que excluirlos del dominio. Por lo tanto D(f) = R.  FUNCIONES IRRACIONALES:

Funciones irracionales son las que vienen expresadas a través de un radical que lleve en su radicando la variable independiente. Si el radical tiene índice impar, entonces el dominio será todo el conjunto R de los números reales porque al elegir cualquier valor de x siempre vamos a poder calcular la raíz de índice impar de la expresión que haya en el radicando. Pero si el radical tiene índice par, para los valores de x que hagan el radicando negativo no existirá la raíz y por tanto no tendrán imagen y según la función irracional mencionada. Veamos el método para conseguir el dominio en este caso a través de unos ejemplos:

 

20 I)

Resolvemos

la

inecuación

x

+1

>

0;

==>

x

>

-

1; x+1 es uuna na eexpres xpresión ión positiv positivaa si x pe pertene rtenece ce al al interval intervaloo [-1, + [. Por lo tanto D(f) = [-1, + [. 

FUNCIÓN LINEAL

FUNCIONES CUYA GRÁFICA ES UNA RECTA. Hay tres tipos de funciones cuya representación gráfica sea una recta: Funciones constantes: Su gráfica es una recta horizontal. Su fórmula general es de la forma: f(x) = b “b” es un nº real. 

Funciones lineales: Su gráfica es una recta que corta al eje X. Su fórmula general es de la forma: f(x) = mx + b “m” y “b” son nº reales.  

 

21

Estos dos tipos de funciones se pueden agrupar con el nombre de funciones polinómicas de grado uno

ASPECTOS TEÓRICOS DE LA FUNCIÓN LINEAL

 

 

Si analizamos el triángulo recto ABC, podemos deducir que la medida de BC, se puede calcular por medio de la l a razón trigonométrica  BC   y tan       AC   x  y  t an   2  x2

  x2 tan     y2  generaliza ndo

  y   x t an  Notemos por otro lado que tan     es equiv equivalente alente en el triángulo MBN, donde  y   y1      2    tan  x2   x1 Donde se define la variable m (pendiente) como el grado de inclinación de la recta y es equiv equivalente alente a tan     O sea  m 

 y2   y1  x2   x1

 

Sustituyendo en el resultado anterior  y   x tan      mx  y  mx

 

22 Finalmente realizando la traslación correspondiente al punto de intersección con el eje de las ordenadas, para cuando x = 0, se obtiene una traslación vertical tal que y = m x + b  b  (donde b corresponde al valor numérico de y, en el punto de intersección con el eje de las ordenadas)

Función Lineal

m

 y2   y1  x2   x1

 

b = yi – m  – m xi 

Con este resultado podemos deducir varias características importantes en relación a la pendiente

En el gráfico 1, m = tan    0 , para cualquier ángulo entre 00 y 900  Ejemplo tan23 = 0,42 En el gráfico 2, m = tan    0 , para cualquier ángulo entre 90 0 y 1800  Ejemplo tan 110 = -2,75 (Pruebe con algunos valores en caso de duda)

 

23

1) Si la pendiente de una recta es positiva (m>0), la recta es estrictamente creciente 2) Si la pendiente de una recta es negativa (m 0 (positivo)

Cóncava hacia abajo en este caso a < 0 (negativo)

 A nális is de una fun funci ci ón cu cuadrática adrática

1) Como se indico en el anterior apartad apartado o el valor numérico del coeficiente x2, indica la concavidad. Cóncava hacia arriba Cóncava hacia abajo en este caso a > 0 (positivo) en este caso a < 0 (negativo) 2) Puntos de intersección Eje Y (0 , c) Eje X y=0 Ello implica que 0 = ax2 + bx + c y s se e resuelv resuelve e la ecuación cuadrática. (x1,0) y (x2,0)

 

30 3) Propiedades del discriminante   Si el   0   indica que la ecuación 0 = ax2 + bx + c, tiene dos soluciones distintas, por lo tanto la gráfica interseca al eje de las abscisas en dos puntos.

  Si el   0   indica que la ecuación 0 = ax2 + bx + c, tiene una soluc solución, ión, por lo tanto la gráfica interseca al eje de las abscisas en un punto.

  Si el   0   indica que la ecuación 0 = ax2 + bx + c, no tiene solución, por lo tanto la gráfica no interseca al eje de las abscisas en ningún punto.

 

31 4) Vértice Se define como el punto máximo (si es cóncava hacia abajo) o abajo) o como el punto mínimo (si es cóncava hacia arriba arriba)) de la función cuadrática.

Vértice

El vértice se puede determinar por medio de la siguiente formula

de donde el vértice tiene las coordenadas

P ropiedades ropiedades del vértice a) Si la función cuadrática es cóncava hacia arriba a > 0, 0 , entonces

 



el ámbito corresponde ámbito corresponde a  A     ,00     4a y los intervalos de variación corresponden como sigue  b Intervalo de crecimiento  crecimiento      ,00     2a    b Intervalo de decrecimiento  decrecimiento     00,   2a   b) Si la función cuadrática es cóncava hacia abajo a < 0, 0 , entonces

 

      4a 

el ámbito corresponde ámbito corresponde a  A    00,

y los intervalos de variación corresponden como sigue     b Intervalo de crecimiento    00,   2 a    b Intervalo de decrecimiento  decrecimiento      ,00     2a

 

32 Ejemplo Sea la función cuadrática f(x) = 5x2 – 13x  – 13x + 6 donde f: IR  IR. Realice la gráfica de la función cuadrática, y el análisis completo de la función, f unción, indicando el ámbito e intervalos de variación Solución 1) paso Determinar la concavidad a = 5   cón  cóncava cava hacia arriba U 2) paso Puntos de intersección Eje Y X=0 (0, c) = (0, 6) Eje x y=0 0 = 5x2 – 13x  – 13x + 6  Aplicando la formula general se obtiene obtiene   2   (13)  4  5  6    169  120  49    ello indica que existen dos puntos de intersección

De donde  x1 

13  49 25

 

13  7



10

20 10

 2 

y

 x2 

13  49 25

 

13  7 10



6 10

 3   Por lo tanto los puntos de intersec intersección ción se dan en (2,0) y  ,0     5   3) paso Vértice  x   b   13  13   2a 25 10    49  49  y      4a 45 20

  b      13   49  ,    , 2 a   4 a 10 20        

v



3 5

 

 

33 4) paso Marcar los puntos encontrados en el plano y realizar la grafica

7 6 5 4 3 2 1 E je X

0 -3

-2

-1

-1 0

1

2

3

-2 -3 -4 Eje Y

El ámbito  A      ,00  =   49 ,00     4a   20

  13  b Intervalo de crecimiento   ,00    ,00     10  2a 13      b  Intervalo de decrecimiento    00,   00 ,   10  2a  









E je de s imet imetrí ría a en una función ccuad uadrát rátic ica a Una simetría axial de eje e es una transformación q que ue hace correspond corresponder er a 1 cada punto P otro punto P tal que la recta e es mediatriz del segmento PP 1 

e

 

34 La gráfica de una función cuadrática presenta una simetría axial, la cual es una recta vertical, que pasa por el vértice de la gráfica. El eje de simetría de la gráfica de una función cuadrática esta definida por  x 

b

  o sea coincide con la coordenada X del vértice.

2a

Propiedad del eje de simetría Como la distancia entre cada punto de la gráfica del lado izquierdo con el eje de simetría es igual a la distancia del punto que le corresponde del lado derecho con el eje de simetría, se pueden deducir las intersecciones con el eje x, con conocer el eje de simetría y uno de los puntos de intersección. Por ejemplo si la gráfica interseca al eje x en el punto (-4,0) y el eje de simetría es x = 2, 2, eso quiere dec decir ir que la distancia entre -4 y 2 es de 6 unidades,, por lo tanto la distancia del otro punto de intersección debe ser de unidades seis unidades y corresponde al valor de 8, por lo tanto el otro punto de intersección es (8,0). (8,0). Por lo tanto si (x1,0) y (x2,0) son los puntos de intersección con el eje de las abscisas, entonces se cumple que d     b , x1   d       b , x 2    b   x1   b   x2     2a   2a     2a   2a

De igual forma todo punto de la gráfica debe tener un punto correspondiente que se encuentre a igual distancia con el eje de simetría Ejemplo Si f(x) es una función cuadrática cuadrática con eje de simetría x = 3 y contiene al punto (-5,3) ello implica que la función cuadr cuadrática ática debe contener ta también mbién al punto (11,3) ¿Por qué?

 

35 Función inversa f -1

f X

Y

x

Y

1

3

3

1

2

5

5

2

3 (a)

2

2 (b)

3

Inversa de una función, es una regla de correspondencia que “invierte” la función original. Por ejemplo, considere la función f determinada por la tabla (a). Invirtiendo las columnas, obtenemos la nueva regla de correspondencia dada en la tabla (b) Esta última corresponden correspondencia, cia, que es también función, se -1 denota f   y se lee inversa de f.  Ahora considere otra función, función, dada en la tabla (c), si invertimos los papeles papeles de x y y en esta tabla, obtenemos la correspondenc correspondencia ia de la tabla (d). Pero observemos que esta última no corresponde a una función -1

f X

f 

Y

x

Y

1

4

4

1

2

6

6

2

3

3

(c)

(d)

Por lo tanto no todas las funciones tienen asociada una función inversa. ¿Qué propiedad deben cumplir una función para poseer una función inversa?

L a funci ón deb debe e sser er uno a uno Definición Se dice que una función f es una función uno a uno, si y solo si cada elemento del ámbito esta asociado con exactamente un elemento de su (C oncept oncepto o de biyec biyectividad tividad)) dominio

 

36 En el caso anterior 6 estaba asociado con dos elementos del dominio, por lo tanto no cumplía con el requisito.

Prueba de la línea horizontal Puesto que a cada valor de “y” le corresponde a lo más un valor de “x” , cualquier recta horizontal interseca la gráfica de la función f a lo sumo en un punto.

Posee inversa

No posee inversa

Método para encontrar la ecuación de una función inversa para una función y = f(x) 1. Interc Intercambie ambie las v variabl ariables es x y y e en n la ec ecuació uación n 2. des despej peje e la ecu ecuaci ación ón res resulta ultante nte pa para ra y, esta última corresponde a la función inversa. Ejemplo Sea f(x) = 3x – 3x – 7  7 determine la ecuación de su inversa Solución Como f(x) es una recta, es una función uno a uno, por lo tanto posee inversa Como y = 3x – 3x – 7  7 intercambiando x por y  y  y y por x se x se obtiene x = 3y – 3y – 7  7

  x  7  3 y 

 x  7 3

  y

    x7    f  1 ( x)  3

-1

Gráfica de f  Las gráficas de funciones inversas poseen una simetría axial, donde el eje de simetría es la recta identidad y = x

 

37 Suponga que f es una función uno a uno y que (a,b) es un punto contenido en la gráfica de f, de tal forma que f(a) = b entonces f -1(b) = a

En otras palabras si

entonces

Esto significa que el punto (b,a) esta contenido en la gráfica de f -1  Como losapuntos y (b,a) son simétricos con respecto la recta(a,b) y = x, se concluye que la gráfica f -1 es una reflexión de la gráfica de f en la recta y = x (Observe figura)

y=x

(a,b)

(b,a)

Características importantes respecto a la función inversa Puesto que la función inversa es una reflexión se cumple que 1. Si (a,b) e esta sta co contenid ntenido o en la grá gráfica fica de f, e enton ntonces ces (b, (b,a) a) esta -1 contenido en la gráfica de f    2. Sea f(x f(x)) uno a uno tal que ent entonc onces es 3. Si f(x) e es s uno a un uno o enton entonces ces s sii f(x) es es estricta trictamente mente c crecie reciente nte -1 entonces f  (x) también es estrictamente creciente. 4. f(f-1  (x)) = f -1(f(x)) = x o sea la función evaluada en su inversa equivale a la función identidad.

Nota Existen funciones que al no ser uno a uno no poseen inversa, pero si el dominio es limitado, se pueden convertir en una función uno a uno de tal forma que para la sección escogida posean inversa Ejemplo Las funciones cuadráticas no son uno a uno, pero al cortar su dominio se puede obtener una función uno a uno 1   4  ,00   Sea f(x) = 3x2  – 2x – 2x –  –  1 donde   f   :  ,00  

3



 3



 

38 La gráfica correspondiente es 300

La cual es uno a uno, por lo tanto si posee inversa

250

200

150

100

50

0 -3

2

7

12

-50

-100

-150

y = 3x2  – 2x – 2x –  – 1  1 Intercambiando x por y  y  y y por x x = 3y2  – 2y – 2y –  – 1  1 3 y  2  2 y   1  x  0  de donde es una ecuación cuadrática que se resuelve para y Por la fórmula general a = 3 b = -2 c =  – 1  – 1 –  – x  x  2     2  4(3)(1   x)

   4  12(1   x)

 

   4  12  12 x    16  12 x De donde 2   4(4  3 x) 2  2 (4  3 x) 1  (4  3 x) 2  16  12 x 2  16  12 x    y1      23 6 6 6 3 y 2   4(4  3 x) 2  2 (4  3 x) 1  (4  3 x) 2  1 16  12 x 2  16  12 x  y2      23 6 6 6 3   1  4 Como la inversa debe cumplir que   f  1 :  ,00   ,00  entonces el   3  3  1   (4  3x)   criterio de la inversa es   f  1  x   3

 

39 Ejercicios 1) De acuerdo a los datos de la gráfica, la ecua ecuación ción para la recta l es a )  y  2 x 

 b)  y

 2 x

2 3 4

4 3

3 2

c )  y  2 x 

 

2 3

3 4

d )  y  2 x 

3

3 2) La ecuación de una recta paralela a la recta dada por  y    x  2  es 2

a ) 2 x  3 y  1 b) 3 x  2 y  1

 

c) 3 y  2 x  1 d ) 2 y  3 x  1

3) Dos rectas perpendiculares se intersecan en el punto (5,2). Si una de ellas interseca el eje “y” en (0,-3), (0,-3), entonces ¿cuál es la ecuación de la otra recta? a )  y   x  3 b)  y   x  7 c )  y   x  3

 

d )  y   x  7

4) Para la función lineal dad por   f  ( x)   de f corresponde a a )  f  1 ( x)  2 x  3 b)  f  1 ( x ) 

1 3

 2 x

c )  f  1 ( x )  2 x  d )  f  1 ( x )  2 x 

2  3 1 3

 x 2

1

 , el criterio de la función inversa 3

 

40 5) Si   f   : 0,00   7,00   con   f  ( x)   4  x2  7  es biyectiva, entonces el criterio de su función inversa es  x  7 a )  f  1 ( x )  4  x  7

b)  f  1 ( x ) 

2

 

 x 7 4

c)  f  1 ( x) 

 x  7

d )  f  1 ( x ) 

4 6) ¿Cuál es el ámbito de la función f dada por   f  ( x)   3  x2  7   a )  00,7 b) 0,00 c) 7,00

 

d )  00,0

7) Considere las siguientes proposiciones respecto de la función f dada por   f  ( x)   1   x 2   1  

I. La gráfica de f interseca el eje “y” en (0,2)  (0,2)   II. El eje de simetría de la gráfica de f es x = 1 De ellas, ¿cuáles son verdaderas? a )  Ambas b)  Ninguna c ) SoloI 

 

d ) SoloII 

8) Considere la siguiente gráfica 2

a

a

l 

De acuerdo con los datos de la gráfica, si la pendiente de l es una ecuación que define a l  es  es a ) 2 y  8 x  1 b) 2 y   x  2 c ) 2 y   x  8 d ) 2 y  2 x  1

 

1 2

, entonces

 

41 9) Si al pendiente de una recta es -4 y el punto (2,-1) pertenece a ella, entonces dicha recta interseca el eje “y” en  en  a ) 7,0 b) 0,7 

 7   c )  ,0     4     7  d )  0,    4  10) Para que la función f dada por f(x) = 3 – 3  – kx  kx sea estrictamente creciente, un valor de “k” es  es  a) 0 b) 1 c)  1   d )

1 3

11) Sea l  la  la recta definida por 3x -9y = 0. Una recta perpendicular a l  esta  esta definida por a )  y  3 x  2 1 b)  y   x  2 3   c )  y  3 x  2 d )  y 

1 3

 x  2

 

42 12) Considere la siguiente gráfica

 

2

 

1

 

 

-3

-2

 

 

-1

 

1

2

 

3

 

-1

 

-2

Sea l 1  una recta tal que l // l 1 . Si l 1   contiene el punto ( 2,0 ), entonces una ecuación que define a l 1  es  x a )  y  1  2  x b)  y  1  2   c )  y  2 x  4 d )  y  4  2 x   x 13) Sea [0,3[ el dominio de una función biyectiva f dada por   f  ( x)   1   . ¿Cuál 3 -1 es el dominio de f  ? a ) 0,1

b) 0,1 c )  6,3

 

d )  00,0

14) Si f es la función dada por   f  ( x)   a) b) c) d )

1 2 1 6 5 6

1 2

 

 1    x , entonces   f  1   es 3  2 

1

 

43   IR , con f(x) = – x 15) Sea   f   :  00     ,2   – x2. ¿Cuál es el ámbito de f? a ) 4,00 b)  00,4

 

c )  4,00 d )  00,4

16) Las siguientes proposiciones se refiere a la función dada por ( x    3)(2  x)  f ( x)    2 I. El eje de simetría de f es  x 

1 4

 

II. La gráfica de f interseca el eje “y” en (0,3) (0,3)   De ellas, ¿cuáles son verdaderas? a )  Ambas b)  Ninguna c ) SoloI 

 

d ) SoloII  17) La diferencia de dos números negativos es 8 y la suma de ellos multiplicada por el número mayor equivale a 280. ¿ Cuál es el menor de los números? a) 6 b)  6 c )  10

 

d )  18

 x  5 y  6    es 18) El valor de “y” en la solución de  x   y  3   4 a)  3 b)  9 c) d )

3   2 27 2

 

44 19) Considere el siguiente enunciado Dados dos números tales tales que el cuádruplo del menor excede a un tercio del mayor en 90 y el triple del mayor excede a dos quintos del menor en 258. ¿Cuál es el número menor? Si “x” representa el número menor y “y” el mayor, un sistema de ecuaciones que permite resolver el problema es

 4 x  1  y  90 3 a)  2 3 y   x  258 5  1   x  y 3 90    3 b)  2 4 y  258   x 5     y  90   4 x  3 c)  2 x  258 3 y  5   4 x  1  y  90 3 d )  2 3 y   x  258 5  3  2  x    y  2   es 20) El valor de “y” en e n la solución de  1  2 x   y  3  a) b)

2 5 7 5

 

c) 7 12 11 d ) 24 21) M compra 5 cuadernos y 3 lapiceros en 3400. N compra, a los mismos precios, 8 cuadernos y 9 lapiceros en 6700. ¿Cuál es el precio de un lapicero? a ) 300 b) 404 c ) 425 d ) 500

 

 

45  2 x  1   y   es 22) El valor valor de “y” en la solución de  3 y  2   x a) 1 b) 3 c) d )

1   5 3

5 23) Para las funciones f y g cuyo cuyo criterio es f(x) x + 1 y g(x) = 2x respectivamente, se cumple que a)   f  (1)   g (1) b)   f  (1)   g (1) c)   f  (1)   g (1)

 

d )   f  (1)   g (1)

¿Cuál es el criterio de una función estrictamente creciente en el conjunto de los números reales? a) h( x)  1  5 x 2 b)  j ( x)  3   x 5 3 c)  g ( x)   x 2  1 2

 

d )   f  ( x)  2 x  7 x 2  3

24) La ecuación de una recta perpendicular a la dada por – por  – 3x  3x =  –  – 6y  6y + 1  x a )  y   2 6   x b)  y  3 2   1 c )  y  4  2 x d )  y 

3 2

 2 x

25) Sea f una función biyectiva, con   f  ( x)   inversa de f es a )  f  1 ( x)  3 x  2 b)  f  1 ( x)  3 x  6 c )  f  1 ( x )  3 x  1

1

 

2 1

d )  f   ( x )  3 x  2

 x 3

 2  ,entonces el criterio de la

 

46 26) El eje de simetría de la gráfica de la función g con g(x) = 2 – 2  – 4x  4x2  es a )  x  0 b)  y  0 c )  x 

1   4 1

d )  y  4

27) El valor de x en la solución de a) b) c)

2 x  4   y  2   es   x 4 2  y 3    

1 3 5 3

1

 

3

5

d )

3

3 x  2 y   es 28) El valor de “y” en la solución de   2 x  4   y a)  8

b) 12 c) d )

12   7 1

8   29) Considere la función   f   :  IR  x 2  2  . Si f es     A   dada por   f  ( x)  sobreyectiva, ¿cuál es el conjunto A? a )  00,2 b)  2,00



c)  2 , 2

 



d )  IR

30) La ecuación de la recta a la que pertenece el punto (-1,2) y es paralela a la recta determinada por 2x – 2x – y  y + 2 = 0 es a )  y  2 x b)  y 

5   x 2

c)  y  2 x  4 d )  y  2 x  5

 

 

47 31) El criterio de la función lineal a cuyo gráfico pertenecen los puntos ( – (  – 4  4 , 2 ) y ( 1 , 1 ) corresponde a a)   f  ( x)  6  5 x b)   f  ( x)  6 x  5 c)   f  ( x) 

  x 5



6

 

5

1 18 d )   f  ( x)    x  5 5

32) El criterio de la inversa de la función dada por   f  ( x)  

  x 2

 3   corresponde a

a)   f  1 ( x)  2 x  6 1

b)   f   ( x)  2 x  6 1

c)   f   ( x)  2 x  6

 

d )   f  1 ( x)  2 x  6

33) El vértice de la parábola dada por

 f ( x)   3   5 x  2x2   es

   5  1    a )   4 , 8      5  1  , b)     6 12    1 5          c)  ,    6 12    5 1     d )  ,  4 8    34) Un punto donde la gráfica de la función dada por interseca el eje x es a )  2,0

 f ( x)   5 x 2   3x  2  

b) 0,2 c) 1,0  

 2   d )  ,0   5  

  x  f  (  x )    1   , entonces   f  1 (3)   es 35) Si es una función biyectiva, con 2 a) b)

4 3 5 6

c)  4 d )

1 2

 

 

48  

2

36) Si f es la función cuadrática dada por  f ( x)  ax  1 ; con a > 0 entonces uno de los puntos en los que la gráfica de f interseca el eje x es a )  1,0 b)  a,0

  1        ,0    a       1   ,0  d )    a  

c) 

3 37) Una ecuación de una recta perpendicular a la recta dada por  y    x  1   es 2 a ) 2 x  3 y  0

b) 3 x  2 y  0 c ) 3 y  2 x  0

 

d ) 2 y  3 x  0

38) Un intervalo en el que la función dada por creciente es a )  00,9 b) 9,00 c )  00,1

 f ( x)  8    2 x  x 2   es

 

d )  1,00

39) La ecuación de una recta perpendicular a la recta dad por 4x 4x –  – 5y  5y –  – 6  6 = 0 es 4 x a )  y  2 5 5 x b)  y  2 4

c )  y  d )  y 

 5 x 4  4 x 5

 

1 7

 

49 40) La ecuación de la recta de pendiente pendiente –  – 4  4 y a la cual pertenece el punto  1 3   ,    corresponde a  2 4  11 x a )  y  4 4 7 b)  y  4 x  2   11 c )  y  4 x  4 5 d )  y  4 x  4 41) De acuerdo a la gráfica, la ecuación de la recta es a )  y   x  2 3 b)  y   x  2 c)  y   x  2

 

2

d )  y   x  2

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1

-2

42) De acuerdo con lo los s datos de la gráfica, la recta punto 2 a )  31,0  b) 0,31

1

c )  29,0  

0

  31      ,0  d )    6  

-3

-2

-1

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

0

interseca el eje x en el

1

2

3

4

5

 

50

43) El ámbito de la función dad por

 f ( x)   5 x 2   30x  1  con dominio IR es

a ) 3,00 b)  00,3 c)  44,00

 

d )  00,44

44) Si los puntos ( – 4,2)  – 4,2) y (3 , – 5)  – 5) pertenecen a la gráfica de la función lineal f, entonces el criterio de la función inversa de f es a)   f  1 ( x)   x  2 b)   f  1 ( x)   x  6

 

1

c)   f   ( x)   x  2 d )   f  1 ( x)   x  2

   x  4  y 45) Si las gráficas de las funciones dadas por  f ( x)  intersecan el eje y en el mismo punto entonces el valor de b es a) 4

m( x)    x  b ,

b)  1 c)  4   d )

1 4

46) El eje de simetría de la función por a )  x  0 b)  x  2 c )  x  3

 f ( x  )   3x 2  corresponde a la recta r ecta dada

 

d )  x  6

47) Si f es una función biyectiva, dad por de la función inversa de f es a)   f  1 ( x)   x  1 b)   f  1 ( x)   x  1 1

c)   f   ( x)   x  1 d )   f  1 ( x)   x  1

 

 f ( x)     x  1 , entonces el criterio

 

51 48) Considere la siguiente gráfica 5

l 1  

4 3 2

1 0 -3

-2

-1

0

1

2

3

-1

l 2  

-2 -3 -4 -5

De acuerdo con los datos de la gráfica anterior, si la recta l 2   está dada por y = -x + 4 ¿cuál es el punto de intersección de las rectas l 1 y  l 2 ? a ) (4,1) b) (5,2)

 1 7  c)  ,     2 2   7 1  d )  ,   2 2    2 49) En toda función cuyo criterio es de la forma   f  ( x)  ax    bx  c   si a  0  y c < 0. Se cumple que la gráfica de f a) interseca el eje x en dos puntos diferentes b) interseca el eje x en un solo punto c) no interseca el eje y d) no interseca el eje x

50) De acuerdo a los datos de la gráfica de la función f, ¿cuál es el criterio de la 5 función inversa? 4 a )  f  1 ( x)  2 x  4 3

b)  f  1 ( x)  2 x  4 c )  f  1 ( x)  1

d )  f   ( x ) 

 x 2

2

  x 2

2

 

1 0 -3

2

-2

-1

0 -1 -2 -3 -4 -5

1

2

3

 

52 51) Si f es una función dada por f(x) = 3x – 3x  – x  x2 + 10, entonces para ttodo odo  x  IR   se cumple que a )  f  ( x)  5 b)  f  ( x)  10 3   2 49 d )  f  ( x)  2 52) Sea f una función dada por f(x) = 4- nx2, si f es cóncava hacia arriba se puede asegurar que un posible valor para n es a) 0 c)  f  ( x) 

b) 5

 

c) 4 d )  3

Para las gráficas determine la gráfica de la inversa correspondiente 5

  4  3  5

4 3 2

  1  2

1 0 -3

 

-3

 

-2

 

-1

  -2  -1

 

1

 

2

-2

-1

0

1

2

3

-1

 

3

-2 -3

  -4  -3

-4 -5

 

-5

-3

-2

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

0

0

-1

0

1

2

3

-3

-2

-1

0

-1

-1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

-5

-5

1

2

3

 

53

PRIMER EJERCICIO CULTIVO DE BACTERIAS: Se han preparado dos cultivos de bacterias del mismo mi smo tipo. El segundo cultivo empieza su evolución un día después de haber comenzado el primero, pero con las mismas condiciones: igual número inicial de bacterias, igual tipo de crecimiento, etc. La y 12siguiente de Junio.gráfica representa el número de bacterias del primer cultivo entre los días 1

a)  Describe detalladamente detalladamente lo que está ocurriendo en cada punto de la gráfica. 

REPRESENTACIÓN DE PUNTOS Realiza las siguientes actividades en los ejes de coordenadas: a)  Representa un punto del tercer cuadrante (punto A), indicando sus coordenadas. coordenadas.  b)  Representa un punto en la parte negativa del eje de ordenadas (punto B), indicando sus coordenadas coordenadas.. c)  Representa dos puntos que tengan la misma ordenada positiva (puntos C y D), indicando sus coordenadas coordenadas..

 

54

SEGUNDO EJERCICIO Observa las siguientes gráficas e indica cuáles de ellas representan funciones. De las que representen funciones estudia en cada caso: 1º.- El dominio. 2º.- El ámbito. 3º.- La continuidad. 4º.La monotonía o intervalos de 5º.- Los puntos de intersección convariación. los ejes

 

55

 

56 y

8

6

4

2

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

12

14

16

9

-2

-4

-6

-8

y 20 18 16 14 12 10 8

6 4 2

x -22

- 20

- 18

- 16

- 14

- 12

- 10

-8

-6

-4

-2

2

4

6

8

10

-2

-4 -6

-8 -10 -12 -14 -16 -18

y 20

18 16

14

12 y

10 8

8

6

6

4 4

2

x 2

-22 x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

- 20

- 18

- 16

- 14

- 12

- 10

-8

-6

-4

-2

2 -2

9

-4 -2

-6

-8 -4

-10 -6

-12

-14 -8

-16

-18

4

6

8

10

12

14

16

 

57 y 4

3

2

1

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

 

7

y

6

5

4

3

2

1

x -9

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2 -2

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

  7

y

y

6 4

5 3 4

3 2 2 1 1

x

x -9 -4

-3

-2

-1

1

2

3

-8

-7

-6 -6

-5

-4

-3

-2

-1

1

4 -1

-1 -2

-3 -2 -4 -3 -5

-6 -4 -7

 

2

3

4

5

6

7

8

9

 

58

Resuelva los ejercicios Determine lo que se le pide en cada caso 1)  Sea f(x) = 4x –  7 la  preimagen de 8 es ? 2)  Sea f(x) = -8 + 5x la imagen de 22 es ? 3)  Sea f(x) de = 8?- 3x  –   10 es imagen 4)  Sea f(x) = 8x - 3 5 es imagen de ? 5)  Sea f(x) =

3 x   6 5

   –   10 es

imagen de ? 6)  Sea f(x) =

3 x   6 5

7)  Sea f(x) =

3 x 5

 5   la imagen

de -5 es ? 2  

x

8)  Sea f(x) = 3   la  preimagen de 3 es ? 9)  Sea f(x) = 8x –  10 la  preimagen de -2 es ? 10) Sea f(x) =

5 x   1 4

  2 es

 preimagen de ?   7 es

 preimagen de ?

FUNCIONES POLINÓMICAS DE GRADO 1 a) 1.- Indica Indica todas las ccaracterísticas aracterísticas de la lass funciones funciones f(x) = 3x - 2 g(x) = - 2x 2.- Representa en los ejes de coordenada coordenadass las funciones h(x) = - x + 3 i(x) = 3x 3.- Halla la preimagen de -20 de la función j(x) = - 2x - 4 4.- Halla el punto de corte con el eje de abscisas de la función k(x) = 3x + 2 5.- Indique el valor de la pendiente de las rectas. 6.- Escribe la fórmula de una función paralela que pase por el punto (0,3). 7.- Escribe la fórmula de una función perpendicular que pase por el ori origen gen de coordenadas. 8.- Escribe la fórmula de una función cuya representación gráfica sea una recta horizontal.  b) Dadas las siguientes funciones: f(x) = 3x - 2 1)  2)  3)  4)  5) 

g(x) = - 2x + 1

h(x) = -x

i(x) = -2

Indica todas las características que conozcas de estas funciones. Represéntalas en los ejes de coordenadas. Halla la preimagen de -10 de f(x) y h(x). h(x) . Halla el punto de corte con el eje de abscisas de las funciones g(x) e i(x). ¿Calcule la ecuación de recta a cada una de ellas que sea paralela y contenga al  punto (2,-3) y la ecuación ecuación de la recta perpendic perpendicular ular que contenga contenga al punto (-2,1).

 

59 c) Dadas las siguientes funciones: f(x) = 3x - 5

g(x) = 1 - 2x

h(x) = - x

i(x) = - 2

1)  Indica la pendiente de cada una de estas funciones. 2)  Represéntalas en los ejes de coordenadas. 3.- Halla el punto de corte con el eje de abscisas de las funciones 4.- Escribe la fórmula general de una función que cumpla las siguientes características características.. a) Una función constante que pase por el punto ( 5 , 3 )  b) Una función que que contenga los puntos (-3,4) y (6,-2) c) Una función que contenga el punto (3,-6) y pendiente 4. d) 3. Halla la fórmula de una función con pendiente cero que pase por el punto (2,-3). 4. Halla la fórmula de una función lineal de la forma for ma g(x) = mx + b, donde b = 4 y contenga al punto (4,-2) 5. Halla la fórmula de una función que pase por los puntos (0,2) y (1,-3).

e) Calcule la ecuación de recta para las siguientes funciones

y 4

y 3 4

2

3

2

1

x

1

-4

x -4

-3

-2

-1

1

2

3

-3

-2

-1

1

4

-1 -1

-2

-2

-3

-3

-4

-4

 

  y 4

3

2

1

x -4

-3

-2

-1

1

-1

-2

-3

-4

2

3

4

2

3

4

 

60

EJERCICIOS FUNCIONES  E jercicio nº 1.Halla el dominio de definición de las funciones siguientes: 1 a)   y    x 2  1    x   1 b)   y  

 x 

c) f(x)   4x 2   3x  2   3x - 1   c) f(x)  4x  5 x  7 2 x  1 6 x  1   c) f(x)     x x 5 4   x x   c) f(x)  2x  5 x   c) f(x)  3  x  5 c) f(x)   3   5x  6  

 

61 E jercicio nº 2.Asocia a cada gráfica su ecuación: a)   y     3 x   5

b)    y      x   2

2

5 c)    y      x  3 2

d)    y     4 x  I)

II)

III)

IV)

E jercicio nº 3.Representa la gráfica de la siguiente función:

3  y     x   1 5

a)

f(x)   x 2   3x  4  b) f(x)  2 x  2   3x  20  

E jercicio nº 4.Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:

E jercicio nº 5.Representa la gráfica de la siguiente función:

 y      x 2  4

 

62

E jercicio nº 6.Con 200 metros de valla queremos acotar un recinto rectangular aprovechando una pared:

a) Llama  x   a uno de los lados de la valla. ¿Cuánto valen los otros dos lados? b) Construye la función que nos da el área del recinto.

E jercicio nº 7.Haz la gráfica de la función:

 y   0,5   x    3,5

E jercicio nº 8.Halla la ecuaciónde la recta que pasa por  1, 2  y cuya pendiente es  

1 . 3

E jercicio nº 9.Representa gráficamente la siguiente función:

 x   2 x   2  4 x 

E jercicio nº 10.Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que nos da el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.

E jercicio nº 11.Halla el dominio máximo de las siguientes funciones: a)  y  

1

 x   9 2

b) y      x   2

E jercicio nº 12.Obtén la gráfica de la función:

    

2

   7   6 

 

63

E jercicio nº 13El perímetro de un rectángulo es de 30 cm. Obtén la función que nos dé el área del rectángulo en función de la longitud de la base.

E jercicio nº 14.Halla el dominio máximo de las funciones:

  2   x   x  2

a)  y  

b) y       3 x   1

E jercicio nº 15.El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.

E jercicio nº 16Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones: a)   y   b) 

1 3 x    x 2

  -7x   1 

E jercicio nº 17.Asocia a cada una de estas gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:    3 x  2   3 x  a)    y   b)    y   c)    y   2   x 2  2 d)    y    2   x   2 4 4 I)

II)

III)

IV)

 

64

E jercicio nº 18.Representa gráficamente la función:

 y    x 2   4 x   1

E jercicio nº 19.En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los grados centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10 C 50 F y que 60 C 140 F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F.

DOMINIO MÁXIMO a)  Calcular el dominio de las funciones polinómicas: 1)  2)

 b)  Calcular el dominio de las funciones racionales: racionales: 1 4

2 5 3

 

65 c)  Calcular el dominio de las funciones radicales: 1 2 3 d)  Determine el dominio

INVERSAS Hallar las funciones inversas de: 1

2

3

4)   f     f    (  x)   x  5   2

5)   f     f    (  x)   x   3 x  5   2