Resumen de Factorizacion

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

RESUMEN UNIDAD I FUNCIÓN POTENCIA Y MODELOS CUADRÁTICOS A.RE.10.3.3

J. Pomales

/ noviembre 2008

Introducción • Durante las pasadas semanas hemos visto seis (6) modos diferentes de factorizar un polinomio. • En esta presentación pretendemos hacer un breve resumen de cada una de ellas y prepararte para el examen que deberás entregar el lunes 1ero de diciembre de 2008.

CONCEPTOS GENERALES

Detalles importantes • Los factores de un número son números que se multiplican. Nos limitaremos a factores que sean enteros. • Un número primo es un entero mayor que 1 cuyos únicos factores son el 1 y el mismo número.

Detalles importantes • Un número positivo mayor que 1 que no es primo se puede expresar como producto de dos números primos en una sola forma, excepto por el orden de los factores. • La factorización y la simplificación son procesos inversos.

Detalles importantes • El proceso discutido en clase llamado máximo común divisor  (MCD o con sus siglas en inglés GCF) nos ayuda a determinar el factor común mayor de varios números. • Recuerda: aunque discutamos varios ejemplos siempre podrían existir casos especiales para cada factorización.

FACTORIZACIÓN

MEDIANTE LA PROPIEDAD DISTRIBUTIVA (FACTOR (F ACTOR COMÚN) COMÚN)

FACTORIZACIÓN

FACTOR COMÚN • Si un monomio es factor de un polinomio, entonces el polinomio es divisible por el monomio. • El proceso de factorizar  usando la propiedad distributiva se conoce como factorizar usando factor común.

FACTORIZACIÓN

FACTOR COMÚN • Ejemplos: 3

1) 6 x  y 3

2

2

−

2

3 x  y

3 2

=

6 x  y ( + ) − 3 x  y

=

3 x  y ( 2 x + − y ) 2

3

2

2) 4 x( a − b ) + 5 y ( a − b ) =

( a − b ) ( 4 x + 5 y )

FACTORIZACIÓN

POR AGRUP AGRUPACI ACIÓN ÓN

FACTORIZACIÓN

POR AGRUPACIÓN • Consiste en usar la propiedades conmutativa y asociativa para relacionar  términos dentro de paréntesis y luego aplicar la factorización anterior (factor común) • Trata de agrupar tomando en consideración algún factor  común.

FACTORIZACIÓN

POR AGRUPACIÓN • Ejemplos:

1) cx + by + cy + bx =

(cx + cy ) + (by + bx)

=

c( x +  y ) + b( y +  x )

=

( y +  x )(c + b)

2)  xz +  x − 6 z − 6 =

 xz +  x(+ ) − 6 z (+ ) − 6

=

( xz +  x ) + (−6 z + −6)

=

 x ( z  + 1) + −6( z  + 1) (

+

1)( x + 6)

FACTORIZACIÓN

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS

FACTORIZACIÓN

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS • Para aplicar esta factorización se deben todas estas condiciones:  – Tener dos términos  – Una resta o un término negativo  – Cada término debe ser cuadrado perfecto

• La diferencia de dos cuadrados se factoriza como el producto de la suma y la diferencia de dos números.

FACTORIZACIÓN

DIFERENCIA DE DOS CUADRADOS • Ejemplos:

1) =

 x

2

−

36

( x + 6)( x − 6)

2) 2a 3 − 32a =

2a (a 2 − 16)

=

2a (a + 4)(a − 4)

3) ( a + b) =

2

−

81a

2

[ ( a + b) + 9 a ] [ ( a + b ) − 9 a ] (10a + b)( 8a + b)

FACTORIZACIÓN

CUADRADOS PERFECTOS

FACTORIZACIÓN

CUADRADOS PERFECTOS • Esta factorización aplica si tienes todas estas condiciones:  – Tres términos ordenados en forma decreciente  – Los términos de los extremos tienen que ser cuadrados perfectos  – El término central sirve para confirmar  si has factorizado bien.

• Un trinomio cuadrado perfecto se factoriza como el cuadrado de un binomio.

FACTORIZACIÓN

CUADRADOS PERFECTOS • Ejemplos:

1)  x 2 + 2 x + 1 =

2)  x

3) 2a

2

2

( x + 1) −

2

14 x + 49

=

( x − 7) 2

−

20a + 50

=

2(a 2 − 10a + 25)

=

2(a − 5) 2

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA FORMA  x

2

+ bx +

c

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA 2 FORMA  x + bx + c • Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma (x + m) (x + n) donde b  = m + n y c  = m·n

En otras palabras: Los factores del último término cuando se sumen deben dar el coeficiente del término central pero al multiplicarse entre sí, debe dar el último término.

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA 2 FORMA  x + bx + c • Ejemplos: Los factores de 10 son: 10 · 1 = 10 5 · 2 = 10 (esto es c) Pero al sumarlos: 10 + 1 = 11 5 + 2 = 7 (esto es b) Observa que necesitamos dos números cuyo producto sea -12 y la suma sea -1. Por lo tanto, uno debe ser  positivo y el otro negativo.

1) =

 x

2

+

7 x + 10

( x + 5)( x + 2)

Como al multiplicar y sumar  conseguimos c y b, por eso seleccionamos los factores 5 y 2, en lugar  de 10 y 1.

2)  x 2 −  x − 12 =

( x − 4)( x + 3)

Ensayando con todos los factores de 12, encontramos que solamente solamente -4 y 3, 3, cuando los los multiplicamos = -12 y

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA FORMA ax

2

+ bx +

c

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA 2 FORMA ax + bx + c • Se factoriza como el producto de dos binomios de la forma (dx + e) (fx + g) donde a  = d·f , b  = e·f + d·g y c  = e·g

• En muchas ocasiones debemos recurrir al método de tanteo y error para encontrar  los factores correctos.

FACTORIZACIÓN

TRINOMIO DE LA 2 FORMA ax + bx + c • Ejemplo:

6 x 2 + 23 x + 20

1. Buscam Buscamos os si exis existe te un un facto factorr común común.. En este caso no lo hay. 2. Bu Busca scamo mos s fa facto ctore res s de 6: 1 · 6 , 2 · 3 3. Bus Buscam camos os fact factore ores s de 20: 1 · 20 , 2 · 10, 5 · 4 4. Tan Tantea teamos mos (multi (multipli plican cando do forma forma cruzad cruzada) a) varias varias combinaciones hasta conseguir el término central

6 x 2 + 23 x + 20 1 6

1=6 20 = 20 6 + 20 = 26

6 x 2 + 23 x + 20 1 6

Finalmente, al encontrar la combinación perfecta escribimos la solución

2 = 12 10 = 10 12 + 10 = 22

6 x 2 + 23 x + 20 2 3

5 = 15 4=8 15 + 8 = 23

6 x 2 + 23 x + 20 = ( 2 x + 5)(3 x + 4)

EN RESUMEN...

PARA FACTORIZAR UN POLINOMIO • El proceso debe iniciar buscando si hay factor común. • Determinando el número de términos del polinomio original facilita la factorización:  – Con dos términos puede ser diferencia de dos cuadrados  – Con tres términos puede ser: • Cuadrados perfectos • Trinomios de la forma x2 + bx + c ax2 + bx + c

 – Con cuatro términos o más podemos agrupar y luego factorizar.

• Cotejar siempre cada factor de tal modo m odo que esté factorizado completamente. • Verificar multiplicando los factores entre sí.

EJERCICIOS DE PRÁCTICA

Factoriza, si es posible 1)  x 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13)

2

36 4 x 2 + 64 2 3 3 2 − a  x − a  x 2 x 3 + 16 x  x 2 −  x − 30 6 + r 2 − 5r  5ab 2 − cy 2 + cb 2 − 5ay 2

14)

 x 2 + 5 x + 7 2 x + 1

21)

a3 −1 + a2 − a 6b 2 − 16 − 20b 2a 3 − 8a − 12b + 3a 2b 49b 2 + 9 42b

23)

−

15) 16) 17) 18) 19) 20)

22)

24) 25) 26)

3 + 12 x + 12 x 2 4 x 3 − 24 x 8a 2 − 6a − 9 a 2 b 2 − 4 a 2 + c 2 b 2 − 4c 2 1 2 a + 2a + 3 3 7 x + 5 y − 6a  x 2 − 10 4 a + 16 9 x 3 + 66 x 2 − 48 x a 4 − 7a 2 − 18 ( x + 3) 2 − x 2 ( x + 5) 2 − 9 ( a + b ) 2 ( a b) 2

Solución 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7)

( x + 6)( x − 6) 4( x 2 + 16) 2 2 − a  x ( x + a ) 2 x( x 2 + 8) ( x + 5)( x − 6) (r  − 3)(r  − 2) (b +  y )(b −  y )(5a + c)

14) 15) 16) 17) 18)

3(1 + 2 x) 2 4 x( x 2 − 6) ( 2a − 3)(4a + 3)

(a 2 + c 2 )(b + 2)(b − 2) 2 1 ( a + 3) 3

19) No se factoriza en los enteros 20) No se factoriza en los enteros

8) No se factoriza en los enteros

21) No se factoriza en los enteros

9) No se factoriza en los enteros

22)

10) 11) 12) 13)

(a + 1) 2 (a − 1) 2(3b + 2)(b − 4) (2a + 3)(a − 2)(a + 2) (7b 3) 2

23) 24) 25) 26)

3 x (3 x − 2)( x + 8) (a + 3)(a − 3)(a 2 + 2) 3(2 x + 3) ( x + 2)( x + 8) 4ab

RECUERDA QUE DEBES ENTREGAR EL EXAMEN

1 de diciembre de 2008 ero