Resumen de ecuaciones de Maxwell

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ECUACIONES DE MAXWELL

Las ecuaciones de Maxwell son un conjuntos de ecuaciones que junto con la fuerza de Lorentz (~F = q~E + q~v × ~B) describen por completo los fenomenos electromagnéticos en la naturaleza (al menos desde un punto de vista macroscópico). Fueron planteadas por el físico británico James Clerk Maxwell en 1865. La gran contribución de Maxwell fue que logro reunir en su teoría electromagnética largos años de resultados experimentales y matemáticos debidos a Charles-Augustin de Coulomb, Carl Friedrich Gauss, André-Marie Ampère, Michael Faraday y muchos más; unifico los campos eléctricos y magnéticos en un solo concepto: el llamado campo electromagnético. Las ecuaciones de Maxwell son: Nombre Forma integral Forma diferencial H − − → → Q E · dA = εenc Ley de Gauss: campos ~E ∇ · ~E = ερ0 sup 0 H − → → − Ley de Gauss: campos ~B B · dA = 0 ∇ · ~B = 0 sup H − → → − Ley de Faraday ∇ × ~E = − ∂t∂ ~B E · dl = − dtd ΦB tray H − → − → → − Ley de Ampere-Maxwell B · dl = µ0 I + µ0 ε 0 dtd ΦE ∇ × E = µ0~J + µ0 ε 0 ∂t∂ ~E tray 1. Ley de Gauss para campos eléctricos. El flujo eléctrico neto en cualquier superficie cerrada es cero. Las lineas de campo elélctrico nacen en cargas positivas y finalizan en cargas negativas. 2. Ley de Gauss para campos magnéticos. El flujo magnético neto en cualquier superficie cerrada es cero. Las lineas de campo magnético son siempre cerradas. No existen los monopolas magnéticos. 3. Ley de Faraday. Un campo magnético variable en el tiempo produce un campo eléctrico. La circulacion de un campo eléctrico a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es − dtd ΦB a través de la superficie que forma la trayectoria. 4. Ley de Ampere-Maxwell. Los campos magnéticos son producidos por corrientes de conduccion y por campos eléctricos variables. Nota: Pasar las ecuaciones de la forma integral a la forma diferencial (o viceversa) se utiliza le teorema de la divergencia y el teorema de Stokes. Las principales contribuciones a la física por parte de Maxwell fueron las siguientes: H − → → − Se dio cuenta de que la ley de Ampere ( tray B · dl = µ0 I) violaba bajo ciertas condiciones el principio de la conservacion de la carga (un principio fundamental en la naturaleza), entonces, para evitar dicho problema noto que era necesario agregar un témino adicional llamado corriente de desplazamiento (ID = µ0 ε 0 dtd ΦE ) a la ley de Ampere, obteniendo entonces lo que hoy conocemos como la ley de Ampere-Maxwell o ley de Ampere generalizada. Esta ley fue comprobada experimentalmente posteriormente por Heinrich Rudolf Hertz.

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Figura 1: Espectro electromagnético y ondas electromagnéticas

La ley de Ampere-Maxwell (junto con las otras 3 ecuaciones de Maxwell) son satisfechas, por supuesto, por campos eléctricos y/o magnéticos, y son a su vez compa2 2 tibles con la ecuación de onda (∇2 ~E − c12 ∂∂2 t ~E = 0 y/o ∇2~B − c12 ∂∂2 t ~B = 0), o dicho en términos físicos quiere decir que existen “objetos” llamados ondas electromagnéticas que pueden propagarce !en el vacío¡ (sin ningun medio) con velocidad c. Maxwell descubrió que la velocidad de la luz es c =

√1 µ0 ε 0

en el vacío y además que en una onda electromagnética se cumple que c = EB , donde los campos ~E y ~B son campos que estan “ligados”, son ortogonales y oscilantes entre si. Adicional a lo anterior es importante comentar que: Las ecuaciones de Maxwell son de gran relevancia para la física fundamental porque explican una de las 4 (bueno 3) interacciones fundamentales en la naturaleza: interacción gravitacional, electromagnética, nuclear fuerte y nuclear debil, y además son son compatibles con la relatividad especial y general de Albert Einstein y con mecánica cuántica (mediante la extensión a la llamada electrodinámica cuántica). Las ondas electromágneticas tienen la propiedad de que pueden transportar energía, esto se representa mediante el vector de Poynting ~S el cual representa el cómo una onda electromagnética transporta energía por unidad de tiempo y por unidad de área: ~S = µ10 ~E × ~B. Dichas ondas tambien transportan momento y por lo tanto pueden ejercer presion en una superficie como: P = Sc . A las ondas electromagnéticas también se les llama radiación electromagnética que tipicamente se visualiza mediante el llamado espectro electromagnético. Las ondas electromágneticas cumplen el principio de dualidad-particula, es decir h que son tanto ondas como partículas (λ = mv , con h = 6.626 × 10−24 J · s), donde su energía es E = hν. Las ecuaciones de Maxwell pueden resumirse como un tensor: F µν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ La teoría electromagnética en el campo de la tecnología tiene una gran relevancia, con enormes aplicaciones y repercuciones en nuestras vidas. Permiten entender fenómenos como la transmisión de información mediante ondas electromagnéticas, radiación de energía de un cuerpo caliente, fenómenos ópticos como disperción o refracción, radiacion de partículas aceleradas, etc. Elaboró: A.R.R.

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