Résumé Mini Projet Les Filtres

 

: Définition générale d’un filtre .1 signal. Un filtre est un circuit électronique  électronique qui réalise une opération de traitement du signal. Autrement dit, il atténue certaines composantes d'un  d'un  signal et en laisse passer d'autres. Un .exemple connu du grand public est l'égaliseur audio

: Classification .2 :a)Classification par type On peut classer les filtres à partir de la forme de leur  fonction de transfert ou par le comportement des éléments passifs qui composent le filtre. Les filtres les plus courants sont .de l'un des quatre types suivants : passe-bas, passe-haut, passe-bande ou éjecteur de bande

Les filtres essentiels sont principalement de quatre types

a.1) Filtre passe-haut est un filtre qui laisse passer les hautes fréquences et qui atténue les les basses  basses fréquences, fréquences, c'està-dire les fréquences inférieures inférieures à la fréquence de coupure. coupure. Il pourrait pourrait également être appelé filtre filt re coupecoupe-bas bas.. Le filtre filtre passe-h passe-haut aut est l'i l'inve nverse rse du filtre passe-bas passe-bas et ces deux filtres .combinés forment un filtre passe-bande

Le filtre idéal est le filtre théorique capable de modifier de façon immédiate son gain (de 1 à 0 ou de 0 à 1, en échelle linéaire) à sa fréquence dite de coupure. Dans la réalité, un filtre  possède sa fréquence de coupure au gain Gmax -3 dB et ensuite ce gain décroît de .(

par décade (filtre d'ordre n

a.1.1) Filtre passe-haut du premier ordre  

 

Un filtre passe-haut du premier ordre est caractérisé par sa fréquence de coupure  f c et par son gain gai n dans dans la bandebande-pas passan sante te  K . La fonc foncti tion on De tran transf sfer ertt du filt filtre re es estt ob obte tenu nuee en dé normalisant le filtre passe-haut normalisé en substituant ωn par  ωc / ω ce qui donne la : fonction de transfert suivante

: Le module et la phase de la fonction de transfert égalent à

Il y a plusieurs méthodes pour implémenter ce filtre. Une réalisation active et réalisation  passive . sont ici présentées.  K est le gain du filtre

Schéma d’un filtre passe-haut

: le circuit devient un simple diviseur de tension et on obtient 

Dans cette équation, j est un nombre complexe, complexe, tel que j² = -1, et ω est la pulsation du circuit : ou fréquence radiale, exprimée en rad/s. Comme la fréquence de coupure d'un circuit RC est

ou

(On

retrouve avec les diagrammes de Bode : (système du 1er ordre

 

: Le gain en decibels

•

: La phase en radians

•

: On distingue alors deux situations idéales

(et

:

Lorsque

:

Lorsque

•

(Le signal est filtré

(et

•

(Le filtre est passant

a.1.2) Filtres passe-haut du deuxième ordre Schémas

 

Fréquence de résonance   On appelle fréquence de résonance (fo) , la fréquence pour laquelle XC = XL

Bode d'amplitude

Bode de phase  

 

a.2).Filtre passe-bas est un filtre qui laisse passer les basses les  basses fréquences et qui atténue les hautes fréquences, fréquences, c'està-dire les fréquences supérieures à la fréquence de coupure coupure.. Il pourrait également être appelé filtre coupe-haut. Le filtre passe-bas est l'inverse du filtre passe-haut et ces deux filtres .combinés forment un filtre passe-bande

Un filtre passe-bas idéal a un gain constant dans sa bande passante et un gain nul dans la  bande coupée. La transition entre les deux états est instantanée. Mathématiquement, il peut être réalisé en multipliant le signal par une fenêtre rectangulaire dans le domaine fréquentiel ou par une convolution avec un sinus cardinal (sinc) dans le domaine temporel. Ce type de .filtre est appelé « mur de brique » dans le jargon des ingénieurs

a.2.1) Filtre passe-bas du premier ordre Un filtre filtre passepasse-bas bas du premie premierr ordre ordre est caractéris caractériséé par sa fréquen fréquence ce de coupur coupuree  f c. La fonction de transfert du filtre est obtenue en dé normalisant le filtre passe-bas normalisé en : substituant ωn par ω / ωc, ce qui donne la fonction de transfert suivante

Où

: Le module et la phase de la fonction de transfert égalent à

 

Circuit passif  La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d'utiliser un circuit RC. Comme son nom l'indique, ce circuit est constitué d'une résistance  résistance  R condensateur de R et d'un condensateur de capacité C . Ces deux éléments éléments sont placés en série avec la source vi du signal. Le signal de sortie vo est récupéré aux bornes du condensateur. Alors que la résistance est constante quelle que soit la fréquence, il n'en est pas de même pour le condensateur plus la fréquence est élevée moins le condensateu condensateurr a le temps de se charger/déch charger/décharger. arger. Lorsque Lorsque la fréquence fréquence tend verss l'i ver l'infi nfini, ni, le conden condensat sateur eur se compor comporte te comme comme un court-c court-circu ircuit it (shunt (shunt). ). Lorsqu Lorsquee la fréquence tend vers 0, il se comporte comme un circuit ouvert. Il s'agit en quelque sorte d'une résistance variable en fonction de la fréquence. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler travailler dans le domaine domaine de Laplace Laplace en utilisant utilisant les impédances des éléments. : Avec cette technique, le circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient

Dans cette équation, j est un nombre complexe (j tel que j²=-1) et ω est la pulsation du circuit : ou fréquence radiale, exprimée en rad/s. Comme la fréquence de coupure d'un circuit RC est

Un filtre passe-bas analogique d'ordre 1 réalisé avec un circuit RC

ou : Avec cette fonction de transfert, on peut obtenir les diagrammes de Bode

: Le gain en décibels

•

: La phase en radians

•

: On distingue alors deux situations idéales

 

Lieux de Bode du filtre passe-bas passif d'ordre 1 : Lorsque

, on a

•

, on a

•

et (le filtre est passant) : Lorsque

et (le signal est alors filtré ) .On remarque que pour ω

= ωc, on a GdB = -3 dB Circuit actif 

Il est également possible de réaliser un filtre passe-bas avec un circuit actif. Cette option  permet d'ajouter du gain au signal de sortie, c'est-à-dire d'obtenir une amplitude supérieure à 0 dB dans la bande passante. Plusieurs configurations permettent d'implémenter ce genre de .filtre

: Dans la configuration présentée ici, la fréquence de coupure se définit comme suit

 

ou En utilisant les propriétés des amplificateurs opérationnels, et les impédances des éléments, : on obtient la fonction de transfert suivante

En basse fréquence, le condensateur agit comme un circuit ouvert, ce qui est confirmé par le fait que le terme de droite de l'équation précédente tend vers 1. La formule simplifiée ainsi : obtenue nous donne le gain dans la bande passante

En haute fréquence, le condensateur agit condensateur  agit comme un circuit fermé et le terme de droite tend .vers 0, ce qui fait tendre la formule vers zéro

Circuit actif  Il est également possible de réaliser un filtre passe-bas avec un circuit actif. Cette option  permet d'ajouter du gain au signal de sortie, c'est-à-dire d'obtenir une amplitude supérieure à 0 dB dans la bande passante. Plusieurs configurations permettent d'implémenter ce genre de .filtre

: Dans la configuration présentée ici, la fréquence de coupure se définit comme suit

ou En utilisant les propriétés des amplificateurs opérationnels, et les impédances des éléments, : on obtient la fonction de transfert suivante

 

En basse fréquence, le condensateur agit comme un circuit ouvert, ce qui est confirmé par le fait que le terme de droite de l'équation précédente tend vers 1. La formule simplifiée ainsi : obtenue nous donne le gain dans la bande passante

En haute fréquence, le condensateur agit condensateur  agit comme un circuit fermé et le terme de droite tend .vers 0, ce qui fait tendre la formule vers zéro

a.2.2) Filtre passe-bas du second ordre Un filtre passe-bas du second ordre est caractérisé par sa fréquence de coupure  f o et par le : facteur de qualité Q. Il est représenté par la fonction de transfert suivante

où

: Le module et la phase de la fonction de transfert sont donc égaux à

Circuit passif  La manière la plus simple de réaliser physiquement ce filtre est d'utiliser un circuit RLC. Comme son nom l'indique, ce circuit est constitué d'une résistance , d'un condensateur de condensateur  de  Rplacés en série avec la capacité C  et d'une  bobine d'inductance  L. Ces trois éléments sont

 

source vi du signal. Le signal de sortie vo est récupéré aux bornes du troisième et dernier  élément, le condensateur. Pour retrouver la fonction de transfert de ce filtre, il faut travailler  dans le domaine de Laplace en utilisant les impédances des éléments. Avec cette technique, le : circuit devient un simple diviseur de tension, et on obtient

: Avec

: Le module et la phase de ce circuit sont

a.3) Filtre passe-bande Est un filtre ne laissant passer qu’une bande ou intervalle de fréquences compris entre une .fréquence de coupure basse et une fréquence de coupure haute du filtre

Un filtre passe-bande idéal a un gain constant dans sa bande passante et un gain nul dans la  bande coupée. La transition entre les deux états est instantanée. Dans la réalité, un filtre  possède à sa fréquence de coupure un gain Gmax −3 dB et ensuite ce gain décroît de −20 dB .( par décade (soit −6 dB par octave) (filtre de 1 er  ordre

a.3.1) Filtre passe-bande du second ordre

 

: La fonction de transfert d’un filtre passe-bande du second ordre s’écrit sous la forme

avec H0 le coefficient de gain et , .(Variable réduite )

Bande passante La   bande passante  passante  BP  d’un filtre passe-bande est l’intervalle de  pulsations [ωc1, ωc2] qui correspond aux pulsations telles que le gain soit au plus à 3 décibels en dessous du gain .(maximum (ici 0 dB

,G(ωci) = G(ω0)-3 [Et

BP = [ωc1, ωc2

Ces pulsations de coupure sont telles que

cette classification en b) Classification Classificati on par3 grande technologie technol ogiefiltre : dans : retrouve partie actif, passif et numérique

: b.1) Filtre Fi ltre pas passif  sif  En général assez simples, ils sont constitués d'éléments passifs (R, L, .C). La fonction de transfert est fonction de la charge RL, LC Les réalisations les plus simples sont basées sur des circuits RC, RC, RL, ou Circuit RLC. RLC. Mais il est bien sûr permis d'augmenter la complexité du filtre (et le nombre de composants). Moins il y aura de composants, plus serade délicat d'être sélectif : l'atténuation se fera Avecilplus composants, on peut espérer couper plusprogressivement. brutalement une

 

fréquence en touchant moins les voisines (amélioration du "facteur de forme"). Aujourd'hui, il est possible de synthétiser les filtres ayant une bande passante de forme donnée, à l'aide de logiciels adéquats. On les .modélise sous forme d'un réseau LC constituant un quadripôle

Une bobine est constituée d'un fil et représente une impédance faible en basse fréquence, Par contre elle s'oppose au passage des h hautes autes .fréquences Les condensateurs condensateurs font l'inverse isolant en basse fréquence .conducteur en haute fréquence Les résistances ne sélectionnent pas les fréquences à elles seules, mais permettent de définir les constantes de temps d'un circuit en limitant plus ou moins les courants. Donc les résistances déterminent la .fréquence à laquelle le filtre agira et son atténuation Les filtres du second ordre, c'est-à dire pouvant être décrits par une équation différentielle du second ordre, sont généralement constitués de condensateurs et d'inductances. Pour un circuit LC passe bande, il qualité,, c’est-à-dire le rapport entre est possible de définir un facteur de qualité leur fréquence centrale et leur bande passante passante.. Un filtre ayant une bande très étroite par rappo rapport rt à sa fréquence centrale sera co considéré nsidéré .de grande qualité

: b.2 ) Filtre Fi ltre acti actif  f  Un filtre actif est un circuit construit autour d'un amplificateur  opérationnel,, lui-même généralement constitué de plusieurs transistors de opérationnel type bipolaire ou à effet de champ champ.. Il réalise le filtrage et l'amplification l'amplification du .signal qui le traverse On reconnaît néanmoins au filtre actif plusieurs inconvénients comme un mauvais comportement en hautes fréquences (réduction de la bande passante passante,, ce qui tend à limiter son usage aux applications audio), audio), une grande sensibilité à la précision sur la valeur des

 

composants (qui s'écarte généralement de la valeur nominale d'au moins 10 %), le besoin d'une source d'énergie supplémentaire et la limitation de l'amplitude des signaux à l'ordre du volt. En plus les amplificateurs opérationnels génèrent du bruit Historiquement, les premiers filtres discrets RCAO (circuit (circuit RC + amplificateur opérationnel) font leur apparition au milieu des années soixante Il faut néanmoins attendre les années soixante-dix avec les premiers circuits intégrés commerciaux (HIC, puis DIP) DIP) pour que soit révélé l'intérêt économique .de ce type de filtre

: b.3) Filtre Fi ltre numé numériq rique ue un filtre numérique est un élément qui effectue un filtrage à l'aide d'une succession d'opérations mathématiques sur un signal discret. C'est-àdire qu'il modifie le contenu spectral du signal d'entrée en atténuant ou éliminant certaines composantes spectrales indésirées. Contrairement aux filtres analogiques, qui sont réalisés à l'aide d'un agencement de condensateur, inductance, inductance, composantes physiques (résistance (résistance,, condensateur, transistor, etc.) les filtres numériques sont réalisés soit par des circuits transistor, intégrés dédiés des processeurs programmables (FPGA (FPGA,, microprocesseur, DSP, microprocesseur, DSP, microcontrôleur microcontrôleur,, etc.), soit par logiciel dans un .ordinateur Les filtres numériques étant généralement réalisés par des processeurs, .ils sont définis à l'aide de langages de programmation Les éléments physiques (résistance, capacité, inductance, amplificateurs opérationnels) sont en quelque sorte transposés en .éléments logiques L'avantage majeur des processeurs de traitement du signal réside dans la rapidité des traitements (multiplication hard) ce qui permet de les .utiliser pour des applications industrielles temps réel

 

La courbe ci-dessus donne les performances comparées de filtres numériques conçus à partir de techniques différentes et du filtre .analogique

: b.3.1) Constit Constitution ution d des es filtr filtres es numér numériques iques : Un filtre numérique est généralement constitué des éléments suivants un ou plusieurs organes de retard (ce sont des registres à décalage  jouant le rôle de mémoires retardées) pilotés par une horloge de .période (des opérateurs arithmétiques (additionneurs et multiplieurs .des registres fournissant les coefficients de pondération du filtre -

: b.3. b.3.2 2) Champ d' d'app applic licatio ations ns Le champ d'applications du filtrage numérique est très vaste puisqu'il va des télécommunications au traitement de la parole, en passant par les systèmes d'asservissement, les radars et sonars, la prospection sismique, la "HiFi", etc... C'est surtout à l'origine dans les télécommunications que leur usage s'est très vite répandu car à la fois leur capacité de mémoire et la vitesse de traitement se trouvaient adaptées à la plupart des fonctions : remplies sous forme numérique codage-décodage (MPEG, JPEG) compression d'images et du son ((informatique, télévision numérique ,("Modulation FSK ("Phase Shift Keying ,corrections normalisées ,séparateurs de canaux accélérateurs graphiques 3D, animation en réalité virtuelle -

 

: b.3.3) Classi Classification fication des fil filtres tres numé numériques riques : b.3.3.1) fil filtres tres non récursi récursifs fs ou RIF : b.3.3.1.a ) L'éq L'équation uation de rrécurrenc écurrence e Un filtre à Réponse Impulsionnelle Finie ou filtre RIF possède une .fonction de transfert polynomiale Il ne peut pas être obtenu par transposition d'un filtre continu. Par rapport aux filtres à réponse impulsionnelle infinie (RII) ils présentent l'inconvénient de nécessiter un grand nombre de coefficients pour obtenir les mêmes caractéristiques fréquentielles. Ceci est dû au fait que leur fonction de transfert ne possède pas de pôle. Cette absence de pôles permet cependant d'obtenir des filtres inconditionnellement stables. Les filtres non récursifs ou RIF sont des systèmes Pour lesquels une valeur sk de sortie est obtenue par une somme pondérée d'un ensemble fini de valeurs d'entrée représentant les : échantillons du signal à filtrer. L'équation de récurrence s'écrit donc

.M est l’ordre du filtre On peut remarquer qu’un filtre RIF d’ordre M possède N=M+1 .coefficient bi

b.3. 3.1.c b.3.3.1. c) La rép réponse onse im impuls pulsion ionnell nelle e : La réponse impulsionnelle : est la réponse à la séquence causale k = (1,0,0,...). On obtient 

(C’est-à-dire : hi = 0 si i < 0(causalité

 

Ainsi, les coefficients de pondération ne sont rien d'autre que les valeurs de la réponse impulsionnelle du filtre Puisque ces coefficients sont en nombre limité, la réponse impulsionnelle du filtre s'annule au bout de M+1 valeurs. On dit qu'elle est finie et le filtre est lui-même appelé filtre à réponse impulsionnelle finie ou filtre RIF (Finité Impulse Réponse : FIR pour les Anglo-saxons) L'équation de Récurrence de définition du filtre peut s'écrire en remplaçant les : coefficients bi par les valeurs hi de la réponse impulsionnelle

b.3. 3.1.d b.3.3.1. d) La répon réponse se ind indici icielle elle : C'est le signal {dk} réponse au signal causal k = (1,1,1,.....1). La séquence représentative de {dk} : vérifie 

(C’est-à-dire : di = 0 si i < 0(causalité

 

Ainsi la valeur finale de la réponse indicielle est égale à la somme des coefficients du filtre RIF Cette valeur est atteinte au bout de M+1 .sorties

: b.3.3.1.e ) La réponse fréquenti fréquentielle elle

: Fonct Fonction ion de transf transfert ert en z : La fonction de transfert en z s'écrit (*.

Elle ne présente pas de pôle mais seulement des zéros, le filtre RIF sera .par conséquent toujours stable

: Répo Réponse nse en fréq fréquenc uence e : Il suffit de remplacer z par

d'où (*

Cette réponse est bien sûr périodique de période fréquentielle

Les coefficients de pondération du filtre RIF constituent les  coefficients du développement en série de Fourier de la fonction de .(transfert H(jf 

: b.3.3.2) fil filtres tres récursi récursifs fs ou RII b.3.3.2.1 b.3. 3.2.1 ) L'équ L'équatio ation n de récurr récurrenc ence e : Les filtres récursifs sont : décrits par une équation de récurrence de la forme

 

: Si on applique la transformée en Z à Cette équation on obtient

L a fonction de transfert d'un filtre récursif a donc la forme générale : suivante Cette fonction de transfert possède q pôles car le degré du dénominateur est égal à q. On dit alors que le filtre est d'ordre q Si le numérateur ne contient que le terme b0 on dit que le filtre est .purement récursif  : Parmi les principaux mérites des filtres récursifs on peut citer la possibilité d'obtenir une bande de transition étroite pour un ordre raisonnable : la possibilité d'obtenir des déphaseurs purs Et parmi les défauts les risques d'instabilité dus à une grande sensibilité numérique des coefficients mais que l'on Peut contrôler en déterminant une structure mieux adaptée

:c.1)-Filtre à capacités commutées Les filtres à capacités commutées sont des filtres électroniques utilisant des circuits à capacités commutées (Les circuits à capacités commutées ou circuits SC (en anglais Switched-Capacitor) permettent l'émulation d'une résistance grâce à une capacité associée à des transistors MOS utilisés comme interrupteurs.)à la place de résistances :c.1.1) Principe

Le principe d'une capacité commutée consiste à charger et décharger une .capacité. En valeur moyenne, celle-ci se comporte comme une résistance

 

Figure: Principe d'une capacité .commutée :c.1 c.1.2) Filtres Filtr es à capacité cap acitéss commutées comm utées du d u premier prem ier ordre ord re Les filtres du premier ordre à capacités commutées sont déduits facilement de leurs homologues résistifs en remplaçant les résistances des filtres par des circuits à capacités .commutées

c.1 c.1.3) Filtres Filtr es à capacité cap acitéss commutées commu tées du d u second seco nd ordre ord re La réalisation des filtres à capacités commutées du second ordre est plus complexe à mettre en œuvre que la méthode décrite précédemment. Celle-ci conduirait à des structures complexes à mettre en œuvre et dont les aires d'occupations des capacités conduiraient en une approche non optimale. C'est pourquoi la méthode basée sur les graphes opérationnels est  préférable .

c.1.4) Fi Filtre ltres s à capa capacité cités sc commu ommutées tées du de 3 ordre ordr e et plu plus s Il existe deux approches pour le design des filtres à capacités commutées. La première utilise le couplage d’intégrateurs, la seconde propose la mise .en cascade de filtre du 1er et du 2èmeordre

c.1.5) Avantages et inconvénients Un filtre à capacités commutées permet la réalisation de filtres d’ordre élevé sans comporter  de résistances et capacités externes, de plus sa fréquence de coupure est ajustable, elle est  proportionnelle à l’horloge de commutation. Cependant, un filtre à capacités commutées effectue un échantillonnage du signal il peut donc créer un repliement de spectre. Il ajoute .aussi au signal un parasite à la fréquence de l’horloge utilisée pour la commutation

:c.2-Filtre piézoélectrique Les qualités piézoélectriques de certains matériaux, comme le quartz, quartz, peuvent être utilisées dans la conception de filtres. Les filtres à quartz possèdent un facteur de qualités élevées.une très bonne stabilité en température -

:Exemple

c.2.1-Les filtres à quartz

 

Modélisation

Symbole et circuit équivalent d'un quartz Un quartz peut être modélisé comme un circuit électrique possédant deux fréquences de résonance proche l'une de l'autre, l'une à faible impédance (série), et l'autre à haute : impédance (parallèle). L'impédance du circuit peut s'écrire

,(

) ω s est la pulsation de résonance série

.[ω p est la pulsation de résonance parallèle (

)[2

Le schéma électrique équivalent d'un quartz est un circuit série shunté par la capacité de connexion. Les valeurs de L, R et C1 sont dictées par la nature et les .Caractéristiques du quartz Le comportement électrique du quartz peut être déterminé en appliquant à un quartz une tension alternative sinusoïdale dont on fait varier la fréquence et en mesurant l'impédance du quartz pour chaque fréquence. On obtient la figure pour un quartz de fréquence de résonance : 100 kHz

 

Les quarts permettent également de réaliser des filtres passifs très sélectifs. Un filtre à quartz est composé d'une suite de quartz dans le but de réduire la bande passante à la .(Valeur souhaitée (Figures

c.2.3) Filtre céramique Un filtre céramique est un filtre électronique capable de résonner sur une fréquence fixe. Il est constitué d'une céramique spéciale, qui est souvent le titanate de zirconium. La fréquence de résonance du filtre, et sa bande passante, sont déterminées par la nature, la surface et .l'épaisseur du matériau résonnant •

Présentation Un filtre céramique généralement comporte 3 broches : l'entrée (E), la masse (M) et la sortie (S). Sur certains modèles, l'entrée est repérée par un point rouge. Le signal d'entrée est injecté entre E et M, le signal de sortie est pris entre S et M. Il existe aussi des modèles à deux  broches (comme les quarts) et filtres à éléments multiples, ce qui permet d'avoir une plus .grande sélectivité

 

Filtres céramique 455 kHz à 6 éléments (à gauche) et filtre céramique 10,7 MHz .((à droite .Le fonctionnement d'un filtre céramique est assez similaire à un filtre à quartz