Résumé-de-mécanique-quantique.pdf
Short Description
Download Résumé-de-mécanique-quantique.pdf...
Description
PHYSIQUE QUANTIQUE
1.3. L’espace des états. Notation de Dirac. Kets et Bras. , produit scalaire avec , appelé bra et
1.L’ESPACE DES FONCTIONS
1
bra associé
2
1
, appelé ket.
2
1.1. Fonction d’onde : d’onde : 1
r
i
p e
3
2
p r
Bases orthonormées :
d3p
ui u j i, j
esp p
Projection sur une base :
Densité de probabilité de présence :
r , t
2
r ,t
Fonction de carré sommable :
r , t
2
u
1
1
r
3
2 r
r e
i
p r 3
d r
esp r
p
p .d 3 p Id
p
où Id est l’opérateur identité. Orthonormalisation Orthonormalisation au sens des bases continues :
p p
p p
et p :
r , t r , t d 3r
esp
p
ui Id
i
Relation entre
ui
i
p, t est la transformée de Fourrier de r , t :
p
Relation de fermeture :
esp
ui
i
r , t . i r , t d 3r
esp
Equation de Schrödinger :
2 V r r , t i r ,t t 2m 2
1.2. Espaces hermitiens : Cf. Cours de mathématiques. mathématiques.
1.4. Opérateurs linéaires : 1
A
A 1
2
Les opérateurs sont linéaires si : A
A
A
Valeur propre et ket propre : A
où
0 , ket nul. Alors
est un ket propre associé à
la valeur propre Action d’un opérateur sur un bra : bra :
A
A
A
Adjoint d’un opérateur :
1 A 2
2 A 1
1
A
BC
Changement de base, P en représentation
A
C B
Opérateur X :
x X x X
x. x
r P
i
p R
i
r
et vice versa :
r p
Commutateur :
X , P X i
x
.Id
On donne :
X
On dit que X est auto adjoint.
x p
1
2
e
i
px
Opérateur hermitique :
A
A , alors A est hermitique. Les valeurs propres d’un opérateur hermitique sont réelles, et les kets propres associées à ces valeurs propres sont orthogonaux.
1.5. Commutateurs :
A B AB BA ,
Propriétés des commutateurs :
A B C A B A C A B B A A BC A B C B A C ,
,
,
,
,
,
,
,
1.7. Représentation d’un opérateur dans une base : L’ensemble des ui A u j est la matrice A :
A
u1 A u1
u1 A u 2
u2 A u1
u2 A u 2
...
A représente A dans la base u i
Adjoint de l’opérateur:
A A
t
Si A et B commutent, on peut trouver un ensemble de kets propres communs à A et B . 1.6. Opérateurs position et impulsion, R et P :
r R r r p P p p
2
2. LES POSTULATS DE LA MECANIQUE QUANTIQUE . 2.1. Postulats de représentation : A un instant t fixé, l’état d’un système physique est représenté par un ket
appartenant à l’espace des états : E . L’espace E est un espace de
t
Hilbert.
Si la mesure d’une grandeur physique A sur un système dans l’état
normé a donné le résultat
Lors de la mesure d’une grandeur physique A sur un système dans l’état
normé, la probabilité d’obtenir comme résultat la valeur propre a n dégénéré
g n fois de l’observable A correspondante est,
- dans le cas d’un spectre discret : g n
P
an
i
an
2
i 1
où les
a
i n
;i
1, g n constituent une base orthonormée du sous-espace propre
de A associé à la valeur propre
a
n
.
- dans le cas d’un spectre continu, la probabilité d’obtenir un résultat compris entre et d vaut : d P
2
d
où est le ket propre « normé » de l’observable A associé à la valeur propre
.
, l’état du système immédiatement après la
a n : (cas d’un spectre discret) :
a
a A
n
i n
i
an
i 1
mesure de
g i an i n
2.2. Postulats de mesure : La mesure d’une grandeur physique A ne peut donner comme résultat que l’une des valeurs propres de l’observable A correspondante.
n
mesure est la projection normée de sur le sous-espace propre de A associé à
g n
Toute grandeur physique mesurable A, est r eprésenté par un opérateur A agissant dans l’espace des états E . L’opérateur A est une observable.
a
1
2
1
2
2.3. Postulat d’évolution : L’équation décrivant l’évolution dans le temps de l’état t d’un système physique est l’équation de Schrödinger :
H t
i
d dt
t
où le Hamiltonien H est l’observable associée à l ’énergie totale du système. 2.4. Règles de quantification : L’observable A correspondant à la grandeur physique A définie classiquement s’obtient en remplaçant dans l’expression convenablement symétrisée de A les variables r et p par les observables R et P . Les observables ne correspondant pas à des grandeurs physiques classiques seront bâties directement. 2.5. Interprétation des postulats sur la mesure : Valeur moyenne : A
A
on notera souvent A
A
3
Ecart quadratique moyen :
A
2
2
A
2.9. Opérateur d’évolution :
A
2
U t , t0
En
e
iE n
t t 0
En
Dans le cas des états stationnaires :
2.6. Compatibilité des mesures : A et B deux observables : A B .
1 2
t
2
A B
nn
X .P x 2 Y .P y 2 Z .P z 2
d
si
A
0
t 0
h
h.
2.11. Relation d’incertitude temps-énergie : Etat stationnaire, l’énergie est une valeur sûre, E 0 , donc il n’y à pas d’évolution, T . Période d’évolution pour seulement deux fréquences possibles : T
A t
dt
t t 0
En E n
avec 2
2.7. Evolution de la valeur moyenne : d
e
2.10. Fréquences de Bohr :
,
Cas particulier :
dt
iE n
1
i
A H ,
E2 E 1
On a alors :
A t
h
A
d
A est une constante du mouvement, alors on peut trouver une
A
A et
A .E
2
dt
base de vecteurs propres à A et H , on trouvera toujours la même valeur si on mesure A ultérieurement, on parle alors de bon nombre quantique pour a . 2.8. Théorème d’Erenfest :
R
H
P
H
,
,
i m
P
d
P R
dt
P V R i ,
m d
V R dt P
V
R
4
3. L’OSCILLATEUR HARMONIQUE.
Comme N est hermitique,
3.1. Le Hamiltonien :
1 sauf si
2
P
H
2m
1
2
m X
2
ˆ
Na X
H 1
ˆ
P
2
ˆ
ˆ
2
P ˆ
2
m
1
X 2
2
ˆ
2
P ˆ
1 a
, avec Na
a N
a
N associé à la valeur propre 1 . n
un ensemble de kets propres normé de l’opérateur a , il vient : 1
n
a
n!
1
n
0 et
a n
n n 1
n
Il faut vérifier les relations de fermetures et d’orthonormalisation pour faire de
X , P 1 X , P i.Id ˆ
Si est ket propre de N avec valeur propre , alors a est ket propre de
Soit
X
Soit alors, H
0 , ket nul.
3.3. Vecteurs propres : On calcule :
m
est ket propre de N associé à la valeur propre
2
Si on pose :
X P
a
a
une base de l’observable H .
ˆ
n
Il faut alors résoudre l’équation aux valeurs propres : H ˆ
Vecteurs propres de
A nouveau, on pose :
a a N
N n
1 X iP X a a 2 2 , et 1 1 X iP P i 2 a a 2
1
ˆ
ˆ
ˆ
a a
ˆ
ˆ
H ˆ
1 a
et a :
n
n n
n
1
1 n
1
ˆ
N
1
3.4. Projection de .Id
2
3.2. Valeurs propres On calcule :
n n ,
a n a n
x n
Na
a
n
m
sur la base des 1 4
1 n
2 n!
Hn
x
: m 2 .x e
m 2 x
,
où H n est un polynôme de Hermite.
, avec Na aN a
5
4. LE MOMENT CINETIQUE EN MECANIQUE QUANTIQUE : 4.1. Moment cinétique orbital : Le moment cinétique orbital est défini par l’opérateur vectoriel : L
R P .
On définit deux opérateurs :
J J x iJ y J J x iJ y
L est hermitique.
1 J x 2 J J J 1 J J y 2i
Relations de commutation : Commutateurs :
L x Ly L x YPz ZP y i Lz L L y ZPx XP y L y Lz i Lx L XP YP y x z L z Lx i Ly ,
J J J J J J ,
J
,
J , J J 2 , J 0
,J
2
J x
2
Jy
2
J z
2
2
Réécriture de J : J
2
On bâtit : 2
z
,
On appellera moment cinétique orbital tout opérateur vectoriel L dont les composantes cartésiennes satisferont les relations de commutation précédentes.
J
z
,
1 2
J
J
J J
J
2
z
2
J z ,
2
4.3. Equations aux valeurs propres de J et J z :
2
alors J est une observable. Commutateurs :
J jm j j 1 jm J z jm m jm 2
J 2 , J x 0 2 J , J y 0 2 J , J z 0
2
4.4. Propriétés des kets J
4.2. Valeurs propres et kets propres du moment cinétique :
J jm J jm
jm et J
, avec
m j
jm :
2
2
j j 1 m m 1
2
2
j j 1 m m 1
2
On cherche des kets propres communs à J et J z :
6
J J J z J J J J J z 2
2
jm j j 1
2
4.7. Application au moment cinétique orbital :
J jm
L
jm m 1 J jm jm j j 1
2
jm m 1
2
J jm
avec u . r
J jm
Il vient alors :
C
jm 1 . 2
4.5. Valeurs propres de J et J z : Limites de
m
:
J jm 0 m j J jm 0 m j 2
2
r
u
1 r
u
1 r sin
Pour les composantes de L , on a donc :
J jm C jm 1 , et J jm
i r
r
j
m j
cos L x r i sin tan sin L y r i cos tan L z r i i L e tan L e i tan i
r
2
4.6. Kets propres communs à J et à J z
J j m J j m
j j 1 m m 1 j m 1 j j 1 m m 1 j m 1
Equations aux valeurs propres en coordonnées sphériques :
dans une base standard, on a choisit une phase. Avec
L
j m une base orthonormée. j m
j m
1 j m
1 j m
i
r
j m ! j J 2 j ! j m !
m
j m ! j J 2 j ! j m !
m
jj
j -j
r
1 1 tan sin 2
2
2
2
Si on passe de la représentation
2
à la représentation r
1 1 tan sin i Flm , m 2
2
2
2
2
2
2
Flm
Flm ,
, on obtient :
l l 1 F lm
,
7
avec Fll ,
Cl sin
l
et les fonctions de Legendre :
.eil
Pl
L F ll
l l 1 F
l l 1
,
ll 1
,
...
F l l
. ,
Toutes les valeurs entières positives sont possibles pour l . 2
A chaque couple l m correspond une fonction propre commune à L et L z et ,
m
n 1 n
2
m
d
m 2
dn
m
Pl n
Et on a pour les opérateurs moments cinétique :
L z Yl m , mY l m , 2 m m 2 L Yl , l l 1 Y l ,
une seule. On obtient : 4.8. Harmoniques sphériques : On impose aux F lm des conditions de normalisation et de phase, ce sont ,
m
alors des harmoniques sphériques Y l
0
m
,
Yl
m1
l l 1
m m 1 Y
,
l l 1
m m 1 Y
.
l m1
.
l
et une phase globale : l
Y l
0 0
Yl
, C
l
il
sin e l
1 l
m !
m
cos eim
m
,
Première valeur : 0
Y 0
,
1
4
Cl
l
d
1 n 2
l
2 l ! dn
ll mm
2
Si on introduit les polynômes de Legendre : Pl n
,
l m l m
,
l
Pl
Orthogonalité :
On a donc la relation suivante : l
m !
l
,
Yl m , 1 Y l m ,
ont une phase relative :
L Yl m m L Yl
4
l l
Yl m , 1 Y l m ,
sin d d 1
0
2l 1
4.9. Principales propriétés des harmoniques sphériques définissant les valeurs propres de l’opérateur moment cinétique orbital :
2
m m
, :
Ces harmoniques sont normalisées : 2
Yl m , 1
l
2l 1! 4
.
1 l
2 l !
0
Yl m ,
Yl
m
, sin d d
mm
ll
0
Fermeture :
l m
l m Id
lm
8
Relations utiles :
cos .Yl
m
5. PARTICULE DANS UN POTENTIEL CENTRAL. ATOME D’HYDROGENE.
l m 1l m 1 m l m l m m Yl , Y , 5.1. Etats stationnaires dans un potentiel central : 2l 1 2l 3 2l 1 2l 1 l
,
1
1
Le Hamiltonien en notation sphérique est :
Yl , Y l , cos cos m
m
lm
2
H
r
1
2
2 r r
2
1
r
L 2
2
2 r
r
V r
Séparation des variables et équation radiale :
1 2 r r 2
H l m
2
1
L V r r E r 2
2
2 r
,
,
,
,
H E
l m , où I est le moment d’inertie par rapport à O
2 I
r
2
Dépendance angulaire des fonctions propres de H :
4.10. Application au moment cinétique orbital : Pour un état stationnaire : l l 1
2
du mobile étudié qui se meut autour de O .
L
2
2
L z
m
l l 1
2
En représentation position, les fonctions propres communes à L et L z sont :
En représentation position :
,
lm
m
l m
,
,
Y l
t Yl
e ,
iE l
t
, avec E l
Densité de probabilité dans la direction
lm ,
m
Y l
m
,
,
m
r, , R r Yl
,
2
,
:
2
l l 1 2 I
Equation radiale :
1 r r 2 2
2 2
r
l l 1
2
2 r
V r Rkl r
Ekl Rkl r
m
qui est solution de klm r Rkl r Yl où k est le nombre ,
,
quantique radial, l le nombre quantique orbital et magnétique.
,
m
le nombre quantique
E kl indépendant de l donc les E kl sont dégénérés 2l 1 fois. C’est la
dégénérescence essentielle. Il arrive que Ekl
E k l , c’est une dégénérescence accidentelle.
9
Pour simplifier, on écrit :
Rkl r
ukl r
r
V
r 2
2
2
2
l l 1
2
avec Veff r
r Veff r u kl r Eklu kl r 2 r 2
r où le premier terme est appelé barrière
centrifuge.
e2
et
2
2 E kl 2
, et on obtient l’équation :
d 2 l l 1 1 U kl 0 2 2 4 d Comportement à l’origine : U kl
Les solutions physiquement acceptables sont :
ukl r
Ae
r
, avec
2 E kl
2
1 proton
q
charge
masse
me
charge
q
masse
m p
l 1
0
Comportement asymptotique :
.
U kl
5.2. Atome d’hydrogène : 1 électron
A
Be
2
5.2.4. Recherche des solutions : 1.602.10
19
0.511 MeV
n l 1
C
c
U kl U nl
2
l 1 2
e
C p
p
p 0
avec la relation de récurrence :
MeV
938.3
C p
c2
1
p 1 l
p 1 2l 2 p
C P
5.2.1 Hamiltonien quantique et équation radiale : 2
H e
avec
r
1
2
2 r r
2
1
r
2 r
L 2
2
r
e
On obtient alors les niveaux d’énergies :
2
r
En
2
la forme d’un potentiel central. r 2
5.2.3. Fonctions propres communes à H , L et L z :
klm r ,
,
ukl r
r
Y l
,
,
ukl r U kl ,
l
2 r , avec
la masse réduite du système, et E kl
,
m
Si on pose :
n
2
e 4
E i avec E i
2
2
, énergie d’ionisation.
On a les nombres quantiques suivants : n 12 3 nombre quantique principal N
m
1
n
,
, ...
l 1 nombre quantique radial
012 3
,
,
l l ,
,
, ....,
1l ,
n
2
1 nombre quantique orbital
l nombre quantique magnétique.
, ...,
Dégénérescence essentielle pour une valeur de
n
:
un niveau d’énergie kl , on écrit encore :
10
n 1
dn
LE SPIN.
n 1
2l 1 2
l 0
ln
0. Théorie classique : moment cinétique orbital :
l 0
M
l avec
q
5.2.5. Fonction d’onde des états liés :
ynl 2l 2 ynl n l 1 ynl p
z
L
s 0
p s ! k s !s !
z s
2 0
e
0.52 A , on a
1 n
2r
na
1
na0
n l 1! 2n n 1 ! 2 n a0
3 2
.
H 0 L B ,
E
n
B m
nlm
Hypothèse de Ueklenbeck et Goudsmith : Pour les atomes, il y a une source autre que le moment cinétique orbital, un moment magnétique interne exprimé au moyen d’un moment cinétique, le spin. 3
M
L
S S , avec S rapport gyromagnétique de spin.
On bâtit l’opérateur de spin, S , tel que : l
2
1
0
Et enfin pour les fonctions propres :
nlm r , ,
J .T
na
0
2
H nlm
On a alors : C nl
24
2
2
9.27.10
1. Etats propres communs à H 0 , L et L z :
a
avec H 0 le Hamiltonien en l’absence de champs magnétique.
ynl L2nl l1 1 Avec
Le fait de mettre un atome dans un champs électrique entraîne des énergies supplémentaires, il faut donc rajouter un terme au Hamiltonien :
H
s p k !2
s
1
, rapport gyromagnétique.
On définit le magnéton de Bohr : B
0
C’est l’équation de Laplace avec les solutions en forme de polynômes de Laguerre : k p
2m
n l 1 ! 2r na n 1! 0
e
r na0
2 l 1
m Yl , na0
Ln l 1
2r
S est un moment cinétique, S est une observable pour l’espace des états de spin.
S x S y i S z S y S z i Sx S z S x i S y ,
,
,
11
S x ,
S y ,
S z et S agissent dans un nouvel espace, l’espace des états de spin :
E S dans lequel
sm
s
S
2
2. Matrices de Pauli : On appelle matrice toute matrice telle que :
, S z constituent un ECOC . Une base de ces états est
S
: S
2
sm s
S z sms
2
2
, ici :
0 1 0 i 1 0 , y , z 1 0 i 0 0 1
x
.s s 1 sms
.
.ms sms
Principales propriétés des matrices de Pauli :
x 2
L’espace des états de la particule considérée est le produit tensoriel de l’espace des états
ordinaire E r
E = E r E s
et de l’espace des états de spin
ij
E s :
x y y
,
E r
commute avec toute observable de
z
E s .
Cas du spin 1 : 2
s
1 2
m
s
1 2 1 2
Dans la base des états de spin
S
0 0 S
1
1
S x 1 0 S z 0 1 0 2 2 , , 0 0 i 1 0 3 S y S 0 0 2i 4 0 1 2
2
z 2
Id
0 opérateurs anticommutatif, noté aussi :
z
x
x y
i z
y z
i x
z x
i y
1 2 12 , 12 12 , on a les représentation 0
y x
Tr x det
x
Tr y
det
A B
matricielles :
0
y2
, 0 , 0
ri sj
i j
Toute observable de
0
y
Tr z
det
z
i A B
0
1
A B .Id
3. Représentation dans la base des états de dimension 2 : Dû à la notion de produit tensoriel, on doit représenter à la fois la position 2
(opérateur R , 3 composantes) et l’état de spin (opérateurs S et S z ), dans la base
r ,
¨,
p , l ,
,
m n ,
,
, …
12
Relation de fermeture dans la base
3
r ,
r , d r
r ,
Id
COMPOSITION DE MOMENTS CINETIQUES.
:
1. Généralités :
2
J1
r
On introduit la notation des spineurs en appliquant cette relation à un état :
r
r
3
d r
r
r
r
3
d r,
r r
J z 1 j1m1
J 2 2 j2 m2
J z 2 j2 m2
2
j1 j1 1 j1m1
m1 j1m1 2
j2 j2 1 j2 m2
m2 j2 m2
Ces relations viennent des propriétés du produit tensoriel, on peut donc définir une base des états : E 1,2
On peut écrire le bra associé à :
r
r
j1m1
r
r
, appelé spineur adjoint. r
On définit alors naturellement :
r
r
r 3 r d r 1 r
2
r r
r
2
3
d r
1
j1 j2 m1m2 j1m1 j2 m2 , de dimension
dim E 1,2 2 j1 1 2 j2 1 et dont un nouvel ECOC est
J
2 1
2
, J 2 , J z1, J z 2 .
2. On bâtit un nouvel opérateur :
J
J1 J 2 , on vérifie que J est un moment cinétique :
J x , J y J x1 J x 2 , J y1 J y 2 J x1 , J y1 J x 2 , J y 2 i .J z
par définition des fonctions d’ondes.
J x J y i J z J y J z i J x J z J x i J y ,
.
,
.
,
.
Produit tensoriel de deux kets propres appartenant à deux espaces différents : J z 1
ne s’applique que sur
pour J z 2 et
J 2
2
m 1
et
2
J 1
ne s’applique que sur j1 , identiquement
sur m2 et j2 .
13
J z Jz j m J z J z j m j m m m j j m m
J z j1 j2 m1m2
1
2
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
2
1
J
2
, avec
m
j1
j j
1 2
jm
2
m
.
m1m1
.
m2 m2
.
j1, j2 , j, m j, m
j1 j1 1 m1 m1 1 j1 j 2 , m1 1, m 2 jm j2 j2
1 m2 m2 1 j1 j 2m1, m 2 1 jm
j1 j1 1 m1 m1 1 j1 j 2 , m1 1, m 2 jm j2 j2
1 m2 m2 1 j1 j 2m1, m 2 1 jm
On utilise les coefficients 3 j de Wigner :
j1 m1
Condition de phase globale :
j1 , j2 , m1 j1, m2 j , m j
j j 1 m m 1 j1 j 2m1m 2 j , m 1
4. Coefficients de Clebsh Gordan :
j1 , j2 , j1, j2
j1 j2 , j1 j 2
Tous les coefficients de Clebsh Gordan sont réels par construction.
j j 1 j1 j2 jm ,
avec j1 j2 j j1 j 2 , j
0 si j
2
j j 1 m m 1 j1 j 2m1m 2 j , m 1
m :
1
Relation de récurrence :
j2 dégénérescence maximale de
j1 j2 jm
m m m
2
dont un ECOC est
2
2
j1 j2 m1 m2 jm
0 si
j1 j2 m1m2 j1 j2 m1m2
3. Valeur propre et ket propre de J :
J
Orthogonalité :
, J 2 , J , J z .
Dégénérescence de
1
m j1 j 2 m1 m2
2
j1 j2 m1 m2 jm m m m
2
On peut aussi travailler dans une nouvelle base, 2 1
j2 m2
j1 j 2 , j1 j 2
j2 m2
j
m
j1 j2 m
1
2 j 1
j1 j2 m1 m2 jm
1
Pour construire les autres coefficients, on utilise les opérateurs :
J
J 1 J 2
J
J 1 J 2
5. Principales propriétés des coefficients de Clebsh - Gordan:
14
METHODES D’APPROXIMATION.
Correction au second ordre : 2
1. Généralités :
0
On décompose H
H0
W où
max H 0
perturbation si W On considère que
H 0 est soluble exactement et W
E et
, et donc
V , appelé
1.
sont des fonctions de que l’on va développer en série
E En n W n
p n
n
p W n 0
0
En E p
n W p 0 0 En E p
p
de puissances de .
2. Perturbation stationnaire d’un niveau non dégénéré : On doit résoudre en fonction de k et de
H0 V
k
k
k 0
0
k k , soit : k 0 k0
k
à l’ordre 0 :
H 0 0
à l’ordre 1 :
H0 0 1 V 1 0 0 H0 0 2 V 1 1 2
à l’ordre 2 :
k
0
0
E p
1
0 1
p
On veut que
0
0
Ep
n
1 2
p W n
E
0
0
0
E p
n
p
p W n n W p
E
0
n
p n p n
0
Ep
E
0
n
0
E p
p
.
3. Perturbation stationnaire d’un niveau dégénéré : g n
i
n
W
j
n
j
n
i i 0 E n 0 , équation séculaire.
0
C’est l’équation aux valeurs propres de la matrice
0
i n
,i
i
n
j
W n
, dite matrice de
1,..., g n .
1 0
0 2
E
p n
perturbation, qui représente W dans la base 0 0
0
0
n
2
p W p
j 1
On choisit :
E
p n
l’équation :
n W n n W n
1
n
2
11
0
, avec n
H0 n
0
E n n
Correction à l’ordre 1 : 0
E En n W n
n
p W n
E p n
0
n
0
E p
p
15
View more...
Comments
