Resume de Cours (MPSI MP)

 

Sìsuaì ko imurs AXYL ’ AX

 N``ìo 3838-383>

 

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

>

Sìsu Sì suaì aì > ’ Ytr trui uitu turo ross ng ngjì jìcrl crlqu quos os Ytrui Yt ruitur turoo ko jr jrmup mupoo

↓   Jrmupo Jrmuposs ot smus-jrmu smus-jrmupos pos Kì﬎`ltlm` Jrmupo upo Kì﬎`ltlm` 6 Jrm _` jr jrmu mupo po os ostt u` im imup upgo go (J , √) mü J   ost ost u` o`soacg o`soacgoo ot √ u`o gml ko imapmsltlm` l`tor`o togs quo 6 (l) gn gml √ ost nssmilntlvo 6

∈ x , y , z  ∅  ∅ J ,   x   √√ ( y   √√ z ) 1 (x   √√ y ) √ z  (ll) lg oxlsto u` ìgìao`t `outro 6

∈ x  ∅  ∅ J ,   x   √√ o   1 o   √√ x   11  x 

↓   Jrmupo (/` , +)  ∅ √ . Snppogm`s quo sl n , c  ∅  ∅ , M` suppmso lil `  ∅  ≮ c   R` Q   ⇘⇓   `   || (n  ∓ c )   ⇘⇓   n  ∓ c  ∅  ∅ `  n  ≮ Gn im`jruo`io amkugm `  ost  ost u`o rogntlm` k“ìqulvngo`io. M` `mto /`  g“o`soacgo kos ignssos k“ìqulvngo`io ko  pmur iotto rogntlm`. M` au`lt ngmrs /`  k“u`o nkkltlm` ot k“u`o augtlpglintlm` (qul `o kìpo`ko`t pns ku iemlx ku roprìso`tn`t). [eìmråao  ∅ √ , (/` , +) ost u` jrmupo ncìglo`. Xmur tmut `  ∅

(lll) tmut ìgìao`t ko J   pmssåko u` l`vorso 6

∈x  ∅  ∅ J ,   ∉ y  ∅  ∅ J ,   x   √√ y   1 y   √√ x   11 o  Xrmpmsltlm`  ⊃ J  ost Ymlt (J , √) u` jrmupo. E  ⊃  ost u` smus-jrmupo ko J   sl E   ost `m `m` ` vl vlko  ko  ot  ot sl 6

∈x , y  ∅  ∅ E ,   x   √√ y ∓> ∅ E  • Go prmkult ﬎`l ko jrmupos ost o`imro o`imro u` jrmupo. •   G“l`torsoitlm` (quogim`quo) ko smus-jrmupos ko J   ost u` smus-jrmupo ko J .

[eì [eìmr mråao åao 6 Ymu Ymus-j s-jrmu rmupos pos ko  Yl J  ost  ost u` smus-jrmupo ko (, +), ngmrs lg oxlsto u`  ∅  tog quo J   1 ` . u`lquo `  ∅

↓   Amrpel Amrpelsaos saos ko jrmupos jrmupos Kì﬎`ltlm Kì﬎`l tlm` ` 6 Am Amrpe rpelsa lsaoo ko jrmupo uposs √) kn`sgojrmupo _`amrpelsaokujrmupo (J ,jrm (J  , ) ost u`o nppglintlm` τ 6 J   ↓ ↓ J  qul vìrl﬎o 6

∈x , y  ∅  ∅ J ,   τ (x   √√ y ) 1 τ (x )  τ( y ) Xnral gos amrpelsaos ignsslquos, m` ro`im`tro  oxp, g`, kot ot gn slj`nturo k“u`o porautntlm`. Gos lanjos klroito ot rìilprmquo k“u` smus-jrmupo pnr u` amrpelsao ko jrmupos ost u` smus-jrmupo.

Kì﬎`ltlm Kì﬎`l tlm` ` 6 @m @mynu ynu ot lan lanjo jo k“ k“u` u` amr amrpel pelsao sao Ymlt τ u`amrpelsaokujrmupo (J , √) kn`sgojrmupo (J  , ). •  M` nppoggo lanjo ko τ  ot m` `mto  La(τ ) go smus-

∅ J }. jrmupo τ (J ) 1 {τ ( x ), x   ∅ •   M` nppoggo `mynu `mynu ko τ ot m` `mto Bor `mto Bor(τ ) go smus∓  > ∅ J , τ(x ) 1 o }. jrmupo τ ({o  }) 1 { x   ∅ Go `mynu poraot ko inrnitìrlsor g“l`foitlvltì.  N``ìo 3838/383>

↓   Jrmupos Jrmupos am`mjå`os am`mjå`os ot jrmupos jrmupos iyiglquos iyiglquos Kì﬎`ltlm` _` jrmupo (J , √) ost klt 6 • am`mjå`o s“ s“lg lg ost o`jo`krì o`jo`krì pnr u` ìgìao`t ìgìao`t 6

⌬ ⌦ {

 ∅  ∅ }

J   1 n  1 n b , b  

• iyiglquo ss“lg “lg ost am`mjå`o am`mjå`o ot ﬎`l.

[eìmråao • Go jrmupo (/` , +) ost iyiglquo. •   /`  1 ⌬b ⌦ sl ot sougoao`t sl b  ∪ `  1  1 >. [eìmrå mråao ao 6 Ign Ignssl ssl﬎in ﬎intlm tlm` ` kos jrm jrmupo uposs am` am`mjå mjå`os `os [eì Ymlt J   u` jrmupo am`mjå`o.   . • Yl J  ost l`﬎`l, J     /`  nvoi inrk(J ) 1 ` . • Yl J  ost iyiglquo, J  

↓   Mrkro Mrkro k“u` k“u` ìgìao` ìgìao`tt kn`s kn`s u` jrmupo jrmupo Kì﬎`ltlm` Ymlo`t   (J , √)  u` jrmupo km`t g“ìgìao`t `outro ost `mtì o   ot n  u`  u` ìgìao`t ko J .  ∅ √ tog quo n `  1 o . •   n  ost  ost k“mrkro ﬎`l s“lg oxlsto `  ∅  ∅ √ | n `  1 o }. • G“mrkro ko n  ost  ost ngmrs al`{`  ∅ G“mrkro ko n   ost ost nussl nussl go inrkl` inrkl`ng ng ku smus-jr smus-jrmup mupoo o`jo`k o`jo`krì rì pnr n . Ko pgus, sl n  ost   ost k“mrkro ﬎`l k , ngmrs, n `  1 o 

  ⇘⇓   k |` 

[eìmråao G“mrkro k“u` ìgìao`t k“u` jrmupo ﬎`l klvlso go inrkl`ng ku jrmupo.

 

 

3

Dlieo Dli eo > ’ Yt Ytrui ruitur turos os ngj ngjìcrl ìcrlqu quos os

Ytrui Yt ruitur turos os k“ k“n`` n``onu onu ot ko imr imrps ps

↓   Lkìnux Lkìnux k“u` n``o n``onu nu imaa imaautntl utntld  d 

↓  N``  N``onu onuxx ot imrps imrps Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 N``o N``onu nu Kì﬎` _` n``o n``onu nu os ostt u` tr trlpg lpgot ot ( N , +, Ú) mü g“o`so g“o`soacgo acgo N  ost  ost au`l ko koux gmls ko imapmsltlm` ko smrto quo 6 (l)   ( N , +) ost u` jrmupo imaautntld2 (ll)   gn gml  Ú   ost nssmilntlvo, nkaot u` ìgìao`t `outro ot ost klstrlcutlvo sur  + 6

∈x , y , z  ∅  ∅ N ,   x  Ú  Ú ( y   + z ) 1 x   ÚÚ y   + x   ÚÚ z  Ú z   ++  y   ÚÚ z  ot   ( x   + +  y ) Ú z   1 1  x   Ú • G“n``onu ost imaautntld   sl gn gml Ú ost imaautntlvo. • _` n``onu imaautntld ost klt l`tåjro  sl  sl 6

 Ú y   1 8 N   1⇓   x   11 8 N  mu  y   1 8 N  ∈(x , y ) ∅ N 3,   x  Ú • [mut prmkult ﬎`l k“n``onux k“n``onux ost u` n``onu. • Yl x  ot  y  imaauto`t,

  ` 

( x + y )`  1

b 18

`  b 

x b  y ` ∓b  2  x `   y `  1 ( x   y )

∓

∓

x b  y ` ∓>∓b 

b 18

Xrmpmsltl msltlm` m` 6 Inrn Inrnitìrls itìrlsntlm` ntlm` k“u` smus smus-n`` -n``onu onu Xrmp Ymlt ( N , +, ) u` n``onu. C  ost  ost u` smus-n``onu ko  N  Ú sl > N  ∅ C  ot sl ot sougoao`t  ot 6

∈x , y  ∅  ∅ C ,   x  ∓  ∓ y   ∅∅ C   

Ú y   ∅∅ C  ot   x   Ú

Kì﬎`ltlm Kì﬎`l tlm` ` 6 Im Imrps rps _` imrps  ost u` n``onu imaautntld pmur goquog tmut ìgìao`t `m` `ug nkaot u` l`vorso pmur gn gml Ú. Kn`s go inkro ku prmjrnaao, gos imrps sm`t suppmsìs imaautntlds. _` imrps ost u` n``onu l`tåjro. Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Ymus Ymus-imrp -imrpss Kì﬎` Ymlt  u` imrps.  ⊃  ost u` smus-imrps ko  sl 6

∈x , y  ∅  ∅  Ú √,   x  ∓  ∓ y   ∅∅ 

Go `mynu k“u` amrpelsao k“n``onux ost u` lkìng.  N , Yl L >  ot  L 3  sm`t koux lkìnux k“u` n``onu imaautntld  N  L > ∬ L 3 ot  L > + L 3 sm`t kos lkìnux ko  N . Ymlt  x  u`  u` ìgìao`t k“u` n``onu imaautntld  N   N .

{   ||  ∅  ∅ }

( x ) 1 x N  1  1 x n  n   N 

ost go pgus potlt lkìng ko  N  im`to`n`t  im`to`n`t  x . Ko pgus,

  ||   ⇘⇓

x   y 

  y N 

⊃ x N    ⇘⇓  

( y )

⊃ ( x )

↓  Nrlteaìtl  Nrlteaìtlquo quo kn`s 

`  >

 ∓

Kì﬎`ltlm` Kì﬎`lt lm` 6 Lk Lkìng ìng k“ k“u` u` n` n``on `onu u ima imaau autntl tntld  d  Ymlt   ( N , +, Ú)  u` n``onu imaautntld. M` nppoggo lkìng ko N  tmuto  tmuto pnrtlo L   ko N  tog  tog quo 6 (l)   (L , +) ost u` smus-jrmupo ko ( N , +) 2 (ll)   ∈ x  ∅  ∅ L ,   ∈n  ∅  ∅ N ,   x n  ∅  ∅ L .

Ú y ∓> ∅    ot   x   Ú

↓   Amrpelsaos Amrpelsaos k“n``onux  Kì﬎`ltlm` Amrpels rpelsao ao k“n` k“n``onu `onux  x  Kì﬎`ltlm` 6 Am Ymlo`t N   ot ot  C  koux  koux n``onux. M` nppoggo amrpelsao ko N  kn`s  kn`s C  tmuto  tmuto nppglintlm` τ 6 N  ↓ C  qul  qul vìrl﬎o 6  ∅ J ,  τ (x   ++  y ) 1 τ (x ) + τ ( y ) (l)   ∈ x , y  ∅ (ll)   ∈ x , y  ∅  ∅ J ,  τ (x  Ú  Ú y ) 1 τ (x ) Ú τ ( y ) (lll)   τ (> N ) 1 >C . _` amrpelsao k“n``onux ost u` amrpelsao ko jrmupos. Kì﬎`l tlm` ` 6 @m @mynu ynu ot lan lanjo jo k“ k“u` u` amr amrpel pelsao sao Kì﬎`ltlm Yl τ u` amrpelsao ko g“n``onu  N  kn`s  kn`s g“n``onu C ,

∅ N } 2 • La(τ ) 1 τ ( N ) 1 {τ ( x ), x   ∅ ∓ > ∅ N , τ(x ) 1 8C }. • Bor(τ ) 1 τ ({8C }) 1 { x   ∅ G“lanjo k“u` amrpelsao k“n``onux ost u` n``onu, anls pns go `mynu.

[eìmråao  ∅ . Gos lkìnux ko  sm`t gos ` , mü `  ∅

 ∅  `m` `ugs. M` nppoggo 6 Ymlo`t n , c  ∅ •   pgus jrn`k klvlsour imaau` imaau` ko n  ot  ot  c  g“u`lquo  g“u`lquo o`tlor `nturog k  tog  tog quo n  + c  1 k . @mtntlm` 6 n  ∪ c . •  pgus potlt imaau` augtlpgo ko  n   ot c  g“u`lquo o`tlor `nturog i  tog quo n  ∬ c  1 i . @mtntlm` 6 n  ∥ c .

[eìmrå mråao ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Cìz Cìzmut mut [eì  ∅ . Ngmrs n  ∪  ∪ c   1 > sl ot sougoao`t s“lg Ymlo`t n , c  ∅ oxlsto u` imupgo ( u , v ) ∅ 3 tog quo n u  +  + c v  1  1 >. G“ngjmrlteao k“Ouiglko poraot ko kìtoral`or go pjik ko koux o`tlors mu u`o rogntlm` ko Cìzmut.

[eìmrå [eìm råao ao 6 Go Goaa aaoo ko Jn Jnus usss Ymlo`t n , c , i  ∅  ∅ . Yl n   || c i   ot n  ∪ c  1  1 >, ngmrs n   || i . Yl p  ost  ost proalor ot p   || n c , ngmrs p   || n  mu  mu p   || c .

↓   G“n``onu (/` , +, Ú) [eìmråao (/` , +, Ú) ost u` n``onu. [eìmråao Gos nssortlm`s sulvn`tos sm`t ìqulvngo`tos 6 (l)   /`  ost u` imrps. (ll)   /`  ost u` n``onu l`tåjro. (lll)   `  ost  ost proalor. G“ìgìao`t b  ost  ost l`vorslcgo kn`s g“n``onu /`  sl ot sougoao`t sl b  ∪ `  1  1 >.

 N``ìo 3838/383>

 

Dlieo Ytrui ruitur turos os ngj ngjìcrl ìcrlqu quos os Dlieo > ’ Yt

[eìmråao [eìmr åao 6 Goa Goaao ao iel iel`m `mls ls Yl a   ot ot `   sm`t koux o`tlors proalors o`tro oux, /a `   ost lsmamrpeo è   /a 

Ú /` 

Kì﬎`ltlm` L`klintrli intrlioo k“O k“Ougor ugor Kì﬎`ltlm` 6 L`kl √  ∅  ,m`pmso ϟ(` ) 1 inrk {b   ∅∅ >, `  | b  ∪ `   11 >}. Xmur `  ∅ Gn dm`itlm` ϟ ost nppogìo l`klintrlio k“Ougor.

 

ϟ (` ) roprìso`to 6

• go `macro `macro k“o`tlors k“o`tlors l`dìrlours è `  ot  ot proalors nvoi ` 2 • go `macro k“ìgìao`ts l`vorslcgos ko g“n``onu /`  2 •  go `macro ko jì`ìrntours ku jrmupo  ( /` , +), km`i iogul ko (` , Ú).

Xrmpmsltlm`  ∅ √ . Yl a  ∪ `   11 >, ϟ(a ` ) 1 ϟ(a )ϟ(` ). Ymlo`t a , `  ∅ Xrmpmsltlm`

 ∅ √, ϟ(` ) 1 ` º Xmur tmut `  ∅

 ∓  >

p  proalor  proalor p  ` 

 >

p 

.

|

Xrmpmsltlm` Xrmpmsltl m` 6 [eìm [eìmråao råao k“O k“Ougor ugor  ∅  ot `  ∅  ∅  W {8, >}. Yl n  ∪ `   11 >, ngmrs 6 Ymlo`t n  ∅ n ϟ (` )

≮ > R` Q

Imrmg rmggnl gnlro ro 6 Xo Xotlt tlt teì teìmr mråao åao ko Do Doran rantt Im ∅ . Ngmrs, Ymlo`t p   u` o`tlor proalor ot n   ∅ n p 

≮ n   Rp Q

Yl ko pgus p  `o  `o klvlso pns n , n p ∓> ≮ > Rp Q.

Ytruituro k“ngjåcroo Ytruituro k“ngjåcr Kì﬎`ltlm` 6 -ngjåcro Kì﬎`ltlm` _`o ngjåcro sur u` imrps   , mu   -ngjåcro, ost u` o`soacgo    au`ls ko trmls gmls +, Ú ot º togs quo 6 (l)   ( , +, º) ost u` -ospnio voitmrlog2 (ll)   ( , +, Ú) ost u` n``onu2 (lll) gos gmls Ú ot º sm`t imapntlcgos 6

∈n , c  ∅  ∅ , ∈ x , y  ∅  ∅  , (n º x )Ú(c º y   y ) 1 n c º( x Ú y ) _`o smus-ngjåcro ko   ost  ost u`o pnrtlo   ko   toggo  toggo quo   ost è gn dmls u` smus-n``onu ko   ot  ot u` smus-ospnio voitmrlog ko  .

Kì﬎`ltlm` Amrpels rpelsao ao k“ng k“ngjåcr jåcros os Kì﬎`ltlm` 6 Am   -ngjåcros. M` nppoggo amrYmlo`t    ot   koux   pelsao ko   kn`s   kn`s   tmuto nppglintlm` τ 6  ↓  toggo quo  τ  ost u` amrpelsao k“n``onux ot  τ  u` amrpelsao k“ospnios voitmrlogs.

 N``ìo 3838/383>

 

9

 

 

;

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsu Sì suaì aì 3 ’ Xmg mgy` y`ûa ûaos os ot dr drni nitlm tlm`s `s rn rntl tlm` m``o `ogg ggos os Xmgy`ûaos

↓  Snil`os ` låaos ko g“u`l g“u`ltì tì

↓  Jì`ìrngltìs

Io sm`t gos `  rnil`os  rnil`os slapgos ku pmgy`ûao  U  `  ∓ > ko gn  3 b ψ  ∅ 8, ` ∓> .Goursmaaoost`uggo6 dmrao όb   1 ol  `  pmur b  ∅  3 ` ψ ` ∓> ` ∓> b   > ∓ ol  `  l  3` ψ o όb  1 1  3 ψ 1 8. > ∓ ol  `  b 18 b 18

_` pmgy`ûao ost kì﬎`l pnr gn sulto ko sos imod﬎ilo`ts, suppmsìs `ugs è pnrtlr k“u` iortnl` rn`j. +∐ b 

 ∅   

X   1 ``  18 n b  U 

∐

  ` 

+

Xnr kì﬎`ltlm`, X ^   1 1

b 18

R U Q

l 18

b  n l l  c b  b ∓l   U  .

[eìmråao •   (R U Q, +, Ú) ost u` n``onu l`tåjro imaautntld. •   (R U Q, +, Ú, º) ost u`o -ngjåcro.

 ∅  | n b b  1 8} nvoi koj(8˗ ) 1 ∓∐. M` pmso koj(X ) 1 anx {b  ∅ Yl X , ^   ∅ ∅ R U Q, koj(X   ++ ^ )  anx (koj(X ),koj(^ )).  Ú ^ ) 1  koj (X ) + koj(^ ) ot  koj(X   ◤◤ ^ ) 1 Ko pgus,  koj (X  Ú koj(X ) Ú koj(^ ). [eìmr åao 6 Dm Dmrau raugo go ko Gol Golc`l c`lzz [eìmråao

 

Ymlt X   ot ^  koux  koux` pmgy`ûaos è imod﬎ilo`ts kn`s . `  (b ) (` ∓b ) (` ) X  ^  .  Ngmrs, (X ^ ) 1 b 18

b 

[eì [eìmr mråao åao 6 Dm Dmrau raugo go ko [nyg nygmr mr ∅ . Ngmrs, Ymlt X  u`  u` pmgy`ûao p mgy`ûao ko kojrì kojrì `  ot  ot n   ∅

 ` 

X (b ) (n )   ( U  X   1 b  ! b 18

b 

  ∓∓ n )

↓   Snil` Snil`os os ot dnitmrlsntl dnitmrlsntlm` m` [eìmråao 6 Klv [eìmråao Klvlslm lslm` ` ouigl ouiglklo`` klo``oo

     

`  ∓ n    pmur  pmur Ko aæao, m` pout kìtoral`or gos rnil`os ko  U  >  ε  l ε  `  n  ∅  ∅ . M` ìirlt n  1  1  ώ o ot m` trmuvo ξb   1 ώ ol  `  όb .

↓  Nrlte  Nrlteaìtlq aìtlquo uo kos pmgy`ûaos pmgy`ûaos

Gos lkìnux ko R U Q sm`t tmus prl`ilpnux, l.o. ko gn dmrao 6

  ºº

{   ºº   ||  ∅  ∅ } [mut lkìng ko   R U Q  klstl`it ko {8˗ }  ost o`jo`krì pnr u` (X ) 1 X  R U Q 1 X  ^  ^  R U Q

u`lquo pmgy`ûao u`ltnlro, nppogì pmgy`ûao al`lang.

 ∅ R U Q `m` `ugs. M` nppoggo 6 Ymlo`t  N , C  ∅ •  pgus jrn`k klvlsour imaau` ko  N   ot ot  C  g“u`lquo pmgy`ûao u`ltnlro u`ltnlro K   tog tog quo ( N ) + (C ) 1 (K ). @m @mtnt tntlm` lm` 6  N ∪ C . •  pgus potlt imaau` augtlpgo ko  N  ot  C  g“u`lquo pmgy`ûao u`ltnlro I  tog   tog quo ( N ) ∬ (C ) 1 (I ). @mtntlm` 6  N ∥ C . [eìmråao [eìmrå ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Cìz Cìzmut mut  ∅ R U Q. N   ot Ymlo`t N , C  ∅ ot  C  sm`t proalors o`tro oux  ssl lg oxlsto (_ , T   )) ∅ R U Q3 tog quo N_  +  + CT   1 >. Yl   N , C   ∅   R U Q, m` pout trmuvor  (_ , T   ))  ∅   R U Q3 tog quo  N_   + CT   1 N ∪ C  è  è g“nlko ko g“ngjmrlteao k“O k“Ouiglko uiglko . [e [eìm ìmrå råao ao 6 Go Goaa aaoo ko Jn Jnus usss Yl N  | C I   ot N ∪ C  1  1 >, ngmrs N  | I .

↓   Xmgy`ûaos lrrìkuitlcgos Kì﬎`ltlm` _` pmgy`ûao X  ost  ost klt lrrìkuitlcgo sl 6

Ymlt N   ot ot C  koux  koux pmgy`ûaos togs quo koj quo  koj(C )  koj( N ) ot C  `m`  `m` `ug. Ngmrs,

X   1 ^ S  nvoi   nvoi ^ , S  R U Q 1   ^  mu  mu S  im`stn`t   im`stn`t

∉!(^ , S ) ∅ R U Q,   N   11 C^  + S  nvoi   nvoi koj(S ) 7 koj(C ) M`nppoggornil`oko X  tmutìgìao`   tmut ìgìao`tt ξ ∅  togquo X (ξ) 1 8.

Xrmpmsltlm`  ∅ R U Q nkaot u`o u`lquo kìima[mut pmgy`ûao X  ∅ pmsltlm pms ltlm` ` imaao imaao prmkul prmkultt k“ k“u` u` singnlr singnlroo pnr u` prmkul prmkultt ko dnitours u`ltnlros lrrìkuitlcgos.

[eì [eìmr mråao åao 6 [eì [eìmr mråao åao ko dni dnitmrl tmrlsnt sntlm` lm` Yl ξ> , . . . , ξp  sm`t p  rnil`os  rnil`os k“u` pmgy`ûao X  ngmrs  ngmrs 6

∉!^  ∅  ∅ R U Q   X   1 ( U   ∓∓ ξ>) º º º ( U   ∓∓ ξp )^  ξ ∅  ost ost kl klto to rn rnil il`o `o ko X   k“mrkr k“mrkroo ko augtlpgliltì augtlpgliltì b   sl sl g“ g“u`o u`o

kos koux nssortlm`s ìqulvngo`tos sulvn`tos ost vìrl﬎ìo 6  ∓ ξ)b ^  nvoi  ∅ R U Q 2 •   X   1 ( U  ∓   nvoi ^  ∅ •   X (ξ) 1 º º º 1 X (b ∓>) (ξ) 1 8.

M` klt quo X  ko  ko kojrì `  ost  ost sil`kì sur  (mu kn`s R U Q) s“lg pmssåko `  rnil`os  rnil`os kn`s . Yl i“ost go ins, `  X   1 n ``  U  +  

º º º + n > U   + n 8 1 n ``  ( U   ∓∓ ξ>) º º º ( U   ∓∓ ξ` )

io qul km``o `   + + > rogntlm`s o`tro rnil`os ot imod﬎ilo`ts.

 ∅  ∅

⇓

[eìmråao åao 6 [eìmr [eìmråao åao ko k“Ng k“Ngoacor oacort-Jnu t-Jnuss ss [eìmr _` pmgy`ûao imapgoxo `m` im`stn`t nkaot nu aml`s u`o rnil`o kn`s . [mut pmgy`ûao X  ∅  ∅ R U Q `m` `ug ost sil`kì sur  ot 6 ` 

X   1 β

 ∓  ∓ ξl )

( U 

(ξl 

 ∅ )

 l  l 1>

 ∅ R U Q ot X (ξ) 1 8, ngmrs X (ξ) 1 8. Yl ξ ∅/ , ngmrs m` Yl X  ∅ pout dnitmrlsor X  pnr   pnr 6  ∓  ∓ ξ)( U  ∓  ∓ ξ) 1 U 3 ∓ 3So(ξ) U   + |ξ|3 ∅ R U Q

( U 

 N``ìo 3838/383>

 

Dlieo Xmgy` gy`ûao ûaoss ot drn drnitl itlm`s m`s rnt rntlm` lm``og `oggos gos Dlieo 3 ’ Xm

[eìmråao 6 Xmg [eìmråao Xmgy`ûa y`ûaos os lrrìk lrrìkuitlc uitlcgos gos •   Gos pmgy`ûaos lrrìkuitlcgos ko R U Q sm`t gos pmgy`ûaos ko kojrì >. •  Gos pmgy`ûaos lrrìkuitlcgos ko R U Q sm`t gos pmgy`ûaos ko kojrì > ot ko kojrì 3 è klsirlal`n`t `ìjntld. O` prntlquo, m` imaao`iorn pnr kìimapmsor u` pmgy`ûao kn`s R U Q pmur dnlro nppnrnàtro gos dnitours rìogs o` rojrmupn`t gos rnil`os im`fujuìos ot nl`sl mcto`lr sn

  N 

kuitlcgo  , g“ìgìao`t slapgo nssmilì sorn ko gn dmrao 6 C 

n 

 ∓  ∓ ξ

 U 

↓   Xmgy`û Xmgy`ûaos aos l`torpmgnt l`torpmgntours ours ko Gnjrn`jo Gnjrn`jo

>, `  ,   X ( x l l ) 1 y l l 



G“oxlsto`io ost nssurìo o` ìirlvn`t 6



 y ll   G ll     mü   G l l   1

X   1

   ∓ ∓∓ ` 

` 

 f 1>  f 1l 

l 1>

 U 

x   f f 

x l l 

x   f f 



M` n clo` koj(X )  `  > ot G l l ( x   f f ) 1 λl , f  km`i X ( x l l ) 1 y l l .

∓

Drnitlm`s rntlm``oggos Drnitlm`s Gos drnitlm`s rntlm``oggos sm`t kì﬎`los è g“nlko ko imupgos ko pmgy`ûaos nu amyo` k“u`o rogntlm` k“ìqulvngo`io. k“ìqulvngo`io.

[eìmråao (( U ), +, Ú) ost u` imrps imaautntld.

 ∅ ( U ). M` nppoggo dmrao lrrìkuitlcgo ko S  tmuto Ymlt S  ∅   tmuto ìirlturo ko gn dmrao 6 S   1 1

Yl S   1 1

 N  C 

  nvoi   N ∪ C   1 1>

 N    ost lrrìkuitlcgo, m` nppoggo pnrtlo o`tlåro ko S   go go C 

qumtlo`t ko gn klvlslm` ouiglklo``o ko  N  pnr  pnr  C . M` nppoggo pûgo ko  S  k“mrkro  r   tmut  ξ ∅   rnil`o ko  C  k“mrkroo ko augtlpgliltì r . k“mrkr Kìimapm Kìim apmslt sltlm` lm` o` ìgì ìgìao` ao`ts ts slapgo slapgos  s 

Ymlt  S   ∅   ( U )  ko pnrtlo o`tlåro  X  ot ko pûgos klstl`its ξ> , . . . , ξr  ko augtlpgliltì a > , . . . , a rr  . Lg oxlsto u`o u`lquo dnalggo (n ll  ,b )   >l r  ko `macros imapgoxos toggo quo 6 >b a l 

  N  S   1 + 1   1 X   + C 

a l l 

 r 

l 1> b 1>

n l b 

  ∓∓ ξl )b 

( U 

Gnkìimapmsltlm`o`ìgìao`tsslapgoskn`s( U ) (u`lquo oggo nussl) dnlt nppnrnàtro u`o smaao ko toraos ko gn dmrao 6 a l 

  ∓ ∓ b 1>

n l b 

( U 

ξl 

)b 

  ot

a l 

 b 1>

c l b   U  U   + i l b  ( U 3 + k   U   + o  )b   f 

 f 

mü gos U 3 + k   f f  U   + o   f f   sm`t lrrìkuitlcgos kn`s R U Q. Ios oxprosslm`s `o sm`t pns è im``nàtro pnr iřur!  N``ìo 3838/383>

  ∓ ∓

  nvoi   n  1  1   N (ξ) 

C  (ξ)

r 

[eìmråao Yl x > , . . . , x ``  ∅    sm`t klstl`its ot  y > , . . . , y ` `  ∅    ngmrs  ∅ ` ∓>R U Q tog quo 6 lg oxlsto u` ot u` soug X  ∅

?

O` prntlquo, pmur kìtoral`or u`o kìimapmsltlm` o` ìgìao`ts slapgos, m` pmurrn 6 • aottro nu aæao kì`mal`ntour kì`mal`ntour ot lko`tl﬎or2 lko`tl﬎or 2 • ìvnguor o` u` pml`t pmur u` pûgo slapgo2  ∓ ξ)p  puls ìvnguor o` ξ 2 • augtlpglor pnr ( U  ∓ • augtlpglor pnr U   puls pnssor è gn glalto o` +∐. O` mutro, pmur tmut pûgo slapgo ξ ∅  ko gn drnitlm` lrrì-

kìimapmsltlm` kn`s R U Q.

∈l  ∅  ∅

 

Yl X  1  1 β

( U 

ξl )a l l  nvoi ξ> , . . . , ξr  klstl`itos,

l 1>

X   1 X 

  ∓ ∓ r 

l 1>

a l l 

 U 

ξl 

 

 

4

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsu Sì suaì aì 9 ’ Ant ntrli rlios os,, os ospn pnio ioss vo voit itmrl mrlog ogss ot np nppg pgli lint ntlm lm`s `s gl gl`ì `ìnl nlro ross Antrlios

[eìmråao Koux antrlios ko  A ` ` ,p ()  sm`t ìqulvngo`tos sl, ot sougoao`t sl, oggos m`t go aæao rn`j.

↓   Xulss Xulssn`ios n`ios ko antrlios antrlios Go ingiug kos pulssn`ios suiiosslvos k“u`o antrlio pout s“oddoituor, pnr oxoapgo, • o` rìkuls rìkulsn`t n`t gn antrlio antrlio 2 •   o` utlglsn`t gn dmraugo ku cl`ûao ko @owtm`2 sl  N   ot ot ∅  quogim`quo, C imaauto`t  ngmrs,  ngmrs, pmur p   ∅

  p 

( N + C )p  1

p 

b  b 18

Koux antrlios sm`t ìqulvngo`tos sl ot sougoao`t sl m` pout pnssor ko g“u`o è g“nutro pnr u`o sìrlo k“mpìrntlm`s ìgìao`tnlros sur gos glj`os. Xrmpmsltlm` Yl rj( N ) 1 r , N  ost  ost ìqulvngo`to è  F r r   1

 N b C p ∓b 

• o` nyn`t roimurs è u` pmgy`ûao n``ugntour. n``ugntour.

↓   L`vorslm L`vorslm` ` ko antrlios antrlios Kì﬎`ltlm` _`o antrlio N  ∅ A ``  () ost l`vors l`vorslcg lcgoo sl ot sougoao sougoao`t `t s“lg oxlsto u`o antrlio C   ∅ ∅ A ``  () toggo quo 6

  L r r    8

8

.

8

↓   Antrlios Antrlios soacgncgos soacgncgos Ymlo`t  N , C  ∅  ∅ A ` ` (). Kì﬎`ltlm`  N   ot  ∅  JG ` () toggo ot  C  sm`t soacgncgos s“lg oxlsto  X  ∅ quo 6 C  1  1 X ∓> NX 

 N  NC  C   1 1 C N   1 1 L ``  

Lg sud﬎t o` dnlt quo  N C   1 1 L ``   pmur quo  C N   1 1 L ``  .  N  A ``  () ost l`vorslcgo

∅

 ⇘⇓  ⇘⇓ kot( N ) 1 8 ⇘⇓ rj( N ) 1 ` 

Xmur l`vorsor u`o antrlio, m` pout 6 •   rìsmukro go syståao gl`ìnlro nssmilì è g“nlko ku plvmt ko Jnuss Jnuss22 •  nppglquor gos mpìrntlm`s ìgìao`tnlros sur gn antrlio  fusqu“è mcto`lr g“lko`tltì g“lko`tltì22 • utlglsor utlglsor u` pmgy`ûa pmgy`ûaoo n``ugntour2 n``ugntour2 • ingiugor gn imantrlio.

↓  [rnio Yl N  ∅ A ``  (), [ [rr( N ) 1

` 



n b b .

 N  ot  ot  C   roprìso`to`t ngmrs go aæao o`kmamrpelsao kn`s

koux cnsos klddìro`tos. klddìro`tos.

Koux antrlios soacgncgos m`t aæao rn`j, aæao trnio, aæao kìtoral`n`t, aæao pmgy`ûao inrnitìrlstlquo km`i aæao vngours prmpros.

Yyståaos k“ì Yyståaos k“ìqunt quntlm`s lm`s gl`ìn gl`ìnlros lros M` im`slkåro go syståao k“ìquntlm`s gl`ìnlros 6

    

n >> x > + n >3 x 3 + . . . + n >p  x p  p   1 c > n 3> x > + n 33 x 3 + . . . + n 3p  x p  p   1 c 3

.. . n `  ` > x > + n `  ` 3 x 3 + . . . + n `p  `p  x p  p   1 c `  ` 

M` gul nssmilo N  1  1

b 1>

 N C ) 1 [r  [r(C N ). Gn trnio ost u`o dmrao gl`ìnlro g l`ìnlro sur  ot [r( NC  Gn tr trni nioo os ostt gn sm smaaokos aaokos vn vngo gour urss prmp prmpro ross im imap apgo goxo xoss ko N .

 N  ot  ot  N  m`t aæao rn`j ot aæao kìtoral`n`t (sl `   1 1 p ).

↓   Antrlios ìqulvngo`tos  ∅ A ` ,p (). Ymlo`t N , C  ∅

...

A ` ,p ().

n `  ` >   n `  ` 3   . . .   n `p  `p 

x >

.. .

c >

1

  ∅∅

 N   ot  C   sm`t kltos ìqulvngo`tos s“lg oxlsto X  JG p () ot ot ^  JG ` () toggos quo 6

.. .

.

c `  ` 

G“o`soacgo kos smgutlm`s ost u` smus-ospnio nd﬎`o. _` tog syståao nkaot km`i 8, > mu u`o l`﬎`ltì ko smgutlm`s. Gmrsqu“lg `“nkaot pns ko smgutlm`, m` klt qu“lg ost l`imapntlcgo. M` klt qu“lg ost ko Irnaor gmrsquo  `   1 1 p  ot  ot qu“lg p  nkaot u`o u`lquo smgutlm` ( x > , . . . , x p p ) ∅  . Xmur u` syståao ko Irnaor nvoi `  1  1 p  1  1 3,

Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Ant Antrlios rlios ìqul ìqulvngo vngo`tos `tos Kì﬎`

C   1 1 ^ ∓> NX 

 

x p  p 

[ 

 ∅  ∅

..   .. . .

Go syståao so rììirlt smus gn dmrao 6 N 

↓  [rn`spmsìo Yl N  ∅ A ` ,p (), N [  1 (n  f ,l )>l ` . > f p 

 ∅  

>>   n >3 >3   . . .   n >p  n >>

x > 1



c >   n >3 >3 33 c 3   n 33

n >> >>   c >

 

n >>   n >3 n 3>   n 33

ot   x 3 1



3>   c 3 n 3>

 

n >>   n >3 n 3>   n 33

Io sm`t gos  dmraugos ko Irnaor  (o`  (o` klao`slm` 3).  N``ìo 3838/383>

 

Dlieo eo 9 ’ An Antrl trlios ios,, osp ospnio nioss vo voit. it. ot npp nppgli glintl ntlm`s m`s gl` gl`ìnl ìnlros ros Dli

Ospnios Ospn ios voitm voitmrlogs rlogs O   kìslj`o kìsmranls u` -ospnio voitmrlog ot  D 

  ⊃⊃ O .

Kì﬎`ltlm` D   ost u` smus-ospnio voitmrlog ko O   ssl

  ∅

^uogquos oxoapgos ignsslquos k“ospnios voitmrlogs 6 , , ` 

 , R U Q,G“l`torsoitlm`  A ` ,p (),  (ko (),  oti. au`ls , )koux ,  ∐smus-ospnios kos gmls usuoggos. voitmrlogs ost u` smus-ospnio voitmrlog.

[eìmråao [eìmrå ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko gn cns cnsoo l` l`ima imapgå pgåto to Yl    ost u`o dnalggo glcro ko O , • m` pout pout ima imapgìto pgìtorr   o`  o` u`o cnso ko  O . • Inrk( )  ` 2 sl Inrk( ) 1 ` , i“ost u`o cnso ko O .

[eìmråao • rj      `  ot  ot rj      p . • rj  1 `  ssl  ssl gn dnalggo ost jì`ìrntrlio.   1 • rj    ssl gn dnalggo ost glcro.  1 p  ssl ( u > , . . . , u `  ` ) cnso ko  O 

↓   Dnalggo Dnalggo ko voitours voitours Ymlo`t u > , . . . , u ``  ∅   O .





  ` 

l 1>

ξl u l l  | (ξ> , . . . , ξ` ) ∅ ` 

I“ost go pgus potlt smus-ospnio voitmrlog ko O  im`to`n`t gos voitours u > , . . . , u ``  . Kì﬎`ltlm` Gn dnalggo dnalggo   (u > , . . . , u ` )  ost klto jì`ìrntrlio ko   D   sl D   1 Toit(u > , . . . , u ``  ). Nutroao`t klt,

 ` 

∈x  ∅  ∅ D ,   ∉(ξ>, . . . , ξ` ) ∅ ` ,   x   11 ↓ Oxlsto`io ko gn kìimapmsltlm`.

ξl  u l l 

l 1>

Kì﬎`ltlm` Gn dnalggo ( u > , . . . , u ``  ) ost klto glcro kn`s  D   sl 6



  ⇘⇓   rj(u >, . . . , u ` ` ) 1 `  ⇘⇓   kot(u >, . . . , u ` ` ) 1 8

↓   Ospnios Ospnios suppgìao` suppgìao`tnlr tnlros os ot smaaos smaaos klroitos klroitos D   ot J   kìslj`o`t koux smus-ospnios voitmrlo voitmrlogs gs ko O .

Kì﬎`ltlm` M` klt quo  D   ot J  sm`t suppgìao`tnlros kn`s  O   sl  ∬ J   1 {8O }. M` `mto ngmrs  O   1 D  ⊟  ⊟ J . O   1 D   + J   ot D  ∬ _` suppgìao`tnlro `“ost pns u`lquo. Snppog 6 kn`s u`  ⊟ D ⊯. ospnio ouiglklo` O , O   1 D  ⊟  ∬ J ) gmrsquo D   ot kla(D   + J ) 1 kla(D ) + kla(J ) ∓ kla(D  ∬ J   sm`t ko klao`slm` ﬎`lo. ﬎`lo. [eìmrå ao 6 Inr Inrnit nitìrl ìrlsnt sntlm` lm` o` kla kla.. ﬎`l ﬎`loo [eìmråao Yl O   ost u` ospnio ko klao`slm` ﬎`lo, ﬎`lo,  D   ot J  sm`t suppgìao`tnlros kn`s O   sl ot sougoao`t sl koux kos trmls nssortlm`s sulvn`tos sm`t vìrl﬎ìos 6

` 

∈(ξ>, . . . , ξ` ) ∅ 

` 

l 1>

 ∬ J   1 {8O } (l) O   1 D   + J    (ll) D  ∬

ξl u l   1 8 1⇓ ξ>  1 º º º 1 ξ`  1 8

↓ _`liltì ko gn kìimapmsltlm`.

_`o dnalggo ko koux voitours ost glcro gmrsqu“lgs `o sm`t pnsimgl`ì pnsimgl `ìnlr nlros os.. Iott Iottoo prmpr prmprlì lìtì tì os ostt dn dnuss ussoo kås kås qu“l qu“lgg y n pgus pgus ko koux voitours. _`o dnalggo l`﬎`lo ko voitours ko   O  ost glcro ssl tmuto smus-dnalggo ost glcro. Kì﬎`ltlm` •  _`o cnso ko O  ost u`o dnalggo glcro ot jì`ìrntrlio. •   _` ospnio ko klao`slm` ﬎`lo ost u` ospnio qul nkaot u`o dnalggo jì`ìrntrlio ﬎`lo. •   [mutos gos cnsos k“u` ospnio O  ko klao`slm` ﬎`lo m`t aæao inrkl`ng. M` g“nppoggo klao`slm` ko O . Ymlo`t kìsmranls   O  u` ospnio voitmrlog ko klao`slm`  8 ot    1 (u >, . . . , u pp  ) u`o u`o dnalggo ko voitours ko  O . `    1 [eìm ìmrå råao ao 6 [e [eìm ìmrå råao ao ko gn cn cnso so ox oxtr trnl nlto to [e Yl   ost  ost u`o dnalggo jì`ìrntrlio ko O , • m` pout oxtrnlro ko   u`o  u`o cnso ko O . • Inrk( )  ` 2 sl Inrk( ) 1 ` , i“ost u`o cnso ko  O .  N``ìo 3838/383>

:

Xnr kì﬎`ltlm`, rj    1 klaToit(u > , . . . , u p p ).

8O  D  ∈x , y  ∅  ∅ D , ∈β ∅ ,  β x   ++  y   ∅∅ D 

 Toit  Toit(u > , . . . , u ``  ) 1

 

(lll) kla(O ) 1 kla(D ) + kla(J )

 ⊟  ⊟ J  sl ot sougoao`t sl g“m` mctlo`t u`o cnso ko O 

O   1  D 

o` im`intì`n`t u`o cnso ko D  ot u`o cnso ko J . M` pnrgo ngmrs ko cnso nknptìo è gn smaao klroito. Kì﬎`lt `ltlm` lm` 6 Yma Ymaao ao klr klroit oitoo Kì﬎ sm`tt o` smaao smaao klroit klroitoo gmrsquo gmrsquo Gos ospnios ospnios D > , . . . , D p   sm` gn kìimapmsltlm` ko tmut voitour ko  D > + º º º + D p p  ost p 

u`lquo. M` gn `mto ngmrs

 l 1>

   D l l  

l 1>

⊟ººº⊟ D p p .

p 

  p 

M` n  kla

D l l  mu clo`  D >

kla(D l l ). Lg y n ìjngltì sl ot sougo-

l 1>

ao`t sl gos smus-ospnios sm`t o` smaao klroito.

[eì [eìmrå mråao ao 6 Inr Inrnit nitìrl ìrlsnt sntlm` lm` ko gn sma smaao ao klr klroit oitoo Gos smus-ospnios  D > , . . . , D p p  sm`t o` smaao klroito sl ot sougoao`t sl gn kìimapmsltlm` ku voitour `ug ost u`lquo. O   1 D >

⊟ººº⊟ D p   sl ot sougoao`t sl gn dnalggo mcto`uo pnr

im`intì`n im`int ì`ntlm` tlm`ko ko cnsos cnsos kos ospnio ospnioss D > , . . . , D p p  ost  ost u` u`oo cn cnso so ko O , nppogìo cnso nknptìo è gn smaao klroito.

 

 

5

Dlieo Dli eo 9 ’ An Antrl trlios ios,, osp ospnio nioss vo voit. it. ot npp nppgli glintl ntlm`s m`s gl` gl`ìnl ìnlros ros

↓  Eyporpgn`s Kì﬎` Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Eyp Eyporpgn orpgn` ` _`eyp _` eyporpg orpgn` n` ko O  ost   ost u` smus-osp smus-ospnio nio voitmr voitmrlog log ko O  nkaottn`t u`o krmlto imaao suppgìao`tnlro.  Nutroao`t klt, sl E   ost u` eyporpgn` ko O , lg oxlsto u   ∅ ∅ O   ⊟   ⊟ `m` `ug tog quo  O   1 E   Toit  Toit(u ). Ko pgus, E   ost u` eyporpgn` sl ot sougoao`t sl, • kla(E ) 1 `  ∓ > sl O  ost ko klao`slm` ` 2 •   E   1 Bor(ϟ ) mü ϟ ∅  (O , ) ost `m` `uggo.

Xrmpmsltlm` Xrmpmsltl m` 6 L`to L`torsoitl rsoitlm` m` ko p  eyporpgn`s  eyporpgn`s Yl O   ost ko klao`slm` ﬎`lo `  ot  ot p     ` , (l)   G“l`torsoitlm` G“l`torsoitlm` ko p  eyporpgn`s   eyporpgn`sko ko O  ostu`  ostu` sm smususospnio ko klao`slm` nu aml`s `  ∓ p . (ll)  [mut smus-ospnio ko klao`slm` `  ∓ p  ost  ost g“l`torsoitlm` ko p  eyporpgn`s  eyporpgn`s ko O .

 Nppglintlm`s gl`ìnlros

↓  Jì`ìrngltìs O   ot D   kìslj`o`t kos ospnios voitmrlogs sur sur .

Kì﬎`ltlm` M` klt quo  d    6 O  ↓  ↓ D   ost u`o nppglintlm` gl`ìnlro gl`ìnlro sl 6

∈ x , y  ∅  ∅ O , ∈β ∅ ,   d   ( βx   ++  y ) 1 β d   ( x ) + d   ( y ).  (O , D ) kìslj`o go -o.v. kos nppglintlm`s gl`ìnlros ko  O  kn`s D  . Yl O   ot D   sm`t ko klao`slm` ﬎`lo,

kla( (O , D )) 1 kla(O ) Ú kla(D ) •  _` o`kmamrpelsao ko  O   ost u`o nppglintlm` gl`ìnlro ko O  kn`s gul-aæao. •  _` lsmamrpelsao ost u`o nppglintlm` gl`ìnlro clfoitlvo. • _` nutmamrpelsao nutmamrpelsao ost u` o`kmamrpelsao clfoitld. clfoitld. •   kn`s _`o _`o dmrao dmra gl`ìnlroo ost u`o nppglin nppglintlm tlm` ` gl`ìnlr gl`ìnlroo è vng vngour ourss . o gl`ìnlr  d    kìslj`o kìsmranls u` ìgìao`t ìgìao`t ko

 (O , D ).

Kì﬎`ltlm`  ∅ O  | |  d    (( x ) 1 8D  } 1 d   ∓>({8D  }). • Bor( d   ) 1 { x  ∅ ∅ O }. • La( d   ) 1  d   ( O ) 1 { d   ( x ) | x   ∅ • Bor( d   )  ost u` s.o.v. ko O  ot La( d   )  u` s.o.v. ko D  . • Yl (o ll  )l ∅L  ost u`o cnso ko O , La( d   ) 1 Toit( d   ( o l l )). l ∅L  •   d    ost l`foitlvo ssl Bor d    1 {8O  }. •   d    ost sufoitlvo ssl La La d    1 D . Xnr kì﬎`ltlm`, rj d    1 klaLa d   .

[eì [eìmr mråao åao 6 [eì [eìmr mråao åao ku rn` rn`j  j  klao`slm` lm` ﬎`lo  ot ∅  (O , D ), Yl O  ost ko klao`s  ot  d    ∅ kla O   1 klaBor d    + rj d  

M` klspmso k“u`o dmrao vorslm` pgus dmrto ko io rìsugtnt, sn`s eypmteåso sur gos klao`slm`s 6

[eìmrå ao 6 Dm Dmrao rao jìm jìmaìt aìtrlq rlquo uo [eìmråao  ∅  (O , D ). Ymlo`t O  ot  ot D   kou kouxx ospnios ospniosvoi voitmrl tmrlogs ogs ot d   ∅ Yl Bor( d   )  pmssåko u` suppgìao`tnlro  L  kn`s   kn`s O , ngmrs  d  |L   ost u` lsmamrpelsao ko L  sur  sur La( d   ) . [eìmråao Ymlt  d    u` o`kmamrpelsao  ko  ko O   ko klao` klao`slm` slm` ﬎`lo .  d    l`foitlvo

⇘⇓ d    sufoitlvo ⇘⇓ d    clfoitlvo

[eìmråao  ∅  (O , D ).  d    ost u` lsmamrpelsao sl ot sougoYmlt  d   ∅ ao`t sl g“lanjo k“u`o cnso (ko tmuto cnso) ko  O   ost u`o cnso ko D  .

↓   DDmra mraugo ugoss ko pnssnj pnssnjoo ot ien`jo ien`joao` ao`tt ko cnso(s cnso(s)) M` suppmso O   ko klao`slm` ﬎`lo. ﬎`lo. Ymlo`t   ot   koux   ∅ JG ` () gn antrlio ko pnssnjo ko cnsos ko O . M` `mto X  ∅   è   (sos imgm``os roprìso`to`t gos immrkm``ìos kos voitours ko   kn`s gn cnso  ). [eì [eìmrå mråao ao 6 Dm Dmrau raugos gos ko pns pnssnj snjoo  ∅  O . M` `mto U  (rosp.  U  ) go voitour immr•   Ymlt  x  ∅ km``ìos ko x  kn`s gn cnso   (rosp.   ).  U   1 X U    i-è-k   U   1 X ∓> U 

 ∅  (O ). M` `mto A  (rosp. •   Ymlt  d   ∅   (rosp. A  ) gn antrlio ko  d   kn`s   kn`s gn cnso   (rosp.   ). A   1 X ∓> A X 

@o pns mucglor quo pmur kìtoral`or  U  o` dm`itlm` ko  U  , m` km kmlt lt l`vo l`vors rsor or u` systå syståao ao.. K“mü K“mü gn pr prìs ìso` o`io io ko X ∓> kn`s gn dmraugo U  1 X ∓> U . Xgus jì`ìrngoao`t, smlt  d   ∅  ∅  (O , D ). M` im`slkåro koux   cnsos    ot    ko   O  ot koux cnsos     ot     ko   D . M` ↓   ^   1  X  ↓   nl`sl quo  A   1  Ant  , ( d   )  X   1  X ↓ pmso 6 ot A   1 Ant  ,  (, d   ) . M` n ngmrs A  1 ^ ∓> A X 

↓   O`kmamrpelsaos l`kults Kì﬎`ltlm` Ymlt   D  u` smus-ospnio voitmrlog ko   O  stncgo pnr  d   ∅  (O ), i-è-k  d    (( D ) ⊃ D .  d  |D  ost ngmrs u` o`kmamrpelsao ko D  nppogì o`kmamrpelsao l`kult. Yl (o > , . . . , o p p ) ost u`o cnso ko  D  quo g“m` imapgåto o` u`o cnso (o > , . . . , o `  ` ) ko O  , m` n ngmrs 6 Ant d  |D    8

Ant( d   ) 1

Ú

.

  Úpnr  d   , m` nurn kn`s Yl O   1 D  ⊟  ⊟ J  ot sl D   ot J  sm`t  sm`t stncgos u`o cnso nknptìo  6 6









Ant d  |D    8 Ant( d   ) 1 . 8 Ant d  |J   N``ìo 3838/383>

 

Dlieo eo 9 ’ An Antrl trlios ios,, osp ospnio nioss vo voit. it. ot npp nppgli glintl ntlm`s m`s gl` gl`ìnl ìnlros ros Dli

↓   Xrmfoi Xrmfoitlm` tlm`ss ot syaìtrlos syaìtrlos voitmrlogg voitmrloggos os Kì﬎`ltlm`  ⊟ J . Yl x  ∅  ∅ O , lg oxlsto u` u`lquo imupgo Ymlt O   1 D  ⊟  Ú J  tog   tog quo x   1 x > + x 3 . ( x > , x 3 ) ∅ D  Ú •   M` nppoggoprmfo nppoggoprmfoitl itlm` m` sur D  pnrnggågoao`tè   pnrnggågoao`tè J  g“np  g“nppglintlm` gl`ìnlro p  vìrl﬎n`t  vìrl﬎n`t 6

∈x  ∅  ∅ O ,  p (x ) 1 x >. •   M` nppo nppoggo ggo syaìtrl syaìtrloo pnr rnppmrt rnppmrtèè D  pnrnggågoao`t   pnrnggågoao`t è J  g“nppglintlm`  g“nppglintlm` gl`ìnlro s  vìrl﬎n`t  vìrl﬎n`t 6

∈x  ∅  ∅ O ,   s (x ) 1 x > ∓ x 3. J 

J  x 

     )     x      (      p 

x     x

 3

   ∓

   x    1  3    x

   x

 3

D 

x >

   ∓

D 

x >  1 p ( x )

s ( x )

[eìmråao 6 Inrn [eìmråao Inrnitìrls itìrlsntlm` ntlm`  ∅  (O ). Ymlo`t p , s  ∅  •   p  ost  ost u`o prmfoitlm` voitmrloggo sur La sur  La p  pnrnggågo  pnrnggågoao`t è Bor p  sl  sl ot sougoao`t sl p  ◤ p   1 1 p . M`nngmrs O   1 La(p )⊟Bor(p ) ot La p   1 1 Bor(p ∓ lkO  ). ∓ •   s   ost u`o syaìtrlo voitmrloggo pnr rnppmrt Bor rnppmrt Bor(s   ∓ lkO  ) pnrnggågoao`t è Bor è Bor(s   + + lkO  ) sl ot sougoao`t sl s ◤ s   1 1 lkO  .M`nngmrs O   1 Bor(s ∓ lkO  ) ⊟ Bor(s + lkO  ). Kn`s u`o cnso nknptìo, gos antrlios ko p  ot  ot  s  sm`t  sm`t 6

 

 

L r    8

Ant (p ) 1 8

L    8   ot Ant (s ) 1 r  8 8   L ``  ∓r 

p  ost  ost klnjm`nglsncgo ot • klaLa p   1 1 [r(p ) 1 r , klaBor p   1 1 `  r   22

∓

 ∓ >)r  U ` ∓r  ot ψp  1  U ( U   ∓∓ >) sl p  ∅/ {8 (O ), lkO }. •   ϊp   1 ( U  ∓ s  ost  ost klnjm`nglsncgo ot

 ∓ lkO  ) 1 r , klaBor(s   ++ lkO  ) 1 `  ∓ r   22 • klaBor(s  ∓ •   ϊs  1 ( U  ∓ >)r ( U   +  ¾lkO . + >)` ∓r  ot ψs  1 ( U   + + >)( U  ∓ >) sl s    1 Yl O   1 O > ⊟ººº⊟ O ``  , tmut voitour  x   ko O  so kìimapmso ko dnêm` u`lquo smus gn dmrao  x   1  x > + º º º + x `   mü  x l  ∅  O l .  ∅ >, `  , p l l   g“nppglintlm` kì﬎`lo sur @mtm`s ngmrs, pmur  l  ∅ O   pnr p ll  ( x ) 1 x ll  .

 

[eìmråao  ∅ >, `  , p ll   ost gn prmfoitlm` voitmrloggo Xmur tmut l  ∅ ` 

 

sur O ll   pnrnggågoao`t è

b 1> b 1l 

b . Ko pgus, O b 



p > +

º º º + p ``   1 lkO   

 N``ìo 3838/383>

ot

  ∈l   1  f

p l l  p   f f  1 8 (O )

 ◤

 

<

 

 

>8

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsu Sì suaì aì ; ’ Kì Kìto tora ral` l`n` n`tt Kìtora Kìt oral`n l`n`t `t k“ k“u`o u`o ant antrlio rlio inr inrrì rìoo Kì﬎`ltlm` Ymlt N  ∅ A ``  (). M` nppoggo kìtoral`n`t ko N  go  go singnlro 6 `  kot( N ) 1

 (ω) ω∅Y ` 

n ω(l ),l 

  l  l 1>

 (ω) kìslj`o gn slj`nturo ko gn porautntlm`  ω  ko >, `  . [muto porautntlm` ω s“ s“ìir ìirlt lt imaao imaao imapmsì imapmsìoo ko trn trn`spm `spm-sltlm`s. Gn pnrltì ku `macro ko trn`spmsltlm`s ost quoggo quo smlt gn kìimapmsltlm` ﬎xo, ﬎xo. Y“lg ost pnlr (rosp. lapnlr),  (ω) pro`k gn vngour  +> (rosp. ∓>).

  

kot( N ) ost u` pmgy`ûao o` gos imod﬎ilo`ts ko gn antrlio.

[eìmråao  ∅ A ``  () ot β ∅ . Ymlo`t N , C  ∅ (l)   Gokìtoral`n`tost ` -gl`ìnlropnrrnppmrtnux  -gl`ìnlropnrrnppmrtnux  imgm``os. O` pnrtliuglor pnrt liuglor,, kot (β N ) 1 β`  N . (ll) kot( N  NC  C ) 1 kot( N ) kot(C ).  ∅   JG ` ()  sl, otÚsougoao`t sl,  kot( N ) 1   8. (lll)   N  ∅ > . Kn`s io ins, kot( N ∓> ) 1 kot( N ) (lv) kot( N [  ) 1 kot( N ). (v) Yl N   ot ot  C  sm`t  sm`t soacgncgos, kot( N ) 1 kot(C ).

Kì﬎ Kì﬎`lt `ltlm` lm` 6 Al Al`ou `ours rs ot imd imdnit nitour ourss Ymlt N  1  1 (n l l , f ) ∅ A `  ` (). M` `mto  N l  l , f  gn antrlio mctoåao åao `uo o` ûtn`t gn l  glj`o ot gn   f  imgm``o ko N . M` nppoggo ngmrs 6 • al`ou al`ourr rogntld rogntld è n l l , f   go singnlro kot( N l l , f ). • imdnitour ko n l l , f  go singnlro ( >)l + f  kot( N l l , f ). ∓ imdnitours ko  N . • imantrlio ko N  gn  gn antrlio kos   ˗. Gn imantrlio ost smuvo`t `mtìo Ima( N ) mu  N  [eìmr [eìmråao åao 6 Kìvo Kìvogmpp gmppoao` oao`tt ` 

 ∅ >, `    kot( N ) 1 •   ∈l  ∅

    ∈  ∅  ∅  

•  f 

 

 N >   

 N   1 1

..

 ∅  ÚºººÚ   

.     mü  N > A pp >  (), . . . , N rr   ∅ A pp r    ()

O` jì`ìrng, kot

 N I

kot( N rr  )  .

C  1 kot( N ) kot(K ) K 

∓ kot(C ) kot(I ).

Xmur ingiugor iortnl`s kìtoral`n`ts, m` pmurrn mpìror sur gos glj`os ot gos imgm``os pmur dnlro nppnrnàtro kos kìtoral`n`ts ko antrlios klnjm`ngos mu trln`jugnlros (ìvo`tuoggoao`t pnr cgmis). Oddots kos mpìrntlm`s ku plvmt 6 •   I ll  ↛ I   f f  6 m` augtlpglo go kìtoral`n`t pnr ∓>.   •   I l  ↘ βI l  6 m` augtlpglo go kìtoral`n`t pnr β. β f I  f   6 go kìtoral`n`t rosto lko`tlquo.

•   I l  ↘ I l  +



 _`o nutro pmsslclgltì pmur ingiugor u` kìtoral`n`t im`slsto è go kìvogmppor pnr rnppmrt è u`o ko sos glj`os mu u`o ko sos imgm``os.   f  f 1l 

>)l + f  kot( N l l , f )n l l , f 

(

>)l + f  kot( N l , f ) n l , f 

 f 1>

l 1>

imdnitour

[eìmrå ao 6 L`v L`vors orslm` lm` pnr gn ima imantrl ntrlio io [eìmråao Ymlt  N  A `  ` (). Ngmrs,

∅

 N  Ima( N )[  1 Ima( N )[   N  1  1 kot( N ) L `  ` 

Ú

Ú

O` pnrtliuglor, sl N  ∅ JG ` (), N ∓> 1

 

n Yl n k  c i  1 8, ngmrs i

c  k 

∓>

1

> Ima( N )[  . kot( N )

  ∓

  >

 k  i n k  c i 

c  . n 

∓

 ∓  ∓

Kìtora l`n`t `t k“ k“u`o u`o dna dnalgg lggoo ko voi voitou tours rs Kìtoral`n O  kìslj`o  kìslj`o u` -ospnio voitmrlog ko kla. ﬎`lo `  √ .

 ∅  ∅

Kì﬎`ltlm` Go kìtoral`n`t k“u`o dnalggo    ko ko  `  voitours  voitours ko O  kn`s u`o cnso (quogim`quo)   ko  O   ost go kìtoral`n`t ko sn antrlio roprìso`tntlvo. @mtntlm` 6 kot 6 kot  ( ).

 N r 

 Ngmrs, kot( N ) 1 kot( N > )

(

` 

>, `    kot( N ) 1

 ∓  ∓   

[eìmråao [eìmr åao 6 Kì Kìtora toral`n l`n`t `t trln trln`ju `jugnl gnlro ro pnr cgm cgmis is Ymlt N u`o antrlio antrlio trln`jugnlro trln`jugnlro pnr cgmis, cgmis, i“ost-è-klr i“ost-è-klroo ko gn dmrao 6

∓  ∓   

Xmuru`o cn cnso so  ko O , kot  ost g“u g“u`lq `lquo uo dmrao dmrao ` -gl`ìnlro -gl`ìnlro ngtor`ìo sur O  vìrl﬎n`t kot( ) 1 >. 

[eì [eìmrå mråao ao 6 Cns Cnsos os ot kìt kìtora oral` l`n`t n`t `   Ymlo`t    1 1 (u > , . . . , u `  ` ) ∅ O  ot  ,   koux cnsos. •   Dm Dmra raug ugoo ko ie ien` n`jo joao ao`t `t ko cnso  cnso  kot(º) 1 kot(  ) Ú kot (º)    •   Inrni Inrnitìrlsn tìrlsntlm` tlm` k“u`o cnso  ( u > , . . . , u `  ` )  glcro

  ⇘⇓   (u >, . . . , u ` ` )  cnso ko O   (u > , . . . , u ` ) 1 8 ⇘⇓   kot

> . Kn`s io ins, kot( ) 1   kot( )   N``ìo 3838/383>

 

Dlieo eo ; ’ Kìt Kìtora oral`n l`n`t `t Dli

Kìtoral`n` Kìtora l`n`tt k“u k“u` ` o`kma o`kmamrpel mrpelsao sao Kì﬎`ltlm` Ymlt   d    ∅  (O ).  kot(Ant ( d   ))  `o kìpo`k pns ko gn cnso   iemlslo. M` g“nppoggo kìtoral`n`t ko g“o`kmamrpelsao  d    ot m` go `mto kot kot( d   ) .

[eìmråao  ∅  (O ) ot β ∅ . Ymlo`t  d   , j  ∅ (l) kot(lkO  ) 1 > ot kot(β d   ) 1 β`  kot( d   ) . (ll) kot( d   ◤ j ) 1 kot( d   ) Ú kot(j ). (lll)   d    ∅   JG (O )  sl, ot sougoao`t sl,   kot( d   )  1   8.   > . Kn`s io ins, kot( d   ∓> ) 1 kot( d   )

Xmur ingiugor go kìtoral`n`t k“u` o`kmamrpelsao, m` so rnaå`orn ko dnêm` qunsl-systìantlquo è u` ingiug ko kìtoral`n`t antrlilog.

Mrl Mrlo`t o`tntl ntlm` m` ko g“ g“osp ospnio nio,, pr prmku mkult lt voi voitmr tmrlog log Ymlo`t   ot   koux cnsos mrtem`mrangos ko  O . X ↓ ↓   ost mrtemjm`ngo km`i kot X   1 ¾>.

Kìklt Kì﬎`l ﬎`ltlm tlm` `6 Mrl Mrlo`t o`tntl ntlm` m` ko g“ g“osp ospnio nio mrlo`tntlm`  kì﬎`lsso`t M` quo  ot  gn aæao sl ot sougoao`t sl kot X ↓ ↓   1 >. Mrlo`tor g“ospnio im`slsto è iemlslr nrcltrnlroao`t u`o cnso mrtem`mrango ko O  . [mutos ioggos qul kì﬎`lsso`t gn aæao mrlo`tntlm` sorm`t kltos klroitos. Gos nutros l`klroitos. Xnr im`vo`tlm`, gos cnsos mrtem`mrangos klroitos ko 9 sm`tt ioggo sm` ioggoss qul qul rospo rospoit ito` o`tt gn rå råjgo jgo kos kos tr trmls mls km kmlj ljts ts (mu (mu rå råjgo jgo ku tlro-cmuiem`). M` au`lt 9 ku prmkult singnlro usuog.

[eìmråao [eìmr åao 6 Xrm Xrmprl prlìtì ìtìss ku prm prmkul kultt voi voitmrl tmrlog og Ymlo`t x , y   ot z  trmls  trmls voitours ko 9 .

 ∪ y |z ) 1 R x , y , z Q. >.   ( x  ∪ ∪ y ) 3.   Yl  x   ot  y  `o sm`t pns imgl`ìnlros,  ( x , y , x   ∪ ost u`o cnso klroito ko 9 . 9.   Yl ( x , y ) ost mrtem`mraìo, ( x , y , x   ∪ ∪ y ) ost u`o 9 cnso mrtem`mraìo klroito ko  . ;. Lko`tltì ko Gnjrn`jo 6 y )3 + x   y  3 1 x  3  y  3 ( x    y 

|

   ∪∪     

?. Kmucgo prmkult prmkult voitmrlog voitmrlog 6

 ∪  ∪  ∪  ∪

|   ∓∓ (x | y   y )z 

x  ( y  z ) 1 ( x  z ) y 

 N``ìo 3838/383>

 

>>

 

 

>3

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsua Sì suaìì ? ’ Sì Sìkui kuitlm tlm` ` k“ k“o`k o`kmam mamrpe rpelsa lsaos os Ìgìao`ts Ìgìao` ts prmp prmpros ros

Xmgy`ûaos Xmgy`ûa os k“o k“o`kmam `kmamrpel rpelsaos saos ot ko antrl antrlios ios

 ∅  (O ) mü O  kìslj`o u` -ospnio voitmrlog. Ymlt  u  ∅ 

↓   Ngjåcro Ngjåcro imaautntl imaautntlvo vo Ru Q  ∅  (O ) (mu A  ∅  ∅ A ` ` ()), m` kì﬎`lt 6 Xmur u  ∅   ∅ R U Q} 1 Toit  Toit(u ` ) Ru Q 1 {X (u ) | X  ∅ ` ∅

↓  Jì`ìrngltìs Kì﬎`ltlm` •   M`kltquo β ∅  ostu`ovngourprmproko u  nssmilì   nssmilì  ∅ O   sl 6 nu voitour prmpro x  ∅ u ( x ) 1 β x   nvoi   x  1 8O 

  

M` nppoggo spoitro ko   u  ot m` `mto   Yp(u )  g“o`soacgo kos vngours prmpros ko  u . •   M` nppoggo nppoggo smus-os smus-ospni pnioo prmpronssmil prmpronssmilìì è β g“ospnio voitmrlog O β (u ) 1 Bor(u  ∓ βlkO  ). [eìmråao •  Gos smus-ospnios prmpros nssmilìs è kos vngours prmpros klstl`itos sm`t o` smaao klroito. •   vngours [muto dnalggo koklstl`itos voitours ost prmpros prmpros glcro.nssmilìs è kos

(Ru Q, +,

◤, º) pmssåko u`o struituro k“ngjåcro imaautntlvo. G“nppglintlm` X   ↓ X (u ) kì﬎`lt u` amrpelsao k“ngjåcros ko R U Q kn`s  (O ) 2 sm` lanjo ost Ru Q. Yl O   ost ko klao`slm` ﬎`lo ﬎`lo,, Ru Q ⊃  (O ) g“ost nussl. Xrmpmsltlm`  ∅ R U Q, gos smus-ospnios La(X (u )))) ot Bor(X (u )))) Yl X  ∅ sm`t stncgos pnr  u .

↓   Xmgy`ûao Xmgy`ûaoss n``ugntou n``ugntours rs ot pmgy`ûao pmgy`ûao al`lang al`lang Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Xmg Xmgy`ûa y`ûaoo n``u n``ugntou gntourr Kì﬎`  ∅  (O ) ot X  ∅  ∅ R U Q. X  ost Ymlo`t u  ∅   ost nppogì nppogì pmgy`ûa pmgy`ûaoo n``ugntour ko u  sl  sl X (u ) 1 8 (O ) .

 ∅ A ` (). Gn kì﬎`ltlm` ost lko`tlquo pmur u`o antrlio A  ∅ ↓   Xmgy`ûao inrnitìrlstlquo

O` klao`slm` ﬎`lo, lg oxlsto tmufmurs u` pmgy`ûao n``ugntour `m` trlvlng (km`i u`o l`﬎`ltì).

M` suppmso kìsmranls O  ko klao`slm` ﬎`lo ` .

Yl X   ot ^  n``ugo`t   n``ugo`t u , pjik(X , ^ ) n``ugo u  (Cìzmut).  (Cìzmut).

Kì﬎`ltlm` M` nppoggo pmgy`ûao inrnitìrlstlquo ko  u  go pmgy`ûao ϊu  1 kot( U lkO  ∓ u ). [eìmråao •  Gos vngours prmpros ko  u  sm`t  sm`t oxnitoao`t gos rnil`os ko ϊu . •   ϊu  1  U `  ∓ [r(u ) U ` ∓> + º º º + (∓>)`  kot(u ). •   Gn smaao kos vngours prmpros prmpros (imapgoxos) vnut [r(u ) ot gour prmkult kot(u ).

Yl  O  ost u`   -ospnio voitmrlog,  u  nkaot oxnitoao`t  `  vngours prmpros imaptìos nvoi gour mrkro ko augtlpgliltì. Gmrsquo  O  ost u`   -ospnio voitmrlog, oggo o` nkaot nu pgus ` . Yl D  ost stncgo pnr u , go pmgy`ûao inrnitìrlstlquo ϊu |D   ko g“o`kmamrpelsao l`kult klvlso ϊu . [eìmråao Ymlt β Yp(u ) k“mrkro ko augtlpgliltì a (β).

∅

[eìmråao / Kì﬎` Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Xmg Xmgy`ûa y`ûaoo al`l al`lang ang  ∅  (O ) ost `m` `ug ot  O  ko klao`slm` ﬎`lo, lg Yl u  ∅ oxlsto u` u`lquo pmgy`ûao u`ltnlro qul klvlso tmus gos pmgy`ûaos n``ugntours ko  u . Io pmgy`ûao ost nppogì pmgy`ûao al`lang ko  u  ot  ot m` go `mto ψu . _` o`kmamrpelsao klao`slm` l`﬎`lo `“nkaot pns tmufmurs ko pmgy`ûaoo` al`lang. Xrmpmsltlm` Koux antrlios soacgncgos m`t aæao pmgy`ûao al`lang. Xrmpmsltlm` Yl k  ost  ost go kojrì ku pmgy`ûao al`lang ko  u , ngmrs gn dnalggo ( u b )8b k ∓> ost u`o cnso ko Ru Q. O` pnrtliuglor, kla(Ru Q) Q) 1 koj(ψu ).

Xrmpmsltlm` Ymlt D   u` smu smus-o s-ospni spnioo stn stncgo cgo pnr u  `m`  `m` rì rìku kult lt è {8O  }.

>  kla(Bor(u  ∓ βlkO  ))  a (β)

 Ngmrs, go pmgy`ûao al`lang ko g“o`kmamrpelsao l`kult u |D  klvlso iogul ko u .

Yl β ost vngour prmpro slapgo, ngmrs Bor ngmrs Bor(u  ∓ βlkO  ) ost u`o krmlto voitmrloggo.

Iogn dmur`lt u` nrjuao`t utlgo ko klnjm`nglsnclgltì pmur u` o`kmamrpelsao l`kult.  N``ìo 3838/383>

 

Dlieoo ? ’ Sìku Sìkuitlm` itlm` k“o` k“o`kmam kmamrpels rpelsaos aos Dlie

↓   Xmgy`ûa Xmgy`ûaos os n``ugntou n``ugntours rs ot vngours vngours prmpros prmpros [eìmråao Yl X  n``ugo   n``ugo u , tmuto vngour prmpro ko  u  ost  ost rnil`o ko X . Yl u ( x ) 1 β x , ngmrs X ( u )( x ) 1 X (β) x .

 

>9

[eìmråao [eìmrå ao 6 I@Y ko kln klnjm` jm`ngl nglsnc snclgl lgltì tì Gos nssortlm`s sulvn`tos sm`t ìqulvngo`tos. (l)   u  ost  ost klnjm`nglsncgo (ll)   O   1 O β β∅Yp( u )





kla(O β )

 Ntto`tlm`, g“o`soacgo kos rnil`os k“u` pmgy`ûao n``ugnn``ugn tour im`tlo`t gos vngours prmpros anls `“ost pns ìjng, o` jì`ìrng, nu spoitro ko u .

(lll) kla(O ) 1

↓   [eìmråao [eìmråao ko Inygoy-E Inygoy-Enalg nalgtm` tm`

n``ugn`t u .  ost sil`kì è rnil`os (vl)  go pmgy`ûao al`lang ko  u  ost slapgos.

β∅Yp(u )

(lv)   ϊu  ost sil`kì ot, ∈β ∅ Yp(u ), kla O β 1 a (β) (v)   lg oxlsto u` pmgy`ûao sil`kì è rnil`os slapgos

[eìmråao [eìmråao råao ko Inygo Inygoy-E y-Enalg nalgtm` tm` [eìmråao 6 [eìm Go pmgy`ûao inrnitìrlstlquo k“u` o`kmamrpelsao o` klao`slm` ﬎`lo (mu k“u`o antrlio) ost u` pmgy`ûao n``ugntour. Nutroao`t klt, sl  O  ost ko klao`slm` ﬎`lo,

_`o antrlio ost klnjm`nglsncgo sl, ot sougoao`t sl, oggo ost n``ugìo pnr u` pmgy`ûao sil`kì è rnil`os slapgos.

∈u  ∅   ∅  (O ),   ϊu (u ) 1 8  O 

Xmur quo u  smlt  smlt klnjm`nglsncgo, ψu  `o kmlt pns im`to`lr  ∓ β)ξ nvoi ξ 0 >. ko dnitour ko gn dmrao ( U  ∓

Go pmgy`ûao al`lang k“u` o`kmamrpelsao klvlso nl`sl go pmgy`ûao inrnitìrlstlquo. Go kojrì ku pmgy`ûao al`lang ost km`i l`dìrlour mu ìjng è kla(O ).

[eì [eìmrå mråao ao 6 IY ko kln klnjm` jm`ngl nglsnc snclgl lgltì tì (>) Yl ϊu  ost sil`kì ot `“nkaot quo kos rnil`os slapgos ngmrs u  ost  ost klnjm`nglsncgo.

( )

[eìmråao Gos rnil`os ku pmgy`ûao al`lang ko  u  sm`t  sm`t oxnitoao`t sos vngours prmpros.

Xrmpmsltlm` _`oo antrlio _` antrlio ko A ``  () ost `lgpmto `lgpmto`to `to sl, ot sougoao sougoao`t `t `  sl, sm` pmgy`ûao inrnitìrlstlquo ost U  .

[eìmrå ao 6 IY ko kln klnjm` jm`ngl nglsnc snclgl lgltì tì (3) [eìmråao •  [mut o`kmamrpelsao syaìtrlquo k“u` ospnio ouiglklo` ost klnjm`nglsncgo è g“nlko k“u`o cnso mrtem`mrango ko voitours prmpros. •   [muto antrlio antrlio syaìtrlquo syaìtrlquo rìoggo rìoggo ost klnjm`nglsncgo klnjm`nglsncgo nu amyo` k“u`o antrlio mrtemjm`ngo. Xgn` ko klnjm`nglsntlm` (è g“nlko ko ϊu ) 6

↓  Goaa  Goaaoo kos `mynu `mynux  x  [eìmr åao 6 Goa Goaao ao kos `m `mynu ynux  x  [eìmråao Yl   X > , . . . , X rr   sm`t kos pmgy`ûaos koux è koux proalors o`tro oux ko prmkult ìjng è X , ngmrs 6 Bor (X (u )) )) 1

 r 

Bor (X l l (u )) ))

l 1>

 r 

O` pnrtliuglor, sl X  n``ugo   n``ugo u , O   1

Bor (X l l (u )).

l 1>

O   ost ngmrs gn smaao ko smus-ospnios stncgos pnr u .

• Ìtuko ko gn klnjm`nglsnclgltì klnjm`nglsnclgltì ko u . ’ M` kìtor kìtoral`o al`o ϊu . ’ Yl ϊu  `“ost pns sil`kì, u   `“ost pns klnjm`nglsncgo. ’ Yl ϊu  ost sil`kì, m` imapnro kla O β ot a (β). • Klnjm`nglsn Klnjm`nglsntlm` tlm` ko ko u  gmrsquo  gmrsquo i“ost pmsslcgo. M` kìtoral`o u`o cnso ko  O β pmur tmut β Yp(u ) o` rì∅ gos cnsos  ot m` im`intå`o smgvn`t g“ìquntlm` u ( x ) 1 β x  ot mcto`uos.

Imrmggnlro Yl u  ost  ost klnjm`nglsncgo, ngmrs pmur tmut smus-ospnio voitmrlog D  `m` rìkult è {8O } ot stncgo pnr u , g“o`kmamrpelsao l`kult pnr u  sur  sur  D  ost klnjm`nglsncgo.

Klnjm`nglsntlm` Kì﬎`ltlm` •  _` o`kmamrpelsao  d    ko O   ost klt klnjm`nglsncgo s“lg oxlsto u`o cnso ko O  kn`s gnquoggo sn antrlio ost klnjm`ngo. •   _`o antrlio ost klto klto klnjm`nglsncgo sl oggo ost soacgncgo è u`o antrlio klnjm`ngo.

_` o`kmramrpelsao ost klnjm`nglsncgo sl ot sougoao`t s“lg oxlsto u`o cnso ko voitours prmpros ko  d   . . Kn`s iotto cnso, gn antrlio ko  d   ost   ost klnjm`ngo.  N``ìo 3838/383>

[rljm`nglsntlm` Kì﬎`ltlm` Kì﬎`ltlm ` 6 [rljm` rljm`nglsn nglsnclglt clgltìì •  _` o`kmamrpelsao u  ko  ko  O   ost klt trljm`nglsncgo s“lg oxlsto u`o cnso ko O  kn`s gnquoggo gn antrlio ko u  ost  ost trln`jugnlro supìrlouro. supìrlouro. •   _`o antrlio ost klto trljm`nglsncgo sl oggo ost soacgncgo è u`o antrlio trln`jugnlro supìrlouro.

 

 

>;

Dlieoo ? ’ Sìku Dlie Sìkuitlm` itlm` k“o` k“o`kmam kmamrpels rpelsaos aos

[eìmråao [eìmr åao 6 I@Y ko trl trljm` jm`ngl nglsnc sncglt gltìì Gos nssortlm`s sulvn`tos sm`t ìqulvngo`tos. (l)   u  ost  ost trljm`nglsncgo. (ll) Ym` pmgy`ûao inrnitìrlstlquo ost sil`kì. (lll) Ym` pmgy`ûao pmgy`ûao al`lang ost sil`kì (lv)   u  ost  ost n``ugì pnr p nr u` pmgy`ûao sil`kì. [muto antrlio ost km`i trljm`nglsncgo kn`s A ``  (). M` n [   1 X ∓> A X  nvoi   nvoi [   u`o antrlio trln`jugnlro supìrlouro supìrlouro km`t gn klnjm`ngo ost im`stltuìo pnr gos vngours prmpros ko A . Gmrsquo `   1 3 mu  `   1 9, m` ieorieorn jì`ìrngoao`t  [  smus gn dmrao 6

   β>   > 8   β3

β>

  mu

 Ú Ú

8   β3   > 8 8   β9

 

[eìmråao  ∅ A ``  (). Y“lg oxlsto u` pmgy`ûao sil`kì n`Ymlt A  ∅ `ugn`t A , ngmrs A  ost soacgncgo è u`o antrlio klnjm`ngo pnr cgmis trln`jugnlros trln`jugnlrossupìrlo supìrlours. urs. Nutroao`t Nutroao`t klt, è u`o antrlio ko gn dmrao 6



[ >

..

. [ rr  



βl 

  nvoi   [ l l  1

βl 

 N``ìo 3838/383>

 

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

>?

Sìsu Sì suaì aì 4 ’ Os Ospn pnio ioss pr prìe ìelg lgco cort rtlo lo`s `s rì rìog ogss Xrmkult Xrm kult singn singnlro lro

Mrtemjm`ngltì

O  kìslj`o  kìslj`o u` -ospnio voitmrlog.

↓   Dnalggos mrtem`mrangos  ∅ O . Ymlo`t  x , y  ∅

Kì﬎`ltlm` M` nppoggo prmkult singnlro sur  O   tmuto nppglintlm` nppglintlm` ϟ 6 O  O   toggo quo 6  Ú u`o  ↓ dmrao clgl`ìnlro 6 •   ϟ ost  ∅ O   ot β ∅ , Xmur tmus  x > , x 3 , y  ∅ ϟ (β x > + x 3 , y ) 1 βϟ ( x > , y ) + ϟ ( x 3 , y )

|

x  ot y ) 1 8.  ot  y  sm`t klts mrtemjm`nux sl  ( x    y 

Go voitour `ug ost go soug voitour mrtemjm`ng è tmus gos nutros. [eìmr [eìmråao åao 6 Xytenjm Xytenjmro ro

Xmur tmus  x , y > , y 3 ∅ O   ot β ∅ ,

x  + y ) 1 8.  +  y 3 1  x 3 +  y 3 ⇘⇓ ( x |  y 

ϟ ( x , β y > + y 3 ) 1 βϟ ( x , y > ) + ϟ ( x , y 3 )

∅ O ,  ϟ (x , y ) 1 ϟ( y , x ). •   ϟ ost syaìtrlquo 6   ∈ x , y   ∅ •   ϟ ost kì﬎`lo pmsltlvo 6 ∈x  ∅  ∅ O ,  ϟ (x , x )  8

Kì﬎`ltlm`

ot   ϟ ( x , x ) 1 8 ⇘⇓ x   1 1 8O 

Kì﬎`ltlm ` 6 Dna Dnalggos lggos mrtem mrtemjm`ng jm`ngos os ot mrtem` mrtem`mrang mrangos os Kì﬎`ltlm` Ymlt  L   u` o`soacgo k“l`klio k“l`klioss ﬎`l mu l`﬎`l. •  _`o dnalggo ko voitours  (o l l )l ∅L   ko O  ost klto mrtemjm`ngo sl 6

(O , ϟ ) ost ngmrs nppogì n ppogì ospnio prìelgcortlo` rìog. ouiglklo`. Yl kla O   7 + , O   ost qungl﬎ì k“ospnio ouiglklo`.

∈(l , f ) ∅ L 3,   l   1  f   1⇓ (o l l |o  f  f ) 1 8.

∐

Oxoapgos Oxoapg os dm`kna dm`knao`tnu o`tnux x k“ospnios k“ospnios prìelgcort prìelgcortlo`s lo`s rìog rìogs  s   66



•   Oggo ost klto mrtem`mran mrtem`mrango go sl sos voitours sm`t ko pgus u`ltnlros.

` 

` 

•   O   1 

au`l ku prmkult singnlro usuog ( x , y ) ↓

  ↓  >

•   O   1 R U Q au`l ko (X , ^ )

8

•   O   1  (Rn , c Q, ) au`l ko ( d   , j )

x l l  y l l .

l 1>

[eìmråao •  _`o dnalggo mrtemjm`ngo im`stltuìo ko voitours `m` `ugs ost glcro. • _`o dnalggo mrtem`mrango ost glcro. glcro.

X ^ .

  ↓

Iogn rovlo`t è klro quo pmur tmut  (l , f ) ∅ L 3 , (o l |o  f ) 1 λl , f .

  c 

 d j .

n 

[ 

•   O   1 A ` () au`l ko ( N , C ) ↓ [r(C   N ).

[eìmråao råao 6 L`ìj L`ìjngltì ngltì ko Inui Inuiey-Y ey-Yiewnrz iewnrz [eìm  (

Ymlt O ,

( ))

º|º

[eìmråao [eìmrå ao 6 Kìi Kìimap mapmsl msltlm tlm` ` kn` kn`ss u`o CM@  ∅ √ Ymlo`t O   u` ospnio ouiglklo` ko klao`slm` `  ∅ ot (o > , . . . , o `  ` ) u`o cnso mrtem`mrango ko  O  .

 u` ospnio prìelgcortlo` rìog. M` n ngmrs 6

∈x , y  ∅  ∅ O    |(x | y   y )|   x  º  y 

` 

∈x  ∅  ∅ O ,   x   11 ( x |o >)o > + º º º + (x |o ` ` )o ` `  1

Lg y n ìjng ìjnglt ltìì sl ot ot so sougo ugoao ao`t `t sl x   ot ot  y  sm`t imgl`ìnlros imgl`ìnlros..

 G“nppglintlm`  x   ↓

  |

  ost u`o `mrao sur O .

( x  x ) 1 x 

Lko`tltìs roanrquncgos vìrl﬎ìos pnr gn `mrao ouiglklo``o   66

 ∅ O , Xmur tmus  x , y  ∅ 3  y ). •    x   + +  y  1  x 3 +  y 3 + 3( x | y  ∓ y 3 1 x 3 +  y 3 ∓ 3(x | y  •    x   ∓  y ). • Lko`tltì ku pnrnggìgmjrnaao pnrnggìgmjrnaao 6

|

( x    y  y ) 1

|

 N``ìo 3838/383>



 >  ∓ x   +  y 3 +  y 3 ∓  x   ∓ ;



l 1>

` 

( x  o l l )( y  o l l ) 1 U [  \ 

x l l  y l l   1

l 1>

x 

y ) 1 ( x    y 

 | l 1>

3

 

( x  o l l )3 1 U [  U 

3

x l   1

1

 | l  l 1>

|

` 

` 

• Lko`tltì ko pmgnrlsntlm` 6

( x  o l l )o l l 

Xrmpmsltlm` Ymlo`t C  1  1 ( o > , . . . , o `  ` ) u`o cnso mrtem`mrango ko  O  .  ∅ O  ko M` im`slkåro  x , y  ∅   ko immrkm``ìos rospoitlvos  U   1 ( x > , . . . , x `  )  ot  \    1 (  y > , . . . , y `  `  ` ). M` n ngmrs 6 ` 

 ∓ y 3 1 3x 3 + 3 y 3  x   ++  y 3 + x  ∓

|

l  l 1>

 

 

>4

Dlieo Dl ieo 4 ’ Os Ospni pnios os pr prìel ìelgco gcortlo rtlo`s `s rìo rìogs gs  ∓ ↓

↓   Xrmfoitlm Xrmfoitlm` ` mrtemjm`ng mrtemjm`ngoo ot klstn`io klstn`io

u 3

Kn`s tmuto Kn`s tmuto iot iotto to pnrtlo pnrtlo,, D   ostsupp ost suppmsì msìoo ko klao`s klao`slm` lm`﬎`l ﬎`lo. o.  ⊟ D ⊯ . M` n O   1 D  ⊟

   ↓      o      o   ∓    ↓      o      o   ∓      |

        >

                  )

        >

Kì﬎`ltlm` M` nppoggo prmfoitlm` mrtemjm`ngo sur  D  gn prmfoitlm` sur D  pnrnggågoao`t è  D ⊯ .

   ↓      u      u   ∓   ∓ ∓ ↓ o 3    ↓      u      u   ∓         3

                  (

        3

 ∓ ↓

u >

 ∓ ↓

o >

[eìmråao M` `mto p  gn  gn prmfoitlm` mrtemjm`ngo sur  D . •   p ( x ) ost o`tlåroao`t inrnitìrlsì pnr 6

( u  o   ) o 

∓↓3 |∓↓> ∓↓> [mut ospnio ouiglklo` nkaot u`o cnso mrtem`mrango, quo g“m g“m` ` pout pout im`str im`strulr ulroo è g“n g“nlko lko ko g“n g“ngjmr gjmrltea lteaoo k“mrte k“mrtem`mr m`mrananglsntlm` ko Jrna-Yiealkt. M` pnrt k“u`o cnso  ( u > , . . . , u ``  ) quogim`quo ko O  ot m` im`strult pns è pns u`o cnso mrtem`mrango (o > , . . . , o ``  ) o` pmsn`t 6 b  >

o b   1 u b  b 

 ∓

 ∓

|

( u b  b  o ll  )o l  l 

l 1>

  puls   o b b   1

o b 

o b  

p ( x )

∅ D   

 ∓ p (x ) ∅ D ⊯ ot   x  ∓

•   Yl (o > , . . . , o p p ) ostu`o cn cnso so mrtem mrtem`m `mran rango go ko D  ngmrs   ngmrs

|

º º º + (x |o p p )o p p 

p ( x ) 1 ( x  o > )o > +

Kì﬎`ltlm` Ymlt  x  ∅  ∅ O . M` nppoggo klstn`io ko x  è  D  go rìog k ( x , D ) 1  l`d  x  u 

[eìmråao  ∅ √ ot (u >, . . . , u ``  ) u`o dnalggo glcro ko voiYmlo`t `  ∅ . Lg oxlsto ngmrs u`o dnalggo mrtem`mrango o > , . . .ko , o ``  O  (tours  ) ko O  toggo quo 6

∅

u  D 

  ∓  ∓ 

[eìmråao  ∅ O . k ( x , D ) 1  x ∓ p ( x ) mü p  ost  ost gn prmfoi prmfoitlm tlm` ` Ymlt x  ∅ mrtemjm`ngo sur D .

 Toit(o > , . . . , o ``  ) 1 Toit  Toit(u > , . . . , u ``  )

↓  Yul  Yultos tos tmtngos tmtngos ↓   Mrtemjm Mrtemjm`ng `ng k“u`o k“u`o pnrtlo pnrtlo Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Mrtem Mrtemjm`n jm`ngg Kì﬎` Ymlt D  u`o pnrtlo ko  O . M` nppoggo mrtemjm`ng ko D  g“o`soacgo 6 D ⊯ 1 x  O 

{  ∅  ∅  | | ∈ y   ∅∅ D   (x | y   y ) 1 8}

Kì﬎`lt `ltlm` lm` 6 Yu Yulto lto tmt tmtngo ngo Kì﬎ M` kl kltt qu“u` qu“u`oo sult sultoo ko vo voit itou ours rs (o l l )l ∅ ko O  ost   ost tmtngo tmtngo sl Toit(o l l ) ost ko`so kn`s  O , i“ost-è-klro, l ∅

 ∓ y  7  ∈x  ∅  ∅ O ,   ∈ 0 8,   ∉ y  ∅  ∅ Toit (o l l ),    x  ∓ l ∅ [eìmråao

D ⊯ ost u` ospnio voitmrlog.

[eìmråao Ymlt  D  u` smus-ospnio voitmrlog ko O .  ∅   D ⊯  sl ot sougoao`t sl  u  ost mrtemjm`ng nux  •   u  ∅ voitours k“u`o cnso ko D  . ⊟ D ⊯. • Yl D  ost ko klao`slm` ﬎`lo, O   1 D   ⊟ ⊯ •   Yl O   ost ko pgus u` ospnio ouiglklo`, D ⊯ 1 D   ot 6



kla D ⊯ 1 kla(O ) ∓ kla(D )

 o l  O  )l ∅ ot  u`o tmtngo k“ìgìYmlo`t  `  ∅  ∅ , p ` `  go prmfoitour ao`ts  (ko pmursulto tmutmrtem`mrango mrtemjm`ng sur Toit sur Toit(o 8 ,..., o `   ko  O , ` ). Ngmrs, pmur tmut  x  ko (p ` ( x ))` ∅  im`vorjo vors x .

                 )    

     x 

                 (     

 ` 

     p  

x 

   ∓

     x 

 )

 p` ( x

 Toit(o 8 ,..., o `  ` )

Im Imrmg rmggnl gnlro ro 6 L` L`ìjn ìjnglt gltìì ko Co Cosso ssogg Ymlo`t  (o > , . . . , o pp  ) u`o dnalggo mrtem`mrango ko  O   ot x  O . Ngmrs

  ∅∅

| p 

l 1>

( x  o ll  )3  x  3 .

 

∅ Toit Lg y n ìjngltì sl ot sougoao`t sl  x   ∅  Toit(o > , . . . , o pp  ).

Imrmgg Imr mggnlr nlroo 6 Ìjn Ìjnglt gltìì ko Xn Xnrso rsovng vng Yl (o l l )l ∅ u`o sulto mrtem`mrango tmtngo ko  O , +∐ ∈x  ∅  ∅ O ,    x 3 1 (x |o l l )3

 l 18

 N``ìo 3838/383>

 

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

>:

Sìsu Sì suaì aì : ’ O` O`km kmam amrp rpel elsa saos os k“u “u` ` os ospn pnio io ou ouig iglk lklo lo` ` (O , ( )) kìslj`orn pnr gn sulto u` ospnio ouiglklo`.

↓   Yyaìtrlos Yyaìtrlos mrtemjm`ngo mrtemjm`ngoss

O`kmamrpelsaos mrtemjm`nux 

 ⊟ D ⊯. Ymlt  D  u` smus-ospnio voitmrlog ko O . M` n O   1 D  ⊟

º|º

↓   Antrlios mrtemjm`ngos Kì﬎`ltlm` 6 Ant Kì﬎`ltlm` Antrlios rlios mrtem mrtemjm`ng jm`ngos os

 ∅ A ``  () ost u`o antrlio mrtemjm`ngo M` klt quo A  ∅ sl ot sougoao`t sl A [  A   1 A A [  1 L ``  . M``mto M ``  () g“o`so g“o`soacgo acgo kos antrlios antrlios mrtemjm`ngos mrtemjm`ngos ko A ` (). _`o antrlio mrtemjm`ngo ost l`vorslcgo, k“l`vorso A [  ot ko kìtoral`n`t ¾>. M` `mto Y M ` () g“o`soacgo kos antrlios mrtemjm`ngos ko kìtoral`n`t > (jrmupo spìilng mrtemjm`ng). M ``  () ot Y M ``  () sm`t kos jrmupos.

[eìmråao råao 6 Inrn Inrnitìrls itìrlsntlm` ntlm` [eìm _`o antrlio ost mrtemjm`ngo sl ot sougoao`t sl g“u`o kos koux im`kltlm`s sulvn`tos ost vìrl﬎ìo 6 •   sos voitours imgm``os dmrao`t dmrao`t u`o dnalggo mrtem`mrango. •  sos voitours glj`os dmrao`t u`o dnalggo mrtem`mrango. _`o antrlio mrtemjm`ngo s“l`torpråto imaao gn antrlio ko pnssnjo k“u`o cnso mrtem`mraìo è u`o cnso mrtem`mraìo. Gmrsquo gos cnsos ko kìpnrt ot k“nrrlvìo m`t aæao mrlo`tntlm`, sm` kìtoral`n`t vnut +>.

↓   Lsmaìtrlos voitmrloggos Kì﬎`ltlm` Ymlt  d   u`  u` o`kmamrpelsao ko  O . Gos im`kltlm`s sulvn`tos sm`t ìqulvngo`tos 6 (l)   d    im`sorvogn`mrao6   ∈ x   ∅ ∅ O ,    d   ( x ) 1 x  (ll)   d    im`sorvo go prmkult prmkult singnlro 6

∈ x , y  ∅  ∅ O ,   ( d   ( x )| d    d   ( y )) 1 ( x | y   y ) M` klt ngmrs quo  d   ost  ost u`o lsmaìtrlo voitmrloggo ko O  (mu u` o`kmamrpelsao mrtemjm`ng). _`o lsmaìtrlo voitmrloggo ost clfoitlvo, i“ost u` nutmamrnutmamrpelsao. Gn imapmsìo k“lsmaìtrlos (pmsltlvos) rosto u`o lsmaìtrlo (pmsltlvo) 6 M (O ) ot Y M (O ) sm`t kos jrmupos.

[eìmråao ∅ M (O ). Ymlt D  u` smus-ospnio voitmrlog stncgo pnr  d    ∅ ⊯  Ngmrs D   ost stncgo pnr  d   . [eì [eìmr mråao åao 6 In Inrni rnitìrl tìrlsnt sntlm` lm` è g“n g“nlko lko k“ k“u`o u`o c.m c.m.`. .`. _` o`kmamrpelsao ost mrtemjm`ng sl ot sougoao`t sl g“u`o kos koux im`kltlm`s sulvn`tos ost vìrl﬎ìo 6 • g“lanjo k“u`o c.m.`. c.m.`. ost u`o c.m c.m.`. .`. • sn antrlio kn`s u`o c.m.`. c.m.`. ost mrtemjm`ngo.  N``ìo 3838/383>

Kì﬎`ltlm ` 6 Yya Yyaìtrlos ìtrlos mrtemj mrtemjm`ngo m`ngoss Kì﬎`ltlm` •  M` nppoggo syaìtrlo mrtemjm`ngo pnr rnppmrt è  D  gn syaìtrlo pnr rnppmrt è  D  pnrnggågoao`t è D  ⊯ . •  _`o rìffioxlm` ost u`o syaìtrlo mrtemjm`ngo pnr rnppmrt è u` eyporpgn`.

[eìmråao åao 6 Inrn Inrnitìrls itìrlsntlm` ntlm` [eìmr _`o lsmaìtrlo voitmrloggo ost u`o syaìtrlo mrtemjm`ngo sl ot sougoao`t sl sn antrlio kn`s u`o cnso mrtem`mrango ost syaìtrlquo.

↓   IIgnssl gnssl﬎intl ﬎intlm` m` kos lsmaìtrlos lsmaìtrlos pgn`os pgn`os • Gos lsmaìtrlos pmsltlvos ku pgn` sm`t gos rmtntlm`s. rmtntlm`s. A  Y M  ()

 ∅

ims ε   

ε   tog quo A   1

⇘⇓ ∉  ∅

∓ sl` ε 

 

 

sl` ε    ims ε  Ins pnrtliuglors 6 lk O   (ε   1 8), ∓lkO   (ε   1 ψ). •   Gos lsmaìtrlos `ìjntlvos ko g“ospnio sm`t gos rìffioxlm`s. 3

A  M 3∓ ( )

 ∅  ∅

⇘⇓ ∉ε  ∅  ∅  tog quo A   1

ims ε    sl` ε  sl` ε    ∓ ims ε 

↓   Ignssl﬎in Ignssl﬎intlm` tlm` kos lsmaìtrlos lsmaìtrlos ko g“ospnio g“ospnio • Gos lsmaìtrlos pmsltlvos ko g“ospnio sm`t gos rmtntlm`s.  ∅ Y M (9), lg oxlsto u`o cnso  ko 9 kn`s gnquoggo 6 Yl  d   ∅

 

 

> 8 8 Ant ( d   ) 1 8 ims ε    ∓ sl` ε  8 sl` ε    ims ε 

Ins pnrtliuglors 6 lk O   (ε   1 8), koal-tmur (ε  1  1 ψ). •   Gos Gos lsmaìt lsmaìtrlos rlos `ìjntlv `ìjntlvos os ko g“o g“ospni spnioo sm`t sm`t gos imapmsì imapmsìos os (imaautntlvos) ko rmtntlm` ot ko rìffioxlm`.  ∅ M ∓(9), lg oxlsto u`o cnso  ko 9 kn`s gnquoggo 6 Yl  d   ∅ Ant ( d   ) 1

 

∓ 

> 8 8 8 ims ε    ∓ sl` ε  8 sl` ε    ims ε 

Ins pnrtliuglors 6 rìffioxlm` (ε   1 8), ∓lkO   (ε  1  1 ψ). Xgn` k“lko`tl﬎intlm` 6 M` `mto  d   g“o`kmamrpelsao   g“o`kmamrpelsao ko 9 in`m`lquoao`t nssmilì è gn antrlio  N . [ 

∅

 1 L 9 , l.o. N  M 9 (). >.  d   M` vìrl﬎o quo N   N  1   ostvìrl﬎o u`o lsmaìtrlo vvoitmrloggo. oitmrloggo.

3. M` ingiugo ingiugo kot( N ).  ∅  Y M 9() ot   d   ost •   Yl  kot ( N ) 1  >,   N  ∅   ost u`o rmtntlm` k“nxo klrljì pnr  u  ot  ot k“n`jgo ε . (ins >)

 

 

>5

Dlieo Dl ieo : ’ O` O`kma kmamrp mrpels elsaos aos k“ k“u` u` osp ospnio nio oui ouiglk glklo` lo`

 ∅  M 9∓  () ot   d   ost •   Yl kot( N ) 1 ∓>,  N  ∅   ost gn imapmsìo k“u`o rmtntlm` k“nxo klrljì pnr  u  ot  ot k“n`jgo ε   ot k“u`o rìffioxlm` pnr rnppmrt è To Toit it(u )⊯ . (ins 3) 9.  M` kìtoral`o g“nxo Toit(u ) ko gn rmtntlm` o` rìsmgvn`t N  NU  U   1 U  (ins  (ins >) mu  NU   N U   1 ∓ U  (ins 3). ;. G“n`jgo ko gn rmtntlm` rmtntlm` ost km``ì pnr 6 • [r( N ) 1 > + 3ims(ε ) (ins >), • [r( N ) 1 ∓> + 3ims(ε ) (ins 3) ∅ Toit  Toit(u )⊯ . sl`(ε ) 1 R u , x , d   ( x )Q mü  x  1 u  1 >, x   ∅ Kn`s go kouxlåao ins, sl  ε   1 8,   d   ost   ost u`o slapgo rìffioxlm`.

[eì [eìmrå mråao ao 6 [eì [eìmr mråao åao spo spoitrn itrngg Yl d    ost u` o`kmamr o`kmamrpels pelsao ao syaìtrl syaìtrlquo quo ko O  ngmrs   ngmrs  d   ost klnjm`nglsncgo kn`s u`o cnso mrtem`mrango. Nutroao`t klt, lg oxlsto u`o cnso mrtem`mrango dmraìo ko voitours prmpros ko  d   .

[eì [eìmrå mråao ao 6 [eì [eìmr mråao åao spo spoitrn itrngg ’ vor vorslm slm` ` an antrli trlilog loggo go  ∅ A ` ` () syaìtrlquo rìoggo ost kln[muto antrlio A  ∅ jm`nglsncgo nu amyo` k“u`o antrlio ko pnssnjo mrtemjm`ngo 6

∉X  ∅  ∅ M ` ` ()   X ∓>A X   1 X [  A X  klnjm`ngo.   klnjm`ngo.

x K  K  x 

Gos smus-os smus-ospnio pnioss prmpro prmpross k“ k“u`o u`o antrli antrlioo syaìtrl syaìtrlquo quo rìoggo rìoggo sm`t mrtemjm`nux, tmutos sos vngours prmpros sm`t rìoggos.

 d   ( x )

Yl gn antrlio roprìso`tntlvo k“u` o`kmamrpelsao kn`s u`o iortnl`o cnso ost syaìtrlquo rìoggo, ngmrs lg oxlsto u`o cnso mrtem`mrango im`stltuìo ko voitours prmpros ko iot o`kmamrpelsao. ε 

x K 

⊯

 d   ( x K  ) ⊯

K ⊯

K   1 Toit(u ) Soprì Sop rìso` so`tntl tntlm` m` k“u k“u`o `o rmt rmtntlm ntlm` ` ko g“ospn g“ospnio  io 

O`km O`kmamrp amrpelsaos elsaos syaìt syaìtrlquo rlquoss Kì﬎`ltlm` 6 O`km Kì﬎`ltlm` O`kmamrp amrpelsa elsaoo syaìt syaìtrlquo rlquo M` nppoggo o`kmamrpelsao syaìtrlquo tmut o`kmamrpelsao  d    ko O  vìrl﬎n`t 6

∈x , y  ∅  ∅ O ,   ( d   ( x )| y   y ) 1 ( x | d    d   ( y )) G“o`soacgo Y (O ) kos o`kmamrpelsaos syaìtrlquos ko  O  ost u` smus-ospnio voitmrlog ko G (O ). Gos prmfoitours mrtemjm`nux sm`t kos o`kmamrpelsaos o`kmamrpelsaos syaìtrlquos, io sm`t aæao gos sougs prmfoitours è g“ætro. Xrmpmsltlm` _` prmfoitour ost mrtemjm`ng sl ot sougoao`t s“lg ost syaìtrlquo. Xrmpmsltlm`  ∅ Y (O ). Yl u` smus-ospnio voitmrlog D   ko O   ost Ymlt  d   ∅ stncgo pnr  d   , ngmrs  D  ⊯ ost stncgo pnr  d    .. Xrmpms ltlm` m` 6 In Inrni rnitìrl tìrlsnt sntlm` lm` è g“ g“nlk nlkoo k“ k“u`o u`o c.m c.m.`. .`. Xrmpmsltl _` o`kmamrpelsao ost syaìtrlquo sl ot sougoao`t sl g“u`o kos koux im`kltlm`s sulvn`tos ost vìrl﬎ìo 6 • pmur u`o (ot (ot aæao tmuto) c.m.`. c.m.`. (o > , . . . , o ``  ) ko O ,

∈l , f  ∅  ∅

>, `  ,   ( d   ( o l l )|o   f f ) 1 (o l l | d    d   ( o   f f  ))



• sn antrlio kn`s u`o c.m.` c.m.` ost syaìtrlquo syaìtrlquo..

 N``ìo 3838/383>

 

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

><

Sìsu Sì suaì aì 5 ’ Os Ospn pnio ioss vo voit itmrl mrlog ogss `m `mra raìs ìs ot tm tmpm pmgm gmjl jloo _`o pnrtlo N  ost  ost cmr`ìo sl, ot sougoao`t sl,

Ymlt  O   u` -ospnio voitmrlog.

@mrao klstn` tn`io io @mrao ot kls

∉A  0  ∅ N ,    x   A   0 8,   ∈ x  ∅

Kì﬎`ltlm Kì﬎`l tlm` ` 6 @m @mrao rao sur u` osp ospnio nio voi voitmr tmrlog log ↓ + vìrl﬎ _`oo `mrao _` `mrao ost u`o nppglin nppglintlm tlm` ` @   66 O   ↓  vìrl﬎n`t n`t 6

 ∅ O , @ (x ) 1 8 ⇘⇓ x   1 8O  •   ∈ x  ∅  ∅ O , @ (βx ) 1 |β| º @ (x ) •   ∈β ∅ , ∈ x  ∅  ∅ O , @ (x   ++  y )  @ (x ) + @ ( y ) •   ∈ x , y  ∅ (O , @ ) ost u` ospnio voitmrlog `mraì. (O ,

_`o `mrao sur O   vìrl﬎o g“l`ìjngltì trln`jugnlro ìto`kuo ìto`kuo 6



 ∅     | |    | |           ∅∅            |  |      |  |        | º|º   ↓ 

∈ x , y  ∅  ∅ O , x  ∓  y   x   ++  y   x  +  y 

G“ìqulvngo`io kos `mraos `mrao s ost u`o rogntlm` k“ìqulvngo`io.

  ` 

x l  2

l 1>

l 1>

• @mraos sur

(Rn , c Q, ) ’ pmur  d  

  c 

| |

(Rn , c Q, ),

  c 

  d   d   2

 d   > 1

x  ∐ 1  anx  x l  >l ` 

x l  3 2

x  3  1

 d    d   3 2

 d   3 1

n 

n 

 d   ∐ 1 sup  d    d   L 

|  |

•  @mrao ouiglklo``o 6 sl  ( O , ( )) ost u` ospnio prìelgcor( x  x ) kì﬎`lt u`o `mrao sur  O . tlo` rìog, ngmrs x   ospnios voitmrlogs, m` •  @mrao prmkult 6 sl ( O ll  , @ ll  ) sm`t p  ospnios pout au`lr O > ÚºººÚ O pp   ko gn `mrao kì﬎`lo pnr 6

∈x  1  1 ( x > , . . . , x pp  ) ∅ O > ÚºººÚ O pp  ,   @ ( x ) 1   sup @ l l ( x l l ) >l p 

Kì﬎`l ﬎`ltlm tlm` ` 6 Kl Klstn stn`io `io nss nssmil milìo ìo è u`o `m `mrao rao Kì M` nppoggo klstn`io nssmilìo è  º  g“nppglintlm` 6 k   6   O  O  ( x , y )

 Ú  Ú   ∓↓     ∓↓  x   ∓∓ y  +

Xrmpmsltlm` _`o klstn`io k  nssmilìo  nssmilìo è u`o `mrao  º  vìrl﬎o 6 •   ∈( x , y ) ∅ O 3 ,  k ( x , y ) 1 k ( y , x ) •   ∈( x , y ) ∅ O 3 ,  k ( x , y ) 1 8 ⇘⇓ x   1 y  •   ∈( x , y , z ) ∅ O 9 ,  k ( x , y )  k ( x , z ) + k (z , y )

∅ O  ot • gn cmugo muvorto ko io`tro n   ∅  ot ko rnym`  r    8 ost C (n , r ) 1 x  O 

{   ∅∅   || x   ∓∓ n  7 r }

• gn cmugo doraìo ko io`tro n  O  ot  ot ko rnym` r   8 ost

 ∅ {   ∅∅   || x   ∓∓ n   r }  ∅ O  ot gn speåro speåro ko io`tro n  ∅  ot ko rnym` r   8 ost ∅ O   || x   ∓∓ n  1 r } Y (n , r ) 1 { x   ∅ C   d   d   ( n , r ) 1 x  O 

•

 N``ìo 3838/383>

Kì﬎`ltlm ` 6 @mra @mraos os ìqul ìqulvngo vngo`tos `tos Kì﬎`ltlm` @  ot  ot @  sm` sm`tt ìqulvn ìqulvngo` go`tos tos s“ s“lg lg oxl oxlsto sto ξ, γ 0 8togsquo6

∈x  ∅  ∅ O    ξ@ (x )  @  (x )  γ @ (x )

Oxoapgos ko `mraos è im``nàtro 6 • @mraos sur `  ’ pmur  x   1 1 ( x > , . . . , x ``  ) ` , x  > 1

Ymlo`t @   ot @  koux `mraos kì﬎`los sur  O .

Xrmpmsltlm` [muto muto sulto sulto im`vor im`vorjon jon`t `t nu so`s so`s ko @  im`vorjo   im`vorjo nussl  nu so`s ko @   sl, ot sougoao`t s“lg oxlsto ξ 0 8 tog quo  ∅ O , @ (x )  ξ@ (x ). pmur tmut  x  ∅

 º ) kìslj`o kìsmranls u` -ospnio voitmrlog `mraì.

` 

Imapnrn Imapn rnlsm lsm` ` ko `mr `mraos aos

[eìmrå ao 6 Ìqu Ìqulvn lvngo` go`io io kos `m `mrao raoss [eìmråao O` klao`slm` ﬎`lo, tmutos gos `mraos sm`t ìqulvngo`tos. Xmur am`tror quo koux `mraos `o sm`t pns ìqulvngo`tos, lg sud﬎t ko im`strulro u`o sulto ko voitours toggo quo @ ( u ` )  ξ@  (u ` ) ost lapmsslcgo, o` pnssn`t è gn glalto.

@mtlm`s @mtlm `s jì` jì`ìrn ìrngos gos ko tmp tmpmgm mgmjlo jlo

↓   Tmlsl mlsl`njos `njos,, muvorts muvorts ot doraìs  ∅ O . Ymlt  N  u`o  u`o pnrtlo ko O   ot x  ∅ Kì﬎` Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Tmlsl mlsl`njo, `njo, muvo muvort, rt, doraì •   N  ost  ost u` vmlsl`njo ko  x  s“lg oxlsto r   0 8 tog quo C ( x , r ) ⊃ N . •   N  ost  ost u` muvort ko O   sl 6

∈x  ∅  ∅ N ,   ∉r  0  0 8,   C ( x , r ) ⊃ N  •   N  ost u` doraì ko   O   sl sm` imapgìao`tnlro  N i 1 O   WW N  ost  ost u` muvort. ∏ ot O   sm`t kos pnrtlos muvortos ot doraìos ko O .

•   [muto rìu`lm` k“muvorts ost u` muvort, tmuto l`torsoitlm` ﬎`lo k“muvorts ost u` muvort. •   [muto rìu`lm` ﬎`lo ko doraìs ost u` doraì, tmuto l`torsoitlm` ko doraìs ost u` doraì.

[eìmråao Inrnitìrls itìrlsntlm` ntlm` sìquo sìquo`tlo `tloggo ggo [eìmråao 6 Inrn  N  ost   ost u`o pnrtlo doraìo ko  O  sl ot sougoao`t sl gn glalto ko tmuto sulto im`vorjo`to ko  N  ost  ost kn`s  N .

Koux `mraos ìqulvngo`tos kì﬎`lsso`t sur u` ospnio gn aæao tmpmgmjlo 6 gos pnrtlos muvortos ot gos pnrtlos doraìos sm`t gos aæaos pmur g“u`o imaao i maao pmur g“nutro.

 

 

38

Dlieo 5 ’ Os Dlieo Ospni pnios os voi voitmr tmrlog logss `mr `mraìs aìs ot tmp tmpmgm mgmjlo jlo

Im`tl Im`tl`ul `ultì tì kn` kn`ss u` osp ospnio nio voi voitmr tmrlog log `mr `mraì aì

↓   L`tìrlou L`tìrlourr, nkeìro`io nkeìro`io ot drm`tlåro drm`tlåro Kì﬎` Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Xml Xml`t `t l`tì l`tìrlour rlour,, pml` pml`tt nkeìr nkeìro`t o`t •   x  ost  ost u` pml`t l`tìrlour è  N  s“lg  s“lg oxlsto r   0 8 tog quo C ( x , r ) ⊃ N . •   x  ost  ost u` pml`t nkeìro`t è  N  sl  sl pmur tmut  r   0 8, C ( x , r ) ∬ N   1 ∏.

↓ D , mü O   ot D   kìslj`o`t kos ospn Ymlo`t  d    6 O   ↓ ospnios ios voitmrlogs au`ls kos `mraos  º O   ot  º D  , ot N  ⊃ O . ↓  Glaltos Kì﬎`ltlm`  d   nkaot  nkaot imaao glalto  c 

x >

x 8 x 8 ost u` pml`t l`tìrlour

 ∅  ∅ D   o` n  ∅  ∅ N  sl,  sl, ∈ 0 8,   ∉ξ 0 8,   ∈ x  ∅  ∅ N , x  ∓  ∓ n O    ξ   1⇓  d   ( x ) ∓ c D   7 

x > ost u` pml`t oxtìrlour

x 3

x 3 ost u` pml`t nkeìro`t

n 

c  x 

 d   ( x )

ξ



Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 L`tì L`tìrlour rlour,, nkeìr nkeìro`io o`io ot drm`t drm`tlåro låro Kì﬎` •  G“l`tìrlour ko N  ost  ost g“o`soacgo  N  kos  kos pml`ts l`tìrlours è N . •  G“nkeìro`io ko  N  ost g“o`soacgo  N  kos pml`ts nkeìro`ts è N . • Gn drm`tlår drm`tlåroo ko N  ost  ost g“o`soacgo Dr( N ) 1 N   N .

gla  d   ( x ) 1 c   ⇘⇓ ∈ 0 8, ∉ξ 0 8,   d   ( C (n , ξ)) ⊃ C (c ,  ) ↓ ⇘⇓ ∈T  ∅  ∅ T (c ), ∉_  ∅  ∅ T (n ),   d   (_ ) ⊃ T 

  5

  5

W •  N  ⊃ N  ⊃ N .  

5

•  G“l`tìrlour ko N  ost  ost gn rìu`lm` ko tmus gos muvorts l`igus kn`s N , i“ost aæao go pgus jrn`k muvort ko N . •  G“nkeìro`io ko  N  ost  ost g“l`torsoitlm` ko tmus gos doraìs im`to`n`t N , i“ost go pgus potlt kos doraìs im`to`n`t N .

Xrmpmsltl msltlm` m` 6 Inrn Inrnitìrls itìrlsntlm` ntlm` sìqu sìquo`tlo o`tloggo ggo Xrmp _` pml`t x  ko  O  ost nkeìro`t è N  sl  sl ot sougoao`t s“lg oxlsto u`o sulto k“ìgìao`ts ko N  im`vorjon`t  im`vorjon`t vors  x .

x  n 

↓  Im`tl`ultì Gos mpìrntlm`s ignsslquos sur gos glaltos `mus poraotto`t ko am`tror quo 6 •  g“o`soacgo  ( N , D ) kos dm`itlm`s im`tl`uos sur  N  ost u` ospnio voitmrlog. •   g“o`soacgo  ( N , ) kos dm`itlm`s im`tl`uos sur  N  ot  ot è vngours kn`s  ost u`o -ngjåcro (go prmkult ko koux  dm`itlm`s im`tl`uos ost o` pnrtliuglor im`tl`u). ↓ J  sm`t im`tl`uos nvoi  d    (( N ) ⊃ C , •   sl  d    6 N  ↓ D   ot j  6 6 C   ↓ ngmrs j   ◤◤  d   ost   ost im`tl`uo sur  N .

Xrmpmsltlm` Xrmpmsltlm ` 6 Inrni Inrnitìrlsn tìrlsntlm` tlm` sìqu sìquo`tlo o`tloggo ggo  ∅  N  sl  d   ost   ost im`tl`uo o` n  ∅  sl pmur tmuto sulto  ( x ` ` )` ∅ k“ìgìao`ts ko   N   im`vorjon`t vors   n ,  d   ( u ` ` ) ` ∅

 ∅  ∅   ⇘⇓ ∈r   00 8,   C (n , r ) ∬ N 1 ∏ n  ⇘⇓ ∉(x ``  ) ∅ N  ,   x ``  ∓∓∓∓↓   ` ↓ ∐ ⇘⇓   k (n , N ) 1 8

n   N 

    

im`vorjo kn`s D . Kn`s io ins, gla  d   ( u `  ` ) 1  d     gla u `  `  1  d   ( n ) ` ↓+∐ ` ↓+∐

+

Yl N ostu`opnrtlocmr`ìoot`m`vlkoko , sup( N ) ot l`d ( N ) nppnrtlo``o`t è N .

Kì﬎`ltlm` Ymlo`t N   ot ot  C  koux  koux pnrtlos ko  O . • M` klt quo N  ost  ost ko`so kn`s O   sl N   1 1 O . ⊃ N . • M` klt quo N  ost  ost ko`so kn`s C  sl  sl  C   ⊃ Ko dnêm` ìqulvngo`to, N  ost  ost ko`so kn`s  C  sl  sl ot sougoao`t

∓∓↓

 ∅  ∅

 d   ost   ost im`tl`uo o` n   N  ssl  ssl  d    (( x ) x ↓n   d   ( n ).

Koux nppglint Koux nppglintlm`sim`tl` lm`sim`tl`uos uosqul qul imí`il imí`ilko` ko`tt sur u`o pnrtlo pnrtlo ko`so ko O  sm`t ìjngos.  Nppglintlm`s glpsieltzlo``os 

Kì﬎`ltlm`  d    ost klto glpsieltzlo``o ko rnppmrt B    8 sl 6

 ∓ y O  ∈x , y  ∅  ∅ O ,    d   ( x ) ∓  d   ( y )D    B   ºº  x  ∓ Xmur  d    6  ↓ , glo` nvoi gos niirmlssoao`ts ﬎`ls.

sl g“u`o kos nssortlm`s sulvn`tos ost vìrl﬎ìo 6 • tmut ìgìao ìgìao`t `t ko C  ost  ost glalto k“u`o sulto ko N .

Xrmpmsltlm` [muto dm`itlm` glpsieltzlo``o ost im`tl`uo.

 ∅ C , lg oxlsto r  0 • pmut pmut ttmut mut x  ∅  0 8 tog quo  C ( x , r ) ∬ N   1∏

x  ∓  ∓ n  sm`t im`tl`uos.   ↓   x  ot x   ↓  k (x , N ) 1 l`d  n ∅ N 

x 

 N``ìo 3838/383>

 

Dlieo eo 5 ’ Os Ospni pnios os voi voitmr tmrlog logss `mr `mraìs aìs ot tmp tmpmgm mgmjlo jlo Dli  Nppglintlm`s u`ldmraìao`t im`tl`uos 

Kì﬎`ltlm` ↓ D  ost  d    6 O   ↓  ost u`ldmraìao`t im`tl`uo sur N  sl  sl 6

∈ 0 8,   ∉ξ 0 8,   ∈x , y   ∅∅ N ,  x  ∓  ∓ y O   7 ξ   1⇓  d   ( x ) ∓ d   ( y )D   7   d   glpsieltzlo``o   glpsieltzlo``o

⇓

d   u`ldmraìao`t   u`ldmraìao`t im`tl`uo

⇓

 d    im`tl`uo

1  1

 

3>

↓   Nppglintl Nppglintlm`s m`s pmgy`maln pmgy`malngos gos ot augtlgl`ìn augtlgl`ìnlros lros •  tmuto nppglintlm` pmgy`malngo kì﬎`lo sur u` ospnio voitmrlog `mraì ko klao`slm` ﬎`lo ost im`tl`uo. •  tmuto nppglintlm` augtlgl`ìnlro kì﬎`lo sur O > ÚºººÚ O `  `  suppmsì ko klao`slm` ﬎`lo ost im`tl`uo.

Xnrtlos rtlos imapn imapnitos itos Xn

↓   Kì﬎`l Kì﬎`ltlm` tlm` ot proalåro proalåross prmprlìtìs prmprlìtìs Kì﬎ Kì﬎`lt `ltlm` lm` 6 Xn Xnrtlo rtlo ima imapni pnito to

 N  ost  ost imapnito sl tmuto sulto k“ìgìao`ts ko  N  nkaot  nkaot u`o smus-sulto qul im`vorjo kn`s  N .

Inrnitì Inr nitìrls rlsntl ntlm`s m`s tmpmgm tmpmgmjlq jlquos uos ko gn im`tl`u im`tl`ultì  ltì 

⊃ D   ot d    6 O  ↓  ↓ D , Yl U   ⊃  ∅ O   ||  d    (( x ) ∅ U } ⊃ O   d   ∓> ( U ) 1 { x  ∅  N  ⊃  d   ∓> ( U ) sl ot sougoao`t sl  d    (( N ) ⊃ U .

[eìmr mråao åao 6 La Lanjo njo rìi rìilpr lprmqu mquoo ot im` im`tl` tl`ult ultìì [eì _`oo nppglin _` nppglintlm` tlm` ko O  kn`s   kn`s D  ost   ost im im`t `tl`u l`uoo sl ot so soug ugooao`t ao `t sl g“ g“u` u`oo ko koss ko koux ux nssort nssortlm` lm`ss sulvn sulvn`t `tos os os ostt vr vrnl nloo 6 •   G“lanjo rìilprmquo ko tmut muvort ko  D  ost u` muvort ko O . •   G“lanjo rìilprmquo ko tmut doraì ko   D   ost u` doraì ko O .

 ↓  ost im`tl`uo, Xnr oxoapgo, sl  d    6 O  ↓ {x  ∅  ∅ O , d   ( x ) 0 8} 1 d   ∓>(√+ ) ost muvort muvort 2 {x  ∅  ∅ O , d   ( x )  8} ot {x  ∅  ∅ O , d   ( x ) 1 8} sm`t doraìs. ↓  Im`tl`  Im`tl`ultì ultì k“u`o k“u`o nppglintlm nppglintlm` ` gl`ìnlro gl`ìnlro Gn im`tl`ultì k“u`o nppglintlm` gl`ìnlro so rnaå`o pnr gl`ìnrltì è sn im`tl`ultì o` 8. [eìmråao 6 Im` [eìmråao Im`tl`ul tl`ultì tì k“u k“u`o `o nppgl nppglintlm intlm` ` gl`ì gl`ìnlro nlro  ∅  (O , D ) ost im`tl`uo sl, ot G“nppglintlm` gl`ìnlro  u  ∅  sougoao`t s“lg oxlsto I   0 0 8 tog quo,

∈ x  ∅  ∅ O ,   u (x )D    I  x O  Xmur fustl﬎or gn im`tl`ultì k“u`o nppglintlm` gl`ìnlro, • m` pout l`vmquor u` nrjuao`t ko klao`slm` klao`slm` 6

[eìmråao Yl O  ost ko klao`slm` ﬎`lo, tmuto nppglintlm` gl`ìnlro ko O  kn`s D  ost im`tl`uo.  tog quo pmur •  m` pout anfmror u ( x ) n﬎` ko trmuvor I  tog  ∅ O , u (x )  I  x . tmut  x  ∅ Xmur fustl﬎or gn `m`-im`tl`ultì, m` pout ieorieor u`o sulto ( x ` )` ∅ tog quo pmur tmut `   ∅ ∅ , u (x ` ) 0 ` x ` . [mut `mynu k“nppglintlm` gl`ìnlro o` klao`slm` ﬎`lo ost doraì ot pgus jì`ìrngoao`t 6

[eìmråao [mut smus-ospnio voitmrlog ko klao`slm` ﬎`lo k“u` ospnio `mraì ost doraì.  N``ìo 3838/383>

[muto sulto k“u` imapnit nkaot km`i nu aml`s u`o vngour k“nkeìro`io.

[eìmråao [muto pnrtlo imapnito ost doraìo ot cmr`ìo. Gos pnrtlos imapnitos k“u` imapnit sm`t gos pnrtlos doraìos ko io imapnit.

Xrmpmsltlm` Ymlt U   N  mü  mü  N  ost  ost u`o pnrtlo imapnito ko  O . Ngmrs,  ⊃  U   ost imapnito sl ot sougoao`t sl U  ost doraìo. Xrmpmsltlm` Go prmkult ﬎`l ko imapnits k“ospnios `mraìs ost imapnit (pmur gn `mrao prmkult).

↓   IImapn mapniltì iltì ot im`tl`ultì im`tl`ultì [eìmråao G“lanjo k“u` imapnit pnr u`o nppglintlm` im`tl`uo ost imapnito.

Imr Imrmgg mggnlr nlroo 6 [eì [eìmrå mråao ao kos cmr cmr`os `os ntt nttol` ol`tos tos Yl  d   ost  ost u`o nppglintlm` im`tl`uo sur u` imapnit ot è vngours kn`s ,  d    ost cmr`ìo ot nttol`t sos cmr`os. M` pout nl`sl am`tror qu“u`o `mrao ost nttol`to mu fustl﬎or g“oxlsto`io k“u` al`laua/anxlaua.

[eìmråao [eìmrå ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Eo Eol`o l`o [muto muto nppglin nppglintlm tlm` ` im`tl` im`tl`uo uo sur u` imapni imapnitt y ost u`lu`ldmraìao`t im`tl`uo.

↓   Imapniltì Imapniltì o` klao`slm klao`slm` ` ﬎`lo O` klao`slm` ﬎`lo, gos pnrtlos imapnitos sm`t gos doraìs cmr`ìs ko g“ospnio.

[eìmråao [eìmrå ao 6 Inr Inrnit nitìrl ìrlsnt sntlm` lm` o` kla klao`s o`slm` lm` ﬎`l ﬎`loo _`o pnrtlo k“u` ospnio ko klao`slm` ﬎`lo ost imapnito sl ot sougoao`t sl oggo ost doraìo ot cmr`ìo.

 

33

 

Dlieo 5 ’ Os Dlieo Ospni pnios os voi voitmr tmrlog logss `mr `mraìs aìs ot tmp tmpmgm mgmjlo jlo

[rmls im`sìquo`ios laaìklntos 6 speåroo •   O` klao`slm` ﬎`lo, gn cmugo u`ltì doraìo ot gn speår u`ltì sm`t imapnitos. •   [muto nppglintlm` im`tl`uo sur u` doraì cmr`ì o` klao`slm` ﬎`lo ot è vngours kn`s  ost cmr`ìo ot nttol`t sos cmr`os. •   Go teìmråao ko Cmgzn`m-Zolorstrnss Cmgzn`m-Zolorstrnss s“ìto`k è tmut ospnio voitmrlog ko klao`slm` ﬎`lo.

Xnrt nrtlos los im` im``ox `oxos os pn pnrr nr nris is Kì﬎`ltlm Kì﬎`l tlm` ` 6 Im Im``o ``oxlt xltìì pnr nr nris is ∅ N . Ymlo`t N  u`o  u`o pnrtlo ko O  `m` vlko ot n , c   ∅ •  M` nppoggo ieoal` im`tl`u (mu nri) fmlj`n`t gos pml`ts n   ot ot  c  tmuto  tmuto nppglintlm` ι 6 R8, >Q ↓ N  im`tl`uo ot vìrl﬎n`t ι(8) 1 n  ot  ot ι(>) 1 c . ∅ N , •   N  ost  ost klto im``oxo pnr nris sl pmur tmus tm us n , c   ∅ lg oxlsto u` ieoal` im`tl`u fmlj`n`t n  ot  ot  c .

c  ι(t )

n 

Gos imapmsn`tos im``oxos ko gn pnrtlo  N  sm`t  sm`t gos ignssos k“ìqulvngo`ioss ko N  rogntlvoao`t k“ìqulvngo`io  rogntlvoao`t è gn rogntlm` k“ìqulvngo`io « lg oxlsto u` ieoal` im`tl`u ko N  fmlj`n`t  fmlj`n`t n  ot  ot  c  ².  ².  N  ost  ost im``oxo pnr nris sl oggo pmssåko u`o sougo imapmsn`to im``oxo. •  Gos pnrtlos im`voxos ot gos pnrtlos ìtmlgìos ko  O  sm`t im``oxos pnr nris. • Gos pnrtlos im``oxos pnr nris ko  sm`t gos l`torvnggos.

[eìmråao Ymlo`t  d    6 O  D  u`o  u`o nppglintlm` im`tl`uo ot  N  u`o  u`o  ↓ pnr nris ko O . Ngmrs  d    (( N ) ost im``oxo pnrtlo im``oxo pnr nris. Io rìsugtnt poraot ko am`tror qu“u`o pnrtlo ost im``oxo pnr nris. Imrm Imrmggnlr ggnlroo 6 [eìm [eìmråao råao kos vngou vngours rs l`tora l`toraìklnl ìklnlros ros Ymlo`t N u`opnrtloim``oxopnrnrisot  d    6 N  ↓  u`o nppglintlm` im`tl`uo. Ngmrs  d    (( N ) ost u` l`torvnggo.

 N``ìo 3838/383>

 

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

39

Sìsu Sì suaì aì < ’ Dm` m`it itlm lm`s `s k“u “u`o `o vn vnrln rlncg cgoo rì rìog oggo go  È g“oxioptlm` ko gn kor`låro pnrtlo, m` `o im`slkåro quo kos dm`itlm`s kì﬎`los sur u` l`torvnggo L   ko  ot è vngours kn`s .

Im`tl`ultì

Gn dm`itlm` nrisl` ost kì﬎`lo ot im`tl`uo sur  R∓>, >Q ot è vngours kn`s ∓ ψ3 ,  ψ3 . Oggo ost kìrlvncgo sur Q ∓ >, >R.

  ∈  ∅  ∅ ∓   ∈  ∅  ∅ ∓ x  R >, >,>>Q,

ψ ψ

, , nr nris isl` l`(sl`( x )) 1 x  3 3

x 

  Im`tl Im`tl`ul `ultì tì o` u` pml`t, pml`t, sur u` l`torvn l`torvnggo ggo

↓

∅ L  sl   sl gla  d   ( x ) 1 d    (( x 8 ), l.o. sl 6 x ↓ x  ∈ 0 8, ∉κ 0 8, ∈x  ∅  ∅ L , |x  ∓  ∓ x 8| 7 κ 1⇓ | d    d   ( x ) ∓  d   ( x 8 )| 7 

 d   ost   ost im`tl`uo o`  x 8

8

Gn dm`itlm` nrisl` ost o`﬎` lapnlro 6 ∈x  ∅  ∅ R∓>, >Q   nrisl`(∓x ) 1 ∓ nrisl`(x )

 d   ost   ost im`tl`uo sur  L   sl  d   ost  ost im`tl`uo o` tmut pml`t ko L .

ψ

Gn smaao, go prmkult ot gn imapmsìo ko dm`itlm`s im`tl`uos sm`t im`tl`uos.

y  1

[eìmråao råao 6 [eìm [eìmråao råao kos vngo vngours urs l`tor l`toraìkln aìklnlros lros [eìm ∅  L  vìrl﬎n`t n   7 c . Ymlt   d   im`tl`uo   im`tl`uo sur  L   nvoi n , c   ∅  Ngmrs pmur tmut rìog rìog  y  imaprls o`tro  d    (( n ) ot  d    (( c ), lg  ∅ Rn , c Q tog quo y   1 d    (( x ). oxlsto x  ∅

[eìmråao [eìmr åao 6 [eì [eìmr mråao åao kos cmr cmr`os `os ntt nttol` ol`tos tos [muto dm`itlm` im`tl`uo sur u` sojao`t ost cmr`ìo ot nttol`t sos cmr`os. G“lanjo k“u` sojao`t pnr u`o dm`itlm` im`tl`uo ost u` sojao`t. M` roanrquorn qu“o` jì`ìrng,  d    (Rn , c Q)  1 R d   ( n ), d   ( c )Q.

3 y  1

∓>

>

y  1

∈x  ∅  ∅ R∓>, >Q, ∈x  ∅  ∅ R8, ψQ ,

Gn dm`itlm` nriims vìrl﬎o o`﬎` 6

∈x  ∅  ∅ R∓>,>,>>Q   nriims(∓x ) 1 ψ ∓ nriims(x ) y  1

tn`(x)

y  1

nritn`(x)

ψ

3

∓9

∓3

∓>

>

3

9

nrisl`(x)

>

sl`(x)

3

Gn dm`itlm` dm`itlm` nritn` ostkì﬎`lootim`tl`uosur  otèvngours kn`s ∓ ψ3 ,  ψ3 . Oggo ost kìrlvncgo sur .

 

∈x  ∅  ∅ , x 

∓ ψ3 Sopr Soprìso ìso`tn `tntlm tlm` ` ko gn dm`itlm dm`itlm`  ` nrisl`  N``ìo 3838/383>

ims(nriims( x )) 1 x  nr nrii iims ms(ims( x )) 1 x 

Soprì Sop rìso` so`tnt tntlm` lm` ko gn dm`i dm`itlm`  tlm` nritn` y  1

∓>

9

∓ ψ3

3

∓3

3

Gn dm`itlm` nriims dm`itlm` nriims ost  ost kì﬎`lo ot im`tl`uo sur R∓>, >Q ot è vngours kn`s R8, ψQ. Oggo ost kìrlvncgo sur Q ∓ >, >,>>R.

↓   Dm`itlm` Dm`itlm`ss ilriugnlr ilriugnlros os rìilprmqu rìilprmquos os ψ

ims(x)

Soprì Sop rìso` so`tntl tntlm` m` ko gn dm`i dm`itlm`  tlm` nriims

[eì [eìmr mråao åao 6 [eì [eìmr mråao åao ko gn clf clfoit oitlm` lm` Yl d    ost ostim` im`tl` tl`uo uo ot strlito strlitoao` ao`tt am`mtm am`mtm`o `o sur L  ngmrs   ngmrs  d    rìnglso u`o clfoitlm` ko L  sur g“l`torvnggo  F   1  d    (( L ). Ko pgus, gn clfoitlm` rìilprmquo  d   ∓> 6  F   ↓ ↓ L  ost  ost im`tl`uo ot ko aæao am`mtm`lo quo  d    ..   pnr rnppmrt Go jrnpeo ko  d   ∓> ost syaìtrlquo è iogul ko  d   pnr è gn proalåro clssoitrlio. clssoitrlio.

nriims(x)

ψ

G“lanjo k“u` l`torvnggo pnr u`o dm`itlm` im`tl`uo ost u` l`torvnggo. ([TL cls) _`o dm`itlm` im`tl`uo qul ien`jo ko slj`o sur L  s“n``ugo (nu aml`s u`o dmls) sur L .

sl`(nrisl`( x )) 1 x 

tn`(nritn`( x )) 1 x  ψ ψ

,

, nr nrit itn` n`(tn`( x )) 1 x 

∈  ∅ ∓ 3

 

3 Gn dm`itlm` nritn` ost lapnlro ot vìrl﬎o 6



 ψ > ∈x  ∅  ∅ √ , nr 1 sj`( x ) º nrit itn` n`( x ) + nritn` x  3

 

 

3;

Dlieo < ’ Dm Dlieo Dm`it `itlm` lm`ss k“ k“u`o u`o vn vnrlnc rlncgo go rìo rìoggo ggo

Dmra mraugo ugoss ko [nyg nygmr mr

Kìrlvnclgltì  d   ost   ost kìrlvncgo o`  x 8  L   sl

 ∅

alto ﬎`lo o`  x 8 .

∓ ∓ x 8 x   ∓

  d   ( x )  d   ( x 8 )

pmssåko u`o gl-

[eìmråao   ost im`tl`uo o`  x 8 . Yl d   ost  ost kìrlvncgo o`  x 8 , ngmrs  d   ost  d   ost  ost kìrlvncgo o`  x 8 sl ot sougoao`t sl,

 ∅ L . Ymlo`t  d   u`o  u`o dm`itlm` ko ignsso  ` +> sur L   ot n , c  ∅ • Dmraugo ko [nygmr [nygmr nvoi rosto l`tìjrng l`tìjrng

  ∓ ∓ ` 

 d   ( c ) 1

(c 

b 18

 j 

j 

[eìmråao [eìmr åao 6 Kì Kìrlv rlvncl nclglt gltìì ko gn clf clfoit oitlm` lm` rìi rìilpr lprmqu mquoo Ymlt  d    u`o dm`itlm` im`tl`uo ot strlitoao`t am`mtm`o sur g“l`torvnggo  L   ot  d   ∓> sn clfoitlm` rìilprmquo. Yl  d   ost  ost kìrlvncgo o`  x 8 ot sl  d    ( x 8 )  1 8 ngmrs  d   ∓ > ost kìrlvncgo o`  y 8 1  d   ( x 8 ) ot   >

  >



 d   ∓> ( y 8 ) 1  1  d    ( x 8 )  d    ( d   ∓> ( y 8 ))

Kìrlvìos kos dm`itlm`s ilriugnlros rìilprmquos 6   ∓>  2 nrisl` (x ) 1    >  2 ∈x   ∅∅Q ∓ >,> >, >R, nriims ( x ) 1   > ∓ x 3 > ∓ x 3 ∈x  ∅  ∅ , nritn` (x ) 1 > +>x 3

[eìmrå [eìm råao ao 6 Gl Glal alto to ko gn kì kìrlv rlvìo ìo Ymlt  d    u`o dm`itlm` im`tl`uo sur L   ot kìrlvncgo sur W {x 8}. Yl d    (x ) nkaot u`o glalto  ∅  o` x 8, L   W{ •   d   ost  ost kìrlvncgo o`  x 8 ot  d    ( x 8 ) 1  2 •   d     ost ko pgus im`tl`uo o`  x 8 . [eìmr mråao åao 6 Dm Dmrau raugo go ko Gol Golc`l c`lzz [eì Ymlo`t d    ot j   koux koux dm`itlm dm`itlm`s `s ko ign ignsso sso  `  sur L .Ngmrs, ` 

  

 d j   ost ìjngoao`t ko ignsso sur L   ot `  `    (b ) (` ∓b )  d   j  . ( d j )(` ) 1 b  b 18

[eì [eìmr mråao åao 6 Dm Dmrau raugo go kos nii niirml rmlsso ssoao` ao`ts ts ﬎`l ﬎`lss Yl d   ostim`tl`uosur   ostim`tl`uosur Rn , c Q otkìrlvncgosur Qn , c R ngmrs  ∅Qn , c R tog quo 6 lg oxlsto i  ∅  d   ( c )  d   ( n ) 1  d    ( i )(c  n )

∓

` 

  ∓∓

Yl |  d   d    | ost ost anfmr anfmrìo ìo pnru` rìog rìog A   sur s ur L , m` n ngmrs ngmrs (l` (l`ìj ìjng ngltì ltì kos niirmlssoao`ts ﬎`ls) 6

∈ x , y  ∅  ∅ L ,   |  d  d   ( y ) ∓  d   ( x )|  A | x   ∓∓ y |

  c 

n 

 ∓  ∓ t ) `  d   `  > (t ) kt 

( c 

 ( + )

` !

n )b  c  n  ` +>   d    (b ) (n )  A  b ! (`  +  + >)!

(c 

 ∓   ∓   d   d   ( c )

b 18



mü A   1 sup |  d   d    (` +>) |. Rn ,c Q

|  ∓ |

• Dmraugo ko [nygmr-\ [nygmr-\mu`j mu`j

  ∓ ∓ ` 

 d   ( c ) 1

(c 

b 18

n )b    (b )   d   (n ) + m((c  n )` ) b !

 ∓  ∓

Ios dmraugos sm`t utlgos pmur kìtoral`or u` kìvogmppoao`tglaltì ao`t glaltì,, pmur fustl﬎or fustl﬎or g“oxlsto`io g“oxlsto`io k“u`kìvogmppoao`t k“u`kìvogmppoao`t o` sìrlo o`tlåro, oti.

Kìvogmppoao`ts glaltìs ot rogntlm`s ko imapnrnlsm`

↓  nvoi j  `o Ymlo`t  d   , j  6 6 L   ↓  `o s“n``ugn`t pns nu vmlsl`njo ko x 8 , snud ìvo`tuoggoao`t o`  x 8 . M` klt quo 6 •   d    ot j   sm`t ìqulvngo`tos nu vmlsl`njo ko x 8 sl 6



 d   ( x )

 ∓∓∓↓ >

j ( x ) x ↓ x 8



`mtntlm` 6  d    (( x )   ∷ j ( x ) x ↓ x 8

•   d   ost  ost `ìjgljoncgo kovn`t j  nu  nu vmlsl`njo ko  x 8 sl 6  d   ( x )

 ∓∓∓↓ 8

j ( x ) x ↓ x 8





`mtntlm` 6  d    (( x ) 1 m(j ( x )) x ↓ x 8

•   d   ost  ost kmal`ìo pnr j  nu  nu vmlsl`njo ko  x 8  sl 6  d   ( x )

 





j ( x )  ost 1x 8 M(j ( x ))  ost cmr`ìo `mtntlm` 6  d    (( x ) x ↓

Xrmpms pmsltl ltlm` m` 6 Glo Glo` ` o`t o`tro ro ∷ ot m Xrm

 d   ( x )

[eì [eìmr mråao åao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Smg Smggo go Yl  d   ost  ost im`tl`uo sur Rn , c Q, kìrlvncgo sur Qn , c R ot sl  d   ( n ) 1  d   ( c ) ngmrs lg oxlsto  x   ∅ ∅Qn , c R tog quo  d    (x ) 1 8.

 

• L`ìjngltì ko [nygmr-Gnjrn`jo

 d   ( x 8 + e ) 1  d   ( x 8 ) + e d    ( x 8 ) + m(e ) e  8

Gn smaao, go prmkult↓ot gn imapmsìo ko dm`itlm`s kìrlvncgo sm`t kìrlvncgos.  d    j d    ∓  d j  1   2   (j   ◤◤  d   )  1  d    º (j  ◤  d   ) 3

n )b    (b )   d   (n ) + b !

  ↓∷

x  x 8

j ( x )

  ⇘⇓

  d   ( x ) 1 j ( x ) + m(j ( x ))

↓

x  x 8

Kì﬎`ltlm` Kì﬎`ltlm ` 6 Kìvo Kìvogmpp gmppoao` oao`tt glal glaltì tì M` klt qu“u`o dm`itlm`   d    nkaot u` kìvogmppoao`t glaltì è g“mrkro `  nu  nu vmlsl`njo ko  x 8 s“lg oxlsto n 8 , . . . , n `  ∅  togs quo 6

∓

 d   ( x ) 1 n 8 +n > ( x  x 8 )+

↓

x  x 8

º º º+n ` ` (x ∓ x 8)` +m((x ∓ x 8)` )

 È im``nàtro 6 Mpìrntlm`s usuoggos sur gos kìvogmppoao`ts glaltìs, l`tìjrntlm` torao è torao (sn`s mucglor gn im`stn`to k“l`tìjrntlm`), utlglsntlm` ko gn dmraugo ko [nygmr-\mu`j...

 Nppglintlm` è g“ìtuko kos sultos ku ku typo u ``  +> 1  d    (( u ``  ). N``ìo 3838/383>

 N``ìo 3838 383>  

Dli Dlieo eo < ’ Dm Dm`it `itlm` lm`ss k“ k“u`o u`o vn vnrlnc rlncgo go rìo rìoggo ggo

 ∓ ∓   ` 

x b  o 1   + m( x ` ) x ↓8 b ! b 18 `  3b  b    x  ims x    1 ( >)  + m( x 3` ) x ↓8 (3b )! b 18 x 

` 

b   

x 3b +>

>

 

 ∓ ∓ 

3?

` 

x b  + m( x ` ) ↓ > ∓ x  b 18 `  > ( >)b  x b  + m( x ` )  1 > + x  x ↓8 b 18  1

x  8

` 

 x b 

ie x    1  + m( x 3` ) x ↓8 b  ( 3 ) ! b 18

g`(> + x ) 1 ( >)b +>   + m( x ` ) x ↓8 b  b 1> `  ξ(ξ ∓ >) º º º (ξ ∓ b  +  + >) b    x  + m( x ` ) (> + x )ξ 1 > + x ↓8 b  ! b 1>

se x    1  + m( x 3` +> ) x ↓8 b  + >)! b 18 (3b   +

 +   + m( x ; ) tn` x    1 x  + x ↓8 9

3` +>

sl` x    1 ( >)  + m( x  x ↓8 (3b   + + >)! b 18 ` 

` 

)

x 3b 

x 9

x 3b +>

Kìvogmppoao` Kìvogm ppoao`ts ts glaltìs glaltìs usuog usuogs  s 

Dm Dm`itlm `itlm`s `s im`v im`voxos oxos

Xrmpmsltlm` _`o dm`itlm` ost im`voxo sl ot sougoao`t sl sm` ìpljrnpeo ost u`o pnrtlo im`voxo ko 3 .

↓  Jì`ìrngltìs Kì﬎` Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Dm` Dm`itlm` itlm` im`v im`voxo, oxo, dm`it dm`itlm` lm` im`in im`invo vo _`o dm`itlm`  d   ost  ost im`voxo sur g“l`torvnggo  L   ko  sl pmur tmut ( x , y ) ∅ L 3 ot tmut β ∅ R8, >Q 6

∓

 d   (>



  d   d  

β) x   + + β y   (> ∓ β) d   ( x ) + β d   ( y )

_`o nppglintlm`   d   ost   ost klto im`invo gmrsquo  d    ost ∓ im`voxo.

 

 d   ( x  )  d   ( x )

x 

x (>

∓ β) d   ( x ) + β d   ( y )

∓

 d   (>

x

(>

y 



β) x  +  + β y 

[eìmråao [eìmrå ao 6 Irm Irmlss lssn`i n`ioo ko gn po` po`to to ↓ .  d   ost Ymlt  d    6 L   ↓   ost im`voxo sl ot sougoao`t sl pmur tmut x  ∅  ∅ L , t   ↓

∓ β)x   ++ β y 

∓  ∓ x  t  ∓

  d   ( t )  d   ( x )

  ost irmlssn`to sur L   W{ W {x }.

_`o dm`itlm` ost im`voxo sl ot sougoao`t sl sm` jrnpeo ost nu-kossmus ko tmutos sos imrkos. Xrm Xrmpms pmsltl ltlm` m` 6 L` L`ìjn ìjnglt gltìì ko Fo Fo`so `so` `  ↓  u`o dm`itlm` im`voxo. Ymlt  d    6 L  ↓ Xmur tmus  x > , . . . , x ``  ∅   L   ot β> , . . . , β`  kos rìogs pmsltlds ko smaao >. Ngmrs,

     ` 

 d  

 d   ( x )  d   ( y )

` 

βl  x ll   

l 1>

  d   d  

βl  d   ( x l l )

l 1>

 d   ( z ) x

↓   Inrnitìrlsntlm`s jìmaìtrlquos Kì﬎`ltlm` Ymlt d    6 L  . M` nppog nppoggo go ìplj ìpljrn rnpe peoo ko d    g“o`soacgo  ↓ku pgn` sltuìs nu-kossus ku jrnpeo ko  d   . . kos pml`ts  Nutroao`t klt,

   11 {(x , y ) ∅ 3 |  y     d   ( x )}

z 

y 

Imrmggnlr Imrmgg nlroo 6 L` L`ìjn ìjnglt gltìì kos po` po`tos tos ↓  u`o dm`itlm` im`voxo ot  x , y , z  ∅  ∅ L  Ymlo`t d    6 L   ↓  7 z  7  7  y . Ngmrs, vìrl﬎n`t x  7

∓  ∓  ∓

∓  ∓  ∓

∓  ∓  ∓

 d   ( z )  d   ( x )  d   ( y )  d   ( x )  d   ( y )  d   ( z )        y  z   y  x  z  x 

 N``ìo 3838/383>  

 

34

Dlieo < ’ Dm Dlieo Dm`it `itlm` lm`ss k“ k“u`o u`o vn vnrlnc rlncgo go rìo rìoggo ggo

↓   Inrnitìrls Inrnitìrlsntlm` ntlm` pnr gn kìrlvìo kìrlvìo Gn irmlssn`io ko gn kìrlvìo poraot k“ìtncglr dnilgoao`t gn im`voxltì k“u`o dm`itlm` kìrlvncgo.

[eìmråao Ymlt  d    u`o dm`itlm` kìrlvncgo sur g“l`torvnggo L . Ngmrs, gos trmls prmprlìtìs sulvn`tos sm`t ìqulvngo`tos 6 (l)   d   ost   ost im`voxo (ll)   d     ost irmlssn`to (lll)  go jrnpeo ko  d    ost nu-kossus ko tmutos sos tn`tn`jo`tos

↓   L`tìjr L`tìjrntl ntlm` m` sur u` sojao` sojao`tt Yl  d    6 Rn , c Q ↓  ost im`tl`uo sur  O , o.v.`. ko klao`slm` ﬎`lo au`l k“u`o cnso   1 ( o > , . . . , o p p ), m` pmso 6

 

         c 

  c 

 d   ( t ) k t   1

Dm`it `itlm` lm`ss voi voitmr tmrlog loggos gos ot nr nris is pnr pnrnaì naìtr trìs ìs Dm M` nppoggo dm`itlm` voitmrloggo k“u`o vnrlncgo rìoggo tmuto dm`itl dm` itlm` m` kì﬎`lo kì﬎`lo sur u` l`t l`torvn orvnggo ggo L   ko ko ,èvngourskn`su` ospnio voitmrlog `mraì O   ko klao`slm` ﬎`lo. M` trnvnlggo trnvnlggo nvoi O   1 p , k“mü kos dm`itlm`s ko gn dmrao 6  d    6   L  t 

  ∓↓   p    ∓↓   ( d  >(t ), . . . , d  p (t )) Gos dm`itlm`s `uaìrlquos   d  l   6  L  ↓  pmur  l  ∅ {>, . . . , p }

sm`t nppogìos dm`itlm`s imapmsn`tos  mu  mu  dm`itlm`s immrkm``ìos   ko ko   d   . Yl  O  ost au`l k“u`o cnso    1 ( o > , . . . , o pp  ), m` pout tmufmurs ìirlro  d    1  d  > o > + º º º + d  p o p .

 ⊃  ↓ O   , mü O  ost ko klao`slm` p . Ymlt  d    6 L  ⊃

t 

t 8

↓

t 

 ∓

 ∅ L , ìjngltì trln`jugnlro). Ko pgus, pmur tmus n , c  ∅   x  •   D   6 x   ↓   d   ( t ) kt  ost ko ignsso  > sur  L   ot D   1  d   .

 

8

Gn kìrlvnclgltì ko  d    ìqulvnut è ioggo ko sos dm`itlm`s imapmsn`tos. Ko pgus, •   [muto imacl`nlsm` gl`ìnlro ko dm`itlm`s kìrlvncgos ost kìrlvncgo. • [muto imapmsìo ko dm`itlm`s kìrlvncgos kìrlvncgos ost kìrlvncgo. •   Yl   d    6   L   ↓   D   ot   j   6   L   ↓   J   sm`t kìrlvncgos sur   L   ot C   66 D   Ú Ú J  ↓  ↓ O  ost   ost clgl`ìnlro,  C ( d   , j ) ost kìrlvncgo ot 6 C ( d   , j ) 1 C ( d    , j ) + C ( d   , j  )

 Nppglintlm` k“u` prmkultignsslquo voitmrlog.6 kìrlvntlm` k“u` prmkult singnlro mu  sl oggo ost kìrlG“nppglintlm` d    ost klto ko ignsso  b  sur L  sl  b   L   b  vncgo  dmls sur  ot sl sn kìrlvìo -låao, `mtìo   d    (b ) , ost im`tl`uo sur L .

   

  c 

↓ O  ost • Yl  d    6 L   ↓  ost ko ignsso

>,

 d    (t ) kt   1  d   ( c )  d   ( n ).

∓

n 

Xrmpm Xrmpmsltlm sltlm` ` 6 L`ìj L`ìjngltì ngltì kos niirm niirmlsso lssoao`ts ao`ts ﬎`ls ↓ O  u`o Ymlt  d    6 L   ↓  u`o dm`itlm` ko ignsso  > , mü L  ost u` l`torvnggo ko . Y“lg oxlsto u` rìog A   0 8 tog quo pmur  ∅ L ,  d    (t )  A , ngmrs 6 tmut t  ∅

∈n , c  ∅  ∅ L ,    d   ( c ) ∓  d   (n )  A   º|º |c  ∓  ∓ n | M` rotrmuvo ìjngoao`t gos dmraugos ko [nygmr.

↓  Imurc  Imurcos os pgn`os pgn`os ot nris nris pnrna pnrnaìtr ìtrìs ìs _` nri pnrnaìtrì ost u`o nppglintlm`  d    6 t   ↓ ( x (t ), y (t )) ko ignsso  > sur u` l`torvnggo L  è vngours kn`s 3 . Go suppmrt ko g“nri ost ngmrs g“o`soacgo 6

{(x (t ), y (t )) ∅ 3 | t  ∅  ∅ L } •  Xnrnaìtrnjo ko gn krmlto pnssn`t pnr go pml`t A 8 ( x 8 , y 8 ) ot klrljìo pnr go voitour  u u   1 1





x   1 x 8 + t n 

 y   1 y 8 + t c 

t 

 ∓ t 8) º  d    (t 8) + m(t   ∓∓ t 8 )  d   ( t ) 1  d   ( t 8 ) + (t  ∓ t ↓t 8

n 

M` vìrl﬎o quo g“l`tìjrngo `o kìpo`k pns ko gn cnso iemlslo ot m` rotrmuvo gos prmprlìtìs ignsslquos ko g“l`tìjrngo (gl`ìnrltì, rogntlm` ko Iensgos, smaaos ko Sloan``, l`-

↓  Kìrlv  Kìrlvnclgl nclgltì tì k“u`o k“u`o dm`itlm` dm`itlm` voitmrloggo voitmrloggo  d   ( t ) ∓  d   ( t 8 )  d   ost  ost kìrlvncgo o` t  ∅ L  sl   sl gla oxlsto. Ngmrs, 8

 d  l (t ) kt  o l l 

l 1>

l 1>

n 

Imrmggnlro Ymlt   d   u`o   u`o dm`itlm` koux dmls kìrlvncgo sur g“l`torvnggo L .Ngmrs d    ost im`vox im`voxoo (ro (rosp sp.. im`inv im`invo) o) sl ot sougosougo    ao`t sl  d   0 8 (rosp.  d   7 8).

  c 

 d  l (t )o l l   k t   1

n 

n 

p 

  p 

n  6 c 

 ∅  ∅ )

(t 

• Xnrnaìtrnjo ku iorigo ko io`tro ℤ(n , c ) ot ko rnym` S  6 6



x (t ) 1 n  +  ims(t )  + S  ims

 y ( t ) 1 c  +  + S  sl`  sl`(t )

 ∅  ∅ )

( t 

  ↓ (x (t ), y (t )) ko ign ignsso  sso  > sur L 

Xg Xgn` n` k“ìtuk k“ìtukoo pmu pmurr d   6 t 

(l) Kmanl`o ko kì﬎`ltlm` (ll) Soieorieo kos syaìtrlos (pnrltì/pìrlmkliltì) (lll) Ìtuko kos vnrlntlm`s ko x  ot  ot  y  (lv) [n`jo`to o` u` pml`t rìjuglor rìjuglor ∓∓↓   kM A  x  (t 8 )  1  8, lg klrljo gn tn`jo`to gn   (t 8 ) 1 Yl  y  (t 8 ) k t  tn`jo`to è gn imurco o` A (t 8 ).

 

 N``ìo 3838/383>  

AN AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383>

 

3:

Sìsu Sì suaì aì >8 ’ Yul ulto toss `u `uaì aìrlq rlquo uoss ot vo voit itmrl mrlog oggo goss Yultos Yul tos `uaìr `uaìrlquos lquos ignssl ignsslquos quos

[eìmråao [eìmrå ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko gn gla glalto lto am am`mt `mtm`o m`o [muto sulto irmlssn`to ot anfmrìo im`vorjo vors sn cmr`o supìrlouro.

• Yulto nrlteaìtlquo ko rnlsm` r   ∅ ∅6



u 8

∅

_`o sulto irmlssn`to ot `m` anfmrìo klvorjo vors +∐.

u ``  +>  1 u ``   + r 

Mutro gos teìmråaos ko imapnrnlsm` ot kos jo`knraos, go teìmråao sulvn`t ost è im``nàtro.

 ∅ , u ``    11 u 8 + ` r .  Ngmrs, pmur tmut `  ∅

[eìmrå ao 6 Yu Yulto ltoss nkf nkfnio nio`to `toss [eìmråao Ymlt  ( u ` )` ∅ ot  ( v ` )` ∅ koux sultos rìoggos vìrl﬎n`t 6 (l)   (u `  ` )` ∅ irmlssn`to ot  ( v `  ` )` ∅ kìirmlssn`to. (ll)   u `  8. `  ∓ v `  ` ∓∓∓∓↓   ` ↓+∐  Ngmrs ( u `  ` )` ∅ ot  ( v `  ` )` ∅ im`vorjo`t vors gn aæao glalto.

∅ • Yulto jìmaìtrlquo ko ko rnlsm` q   ∅



u 8

∅

u ``  +> 1 q u ``  

 ∅ , u `  1 q ` u 8.  Ngmrs, pmur tmut `  ∅ • Yulto nrlteaìtlim-jìmaìtrlquo



u 8

↓   Yultos Yultos oxtrnltos oxtrnltos ot vngours vngours k“nkeìro k“nkeìro`io `io

∅

u ``  +> 1 n u ``   + c    (n  1 >)

  

  + c .  ( u ``    ) M` `mto  go pml`t ﬎xo ko gn sulto 6   1 n   1 n ` (u 8 ∓ ) + .  ∓ ost jìmaìtrlquo ko rnlsm` n  ot  ot  u ``    1 • Yulto rìiurro`to rìiurro`to gl`ìnlro k“mrkro k“mrkro 3



u 8 , u >

∅

u ``  +3  1 n u ``  +> + c u ``  

∓ c   11 8 ko M` rìsmut g“ìquntlm` inrnitìrlstlquo  U 3 ∓ n U   ∓ klsirlal`n`t nssmilì ∄. (l) Yl ∄ 0 8, koux rnil`os rìoggos klstl`itos  r > ot  r 3 .

∉(β, ¿) ∅ 3 , ∈`   ∅∅ ,  u `  1 βr >`   + ¿r 3`  (ll) Yl ∄ 1 8, u`o rnil`o rìoggo kmucgo r . 3

` 

∉(β, ¿) ∅  , ∈`   ∅∅ ,   u ``   1 ( β + ` ¿)r  (lll) Yl ∄ 7 8, koux rnil`os imapgoxos ώ o¾l ε .

∉(β, ¿) ∅ 3, ∈`  ∅  ∅ , u `  1 ώ ` (β ims(` ε ε )+¿ sl`(` ε )) Im`vorjo` Im`vor jo`io io kos sul sultos tos `ua `uaìrlq ìrlquos uos (u ` )` ∅ kìslj`o lil u`o sulto è vngours kn`s  mu .

Kì﬎`ltlm` M` klt qu“u`o sulto  ( u ``  )` ∅ im`vorjo vors  ∅  sl,

∈ 0 8,   ∉@  ∅  ∅ ,   ∈`   @ ,   u ``   ∓  7  Gn glalto glalto,, gmrsqu gmrsqu“og “oggo go oxl oxlsto sto,, ost u`lquo u`lquo.. [muto muto sulto sulto im`vor im`vor-jo`to ost cmr`ìo, anls gn rìilprmquo ost dnusso.

↓   Ins Ins kos sultos sultos rìoggo rìoggoss  Nxlmao ko gn cmr`o supìrlouro 6 tmuto tmuto pnrtlo `m` vlko ot anfmrìo ko  nkaot u`o cmr`o supìrlouro.

[muto sulto ko gn dmrao  ( u ϟ (` ) )` ∅ nvoi ϟ 6  ↓  strlitoao`t irmlssn`to ost nppogìo sulto oxtrnlto mu smus-sulto ko ( u `  + pulsquo ϟ (` )  ` . ` )`   . M` n ϟ (` ) `  + ∅ ↓ ∐ ∓∓∓∓↓ ∐ [eìmråao Yl ( u ` ` )` ∅ im`vorjo vors  ngmrs tmuto sulto oxtrnlto im`vorjo vors . [eìmråao åao 6 Cmgz Cmgzn`mn`m-Z Zolors olorstrnss trnss [eìmr Ko tmuto sulto imapgoxo cmr`ìo, m` pout oxtrnlro u`o smus-sulto im`vorjo`to.

Sogntlm`s imapnrnls rnlsm` m` Sogntlm`s ko imapn  s m`t koux sultos `uaìrlquos rìoggos Yl ( u `  ` )` ∅ sm`t ` )` ∅  ot  ( v `  nvoi v `   1 8 è pnrtlr k“u` iortnl` rn`j, m` klt quo 6 u `  1 >. •   (u `  ìqulvngo`toss sl sl ` ↓ gla ` )` ∅ ot  ( v `  ` )` ∅ sm`t ìqulvngo`to +∐

@mtntlm` 6 u `  `   

v `  ` 

∷ v ` ` 2  ` ↓ ∐ +

u 

`  `  1 8. •   (u `  ` )` ∅ ost `ìjgljoncgo kovn`t  ( v `  ` )` ∅  sl gla ` ↓+∐ v `  `  @mtntlm` 6 u `  m(v `  `    1 ` ) 2 ` ↓+∐

•   (u `  ` )` ∅ ost kmal`ìo pnr ( v `  ` )` ∅ sl

  u `  `  v `  ` 

ost cmr`ì.

@mtntlm` 6 u `  M(v `  `    1 ` ). ` ↓+∐ Yl  ( u ` ` )` ∅  im`vorjo vors u` rìog    ot  u `    ∷ v ` `  ngmrs ` ↓+∐ (v `  ` )` ∅ im`vorjo vors gn aæao glalto . Ko pgus, sl koux sultos sm`t ìqulvngo`tos, gos toraos jì`ìrnux sm`t ko aæao slj`o è pnrtlr k“u` iortnl` rn`j.

[eìmråao Xmur koux sultos ( u `  ` )` ∅  ot  ( v `  ` )` ∅ km``ìos, u `  ` 

 ↓∷∐ v ` `    ⇘⇓  

`  +

u `  `    1

↓ ∐

`  +

v `  `  + m(v `  ` )

 N``ìo 3838/383>  

 

35

Dlieo >8 ’ Yu Dlieo Yulto ltoss `ua `uaìrlq ìrlquos uos ot vo voitm itmrlog rloggos gos

Yultos Yul tos voitm voitmrloggos rloggos M` `mto ( O ,  º ) u` -ospnio voitmrlog `mraì ko klao`slm` quogim`quo.

↓   Im`vorjo Im`vorjo`io `io k“u`o k“u`o sulto Kì﬎`ltlm` Ymlt  ( u ``  )` ∅ u`o sulto k“ìgìao`ts ko O . M` klt quo 6 •  gn sulto ( u ``  )` ∅ ost cmr`ìo s“lg oxlsto A   0 8 tog quo pmur tmut `  , u ``    A .   • gn sulto ( u ``  ) ∅ ` ∅ im`vorjo vors  ∅ O   sl 6

∈ 0 8,   ∉@  ∅  ∅ ,   ∈`   @ ,   u ``   ∓  7  M` klt qu“oggo klvorjo sl`m`. M` roanrquorn quo gn sulto ( u ``  )` ∅ im`vorjo vors  sl, ot sougoao`t sl, gn sulto `uaìrlquo  (u ``   ∓ )` ∅ im`vorjo vors 8.

Xrmpmsltlm` (l)   Gn glalto k“u`o sulto, gmrsqu“oggo oxlsto ost u`lquo. (ll) [muto sulto im`vorjo`to im`vorjo`to ost cmr`ìo. G“o`soacgo kos sultos ( u  im`vorjo`tos ost u` ospnio voitmrlog ot g“nppglintlm` `   ost u`o dmrao ` `  )` ∅ ↓   gla u ` ` ↓+∐ gl`ìnlro sur iot ospnio. Xrmpmsltlm` Ymlo`t p  ospnios  ospnios voitmrlogs `mraìs  ( O l l , @ l l ). M` pmso O   1 O > ÚºººÚ O pp   ot m` au`lt  O   ko gn `mrao prmkult `mtìo @ . _`o sulto  u   1 1 ( u > , . . . , u pp  ) ko  O  im`vorjo sl, ot sougoao`t sl, ienquo sulto  u l  im`vorjo kn`s  O l l . Kn`s io ins,





gla u   1   gla u  ,..., gla u pp  ,`  ` ↓+∐ ↓ ∐ ``   ` ↓+∐ >,>,` 

`  +

_`o sulto kì﬎`lo sur u` ospnio voitmrlog `mraì prmkult im`vorjo sl ot sougoao`t sl ieniu`o kos sultos imapmsn`tos im`vorjo. Nl`sl, •   pmur ìtuklor u`o sulto è vngours kn`s p , m` so rnaå`orn `orn è g“ g“ìt ìtuk ukoo ko koss p  sultos  sultos imapmsn imapmsn`to `toss (og (oggos gos,, è vng vngour ourss kn`s ). •  pmur kìtoral`or gn `nturo k“u`o sulto è vngours kn`s , m` pmurrn ìtuklor gn im`vorjo`io kos pnrtlos rìoggo ot lanjl`nlro.

↓   Yultos Yultos oxtrnltos oxtrnltos ot vngours vngours k“nkeìro k“nkeìro`io `io Kì﬎`l ﬎`ltlm tlm` ` 6 Yu Yulto lto oxt oxtrnl rnlto to Kì M` nppoggo sulto oxtrnlto mu smus-sulto k“u`o sulto (u ``  )` ∅  ko  O  tmuto sulto ko gn dmrao  ( u ϟ (` ) )` ∅  mü ϟ 6  ↓  ost strlitoao`t irmlssn`to. Kì﬎` Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Tngour k“n k“nkeìro keìro`io `io M` nppoggo vngour k“nkeìro`io k“nkeìro`io k“u`o sulto ( u ``  )` ∅ ko O   tmuto glalto k“u`o o smus-sulto ko ko ( u ``  )` ∅ .

Xrmpmsltlm` _`o sulto im`vorjo vors    ∅   O  sl, ot sougoao`t sl, tmutos sos smus-sultos im`vorjo`t vors  . Gn glalto glalto ost km` km`ii g“u g“u`lqu `lquoo vngour vngour k“nkeì k“nkeìro` ro`io io k“ k“u`o u`o sulto sulto im`vor im` vorjo` jo`to. to. Nl`sl, Nl`sl, u`o sulto sulto nyn`t nyn`t nu aml`s aml`s koux koux vngours vngours k“nkeìro`io klvorjo. Yl B   ost u`o pnrtlo im imapnito apnito ko O , tmuto sulto nkaot nu aml`s, pnr kì﬎`ltlm`, u`o vngour k“nkeìro`io kn`s B  . .

 N``ìo 3838/383>  

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

3<

Sìsu Sì suaì aì >> ’ Yì Yìrlo rloss `u `uaì aìrlq rlquo uoss ot vo voit itmrl mrlog oggo goss Ymaaoss ignssl Ymaao ignsslquos quos

 ` 

b   1 1

` (`   + + >)

3

b 18

` 

 >, Yl q    1

 ` 

` 

b 18

3

b  1

> ∓ q ` +> q b  1   ot

 Ntto`tlm`, ios ios rìsugtnts `o sm`t sm`t vngncgos quo pmur pmur kos sìrlos è toraos pmsltlds (nu aml`s è pnrtlr k“u` iortnl` rn`j).

` (`   + + >)(3`   + + >)

4

b 18

` 

q b  1 q p 

º

 > ∓ q ` ∓p +>

b  b 1p  > ∓ q  > ∓ q  ` ∓> `  b  ` ∓b  x   y  ot  x ` ∓ y `  1 ( x ∓ y ) x b  y ` ∓>∓b 

  b  b 18

( x + y )`  1

  ot

↓   In Inss ko koss sì sìrl rlos os è tora toraos os pm pmsl sltl tlds ds



b 



[eìmråao M` suppm suppmso so quo u `  sìrlo rlo è tora toraos os pmslt pmsltlds lds.. `   ostu`o sì ` )` ∅ ost anfmrìo ngmrs gn sìrlo im`vorjo. Yl gn sulto (Y `  Yl`m`, oggo klvorjo vors +∐.



b 18

[eìmråao [eìmrå ao 6 Så Såjgo jgo ko an anfmr fmrntl ntlm` m`  ∅ , 8  u ` `   v ` ` . M` suppmso quo pmur tmut `  ∅ (l) v `  u `  `  im`vorjo 1⇓ `  im`vorjo. +∐ +∐ Ot ngmrs, u `  v `  `   ` .

Im` Im`vor vorjo` jo`io io kos sìr sìrlos los `ua `uaìrl ìrlquo quoss

Gn sulto ( u ` )` ∅ ost suppmsìo è vngours kn`s . M` nppoggo 6

 ` 

• smaao pnrtloggo nu rn`j `  go  go torao Y `  1

u b .

b 18

` 18



• sìrlo ko ko torao jì`ìrng u ``   gn sulto (Y ``  )` ∅ , `mtìo u ``  . •   smaao ko gn sìrlo ko torao jì`ìrng gn glalto ko (Y ` )` ∅ Gn sìrlo ko torao jì`ìrng  u ``   ost klto im`vorjo`to gmrsquo (Y ``  )` ∅ im`vorjo. M` nppoggo ngmrs 6 • smaao ko gn sìrlo gn glalto ko (Y ` )` ∅ . +∐



@mtntlm` 6 Y   1 1   gla Y ``   1 u ``  . ` ↓+∐ ` 18



∐

+

• rosto rosto nu rn`j `  gn  gn klddìro`io S ``   1 Y  ∓ Y ``   1

       ⇓ 

u b  b .

b 1` +>

M` `o amkl﬎o pns gn `nturo k“u`o sìrlo o` amkl﬎n`t sos proalors toraos. Xotlt pnssnjo o` rovuo kos toie`lquos nu prmjrnaao poraottn`t ko kìtoral`or gn `nturo k“u`o sìrlo.

(ll)

` 18

u `  `  klvorjo 1

v `  `  klvorjo.

[eìmrå ao 6 Så Såjgo jgo kos ìqu ìqulv lvngo ngo`ts `ts [eìmråao M` suppmso v `  `  è toraos pmsltlds ot  u `  `   

∷

`  +

  

 Ngmrs,

u `  `  ot  ot

v `  ` .

v `  `   sm`t ko aæao `nturo.↓ ∐

[eìmrå ao 6 Så Såjgo jgo ko k“ k“Ngo Ngoaco acort rt [eìmråao  pmsltlds vìYmlt u ` `  u`o sìrlo è toraos strlitoao`t  pmsltlds   u ` +> ∓∓∓∓↓ . rl﬎n`t ko pgus u `  `  ` ↓+∐ • Yl  7 >, gn sìrlo im`vorjo. • Yl  0 >, gn sìrlo klvorjo. • Yl  1 >, m` `o pout rlo` klro.

↓   Klvorjo`io jrmsslåro [eìmr [eìmråao åao 6 Imap Imapnrnls nrnlsm` m` sìrlo sìrloss/l`tìjrngos Yl  d    6 Rn , +∐R↓  ost im`tl`uo, pmsltlvo ot kìirmls+∐

[eìmråao Yl u ``   im`vorjo ngmrs  u ``  ∓∓∓∓↓ 8.   ` ↓+∐



 Nl`sl, sl  ( u ``  )` ∅  `o im`vorjo pns vors 8, gn sìrlo klvorjo (ko an`låro jrmsslåro). Gn rìilprmquo ost dnusso imaao go am`tro g“oxoapgo

↓  Ingi  Ingiug ug klroit klroit



 > ` 

.

[eìmr mråao åao 6 Yìr Yìrlo lo jìm jìmaìt aìtrlq rlquo uo [eì `  ∅ ). x  im`vorjoslotsougoao`tsl | x | 7 >(pmur x   ∅   >  . Kn`s io ins, sn smaao vnut > ∓ x 



M` pout ìjngoao`t prmuvor gn im`vorjo`io ko sìrlos è g“nlko ko smaaos tìgosimplquos. Xrmpmsltlm` Gn sulto ( u ``  )` ∅  im`vorjo ssl gn sìrlo im`vorjo.

 

    ∅  

sn`to,

 d   ( ` ) ot

n 

  d   ( t ) kt   sm`t ko aæao `nturo `nturo..

Io teìmråao dmur`lt ko `muvoggos sìrlos ko rìdìro`io.

[eìmrå mråao ao 6 Yìrl Yìrlos os ko Slo Sloan` an`` ` [eì  >   im`vorjo sl ot sougoao sougoao`t `t sl ξ 0 >. Ymlt ξ . ξ ` 

[eìmrå [eìm råao ao 6 Så Såjg jgos os ku po potl tltt m ot ku jr jrn` n`k kM Ymlt v `  `   u`o sìrlo è toraos pmsltlds im`vorjo`to. • Yl u `  u `  `  1 M( v `  ` ), ngmrs `  im`vorjo (ncsmguao`t). • Yl u `  1 m(v ` ), ngmrs u `  im`vorjo (ncsmguao`t) M` pout imapnror gos rostos  ko  ko koux sìrlos è toraos pmsl-

( u ``  +>

∓ u ``  )

 Nppglintlm` nu kìvogmppoao`t  Nppglintlm` kìvogmppoao`t nsyaptmtlquo nsyaptmtlquo ko gn sìrlo enram`lquo.

tlds im`vorjo`tos  6 6 v `  S  . • Yl u `  `    ∷ `  ngmrs S `  `    ∷ ` ↓+∐ ` ↓+∐ `  • Yl u `  m(v `  m S `  . `    1 ` ) ngmrs S `  `    1 ` ↓+∐ ` ↓+∐ • Yl u `  M(v `  M S `  . `    1 ` ) ngmrs S `  `    1 ` ↓+∐ ` ↓+∐

 

 N``ìo 3838/383>  

 

98

Dlieo >> ’ Yìr Dlieo Yìrlos los `ua `uaìrlq ìrlquos uos ot voi voitmr tmrlog loggos gos

M` pout imapnror gos  smaaos pnrtloggos  ko  ko koux sìrlos è toraos pmsltlds klvorjo`tos  6 6 • Yl u ``     ∷ v ``   ngmrs Y ``     ∷ Y `  . ` ↓+∐ ` ↓+∐ • Yl u ``     1 m(v ``  ) ngmrs Y ``     1 m Y `  . ` ↓+∐ ` ↓+∐ • Yl u `    1 M(v ` ) ngmrs Y `    1 M Y `  . ` ↓+∐ ` ↓+∐

Yìrl os è vn vngo gour urss kn kn`s `s u` o. o.vv.` .`.. ko kl kla. a. ﬎` ﬎`lo lo Yìrlos

↓   Im`vorjo`i Im`vorjo`ioo ncsmguo ncsmguo

im`vorjo.

 

Ymlt (O ,  º ) u` osp ospnio nio voitmrl voitmrlog og `mraì `mraì ko klao`sl klao`slm` m` ﬎`lo. ﬎`lo. Gn `nturo ko gn sìrlo ost nl`sl l`kìpo`kn`to ko gn `mrao iemlslo.

↓   IIm`v m`vorj orjo`i o`ioo k“u`o k“u`o sìrlo sìrlo è vngou vngours rs kn`s kn`s u` o.v.`. o.v.`. M` klt quo u ` `  im`vorjo ncsmguao`t gmrsquo u ` ` 

Gmrsquo gn sìrlo `“ost pgus è toraos pmsltlds (ins rìog mu imapgoxo), m` ìtuklo sn im`vorjo`io ncsmguo. Kì﬎`ltlm` M` klt quo u ``   im`vorjo ncsmguao`t gmrsquo gn sìrlo è toraos pmsltlds |u ``  | im`vorjo.

  

↓  Xrmk  Xrmkult ult ko Inuiey  Inuiey 



[eìmråao _`o sìrlo ncsmguao`t im`vorjo`to k“u` ospnio voitmrlog `mraì ko klao`slm` ﬎`lo ost im`vorjo`to.

↓   Oxpm`o`tlo Oxpm`o`tloggos ggos ko antrlios antrlios ot k“o`kmam k“o`kmamrpels rpelsaos aos

 (

∓>)`   ost soal-im`vorjo`to soal-im`vorjo`to.. ` 

>l ` 

`mrao sur A `  ` (). Oggo vìrl﬎o 6

      

(ξ` )` ∅ pmsltlvo, ( ξ` )` ∅

 im`vorjo ncs.

b  b ∅ b ! ∅ Yn smaao smaao ost nppogì nppogìoo oxpm`o oxpm`o`tl `tloggo oggo ko N  otm`  otm` pm pmso6 so6

 

∐  N b 

+

 N 

oxp( N ) 1 o 1

b 18

b !



∐  d   b   ∅  (O ) (o` kla. ﬎`lo), oxp Ko aæao, pmur  d   ∅ ﬎`lo), oxp( d   ) 1  . b ! b 18 +

[eìmr åao 6 [eì [eìmr mråao åao spì spìiln ilngg kos sìr sìrlos los ngt ngtor` or`ìos ìos [eìmråao Ymlt (∓>)` ξ`   u`o sìrlo è toraos rìogs toggo quo 6

 ∓

|

 N b 

Xmur tmut N  A ` (), gn sìrlo

b 18

↓   Irltår Irltåroo spìiln spìilngg kos sìrlos sìrlos ngtor` ngtor`ìos ìos

n l l , f  kì﬎`lt u`o

[eìmråao / Kì﬎ Kì﬎`lt `ltlm` lm` 6 Oxp Oxpm` m`o`t o`tlog loggo go ko ant antrlio rlio



` 18

 f 1>

∈ N , C  ∅  ∅ A ` ` (),    NC    N  º C   ∅ ,    N b    N b . Xnr rìiurro`io slapgo,   ∈b  ∅

prmkult ko Inuiey im`vorjo (ncsmguao`t) ot 6 `  +∐ +∐ +∐ w ``   1 u ``   º u b  v ``     nvoi w ``   1 b  v ` `  ∓b  ` 18

|

   anx   ∅ √ . G“nppglintlm` N   ↓ Ymlt `  ∅

[eì [eìmr mråao åao 6 Xrm Xrmkul kultt ko Inu Inuiey  iey  Yl u ``    ot v ``   im`vorjo`t ncsmguao`t ngmrs gour

` 18

 

` 

[eìm råao ao 6 IT nc ncss 1⇓ IT  [eìmrå _`o sìrlo ncsmguao`t im`vorjo`to ost im`vorjo`to. Gn rìilprmquo ost dnusso 6

 

Xrmpmsltlm`  ∅ A ` ` () imaauto`t, Yl N , C  ∅

   otot ` ↓gla gla ξ`  1 8. ∐ +

 Ngmrs ( >)` ξ`  im`vorjo ot |S ``  | 1 |Y  ∓ Y ``  |  ξ` +> . S ``   ost ko pgus ku slj`o ku proalor proalor torao « `ìjgljì ².

oxp( N + C ) 1 oxp( N ) oxp(C ) 1 oxp(C ) oxp( N )

 Nppglintlm` è g“ìtuko  Nppglintlm` g“ìtuko ko gn im`vorjo`io im`vorjo`io u`ldmrao u`ldmrao ko ioriortnl`os sìrlos ko dm`itlm`s. Yìrlo ngtor`ìo= Im`vorjo`io ncsmguo= mul    `    m    `

Såjgo ko anfmrntlm` Såjgo kos ìqulvngo`ts

Klvorjo`io jrmsslåro=

`m`

  

u `  è toraos pmsltlds=

mul

Såjgo ko k“Ngoacort Imapnrnlsm`

   /

Såjgo ku potlt m mu M

`m`

=

 N``ìo 3838/383>  

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

9>

Sìsu Sì suaì aì >3 ’ Dna nalg lggo goss sm smaa aanc ncgo goss O`soacgos O`soa cgos kì`ma kì`macrnc crncgos gos

↓   Ins kos dnalgg dnalggos os ko `macro `macross rìogs rìogs mu imapgo imapgoxos xos

Kì﬎`ltlm` 6 O`so Kì﬎`ltlm` O`soacgo acgo kì`m kì`macrnc acrncgo go •  _` o`soacgo O   ost klt kì`macrncgo s“lg oxlsto u`o clfoitlm` o`tro O   ot . •  Lg sorn klt nu pgus  kì`macrncgo  kì`macrncgo s“lg ost ﬎`l mu o` clfoitlm` nvoi . Yl O   ost kì`macrncgo, m` pout `uaìrmtor sos ìgìao`ts ìgìao`ts 6

Kì﬎`ltlm` Gn dnalggo   (u l l )l ∅L  ko `macros imapgoxos ost klto smaancgo sl gn dnalggo ko rìogs pmsltlds (|u l |)l ∅L  g“ost. [muto imacl`nlsm` gl`ìnlro dnalggos smaancgos ost smaancgo ot pmur u`o dnalggokosmaancgo  ( u l l )l ∅L   6

   | |  

{  |   ∅∅ }

O   1 x ``   `  

u l l  

Gos o`soacgos , √ , , 3 ,  sm`t kì`macrncgos. kì`macrncgos. •  Go prmkult inrtìslo` k“u` `macro  ﬎`l  k“o`soacgos  k“o`soacgos kì`macrncgos ost kì`macrncgo. kì`macrncgo. •  Gn rìu`lm` ﬎`lo  mu  mu kì`macrncgo  k“o`soacgos   k“o`soacgos kì`macrncgos ost kì`macrncgo. kì`macrncgo. Gos o`soacgos , {8, >} ot  `o sm`t pns kì`macrncgos.

Dnal nalggos ggos sma smaanc ancgos gos ko `ma `macr cros os ima imapgo pgoxos xos

∅

↓   Ins Ins kos dnalgg dnalggos os ko rì rìogs ogs pmsltl pmsltlds ds Kì﬎`ltlm` Gn dnalggo ko rìogs pmsltlds  ( u l l )l ∅L  ost smaancgo sl

  |  ⊃ ⊃        u ll    F 

L , F  ﬎`lo   ﬎`lo  ost anfmrì.

∅

l   F 

Kn`s io ins, m` pmso 6

u l l   1 sup

∅

l  L 

⊃

 F  L  l   F   F ﬎`lo

Yl ( u ll  )l ∅L   `“ost pns smaancgo, m` pmso

[eìmrå mråao ao 6 Yma Ymaant antlm` lm` pnr pnq pnquot uotss (in (inss ima imapgo pgoxo) xo) [eì Ymlo`t ( L ` ` ) u`o pnrtltlm` ko  L   ot ( u l l )l ∅L  u`o dnalggo ko `macros imapgoxos suppmsìo smaancgo. Ngmrs, (l) pmur tmut tmut o`tlor o`tlor ` , ( u l l )l ∅L `  ost smaancgo smaancgo22

   | |         

(ll) gn sìrlo

u l l 

∅

u ll   im`vorjo.

   ∅

∅

ll   L ` 

∐

+

Kn`s io ins,

u ll   1

∅

l  L 

` 18

u l l  .

∅

l  L ` 

im`vorjo.

∅ +∐

l  L ` 

 1 l  u  Ko pgus, l l ∅L  `  ` 18

l  l  l  L `  u 

.

∅

Imrmggnlr ggnlroo 6 Im` Im`vorjo vorjo`io `io imaa imaautntlv utntlvoo Imrm Yl gn sìrlo u `  im`vorjo ncsmguao`t, pmur tmuto porautntlm` ω ko , u ω(l ) l ∅ ost smaancgo ot 6 +∐ +∐ ` 18

u l l 

u `  ` 

` 18

∅

 Nppglintlm` nux sìrlos kmucgos

∐.

u l l  1 +

∅

l  L 

[eìmr mråao åao 6 Yma Ymaant antlm` lm` pnr pnq pnquot uotss (in (inss pms pmsltl ltldd ) [eì Ymlo`t  ( L ``  )` ∅  u`o pnrtltlm` ko  L   ot  ( u l l )l ∅L  u`o dnalggo ko rìogs pmsltlds. Ngmrs, gn dnalggo   (u l l )l ∅L   ost smaancgo sl, ot sougoao`t sl, gos koux im`kltlm`s sulvn`tos sm`t vìrl﬎ìos 6 (l) pmur tmut o`tlor o`tlor ` , ( u l l )l ∅L ``   ost smaancgo2 ` `   

l  L 

u ω(` ) 1

Xrmpms ltlm` m` 6 Glo Glo` ` nv nvoi oi gos sìrl sìrlos os `u `uaìr aìrlqu lquos os Xrmpmsltl Gn dnalggo ko rìogs pmsltlds ( u l l )l ∅ ost smaancgo sl, ot sougoao`t sl, gn sìrlo u ``   im`vorjo. +∐ u l  1 u l . Kn`s io ins, l ∅ l 18

(ll) gn sìrlo

∅

l  L 

`  

kìslj`oo u`odnalggoko `macr `macros os imapgox imapgoxos os l`koxì l`koxìoo (u l )l ∅L   kìslj` pnr u` o`soacgo kì`macrncgo L .

u l l 

[eìmråao [eìmr åao 6 [m`ogg m`oggll klsir klsirot ot Ymlt ( u ` ,p )(` ,p )∅3  u`o dnalggo ko rìogs pmsltlds. Iotto dnalggo ost smaancgo sl, ot sougoao`t sl, gos koux  im`kltlm`s sulvn`tos sm`t vìrl﬎ìos 6 u `  (l) pmur tmut tmut o`tlor o`tlor ` , ` ,p  im`vorjo p ∅ (ll) gn sìrlo

     

u `  ` ,p  im`vorjo

∅

p ∅ ∐ +∐

`   +

Yl i“ost go ins,

u `  ` ,p   1

` 18 p 18

∐ +∐

+

u `  ` ,p .

p 18 ` 18

[eìmrå ao 6 Duc Ducl`l l`l kls klsiro irott [eìmråao Yl gn dnalggo ko imapgoxos   (u ` ` ,p )(` ,p )∅3   ost sma+∐ +∐ +∐ +∐ u `  u `  ` ,p . ` ,p   1 ancgo, ngmrs

  ` 18 p 18

p 18 ` 18

M` ro rotrm trmuvo uvo ìjngoa ìjngoao`t o`t go teìmrå teìmråao ao ku prmkul prmkultt ko Inuiey Inuiey..

 N``ìo 3838/383>  

 

93

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìs ìsua uaìì >9 ’ Yul ulto toss ot sì sìrl rlos os ko dm dm`i `itl tlm` m`ss Yulto Yu ltoss ko dm` dm`itl itlm`s m`s

Aìtemk Aìt emkoo 6 ìtn ìtncgl cglrr gn `m` `m`-im -im`vo `vorjo rjo`io `io u`ldmr u`ldmrao  ao 

↓   Amkos Amkos ko im`vorjo` im`vorjo`io io

Gs pmsslclgltìs sm`t augtlpgos. M` pout fustl﬎or 6 slapgo pgo (im`kltlm` al`lango ) 2    gn `m`-im`vorjo`io sla    go `m`-rospoit kos teìmråaos teìmråaos ko im`tl`ultì ot ko kmucgo glalto.



M` im`slkåro u`o sulto ko dm`itlm`s  d  `  ` ∅ kì﬎`los sur u` l`torvnggo L  ot è vngours kn`s .

Kì﬎`ltlm` 6 Im` Kì﬎`ltlm` Im`vorjo vorjo`io `io slap slapgo go  im`vorjoo slapgoao`t slapgoao`t vors M`kltquognsulto  d  `  ` ∅ im`vorj gn dm`itlm`  d    sur L   sl 6



∈x  ∅  ∅ L ,

  d  ` ( x )

k k“u`o “u`o sulto ( u ` )` ∅ toggo quo 6 |  d  d  ` (u ` ` ) ∓  d   ( u ` ` )| ∓∓∓∓↓  8 ` ↓+∐

↓   Im`vorjo` Im`vorjo`io io u`ldmrao, u`ldmrao, im`tl`ultì im`tl`ultì ot kmucgo kmucgo glalto glalto

∓∓∓∓↓  d   ( x ) ` ↓ ∐ +



Ìtncglr gn im`vorjo`io slapgo ko gn sulto  d  `  ` ∅ rovlo`t è ∅ L . am`tror gn im`vorjo`io ko ( d  ` ( x ))` ∅ pmur tmut  x   ∅

Kì﬎`ltlm` Im`vorjo vorjo`io `io u`ldm u`ldmrao rao Kì﬎`ltlm` 6 Im`



M` klt quo gn sulto  d  `  ` ∅ im`vorjo u`ldmraìao`t vors gn dm`itlm`  d    sur L   sl  d  ``   ∓  d   ost  ost cmr`ìo è pnrtlr k“u` iortnl` rn`j sur  L   ot 6

O`inskoim`vorjo`iou`ldmrao,gnim`tl`ultìsotrn`saot pnr pnssnjo è gn glalto.

[eì [eìmrå mråao ao 6 Im` Im`tl` tl`ult ultìì ko gn gla glalto lto u`l u`ldmr dmrao ao

  

Ymlt  d  `  ` ∅  u`o sulto ko dm`itlm`s ko   L   kn`s     ∅ L . im`vorjon`t im`vo rjon`t u`ldmraìao`t u`ldmraìao`t vors d    sur L  ot   ot smlt smlt n  ∅  ∅ ,  d  `  ost im`tl`uo o` n , ngmrs  d    ost Yl, pmur tmut `  ∅ im`tl`uo o` n . Gn im`tl`ultì ìtn`t u`o prmprlìtì gmingo, m` pout so

8,

 d  `   d  

   g“oxlsto`io

` ↓ ∐  ∓  ∐ ∓∓∓∓↓ ∓∓∓↓ 8 i“ost i“ost-è-è-klr klroo 6 sup | d    d  ` ( x ) ∓  d   ( x )| ∓∓∓∓↓ ` ↓ ∐ +

+

∅

x  L 

 y   d    +   d    d  `   d   

 ∓

im`to`tor ko trnvnlggor sougoao`t nu vmlsl`njo ko n . [eìmrå mråao ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko gn kmu kmucgo cgo gla glalto lto [eì

  

Ymlt  d  `  ` ∅  u`o sulto ko dm`itlm`s ko   L   kn`s    im`vorjon`t u`ldmraìao`t vors   d    sur  L  ot smlt  n  u` pml`t nkeìro`t è  L  (mu clo`  n   1 ¾∐). Yl, pmur  ∅ ,   d  `  nkaot u`o glalto `   o` n , ngmrs ( ` ) tmut `  ∅ nkaot u`o glalto  ot  d    (( x ) ∓↓ . x ↓n  Io rìsugtnt jì`ìrnglso go prìiìko`t.

↓   Im`vorjo` Im`vorjo`io io u`ldmrao, u`ldmrao, l`tìjrntlm l`tìjrntlm` ` sur u` sojao`t sojao`t [eìmråao Ymlt ( d  ` ) u`o sulto ko dm`itlm`s im`tl`uos sur u` sojx 

ao`t Rn , c Q ot è vngours kn`s , im`vorjon`t u`ldmraìao`t sur go sojao`t  Rn , c Q. Ngmrs,

Lggust Lggustrn rntlm` tlm` ko gn im`v im`vorj orjo`io o`io u`l u`ldmr dmrao  ao 

gla ↓ ∐



Yl u`o sulto  d  `  ` ∅ im`vorjo u`ldmraìao`t vors  d   sur L , ngmrs oggo im`vorjo slapgoao`t vors  d    sur L .

Aìtemk Aìt emkoo 6 ìtncgl ìtncglrr gn im`vorj im`vorjo`io o`io u`l u`ldmr dmrao  ao 

M` imaao`io pnr kìtoral`or gn glalto slapgo   d   ko   ko gn sulto ko dm`itlm`s  d  `  ` ∅ . Y“mddro`t koux pmsslclgltìs 6   Gn cmr`o supìrlouro sur  L   ko | d    d  `  ∓  d   | s“mctlo`t pnrdmls pnr slapgo ìtuko ko dm`itlm`. Lg sud﬎t kn`s io ins ko pnssor è gn glalto.    Go ingiug oxpglilto ko gn cmr`o sup ost angnlsì, angnlsì, m` anfmro ngmrs o` ieorien`t A ``  ∅   +  tog quo 6



∈x  ∅  ∅ L ,   |  d  d  ` (x ) ∓ d   ( x )|  A ``    

  c 

`  +

Xrmpms pmsltl ltlm` m` 6 IT_ 1⇓ ITY Xrm

nvoi   A ``  ∓∓∓∓↓ 8   ` ↓+∐

  n 

 

  c 

 d  ` ( x ) k x  1  1

n 

gla  d   ( x ) k x  ↓ ∐ ` 

`  +

Yl g“l`torvnggo `“ost `“ost pns u` sojao`t, m` oxpgmltorn go teìmråao ko im`vorjo`io kmal`ìo. Xrmpmsltlm ` 6 Im`v Im`vorjo` orjo`io io u`ldm u`ldmrao rao ot prlal prlaltlvo tlvoss Xrmpmsltlm` Ymlt ( d  ` ) u`o sulto ko dm`itlm`s im`tl`uos kì﬎`los sur u` l`torvnggo L  ot è vngours kn`s , im`vorjon`t u`ldmraìao`t vors   d   sur   sur tmut sojao`t ko  L  . Ymlt  ∅  ot x  ∅  ∅ L , x 8 ∅ L . M` kì﬎`lt, pmur `  ∅   x 

  x 

D ` ( x ) 1

  x 8

 d  ` (t ) k t    ot   D ( x ) 1

  x 8

 d   ( t ) kt 

 Ngmrs  ( D ` ` ) im`vorjo u`ldmraìao`t vors  D  sur tmut sojao`t ko L .

 N``ìo 3838/383>  

Dlie ieoo >9 ’ Yu Yult ltos os ot sì sìrlo rloss ko dm dm`i `itl tlm` m`ss Dl

↓   Im`vorjo`i Im`vorjo`ioo u`ldmrao u`ldmrao ot kìrlvntlm` kìrlvntlm`

Gn im`vorjo`io u`ldmrao ko gn sulto kos kìrlvìos s“ìtncgl cglrn rn sur g“l`torv g“l`torvnggo nggo L   mu, sl `ìiossn `ìiossnlro lro,, sougoa sougoao`t o`t sur tmut tmut sojao`t l`igus kn`s L . Imrmggnlro Ymlt ( d  ` ) u`o sulto ko dm`itlm`s kì﬎`lo sur u` l`torvnggo L   ko , è vngours kn`s . M` suppmso quo 6  ∅ ,  d  `  ost ko ignsso  p  sur L . • Xmur tmut `  ∅ •  Xmur tmut b  ∅  ∅ 8, p  ∓  ∓ > , ( d  `  ( b  )) im`vorjo slapgoao`t sur L  vors u`o dm`itlm`  d  b b .

 

p  •  d  `   ( ) im` im`vor vorjo jo u`ldmra u`ldmraìao ìao`t `t sur tmut tmut sojao` sojao`tt ko L  vors  vors u`o dm`itlm`  d  pp  .  Ngmrs  ( d  ` ) im`vorjo u`ldmraìao`t vors   d    1   d  8  sur tmutt sojao` tmu sojao`tt ko L .Gndm`itlm` d    ostkopguskoignsso p   ∅ 8, p  ,  d    (b ) 1 d  b .   sur L  ot pmur tmut b  ∅

 

[eìmråao 6 Im` [eìmråao Im`vorjo vorjo`io `io kmal` kmal`ìo ìo Ymlt ( d  ` ) u`o sulto ko dm`itlm`s kì﬎`los sur u` l`torvnggo L   ko , è vngours kn`s . M` suppmso quo 6  ∅ ,  d  `  ost im`tl`uo pnr amrionux  •  Xmur tmut `  ∅ sur L . •   Gn sulto sulto ( d  ` ) im`vor im`vorjo jo slapgoao`t slapgoao`t sur L  vors   vors u`o  d    .. dm`itlm` im`tl`uo pnr amrionux  d   •  Lg oxlsto u`o dm`itlm` ϟ  pmsltlvo, im`tl`uo pnr amrionux ot l`tìjrncgo sur L  vìrl﬎n`t 6

∈`  ∅  ∅ ,   |  d  d  ` |  ϟ   (eypmteåso ko kmal`ntlm`)  Ngmrs, gos dm`itlm`s d    ot  d  `  sm`t l`tìjrncgos sur  L   ot, gla ↓ ∐

`  +

 d  ` ( x ) k x   1 1

L 



M` klt quo gn sìrlo ko dm`itlm`s  d  `  im`vorjo slapgoao`t (rospoitlvoao`t u`ldmraìao`t) sur L  sl gn sulto sulto ko dm`itl dm`itlm`s m`s (Y `   im`vorjo jo slapgoao`t slapgoao`t (ros(ros` )` ∅ im`vor poitlvoao`t u`ldmraìao`t) sur  L . O` ins ko im`vorjo`io, m` pmso 6



∐

+

∈ x  ∅  ∅ L ,   Y (x ) 1

 ` 

 d  b ( x ) 1   gla

↓ ∐

`  +

b 18

 d  b ( x )

b 18

Gn im`vorjo`io u`ldmrao k“u`o sìrlo o`trnà`o sn im`vorjo`io slapgo. Xrmpmsltlm` _`o sìrlo ko dm`itlm`s im`vorjo u`ldmraìao`t sl ot sougoao`t sl oggo im`vorjo slapgoao`t ot sl gn sulto ko sos rostos im`vorjo u`ldmraìao`t vors 8. Lg `“os “ostt pns imaamk imaamkoo ko fustl﬎ fustl﬎or or gn im`vor im`vorjo` jo`io io u`ldmra u`ldmraoo k“u`o sìrlo ko dm`itlm`s (è g“oxioptlm` ko ioggos vìrl﬎n`t go irltåro spìilng kos sìrlos ngtor`ìos) 6 lg dnut nu prìngncgo am`tror gn im`vorjo`io slapgo pmur o`sulto ìtuklor gn im`vorjo`io u`ldmrao ku rosto vors 8.

Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Im`v Im`vorjo` orjo`io io `mran `mrango go Kì﬎`  d  `  im`vorjo `mrM` klt quo sur gn sìrlo ko dm`itlm`s  L   sl gos cmr`ìos sur angoao`t dm`itlm` dm`itlm`ss  d  `  sm`t L   (è pnrtlr k“u` iortnl` rn`j) ot sl gn sìrlo `uaìrlquo  d  ` ∐,L  im`vorjo.





Xmur fustl﬎or gn im`vorjo`io `mrango, m` ìtncglt smuvo`t gn anfmrntlm`  d  ` ∐  ξ`  nvoi ξ`  im`vorjo`to.

↓   Im`vorjo`io kmal`ìo

 

99

Kì﬎`ltlm` Kì﬎`ltlm ` 6 Im`v Im`vorjo` orjo`io io slap slapgo, go, u`ld u`ldmrao mrao

[eìmråao Ymlt ( d  ` ) u`o sulto ko dm`itlm`s kì﬎`los sur u` l`torvnggo L   ko , è vngours kn`s . M` suppmso quo 6  ∅ ,  d  `  ost ko ignsso  > sur L . • Xmur tmut `  ∅ •   ( d  ` ) im`vorjo slapgoao`t sur  L  vors  d    .. •   ( d   ` ) im`vorjo u`ldmraìao`t sur (tmut sojao`t ko) L  vors  vors u`o dm`itlm` j .  Ngmrs ( d   ) im`vorjo u`ldmraìao`t vors  d   sur   sur (tmut sojao`t`  ko) L ,  d   ost   ost ko ignsso  > sur L   ot  d     1 j .

 

 

 

[eìmråao Yl gn sìrlo ko dm`itlm`s im`vorjo `mrangoao`t sur  L  ngmrs oggo im`vorjo u`ldmraìao`t sur L . +∐ +∐   d  ` ∐,L .  d  `  Kn`s io ins, ` 18 ∐,L  ` 18 IT `mrango

    ⇓ 1

IT u` ldmrao

⇓

1 

IT slapgo

[muto sìrlo im`vorjon`t u`ldmraìao`t `o im`vorjo pns `ìiossnlroao`t `mrangoao`t. Clo` quo prntlquo, gn im`vorjo`io `mrango `o sorn pns gn rìpm`so è tmut!

↓   Im`tl` Im`tl`ult ultìì ot kmucgo kmucgo glalto glalto

 d   ( x ) k x 

L 

[eìmråao Ymlt  d  `  u`o sìrlo ko dm`itlm`s ko  L  kn`s  im`vor ∅ L . jon`t u`ldmraìao`t vors  d    sur L  ot smlt n  ∅ +∐  ∅ ,  d  `  ost im`tl`uo o` n , ngmrs  d  `  Yl, pmur tmut `  ∅



Yìrlos los ko dm` dm`itl itlm`s m`s Yìr

↓  A Amkos mkos ko im`vorjo` im`vorjo`io io Ymlt ( d  ` ) u`o sulto ko dm`itlm`s kì﬎`los sur u` l`torvnggo l`tor vnggo L  ot è vngours kn`s . M` nppoggo 6

 ` 

• smaao pnrtloggo nu rn`j `  gn  gn dm`itlm` Y ``   1



 d  b  2

b 18

• sìrlo ko ko torao jì`ìrng d  `  gn sulto ko dm`itlm`s  (Y ``  )` ∅ .

ost im`tl`uo o` n .

 ` 18

O` prntlquo, gn im`vorjo`io u`ldmrao sur tmut sojao`t l`igus kn`s L   nssuro gn im`tl`ultì sur L . Iotto im`kltlm` s“nvåro prntlquo gmrsqu“lg `“y pns im`vorjo`io u`ldmrao (mu aloux, `mrango) sur L .

 N``ìo 3838/383>  

 

9;

Dlie Dl ieoo >9 ’ Yu Yult ltos os ot sì sìrlo rloss ko dm dm`i `itl tlm` m`ss

[eìmråao [eìmr åao 6 [eì [eìmr mråao åao ko gn kmu kmucgo cgo gla glalto lto Ymlo`t  d  `   u`o sìrlo ko dm`itlm`s ko L  kn`s  ot n  u`pml`tnkeìro`tè L  (muclo`   (muclo` n   1 1 ¾∐).M`suppmso quo 6  ∅ ,  d  `  nkaot u`o glalto `  o` n . • Xmur tmut `  ∅ • Gn sìrlo  d  `  im`vorjo u`ldmraìao`t sur L . +∐  Ngmrs gn sìrlo  `  im`vorjo, gn smaao  d  `  nkaot



 

 ` 18

∐

∐

+

+

 

↓n  d  ` ( x ). ↓n  ``  18 d  ` ( x ) 1 ``  18 x gla u`o glalto o` n  ot   ot x gla

↓   Kì Kìrlv rlvntl ntlm` m` ot l`tìjr l`tìjrntl ntlm` m` k“ k“u`o u`o sìrlo sìrlo ko dm`itl dm`itlm`s m`s [eìmråao [eìmr åao 6 Kì Kìrlv rlvntl ntlm` m` tora toraoo è tora toraoo Ymlt  d  `  u`o sìrlo ko dm`itlm`s kì﬎`los sur u` l`torvnggo L   ko , è vngours kn`s . M` suppmso quo 6  ∅ ,  d  `  ost ko ignsso  > sur L . • Xmur tmut `  ∅ •  d  `  im`vorjo slapgoao`t sur L . •  d   `  im`vorjo u`ldmraìao`t sur tmut sojao`t ko L . +∐  Ngmrs,  d  `  im`vorjo u`ldmraìao`t sur tmut soj-

   

 ` `  18

∐

` 18

 d  `  ost ko ignsso

 > sur L   ot

   ∐



+

∐

+

1

 d  ` 

` 18

 d   ` 

` 18

M` jì`ìrnglso ngmrs nux sìrlos ko dm`itlm`s ko ignsso  p .

Imrmggnl Imrmg gnlro ro 6 Kìr Kìrlvn lvntlm tlm` ` tor torao ao è tora toraoo Ymlt  d  `  u`o sìrlo ko dm`itlm`s kì﬎`los sur u` l`torvnggo L   ko , è vngours kn`s . M` suppmso quo 6  ∅ ,  d  `  ost ko ignsso  p  sur L . • Xmur tmut `  ∅  ∅ 8, p  ∓ > ,  d  `   (b  ) im`vorjo slapgo•  Xmur tmut b  ∅



            ∈  ∅  ∅            

 L  ao`t   (p )sur .  d  `    im`vorjo im`vorjo u`ldmraìao u`ldmraìao`t `t sur tmut sojao`t ko L . +∐  Ngmrs,  d  `  ost ko ignsso p  sur L   ot,

•

∐

(b )

8, p  ,

b 

∐

+

 d  ` 

1

` 18

  (b )  d  ` 

` 18

[eìmråao [eìmr åao 6 L` L`tìj tìjrnt rntlm` lm` tora toraoo è tor torao ao (so (sojao jao`t) `t) Ymlt  d  `   u`osìrlokodm`itlm`sim`tl`uossuru`sojao`t Rn , c Q ot è vngours kn`s , im`vorjon`t u`ldmr  c 

aìao`t sur go sojao`t Rn , c Q. Ngmrs

n 

im`vorjo ot 6 +

  c 

` 18

n 

∐

  c 

+

n 

` 18

 d  ` ( x ) k x  1

∐

              | |

sur L . •  Gn sìrlo  d  `  im`vorjo slapgoao`t sur  L   vors u`o dm`itlm` im`tl`uo pnr amrionux.  |  d  d   | im`vorjo. • Gn sìr sìrlo lo L  `  +∐  Ngmrs,  d  `  ost l`tìjrncgo sur  L   ot ` 18

∐

∐

+

` 18

+

 d  ` ( x ) k x  1

L 

L 

 d  ` ( x )  k x 

` 18

 Ntto`tlm` è `o pns mucglor gn vngour ncsmguo ncsmguo kn`s g“eypmteåso «

  d   d  `  im`vo im`vorjo rjo ².

L 

Kì﬎`ltlm` Kì﬎`lt lm` 6 Dm Dm`it `itlm` lm`ss im` im`tl` tl`uos uos pnr amr amrion ionux  ux  _`odm`itlm` d    6 Rn , c Q ↓  ostkltoim`tl`uopnramrionux ion ux sl pmur pmur u`o iortnl iortnl`o `o sucklv sucklvlslm lslm` ` ( x 8 , . . . , x `  ` ) ko  ∅ 8, ` ∓ > , Rn , c Q, pmur tmut l  ∅ •   d  Qx l l ,x l l +> R ost im`tl`uo sur  Q x l l , x l l +> R •   d  Qx l ,x l +> R ost prmgm`joncgo pnr im`tl`ultì o`  x l l  ot  o t

 

x l l +>

Gn sucklvlslm` ( x 8 , . . . , x `  ` ) ost klto nknptìo è  d   . Gos dm`itlm`s o` osinglor ot gos dm`itlm`s im`tl`uos sm`t im`tl`uos pnr amrionux.

Xrmpmsltlm` [muto dm`itlm` im`tl`uo pnr amrionux sur u` sojao`t ost cmr`ìo. [eìmr [eìmråao åao 6 Nppr Npprmxl mxlantlm antlm` ` u`ld u`ldmrao mrao (soja (sojao`t) o`t) [muto dm`itlm` im`tl`uo pnr amrionux sur Rn , c Q ost gn glalto u`ldmrao k“u`o sulto ko dm`itlm`s o` osinglor sur Rn , c Q.

` 18

+

[eìmrå ao 6 L`t L`tìjr ìjrntl ntlm` m` tora toraoo è tora toraoo [eìmråao Ymlt ( d  ` ) u`o sulto ko dm`itlm`s kì﬎`los sur u` l`torvnggo L   ko , è vngours kn`s . M` suppmso quo 6  ∅ ,  d  `  ost im`tl`uo pnr amrionux  •  Xmur tmut `  ∅

 Npprm  Npprmxlantlm` xlantlm` u`ldmrao

+

ao`t ko L ,

Gos teìmråaos qu lprìiåko`t sm`t o`imro vngncgos pmur ↓ D  nvoi  d  `  6 L   ↓   nvoi D   u`ospnio`mraìkoklao`slm`﬎`lo.Gos teìmråaos ko im`tl`ultì ot ko kmucgo glalto sm`t aæao ↓ D  nvoi o`imro o`i mro vìrl﬎ì vìrl﬎ìss pmur pmur  d  `  6  N  ⊃ O   ↓   nvoi N  u`o   u`o pnrt pnrtlo lo k“ k“u` u` ospnio `mraì O   ko klao`slm` ﬎`lo.

 d   ( x ) k x  ` 

 d  ` ( x )  k x 

[eìmrå mråao ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Zolo olorst rstrns rnsss [eì [muto dm`itlm` im`tl`uo sur u` sojao`t y ost glalto u`ldmrao ko dm`itlm`s pmgy`malngos.

 N``ìo 3838/383>  

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

9?

Sìs ìsua uaìì >; ’ Yì Yìrl rlos os o` o`tl tlår åros os _`o sìrlo o`tlåro ko vnrlncgo rìoggo mu imapgoxo  z  ost  ost u`o `  sìrlo ko gn dmrao n ``  z  nvoi  n ``   ∅ . Ym` kmanl`o ko im`vorjo`io go kmanl`o ko kì﬎`ltlm` K  ko  ko gn dm`itlm` 6 +∐

 

   ↓ 

z 

n ``  z ` 

` 18

↓   Mpìrnt Mpìrntlm` lm`ss sur gos sìrlos sìrlos o`tlår o`tlåros os [eì [eìmrå mråao ao 6 Yma Ymaao ao ot prm prmkul kultt `  • (n `  `  + c `  ` )z  ost u`o sìrlo o`tlåro ko rnym` ko im`vorjo`io S  nvoi   nvoi S   1 1 al`(S n  n , S c c  ) sl S n  n    1 S c c   mu S     S n   sl S  S  .   1 n  n  n  c c  

   

Sny Snym` m` ko im` im`vor vorjo` jo`io io

•

↓   Kì﬎`l Kì﬎`ltlm` tlm` ot prmprlìtìs prmprlìtìs

•   Go prmkult ko Inuiey kos koux sìrlos ost ost ko gn

Goaao ao 6 Goa Goaao ao k“ k“Nco Ncogg Goa Ymlt  z 8 ∅   . Yl gn sulto  ( n ``  z 8`  ) ` ∅  ost cmr`ìo, ngmrs, pmur tmut `macro imapgoxo  z  tog quo |z | 7 |z 8 |, gn sìrlo n ``  z `  ost ncsmguao`t im`vorjo`to.



Kì﬎`ltlm` M` nppoggo rnym` ko im`vorjo`io ko gn sìrlo o`tlåro  ∅ + kì﬎`l pnr 6 n ` z `  g“ìgìao`t S  ∅





S   1 1 sup r     8 (n ``  r ` )` ∅ ost cmr`ìo

|



 Nutroao`t klt, S   1 1 sup r    8

{

  |

}

↓   Kì Kìtora toral`n l`ntlm tlm` ` prntlq prntlquo uo ku rnym` rnym` ko im`vor im`vorjo` jo`io io

   

c ``  z `  ko

[eìmråao 6 O`in [eìmråao O`inkroa kroao`t o`t Ymlt  z 8 ∅ . • Yl n ``  z 8`  im`vorjo, ngmrs |z 8 |  S  • Yl n ``  z 8`  klvorjo, ngmrs |z 8 |  S . • Yl n ``  z 8`   ost soal-im`vorjo`to, soal-im`vorjo`to, ngmrs |z 8 | 1 S .

 

[eìmråao råao 6 Ima Imapnrnl pnrnlsm` sm` [eìm • sl |n ` |  |c ` | è pnrtlr k“u` iortnl` rn`j, S n   S c . • sl |n ``  | ∷ |c ``  |, S nn    1 S cc  . ` ↓+∐ • sl n ``     1 m(c ``  ), S nn    S cc  . ` ↓+∐ M` nppglquorn ìjngoao`t gn råjgo ko k“Ngoacort (pmur u`o sìrlo `uaìrlquo è toraos strlitoao`t pmsltlds). [eìmråao Gos sìrlos n ``  z `  ot ` n ``  z `  m`t aæao rnym` ko im`vorjo`io.

   

 ` 

i `  ` z  nvoi i `  `  1 ` 

b 18

n b  sm` ` rn rnym ym` ` b c `  ` ∓b  ot sm

ko im`vorjo`io S  vìrl﬎o   vìrl﬎o S     al`(S n , S c ).

Xr Xrmpr mprlìt lìtìs ìs ko gn sma smaao ao (vn (vnrln rlncgo cgo rì rìoggo oggo))

 

`  Ymlo`t kìsmranls gn sìrlo o`tlåro rìoggo n `   0 8 sm` `  x  , S  0 +∐ `   rnym` ko im`vorjo`io ot  d    6 x   ↓ n `  `  x  sn smaao. ` 18

n ``  r `  im`vorjo ncsmguao`t

M` im`slkåro koux sìrlos o`tlåros n ``  z `  ot rnym`s ko im`vorjo`io rospoitlds S nn   ot S cc  .

dmrao



 d    ost kì﬎`lo sur g“l`torvnggo L , mü Q

[eìmråao Ymlt n ``  z `  u`o sìrlo o`tlåro ko rnym` ko im`vorjo`io S . • Yl |z | 7 S  ngmrs   ngmrs n ``  z `  im`vorjo ncsmguao`t. • Yl |z | 0 S  ngmrs   ngmrs n ``  z `  klvorjo jrmsslåroao`t. • Yl |z | 1 S   ngmrs m` `o pout rlo` klro.

 

` z `  ost u`o sìrlo o`tlåro ko rnym` ko βn `   8 mu +∐ sl β 1 8. im`vorjo`io S n n  sl β 1

S , S R L 

∓

R S , S Q.

⊃  ⊃ ∓

[eìmråao _`o sìrlo o`tlåro im`vorjo `mrangoao`t, km`i u`ldmraìao dmra ìao`t, `t, sur tmut tmut soj sojao` ao`tt l`igus l`igus kn`s kn`s g“l`to g“l`torvng rvnggo go muvort  ko  ko im`vorjo`io. i m`vorjo`io.  Ntto`tlm`, lg `“y n n prlmrl  pns  pns im`vorjo`io `mrango sur g“l`torvnggo ko im`vorjo`io, sougoao`t sur tmut sojao`t l`igus kn`s g“l`torvnggo muvort ! [eìmråao åao 6 Im`t Im`tl`ul l`ultì tì [eìmr Gn dm`itlm`  d    ost im`tl`uo sur g“l`torvnggo muvort muvort ko im`vorjo`io. Xmur fustl﬎or gn im`tl`ultì nu cmrk ku kmanl`o, m` s“l`tìro rosso ssorn rn è gn im`vor im`vorjo` jo`io io u`ldmrao u`ldmrao mu `mrango `mrango sur R∓S , S Q.

[eìmrå mråao ao 6 Kìr Kìrlv lvntl ntlm` m` tora toraoo è tora toraoo [eì ` ∓> ost u`o  d   ost   ost ko ignsso  ∐ sur  Q ∓ S , S R, ` n `  `  x  sìrlo o`tlåro ko rnym` ko im`vorjo`io S  ot  ot 6 +∐ ∈x  ∅  ∅Q ∓ S , S R,   d    (x ) 1 ` n ` ` x ` ∓>

  ` 1>

[eì [eìmrå mråao ao 6 L`t L`tìjr ìjrntl ntlm` m` tora toraoo è tora toraoo   n 

`  `  M` `mto D  u`o prlaltlvo ko  d   . x ` +> ost u`o `  +  + > sìrlo o`tlåro ko rnym` ko im`vorjo`io S  ot  ot 6 +∐ `  `  ∈ x  ∅  ∅Q ∓ S , S R,   D (x ) 1 D (8) + ` n  + x ` +>  + > ` 18



 N``ìo 3838/383>  

 

94

Dlieo Dli eo >; ’ Yìrl Yìrlos os o`t o`tlår låros os

Kìvogm Kìv ogmppo ppoao` ao`ts ts o` sìrl sìrloo o`t o`tlår låroo Kì﬎`ltlm` _`o nppglintlm` ost kìvogmppncgo o` sìrlo o`tlåro sur  Q ∓ r , r R s“lg oxlsto u`o sìrlo o`tlåro n ``  x `  ko rnym` ko im`vorjo`io S  nvoi   nvoi S     r  toggo  toggo quo 6

 



∐

+

∈x  ∅  ∅Q ∓ r , r R,

  d   ( x ) 1

n ``   x ` .

` 18

[eìmråao Yl   d    nkaot u` kìvogmppoao`t o` sìrlo o`tlåro sur   ost ko igns ignsso so  ∐ sur Q ∓ r , r R,sm`kìvoQ ∓ r , r R ngmrs  d   ost gmppoao`t o` sìrlo o`tlåro ost u`lquo ot ost km``ì +∐   (` )  d   (8) `    x  . pnr sn sìrlo ko [nygmr 6 ` ! ` 18



Gn rìilprmquo ost dnusso 6 tmuto dm`itlm` ko ignsso   ∐ `“ost pns kìvogmppncgo o` sìrlo o`tlåro.

↓   Kìtoral`ntlm` prntlquo • _tlglsntlm` kos kos kìvogmppoao`ts kìvogmppoao`ts usuogs (♯). • Kìrlvntlm` ot l`tìjrntlm` torao è torao. • Dmraugo ko [nygmr [nygmr nvoi rosto l`tìjrng. l`tìjrng. •  Kìimapmsltlm` o` ìgìao`ts slapgos k“u`o drnitlm` rntlm``oggo. • _tlglsntlm` k“u`o k“u`o ìquntlm` klddìro`tloggo. klddìro`tloggo.

↓   Kìvogmpp Kìvogmppoao` oao`ts ts o` sìrlo o`tlåro o`tlåro usuogs usuogs

   ∓ ∓  ∐ z ` 

+



z 

  o 1

` 18

` !



∐ x 3`  +∐ x 3` +>    ie( x ) 1  2 se( x ) 1 (3` )! (3`   + + >)! ` 18 ` 18 +∐ +∐ ( >)`  x 3`  ( >)` x 3` +> +

 Q

+ >)!   2 sl`( x ) 1 ``  18 ∓(3`   + +∐ (∓>)` +> `  `  `  ( >) x  2 g`(> + x ) 1   x 

  ims( x ) 1 ``  18 +∐ >

∓ >,> >, >R

 1

> + x 



(3` )!

` 18

` 1>

∐ ξ(ξ ∓ >) º º º (ξ ∓ `   + + >)

+

Q

∓ >,> >, >R

ξ

(> + x ) 1 > +

` 1>

` !

 

` 

x `  (ξ / )

∅

 N``ìo 3838/383>  

AN[EÌA [EÌAN[ N[L^_O L^_OYY 3838 ’ 383> AN

 

9:

Sìsu Sì suaì aì >? ’ Ing ngiu iugg l` l`tì tìjr jrng ng L`tìj L` tìjrn rntlm tlm` ` sur u` soj sojao` ao`tt

• Ien`joao`t ko vnrlncgos ↓  ost im`tl`uo ot ϟ 6 Rn , c Q ↓ F  ko ignsso  >, Yl  d    6  F   ↓

↓   Im`strui Im`struitlm` tlm` ot prmprlìtìs prmprlìtìs

  ϟ (c )

M` kì﬎`lt g“l`tìjrngo o` npprmien`t sur go sojao`t  Rn , c Q tmuto dm`itlm` im`tl`uo pnr amrionux pnr u`o sulto ko ko dm`itlm`s o` osinglor. osinglor.   c 

 Nl`sl, sl  d    ost im`tl`uo p.a. p.a. sur Rn , c Q, ngmrs

 

 d   oxlsto.   oxlsto.

n 

∅  a a (Rn , c Q2 ) ot β ∅ ) Xrmprlìtìs ko g“l`tìjrngo 6 ( d   , j   ∅

 

            ⇓     ⇓       |  |

  c 

• Gl`ìnrltì 6

  c 

 d    +

j 

n 

n 

  c 

•  Sogntlm` ko Iensgos 6

  i 

 d    1

•   Xmsltlvlt Xmsltlvltìì 6  d     8 1

  c 

 d    +

n    c 

n 

 d     8

 

  c 

 d   ( t ) kt   1

ϟ (n )

 d   ( ϟ (u )) ))ϟ  ( u ) k u 

n 

• Drnitlm`s rntlm``oggos L`tìjrntlm` klroito gmrsqu“oggos gmrsqu“oggos sm`t ku ttypo ypo   >

 ∓  ∓ n )`  .

( x 

Yl`m`, m` kìimapmso o` ìgìao`ts slapgos.    3 > 3  so prlaltlvo o` x   ↓   > nritn` x  . x   ↓

 d     (i  Rn , c Q)

  ∅∅

i 

(sou (sougo goao ao`t `t pm pmur ur n  7  7 c )

 n 

n 

x  + n 

  c 

β d    + j   1 β

n 

 

• Drnitlm`s rntlm``oggos rntlm``oggos o` oxp oxp 6 m` pmso u  1  1 o x . • Xrmkult k“u` k“u` pmgy`ûao pnr u`o oxpm`o`tloggo oxpm`o`tloggo M` oddoituo kos l`tìjrntlm`s pnr pnrtlos suiiosslvos fusqu“è ìglal`or go pmgy`ûao. •   Xrmkult k“u` pmgy`ûao pmgy`ûao trljm`maìtrlquo pnr u`o oxpm`o`tloggo 6 m` pnsso o` imapgoxo.

n 

  c 

• Irmlssn`io 6  d     j   1

  c 

n    c 

Gn aìte aìtemk mkoo ko koss ro roit itn` n`jgo jgoss (li (lill « è jnui jnuieo²) eo²) os ostt è im im`` ``nàt nàtro ro..

n 

  c 

 d    d     (lkoa)

 d   

• L`ìjngltì trln`jugnlro 6

↓  Ingiug npprmieì npprmieì k“l k“l`tìjrn `tìjrngos gos

j    (lkoa)

 d    

n 

n 

[eìmrå ao 6 Yma Ymaaos aos ko Slo Sloan` an`` ` [eìmråao Ymlt  d   u`o  u`o dm`itlm` im`tl`uo sur Rn , c Q. Ngmrs,

[eìmråao Ymlt  d   u`o   u`o dm`itlm` pmsltlvo  ot  ot im`tl`uo  sur  sur Rn , c Q.

 

 ∓  ∓

c  n  ` 

  c 

 d    1 8

n 

⇘⇓ d    ost lko`tlquoao`t `uggo sur Rn , c Q.

 `  >

∓

 d   n  +  + l 

l 18

  

 ∓  ∓ ∓∓∓∓↓ ` ↓ ∐ ` 

c  n 

+

   ∓∓∓∓↓  

b   d   `  `  b 18

↓  Xrlaltlvos [eìmråao  ↓  im`tl`uosurg“l`torvnggo L   ot ∅ L . Ymlo`t d    6 L  ↓ ot n , c   ∅

    ↓

  x 

x 

 d   ( t ) kt  ost  ost u`o prlaltlvo ko  d    sur L .

n 

 

  c 

Yl D   ostu`oprlaltlvoko d   ,

 d   ( t ) kt   1 D (c ) D (n ).

∓

n 

n 

 >

↓ ∐

`  +

 d   ( t ) k t 

8

L`t L`tìjrn ìjrngos gos jì`ìr jì`ìrnglsìo nglsìoss L   kìslj`o kìsmranls u` l`torvnggo quogim`quo quogim`quo ko .

↓  Kì﬎`ltlm` Kì﬎`ltlm`  ∅  mu c   1 +∐. Ymlt  d    6 Rn , c R↓  im`tl`uo, nvoi c  ∅

 

  x 

Yl

[mutos gos prlaltlvos sur u` aæao l`torvnggo sm`t ìjngos è u`o im`stn`to prås.

 d   ( t ) k t 

Xmur n  1  1 8 ot c   1 >, m` trmuvo 6 > ` ∓>

_`o prlaltlvo k“u`o dm`itlm` im`tl`uo   d   sur   sur u` l`torvnggo L  ost u`o dm`itlm`  D  kìrlvncgo sur  L  toggo quo  D  1  d   .

  c 

  ↓ ↓ c ∓ , m`

 d    nkaot u`o glalto ﬎`lo gmrsquo gmrsquo x 

n 

kl kltt quog“l` quog“l`tì tìjr jrngoim`v ngoim`vor orjo jo ot m` `mto `mto

 

  c 

 d    gn gn glalto. glalto.

n 

↓   Soieor Soieorieo ieo ko prlaltlvo prlaltlvoss Lg oxlsto ko `macrousos dnêm`s ko ingiugor kos prlaltlvos. •   Soim``nlssn`io ko dmraos dmraos usuoggos. Ox. 6 d    d   ξ so «prl « prl-altlvoo ² o` altlv

  d   ξ +>

 sl ξ 1 >, o` g`  d   sl ξ 1 >.

∓ |  | • L`tìjrntlm` pnr pnrtlos Yl d    ot j  sm`t  sm`t ko ignsso  > sur Rn , c Q, ξ+>

     ∓     c 

  c 

 d    j   1  d j 

n 

c c  

n 

n 

 d j 

∓

Kn`s go ins im`trnlro, m` klt quo g“l`tìjrngo laprmpro klvorjo.

Lg y n koux typos k“l`tìjrngos laprmpros 6 g“l`tìjrngo ko dm`itlm`s `m` cmr`ìos sur u` l`torvnggo cmr`ì ( x  g` x   ↓ sur Q8, >Q) ot ioggo ko dm`itlm`s im`tl`uos sur u` l`torvnggo ∓ x  `m` cmr`ì ( x   ↓ o sur R8, +∐R). M`poutìto`krognkì﬎`ltlm`prìiìko`tonuins Qn , c Q nvoi  ∅  mu n   11 ∓∐. Xmur u` l`torvnggo ko gn dmrao Qn , c R m` n  ∅ kìimupo g“l`tìjrngo o` koux.

 N``ìo 3838/383>  

 

95

Dlieo Dli eo >? ’ In Ingiu giugg l`t l`tìjr ìjrng ng

↓   Ìt Ìtuko uko ko gn `ntur `nturoo k“u`o k“u`o l`tìjr l`tìjrngo ngo M` pout quogquodmls ingiugor u`o prlaltlvo ot pnssor è gn glalto pmur prmuvor gn im`vorjo`io/klvorjo`io.

 

∐

 +

 >

> t ξ

>

 

 

  kt  IT   IT ssl ξ 0 > 2

> t ξ

8

∐

Kos o`inkroao`ts sìrlos-l`tìjrngos poraotto`t o` mutro k“mcto`lr kos ìqulvngo`ts ko smaaos ot k“l`tìjrngos. k“l`tìjrngos. [e [eìm ìmrå råao ao 6 Så Såjg jgoo ku po potl tltt m ot ku jr jrn` n`k kM Ymlo`t d   , j   66 Rn , c R↓ . M` suppmso j  im`tl`uo, pmsltlvo ot k“l`tìjrngo im`vorjo`to sur  Rn , c R.

 k t  IT   IT ssl ξ 7 > 2

       ∐  >

 +

o∓ξt  kt  IT   IT ssl ξ 0 8 2

8

• sl  d    1∓ M(j ) ngmrs

8

c 

Yl d    6 Rn , c R↓  ost im`tl` im`tl`uo uo sur Rn , c R ot  c prmgm`j prmgm`jonc oncgo go pnr im`tl`ultì o` c  (ntto`tlm`,   (ntto`tlm`, c  1

!),

 d   im`vorjo.   im`vorjo.

n 

   

  c 

  c 

 d    1

  ˗  ost go prmgm`joao`t im`tl`u ko  d    d  ˗  mü  d  

n 

n 

n 

c 

g` t   kt   IT. IT.

[eìmråao [eìmr åao 6 Kl Klvor vorjo` jo`io io jrm jrmssl sslåro åro è g“ g“l`﬎ l`﬎`l `l Ymlt  d    6 Rn , +∐R↓  im`tl`uo pnr amrionux. Yl  d    nk  +∐ aot u`o glalto   1 8 o` +∐,  d   ( t ) kt   klvorjo.

    c c  

• sl  d    1∓ m(j ) ngmrs

  d   im`vorjo   im`vorjo (ncsmguao`t)2

c c  

n 

  d   im`vorjo   im`vorjo (ncsmguao`t).

 Nl`sl, j  l`tìjrncgo 1⇓  d    l`tìjrncgo (id. il-kossmus).



 >  Nppglintlm` è  d    (( t ) 1 m ξ nvoi ξ 0 >. t ↓+∐ t 

↓  Ingiu  Ingiugg l`tìjrng l`tìjrng M` so pgniorn sur u` sojao`t nvn`t k“utlglsor u`o l`tìjrntlm` pnr pnrtlos, qultto è pnssor è gn glalto.

[eìmråao [eìmrå ao 6 Ien Ien`jo `joao` ao`tt ko vn vnrln rlncgo cgo Ymlo`t  d    6Qn , c R↓  im`tl`uo ot ϟ 6Qξ, γ R↓Qn , c R u`o clfoitlm` strlitoao`t irmlssn`to ko ignsso  > .

  n 

 

Im`trnlroao`t nux sìrlos, m` `o pout rlo` klro gmrsquo gn glalto `“oxlsto pns.

 

 γ

  c 

 d   ( t )  k t   ot

 d   ( ϟ (u ))))ϟ  (u )  k u  sm`t   sm`t ko aæao

ξ

n 

`nturo ot o` ins ko im`vorjo`io, oggos sm`t ìjngos.

↓   L`tìjrngo L`tìjrngoss ko dm`itlm`s dm`itlm`s pmsltlvo pmsltlvoss M` klspmso ko pguslours aìtemkos gmrsquo gn dm`itlm` ost pmsltlvo (mu tmut ku aml`s ko slj`o im`stn`t).

Lkoa pmur ϟ strlitoao`t kìirmlssn`to (nux cmr`os prås).

↓   Im`vorjo` Im`vorjo`io io ncsmguo ncsmguo ot dm`itlm`s dm`itlm`s l`tìjrncgo l`tìjrncgoss

[eì [eìmr mråao åao 6 Så Såjgo jgo ko anf anfmrn mrntlm tlm` ` Ymlo`t   d   , j   6  L   ↓   koux dm`itlm`s im`tl`uos p.a. sur L  toggos  toggos quo 8   d     j . Ngmrs, (l)

 

M` klt quo

 d   im`vorjo.   im`vorjo.

Kn`s io ins,

 d    

j  klvorjo.   klvorjo.

⇓

 

  c 

 

  c 

 d    ot

n 

n 

  d   d   im`vorjo.

[eìmrå mråao ao 6 IT ncs ncsmgu mguoo 1 IT  [eì _`o l`tìjrngo ncsmguao`t ⇓ im`vorjo`to im`vorjo.

LL  

[eìmr mråao åao 6 Så Såjgo jgo kos ìqu ìqulvn lvngo` go`ts ts [eì Ymlo`t d   , j  6 6 Rn , c R↓  kou kouxx dm`itlm` dm`itlm`ss im`tl` im`tl`uos uos p. p.a. a. sur L , ko slj`o im`stn`t nu vmlsl`njo ko  c , toggos quo  d   ( t )   ∷ j ( t ). Ngmrs, t ↓c ∓

   

j   sm`t ko aæao `nturo. `nturo.

 

∐

 +

8

sl`(t )   ost soal-im`vorjo`to. t 

Kì﬎`ltlm` ↓  u`o dm`itlm` im`tl`uo p.a. sur L   ost Ymlt  d    6 L   ↓ klto l`tìjrncgo sl

[eìmråao Imapnrnls nrnlsm` m` sìrlos/l`tìjrngos [eìmråao 6 Imap Ymlt  d   u`o  u`o nppglintlm` im`tl`uo pnr amrionux, pmsltlvo ot kìirmlssn`to sur Rn , + R. ∐ ` `` ∓  > d   ( t )  k t   ∓∓  d    (( ` )  Ngmrs gn sìrlo ko torao jì`ìrng im`vorjo. O` pnrtliuglor,   +∐  d   ( t ) kt   sm`t ko aæao `nturo. `nturo.  d   ( ` ) ot n 

 

 d    ost ncsmguao`t im`vorjo im`vorjo`to. `to.

L 

n 

  

 d    ost ncsmguao` ncsmguao`tt im`vorjo im`vorjo`to `to

n 

L 

 d   klvorjo   klvorjo   1 LL  

gmrsquo

j 

L 

  |  |   c 

L 

L 

 

  c 

  ⇓    

j  im`vorjo   im`vorjo   1

(ll)

Kì﬎`ltlm` Ymlt  d    6 Rn , c R↓  im`tl`uo p.a. sur Rn , c R.

   

Gos prmprlìtìs ko gl`ìnrltì, pmsltlvltì, irmlssn`io, rogntlm` ko Iensgosot Iensgosot l`ìjngl l`ìjngltì tì trln`ju trln`jugnlr gnlroo so vìrl﬎o vìrl﬎o`t `t o`i o`imropmur mropmur kos dm`itlm` l`tìjrncgos sur u` l`torvnggo quogim`quo.

[eìmråao G“o`soacgo  > (L ) kos dm`itlm`s im`tl`uos ot l`tì-

    ↓ |  |

jrncgos sur L  au`l ko  º > 6  d   voitmrlog `mraì.

  d   d   ost u` ospnio

L 

 N``ìo 3838/383>  

Dlieo eo >? ’ In Ingiu giugg l`t l`tìjr ìjrng ng Dli

Yl  d   , j   66 Rn , c R↓  sm`t im`tl`uos ot j   ost ko pgus pmsltlvo ot l`tìjrncgo sur Rn , c R,

              c 

• Yl d    (( x )   ∷ j ( x ), x ↓c 

x 

  c 

↓

x  c 

j (t ) kt .

x 

        c 

 d   ( t ) kt    1 m

↓

x  c 

x 

j (t ) kt  .

x 

  c 

• Yl d    (( x ) 1 M(j ( x )), x ↓c 

  c 

 d   ( t ) kt    1 M

↓

x  c 

x 

j (t ) k t  .

x 

Yl j  ost  ost suppmsìo pmsltlvo ot `m` l`tìjrncgo sur Rn , c R,   x    x  j ( t ) kt .  d   ( t ) kt    ∷ • Yl d    (( x )   ∷ j ( x ), x ↓c  x ↓c  n  n 

 

  x 

• Yl d    (( x ) 1 m(j ( x )), x ↓c 

↓

x  c 

        x 

 d   ( t ) kt    1 m

n    x 

• Yl d    (( x ) 1 M(j ( x )), x ↓c 

j (t ) k t  .

n 

  x 

 d   ( t ) kt    1 M

n 

↓

x  c 

j (t ) kt  .

n 

L`tìjrn gos è pnrn pnrnaåtr aåtroo L`tìjrngos M` `mto L   ot  F  koux l`torvnggos ko  ot m` im`slkåro 6

    ↓ 

 d   ( x , t ) k t  nvoi   nvoi  d    6 L   F 

j  6 6  x 

  ÚÚ   ↓ ↓

 F 

 j  rovlo`t è ìtuklor Ìtuklor go kmanl`o ko kì﬎`ltlm` kol`tìjrngo.  ∅ L   g“oxlsto`io pmur ienquo  x  ∅ k“u`o l`tìjrngo .

↓   Im`vorjo`io kmal`ìo [eìmråao råao 6 Im` Im`vorjo vorjo`io `io kmal` kmal`ìo ìo (oxto` (oxto`slm` slm`)) [eìm Ymlt  ( d  x ) x ∅L   u`o dnalggo ko dm`itlm`s kì﬎`los sur  F   è vngours kn`s . Ymlt ìjngoao`t x 8 u` pml`t nkeìro`t è L  (mu clo`  x 8 1 ¾∐). M` suppmso quo 6  ∅ L ,  d  xx   ost im`tl`uo • Xmur tmut  x  ∅ im`t l`uo (p.a) sur F  .  ∅  F ,  d  xx  (t ) ∓∓∓↓ • Xmur tmut  t  ∅  d   ( t ) mü  d   ost   ost u`o dm`ix ↓ x 8 tlm` im`tl`uo pnr amrionux sur  F  . •  Lg oxlsto ϟ 6  F  ↓ + im`tl`uo (p.a.) ot l`tìjrncgo sur  F   to toggoquo ggoquo pm pmur ur tm tmus us ( x , t ) ∅ L Ú F , | d    d  x (t )|  ϟ (t ).  sm`t l`tìjrncgos sur  F   ot  Ngmrs, gos dm`itlm`s d  x  ot  d   sm`t gla ↓

x  x 8

 

 d  x (t ) kt   1

 F 

 

 d   ( t ) kt 

 F 

↓   Im`tl`ul Im`tl`ultì tì k“u`o k“u`o l`tìjrngo l`tìjrngo è pnrnaåtro pnrnaåtro

 

[eìmr mråao åao 6 Im Im`tl `tl`ul `ultì tì smu smuss go slj slj`o `o [eì  Ú F  ↓  ↓  vìrl﬎o 6 Yl u`o dm`itlm`  d    6 L  Ú  ∅  F , x   ↓   d   ( x , t ) ost im`tl`uo sur  L . • Xmur tmut  t  ∅ •  Xmur tmut  x  ∅  ∅ L , t   ↓ d   ( x , t ) ost im`tl`uo pnr amrionux) sur  F  .  ↓   +  im`tl`uo (pnr amrionux) ot •  Lg oxlsto  ϟ  6   F  ↓ l`tìjrncgo sur  F  toggo quo 6 ∈(x , t ) ∅ L  Ú  Ú F ,   | d    d   ( x , t )|  ϟ (t )

    ↓ 

 Ngmrs, x 

 d   ( x , t ) kt   ost kì﬎`lo ot im`tl`uo sur L .

 F 

9<

G“eypmteåso ko kmal`ntlm` pout slapgoao`t ætro vìrl﬎ìo sur tmut sojao`t  B  l`igus kn`s  L , i“ost-è-klro 6

  c 

 d   ( t ) kt 

• Yl d    (( x ) 1 m(j ( x )), x ↓c 

   ∷

 

∈(x , t ) ∅ B  Ú  Ú  F ,   |  d  d   ( x , t )|  ϟB  (t ) Gn im`tl`ultì ko j   sur tmut sojao`t ko ko L   nssuro ngmrs sn im`tl`ultì sur L . Yl   F    1 Rn , c Q  ost u` sojao`t ot sl   d   ost   ost im`tl`uo sur  Ú Rn , c Q, gn kmal`ntlm` sur tmut sojao`t sorn nutmantlL  Ú quoao`t vìrl﬎ìo (è fustl﬎or).

↓   Kìrlvnclgl Kìrlvnclgltì tì k“u`o k“u`o l`tìjrngo l`tìjrngo è pnrnaåtro pnrnaåtro [eìmråao [eìmrå ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Gol Golc`l c`lzz  Ú F   ↓ ↓  vìrl﬎o 6 Yl u`o dm`itlm`  d    6 L  Ú  ∅  F , x   ↓   d   ( x , t ) ost ko ignsso  > sur L . • Xmur tmut  t  ∅ •  Xmur tmut  x  ∅  L  ,  t  ↓   d   ( x , t ) ost im`tl`uo (p.a.), l`tìjrncgo ot t   ↓

 ∃  d    ( x , t ) im`tl`uo (p.a.) sur  F  . ∃   x  x 

↓ + im`tl`uo (p.a.) ot l`tìjrncgo •  Lg oxlsto ϟ 6  F   ↓ sur  F  toggo quo 6

  

   

∃   d   d    ( x , t )  ϟ ( t ) ∃   x  x 

∈(x , t ) ∅ L  Ú  Ú  F ,

>  ( )  F   F   d   x , t  k t  ost ko ignsso sur L   ot  Ngmrs, j  6 6  x  ∃   d   d   x  L ,   j  ( x ) 1  ( x , t ) k t  ∃   x  x   F 

  ↓ ∈  ∅  ∅

 

M` pout gè o`imro so im`to`tor k“u`o kmal`ntlm` sur tmut sojao`t l`igus kn`s  L  . G“eypmteåso ko kmal`ntlm` ost nutmantlquoao`t vìrl﬎ìo gmrsquo  F  ost u` sojao`t.

Oxto`slm` nux dm`itlm`s ko ignsso  b  6 m` mpåro o` pguslours dmls sur   d    ,   d    , ...mu clo` m` rnlsm``o pnr rìiurro`io. M` pout ìjngoao`t nppglquor klroitoao`t 6 [eìmråao [eìmrå ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Gol Golc`l c`lzz ’ vor vorslm slm` `  `   Ú F   ↓ ↓  vìrl﬎o 6 Yl u`o dm`itlm`  d    6 L  Ú •  Xmur tmut  t   F  ,  x   d   ( x , t ) ost ko ignsso `  sur  L .

   ↓  ∈ ∅  Ú  Ú     ↓

  ∃ b  d   

 ∅

 ∅  L  ,  t   ↓ ∃   x x b  ( x , t ) ost •  Xmur tmus  b  ∅ 8, `   ot   x  ∅ im`tl`uo (p.a) ot  t   ↓  d   ( x , t ) ost l`tìjrncgo sur  F  .  ∅ >, `  , Lg oxlsto ϟb  6  F   ↓ ↓ + im`tl`uo •  Xmur tmut b  ∅ (pnr amrionux) ot l`tìjrncgo sur  F  toggo quo 6 ( x , t )

L   F ,





∃ b  d    ( x , t )  ϟb (t ) ∃   x  x b 

 d   ( x , t ) kt  ost ko ignsso

 Ngmrs, j  6 6  x 

 F 

∈x  ∅  ∅ L ,   j  `  (x ) 1 ( )

 

 `  sur L   ot

∃ `  d    ( x , t ) kt  ∃   x  x `   F 

Ios eypmteåsos sm`t è snvmlr rotrmuvor.

 N``ìo 3838/383>  

 

;8

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsua Sì suaìì >4 ’ Ìq Ìqunt untlm` lm`ss kld klddìr dìro`t o`tlog loggos gos gl` gl`ìnl ìnlro ross Ìqunt Ìqu ntlm` lm`ss gl` gl`ìnl ìnlro ross sin singnl gnlro ross k“ k“mr mrkr kros os > ot 3

↓   Ìquntlm Ìquntlm`s `s klddìro`tl klddìro`tloggos oggos gl`ìnlro gl`ìnlross k“mrkro k“mrkro 3

↓   Ìquntlm Ìquntlm`s `s klddìro`t klddìro`tloggo loggoss gl`ìnlro gl`ìnlross k“mrkro k“mrkro >

M` im`slkåro g“ìquntlm` klddìro`tloggo gl`ìnlro k“mrkro > sulvn`to ot m` `mto (E ) g“ìquntlm` emamjå`o nssmilìo 6 n (t ) y  + c ( t ) y  + i (t ) y   1 k ( t ) (O )

M` im`slkåro g“ìquntlm` klddìro`tloggo gl`ìnlro k“mrkro > ot g“ìquntlm` emamjå`o nssmilìo 6  y   1 n (t ) y   + + c (t ) (O )   y  1 n ( t ) y    (E )

[eìmråao  ↓  im`tl`uos sur g“l`torvnggo  L  L . M` suppmso n , c  6 6 L  ↓ Ymlt  N  u`o  u`o prlaltlvo ko n  sur  sur  L . •  G“ìquntlm` emamjå`o  y   1 n (t ) y  nkaot pmur smgutlm` jì`ìrngo t   ↓ βo N (t ) mü β ∅ . • G“ìquntlm`  y   1 n (t ) y   + c (t ) nkaot pmur smgutlm` jì`ìrngo t   ↓  y pp  (t ) + βo N (t ) mü  y pp   ost u`o smgutlm` pnrtliuglåro ko g“ìquntlm` imapgåto. M` pout aæao ìirlro 6

    t 

 N ( t )

 y (t ) 1 βo

 N (t )

+o

c ( x )o∓ N ( x ) k x    (β

t 8

∅ )

M` im`slk im`slkåro åro anl`to`n`t anl`to `n`temamjå`o g“ìquntlm` g“ìquntlm` klddìro`tl klddì ro`tloggo oggo gl`ìnlro gl`ìnlr o k“mrkro > ot sm` ìquntlm` nssmilìo, mü gos dm`i ↓  sm`t im`tl`uos sur g“l`torvnggo L   6 tlm`s n , c , i  6 6 L  ↓ n (t ) y  + c (t ) y   1 i (t )   ot   n (t ) y  + c ( t ) y   1 8

[eìmr åao 6 Xrm Xrmcgå cgåao ao ko In Inuie uiey  y  [eìmråao Yl n  `o s“n``ugo pns sur g“l`torvnggo  L , go prmcgåao ko Inuiey 



n ( t ) y  + c ( t ) y   1 i ( t )

 y ( t 8 ) 1 y 8

nkaot u`o u`lquo smgutlm` sur  L .

Imrmg gnlro ro 6 Yt Ytruit ruitur uroo ko g“ g“o`s o`soac oacgo go kos smg smgutl utlm`s m`s Imrmggnl  ↓  `o s“n``ugo pns sur g“l`torvnggo L , Gmrsquo n  6 6 L  ↓ •  g“o`soacgo   EE    kos smgutlm`s ko   (E )  ost u`o krmlto voitmrloggo2 •  g“o`soacgo   O O    kos smgutlm`s ko   (O )  ost u`o krmlto nd﬎`o ko klroitlm`  EE   . Xg Xgn` n` ko rìsmg rìsmgutlm utlm`  ` 6

• Lko`tl﬎intlm` ko g“ìquntlm`. •  Also smus dmrao rìsmguo o` klvlsn`t pnr n (t ) sur gos l`torvnggos mü n   `o s“n``ugo pns. • Sìsmgutlm` ko g“ìquntlm` g“ìquntlm` emamjå`o y   1  d    (( t ) y . D (t )  y (t ) 1 βo mü D  ost u`o prlaltlvo ko  d    sur L   ot β ∅ . • Sìsmgutlm` ko g“ìquntlm` nvoi soim`k aoacro aoacro.. M` roieorieo u`o smgutlm` pnrtliuglåro   y 8  ko  ( O ). Y“lg `“y n pns ko smgutlm` ìvlko`to, m` utlglso gn aìtemko ko vnrlntlm` ko gn im`stn`to o` pmsn`t  y  (t ) 1 β(t )oD (t ) . Gn smgutlm` jì`ìrngo ost  y  (t ) 1 βoD (t ) + y pp  (t ). •   Soimg Soimggoa goao`t o`t ìvo`tu ìvo`tuog og kos smgutlm` smgutlm`ss (smuvo (smuvo`t `t vln u` KG). KG). • _tlglsntlm` kos im`kltlm`s l`ltlngos.

M` suppmso n , c , i , k  6 6 L 

 im`tl`uos sur g“l`torvnggo L .

 ↓ko Inu [eìmrå ao 6 Xrm Xrmcgå cgåao ao Inuiey  iey  [eìmråao Yl n  `o  `o s“n``ugo pns sur g“l`torvnggo  L , go prmcgåao ko Inuiey 



n ( t ) y  + c (t ) y  + i ( t ) y   1 k ( t )

 y ( t 8 ) 1 y 8 2   y  ( t 8 ) 1 y 8

nkaot u`o u`lquo smgutlm` sur L .

[eìmrå mråao ao 6 Ytr Ytruit uituro uro ko g“ g“o`s o`soac oacgo go kos smg smgutl utlm` m`ss [eì ↓  `o s“n``ugo pns sur g“l`torvnggo L , Gmrsquo n  6 6 L   ↓ •   g“o`soacgo  EE   kos smgutlm`s ko  (E ) ost u` pgn` voitmrlog2

 O O  kos   smgutlm`s ko ( O ) ost u` pgn` •  g“o`soacgo nd﬎`o ko klroitlm` E E   . Xrmpmsltlm sltlm` ` 6 Xrl`i Xrl`ilpo lpo ko supor suporpmsl pmsltlm` tlm` Xrmpm ostsmgutlm` ` ko g“ì g“ìqun quntlm tlm` ` n y  + c y  + i y   1 k > (t ) Yl y > ostsmgutlm ot y 3 kog“ìquntlm` n y  + c y  + i y   1 k 3 (t ) ngmrs  y > + y 3 ost smgutlm` ko n y  + c y  + i y   1 k > (t ) + k 3 (t ). Sìsmgutlm` Sìsm gutlm` ko (E ) gmrsqu gmrsquoo gos imod imod﬎ilo ﬎ilo`ts `ts sm`t sm`t im`stn im`stn`ts  `ts  6 6 3 M` rìsmut g“ìquntlm` inrnitìrlstlquo n U  + c U   + i   1 8 ko

klsirlal`n`t nssmilì ∄. • Yl ∄ 0 8, koux rnil`os rìoggos klstl`itos r > ot  r 3 .  y ( t ) 1 β> or > t  + β3 or 3 t  nvoi β> , β3 ∅ . • Yl ∄ 1 8, u`o rnil`o rìoggo kmucgo r .  y ( t ) 1 (β> + β3 t )or t  nvoi β> , β3 . ∅ im`fujuìos ξ ¾ l γ . •   Yl   ∄  7  8, koux rnil`os imapgoxos  y ( t ) 1 (β> ims(γ t ) + β3 sl`(γ t ))oξt  nvoi β> , β3 ∅ . M` pout kìtoral`or u`o smgutlm` pnrtliuglåro ko   (O ) gmrsquo go soim`k aoacro k (t ) ost ko gn dmrao 6 •   k (t ) 1   X (t )oa t  nvoi   X   ∅   R U Q, m` ieorieo   y 8  smus gn dmrao   y 8 (t ) 1  ^ (t )oa t  nvoi  ^  ∅   R U Q  ot  koj (^ ) 1  ìtn`t g“mrkro ko augtlpgliltì ko a  o`  o` tn`t koj(X ) + b , b  ìtn`t quo rnil`o ko g“ìquntlm` inrnitìrlstlquo. •   k (t ) 1 ims(όt ), m` pnsso o` imapgoxo. M` pmurrn utlglsor go prl`ilpo ko suporpmsltlm`. Sìsmg Sìsmgutl utlm` m` gmr gmrsqu squoo gos imod imod﬎ilo ﬎ilo`ts `ts `o sm`t sm`t pns im` im`stn stn`ts  `ts  6 6

(m` so gnlsso julkor pnr g“ì`m`iì) •   Soieorieo ko ssmgutlm`s mgutlm`s pmgy`malngos (m` imaao`io pnr g“ìtuko ku kojrì). •   Soieorieo ko smgutlm`s kìvogmppncgos o` sìrlo o`tlåro. •   Soieorieo k“u`o k“u`o smgutlm` smus gn dmrao  y  (t ) 1 z (t ) y 8 (t ) mü   y 8  ost u`o smgutlm` kìfè im``uo (aìtemko klto ko Gnjrn`jo). • Ien`joao`t ko vnrlncgos mu k“l`im``uos.

 N``ìo 3838/383>  

Dlieoo >4 ’ Ìqu Ìquntlm` ntlm`ss klddì klddìro`tl ro`tloggos oggos gl`ìn gl`ìnlros lros Dlie

 

;>

Yyståaos Yys tåaos klddìr klddìro`tlo o`tlogs gs gl`ìn gl`ìnlros lros

↓   Aìtem Aìtemko ko ko vnrlnt vnrlntlm` lm` kos im`stn im`stn`to `toss

↓   Yyståaos Yyståaos klddìro`tl klddìro`tlogs ogs è imod﬎ilo` imod﬎ilo`ts ts im`tl`us im`tl`us

Lg s“njlt ko trmuvor gos smgutlm`s ko   U    1   N (t ) U   + C (t ) im``nlssn`tu`ocnso ( U > , . . . , U ` ) ko g“ìquntlm` g“ìquntlm` emamjå`o emamjå`o   U   1  N (t ) U . Gn dnalggo  ( U > , . . . , U `  ` )  ost ngmrs qungl﬎ìo ko syståao dm`knao`tng kos smgutlm`s.

Ymlt go syståao gl`ìnlro è imod﬎ilo`ts im`tl`us sulvn`t 6

  

x > (t ) 1 n >> >> ( t ) x > (t ) +

º º º + n >`  t  x ``  (t ) + c >(t ) x 3 (t ) 1 n 3> 3> ( t ) x > (t ) + º º º + n 3` (t ) x ` `  ( t ) + c 3 ( t ) .. .

( )

 

...

x `  (t ) 1 n ``  > (t ) x > (t ) + º º º + n ```  `  ( t ) x ` `  (t ) + c ` `  ( t )

Lg so rììirlt smus gn dmrao U  (t ) 1 N (t ) U (t ) + C (t ) nvoi 6

∅  (L , ` )   ∅∅  >(L , ` ) 2   N ∅  (L , A ``  ()) 2   C   ∅ 

 U 

x   1 n (t )( x ) + c (t )  nvoi   n 

  ∅  ∅  (L ,  (O ))   ot   c   ∅∅  (L , O )

[eìmråao råao 6 Inui Inuiey-G ey-Glpsi lpsieltz eltz gl`ì gl`ìnlro nlro [eìm Ymlo`t L  u` l`torvnggo ko , t 8 ∅ L   ot U 8 ∅ A ` ,> ().  ↓ A ``  () ot C  6  L  ↓  ↓ A ``  ,>() sm`t im`tl`uos Yl N  6 6  L  ↓ sur L , go prmcgåao ko Inuiey   U   1  N (t ) U   + C (t )  U (t 8 ) 1 U 8

[eìmr mråao åao 6 Yt Ytruit ruitur uroo ko g“ g“o`s o`soac oacgo go kos smg smgutl utlm`s m`s [eì  ↓ A ``  () ot C   66 L   ↓ ↓ `  sm`t im`tl`uos Gmrsquo N  6 6 L  ↓ sur g“l`torvnggo L , •   g“o`soacgo  EE   kos smgutlm`s ko U   1  N (t ) U   ost u` s.o.v. ko  > (L , ` ) ko klao`slm` ` 2 •  g“o`soacgo kos smgutlm`s ko  U    1  N (t ) U   + C (t ) ost u` smus-ospnio nd﬎`o ko  > (L , ` ) ko klroitlm`  EE  .

↓   Ìquntlm` Ìquntlm`ss klddìro`t klddìro`tloggo loggoss gl`ìnlro gl`ìnlross singnlros singnlros

.. .

 y (` ∓>)

º º º+n ``  ∓>(t ) y  ` ∓> ⇘⇓   \   1  N (t )\  (

)

 

8

> 8   ººº   8   . .   . .   . .   .. . . . 8 . . ot N   1 1 .   ...   ...   ...   8 . . 8   ººº   8 8 > n 8   n >   º ºººº º ºººº   n ` ∓>

•  G“o`soacgo kos smgutlm`s ko g“ìquntlm`  \   1  N\   sur u` l`torvnggo ost km`i u` o.v. o.v. ko klao`slm` ` . • Go prmcgåao prmcgåao ko ko Inuiey  Inuiey 



 y 

(` )

∓>) ` `  ∓> (t ) y 

1 n  (t ) y   + n  (t ) y  + º º º + n  8



 y > (t )   y 3 ( t ) 1  y > (t ) y 3 (t )  y 3 (t ) y > (t )  y > ( t )   y 3 (t )

∓

Ymlo`t   y >   ot   y 3  koux smgutlm`s ko g“ìquntlm`   n (t ) y    +  `o s“n``ugn`t pnr sur L . c (t ) y  + i (t ) y   1 8, nvoi n  `o Gos nssortlm`s sulvn`tos sm`t ìqulvngo`tos 6 (l) ( y > , y 3 ) ost u` syståao dm`knao`tng ko smgutlm`s

 ∅ L ,  Z   ((t ) 1 8 (lll 8 (ll) ∈t  ∅ lll) ∉t 8 ∅ L , Z   (( t 8 ) 1

>

(` 

 y (t 8 ) 1 y 8 , y  (t 8 ) 1 y > , . . . , y (` ∓>) ( t 8 ) 1 y ``  ∓>

nkaot u`o ot u`o sougo smgutlm`.

[eìmråao  ∅ A ` ` (). G“ìquntlm` emamjå`o U  1  N NU U   nkYmlt N  ∅ aot pmur smgutlm` jì`ìrngo U   6 t   ↓ ot N I   mü I  ∅  ∅ ` . [eìmråao 6 Ins klnjm [eìmråao klnjm`ngl `nglsncgo sncgo Ymlt N  ∅ A `  ` () u`o antrlio klnjm`nglsncgo. Lg oxlsto ngmrs u`o cnso ( U > , . . . , U ` ` ) ko voitours prmpros nssmilìs nux vngours prmpros β> , . . . , β` , ìvo`tuoggoao`t augtlpgos. Gos smgutlm`s ko g“ìquntlm`  U   1  NU  sm`t ko gn dmrao 6  U (t ) 1 I > oβ> t  U > +

M` pout trn`sdmraor trn`sdmraor u`o ìquntlm` gl`ìnlro singnlro singnlro k“mrkro `  o`   o` u` syståao klddìro`tlog gl`ìnlro k“mrkro >.

nvoi \   1

  ↓ 

Gmrsquo go syståao klddìro`tlog gl`ìnlro ost è imod﬎ilo`ts im`stn`ts, m` snlt go rìsmukro oxpgliltoao`t.

nkaot u`o ot u`o sougo smgutlm`.

 y   y 

Kì﬎` Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Zr Zrm`sb m`sblo` lo` M` nppoggo wrm`sblo` ko koux smgutlm`s  y > ot  y 3 ko n (t ) y  + c ( t ) y  + i (t ) y   1 8, g“nppglintlm` 6

↓   Sìsmg Sìsmgutl utlm` m` kos syståa syståaos os è imod﬎i imod﬎ilo` lo`ts ts im`stn im`stn`ts `ts



     

 ⇘  ⇘⇓ ⇓  β >(t ) U >(t )+ º º º + β` (t ) U ` (t ) 1 C (t )

↓   Zrm`sb Zrm`sblo` lo` k“u`o k“u`o ìquntlm` ìquntlm` gl`ìnlro gl`ìnlro k“mrkro k“mrkro 3

Z   6 t 

Ko an`låro ìqulvngo`to,

 y (` ) 1 n 8 ( t ) y +n > (t ) y  +

 U  1  N ( t ) U  +  + C (t )

º º º + I ` ` oβ t  U ` `   nvoi   I >, . . . , I ` ` ∅    ` 

Gmrsquo go syståao ost è imod﬎ilo`ts rìogs ot quo g“m` klnjm`nglso N  kn`s  kn`s , lg sud﬎t k“oxtrnlro gos pnrtlos rìoggos ot lanjl`nlros ko oβt  U   pmur trmuvor gos smgutlm`s. M` rotrmuvo go rìsugtnt ku teìmråao o` ìirlvn`t 6  U   1  NU 

  ⇘⇓   U  1 X K X ∓> U   ⇘⇓   X ∓> U  1 K X ∓> U  ⇘⇓   \   1 K \  nvoi \   1 X ∓> U 

Go ingiug ko X ∓> ost l`utlgo. Iotto aìtemko dm`itlm``o ìjngoao`t gmrsquo  N  ost  ost sougoao`t trljm`nglsncgo mu clo` gmrsquo go syståao imapmrto u` soim`k aoacro. aoacro.

 N``ìo 3838/383>  

 

;3

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsu Sì suaì aì >: ’ Ing ngiu iugg kld klddì dìro ro`t `tlog log  Nppglintlm`s ko ignsso  >

 ↓ D   mü O   ot D  kìslj`o`t koux o.v.`. sur  Ymlt  d    6  ⊃ O  ↓ ko klao`slm`s rospoitlvos p  ot  ot `  ot  ot   u`  u` muvort ko O .

Xrmpmsltlm` Yl  d   ost  ost klddìro`tlncgo o` n  ngmrs   ngmrs  d   ost  ost kìrlvncgo o` n   ∅ O  ot sogm` u  pmur  pmur tmut tmut voi voitou tourr u  ∅  ot K u  u ( d   )( n ) 1 k d   n ( u ). M` au`lt kìsmranls  O  k“u`o cnso (o > , . . . , o p p ).

↓  Klddìro`tloggo Kì﬎`ltlm Kì﬎`l tlm` ` 6 Kl Klddìr ddìro`t o`tlog loggo go o` u` pml pml`t `t ∅   s“lg G“nppglintlm`  d    ost klto klddìro`tlncgo klddìro`tlncgo o` n   ∅   s“lg oxlsto ϟ ∅  (O , D ) tog quo 6

Kì﬎`ltlm` Kì﬎`ltlm ` 6 Kìrlv Kìrlvìos ìos pnrtlo pnrtloggos ggos  ∅ >, p  , m` nppo Xmur  f  ∅ nppoggokìrl ggokìrlvì vìoo pnrtl pnrtlog oggo go o` n  k“l` k“l`klio  f   gn kìrlvìo ko d    o` n  sulvn`t   sulvn`t o  f  f , i“ost-è-klro 6

 d   ( n   + + e ) 1  d   ( n ) + ϟ (e ) + m(e )

 d   ( n  +  + t o  f  ∃   d   d    f  ) ∓  d   ( n ) (n ) 1 gla t ↓8 ∃   x  x  f  f  t 



e  8

↓

G“nppglintlm` ost ngmrs u`lquo, m` g“nppoggo  klddìro`tloggo  ko  ko  d   nu   nu pml`t n . M` gn `mto k d  n  mu k d   ( n ).

↓ D   ot (e ) ∓∓∓↓ 8D  . @mtntlm` 6 m(e ) 1 e  (e ) mü  6 O   ↓ e ↓8O 

Yl   d   ost   ost klddìro`tlncgo o`  n , ngmrs gos kìrlvìos pnrtloggos oxlsto`t ot 6

∈ f  ∅  ∅

 d   ( n   + + e ) 1  d   ( n ) + k d  n (e ) + m(e ) e  8

↓

Xrmpmsltlm` Yl d    ost klddìro`tlncgo klddìro`tlncgo o` n ,  d   ost   ost im`tl`uo o` n .

>, p  ,

  ∃   d   d   (n ) 1 k d  n (o  f   f  ) ∃   x  x  f  f 

   

k d  n (e ) 1 k d  n 

e  f  f  o  f  f  1

k(β d    + ¿j )n  1 βk d  n  + ¿kj nn   •   Yl  d    ost klddìro`tlncgo klddìro`tlncgo o` n  ot  ot  j   o`  d    (( n ), ngmrs j   ◤◤  d    ost klddìro`tlncgo o` n  ot  ot 6

 ◤ d   )n  1 kj  d   (n ) ◤ k d  n  k(j  ◤ Kì﬎`ltlm` Klddìro` ìro`tlogg tloggo, o, nppg nppglintl lintlm` m` ko ignss ignssoo  > Kì﬎`ltlm` 6 Kldd •   d   ost   ost klto klddìro`tlncgo sur    sl   d   ost   ost klddìro`tlncgo o` tmut pml`t ko  . M` nppoggo ngmrs klddìro`tloggo ko  d   g“nppglintlm`   g“nppglintlm` 6 k d    6

O  n 

(O , D )  d    (   k n ) 1 k d  n 

   ⊃   ∓↓  

↓ D  ost •   G“nppglintlm`  d    6  ⊃ O   ↓  ost klto ko ignsso  > sur    sl  d    ost klddìro`tlnc klddìro`tlncgo go sur   ot  ot sl sn klddìr klddìro`o`tloggo k d   ost   ost im`tl`uo sur  . Yl  d   ost   ost ko ignsso  > sur  , m` klrn nussl quo  d   ost   ost im`tl`òao`t klddìro`tlncgo sur  .

↓  Kì  Kìrlv rlvìo ìo sogm` sogm` u` voitou voitourr ot kìrlv kìrlvìos ìos pnrtlo pnrtloggo ggoss Kì﬎`l ﬎`ltlm tlm` ` 6 Kì Kìrlv rlvìo ìo sog sogm` m` u` voi voitou tourr Kì  ∅  O  . G“nppglintlm`   d   ost Ymlt  u  ∅   ost klto kìrlvncgo o`  n  + t u ) ost sogm` go voitour  u  sl gn dm`itlm`  t  ↓   d   ( n   + kìrlvncgo o` 8. M` pmso kn`s io ins 6 K uu  ( d   )( n ) 1 gla t  8

↓

∓

 d   ( n   + + t u )  d   ( n ) t 

^un`k u`o dm`itlm` ost klddìro`tlncgo, oggo ost kìrlvncgo kn`s tmutos gos klroitlm`s.

e  f  f k d  n (o  f  f  ) 1

e  f  f 

   f   f 1>

 f   f 1>

 f   f 1>

• Yl d    ot j   sm`t klddìro`tlncgos o` o` n , βj   + + ¿j  nussl  nussl ot 6

p 

p 

  p 

 e  f  f , O` `mtn`t k x  f  f  gos nppglintlm`s e   ↓

∃   d   d  

(n ).

x  f  ∃   x 

p 

∃   d   d   ∃   d   d   ∃   d   d   (n )k x  f  (n )k x p  (n )k x > + º º º + k d  n  1  f  p  1 ∃   x  x  f  f  ∃   x  x p  ∃   x  x > p   f 1>

[eìmråao Inrnitìrls itìrlsntlm` ntlm` [eìmråao 6 Inrn ↓ D .   d   ost   sl ot Ymlt  d    6  ⊃ O   ↓   ost ko ignsso  > sur   sl sougoao`t sl gos kìrlvìos pnrtloggos ko  d   oxlsto`t   oxlsto`t ot sm`t im`tl`uos o` tmut pml`t ko  .

 ∅  , ngmrs 6 Yl d   ost   ost ko ignsso  > sur    ot n  ∅ p 

 d   ( n  +  + e ) e 1 ↓8  d   ( n ) +

  f 1>

∃   d   d   e  f  f  ∃   x  x  (n ) + m(e )  f   f 

Xmur ingiugor gn klddìro`tloggo o` u` pml`t, m` pout rovo`lr è gn kì﬎`ltlm` mu clo` ingiugor gos kìrlvìos pnrtloggos.

↓   Fnimclo``o M` au`lt kìsmranls  D  k“u`o cnso ( o > , . . . , o `  ). M` nppoggo  fnimclo``o ko d   nu   nu pml`t  x   1 ( x > , . . . , x p p ) gn antrlio roprìso`tntlvo ko k d  x  kn`s gos cnsos (o  f  f )> f p  ot  (o l  )>l `  6

 F  d    d   ( x ) 1

    ∃   d   d  l  ( x ) ∃   x  x  f  f 

>l `  > f p 

∃   d   d  >   ∃   d   d  > ( x )   . . . ( x ) ∃   x  x > ∃   x  x p  p 

.. .

1

 

∃   d   d  `    ∃   d   d  `  x  ( ) ( x )   . . . ∃   x  ∃   x  x > x p  p 

 ∅  , Yl d   ost   ost ko ignsso  > sur  , pmur tmut  x  ∅  F j j ◤ d   ( x ) 1  F j j (   d   ( x ))  F  d   inr  d   ( x )   in

Ú

...

 

k(j   ◤◤ d   ) x   1 kj  d    d   ( x ) ◤ k d  x 

 N``ìo 3838/383>  

Dlieo ieo >: ’ Ing Ingiu iugg kld klddìr dìro`t o`tlog log Dl

   Ymlo`t   u`   u` muvort ko 3 ot L  u` l`torvnggo ko . M` >

im`slkåro gos koux nppglintlm`s ko ignsso   6 ϟ  6   L   ∓↓

  ot   d    6    ∓↓      ∓↓   (x (t ), y (t )) ( x , y )  ∓↓   d   ( x , y ) G“nppglintlm`  t   ↓  d   ( x (t ), y ( t )) ost ko ignsso  > sur L   ot  ∅ L , pmur tmut t  ∅ t 

( d   ϟ ) (t ) 1 x  (t )

 ◤

∃  d    d   ∃   d   d    ( x (t ), y (t ))  ( x (t ), y (t )) + y  (t ) ∃  y   y  ∃   x  x  3

3

↓ , ϟ 6  ↓  ot

   M` im`slkåro gignsso os nppglintlm`s   6 6 3 ot υ 6 3 ↓  ko gos  > sur  d   D   6   3 ( x , y )

∓↓     ∓↓   d   (ϟ (x , y ), υ(x , y ))  Ngmrs D  ost ko ignsso  > sur 3 ot pmur tmut ( x , y ) ∅ 3 ,  ∃  d    d    ∃ ϟ ∃  D   ( ϟ ( x , y ), υ( x , y ))  ( x , y ) º  ( x , y ) 1 ∃  x   x  ∃   x  x  ∃   x  x   ∃  d    d   ∃υ  ( ϟ ( x , y ), υ( x , y ))   ( x , y ) º + ∃  y   y  ∃   x  x   ∃  d    d   ∃ϟ ∃  D   ( ϟ ( x , y ), υ( x , y ))   ( x , y ) º   ( x , y ) 1 ∃  x   x  ∃   y  y  ∃   y  y   ∃  d    d   ∃υ  ( ϟ ( x , y ), υ( x , y ))   ( x , y ) º + ∃  y   y  ∃   y  y 

↓   Jrnkl Jrnklo`t o`t nssmil nssmilìì è u`o dm`itl dm`itlm` m` `uaìrl `uaìrlquo quo dm`itlm` `uaìrlquo,, quo g“m` Ymlt   d    6  ⊃  O  ↓   u`o dm`itlm` `uaìrlquo

suppmso klddìro`tlncgo o` n . M` pout ngmrs kì﬎`lr go jrnklo`t ko  d   nu   nu pml`t n  pnr  pnr sos immrkm``ìos 6

∊ d   ( n ) 1

 

∃  d    d   (n ) ∃  x   x >

.. .

 

∃  d    d   (n ) ∃  x   x ``  

M` pout nussl nvmlr n vmlr roimurs nu teìmråao ko Slosz.

[eìmråao 6 Sop [eìmråao Soprìso rìso`tntl `tntlm` m` kos dmraos gl`ì gl`ìnlro nlross Ymlt ( O , ⌬º, º⌦) u` ospnio ouiglklo`. Xmur tmut dmrao

∅ O  tog gl`ìnlro ϟ , lg oxlsto u` u`lquo voitour  u   ∅  tog quo 6 ∈x  ∅  ∅ O ,   ϟ (x ) 1 ⌬u , x ⌦ Kì﬎`ltlm` 6 Jrnk Kì﬎`ltlm` Jrnklo`t lo`t M`nppoggojrnklo`tko d    o` n  otm`  otm` `mto `mto ∊ d   ( n ) govoi∅ O , tour nssmilì è gn dmrao gl`ìnlro k d  n . Xmur tmut e   ∅ k d  n (e ) 1 ∊ d   ( n ) º e 

Kì﬎`ltlm Kì﬎`l tlm` ` 6 Xm Xml` l`tt irl irltlq tlquo uo Ymlt  d    6  ⊃ O  ↓  ↓  ko ignsso  > sur g“muvort  . M`  ∅   ost klt quo n  ∅   ost u` pml`t irltlquo ko  d    sl 6

k d  n  1 8 (O ,) i“ost-è-klro ∊ d   ( n ) 1

 

 d   (n ) ∃  d   ∃  x   x >

.. .

 

∃  d    d   (n ) ∃  x   x ` 

 18

 

;9

 d   nkaot  nkaot u` anxlaua o` x 8 O   sl ot sougoao`t s“lg oxlsto u` vmlsl`njo   ko x 8 tog quo 6

∅

 

∈x  ∅  ∅  ,

  d   ( x )   d   ( x 8 )

[eìmrå ao 6 I@ k“ k“oxl oxlsto sto`io `io k“ k“u` u` oxt oxtro roaua aua [eìmråao ↓  ko ignsso  > sur g“muvort   nkaot Yl  d    6  ⊃ O   ↓   nkaot  ∅   ngmrs u` oxtroaua nu pml`t  n  ∅   ngmrs  x  ost u` pml`t . irltlquo. Iogn rovlo`t è klro quo ∊ d   ( n ) 1 88. Gn prmprlìtì ost dnusso nlggours quo sur u` muvort. Ko pgus, tmut pml`t irltlquo `o imrrospm`k pns `ìiossnlroao`t è u` oxtroaua (ins kos pml`ts soggos).

↓   Kìrlv Kìrlvìos ìos go gm`j gm`j k“u` k“u` nri ot voitou voitours rs tn`jo` tn`jo`ts ts Xrm Xrmpms pmsltl ltlm` m` 6 Kìr Kìrlv lvntl ntlm` m` go gm` gm`jj k“ k“u` u` nri ↓ D   ot ι 6 L  ⊃  ⊃  ↓ O  sm`t Yl  d    6  ⊃ O   ↓  sm`t ko ignsso  > , ngmrs  d    ◤◤ ι ost ko ignsso  > sur L   ot 6

∈t  ∅  ∅ L ,   ( d   ◤ ι) (t ) 1 k d  ι t  (ι(t )) ( )

Xrmpms pmsltl ltlm` m` 6 L`t L`tìjr ìjrntl ntlm` m` go gm` gm`jj k“ k“u` u` nr nrii Xrm ↓ D   ot ι 6 R8, >Q ⊃  ↓ O  sm`t Yl  d    6  ⊃ O   ↓  sm`t ko ignsso >   ot sl ι(8) 1 n  ot  ot ι(>) 1 c , ngmrs 6

   >

∓

 d   ( c )  d   ( n ) 1

k d  ι(t ) (ι (t )) kt 

8

Yl    ost u` muvort im``oxo pnr nris ot d    6  ⊃ O   ↓ ↓ D ,  d    ∅  , k d  n  1 8 (O ,D ) . ost im`stn`to sur   ssl  ssl pmur tmut n  ∅

Kì﬎`ltlm` Yl U   ost u`o pnrtlo ko O   ot x  u`  u` pml`t ko  U , u` voitour v  ko  ko O  ost   ost tn`j tn`jo` o`tt è U   o` x  s“lg   s“lg oxlsto  0 8otu` nri ι kì﬎`l sur Q ∓  ,  R kìrlvncgo o` 8 è vngours kn`s  U , togs quo ι(8) 1 x , ι (8) 1 v .

 Nppglintlm`s ko ignsso

b 

 

M` kì﬎`lt pnr rìiurro`io gos kìrlvìos pnrtloggos k“mrkr k“mrkros os supìrlours 6



  ∃ b ∓> d   ∃  ∃ b  d   1  ºººº ∃   x x l l > ∃   x x l l b  ∃   x x l l b ∓> º º º ∃   x x l l > ∃   x  x l l b  ºº



Kì﬎`lt lm` 6 Np Nppgl pglint intlm` lm` ko ign ignsso sso  b  Kì﬎`ltlm` _`o nppglintlm` ost klto ko ignsso  b  sur u` muvort   sl  sl tmutos sos kìrlvìos pnrtloggos k“mrkro b  oxlsto`t   oxlsto`t ot sm`t im`tl`uos. [eìmråao [eìmrå ao 6 [eì [eìmr mråao åao ko Yie Yiewnrz wnrz ↓ D  u`o Ymlt  d    6  ⊃ O   ↓  u`o nppglintlm` ko ignsso  3 sur u` muvort   ko 3 . Ngmrs,

  ∈n  ∅   ∅  ,

∃ 3 d     ∃ 3 d    ( n )  ( n ) 1 ∃   y  y  ∃   x  x  ∃   x  x ∃   y  y 

 N``ìo 3838/383>  

 

;;

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsu Sì suaì aì >5 ’ Xr Xrmc mcnc nclg lglt ltìs ìs kl klsi sirå råto toss Kì`macroao`t

∅ 8, `  . Xnr gn sulto, ℤ ost u` o`soacgo è `  ìgìao`ts  ìgìao`ts ot p   ∅

 

Kì﬎`ltlm` •   _` p -upgotmuu`o p -gls -glsto to ko ℤ ostu`odnalggoko p  ìgìao`ts ko ℤ. •   _` _` nrrn`joao`t nrrn`joao`tko ko p  ìgìao`ts   ìgìao`tsko ko ℤ ostu` p -upgot im`stltuì k“ìgìao`ts ko ℤ klstl`its. •  _`o porautntlm` ko ℤ ost u` nrrn`joao`t ko ℤ è `  ìgìao`ts.  ìgìao`ts. •  _`o imacl`nlsm` ko p  ìgìao`ts  ìgìao`ts ko ℤ ost u` smuso`soacgo ko ℤ im`to`n`t p  ìgìao`ts.  ìgìao`ts.

M` amkìglso gos tlrnjos suiiosslds nvoi roalso è g“nlko ko glstos, gos tlrnjos suiiosslds sn`s roalso nvoi kos nrrn`joao`ts ot gos tlrnjos slaugtn`ìs nvoi kos imacl`nlsm`s. [eìmråao • Lg y n ` p  p -glstos ko ℤ.   ` ! • Lg y n  nrrn`joao`ts ko p  ìgìao`ts  ìgìao`ts ko ℤ. (`  ∓ p )! • Lg y n ` ! porautntlm`s ko ℤ.

 ` 

• Lg y n

p 

imacl`nlsm`s ko p  ìgìao`ts  ìgìao`ts ko ℤ.

 ∅ . Ymlo`t ` , p , a  ∅ •

   ∓ ∓   ` 

8

1 >,

` 

1 ` 

>

  •

`  > •   p   • 1 `  p  > p  ` 

` 

•

b 18

`  b 

1 3` 

    ∓  ∓ ∓    ∓    ∓    `  p 

  ` 

`  p 

`  `  > `  > 1 + p  p  > p 

p 

•

1

b 18

` 

  a 

b 

p  b 

1

`   + + a  p 

Xrmcncl cnclgltìs gltìs klsir klsiråtos åtos Xrm

↓  [rlcus  [rlcus ot prmcnclgl prmcnclgltìs tìs Kì﬎`ltlm` M` nppoggo u`lvors g“o`soacgo kos rìsugtnts pmsslcgos k“u`o oxpìrlo`io ngìntmlro km``ìo. Gos ìgìao`ts ko g“u`lvors ℤ sm`t qungl﬎ìs ko pmsslcgos  (mu  (mu ko rìsugtnts rìsugtnts pmsslc pmsslcgos  gos ). ).

Kì﬎` Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Sìu Sìu`lm` `lm` ot l`tor l`torsoitl soitlm` m` kì`m kì`macrnc acrncgos gos sulto ko pnrtlos pnrtlos ko g“o g“o`so `soacg acgoo ℤ. M` Ymlt ( N ` )` ∅ u`o sulto kì﬎`lt gos o`soacgos  N ``   ot  N ``   pnr 6 ` ∅ ` ∅

 

ό ∅ ``  ∅ N ` 

  ⇘⇓ ∉`   ∅∅    ό ∅ N ` 

ό

  ⇘⇓ ∈`   ∅∅    ό ∅ N ``  

 ∅ ∅

 N ``  

`  

Kì﬎` Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 [rlcu _`o trlcu trlcu sur ℤ os ostt u` u`oo pnrtlo pnrtlo    ko ko  (ℤ) qul qul vì vìrl﬎ rl﬎oo 6 (l)   ℤ ∅   2 2 (ll) Yl N  ∅   ngmrs   ngmrs N  ∅   +∐  , ngmrs  N  (lll) Yl ( N  ) `  ` ∅ ∅   `  ` 18 `  ∅  



Gn km``ìo k“u` u`lvors ℤ ot k“u`o trlcu   kì﬎`lt  kì﬎`lt u` ospnio prmcnclglsncgo (ℤ,  ) 2 tmut ìgìao`t ko   ost   ost nppogì ìvì`oao`t ko ℤ. Ymlt  (ℤ,  ) u` ospnio prmcnclglsncgo.

Kì﬎`ltlm` Kì﬎`ltlm ` 6 Yys Yyståao tåao imap imapgot got k“ìv k“ìvì`oa ì`oao`ts o`ts M` nppoggo syståao imapgot k“ìvì`oao`ts tmuto dnalggo ﬎`lo mu kì`macrncgo ( N l )l ∅L  k“ìvì`oao`ts toggo quo 6 (l) Xmur tmus l  ot  ot  f  klstl`its, N l  ∬ N  f   1 ∏ 2 (ll)

 N l l   1 ℤ.

∅

l  L 



Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Xrmcn Xrmcnclglt clgltìì Kì﬎` M` nppoggo prmcnclgltì sur  (ℤ,  ) tmuto nppglintlm` X 6  ↓ R8, 8,>>Q vìrl﬎n`t 6 •   X(ℤ) 1 > •  Xmurtmutosulto ( N `  ` )` ∅ k“ìvì`oao`tskouxèkoux  l`imapntlcgos,

   ∐

X

 N `  `  1

` 18

∐

+

+

X( N ` ` )   (ω-nkkltlvltì)

` 18

Go trlpgot (ℤ,  , X) ost nppogì ospnio prmcnclglsì. _`o prmcnclgltì ost u`o nppglintlm` qul vn mpìror sur gos ìvì`oao`ts. Gn ω-nkkltlvltì nssurorn gn im`vorjo`io kos sìrlos qul sorm`t an`lpugìos.

[eìmråao Ymlo`t ℤ 1 {ό` }` ∅ kì`macrncgo ot u`o dnalggo ko oxlst lstoo u` u`oo pr prmc mcnc nclg lglt ltìì X sur (ℤ,  (ℤ)) rìogs p `  `  ` ∅ . Lg ox  ∅ , X({ό` }) 1 p `  ssl 6 toggo quo pmur tmut `  ∅  ∅ , p ` `   8 2 (l) pmur tmut `  ∅ +∐ (ll) gn sìrlo p `  im`vorjo ot p l   1 >.







` 18

X ost ngmrs u`lquo ot pmur tmut  N  ∅  (ℤ), X( N ) 1

p `  ` 

∅ ∅

`   ό`   N 



Kn`s go ins ﬎`l, m` nppoggo prmcnclgltì u`ldmrao sur ℤ  g“u`lquo prmcnclgltì qul pro`k gn aæao vngour pmur ienquo ìvì`oao`t ìgìao`tnlro ìgìao`tnlro..

 N``ìo 3838/383>  

Dlieo eo >5 ’ Xr Xrmcn mcnclg clgltì ltìss kls klsir iråto åtoss Dli

Xrmpmsltlm` ∅  . Ymlo`t (ℤ,  , X ) u` ospnio prmcnclglsì ot N , C   ∅ •   X(∏) 1 8 ot X( N ) 1 > ∓ X( N ). • Yl N  ⊃ C  ngmrs   ngmrs X( N )  X(C ). •   X( N ∦ C ) 1 X( N ) + X(C ) ∓ X( N ∬ C ). (ℤ,

 , X) kìslj`orn pnr gn sulto u` ospnio prmcnclglsì.

Xrmp Xrmpmsltl msltlm` m` 6 Im`t Im`tl`ul l`ultì tì irml irmlssn`t ssn`too Yl ( N ``  )`   ost u`o sulto irmlssn`to k“ìvì`oao`ts (nu so`s ko ∅g“l`iguslm`), ngmrs 6 +∐  N ``   1   gla X( N ``  ) X ` ↓+∐ ` 18

 

Ko aæao, sl ( N ``  )` ∅ ost u`o sulto kìirmlssn`to k“ìvì`o+∐  N `  1   gla X( N ` ). ao`ts (nu so`s ko g“l`iguslm`), X ` ↓+∐ ` 18

 

Xrmpmsltl m` 6 Ymus Ymus-nkkl -nkkltlvlt tlvltìì Xrmpmsltlm` •   Yl ( N > , . . . , N ``  ) ost u`o dnalggo k“ìvì`oao`ts, ngmrs 6

   ` 

  ` 

X

b 18



X( N b )

 N b  

b 18

   ∐

X

∐

+

 N `  

` 18

X( N ` )

` 18

↓   Im`kltlm` Im`kltlm``oao` `oao`tt ot l`kìpo`kn l`kìpo`kn`io `io [eìmråao / Kì﬎` Kì﬎`ltlm` ltlm` 6 Xrmc Xrmcnclgl nclgltì tì im`kl im`kltlm` tlm``oggo `oggo Ymlt  N  u`  u` ìvì`oao`t tog quo X( N )  1 8. G“nppglintlm` X N  6  

∓↓      X( N ∬ C ) C   ∓↓ X( N )

ost u`o prmcnclgltì sur ℤ. M` g“nppoggo prmcnclgltì im`kltlm``oggo rogntlvo è N  (mu  (mu snien`t N )).. O` tn`t quo prmcnclgltì, X prmcnclgltì, X N  vìrl﬎o tmutos gos prmprlìtìs ì`m`iìos prìiìkoaao`t. [eì [eìmr mråao åao 6 Dm Dmrau raugo go kos prm prmcnc cnclgl lgltìs tìs ima imapms pmsìos ìos Ymlo`t `   3 ot  ( N > , N 3 , . . . , N ``  ) u`o dnalggo k“ìvì`oao`ts toggo quo X( N > ∬ººº∬ N ``  ∓> )  1 8. Ngmrs, X( N > ∬ººº∬ N ``  ) 1 X( N > )X N > ( N 3 ) ÚºººÚ X N > ∬ººº∬ N ``  ∓> ( N ``  ) [eìmr åao 6 Dm Dmrau raugo go kos prm prmcnc cnclgl lgltìs tìs tmt tmtngo ngoss [eìmråao Ymlt  ( N ``  )`   u` syståao imapgot k“ìvì`oao`ts. Xmur tmut∅ìvì`oao`t  C , gn sìrlo ko torao jì`ìrng ∬ N ``  ) ost im`vorjo`to ot 6 X(C   ∬



∐

+

X(C ) 1

` 18



∐

+

 ∬ N ``  ) 1 X(C  ∬

` 18

;?

[eìmråao [eìmrå ao 6 Dm Dmrau raugo go ko Cny Cnyos os Ymlo`t  N  ot  ot  C  koux  koux ìvì`oao`ts, X( N |C ) 1

 X ( N )  Ú X(C | N   N ) X(C )

Kì﬎`ltlm` Kì﬎`lt lm` 6 L`k L`kìpo ìpo`kn `kn`io `io ko kou kouxx ìv ìvì`o ì`oao` ao`ts ts Koux ìvì`oao`ts ko g“ospnio prmcnclglsì (ℤ,  , X) sm`t klts l`kìpo`kn`ts sl X( N ∬ C ) 1 X( N ) º X(C ). M` klt ngmrs kos ìvì`oao`ts  N > , . . . , N `  `  qu“lgs sm`t koux è koux l`kìpo`kn`ts sl 6

∈l , f  ∅  ∅

>, `  ,  l  1  f  1⇓ X( N l l ∬    N  f   f  ) 1 X( N l  l )X( N  f   f )

    

Kì﬎` Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Au Autuoggo tuoggo l`kì l`kìpo`kn po`kn`io `io M` klt kos ìvì`oao`ts  N > , . . . , N `  `  qu“lgs sm`t autuoggoao`t l`kìpo`kn`ts sl 6

 ` 

X( N > ∬ N 3 ∬ººº∬ N ` ` ) 1

X( N l l )

l 1>

G“l`kìpo`kn`io autuoggo k“u`o dnalggo k“ìvì`oao`ts la-

•   Yl ( N ` )` ∅ ost u`o sulto k“ìvì`oao`ts ot sl gn sìrlo X( N ``  ) im`vorjo, ngmrs 6 +

 

X(C | N   N ``  )X( N ``  )

pglquo sm`t koux è koux l`kìpo`kn`ts anls a nls gn rìilprmquoqu“lgs ost dnusso.

 N``ìo 3838/383>  

 

;4

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383>

Sìsua Sì suaìì >< ’ Tnrln nrlncgo cgoss ngì ngìntm ntmlr lros os kls klsir iråto åtoss (ℤ,

 , X) kìslj`o u` ospnio prmcnclglsì.

 Tnrlncgos nrlncgos ngìntmlros klsiråtos  T Kì﬎`ltlm` 6 Tnrlncg Kì﬎`ltlm` nrlncgoo ngìn ngìntmlr tmlroo klsir klsiråto åto M` nppoggo vnrlncgo ngìntmlro rìoggo klsiråto tmuto nppglintlm` U   6 ℤ ↓  toggo quo 6 •   U (ℤ) ost u` o`soacgo ﬎`l mu kì`macrncgo2  ∅ U (ℤ) ngmrs ( U   1 x ) ∅  . • Yl x  ∅  U   kìslj`o kìsmranls u`o vnrlncgo ngìntmlro klsiråto.

Kì﬎` Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Tnrln` nrln`io io  ∓ O( U ))3 ost Yl  U  nkaot u` amao`t k“mrkro 3,  ( U  ∓ k“ospìrn`io ﬎`lo. M` nppoggo vnrln`io ko  U  ot m` `mto T ( U ) go rìog pmsltld 6  T ( U ) 1 O ( U  O( U ))3 1

  ∓  

x   U (ℤ)

∅

X  U   6   U (ℤ) x 

  ∓↓ ∓↓

    X( U   1 x )

Yo km``or u`o u`o dnalggo kì`macrncgo ko rìogs pmsltlds ko smaao ìjngo è > rovlo`t è so km``or u`o vnrlncgo ngìntmlro sur (ℤ,  , X).

Amao`ts k“u`o `o vnrln vnrlncgo cgo ngìnt ngìntmlro mlro Amao`ts k“u Kì﬎`ltlm` Kì﬎` ltlm` 6 Ospì Ospìrn`io rn`io  U   ost klto k“ospìrn`io ﬎`lo sl

  º

x ``   X( U    1   x ``  )

∅

`  

im`vorjo ncsmguao`t. Kn`s io ins, m` nppoggo ospìrn`io ko U  go rìog 6

∐

+

O( U ) 1 ``  18 x `  º X( U   1 x ` )



Xgus jì`ìrngoao`t, sl U  r  nkaot u`o ospìrn`io ﬎`lo, m` ∅  go rìog O( U r ). nppoggo amao`t k“mrkro k“mrkro r   ∅

[eì [eìmr mråao åao 6 [eì [eìmr mråao åao ko trn` trn`sdo sdort rt Ymlt   d    6   U (ℤ)  ↓   .   d   ( U )  ost k“ospìrn`io ﬎`lo ssl  d   ( x ` ) º X( U   1 x ` ) im`vorjo ncsmguao`t ot, ngmrs, ` ∅ +∐ O( d   ( U )) 1  d   ( x ``  ) º X( U   1 x ``  )



 ` 18

 ∓

 

Xrmpmsltlm sltlm` ` 6 Dmra Dmraugo ugo ko Bř Bř`lj`lj-Euyj Euyjo`s o`s Xrmpm Yl U   nkaot u` amao`t k“mrkr k“mrkroo 3,

{  |   ∅∅ }

Kì Kì﬎`l ﬎`ltlm tlm` ` 6 Gml k“ k“u`o u`o vn vnrln rlncgo cgo ngì ngìntm ntmlro lro M` nppoggo gml ko prmcnclgltì ko  U  g“nppglintlm` 6

O( U ))3 X( U   1 x )

M` nppoggo ìinrt typo ko  U  go rìog ω( U ) 1  T ( U ).

 U (ℤ) 1 x `  `  

Gn dnalggo (( U   1 x ``  ))` ∅ ost u` syståao imapgot k“ìvì`oao`ts.

( x 

 T ( U ) 1 O( U 3 ) ∓ O( U )3

 Toitours oitours ngìntmlros klsirots  T M` ìto`k gn kì﬎`ltlm` ko vnrlncgo ngìntmlro è vngours rìoggos nux vnrlncgos è vngours kn`s ` . ( U , \  )  ) kìslj`o u` imupgo ko vnrlncgos ngìntmlros klsiråtos.

Kì﬎ Kì﬎`lt `ltlm` lm` 6 Gml Gmlss im` im`fml fml`to `to ot anr anrjl` jl`ngo ngoss • Gn gml im`fml im`fml`to `to ko ko U  ot ko \  ost g“nppglintlm` X ( U ,\  ) )  6   U (ℤ)

Ú \   ((ℤ) ∓↓  ∓↓   R8, >Q ( x , y )  ∓↓   X  U   1 x , \   1  y 





•  Gos gmls anrjl`ngos ko  ( U , \  ) ) sm`t ioggos ko  U   ot \  . .

Gn dmraugo kos prmcnclgltìs tmtngos poraot ko trmuvor gos gmls anrjl`ngos è pnrtlr ko gn gml im`fml`to. Kì﬎`ltlm ltlm` ` 6 Gmls im`kl im`kltlm`` tlm``oggos oggos Kì﬎` •  M` nppoggogml nppoggogml im`klt im`kltlm` lm``og `oggo go ko U  snien`t   snien`t (\   1 y )  X( U   1 x |\   1 y ) 2 g“nppglintlm` x   ↓ \  snien`t ( U   1 x ) •  M` nppoggo nppoggo gml6  y  im`klt im` oU ko   ↓kltlm``  y |  U  g“nppglintlm` Xlm``ogg (\   1oggo   1 x  ).

Jì`ìrnglsntlm` ku teìmråao ko trn`sdort 6 Yl V   1  d   ( U , \   )) ost k“ospìrn`io ﬎`lo,

O(V ) 1



( x , y )  U (ℤ) \  (  ( ℤ)

∅



 d   ( x , y )X  U   1 x , \   1 y 

Ú



Kì﬎`ltlm` Kì﬎`ltlm ` 6 L`kì L`kìpo`kn po`kn`io `io Gosvnrlncgos U  ot  ot \   sm`tkltosl`kìp sm`tkltosl`kìpo`k o`kn`t n`tos os sl pmur pmur tmut ( x , y ) ∅ U (ℤ) Ú \   ((ℤ),





 

G“ospìrn`io ost gl`ìnlro, pmsltlvo ot irmlssn`to.

X  U   1 x , \   1 y  1 X ( U   1 x ) Ú X \   1 y 

Yl U  ost è vngours kn`s  ot k“ospìrn`io ﬎`lo, +∐ O( U ) 1 X( U    ` )

 U  ot  d   ( U ) ot j (\  ) ) sm`tl`kìYl  ot \  sm`tl`kìpo`kn`tos,ngmrs po`kn`tos. Xgus jì`ìrngoao`t (goaao kos imngltlm`s) 6 sl gosvnrlncgos U > , . . . , U `  sm`tautuogg autuoggoao`t oao`tl`kìpo l`kìpo`kn`t `kn`tos, os, `   sm`t  d   ( U > , . . . , U p  )  ot j  (  U  , . . . ,  U  )  sm`t l`kìpo`kn`tos. p  p  p +> `  ` 

 ` 1>

 N``ìo 3838/383>  

Dl Dlieo ieo >< ’ Tnrl nrlncg ncgos os ngì ngìntm ntmlro lross kls klsirå iråtos tos

Goaao 6 L` Goaao L`ìjn ìjnglt gltìì ko An Anrbm rbmv  v  Yl U   ost è vngours pmsltlvos ot nkaot u`o ospìrn`io, O( U ) ∈n  0  0 8   X( U    n )  n 

imv ( U , \  ) ) 1 O (( U  ∓  ∓ O( U ))(\   ∓∓ O(\   ))) )))

M` suppmso quo U   ot  \   nkaotto`t u` amao`t k“mrkro k“mrkro 3. [eìmråao 6 Dmra [eìmråao Dmraugo ugo ko Bř Bř`lj-E `lj-Euyjo` uyjo`ss

Xrmpmsltlm ` 6 L`ìj L`ìjngltì ngltì ko Clo` Clo`nyaìnyaì-[ieoc [ieocyieov  yieov  Xrmpmsltlm` Yl U   nkaot u` amao`t k“mrkr k“mrkroo 3,

imv ( U , \   )) 1 O( U \   )) ∓ O( U ) º O(\   )).

 

x y X  U   1 x , \   1 y 

∅ ∅

x   U (ℤ)  y  \  ( ( ℤ)



Xrmpmsltlm`  ∅ , Xmur tmus n , c  ∅

∈ 0 8   X (|  U U  ∓  ∓ O( U )|   )   T ( U 3 ) [eìmrå ao 6 Gml dnl dnlcgo cgo kos jrn jrn`ks `ks `ma `macro cross [eìmråao Ymlt ( U `  ` )` > u`o sulto ko vnrlncgos l`kìpo`kn`tos ot ko aæao gml, nkaottn`t u` amao`t k“mrkro k“mrkro 3.

∈  8,   X

Xmur n   1 1 c   1 1 >, T ( U   + \   )) 1 T ( U ) + T (\  )  ) + 3imv ( U , \   )) . Ins pnrtliuglor 6 T (n U   + c ) 1 n 3 T ( U ). L`ìjngltì ko Inuiey-Yiewnrz 6 |imv ( U , \   ))|  ω( U ) º ω(\   ))

[eìmråao Yl U   ot \   sm`t l`kìpo`kn`tos, ngmrs 6 O( U \   )) 1 O( U )O(\   )) 2 imv( U    , \   )) 1 8 2

Gmlss usu usuoggo oggoss Gml @ma Cor`muggl

 T ( U   + \  ) ) 1 T ( U ) + T (\   ))

Dm`itlm`s Dm`itlm `s jì`ìr jì`ìrntrli ntrlios os

_`ldmrao

Kì﬎`ltlm` 6 Dm` Kì﬎`ltlm` Dm`itlm` itlm` jì`ìr jì`ìrntrlio ntrlio Yl U  ost è vngours kn`s , gn dm`itlm` jì`ìrntrlio ko gn vnrlncgo U  ost kì﬎`lo pnr 6

Xmlssm`

∐

+

  ↓ O tt   U 

 1

` `  18

Y `  `  ` 

a   

↓ ∐

`  +

l 1>

8

     { }                  (

(p )

82 82>>

(` , p )

82 ` 

>2 `  )

p  sl  sl b  1  1 >

q  sl  sl b  1  1 8

`  b 

  p

p b q ` ∓b  ` p

>2 ` 

p q 

`p q  

`  +  + > ` 3

> ` 

   (p )

 

√

 

q b ∓> p 

   (β)

 



 

β o∓β

∓>

3

>3

> p 

q  p 3

β

β

b 

b !

 

X( U   1 ` )t ` 

` 

X( U   1 ` )t  n u` rn rnym ym` ` ko im im`v `vor orjo jo`i `ioo ∅ supìrlour mu ìjng è >. Gn sìrlo sìrlo o`tlår o`tlåroo

Jìmaìtr.

  ∓   ∓∓∓∓↓

 U l l ,

@mt mtnt ntlm lm` `   U (ℤ)   X( U   1 b )   O( U )   T ( U )

Cl`malngo

Gn rìilprmquo ost dnusso.



 ` 

O` `mtn`t a  g“ospìrn`io  g“ospìrn`io imaau`o ot Y `  `  1

 T (n U   + c \   )) 1 n 3 T ( U ) + c 3 T (\   )) + 3n c imv ( U , \   ))

J  U   6 t 

;:

L`ìjn ìjnglt gltìs ìs ko im` im`io` io`trn trntlm tlm` ` ot im` im`vor vorjo` jo`io io L`

Kì﬎`ltlm` Yl U   ot \   nkaotto`t u` amao`t k“mrkro k“mrkro 3, ngmrs gn  ∓ O( U ))(\   ∓∓ O(\   ))))  nkaot u`o vnrlncgo ngìntmlro  ( U  ∓ ospìrn`io. M` nppoggo ngmrs imvnrln`io ko  U   ot \   ot m` `mto imv ( U , \   )) go rìog 6

imv ( U , U ) 1 T ( U )   ot   O( U \   )) 1

 

`  

[eì [eìmr mråao åao 6 Dm Dm`it `itlm` lm` jì` jì`ìrn ìrntrl trlio io ot ama amao`t o`tss Ymlt  U   u`o vnrlncgo ngìntmlro è vngours kn`s . (l)  Gn vnrlncgo ngìntmlro  U  nkaot u`o ospìrn`io O( U ) sl ot sougoao`t sl J  U   ost kìrlvncgo o` >. Yl tog ost go ins, O( U ) 1 J  U   (>). (ll)  Gn vnrlncgo ngìntmlro  U   nkaot u`o vnrln`io sl ot sougoao`t sl J  U  ost koux dmls kìrlvncgo o` >. [eì [eìmr mråao åao 6 Yma Ymaao ao ko vn vnrln rlncgo cgoss l` l`kìp kìpo`k o`kn`t n`tos os Yl  U   ot  \  sm`t è vngours kn`s  ot l`kìpo`kn`tos, l`kìpo`kn`tos,  ∅Q ∓ S , S R mü S    al`(S  U  , S \ \  ), ngmrs, pmur tmut  t  ∅

    

 U +\  J  U  1 O t  U  O t \  1 J  U   U +\  ( t ) 1 O t   U  (t )J \  \  ( t )

•   Yl U > , . . . , U `  `  ↓  (a l  l , p ) sm`t autuoggoao`t l`kìpo`kn`tos, ngmrs U > + º º º + U `  `  ↓  (a > + º º º + a `  ` , p ). •   Yl   U > , . . . , U `  `    ↓  (βl )   sm`t autuoggoao`t l`kìpo`kn`tos, ngmrs U > + º º º + U `  `  ↓  (β> + º º º + β` ).  ∅ √ , U `  ↓  (` , p ` ` ) ot ` ↓gla • Yl pmur tmut `  ∅ ` p `  `  1 β, +∐ b 

β ∈b  ∅  ∅ ,   X( U ` `  1 b ) ∓∓∓∓↓ o ∓β ` ↓ ∐ b ! +

• Yl U (ℤ) 1 √ , ngmrs U   ↓  (p ) sl ot sougoao`t sl 6

∈(b , ` ) ∅ 3,   X( U   0 `  + U   0 ` ) 1 X( U   0 b )  + b |  U 

 N``ìo 3838/383>  

 

;5

AN[EÌA AN [EÌAN N[L^ [L^_OY _OY 3838 ’ 383> >> Yìrlos `uaì `uaìrlquo rlquoss ot voitm voitmrlogg rloggos os   ignsslquos . . . . . . . . . . . . . . . . . .  N Ymaaos ignsslquos . C Im`v Im`vorjo orjo`io `io kos sìrlo sìrloss `uaìr `uaìrlquos lquos   . . . . . I Yìrl Yìrlos os è vngo vngours urs kn`s u` o.v o.v.`. .`. ko kla. ﬎`lo  

[ncg ncgoo kos an antlå tlåro ross

3< 3< 3< 98

> Ytrui Ytruitur turos os ngj ngjìcr ìcrlqu lquos os    N Ytruituro ko jrmupo jrmupo   . . . . . . . . . . . . . . . . . C Yt Ytrui ruitur turos os k“ k“n`` n``onu onu ot ko imr imrps ps  . . . . . . . . . I Yt Ytrui ruitur turoo k“ k“ngj ngjåc åcro ro .  . . . . . . . . . . . . . . . . . .

> > 3 9

Dnalggoss smaa smaancgos ncgos   9> >3 Dnalggo  N O`soacgos kì`macrncgos kì`macrncgos . . . . . . . . . . . . . . 9> C Dna Dnalggo lggoss smaan smaancgos cgos ko `macr `macros os imapgo imapgoxos xos   9> Nppgli glintl ntlm` m` nux sìr sìrlos los kmu kmucgo cgoss   . . . . . . . . . 9> I Npp

3 Xm Xmgy` gy`ûao ûaoss ot drn drnitl itlm`s m`s rntl rntlm`` m``ogg oggos os

;

Yultos >9 Yult os ot sìr sìrlos los ko dm` dm`itl itlm` m`ss

 N C

 

Xmgy`ûaos  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xmgy`ûaos . Drnitl Dr nitlm`s m`s rnt rntlm` lm``og `oggos gos .  . . . . . . . . . . . . . . . .

; ?

9 Antrl Antrlios ios,, osp ospnio nioss vo voit. it. ot npp nppgli glintl ntlm`s m`s gl` gl`ìnl ìnlro ross   4  N Antrlios Antrlios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 C Yys Yyståaos tåaos k“ì k“ìquntlm quntlm`s `s gl`ìn gl`ìnlro lross   . . . . . . . . . 4 I Os Ospn pnio ioss vo voitm itmrl rlog ogss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . : K Npp Nppgli glintlm ntlm`s `s gl` gl`ìnl ìnlro ross  . . . . . . . . . . . . . . . . 5 ; Kìtora Kìtoral`n l`n`t `t   inrrìo .  . . . . . . .  N Kìtoral`n`t k“u`o antrlio inrrìo C Kìtor Kìtoral`n` al`n`tt k“u k“u`o `o dnalg dnalggo go ko voito voitours urs   . . . I Kìtor Kìtoral`n` al`n`tt k“u k“u` ` o`kma o`kmamrpels mrpelsao ao .  . . . . . . K Mrlo` Mrlo`tntlm` tntlm` ko g“osp g“ospnio, nio, prmku prmkult lt voitm voitmrlog rlog  . .

>8 >8 >8 >> >>

?  N SìkuÌgìao`ts Sìkuitlm` itlm` k“o` k“o`kmam kmamrpels rpelsaos prmpros prmpros .  . . .aos . . . . . . . . . .  . . . . . . >3 >3 C   Xmgy Xmgy`ûaos `ûaosk“o` k“o`kmamrp kmamrpelsaos elsaosot ot ko antrlio antrlioss   >3 I Kl Klnj njm` m`ng ngls lsnt ntlm lm` `   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . >9 K [rl rljm jm`n `ngl glsn sntl tlm` m` . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . >9 4 Ospni Ospnios os pr prìel ìelgco gcortl rtlo`s o`s rìo rìogs gs   >?  N Xrmkult singnlro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . >? C Mr Mrte temj mjm` m`ng nglt ltìì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . >? : O`kma O`kmamrp mrpels elsaos aos k“ k“u` u` osp ospnio nio oui ouiglk glklo` lo`   >:  N O`kmamrpelsaos mrtemjm`nux  .   . . . . . . . . . >: C O`k O`kmam mamrpe rpelsa lsaos os sya syaìtr ìtrlqu lquos os   . . . . . . . . . >5 5 Ospni Ospnios os vo voitm itmrlo rlogs gs `m `mraì raìss ot tmp tmpmgm mgmjlo jlo    N @mrao ot klstn`io   . . . . . . . . . . . . . . . . . . Imapn apnrnl rnlsm` sm` ko `mra `mraos os . . . . . . . . . . . . . . . C Im I @mt @mtlm`s lm`s jì`ì jì`ìrngos rngos ko tmpmgm tmpmgmjlo jlo .  . . . . . . . . . K Im`tl Im`tl`ultì `ultì kn`s u` ospnio voitmr voitmrlog log `mraì   O Xnr nrtl tlos os ima imapn pnito itoss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Xnrtl Xn rtlos os im`` im``oxo oxoss pnr nr nris is   . . . . . . . . . . . . . D

>< >< >< >< 38 3> 33

< Dm`it Dm`itlm` lm`ss k“ k“u`o u`o vn vnrln rlncgo cgo rì rìogg oggoo    N Im`tl`ultì   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C Kì Kìrl rlvn vncl clgl gltì tì   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I Dm Dmrau raugos gos ko [nyg nygmr mr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K   Kìv Kìvogmpp ogmppoao` oao`ts ts glaltìs ot rogntlm`s rogntlm`s ko imapnrnlsm`   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O Dm` m`itl itlm` m`ss im im`v `vox oxos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . D Dm`itlm`s Dm` itlm`s voitmr voitmrloggo loggoss ot nris pnrna pnrnaìtrì ìtrìss   . .

39 39 3; 3;

>8 Yultos Yultos `uaì `uaìrlquo rlquoss ot voitm voitmrlogg rloggos os    N Yultos `uaìrlquos ignsslquos ignsslquos   . . . . . . . . . . C Im`v Im`vorjo orjo`io `io kos sultos `uaì `uaìrlquos rlquos   . . . . . I So Sogntl gntlm`s m`s ko ima imapnr pnrnls nlsm` m` . . . . . . . . . . . . . . Yulto ltoss voi voitmr tmrlog loggos gos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K Yu

3: 3: 3: 3: 35

3; 3? 34

 N C I

 

93

Yultos ko dm`itlm`s . dm`itlm`s  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 Yìrl Yì rlos os ko dm dm`i `itl tlm` m`ss   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Npprm Npp rmxla xlantl ntlm` m` u`l u`ldmr dmrao ao   . . . . . . . . . . . . . 9;

>; Yìrlos o`tlå o`tlåros ros    N Snym` ko im`vorjo`io   . . . . . . . . . . . . . . . C Xrmp Xrmprlìtì rlìtìss ko gn smaao (vnrl (vnrlncgo ncgo rìo rìoggo) ggo)  . . . Kìvogm ogmppo ppoao` ao`ts ts o` sìr sìrlo lo o`t o`tlår låroo . . . . . . . . I Kìv

9? 9? 9? 94

>? Ingiug l`tìj l`tìjrng rng    N L`tìjrntlm` sur u` sojao`t . sojao`t . . . . . . . . . . . . C L`t L`tìjr ìjrngo ngoss jì` jì`ìr ìrngl nglsìo sìoss   . . . . . . . . . . . . . . . L`tìjr ìjrngo ngoss è pnr pnrnaå naåtro tro   . . . . . . . . . . . . . . . I L`t

9: 9: 9: 9<

Ìquntlm`ss klddìr klddìro`tl o`tloggos oggos gl`ìn gl`ìnlros lros   ;8 >4 Ìquntlm`  N Ìquntlm`s gl`ìnlros singnlros singnlros k“mrkros k“mrkros > ot 3   ;8 C Yyst Yyståaos åaos kldd klddìro ìro`tlog `tlogss gl`ìn gl`ìnlro lross   . . . . . . . . . ;> Ingiug ug klddìr klddìro`tlo o`tlogg   ;3 >: Ingi >  N Nppglintlm`s ko ignsso   . . . . . . . . . . . . . ;3 Nppgli glintl ntlm`s m`s ko ign ignsso sso  b  . . . . . . . . . . . . . ;9 C Npp

>5 Xrmcnclglt Xrmcnclgltìs ìs klsir klsiråtos åtos   ;;  N Kì`macroao`t Kì`macroao`t   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;; Xrmcn mcnclg clgltì ltìss kls klsir iråto åtoss   . . . . . . . . . . . . . . . . ;; C Xr >< Tnrlnc nrlncgos gos ngìnt ngìntmlro mlross klsir klsiråtos åtos    N Tnrlncgos ngìntmlros ngìntmlros klsiråtos . klsiråtos . . . . . . . . . . . C Amao Amao`ts `ts k“u` k“u`oo vnrlnc vnrlncgo go ngìntm ngìntmlro lro .  . . . . . . . I Toitour oitourss ngìntm ngìntmlros lros klsir klsirots ots .  . . . . . . . . . . . . K Dm Dm`it `itlm` lm`ss jì` jì`ìrn ìrntrl trlios ios   . . . . . . . . . . . . . . . O L`ìj L`ìjngltìs ngltìs ko im`io` im`io`trntlm trntlm` ` ot im`vo im`vorjo`i rjo`ioo   D Gmls Gm ls us usuo uogg ggos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

;4 ;4 ;4 ;4 ;: ;: ;:

 N``ìo 3838/383>