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MATEMÁTICA 1 - NUMEROS (NATURAIS, INTEIROS, RACIONAIS E REAIS): 

DIFERENTES SIGNIFICADOS E RESPRESENTAÇÕES;



OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS.

CONJUNTO DOS NUMEROS NATURAIS: Representado pela letra N. N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ...} infinitos. Para representar o conjunto dos números naturais ou quaisquer dos quatro conjuntos

fundamentais, utilizamos o ‘*’ asterisco após a letra do conjunto, ex.: N*={1,2,3,4,...}. CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS: Letra Z. Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4, ...} Com exceção dos números naturais podemos usar o + e o -: Z+ = { 0, 1, 2, 3, ...} Z*+ = { 1, 2, 3, 4, ...} Z- = { ..., -3, -2, -1, 0} Z*- = { ..., -3, -2, -1} Note que Z+ = N e que Z*+ = N*.

CONJUNTO DOS NÚMEROS RACIONAIS: São aqueles expressos em forma de fração. Letra Q. Q = {0, 35, -5, ½, 1} Q* = { 0,5, 0,6, ...}

CONJUNTO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS: Letra I. São todos os números que não podem ser representados na forma de fração. Ex.: π, e (euler), e todos que não formam uma dízima periódica. I* = { ..., π, β, e, raiz de 3, ...}

CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS: Letra R e é formado pela união de números Racionais, com os Irracionais. Ex: R = { ..., raiz de 7, -3, 4/7, π, ...}

RESUMO: Naturais => N = { 0, 1, 2, 3, ...} Inteiros => Z = { ..., -2, -1, 0, 1, 2 , 3, ...} Racionais => Q = { ..., -2, ½, 0,5, ...} Irracionais+> I = {..., π, Euler, rais de 2, ...} Reais=> R = { N, Z, Q, I}

N esta contido em Z que está contido em Q que está contido em R e I que também está contido em R.

OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS ENTRE CONJU NTOS: União = A U B Interseção = A ⋂ B Diferença = A –  B Complementar= Ca, b = A –  B

2 – FUNÇÕES;

CONCEITO DE FUNÇÃO: Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma função ‘f’ de A em B é uma relação que associa a cada elemento X E Ax| um único elemento Y E B|. Assim, cada função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contra domínio (conjunto B de valores de saída), de tal forma que cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contra domínio. O conjunto dos elementos do contra domínio não relacionados pela função ‘f’ a algum X do domínio é o conjunto Imagem denotado. f b

a

 A

B

FUNÇÃO AFIM: São as equações de primeiro grau, ou seja, função afim é toda função f; R -> R , da forma f(x)=ax+b, em que a e b são números reais. Ou seja Ax+B = Y

As funções afim podem ser linear e constante. FUNÇÃO QUADRÁTICA: Equação de segundo grau. Uma função chama -se quadrática quando existem números reais a, b, c com a diferente de zero, tal que f(x) = ax²+ bx+c para todo x E R.

2x²+1x+0 = y. FUNÇÃO EXPONENCIAL: a função exponencial ocorre quando temos uma variável no expoente e o número é determinado como base. E.: Seja um número real a (a maior que zero e a diferente de 1), denomina- se função exponencial de base ‘a’ a função f: R ->R*, definida par f(x) = ax  ________ F(x) = (1/3)x

FUNÇÃO LOGARÍTIMICA: Toda função definida pela lei da formação. F(x) = Log x, com a diferente de 1 e a maior que zero, é determinada função logarítmica de base a. Nesse tipo de função o domínio é representado pelo conjunto dos números Reais. Ex.: f(x)= Log² X f(x)= Log ½ x f(x)= Log4(x-1)

Conclusões: O gráfico sempre vai passar por x1, y0. O gráfico está todo para a direita do eixo y. Quando a>1, função log crescente. Quando 0ou=1. Para que essa PG não seja nula, a1 deve ser sempre diferente de 0.

De acordo com o valor de q, são classificadas em: CRESCENTE, quando o primeiro termo é positivo e a Razão é maior que 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a Razão é menor que 1. DECRESCENTE, quando o primeiro termo é positivo e a razão é positiva e menor que 1 ou quando o primeiro termo é negativo e a razão é maior que 1. CONSTANTE, quando a razão é igual a 1 (q=1). ESTACIONÁRIA, quando a razão é igual a zero (q=0). ALTERNADA, quando a razão é negativa (q= -1). FÓRMULA DO TERMO GERAL DE UMA P.G.: O termo geral de uma PG (a1, a2, a3, ...a n, )de razão q, é dado por:  A n=a1.qn-1

Como consequência, para obter um termo qualquer a n, a partir de um termo de ordem p, isto é, a p, pode-se utilizar a fórmula a n= a p. q n –  p, em que n E N* e p E N*. INTERPOLAÇÃO GEOMÉTRICA: Interpolar ou inserir K termos geométricos entre doi números X e Y conhecidos significa determinar uma PG. Com k = 2 elementos, em que a 1 = x e a n = y. Para isso, deve-se determinar a razão q da PG, a partir da fórmula do termo geral: na = a1*qn-1 >>>> y=x.qk+2-

SOMA DOS n PRIMEIROS TERMOS DE UMA PG.: Sejam (a 1, a 2, ..., a n, ...) uma PG, de

razã q e S n a soma de seus n primeiros termos: 

Se a PG for constante (q desigual 1) então: Sn=n.a1



Se a PG não for constante (q desigual 1) então: Sn=a1.(qn -1)/q-1.

SOMA DOS TERMOS DE UMA PG INFINITA: Se uma PG infinita tem o primeiro termo a 1 e

sua razão q satisfaz a condição -1 < q < 1, então a soma S dos infinitos termos dessa PG é dada por : S= a1/1-q

4 –  GEOMETRIA PLANA:

SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS; RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO; TEOREMA DE PITÁGORAS; ÁREAS DE SUPERFÍCIE PLANA E SUBCURVAS. SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS: Dois triângulos são semelhantes se possuem os 3 ângulos congruentes e os lados homólogos proporcionais.

Se dois triângulos são semelhantes (K), então, quaisquer outros elementos lineares homólogos desses triângulos (altura, perímetro, mediana) são também proporcionais com razão K. TEOREMA DA SEMELHANÇA (Toda reta paralela a um lado de um triângulo que intersecta os outros dois lados em pontos distintos, determina outro triângulo semelhante ao primeiro). RELAÇÕES MÉTRICAS DO TRIÂNGULO RETÂNGULO: A altura relativa a hipotenusa de um triângulo retângulo ABC dividi -o em dois triângulos retângulos semelhantes  a ele e semelhantes entre sí:

Como os três triângulos tem todos os ângulos congruentes, pelo 1° caso de semelhança, temos:

Δ= ABC ~ Δ DBA ~ Δ DAC AS RELAÇÕES MÉTRICAS: da semelhança entre Δ  ABC e Δ DBA, segue que:  AB/BC = DB/BA >> C/a = M/c >> C2 = m I

Da semelhança entre Δ ABC E Δ DAC, temos:  AB/BC = DA/BA >>>C/a = h/b >>> ah= bc II

 AC/BC = DC/AC ... b/a = n/b ... b^2 = na III

Da semelhança entre Δ DBA e Δ DAC, segue que: DA/DB = DC/AC >>> h/m = n/h = h^2 = m n

IV

Somando os membros I e II temos: C^2 = am + b^2 = a n/b^2+c^2=am+na >>>b^2+c^2=a (m+n) = b^2+c^2=a^2 V

Que é O TEOREMA DE PITÁGORAS. ÁREAS DE SUPERFÍCIE PLANAS E SOB CURVAS. A área sob a curva y=x^2, de x^1 até x^3 é :

Calculo da área de superfície plana sob curva: Sendo essa a área de uma superfície sombreada, sabendo que o quadrilátero dado é um quadrado de lado 8cm:

5 –  TRIGONOMETRIA: Considera-se um triângulo retângulo ABC, com ângulos agudo de medida a. As razões

trigonométricas abaixo são as definições e recebem os nomes de Seno x, Cosseno x e Tangente x.

SENO, COSSENO E TANGENTE DE UM ÂNGULO AGUDO: Seno x = cateto oposto a x / hipotenusa = a/c Cosseno x = cateto adjacente / hipotenusa = b/c Tangente x = cateto oposto x / cateto adjacente x = a/b

A tangente também pode ser obtida pela razão entre o seno e o cosseno de um ângulo: Tan = Sem/Coss.

TABELA DE ÂNGULOS NOTÁVEIS: Angulos

30°

Seno

½

45° raiz2/2

Cosse

raiz3/2 raiz2/2

Tang

raiz 3/2

1

60° raiz3/2 1/2 raiz3

LEI DO SENO E DO COSSENO PARA UM TRIÂNGULO QUALQUER: A razão entre a medida de qualquer lado do ângulo oposto é igual diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo. a/sen x = b/sen b = c/sen y = 2r

LEI DOS COSSENOS: O quadrado da medida de um lado é igual a soma dos quadrados das medidas dos outros dois lados, menos duas vezes o produto das medidas desses dois lados

pelo cosseno do Ângulo formado por eles. A^2=b^2+c^2 -2.b.c.cos x NOÇÕES DE ESTATISTICA: A palavra estatística significa análise de dados. DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: Tabelas, gráficos, histogramas e polígonos de frequência. Constitui o tipo de tabela mais importante para a estatística descritiva. TABELA É um quadro que resume um conjunto de  dados dispostos segundo linhas e colunas de maneira sistemática. GRAFICOS: São representações visuais dos dados estatísticos que devem corresponder, mas

nunca substituir as tabelas estatísticas. HISTOGRAMAS: É formado por um conjunto de retângulos justa postos, com bases sob um eixo horizontal de tal modo que seus pontos médios coincidem com os pontos médios dos intervalos de classe. A área de um histograma é proporcional a soma das frequências simples absolutas.

POLÍGONO DE FREQUÊNCIA: É traçado marcando -se as frequências acumuladas sobre retas perpendiculares ao eixo horizontal, levantadas nos pontos correspondentes aos limites

superiores dos intervalos de classe em um gráfico horizontal. CONCEITOS INICIAIS: POPULAÇÃO, AMOSTRA, FREQUÊNCIA RELATIVA , FREQUÊNCIA ABSOLUTA, FREQUÊNCIA ACUMULADA. POPULAÇÃO: Conjunto de pessoas ou objetos com uma característica co mum. Ex: Eleitores de Minas.

AMOSTRA: Qualquer subconjunto de uma população. Ex: Eleitores de Formiga.

FREQUÊNCIA ABSOLUTA –  indica quantas vezes cada elemento aparece no ROL. Ex: F(160=2).

FREQUÊNCIA RELATIVA - É obtida dividindo-se a frequência de classe pelo somatório da frequência total (fi). A soma dessa coluna sempre dá 1. FREQUÊNCIA ACUMULADA - É o total acumulado (soma) de todas as classes anteriores até a classe atual. Pode ser Frequência acumulada Absoluta FI, Frequên cia Acumulada Relativa FrI, ou Frequência acumulada Percentual PI. COMBINATÓRIA: PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM: A análise combinatória é usada para resolver problemas de contagem. O princípio fundamental da contagem diz: Contagem é o produto de duas ou mais etapas independentes.

Utilizando o diagrama em árvore descobrimos a quantidade e combinações possíveis. O que o princípio fundamental da contagem diz é que: Um evento que ocorre em n situações independentes e sucess ivas, tendo a primeira situação ocorrido de m1 maneiras, a segunda

situação ocorrido de m2 maneiras e assim sucessivamente, até a n -ésima situação ocorrendo de Mn maneiras, temos que o número total de ocorrências será dado pelo produto: M1.m2. ... .mn.

Boa sorte! E lembre-se: O seu sonho é só seu. Não deixe ninguém interferir na sua meta. É só

seu poder! Vá... siga em frente... até chegar ao lugar da VITÓRIA!