Respuesta Natural y Forzada Circuitos Rc y Rl

RESPUESTA NATURAL CIRCUITOS RC Y RL

CIRCUITO RC: ELIMINACION DE FUENTES

El Circuito RC simple: un resistor y un capacitor

Forma de solución 1: suponer una respuesta para la ecuación diferencial

Forma de solución 2: resolver la ecuación diferencial

CIRCUITO RL: ELIMINACION DE FUENTES

Forma de solución 1: suponer una respuesta para la ecuación diferencial

Forma de solución 2: resolver la ecuación diferencial

RESPUESTA FORZADA CIRCUITOS RL Y RC

CIRCUITO RC: APLICACIÓN DE FUENTES

Vamos a obtener la respuesta v (t) a partir de la e cuación de un circuito RC paralelo cuando se le aplica súbitamente una fuente de corriente de corriente continua. Esta ecuación se resuelve por separación de variables e integración. Luego, vamos a analizar las dos partes que componen la respuesta, es decir, la respuesta natural y la respuesta forzada. Así, podremos aplicar los principios generales que respaldan este método para obtener soluciones rápidas a cualquier problema que implique la aplicación súbita de cualquier fuente.

El circuito consta de un resistor, un capacitor, una fuente de corriente de corriente directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente en t=0. El capacitor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el interruptor, por lo que se puede pensar en el como una fuente de voltaje. Como el interruptor está abierto antes de t = 0, el voltaje a través del circuito vale cero por lo que se sustituye la fuente Is y el interruptor SW normalmente abierto por una fuente de corriente escalón de la forma

Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t = 0.

Esto significa que descargamos el condensador para asegurar que no hay energía almacenada antes de cerrar el interruptor.

El circuito con la fuente de corriente escalón es:

Solución:

Primero obtenemos la respuesta para t < 0 y luego para t > 0. En t < 0 el interruptor está abierto.

En t > 0 el interruptor está cerrado

 Ahora vamos a separar las variables voltaje y tiempo para hallar la respuesta Vc(t) en t > 0:

Integramos a ambos lados de forma indefinida:

 Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola constante k:

Calculamos la constante a partir de la condición inicial: Para ver el efecto del voltaje inicial en la ecuación no lo haremos cero hasta el final.

De aquí despejamos Vc:

Tomando exponencial a ambos lados:

Vemos que el voltaje inicial afecta la amplitud del término exponencial. El condensador es una fuente exponencial que se agota con el tiempo.  Ahora hacemos cero el voltaje inicial:

Esta es la solución buscada pero no se ha obtenido de la forma más simple. Para establecer un método más directo analizaremos los dos términos de la respuesta.

Análisis de la respuesta: primer término

Si la fuente es una corriente escalón la respuesta es un término co nstante diferente de cero. El circuito se comporta como un resistor y un capacitor en paralelo con una batería, por lo que aplica un voltaje directo IsR, ya que el capacitor se comporta como un circuito abierto.

Este voltaje es parte de la respuesta debida directamente a la func ión de excitación y recibe el nombre de respuesta forzada.

La respuesta forzada es la solución de un CIRCUITO DE CORRIENTE DIRECTA, donde la fuente es una fuente de CORRIENTE constante, no dependiente del tiempo. La respuesta forzada es la respuesta que está presente mucho tiempo después de que se ha cerrado el interruptor.

La respuesta forzada tiene las características de la función de excitación, y se calcula suponiendo que todos los interruptores fueron cerrados hace mucho tiempo, de tal forma que la respuesta natural ha desaparecido.

Análisis de la respuesta: segundo término

Si el voltaje inicial es cero, el término exponencial es un exponencial negativo que tiende a cero conforme t aumenta y la energía se disipa gradualmente. El término exponencial está caracterizado por la constante de tiempo RC. Es una respuesta que depende de las características del circuito, es decir, del resistor, del capacitor y de la fuente. Además, se supone que el capacitor está descargado inicialmente.

El término exponencial tiene la forma funcional que corresponde a la respuesta natural del circuito RC libre de fuentes.

La respuesta natural se puede calcular tomando en cuenta sólo el circuito sin fuentes, y su amplitud depende de la amplitud inicial Is de la fuente, del resistor y de la condición inicial.

Respuesta completa

Circuito RC paralelo con aplicación súbita de fuentes de C.C.

CIRCUITO RL : APLICACIÓN DE FUENTES

Vamos a obtener la respuesta i (t) a partir de la ecuación de un circuito RL serie cuando se le aplica súbitamente una fuente de voltaje de corriente directa. Esta ecuación se resuelve por separación de variables e integración. Luego, vamos a analizar las dos partes que componen la respuesta, es decir, la respuesta natural y la respuesta forzada. Así, podremos aplicar los principios generales que respaldan este método para obtener soluciones rápidas a cualquier problema que implique la aplicación súbita de cualquier fuente. El circuito consta de un resistor, un inductor, una fuente de voltaje de corriente directa, un interruptor normalmente abierto que aplica la fuente súbitamente en t =0. El inductor podría tener una energía inicial almacenada antes de cerrar el interruptor, por lo que se puede pensar en el como una fuente de corriente.

Como el interruptor está abierto antes de t=0, la corriente a través del circuito vale cero por lo que se sustituye la fuente Vs y el interruptor SW normalmente abierto por una fuente de voltaje escalón de la forma

Esta fuente escalón tampoco produce respuesta antes de t=0.

Esto significa que descargamos la bobina para asegurar que no hay energía almacenada antes de cerrar el interruptor. El circuito con la fuente de voltaje escalón es:

Solución:

Primero obtenemos la respuesta para t0. En t0 el interruptor está cerrado.

 Ahora vamos a separar las variables corriente y tiempo para hallar la respuesta i(t):

Integramos a ambos lados de forma indefinida:

 Ambas integrales arrojan una constante que podemos agrupar en una sola constante k:

Calculamos la constante a partir de la condición inicial: Para ver el efecto de la corriente inicial en la ecuación no la haremos cero hasta el final

De aquí despejamos i:

Tomando exponencial a ambos lados:

Vemos que la corriente inicial afecta la amplitud del término exponencial. La bob ina es una fuente exponencial que se agota con el tiempo.  Ahora hacemos cero la corriente inicial:

Esta es la solución buscada pero no se ha obtenido de la forma más simple. Para establecer un método más directo analizaremos los dos términos de la respuesta.

Análisis de la respuesta: primer término

Si la fuente es un voltaje escalón la respuesta es un término constante diferente de cero.

El circuito se comporta como un resistor y un inductor en serie con una batería, por lo que fluye una corriente directa Vs/R, ya que el inductor se comporta como un cortocircuito.

Esta corriente es parte de la respuesta debida directamente a la función de excitación y recibe el nombre de respuesta forzada.

La respuesta forzada es la solución de un CIRCUITO DE CORRIENTE DIRECTA, donde la fuente es una fuente de VOLTAJE constante, no dependiente del tiempo. La respuesta forzada es la respuesta que está presente mucho tiempo después de que se ha cerrado el interruptor.

La respuesta forzada tiene las características de la función de excitación, y se calcula suponiendo que todos los interruptores fueron cerrados hace mucho tiemp o, de tal forma que la respuesta natural ha desaparecido.

Análisis de la respuesta: segundo término

Si la corriente inicial es cero, el término exponencial es un exponencial negativo que tiende a cero conforme t aumenta y la energía se disipa gradualmente. El término exponencial está caracterizado por la constante de tiempo L/R. Es una respuesta que depende de las características del circuito, es decir, del resistor, del inductor y de la fuente. Además, se supone que el inductor está descargado inicialmente. El término exponencial tiene la forma funcional que corresponde a la respuesta natural del circuito RL libre de fuentes.

La respuesta natural se puede calcular tomando en cuenta sólo el circuito sin fuentes, y su amplitud depende de la amplitud inicial de la fuente y de la condición inicial.

Respuesta completa

Circuito RL serie con aplicación súbita de fuentes de C.C.

https://analisisdecircuitos1.wordpress.com/parte-2-circuitos-en-estadotransitorio-cap-51-a-60/circuitos-rc-con-aplicacion-subita-de-fuentes/

https://analisisdecircuitos1.wordpress.com/parte-2-circuitos-en-estadotransitorio-cap-51-a-60/circuitos-rl-con-aplicacion-subita-de-fuentes/