Resortes Mecánicos helicoidales Ing. Carlos Gerez
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Buenos Aires Octubre de 2014
Ing. Carlos Gerez
Resortes mecánicos helicoidales
Contenido Resortes mecánicos helicoidales Introducción, (3) Características de los resortes helicoidales, (4) Materiales, (5) Tipos de Carga, (7) Carga Estática, (7) Carga variable, (8) Principales tipos de resortes helicoidales, (9) Resortes de Tracción o extensión, (9) Resortes de Compresión, (10) Estabilidad en los Resortes de Compresión, (13) Cálculo de tensiones en resortes de tracción-Compresión, (14) Planteo del problema. (14) Primera aproximación. (16) Cálculo aproximado de tensiones, considerando la curvatura del alambre. (18) Cálculo de tensiones para secciones de alambre no circulares. (24) Sección Cuadrada (24) Sección rectangular (24) Sección elíptica (25) Cálculo de deflexión en resortes de tracción-Compresión, (25)
ANEXO I Tabla de Aceros para resortes de alto Carbono y aleación, (28)
Bibliografía, (29)
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Resortes mecánicos helicoidales Introducción Un resorte mecánico, es un elemento de máquina que posee la capacidad de acumular energía mecánica para liberarla oportunamente con el fin de ejercer fuerza, brindar flexibilidad o reducir vibraciones La variedad de sus formas es muy amplia y sus aplicaciones que van desde un simple interruptor eléctrico hasta la suspensión de un transbordador espacial o el mecanismo antivibratorio del telescopio de Monte Palomar, son innumerables. Los resortes mecánicos, como puede observarse en la Figura 1, pueden tener formas especiales o bien pueden estar constituídos por láminas metálicas planas o por alambre
Figura 1: Distintos tipos de resortes
Asimismo, los resortes de alambre pueden tener secciones circulares, elípticas, cuadradas o rectangulares y distintas configuraciones geométricas De estas posibles configuraciones, dada la universalidad de sus aplicaciones, nos interesa estudiar el arrollamiento de un alambre (usualmente de sección circular) sobre un cilindro base de modo que el eje longitudinal del alambre conforma un helicoide de inclinación , paso p y diámetro proyectado D (figura 2.a). A los resortes mecánicos de alambre así constituídos, se los denomina helicoidales cilíndricos o simplemente, Resortes helicoidales. En la figura 2.b puede observarse el desarrollo de una espira de este tipo de resorte.
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a. Helicoide cilíndrico p
D
p
b. Desarrollo de una espira
d D
a p .D Figura 2: Helicoide cilíndrico (a) y desarrollo de una espira de resorte helicoidal (b)
Características de los resortes helicoidales Las principales características de estos resortes son:
Material del alambre Diámetro del alambre, d Diámetro proyectado del helicoide, D Inclinación del helicoide, Cantidad de espiras, N
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p
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Figura 3: Corte de resorte helicoidal
Otros elementos que caracterizan a los resortes helicoidales son:
Tipo de terminación en los extremos del resorte para permitir su montaje. Tratamientos térmicos Acabado superficial del alambre
Longitud del alambre,
Paso de la Hélice, p = p
L= p
.D.N
.D . tg a
(Válido para pequeños valores de a)
~ p
.D . sen a
(si a es pequeño)
Índice del resorte,
Longitud Libre, L0 Longitud Sólida, LS
Materiales Usualmente, los resortes experimentan grandes deformaciones ante una carga dada, por lo que en la posición de deflexión debe acumularse una cantidad relativamente grande de energía. Dado que la deformación o deflexión (f) y la carga (P), en la mayoría de los resortes son proporcionales a la tensión y que la energía es proporcional al producto f x P, se deduce que la energía almacenada es proporcional al cuadrado de la tensión. Esto explica porque los resortes trabajan a tensiones mucho más altas que la mayoría de los elementos de máquina y porque sus materiales suelen tener altos valores de resistencia tensil (resistencia ultima del ensayo de tracción).
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El material más ampliamente utilizado en la fabricación de resortes, es el acero. Para pequeños diámetros de alambre (d), se emplean aceros de 0,8%C a 0,9%C conformados en frío a partir de alambres pre templados (este tipo de material, se denomina “alambre de instrumento musical”) a los que luego de conformados se les aplica un tratamiento térmico de revenido para aliviar las tensiones del pre tensado y el conformado del alambre. Las resistencias ténsiles de estos alambres van de los 230.000 PSI a los 400.000 PSI, dependiendo del valor d. En caso que las condiciones de operación del resorte lo permita, estos pueden construirse con alambres de acero de menor contenido de Carbono y, consecuentemente, menor costo de materia prima. Para diámetros mayores, suele utilizarse aceros de 1%C y los resortes son conformados en caliente y posteriormente templados y revenidos. Sus resistencias varían entre 200000 PSI y 240000 PSI. Para resortes que operarán en medios corrosivos, se utilizan alambres de aceros inoxidables (por ejemplo de 18% Cr, 0,8% Ni y 0,8% a 1%C) con resistencias de entre 180.000 PSI a 280.000 PSI. En general, los materiales de resortes deben tener altos valores de Resistencia tensil y Resistencia a la fatiga, deben ser dúctiles pero resistentes al efecto creep y con altos valores de resiliencia. La selección del material, también depende del tipo de servicio que va a prestar el resorte, pudiéndose distinguir tres tipos de servicio:: Servicio Severo, implica que el resorte está sometido a altas cargas variables de alta frecuencia como en el caso de resortes de válvulas de motores a explosión. Servicio Medio, Incluye el mismo tipo de tensiones que en el caso severo, pero sólo en forma intermitente. como en el caso de suspensión automotriz. Servicio liviano, incluye resortes sujetos a cargas estáticas o que varían con poca frecuencia como en el caso de válvulas de seguridad. En la Tabla adjunta en el Anexo I pueden observarse distintos materiales para resortes y sus principales aplicaciones
Nota con respecto a las unidades: los resultados de resistencias presentados en el presente trabajo, están expresados en unidades inglesas por ser ampliamente utilizadas en la bibliografía, estudios y páginas web,. Para su conversión a unidades en el sistema internacional, la equivalencia es: -3
1 PSI = 6.894,76 Pa = 6,849476 . 10 MPa donde PSI significa “Pound per Square Inch” (“libra por pulgada cuadrada”), 1 Inch = 1” = 0,0254 m
1 Pound = 1 LB = 4,4452 N
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Tipos de Carga Carga Estática En varias de sus aplicaciones, los resortes están sujetos a una carga o deformación que es constante en el tiempo y dicho estado, eventualmente varía muy pocas veces durante la vida útil del resorte. Se dice que estos resortes están estáticamente cargados. Los resortes utilizados en válvulas de seguridad como el mostrado en la figura 4, constituyen un ejemplo clásico de resortes sujetos a este tipo de carga,
Figura 4: Válvula de Seguridad
Durante la vida útil de un resorte estáticamente cargado, es importante que el mismo mantenga su calibración dentro de un margen que permita la operación de diseño. En tal sentido, es importante que estos resortes la carga aplicada no decaiga a lo largo del tiempo mas allá de un pequeño porcentaje, pues pude producirse un fenómeno conocido como relajación del material, que en el caso de las válvulas de seguridad, provoca su activación a presiones inferiores de las de operación. En el diseño de resortes estáticamente cargados, suele sugerirse el uso de materiales ligeramente más dúctiles que para resortes sometidos a cargas variables. Para temperaturas de operación de hasta 180 ºC y entornos no corrosivos se indica el uso de aceros al carbono, mientras que para temperaturas superiores a los 200 ºC se recomienda la utilización de aceros inoxidables
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Carga variable En muchas de las aplicaciones de los resortes, las cargas aplicadas sobre ellos, varían con el tiempo. En la figura 5 se muestran dos ejemplos típicos de estas aplicaciones.
a. Conjunto de suspensión automotriz
b. Válvulas de motor a explosión
Figura 5
En ambos casos, durante los períodos de operación, los resortes están solicitados en forma variable, sus tensiones varían entre un máximo y un mínimo y están expuestos a fatiga, pero mientras en el ejemplo de los resortes de suspensión automotriz (Figura 5.a) las tensiones varían cíclicamente con amplitud variable (Figura 6.a) y en el caso de los resortes de válvulas (Figura 5.b), las tensiones varían cíclicamente con amplitud aproximadamente uniforme (Figura 6.b)
a. de amplitud variable
b. de amplitud uniforme
Figura 6: Ciclos de tensiones
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Principales tipos de resortes helicoidales Resortes de Tracción o extensión Estos resortes, sometidos a cargas de tracción, se caracterizan por tener un ángulo de inclinación a muy pequeño de modo que al estar descargados sus espiras suelen estar en contacto y porque deben contar con un elemento que permita transmitir la carga desde el soporte hasta el cuerpo del resorte. Este problema inicial de diseño puede resolverse colocando un dispositivo externo en los extremos del resorte como ser un tapón roscado o un gancho giratorio, pero de esta forma en el proceso de fabricación se incrementaría considerablemente el costo del producto terminado, por lo que habitualmente se fabrica un gancho fijo en los extremos del resorte con el mismo alambre de las espiras extremas según alguno de las formas indicadas en la Figura 7.
Figura 7: Tipos de extremos en resortes de tracción
En caso de diseñar un resorte con extremo de gancho fijo, debe considerarse el efecto de concentración de tensiones en el doblez del mismo. En las figuras 8.a y 8.b se muestran uno de los métodos más utilizados para el diseño de ganchos fijos. Dado que la concentración de tensiones debida a un doblez muy agudo imposibilita diseñar el gancho con una resistencia similar a la del cuerpo, se han experimentado varias alternativas para reducir este efecto. En las Figuras 8.c y 8.d se presenta un diseño mejorado por la reducción progresiva del diámetro de las espiras para generar el doblez del gancho muy cerca del eje del resorte y consecuentemente disminuir notablemente el brazo de palanca de la carga P sobre el mismo.
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Figura 8: Extremos de resortes de tracción
Resortes de Compresión Los resortes helicoidales sometidos a cargas de compresión, se caracterizan por tener un ángulo de inclinación a diseñado de modo que durante la operación sus espiras no entren en contacto y porque a diferencia de los resortes de tracción, eventualmente pueden fallar por pandeo y no necesariamente deben contar con un elemento adicional que permita transmitir la carga desde el soporte hasta el cuerpo del resorte. En la figura 9, se muestran distintos estados de un resorte de compresión. Cuando el mismo está descargado, L0 indica la longitud libre. Al ser sometido a una carga P, el resorte se deforma o deflecta una longitud f y con Lc se indica la longitud comprimida: Lc = L0 - f Cuando la deformación es máxima, de modo que cada espira del resorte está en contacto con la siguiente, entonces la longitud comprimida se denomina Longitud Sòlida y se indica con LS.
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Figura 9: Resorte de compresión
En la figura 10, se muestran los cuatro tipos de extremos que habitualmente se utilizan en resortes de compresión. Los extremos simples, se obtienen sencillamente al cortar el resorte en dos puntos (Fig.10.a). Este método presenta la ventaja de su bajo costo de producción pero tiene la desventaja que apoya sólo un punto del extremo en el soporte con un ángulo de inclinación
a por lo que la transferencia de carga, no es óptima. Para solucionar esta desventaja funcional, puede doblarse la espira libre hasta un ángulo de inclinación de cero grados. A este tipo de extremo se lo llama escuadrado o cerrado (Fig. 10.b) Otra forma de mejorar la transferencia de carga consiste en aplanar por maquinado (con una amoladora por ejemplo) la espira libre, obteniendo un extremo simple amolado (Fig.10.c) Al tipo de extremo que combina las dos soluciones anteriores (Fig.10.d) se lo denomina escuadrado amolado.
Figura 10: Tipos de extremos de resortes de compresión
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El tipo de extremo utilizado, genera espiras muertas o inactivas en los extremos del resorte Para obtener el número de espiras activas (Na), debe restarse al número total de espiras (Nt) el número de espiras inactivas (N0):
Na = Nt – N0 En la Tabla 1, se muestra como varían distintas características de los resortes de compresión de acuerdo al tipo de extremo, considerando en cada caso que ambas terminaciones del resorte son iguales.
Tabla 1: Características del resorte por tipo de extremo
Estabilidad de los resortes de Compresión Se comprobó experimentalmente que un resorte helicoidal de compresión con una longitud libre (L0) mayor que cuatro veces el diámetro del resorte (D), se comporta como una columna esbelta y puede fallar por pandeo a cargas relativamente bajas como se observa en la figura 10 para resortes con extremos fijos (fig.10.a) y extremos pivotados (fig 10.b).
Figura 10: Pandeo en resortes helicoidales de compresión
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La carga crítica de pandeo, puede calcularse con la siguiente fórmula:
PCR = K . KP . L0 Donde: K = constante del resorte = P/f L0 = Longitud Libre KP = Factor de Pandeo que depende de la relación L0/D (Tabla 2) L0/D 1 2 3 4 5 6 7 8
Apoyo de extremos Fijos 0.72 0.71 0.68 0.63 0.53 0.38 0.26 0.19
Pivotados 0.72 0.63 0.38 0.20 0.11 0.07 0.05 0.04
Tabla 2: Factor de Pandeo, KP
Otra forma práctica de determinar la posibilidad de pandeo en un resorte de compresión se consigue utilizando el gráfico empírico de la Figura 11 donde se observan curvas que indican cuando puede producirse pandeo en resortes helicoidales de compresión con los extremos escuadrados y amolados. La curva A es para resortes con un extremo fijo y el otro pivotado, mientras que la curva B es para resortes con ambos extremos fijos.
Figura 9: Zonas de Pandeo
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La posibilidad de falla por pandeo, puede corregirse si se monta el resorte sobre una barra redonda o sobre un tubo, como se indica en la figura 12, previendo en ambos casos un huelgo de d/2
Figura 12: Corrección de pandeo
Cálculo de tensiones en resortes helicoidales de tracción-compresión Planteo del problema En esta sección, se calculará en forma aproximada la distribución de tensiones en una sección del alambre de un resorte helicoidal sometido a una carga axial P, que consideraremos colineal al eje del resorte (figura 13) La teoría para este cálculo es esencialmente la misma para resortes de tracción que para resortes de compresión e independientemente que en las figuras de análisis se utilicen resortes de compresión, los resultados obtenidos son válidos para ambos tipos de resortes.
Figura 13: Resorte de compresión de pequeño ángulo de inclinación a, cargado con una fuerza P colineal a su eje
Para el desarrollo del cálculo, se asume que la inclinación del helicoide a, es suficientemente pequeña para considerar que la carga transferida al resorte es colineal a su eje.
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Para estudiar el efecto de esta carga sobre una sección del alambre del resorte, mediante el artificio de considerar aplicadas en el centro de masa de la sección dos fuerzas P’ y P’’, ambas de igual módulo (P), igual dirección (paralelas al eje del resorte) pero de sentido contrario de modo que su suma vectorial sea nula, se pone de manifiesto (Figura 14) que en la sección en estudio, actúan un Momento Torsor formado por la cupla de las fuerzas P y P’’ de magnitud: MT = P . D / 2 y un esfuerzo de corte producido por la fuerza P’ de magnitud P. En la figura 15 se muestran las esfuerzos resultantes en la sección en estudio, donde el Momento Torsor, constituye la solicitación predominante.
Figura 14: Análisis de esfuerzos para la sección de alambre del resorte en estudio
Figura 15: Esfuerzos resultantes en la sección de alambre del resorte en estudio
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Primera aproximación Para el problema planteado en el apartado anterior, en una primera aproximación para calcular las tensiones que las solicitaciones actuantes producen en la sección en estudio, se considerará que esta se comporta como si perteneciera a una barra cilíndrica recta sometida a un momento torsor MT = P . D/2 y a un esfuerzo de corte P. Como se verá más adelante, este supuesto sólo es aproximadamente válido para resortes de índices grandes.
Se comenzará analizando el efecto del Momento Torsor sobre un elemento diferencial de la barra cilíndrica recta de longitud dx y diámetro d (figura 16), considerando que al aplicar el Momento Torsor, las secciones circulares extremas del elemento rotan una con respecto a la otra un ángulo dQ, denominado ángulo de torsión, asumiéndose también que el eje de rotación coincide con el eje longitudinal de la barra y que las secciones normales a dicho eje permanecen paralelas entre sí en todo momento.
Figura 16: Elemento diferencial de barra cilíndrica recta sometido a Momento Torsor
En la Figura 16, también se observa que el segmento ab marcado sobre la superficie del elemento y paralelo al eje del cilindro luego de la rotación relativa de ambas secciones, giró a la posición ac, formando un ángulo g, denominado distorsión. En estas condiciones, la distribución de tensiones debidas al Momento torsor aplicado en la sección, está dada por: Donde,
, es la tensión tangencial debida al momento torsor, , es el momento de inercia polar y
r
es la coordenada polar con origen en centro de masa de la sección
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Como puede observarse en la Figura 17, el valor máximo de la tensión para r = d/2:
tMT , se produce
= Por lo que:
(I)
Figura 17: Distribución de tMT
Analizando ahora, sólo el efecto del esfuerzo de corte P en la sección en estudio, se observa (Figura 18) una distribución uniforme de tensión , debida a este esfuerzo:
donde A= Área de la sección,
Por lo que:
(2)
Figura 18: Distribución de tC
Superponiendo los efectos de ambas solicitaciones, se obtiene la tensión máxima en la periferia de la sección, sumando las ecuaciones (1) y (2):
(3)
Considerando al índice del resorte C = D / d y operando, la ecuación (3) puede expresarse:
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(4)
En la figura 19, se grafican las distribuciones de tensiones correspondientes a los efectos individuales del Momento Torsor (Fig.19.a), del Esfuerzo de Corte (Fig.19.b) y a la superposición de ambos efectos (Fig.19.c), asumiendo que el alambre se comporta como si fuera una barra cilíndrica recta.
Figura 18: Superposición de efectos
A partir del análisis realizado, se puede cuantificar la preponderancia de la tensión máxima producida por el momento torsor por sobre la del esfuerzo de corte mediante la relación
tMTmáx /tc
. Dividiendo miembro a miembro las ecuaciones (1) y (2) y operando, se
obtiene:
tMTmáx = 2 . C . tc Dado que el valor de C=D/d varía entre 3 y 12, en función del índice del resorte, la tensión tangencial máxima producida por el momento torsor es entre 6 y 24 veces mayor que la tensión producida por el esfuerzo de corte.
Cálculo aproximado de las tensiones considerando la curvatura del alambre
En la década de 1940, A. M. Wahl desarrolló en su libro Mechanical Springs (Resortes Mecánicos) la teoría aproximada para el cálculo de tensiones en resortes helicoidales de tracción-compresión considerando un pequeño ángulo a de inclinación del helicoide y un índice del resorte C, variable entre 3 y 12. Dentro de sus límites de aplicación, las fórmulas obtenidas por Wahl tienen un error del orden del 2% con respecto a los valores más precisos que brinda la teoría de la elasticidad. Por este bajo nivel de error y por la sencillez de su formulación, estas expresiones son utilizadas en la mayoría de las aplicaciones prácticas y en las principales fuentes bibliográficas de ingeniería.
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Para comenzar el análisis del efecto de la curvatura del alambre, en la Figura 19, puede observarse una típica fractura por fatiga en un resorte helicoidal pesado.
Figura 19: Falla típica por fatiga
La superficie mas pulida del área de fractura, indica que la falla comenzó en el interior de la espira, cercana al punto a’ indicado en la Figura 20 y se propagó en un ángulo de 45ª con respecto al eje longitudinal de la espira. La ocurrencia de este tipo de falla, pone de manifiesto que las tensiones en el interior de la espira, son superiores a las del exterior.
Figura 20: Resorte helicoidal pesado, cargado axialmente
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Este fenómeno, puede explicarse sencillamente analizando la rotación relativa dQ de dos secciones normales al eje del alambre, la que contiene a los puntos a a’ y la que contiene a los puntos b b’ (Figura 20). En la figura 21, puede observarse que al producirse la rotación, el punto interior b’ pasa a la posición c’ y el punto exterior b pasa a la posición c y aunque el ángulo de torsión es el mismo para todos los puntos de la sección, debido a la curvatura de la barra, la distorsión es mayor en el interior que en el exterior de la espira:
g’ > g Donde:
g=Distorsión exterior g’=Distorsión interior
Figura 21: Distorsiones en una barra curva sometida a torsión
Como las tensiones por torsión son proporcionales a la distorsión, entonces las tensiones en el interior de la espira deberán ser mayores que en el exterior de la misma:
tINT
= G.g’ >
tEXT
= G.g
Donde G es el Módulo de elasticidad transversal que para el acero vale 81.000 MPa.
Considerando solamente el efecto del momento Torsor MT=P.D/2, A. M. Wahl, basándose en la teoría de torsión de barras curvas (S. Timoshenko, Resistencia de materiales tomo II) 2 demostró que el centro de rotación real está desplazado una distancia d=d /(8.D) del centro de masas de la sección en estudio (Figura 22) y que la distribución de tensiones debidas a esta solicitación esta dada por: (5)
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Donde r, es la coordenada con origen en el centro real de rotación O’, por lo tanto el valor máximo correspondiente al punto a’ en el interior de la espira, se obtendrá para r = d/2 - d y el mínimo para r = - (d/2 + d) correspondiente al punto a:
r
Figura 22: Diagrama real de tensiones en una sección sometida sólo a torsión
Reemplazando estos valores en la expresión (5) y recordando que c = D/d: (6) y (7)
Estas expresiones indican (Tabla 3) que, dependiendo del valor del índice del resorte y dentro del campo de aplicación de las mismas (se considera que C varía entre 3 y 12), las tensiones debidas a torsión en la zona interna de las espiras pueden ser desde un 13% a un 69% mayores que en la zona externa. c
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
tMTmáx / tMTmin 1,69 1,47 1,36 1,29 1,24 1,21 1,18 1,16 1,15 1,13 Tabla 3: Relación tMTmáx / tMTmin en función del índice del resorte C
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Considerando solamente el esfuerzo de corte P en barras cilíndricas curvas, S. Timoshenko obtuvo que la tensión vale: (8)
Si se superponen los efectos del Momento torsor y del esfuerzo de corte sumando la expresión (8) a la (6) y operando, se obtiene la tensión tangencial máxima en la sección en estudio:
(9) Análogamente, restando la expresión (8) a la (7) y operando, se obtiene la tensión tangencial mínima en la sección en estudio:
( 10 )
La expresión (9), que es la más utilizada en la bibliografía técnica y en la mayoría de los casos prácticos para obtener la tensión máxima en la sección en estudio, difiere de la fórmula (4) obtenida en la primera aproximación en el factor que afecta a y suele escribirse:
(9)
Donde: ( 11 )
KW, es el factor de corrección de tensiones de Wahl, compuesto por el término indica la corrección por la curvatura del alambre y el término
que
que da la corrección
por el esfuerzo de corte. En la Figura 23 se grafica el factor de Wahl en función del índice del resorte. Observando los valores de la tabla 4, se se infiere que los valores de la teoría básica expresados en la fórmula (4) tienen un menor error para altos índices del resorte.
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Figura 23: Factor de Wahl
c
1-1/2.c
KW
Error % de la teoría básica
3
0,83
1,58
47%
4
0,88
1,40
38%
5
0,90
1,31
31%
6
0,92
1,25
27%
7
0,93
1,21
23%
8
0,94
1,18
21%
9
0,94
1,16
19%
10
0,95
1,14
17%
11
0,95
1,13
16%
12
0,96
1,12
14%
Tabla 4: Comparación de la teoría básica con el cálculo aproximado de tensiones
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Cálculo de tensiones para secciones de alambre no circulares Para resortes helicoidales de alambre secciones no circulares, sometidos a tensiones esfuerzos de tracción o compresión, Saint Venant, desarrolló la siguiente expresión general para el cálculo de la tensión máxima: ( 12 ) Donde: P = Carga aplicada D = Diámetro del resorte A = área de la sección transversal del alambre K’ = Coeficiente de Saint Venant, depende del tipo de sección del alambre KW = Factor de corrección de Wahl Sección Cuadrada Para un alambre de sección cuadrada (figura 24): K’ = 0,208 A=a
2
Reemplazando valores en la (12):
( 13 ) Figura 24: Sección cuadrada
Sección Rectangular Para un alambre de sección rectangular, el valor de K’ se obtiene de la siguiente tabla: a/b
2
5
10
50
K'
0,174
0,130
0,099
0,047
A = a . b, Reemplazando valores en la (12):
Figura 25: Sección rectangular
( 14 )
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Sección Elíptica Para un alambre de sección Elíptica:
A = 0,25 . p . a . b Reemplazando valores en la (12):
( 15 )
Figura 26: Sección elíptica
Cálculo de deflexión en resortes de tracción-Compresión Desde los primeros cursos de física, hemos observado que en la mayoría de los resortes la deformación o deflexión de los mismos que denominamos f e indica un alargamiento cuando el resorte está sometido a una carga de tracción (Figura 27) o un acortamiento o longitud comprimida cuando está sometido a una carga de compresión (Figura 9), es proporcional a la carga aplicada P:
P=K.f
(16)
Figura 27: Deflexión en un resorte de tracción
En la expresión (16) por lo general se desconoce el valor de la constante de proporcionalidad que eventualmente puede obtenerse en forma empírica. Para resolver el problema general desde un punto de vista teórico, se asumirán las siguientes hipótesis: 1. El resorte se considera como una barra cilíndrica recta de longitud L = p . Na . D, 2. Se considera un elemento de la barra cilíndrica (Figura 28) en cuya superficie, se ha marcado un segmento ab paralelo al eje longitudinal de la barra. Luego de la deformación se asume las secciones circulares del elemento permanecieron planas y paralelas entra sí, que tuvieron una rotación relativa dQ (ángulo de torsión) y que
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el punto b del segmento marcado, se desplazó hasta la posición c formando el ángulo de distorsión g. 3. La solicitación que se considera para el cálculo es momento Torsor MT = P . D / 2
Figura 28: Elemento de barra cilíndrica sometida a torsión
Bajo las hipótesis asumidas, la tensión en el punto b esta dada por:
(17) Además, geométricamente la distorsión g, el ángulo de torsión dQ y la deflexión df, (figuras 28 y 29) están relacionadas por:
(18)
y
(19) Despejando dQ de (18) y (19): Figura 29: Deflexión elemental por torsión
(20)
Despejando de la expresión (17) el valor de la distorsión g y reemplazándolo en la ecuación (20) , se obtiene:
(21)
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La ecuación (21), expresa el desplazamiento diferencial df del elemento de alambre en estudio en función de sus características y carga aplicada, que permanecen constantes durante la deformación y en función de la longitud diferencial dx. Integrándola para toda la longitud de la barra, se obtiene la deflexión del resorte:
(22)
Y finalmente:
(23)
La fórmula (23), a pesar de las limitaciones que imponen las hipótesis planteadas para su obtención y a diferencia de lo que ocurre para el cálculo de tensiones bajo las mismas condiciones, es muy precisa incluso para resortes de pequeños índices y relativamente grandes ángulos de inclinación del helicoide. En la expresión (23) se observa además que el factor
es una constante que
depende de la geometría del resorte, de la sección del alambre y de su material, por lo que la constante del resorte de la fórmula (16), puede expresarse:
(24) Donde: K = Constante del resorte = P / f d = diámetro del alambre D = Diámetro del resorte Na = Número de espiras activas del resorte G = Módulo de elasticidad transversal del alambre del resorte
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ANEXO I Tabla de Aceros para resortes de alto Carbono y aleación
Material Alambre estirado en frío (estirado duro) (0.60 -0.70 C)
Designaciones UNS G10660, AISI/SAE 1066, ASTM A227-47
Descripción Es el acero de resorte de uso general de menor costo. Se usa cuando la exactitud, la deformación y la duración no son muy importantes (no es adecuado para cargas variables o de impactó). Diámetros de 0.8mm a16mm. Rango de temperaturas 0ºC a120°C.
Alambre revenido en aceite (0.60 0.70 C)
UNS G10650, AISI/SAE 1065, ASTM A229-41
Mayor costo que el del SAE 1066 pero menor que el del SAE 1085. No es adecuado para cargas variables o de impacto. Diámetros de 3mm a 16mm.Rango de temperaturas 0ºC a 180ºC.
Alambre para UNS G10850, cuerda musical AISI/SAE 1085, (0.80 -0.95 C) ASTM A228-51
Es el mejor, más resistente a la tracción, más resistente a la fatiga, más tenaz, y más utilizado para resortes pequeños. Diámetros de 0.10mm a 6.5mm. Rango de temperaturas 0ºC a 120°C.
Alambre revenido en aceite
AISI/SAE 1070, ASTM A230
Calidad de resorte de válvula. Adecuado para cargas variables
Al cromovanadio
UNS G61500, AISI/SAE 6150, ASTM A231-41
Es el acero aleado más utilizado para aplicaciones con esfuerzos más elevados que los que soportan los aceros duros al carbono, y aquellas donde se necesiten altas resistencias a la fatiga y durabilidad. Soportan cargas de impacto. Ampliamente utilizado en válvulas de motores de avión. Diámetros de 0.8 a 12mm. Temperaturas hasta 220°C.
Al cromo-silicio UNS G92540, AISI/SAE 9254, ASTM A401
Acero inoxidable
Es excelente para aplicaciones con altos esfuerzos, en las que se requiera tenacidad y gran duración. El segundo más resistente después del alambre para cuerda musical. Dureza Rockwell aproximadamente entre C 50 y C 53. Diámetros de 0.8 a 12 mm. Temperaturas hasta 220ºC/250°C.
SAE 30302, Adecuado para carga variable y entornos corrosivos. ASTM A313 (302)
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Ing. Carlos Gerez
Resortes mecánicos helicoidales
Bibliografía
A. M Wahl, Mechanical Springs. Penton Publishing Company, Cleveland, Ohio 1944 (Original from Unuversity of California)
Joseph E. Shigley, Larry D. Mitchell. Diseño en Ingeniería Mecánica. Cuarta edición Mc Graw Hill
Budynas−Nisbett: Shigley’s Mechanical Engineering Design, Eighth Edition Mc Graw Hill
Khurmi, R. S. and J. K. Gupta. Machine Design. Eurasia Publishing House New Delhi
Ing. E. H. Lauría – Ing. O. A. Falco. Mecanismos. Tomos I y II . Centro de Estudiantes de Ingeniería “La Línea Recta”. Buenos Aires 1985
Apuntes de Mecanismos. Centro de Estudiantes de Ingeniería “La Línea Recta”. Buenos Aires 1973
Ing. Omar E. Mayer. Resortes Helicoidales. Facultad de Ingeniería Universidad de Buenos Aires 2001
S. Timoshenko. Resistencia de materiales. Tomos I y II. Editorial Espasa-Calpe. Madrid 1978
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