Resonancia en Lineas de Transmision

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RESONANCIA EN LINEAS DE TRANSMISION Una línea de transmisión ordinaria es bidireccional; la potencia puede propagarse, igualmente bien, en ambas direcciones. El voltaje que se propaga, desde la fuente hacia la carga, se llama voltaje incidente, y el voltaje que se propaga, desde la carga hacia la fuente se llama voltaje reflejado. En forma similar, hay corrientes incidentes y reflejadas. En consecuencia, la potencia incidente se propaga hacia la carga y la potencia reflejada se propaga hacia la fuente. El voltaje y la corriente incidentes, siempre están en fase para una impedancia característica resistiva. Para una línea infinitamente larga, toda la potencia incidente se almacena por la línea y no hay potencia reflejada.  Además, si la línea se termina en una carga totalmente resistiva, igual a la impedancia característica de la línea, la carga absorbe toda la potencia incidente (esto supone una línea sin pérdidas). Para una definición más práctica, la potencia reflejada es la porción de la potencia incidente que no fue absorbida por la carga. Por lo tanto, la potencia reflejada nunca puede exceder la potencia incidente. Una línea sin potencia reflejada se llama línea no resonante o plana. En una línea plana, el voltaje y la corriente son constantes, a través de su longitud, suponiendo que no hay pérdidas. Cuando la carga es un cortocircuito o circuito abierto, toda la potencia incidente se refleja nuevamente hacia la fuente. Si la fuente se reemplazara con un circuito abierto o cortocircuito y la línea no tuviera pérdidas, la energía que está presente en la línea se reflejaría de un lado a otro (oscilara), entre las terminaciones de la carga y la fuente, en forma similar a la potencia en un circuito tanque. Esto se llama línea resonante. En una línea resonante, la energía se transfiere en forma alternada entre los campos magnéticos y eléctricos de la inductancia y la capacitancia distribuidas. La figura 8-14 muestra una fuente, una línea de transmisión, y una carga con sus ondas incidentes y reflejadas correspondientes.

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COEFICIENTE DE REFLEXIÓN El coeficiente de reflexión (a veces llamado el coeficiente de la reflexión), es una cantidad vectorial que representa a la relación del voltaje reflejado al voltaje incidente 0 corriente reflejada a la corriente incidente. Matemáticamente, el coeficiente de reflexión es gamma, f, definido por

o también:

RELACIÓN DE ONDA ESTACIONARIA La relación de onda estacionaria (SWR), se define como la relación del voltaje máximo con el voltaje mínimo, o de la corriente máxima con la corriente mínima de una onda.

RESONANCIA EN SERIE. LINEA DE TRANSMISION EN CC. 2

 A frecuencias altas, secciones de líneas de transmisión de circuito abierto o circuito cerrado se usan para reemplazar los elementos LC. Por tal motivo es necesario considerar la magnitud de Q y la impedancia de la línea. Una forma de considerar que las pérdidas sólo se deben a la resistencia en serie de la

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línea R, es asumir que se usan líneas con aire como dieléctrico, esto presenta algunas pérdidas de conductancia en paralelo lo que resulta en un bajo Q. La línea tiene una impedancia característica Zo, constante de propagación β, y constante de atenuación α, con una longitud l, con parámetros R, L, C por unidad de longitud, como se ve en la figura-

 A l=λ╱2

a ω=ω0

donde λ=2π╱β.

La impedancia de entrada está dada por: Zin=Z0tanh(α+jβ)l

que también puede expresarse como Zin=Z0tanh αl+tan βl1+tan βl tanh αl

Observa que MsiM (no hay pérdidas). Si la línea de transmisión tiene pocas pérdidas, es posible asumir que αl ≪1 , por lo tanto tanh αl≅αl . Ahora ω=ω0+△ω donde△ω es pequeño. Luego, asumiendo una línea TEM, βl=ωlvp=ω0lvp+△ωlvp, donde vp es la velocidad de fase de la línea de transmisión. Con las condiciones antes mencionadas la impedancia de entrada se puede expresar como Zin≅Z0αl+j(△ωπ╱ω0)1+j(△ωπ╱ω0)αl≅Z0(αl+j△ωπω0)

ya que △ωαl╱ω0≪1.

Es posible expresar la ecuación anterior como la impedancia de entrada de un circuito resonante en serie,

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Zin=R+2jL△ω, Así se identifican la resistencia del circuito equivalente como R=Z0αl, y la inductancia del circuito equivalente como L=Z0π2ω0 La capacitancia del circuito equivalente se encuentra C=12ω02L El resonador de la figura

Línea de transmisión de corto circuito con pérdidas, y distribución de voltaje para resonadores con n=1 (l=λ/2) y n=2 (l=λ) resuena para △ω=0 (l=λ╱2), y su impedancia de entrada a esta frecuencia es Zin=R=Z0αl. Otras resonancias también ocurren a l=nλ╱2, n = 1, 2, 3,.. Las distribuciones de voltaje para los dos primeros m odos se ven en la figura anterior. El factor Q de este resonador es Q=ω0LR=π2αl=β2α Como β l=π en la primera resonancia. El factor Q disminuye mientras la atenuación de la línea incrementa. Resonancia en paralelo. Línea de transmisión en cortocircuito Una línea de transmisión en corto circuito a longitud M, se representa como una resonancia en paralelo (anti resonancia). Para este caso la impedancia de entrada de la línea cortocircuitada es

Zin=Z0tanh(α+jβ)lZin=Z0tanh αl+jtan βl1+jtan βltanh αlZin=Z01−jtanh αlcot βltanh αl−jcot βl

Como en el caso anterior al comparar la impedancia de entrada con la impedancia del circuito paralelo RLC 4

Zin=1(1╱R+2j△ωC)

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Se puede identificar la resistencia del circuito equivalente como R=Z0αl  (5.45) y la capacitancia del circuito equivalente es C=π4ω0Z0  (5.46) La inductancia del circuito equivalente se representa como L=1ω02  (5.47) El resonador de la figura anterior muestra una resonancia en paralelo para l=λ ╱ 4, con una impedancia de entrada es Zin=R=Z0 ╱αl. El factor Q de este resonador es Q=ω0RC=π╱4αl=β╱2α´.  (5.48) como l=π╱2β en resonancia.

Líneas de transmisión resonantes cerradas por ambos extremos En el caso de que las líneas de transmisión se encuentren cerradas por ambos extremos la resonancia existirá cuando se cumpla la condición en ambos lados. Esto quiere decir que será a múltiplos de media longitud de onda. • La condición de resonancia en este caso será: Zind(x)+Zini(x)=0

Línea de transmisión en circuito abierto

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Fig. 5.7: Resonador de línea de transmisión en circuito abierto

Fig. 5.8: Línea de transmisión de circuito abierto con pérdidas, y distribución de voltaje para resonadores con n=1 (l=λ/2) y n=2 (l=λ)

Su comportamiento es el de un circuito resonante en paralelo cuando su longitud es de λ/2, o múltiplos de λ/2. La impedancia de entrada de una línea de circuito abierto de longitud l es Zin=Z0coth(α+jβ)l=Z01+jtan βltanh αltanh αl+jtan βl  (5.50) Considerando que l=λ/2 a ω=ω0 , y sea ω=ω0+△ω. Luego, βl=π+π△ωω0,  (5.51) y que tan βl=tan△ ωπω≅△ωπω0,  (5.52) yM Usando estos resultados, tenemos Zin=Z0αl+j(△ωπ╱ω0) Que comparando con la impedancia de entrada de un circuito resonante en paralelo para obtener los parámetros equivalentes para el circuito RLC, tenemos

R=Z0αl,  (5.54) C=π2ω0Z0, (5.55) L=12ω02C,  (5.56) El factor Q es Q=ω0RC=π2αl=β2α´

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Como l=π╱β en resonancia.

EFECTOS 

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Si estas ondas oscilantes llegan, por ejemplo, a un transformador y aumentan de tensión, puede duplicarse su valor en los puntos donde hay un cambio de resistencia. Estas ondas se reflejan en el punto neutro del transformador si está conectado en estrella, duplicando nuevamente su potencial, de forma que los arrollamientos del transformador están sometidos a t ensiones respecto a tierra, cuatro veces mayores que la normal Otra causa de sobretensiones es la producción de oscilaciones forzadas, que acaba por producir resonancias. Estas resonancias resultan muy peligrosas en tramos de gran longitud de conductores y cables de alta tensión, así como en generadores cuyas curvas de tensión están deformadas por armónicos de orden superior.

EJEMPLO Supongamos que se rompe un cable subterráneo y que, a causa de esta rotura, quedan conectadas en serie una capacidad de 2 μF, una inductancia de 0,5 Hy y una resistencia de 30 Ω. La tensión en bornes es de 30 kV. Deben determinarse: a) la frecuencia de resonancia b) el factor de sobretensión c) la sobretensión d) la intensidad de corriente SOLUCION a) Frecuencia de resonancia

b) Factor de sobretensión

c) Para la frecuencia nominal de la red, que es de 50 Hz, no existe sobretensión. Si existiera un armónico de 159 Hz, la sobretensión sería

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Téngase en cuenta que la frecuencia de resonancia está muy cercana a la frecuencia del tercer armónico

y que, por lo tanto, por esta causa se producirá una sobretensión muy elevada. En las circunstancias expuestas en el problema, no es posible la instalación de la red, ya que existe un evidente peligro de sobretensión. Deben modificarse las condiciones de la instalación, de forma que la frecuencia de resonancia quede lejos del valor de los armónicos de tensión. d) Intensidad de corriente

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