Resonancia Edo

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS – ARMADAS  – ESPE  ESPE E.D.O Nombre: Juan Carlos Palacios Gallegos Materia:  Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Curso: III Automotriz Fecha: 15-11-2013 NRC: 3963 RESONANCIA

Desde el punto de vista de la ciencia, la resonancia es un fenómeno físico que tiene lugar cuando se ejerce una fuerza sobre un oscilador, con una frecuencia que coincide con la natural del propio sistema oscilante. El fenómeno de resonancia se produce cuando la frecuencia angular de la fuerza externa coincide con la frecuencia natural de oscilación del sistema, con un aumento de la amplitud. En estas circunstancias el cuerpo vibra, aumentando de forma progresiva la amplitud del movimiento tras cada una de las actuaciones sucesivas de la fuerza. En teoría, si se consiguiera que una pequeña fuerza sobre un sistema oscilara a la misma frecuencia que la frecuencia natural del sistema se produciría una oscilación resultante con una amplitud indeterminada. Un ejemplo muy sencillo, común y próximo lo tenemos en el parque. En el columpio y la forma en la que columpiamos a nuestros hijos, cuando éstos son pequeños.

ECUACIONES DE RESONANCIA: Partiremos de la ecuación de Movimiento Vibratorio Forzado:

En el caso especial en que

,

, donde

y

son constantes

 positivas. La ecuación diferencial básica es:

Dónde:

Supondremos que

es suficientemente pequeño de modo que el amortiguamiento es

menor que el crítico. En otras palabras, consideraremos que

. Luego, la solución

complementaria tiene la forma:

Donde

y

constantes arbitrarias, que dependen de las condiciones iniciales, o

equivalentemente:

Dónde:

Ahora determinaremos una solución particular, utilizando el método de los coeficientes indeterminados. Sea:

Entonces:

Sustituyendo:

Se obtiene:

Igualando los coeficientes en la última igualdad, resulta el sistema de ecuaciones:

Cuya solución es:

Consecuentemente

Podemos escribir x p(t) en la forma:

Donde:

es decir, simplificando:

El ángulo

está determinado por las relaciones:

Así que

Obsérvese que la solución completa es la suma de dos términos:

El primero:

Representa la oscilación amortiguada, que sería todo el movimiento del sistema si la fuerza externa F(t) no actuara. El segundo término:

que resulta de la presencia de la fuerza externa, representa un movimiento armónico simple de periodo 2π/α y amplitud:

Para F 0 , w y

fijos, la amplitud es función de

. Consideremos la función g( ) en el

intervalo (0, ). Se tiene que:

Luego, g'(a) = 0 si y sólo si Se puede verificar fácilmente que la amplitud de las oscilaciones alcanza un valor máximo cuando:

El valor máximo de la amplitud es:

Cuando la frecuencia de la fuerza exterior es:

se dice que el sistema estáen r esonanci a.

En un sistema en resonancia la amplitud de la oscilación varía inversamente con la constante de amortiguamiento. De hecho, se observa que:

Diremos que hay resonancia pura

. En tal caso

, o sea que la frecuencia de

la fuerza externa es igual a la frecuencia natural del sistema. Finalmente obsérvese que la resonancia puede ocurrir solamente si:

Esto es:

Aplicaciones en La Vida Real: Todos los fenómenos oscilatorios (que son muchísimos) son susceptibles de presentar resonancia: péndulos, cuando saltamos en una cama elástica, copas de vino, láseres, reactores nucleares, metrónomos, cuando hacemos vibrar un coche para moverlo hacia un lado, etcét era.

COLUMPIOS:

En todos ellos la fuerza que ejercemos no es muy grande, pero lo hacemos de forma resonante, por lo que el efecto es espectacular. Como hacemos cuando columpiamos a nuestro hijo. O como lo hacen ellos mismos, cuando ya son algo mayores. Que saben impulsarse y compensar las pérdidas de energía que se producen por rozamiento, de forma intuitiva.

O columpiándose ellos solos Vean lo que hacen. Estiran las piernas y se ponen de puntillas (así elevan su centro de masa) y se dejan caer para encogerlas en el punto más bajo (así bajan su centro de masa) y volverlas a estirar en el punto más alto de la trayectoria, para ganar más altura.

De esta forma entregan energía al columpio con la misma frecuencia con la que éste oscila. Si entregan la misma energía que se ha disipado en la oscilación, mantienen el columpio en movimiento con la misma amplitud. Si aportan más de la que se ha disipado entonces aumentará la amplitud del movimiento del columpio. En estos casos se pueden producir daños en el oscilador que perjudiquen su estructura interna o, incluso, que produzcan su rotura.

PUEDE SER DESTRUCTIVO EN ALGUNOS MATERIALES RÍGIDOS:

Como el vaso que se rompe cuando una soprano canta y alcanza y sostiene la frecuencia de resonancia del mismo. Por la misma razón, no se permite el paso por puentes de tropas marcando el paso, ya que pueden entrar e n resonancia y derrumbarse.

TAMBIEN ENCONTRAMOS LOS INDESEABLES PUENTES:

Entre estos otros podemos citar el desagradable ruidito que, a veces, oímos en nuestro coche, y que sólo se produce cuando vamos a una determinada velocidad. Exactamente la que genera una vibración en el motor, cuya frecuencia co incide con la natural de la pieza suelta. Un auténtico quebradero de cabeza para el mecánico, el localizarlo. Por este motivo, las partes giratorias de las máquinas deben estar equilibradas y aisladas. Para que no vibren y puedan entrar en resonancia, generando ruidos molestos (como los generados en los coches o en las casas).

Aunque a veces los posibles daños pueden ser mayores, como cuando las formaciones militares cruzan un puente marcando el paso. Sabido es que el oficial al mando ordena romper el paso cuando lo cruzan. O lo que pasó con el famoso puente de Tacoma. Que dejaremos para una próxima entrega. Claro que no siempre las vibraciones resonantes son perjudiciales. A veces son deseables

EFECTOS RESONANTES SECUNDARIOS DESEABLES

Uno de ellos es el caso del columpio ya analizado. Otro es el de la caja de la guitarra, que está diseñada de forma que la frecuencia de las cuerdas se acople con la del aire que vibra dentro de la caja y así aumentar la intensidad del sonido. O el caso de los insectos. Algunos de ellos llegan a mover sus alas ciento veinte (120) veces por segundo, algo energéticamente imposible para ellos. ¿Cómo es entonces que lo consiguen? Pues por re sonancia. En realidad sólo envían tres (3) impulsos nerviosos cada segundo. Ahora, de forma resonante y continuada, hasta alcanzar la velocidad necesaria para mantenerse e impulsarse. BIBLIOGRAFIA:

http://enroquedeciencia.blogspot.com/2010/02/que-es-la-resonancia.html http://fisote4064.blogspot.com/2012/01/resonancia-objetivo-dar-una-pequena.html http://journal.lapen.org.mx/sep09/19_LAJPE_293_Peralta.pdf  Ecuaciones Diferenciales Becerril_Espinoza Primera Edición (2004) .