Resolvemos 1
August 21, 2022 | Author: Anonymous | Category: N/A
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Módulo de Resolución de Problemas - Resolvamos 1 Cuaderno de trabajo para el estudiante 1. grado de Educación Secundaria er
Colaboracion en la elaboración Jenny Rios Poma
Ministerio de Educación Calle Del Comercio N. Lima 41 - Perú Teléfono: Te léfono: 615-5800 www.minedu.gob.pe
Revisión académica Luis Enrique Eyzaguirre Espino (coordinador)
Primera edición: 2012 Primera reimpresión: 2013
Carlos Alberto Calderón Arévalo Daniel Giovanni Proleón Patricio Luis Alberto Díaz Nunja Marco Antonio Tello Mena Terry
Segunda reimpresió rei mpresión: n: 2014 Tercera reimpresión: 2015 Tercera Tiraje: 432 309 ejemplares
Elaboración David Ernesto Palomino Alva
Revisión pedagógica Pedro David Collanqui Díaz
Impreso: Consorcio Corporación Gráfica Navarrete S.A., Amauta Impresiones Comerciales S.A.C., Metrocolor S.A. En los talleres gráficos de METROCOLOR S.A., sio en Jr. Los Gorriones Nº 350 - Urb. La Campiña, Chorrillos, Lima. o del Perú Perú:: N. 2015 - 13521
Diseño, diagramación e ilustraciones
©Ministerio de Educación Todos los derechos reservados. Prohibida la Impreso en el Perú / Printed in Peru
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Presentación
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s posible posibl e que alguna vez hayas hayas salido de la clase de Mat Matemátic emáticaa muy muy preocupado, pues si bien bie n te te esfuerzas esfuerzas y alcanzas al canzas notas aprobat aprobatoria oriass en tus exámenes, exáme nes, no logras l ogras comprender para qué sirve y en qué puedes aplicar aplic ar est e stos os aprendizajes. es. ¿Tú qué piensas?,, ¿qué sentido tiene aprender matemátic piensas? matemáticaa para ti? Para ayu ayudar dartte a descubrir desc ubrir la presencia de la matemáti matemática ca en la vida cotidiana c otidiana y a emplearla de manera adecuada y creativa creativa en la resolución reso lución de problemas, te presentamos presentamos el Cuaderno de trabaj trabajoo Resolvamos 1. Aquí encontrarás encontrarás situ situaci aciones ones problemáti proble máticas cas de diverso grado de complejidad, co mplejidad, en e n context contextos os variados y apoyadas en e n gráficos. gráfi cos. Para res resolverlas olverlas,, se formulan interr interrogant ogantes es de dificultad di ficultad crecientee que orient crecient orie ntan an tu reflexión. Al responderlas, tú mismo mism o te darás cuent cuentaa de tus progresos.. Esperamos que con esta progresos esta experiencia experie ncia sientas s ientas que que hacer ma m atemá emática tica es e s un reto reto posiblele de alcanzar posib alc anzar.. Las herramient herramientas as más m ás poderosas que esta ciencia pone a nu nuest estra ra disposición son s on el razonamient ra zonamiento, o, la comunicación c omunicación y la resolución reso lución de problemas, p roblemas, siendo sie ndo esta última la que Resolvamos 1
moviliza a las l as otras. otras. tee da la oport t opor tunidad de ponerlas en práctica. p ráctica. Para muchos, hacer matemátic matemáticaa es algo alg o que que solo sol o se da en e n la sesión se sión de clase; clas e; pero desarrollando las tareas tareas de est es te cuaderno tendrás tendrás la l a ocasión ocasi ón de dialogar dialog ar sobre s obre tema temass cotidianos y de interés interés común con tu familia familia y amigos, amig os, solucionar s olucionar sit situaciones uaciones problemáticas y tomar tomar decisi decisiones ones acer ac erttadas en e n diversos cont c ontextos. extos. Esta Esta será una ocasión oca sión para pa ra que que tus tus padres te brinden apoyo ap oyo y valor valoren en tu aprendiz ap rendizaje. aje. Al desarrollar desarrollar nuestras nuestras habilidades en la resolución resol ución de problemas, problema s, aprendemos a comprend comprender er y actuar actuar de mejor manera m anera en el mundo mu ndo que nos rodea, rodea, pues p ues este aprendizaje nos permite permite pensar de forma más má s objetiva, ordenada, ordenada, clara y crea creativa. tiva. Hacer matemá matemática tica se cree que es algo que se desarrolla desarrolla solo s olo en las l as clases clas es de matemáti matemáticas cas y que que los problemas problema s solo sol o sirven para aprobar. aprobar. Las matemát matemáticas icas son s on útiles útile s en muchas situaciones de la vida. Resolvamos 1 t te e propone situaciones problemáticas en las quee también qu también podrán podrá n participar par ticipar tus padres; esto les permitirá comprender co mprender y valorar la matemáti mat emática ca y la importancia de aprenderla. Por otro otro lado, les permitirá saber lo l o que estás aprendiendo, cómo y para qué lo estás logrando. 1 ha Resolvamos
sido elaborado el aborado pensando en e n ti, para que disfrut disfrutes es de la l a matemáti matemática ca aplicándola en casos cas os cotidianos de la vida. Esperamos Esperamos que le “saques “saques el jugo” jug o” a esta experiencia y te diviert divier tas recorriendo recorriendo el mara maravilloso villoso mundo de la l a resolución resol ución de problemas. problem as.
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Conoce tu Cuaderno de trabajo Con el objeto de brindarte orientaciones orientacio nes para el uso adecuado de tu Cuaderno de trabajo, te presentamos este apartado en el que describimos los objevos principales de este material, algunas recomendaciones para que obtengas el mayor provecho de él y la forma en que se encuentra encu entra organizado.
Antes de empezar a desarrollar las acvidades:
Te recomendamos leer la sección tulada ¿Cómo resolver un problema? , en la que se proporcionan orientaciones y pasos a seguir para la resolución de un problema y se brindan ejemplos sobre cómo desarrollar las acvidades que presenta este cuaderno.
También encontrarás Organizadores visuales frecuentes,, con diversas frecuentes estrategias para organizar la información, las cuales te facilitarán la resolución de los problemas.
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Estructura del Cuaderno de trabajo: El cuaderno está compuesto por 28 acvidades. Cada una propone cuatro tareas o situaciones problema que deberás desarrollar de manera personal o colecva. A connuación, connuación , describimos la estructura de una acvidad.
La Tarea 1 presenta una situación de la vida
codiana y preguntas que te conducirán a la resolución del problema planteado.
Tareas 2 y 3 presentan situaciones algo más complejas que la de la Tarea 1 y proponen una metodología de cuatro pasos, con preguntas y orientaciones para resolver el problema. Las
La Tarea 4 presenta una situación problema en la que deberás poner en prácca los conocimientos y habilidades aprendidos. Asimismo, plantea preguntas orientadoras que te ayudarán a tener éxito en su solución.
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Antes de iniciar el desarrollo desarroll o de cada tarea, observa el ícono ícono que que se encuentra en la parte superior derecha derec ha de la página; este símbolo indica si la acvidad debe desarrollarse en forma individual, en pares o en grupos de 3 o 4 estudiantes.
Trabajo in individual.
Trabajo en grupo de
Trabajo en grupo
dos estudiantes.
deestudiantes. tres a cuatro
La sección ¿Qué
aprendí? detalla detalla los aprendizajes que has desarrollado al concluir la acvidad acvi dad y relaciona su importancia con las situaciones codianas.
La sección Autoevaluaci Autoevaluación ón plantea plantea una pregunta referida a
tu actuación en el desarrollo de la acvidad. acvi dad. Te invitamos a marcar en ella el nivel que consideras haber alcanzado.
Al nal de tu cuaderno te proponemos Bibliografa comentada y Enlaces web en web en los que encontrarás información y ejemplos sobre el arte de resolver problemas, diversos juegos, enigmas y acerjos que qu e te diverrán y despertarán tu curiosidad por invesgar el mundo de la matemáca.
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Índice 1. ¿Cómo resolver un problema?
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2. Organizadores visuales frecuentes
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Acvidad 1 1
Los números ordenan tu mundo
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Acvidad 2 2
Los números ayudan a pensar mejor
18
Acvidad 3 3
No dividas y vencerás
22
Acvidad 4 4
Las proporciones nos brindan información
26
Acvidad 5 5
Ojos que no Venn
30
Acvidad 6 6
Proporcionalmente
34
Acvidad 7
Fracciones de realidad
38
Acvidad 8 8
Porcentajes que ponen y quitan
42
Acvidad 9 9
El lenguaje de los números
46
Acvidad 10 10 Pensar lógicamente
50
Acvidad 11 11 Incógnitas a nuestro alrededor
54
Acvidad 12 12 Las ecuaciones al rescate
58
Acvidad 13 13 El mundo está lleno de incógnitas
62
Acvidad 14 14 Textos que escond esconden en números
66
Acvidad 15 15 La función de las funciones
70
Acvidad 16 16 Números en todas partes
74
Acvidad 17 17 Funciones que muestran cambios
78
Acvidad 18 18 La geometría es más que cálculos
82
Acvidad 19 19 Medidas en nuestras vidas
86
Acvidad 20 20 Decisiones bien medidas
90
Acvidad 21 21 La geometría de los mínimos
94
Acvidad 22 22 Medir para decidir
98
Acvidad 23 23 Medimos las regiones y sus contornos
102
Acvidad 24 24 Estadíscas que nos hacen pensar
106
Acvidad 25 25 Los promedios de por medio
110
Acvidad 26 26 La matemáca sí cuenta
114
Acvidad 27 27 Un mundo de incerdumbres
118
Acvidad 28 28 Jugando con el azar
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Bibliograa comentada
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Enlaces web
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1. ¿Cómo resolver un problema? Todos los días resuelves problemas en tu casa, en el colegio, en tus juegos... ; pero muchas veces lo haces tanteando o por intuición. En esos casos, no usas un método que te permita decid ir ir,, juscar o explicar el porqué de tu decisión. La Matemáca es mucho más que números, operaciones y fórmulas: es un método que q ue te ayuda a razonar mejor, a resolver problemas y a tomar decisiones en muchas acvidades de tu vida diaria. Esta ciencia te brinda un conjunto de d e valiosas herramientas que puedes pu edes usar, no solo en la solución de problemas matemácos matemáco s escolares, sino también en situaciones que enfrentas a diario. En este cuaderno conocerás métodos para p ara entender y enfrentar con éxito los problemas y te ejercitarás en la búsqueda de u n método propio para resolverlos. En la primera lección observarás cómo se resuelven algunos alg unos problemas ulizando un plan pl an de cuatro fases. Estas son:
Me familiarizo y comprendo.
De hecho, antes de ponerte a hacer cálculos o a escribir ecuaciones, debes leer y releer el problema hasta comprenderlo. Para ello, intenta representarlo, tal vez con un gráco que te ayude a entender de d e qué trata la historia. Una buena forma es explicar a un compañero de qué trata el problema, quiénes son y qué hacen los lo s personajes, qué es lo conocido y qué es lo desconocido. Debes tener muy claro qué es lo que te piden.
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Luego de entender el problema, debes iniciar la búsqueda de las estrategias que te serán úles para resolverlo: trazar un plan de acción, preguntarte pregu ntarte si has visto un caso parecido antes o si conoces algún método que te ayude a soluciona rlo, etc.
Después de que hayas elegido qué hacer, aplica la estrategia. Debes asegurarte de que cada paso esté bien hecho; hecho ; de esta forma, te acercarás cada vez más a la solución. Si nalmente nal mente no obenes la respuesta, tendrás que cambiar de plan y volver a la fase anterior a elaborar otro.
plan de solución.
Ejecuto mi plan y lo controlo paso a paso.
No.
¿Me acerco a
la solución?
Sí. Reviso mi solución y veo si el método usado me va a servir en el futuro.
Encontrar la respuesta de un problema no signica haber terminado el trabajo: debes vericar que sea la correcta y que cumpla con todo lo solicitado. Asimismo, además de comprobar tu respuesta, debes reexionar sobre lo que hiciste: de qué métodos te serviste, qué otros problemas puedes resolver con el método usado, hacer suposiciones, supo siciones, cambiar condic iones y datos.
Recuerda: cada vez que resuelves problemas, tu capacidad para solucionarlos mejora. Sé consciente de ello y esfuérzate. esfuérzate.
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Busco estrategias y diseño un
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Un ejemplo Veamos, mediante un ejemplo, cómo aplicamos este método en la solución de un anguo acerjo numérico. Toma nueve nueve cartulinas cuadrangulares y numéralas del uno un o al nueve. Ahora, distribúyelas en forma de una cuadrícula de tres por tres, de tal modo que la suma de los tres números de cada fla, columna o diagonal sea 15. La fgura 1 muestra un arreglo, en el cual la suma de cada fla y de cada columna es idénca; pero las diagonales del cuadrado no cumplen con esta condición.
1) ¿Cuál es la incógnita?
Se trata de un arreglo numérico que consiste en colocar los números del 1 al 9 en una cuadrícula de tres por tres.
2) ¿Cuál es la condición?
La condición es que tres números núme ros de una fla o columna o diagonal principal deben sumar lo mismo.
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Fig. 1
1) Observando la cuadrícula, cuadrícul a, nos percatamos de que el número central debe ser ulizado, al menos, en cuatro grupos de números que sumen quince. 2) Una forma de resolver el problema puede ser elaborar una lista sistemáca de tríos de números cuya suma es quince; luego, lu ego, buscar el número que se uliza en cuatro tríos, este número deberá ir al centro. Después, buscaremos los números que se ulizan en dos tríos, y que deberán ir en las esquinas. esquin as. Iniciemos el desarrollo de nuestro plan.
1) Hagamos una lista de todas las ternas de d e números que sumen 15:
9+5+1 8+4+3
9+4+2 7+6+2
2) Apreciamos que el número cinco aparece en cuatro ternas, por lo que debe estar en el centro del cuadrado. Los dígitos 1, 3, 7 y 9 aparecen solo en 2 ternas; entonces, no deben ocupar una esquina, sino una celda lateral cada uno. Obviando las rotaciones o reexiones, podemos rellenar el cuadrado como se muestra en la gura 2.
8+6+1 7+5+3 1
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Fig. 2
3) Ahora, las celdas restantes son fácilmente llenadas. Por ejemplo, en la primera fila, los números de las esquinas deben sumar catorce. Entre 2, 4, 6 y 8, los que cumplen con esta condición son 6 y 8; pero el 8 no puede ir sobre el 7, pues sumarían 15 en esta columna. Colocando este par de números, el resto se completa fácilmente.
este es el único cuadrado de tres por tres que puede construirse con los primeros nueve dígitos.
1) Con el método ulizado, podemos armar que
2) ¿Qué pasa si a cada número le sumamos la cantidad constante 4?
8+5+2 6+5+4
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Fig. 3
Tenemos, entonces, el cuadrado mágico de tres por tres (gura 3).
3) ¿Y qué ocurre si mulplicamos a cada dígito dígi to por tres?
La constante mágica se transforma ahora en: 3(15) = 45.
4) Este problema nos permite hacernos diversas preguntas:
posible hacer un cuadrado mágico de cuatro posible El cuadrado mágico tendrá ahora una constante ¿Es por cuatro con los 16 primeros dígitos? mágica igual a: 15 1 5 + 3(4) = 27. ¿Es posible hacer un cuadrado de tres por tres, de modo que cada fla y columna diagonal sumen distinto? ¿Estas sumas distintas pueden ser consecutivas? Cuaderno de trabajo
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Un ejemplo más En el pao de su casa, Manuel cría gallinas y cuyes. Actualmente, ene 12 animales. Si en total se cuentan 34 patas, ¿cuántos ¿cuá ntos cuyes hay en el corral?
1) ¿Cuántos animales hay?
3) ¿Cuántas patas enen los cuyes?
Hay 12 animales.
Estos animales tienen 4 patas.
2) ¿Cuántas patas enen las gallinas?
4) ¿Pueden ser gallinas todos los animales?
Las gallinas tienen 2 patas.
No, pues habrían 12 x 2 = 24 patas y se señala que hay más.
1) ¿Puedes hacer un dibujo que represente la situación? situación ?
Sí, puedo representar los doce animales sin patas.
1) Cada círculo representa un animal. Entonces, los 12 se representan así:
2) Imagina que todos son gallinas. Dibuja 2 patas en cada círculo:
3) ¿Cuántas patas observas?
Hay 24 patas.
4) ¿Cuántas patas se cuentan en el pao de Manuel? Man uel?
Se cuentan 34 patas.
Faltan 10 patas. 6) ¿De cuántos cuyes serán estas patas? Las patas que faltan son de 5 cuyes, ya que: 10 ÷ 2 = 5. Los dibujaré: 5) ¿Cuántas faltan?
7) ¿Cuántos cuyes y cuántas gallinas ene Manuel?
Manuel tiene 5 cuyes y 7 gallinas.
1) Comprueba tu respuesta, hay 12 animales animal es y 34 patas:
5 + 7 = 12 anim animales ales
7 x 2 + 5 x 4 = 34 pata patass
2) ¿El gráco te ayudó a resolver el problema?
4) ¿Con esta misma estrategia puedes resolver el siguiente problema? En el estacionamiento de la escuela hay 30 vehículos, entre bicicletas y triciclos. En total se pueden contar 78 ruedas. ¿Cuántas bicicletas y cuántos triciclos hay?
El gráco me ayudó a entender cómo era el Sí, se puede. problema y, luego, a poder resolverlo. 3) ¿Hubieses hallado la respuest respuesta a si supones inicialmente que todos son cuyes? ¿Cómo?
Sí, pues hubiera dibujado 4 patas en cada círculo y, luego, hubiese tenido que borrar.
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Porque es similar al que hemos desarrollado anteriormente: los vehículos son como los animales, las bicicletas y los triciclos tricicl os son como las gallinas y los cuyes.
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¿Por qué?
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Para que resuelvas problemas... ¡no solo de Matemática!
• Lee el problema detenidamente. • Familiarízate con con él, piérdele el miedo. • Idenca qué te piden, qué te dan. • Expresa la situación con tus propias palabras.
• Busca semejanzas con otros problemas que ya sabes resolver resolver.. • Empezar por lo fácil fácil hace fácil lo dicil, ponte ejemplos parculares o usa números más pequeños. • Experimenta y busca regularidades, pautas, patrones. • Haz un diagrama o un esquema para visualizar la situación. • Organiza la información mediante una tabla, un diagrama de árbol, un diagrama de ujo, etc. etc. • Escoge una buena notación. • Aprovecha la simetría si es posible. • Imagina que el problema está resuelto. • Ponte en el caso de que el problema no esté esté resuelto, ¿a dónde nos lleva esta armación? • Empieza por el nal. • Piensa en métodos generales: usar un algoritmo, una tabla, un diagrama de ujo, una fórmula, pensar inducvamente, razonar razonar lógicamente, plantear una ecuación, buscar casos crícos, etc.
• Pon en acción las mejores ideas que se te hayan ocurrido en la etapa anterior. anterior. Una por una. En principio, no las mezcles. • Si no avanzas, no te rindas fácilmente. Pero Pero tampoco te detengas en una sola idea. Si las cosas se complican demasiado, quizá haya otro camino. • ¿Salió? ¿Estás seguro? Observa detenidamente tu solución.
• Examina, paso a paso, el camino que has seguido. • Comprueba tu solución. ¿Es razonable? razonable? ¿Se ajusta al problema? • ¿Cómo has llegado a la solución? ¿O por qué no has llegado a la solución? • Idenca qué te dio la clave o qué te confundió. • Ahora, mira si se te ocurre hacerlo de un modo más simple. • Cambia los datos, las condiciones o el contexto. Vuelve a resolver estas nuevas situaciones. • Analiza si el método ulizado te te puede servir en otras circunstancias. • Reexiona sobre sobre tus emociones y tu proceso de razonamiento, razonamiento, al solucionar el problema, problema, y extrae conclusiones conclusiones que puedan servirte frente a otros problemas en el futuro.
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2. Organizadores visuales frecuentes
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Aquí te presentamos algunos organizadores de información que se ulizan frecuentemen frecuentemente te en el proceso de resolver problemas matemácos.
Diagramas de ras
Diagramas analógicos
Se ulizan mayormente cuando la candad que interviene en el problema varía en el empo o es dividida en partes que se relacionan entre sí.
Se suelen ulizar en problemas geométricos. Son dibujos que representan la realidad de manera similar, simi lar, pero esquemáca, sin considerar los elementos irrelevantes al problema. Mediante Medi ante esta representación representación es posible visualizar las relaciones entre los datos y las incógnitas.
Ejemplo: La tercera parte de las entradas entradas para el estreno de una película se vendió días antes de la función y el día del estreno se vendió 1/3 del resto. Finalmente, Fina lmente, quedaron 48 entradas sin vender. ¿Cuál era el número total de entradas previsto para la función de estreno? Solución: Candad: Número total de entradas.
Ejempl Eje mplo: o: Un hombre de 1,8 m de estatura estatura camina hacia unedicio a razón de 1,5 m/s. Si hay una lámpara l ámpara sobre el suelo a 15 m del edicio, ¿cuánto mide la sombra del hombre sobre el edicio cuando se encuentra a 9 m de él? él ? Solución: Solució n: Hagamos Hagamos un diagrama que represente la situación narrada.
Elabora un diagrama de ras.
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Diagramas tabulares (tablas)
Diagramas conjunstas
Se emplean cuando se brinda información sobre caracteríscas que relacionan dos grupos. También en problemas sobre edades o de proporcionalidad, en los que hay que buscar algún patrón o regla de formación.
Se suele recurrir a estos cuando se trata de información i nformación acerca de dos o más grupos, cuyos elementos pueden pertenecer a más de un conjunto. También cuando se deben realizar clasicaciones. clasicaci ones. Los más conocidos son los diagramas de Venn y los de Carroll.
Ejempl Eje mplo: o: Dos amigos enen lápices, borradoresy tajadores en sus cartucheras. Hay 8 borradores en total. Mónica ene el doble de lápices que Felipe, quien ene 5 tajadores más que lápices. Mónica ene tantos tajadores como lápices ene Felipe. Mónica ene 18 úles y no ene borradores. ¿Cuántos lápices, tajadores y borradores ene cada uno?
Ejemplo: De los 35 estudiantes de un un aula, 23 usan lentes y 20 usan reloj. ¿Cuántos usan ambas cosas? Solución: Grupo 1: Estudiantes que usan lentes. Grupo 2: Estudiantes que usan reloj.
U
Solución: Grupo 1: Mónica, Felipe. Grupo 2: Lápices, borradores, tajadores. Lápices Bo Borr rrad ador ores es Mónica Felipe
0 8
2 x x
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Taj ajad ador ores es
TOT TO TAL
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x
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Diagramas de ujo Se emplean cuando una candad varía varí a a lo largo de la historia o cuando tenemos la situación situac ión nal de esta candad. También cuando se dan secuencias de pasos para encontrar objetos matemácos, entre otras aplicaciones. Ejemplo: Un número se duplica, luego se le resta 8, después se invierten las cifras de este número. Finalmente, Finalmente, se divide por 6 y se obene 8. ¿Cuál era el número? Solución: Haremos un diagrama que indique las fases por las que pasó el número. 2
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Inverr
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Diagramas cartesianos
Diagramas de árbol
Son de gran ulidad cuando se requiere representar funciones o cuando tenemos pares ordenados o relaciones entre dos variables.
Se suelen ulizar en conteos de casos posibles o para hacer listas sistemácas. Es la representación gráca de los principios de adición y mulplicación.
Ejemplo: El crecimiento de un grupo de bacterias se da con el paso de los días de manera constante. Al inicio, había 3 bacterias: después de 8 días hay 20. ¿Cuántos días transcurrirán desde el inicio para que la colonia tenga
Ejemplo: Un productor de cumbia quiere armar un dúo mixto (varón y mujer). El productor puede elegir entre 3 cantantes mujeres y 2 cantantes varones. ¿Cuántos dúos mixtos diferentes puede formar?
400 bacterias? Solución: Candad: Organizaremos los datos en un gráco cartesiano. Pares ordenados: (0;3) (8;20)
José Rosa Raúl
José Ana Raúl
José Nancy Raúl
Diagramas lineales Se usan cuando se cuenta con información acerca de una caracterísca de un solo grupo. Generalmente se emplean para ordenar los elementos del grupo con respecto a esa caracterísca. Ejemplo: Si tanto Roberto como Alfredo están más alegres que Tomás, mientras que Alberto estás menos meno s alegre que Roberto, pero más alegre que Al fredo, ¿quién está menos alegre? Solución: Grupo: Alfredo, Alberto, Roberto, Tomás. Caracterísca: Alegría. Roberto
Alberto
Alfredo
Tomás Tom
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Los números ordenan tu mundo
Adopta un animal El Parque de las Leyendas ene más de 3500 animales, cuyo costo de alimentación sobrepasa los S/.2 000 000 mensuales. Hace un año, la administración lanzó el programa “Adopta un animal”, mediante el cual personas caritavas pueden ayudar a mantener a los animales de anuales este tradicional zoológico limeño. La tabla muestra los costos de adopción de varios de ellos.
Animal
Costo (S/.)
ocelote
2000
oso de anteojos
3000
búho
500
cóndor
850
alpaca
1800
mono
300
lobo marino
1400
majaz
900
1) ¿Cuánto costaría adoptar 2 búhos, 3 cóndores y 4 alpacas?
2) Una fundación protectora del cóndor nacional quiere inverr S/.14 000 en este programa, ¿cuántos cóndores podría adoptar?
¿Cuánto dinero quedará? 3) ¿Cuántos ocelotes puedo adoptar con S/.13 500 si, además, deseo adoptar 3 monos ? ¿Cuánto dinero quedará? 4) Reexiona sobre las operaciones que realizaste para responder cada pregunta. pregunta. Luego escribe las expresiones matemácas que te ayudaron a encontrar cada respuesta.
5) ¿Cuántos búhos y monos podrías adoptar con, exactamente, S/.25 000?
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Los canarios Yolanda está poniendo sus canarios en jaulas. Ella observa que
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si coloca tres canarios en cada jaula, le sobra un canario; pero si coloca cinco canarios en cada jaula, le sobran tres jaulas. ¿Cuántos canarios ene Yolanda?
1) ¿Qué es lo que guarda Yolanda?
Si Yolanda tuviese 4 jaulas: 1) ¿Cuántos canarios debería tener si cumpliera con la primera condición?
2) ¿Cuáles son las condiciones del problema?
› Primera condición:
2) ¿Cuántos canarios debería tener si cumpliera con la segunda condición?
› Segunda condición:
Y si tuviese 5 jaulas: 3) ¿Cuántos canarios debería tener si cumpliera con la primera condición?
3) ¿Qué es lo que debes encontrar?
4) ¿Cuántos canarios debería tener si cumpliera con la segunda condición? 5) ¿Cómo podríamos organizar mejor esta información? a) En una tabla de doble entrada. b) En un diagrama de Venn. c) Haciendo un gráco cartesiano.
1) Completa las casillas faltantes. N.° de jaulas
N.° de canarios (1.a condición)
Luego de haber completado las casillas: N.° de canarios (2.a condición)
2) ¿Cuál crees que debe ser el número de canarios para dar solución al problema?
4 5
3) ¿Por qué eliges este número?
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8 9
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1) ¿Qué fue lo que nos dio la pista? 2) ¿Cómo organizamos la información? 3) ¿Qué otra pregunta te pudieron haber hecho? 4) Si en la primera condición sobraran tres canarios en vez de uno, ¿cuál sería la respuesta correspondiente?
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Matemática futbolística Un grupo de amigos parciparon en campeonatos escolares. Roberto meó 6 goles durante el campeonato interescolar interescolar de fútbol del 2008 y 6 goles en el del 2011. En los años
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2009 y 2010 no le fue tan bien, de modo que durante los 4 años, que van del 2008 al 2011, hizo un total de 15 goles. Daniel hizo 14 goles el 2009 y la l a mitad el 2011. Su total, para los 4 años, fue de 21 goles. Julio meó tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años; pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008. Entre los tres, el 2010 meeron 22 goles. ¿Cuántos goles hicieron el 2009 entre los tres?
1) ¿Acerca de cuántos estudiantes te da información el texto? Nómbralos.
2) ¿Qué es lo que ellos hacen?
1) El texto te da información de los goles hechos en cada temporada. Toma como ejemplo un año e indica los goles realizados por los amigos.
2) ¿Cómo consideras que se debería organizar la información de los amigos en todos los años?
3) ¿Desde qué año te da información sobre los goles? ¿Y hasta qué año?
a) En un diagrama de Venn. b) En una tabla de doble entrada. c) Elaborando una lista por año o por amigo.
¿Por qué?
4) ¿Qué es lo que debes encontrar?
1) Organiza la información en la tabla y contesta las preguntas: Años Año s
Amigos
2008
2009
2010
2011
d.¿Hay alguna información que relacione a dos jugadores? ¿Qué dice?
TOTAL
Roberto Daniel
Julio TOTAL
a.¿De quiénes se sabe, exactamente, cuántos goles anotaron y en qué años?
b.¿De qué año o de quiénes enes el total de goles?
e.¿Cuántos goles meeron, entre los tres, el 2009? 2) ¿A qué se reere la historia cuando dice: “Julio meó tantos goles el 2010 como Daniel en los 4 años”?
3) ¿A qué nos referimos cuando se dice: “pero, en las otras temporadas, no le fue mejor que a Daniel en el 2008”?
c.¿Hay ceros en la tabla?
1) ¿Crees que una tabla es la mejor forma de organizar la información? ¿Por qué?
2) ¿Cuáles son las pistas más diciles de entender? ¿Por qué?
16
3) ¿En qué otros problemas puedes ulizar una tabla de doble entrada?
Resolvamos 1
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El pequeño gran Gauss Carl Friedrich Gauss fue sin lugar a dudas el más grande matemáco de la historia. Desde niño mostró talento para los números. Cuentan que, a los 6 años, corrigió una de las cuentas que hacía su padre, sorprendiéndole tanto que, desde ese momento, consideró que Gauss sería un
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gran matemáco. En la escuela, una tarde el profesor, profesor, deseando descansar un poco, ordenó a sus estudiantes que hallaran la suma de todos los números naturales desde 1 hasta 100. Escribió la consigna en la pizarra, dejó la za y ya se aprestaba a acomodarse en su pupitre cuando, de pronto, el pequeño Gauss levantó la mano diciendo que tenía la respuesta. El profesor profesor no le creyó, pero igual fue a ver el resultado del niño. Grande sería su sorpresa al ver no solo que el resultado era el correcto, sino también que el método encontrado por el niño era todo un gran ejemplo del buen pensar. pensar. ¿Cómo hizo el pequeño Gauss para hallar 1 + 2 + 3 + 4 +… + 98 + 99 + 100 tan rápido? Con tus compañeros, busquen un problema problema más simple; por ejemplo, la suma de 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10.
1) ¿Cuánto es la suma del primer y el úlmo término? ¿Y del segundo y el penúlmo? ¿Y del tercero y el antepenúlmo?
6) ¿Cómo pueden ulizar este resultado para hallar la suma solicitada?
2) ¿Qué observan acerca de estas sumas?
Ahora generalicen la suma desde 1 hasta el 100.
3) ¿Es así para todas estas parejas?
7) ¿Cuánto es la suma de los términos que equidistan de los extremos de la suma?
4) ¿Qué enen en común estas parejas?
8) ¿Cuántas parejas de este po hay de 1 a 100? 5) Completen con lo que han descubierto:
La adición de dos dos
que
extremos de la
equidistan de los es siempre la misma.
9) ¿Cuál es la suma de los cien primeros números?
Observen este otro método para sumar los números del 1 al 10. La gura representa esos números. Completen el gráco, de manera que se forme un rectángulo, y coloreen de rojo la parte agregada. 10) ¿Cómo son las guras? 11) ¿Cuál es la longitud del rectángulo?
1 2
12) ¿Cuál es la altura del rectángulo?
3
13) ¿Cómo pueden usar este gráco para hallar la suma de los números del 1 al 10?
4 5
6 7
8
14)) Empleen este método para 14 para hallar la suma de los números del 1 a 100.
9
10
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los l os números naturales; ellos me ayudan a representar, ordenar y cuantifcar una amplia variedad de situaciones en la vida cotidiana. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He parcipado de forma signicava.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
Cuaderno de trabajo 17
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2
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Los números ayudan a pensar mejor
Mezclas de café Una enda especializada en café dispone de 75 kg de café po A y 120 kg de café po B, los cuales se mezclarán en sacos de 16 kg cada uno, de la manera siguiente: una mezcla económica, de 4 kg de café po A y 12 kg de café po B, y una mezcla superior, de 8 kg de café po A y 8 kg de café po B.
1) ¿Qué po de mezclas habrá de realizar rea lizar la l a enda?
6) ¿Qué candad de café po po A se requiere para envasar 3 sacos de café superior y 4 sacos de café económico?
2) ¿Qué po de café es el de mejor calidad: el po A o el po B? ¿Por qué?
7) Reexiona y responde. Al resolver este problema, habrás 3) ¿Cuántos kilos kil os de cada po se necesitan nec esitan para envasar 3
notado la necesidad de organizar la información y
sacos con mezcla económica y 4 sacos con mezcla superior?
visualizarla para poder usarla luego. El uso de la tabla es propicio para este n. Emplea la información del problema anterior para completar la tabla que te mostramos. Tipo A (kg)
Tipo B (kg)
Económica
Superior
4) ¿Es posible obtener 7 sacos de mezcla económica y 10 sacos de mezcla superior?
8) El kilo de café po A cuesta S/.20 y el kilo de café po B cuesta S/.12. ¿Cuál es la ganancia que se obene por la venta de un saco de po económico?
¿Y por la venta de un saco de po superior? 5) Si cada saco de mezcla económica se vende a S/.300 y cada saco de mezcla superior, a S/.500, ¿cuánto es el ingreso al vender 3 sacos económicos y 5 de superior?
18
Resolvamos 1
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Los pastores Tres pastores viven en la misma comunidad. En total enen 288 ovejas, aun cuando cada cual posee su propio rebaño. Juan ene el triple de ovejas que Pedro y este cuenta con la mitad de las que pertenecen a Raúl.
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¿Cuántas ovejas ene cada uno?
1) ¿De quiénes te hablan en el problema?
1) ¿Si Pedro tuviera 20 ovejas, cuántas tendría Juan?
2) ¿Cuántas ovejas enen en total?
2) ¿Y cuántas tendría Raúl?
3) ¿Quién ene más ovejas, Juan o Pedro?
3) ¿Cómo se relaciona lo que ene Pedro con lo que ene
4) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
Raúl? 4) ¿Puedes representar lo que ene cada uno mediante un gráfco?
1) Si lo que ene Pedro se representa con un bloque así: Pedro:
¿Con cuántos bloques representarás lo que enen Raúl y
¿Cómo?
2) Observa el gráfco que has construido y responde: ¿a cuántos bloques equivalen las 288 ovejas? 3) Entonces, ¿un bloque, a cuántas ovejas equivale?
Juan? Completa el gráfco: 4) ¿Cuántas ovejas ene cada pastor?
Juan:
Juan:
Pedro:
Pedro:
Raúl:
Raúl:
1) Comprueba si lo obtenido responde al problema.
4) Si Juan hubiese tenido cinco veces lo que ene Pedro y las condiciones de Raúl se manenen, ¿cómo cambiaría la respuesta?
2) Describe la estrategia empleada para resolver resolver el problema.
5) Supón que hay un cuarto pastor llamado Manuel, quien ene el triple de lo que posee Raúl, manteniendo las condiciones 3) ¿La estrategia que has reconocido se puede aplicar en otros
iniciales, ¿cuántas ovejas tendría entonces cada uno?
problemas?, ¿de qué po? Plantea un problema como ejemplo.
Cuaderno de trabajo
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Densidad poblacional Felipe y su grupo están haciendo una invesgación acerca de la población, en varios distritos de la ciudad de Trujillo. Ellos han obtenido del INEI una tabla con el número de habitantes y el área de algunos distritos, medida en km 2. Su tarea es idencar el distrito que ene una densidad poblacional de cerca de 30
19
Distrito
Extensión (km2)
Población (hab.)
Trujillo
39,36
294 899
La Esperanza
18,64
151 845
El Porvenir
36,70
140 507
personas por km2.
Víctor Larco Herrera Huanchaco
¿Cómo se ayudarán para idencarlo?
Florencia de Mora
18,02
55 781
333,90
44 806
1,99
40 014
Nota: Esmen la información redondeando a la segunda cifra
Laredo
335,44
32 825
decimal.
Moche
25,25
29 727
390,55
13 892
1 199,85
804 296
Salaverry Total
Fuente: Instuto Nacional de Estadísca e Informáca INEI (2007).
1) ¿Qué signica la frase: densidad poblacional poblacion al de cerca de 30
1) La densidad poblacional de un distrito distrito es el número promedio
personas por km2?
de personas por kilómetro cuadrado. ¿Cómo crees que se puede calcular la densidad poblacional?
2) ¿Qué necesita saber saber el equipo de Felipe? 2) ¿Crees que es posible resolver este problema sin hacer los cálculos con exactud? ¿Por qué?
1) ¿Cuál es la densidad poblacional de La Esperanza?
1) ¿Qué estrategia fue la que más te sirvió para resolver este
(Redondea al entero más cercano).
problema?
2) ¿Cuál es la densidad poblacional de El Porvenir? Porvenir? (Redondea al entero más cercano).
3) ¿Qué distrito, de los mencionados, ene la mayor densidad poblacional? ¿Qué distrito ene la menor densidad poblacional? Comprueba tus resultados haciendo las
2) Comprueba tus resultados haciendo el cálculo con exactud.
3) Haz una esmación para ubicar los distritos que enen una densidad poblacional de alrededor de 100 habitantes
operaciones necesarias.
por km2. ¿Cuáles son?
4) Esma cuál es el segundo distrito más poblado de Trujillo y cuáles son los menos poblados. 4) ¿Qué distrito ene una densidad poblacional de alrededor
2
de 30 personas por km ?
20
Resolvamos 1
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El caso de la moneda desaparecida El hecho sucedió hace dos semanas cuando tres amigos fueron a almorzar a un restaurante. Como siempre, al momento de pagar, dividieron la cuenta en partes iguales. Esta ascendía a S/.30, por lo que cada uno dio un billete de S/.10 al mozo para que se cobre. Cuando este llegó a la caja, el dueño le comunicó que se había equivocado y que la cuenta era solo de S/.25.
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El mozo fue con las cinco monedas hacia la mesa, pero en el trayecto pensó: "¿Cómo divido estos cinco entre tres? No sale exacto, de repente se pelean. Creo que solo les devolveré tres soles; los otros dos me los quedaré a modo de propina". Así lo hizo y cada uno de los compañeros se fue contento con la moneda de un sol que recibió de vuelto. Pero he aquí el enigma: cada amigo pagó solo S/.9, o sea que en total pagaron S/.27; el mozo se quedó con S/.2, con lo cual sumamos S/.29; sin embargo, los amigos entregaron inicialmente S/.30. Entonces, ¿dónde está el sol que falta? ¿Se esfumó? ¿Alguien lo tomó?
Con tus compañeros, realicen las siguientes preguntas y resuelvan el problema:
1) ¿Es lógico que desaparezca una moneda de un sol?
7) ¿Siguen los S/.30?
8) ¿Cuánto pagaron realmente los amigos entre cuenta y propina?
2) ¿Cuánto entregaron los amigos inicialmente? 3) Sin contar la propina, ¿cuánto pagaron pagaron al nal por el almuerzo?
9) ¿Cuánto les devolvieron? 10) ¿En total, cuánto suman estas candades?
4) ¿Creen que un organizador gráco puede puede ayudarles a entender la situación?
5) La barra mostrada representa representa la candad que dieron los amigos al inicio: esto es S/.30. Completen los casilleros faltantes.
11) ¿Cómo lograron “ver” lo que pasaba?
12) ¿Pueden inventar un relato parecido, pero en el que aparenten desaparecer S/.2?
S/.30
Dinero entregado
Cuenta real
Vuelto
6) ¿Siguen exisendo los S/.30?
Completen los casilleros
faltantes. Cuenta real
Propina
Vuelto efecvo
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números naturales y sus operaciones, que son útiles en actividades comerciales, al estimar, medir y organizar cantidades. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma signicava.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
Cuaderno de trabajo
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3
21
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No dividas y vencerás
Prever para cumplir Alicia ene una bodega en la ciudad de Molinopampa. Ella ha observado que las provisiones llegan con diferente frecuencia.
Cada tres días, llega el camión de fruta; cada cuatro días, el camión con productos lácteos; y cada seis días, el camión con las gaseosas. Alicia está organizando el calendario, a n de que no vuelva a ocurrir lo que pasó el primero de octubre, cuando los tres proveedores llegaron juntos y no se había reunido el dinero necesario. Octubre L
M
M
J
V
S
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
1) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de fruta a
9) ¿En qué otras fechas, fechas, hasta el nal de año, Alicia debe esperar esperar
Molinopampa?
a los tres proveedores juntos?
2) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de lácteos?
10) Reexiona y responde: ¿Qué concepto has ulizado en el desarrollo de los problemas? Explica el método empleado.
3) ¿En qué fechas del mes de octubre llega el camión de gaseosas?
4) ¿En qué fechas no llega ningún proveedor?
11)) Un nuevo proveedor ha 11 h a llegado para abastecer de golosinas al pueblo, él viene cada 9 días. dí as. La primera vez coincidió con 5) ¿En qué fechas llegan los tres tres proveedores juntos?
la llegada de los tres. ¿Cada cuántos días llegarán juntos los cuatro proveedores?
6) ¿Cada cuántos días llegan los tres proveedores juntos a
Molinopampa? 7) La frecuencia con la que llegan los tres proveedores a Molinopampa, ¿ene alguna relación con los siguientes sig uientes tres números: 3, 4 y 6?
8) ¿Hubieses podido hallar hal lar la frecuencia con la que llegan los tres juntos sin marcar los días en el calendario? calendario? Idenf í í calos calos en este segmento y explica oralmente cómo te ayuda.
Leyenda:
22
2
4
6
8
10
Llegada del camión de fruta.
12
14
16
18
20
Llegada del camión de lácteos.
22
24
26
28
30
Llegada del camión de gaseosas.
Resolvamos 1
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Tiro al blanco En la feria del pueblo, hay un juego de rar dardos a un tablero circular. Julio ha lanzado algunos dardos. Todos los que lanzó dieron en el blanco. ¿Cuáles de los siguientes puntajes: 173, 283, 160, 195, 345 pudo haber obtenido Julio?
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1) ¿Qué ha estado haciendo Julio? Julio?
1) ¿Es posible que su resultado sea 32? Explica por qué.
2) ¿Cuántos dardos ha lanzado?
2) ¿Y es posible que sea 40?
3) ¿Qué signica que todos los dardos dieron en el blanco?
3) ¿Qué relación hay entre los posibles totales y el número 15?
4) ¿Qué condiciones te informan acerca de su juego?
4) Explica el procedimiento que realizarás.
1) Idenca, entre los números dados, aquellos que pueden ser los totales.
Puntajes Múltiplos
de
2) ¿Qué puntajes pudo haber obtenido Julio?
1) ¿Necesitaste dividir para saberlo?
4) ¿Qué estrategias te fueron úles para resolver el problema?
2) Si tu respuesta fue armava a la pregunta anterior, ¿crees que se puede saber qué puntaje sacó sin necesidad de dividir?
5) Supón que un jugador ha lanzado 24 dardos y ha obtenido obtenido un puntaje de 345. Si sus dardos solo cayeron en el blanco (15) y en la franja amarilla (12), ¿es posible saber cuántos dieron en el blanco? Jusca tu respuesta.
3) ¿Qué pistas permitieron entender el problema? ¿Por qué?
Cuaderno de trabajo
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Prohibido calcular Luciana está jugando con su calculadora. Ella ha estado explorando la tecla XY para hallar 54, 5 7 y otras potencias. Su o Edgar la desaa a encontrar en qué cifra termina 3 2012. Luciana quiere usar su máquina, pero esta le da error error.. Ayúdala a encontrar la respuesta. Recuerda que no hay calculadora de mano que te ayude a encontrar el resultado.
23
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1) ¿Qué está haciendo Luciana? Luciana? 1) ¿Puedes formular un problema parecido, pero más fácil? fácil? 2) ¿Qué
signica 54?
Exprésalo
como
una
operación
2) ¿Si te hubiesen pedido la úlma cifra de 52011, hubiese sido
extendida.
más fácil? ¿Por qué?
3) ¿Qué calcula la tecla XY en la calculadora?
4) ¿Qué signica 32012? Exprésalo en tus palabras.
3) ¿Crees que te ayude hacer una lista de las primeras potencias de 3 y luego buscar algún patrón? Explica.
5) ¿Cuál es el reto que enfrenta Luciana?
4) ¿Cómo podrías plantear la estrategia para resolver el problema?
1) Calcula las seis primeras potencias de tres y observa sus úlmas cifras. Organiza la información en una tabla. Potencia de 3
Resultado
1) ¿En qué momento has tenido dicultad para resolver el problema?
Úlma cifra
31 32
2) ¿Cómo has afrontado la dicultad?
3) Describe la estrategia que has desarrollado para resolver el problema. 2) ¿Puedes ver alguna regla de formación con las últimas cifras?
3) ¿Cada cuántos pasos se repite la úlma cifra? cifra? 4) ¿Existe alguna relación entre los exponentes y la úlma cifra del resultado? Si es así, explícala.
4) ¿En qué otras situaciones podrías aplicar la estrategia?
5) ¿Cómo podríamos saber en qué cifra termina el resultado de 232012?
5) ¿Te sirve esta regla para resolver el problema? ¿Cómo la ulizarías?
6) ¿En qué cifra termina 3 2012?
24
Resolvamos 1
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El calendario perpetuo Tal vez, uno de los trucos más sorprendentes de los calculadores prodigio sea decir rápidamente qué día de la semana cayó una fecha dada. Uno de esos calculadores es el profesor piurano Arturo Mendoza, nuestro récord Guinness de cálculo mental. Dado que las fechas funcionan periódicamente, es posible elaborar un método de cálculo rápido para conseguirlas. Aquí les mostramos el método creado por Gauss para hacer este cálculo. Para saber qué día de la semana cayó una fecha determinada del siglo XX, necesitas tres datos: el día, la clave del mes y la clave del año. • El número número del del día nos nos lo dan dan al señalarn señalarnos os la fecha. fecha. • La clave clave del mes mes pueden pueden buscarla buscarla en la siguien siguiente te tabla: tabla:
0
ENE.
3
3
6
1
4
FEB.
MAR.
ABR.
MAY.
JUN.
6
2
J UL .
AGO.
5
0
SET.
OCT.
3 NOV.
5
DIC.
• Para Para hallar el añ año, o, de deber berán: án: 1. Tomar el número formado por los dos úlmos dígitos del año. 2. Dividir este número por 4 y tomar tomar el cociente entero. entero. 3. La clave es igual al número más el cociente. Finalmente, para hallar el día de la semana, sumarán: la fecha, la clave del mes y la clave del año. Buscamos su residuo al ser dividido por 7. Este número indicará el día, de acuerdo con la tabla que se muestra. 0
1
2
3
4
DOM.
LUN.
MAR.
MIÉ.
JUE.
5
6
VIE.
SÁB.
7
DOM.
Al resultado nal, para el siglo XIX (1800-1899) se añadirá 2 y para el siglo XXI (2001-2099) se restar restaráá 2. En años bisiestos, a fechas posteriores a febrero se agrega 1 día. Al año bisiesto se le reconoce porque sus 2 úlmos úl mos dígitos son 00 o múlplo de cuatro; por ejemplo, 1924, 2000, 2012, etc.
1) Con tus compañeros, invesguen en qué días cayeron las
• Comb Combate ate de de Angamos: Angamos: 8 de de octubre octubre de 1879. 1879.
siguientes fechas importantes para nuestra historia:
• Día de la Indepe Independenc ndencia: ia: 28 de de julio de 1821. 1821. • Nacimient Nacimiento o del sabio Julio C. Tello: 11 de de abril de 1880.
• Nacimiento Nacimiento del matemáco matemáco Federico Villarreal: 3 de agosto agosto de 1850.
• Nacimient Nacimiento o de José José María Arguedas: 18 de enero de 1911. • Nacimient Nacimiento o de Julio Julio Ramón Ribeyro: 31 de agosto agosto de 1929. 2) Encuentren Encuentren los días en que nacieron nacieron cada cada uno de los miembros del grupo de trabajo.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la divisibilidad, la cual se utiliza en los códigos de barras, en el número de RUC y para calcular fechas como las de Semana Seman a Santa, entre otros. Autoevaluación
¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
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Las proporciones nos brindan información
Los turistas matemáticos Luisa y Pedro están de paseo por Chiclayo. Un guía del pueblo les ha entregado un mapa como el que se muestra. Ellos quieren averiguar cuáles son las distancias para llegar de Chiclayo a una ciudad A y de allí a una ciudad B. Luisa
Ciudad B
mide, con una cuerda en el mapa, las distancias en carretera desde Chiclayo hasta la ciudad A y luego desde A hasta la ciudad B: obene 14 y 28 cm, respecvamente.
Océano Pacíco
Ciudad A
Chiclayo
Escala: 14:1 200 000
1) ¿Qué información puedes extraer del mapa?
Luisa se tomó una foto al lado de una de las pirámides de Túcume. Si ella ene una estatura de 1,48 m, ¿cuánto ene de
altura la pirámide que se observa en la imagen?
2) ¿Qué escala señala el mapa?
x
3) Según Luisa, ¿cuál es la distancia, en el mapa, desde Chiclayo x
hasta la ciudad A? 4) ¿Y la distancia de la ciudad A hasta la ciudad B?
x
x
5) Reexiona y responde. Una escala de 1:100 signica que una unidad del mapa equivale a cien unidades en la realidad.
8) ¿Cuánto ¿ Cuánto mide Luisa en la imagen?
¿Qué signica la escala dada en el mapa mostrado?
9) ¿Cuánto mide la pirámide en la imagen?
10) Completa la siguiente expresión:
La altura de Luisa en la imagen y su tamaño real están en la misma relación que
6) Completa la siguiente tabla: Recorrido
Tramo
Distancia en el mapa (cm)
Distancia en la realidad (km)
Chiclayo - Ciudad A
11) Completa la siguiente relación proporcional: Luisa en la imagen =
Ciudad A - Ciudad B
Pirámide de Túcume en la realidad
Ciudad B - Chiclayo
7) ¿Cuál es la distancia total del paseo en la realidad?
26
12) Resuelve la proporción establecida antes. ¿Cuál es la altura de la pirámide de Túcume?
Resolvamos 1
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Jugosa venta Doña Petra prepara naranjada, todos los días, para llevar al mercado. Ella sabe que 4 kilos de naranjas le sirven para 2,5 litros de naranjada. Un kilo suele tener de 4 a 5 naranjas, dependiendo del tamaño. Este n de semana, que habrá mucho público por la esta de San Juan, ella quiere llevar 40 litros de naranjada. ¿Cuántos kilos de naranja deberá comprar?
1) ¿De qué trata el problema?
1) ¿Hay una relación entre el litro de naranjada y el kilo de naranjas?
2) ¿Qué datos te dan?
2) El hijo de Petra dice que si compra más kilos de naranjas, hará más naranjada. ¿Tiene razón? ¿Cómo completaría su razonamiento?
3) ¿Cuál es la condición? condición?
4) El dato: “un kilo suele tener ten er de 4 a 5 naranjas”, naranjas”, ¿te sirve para la solución?
3) Experimenta: Si compra 4 kilos, ¿cuántos litros de naranjada podrá hacer? ¿Y si compra 8 kilos? ¿Y si compra 12 kilos? ¿Qué relación guardan estos datos entre sí?
5) ¿Qué desea saber Petra?
4) A partir del razonamiento anterior, completa la tabla:
1) Completa la tabla que se muestra a connuación: Kilos de
naranja
4
8
12
16
20
24
28
32
36
40
44 Kilos de
naranja
Litros de
naranjada
Litros de
naranjada
4
8
12
...
2,5
5
7,5
...
40
2) ¿Qué pos de números hay en la la “Kilos de naranja”? 3) Al pasar de 4 a 20 kilos, el número de kilos se quintuplicó. ¿Qué ocurrirá con el número de litros de naranjada?
1) ¿En qué momento has h as tenido dicultad dicu ltad para hallar la solución?
2) ¿Cómo reorientaste el planteamiento para encaminarte a la
5) ¿Cuántos kilos debe comprar para sasfacer el pedido?
4) Lee la información que se encuentra en cada columna de la primera tabla, como si cada una fuera una fracción. Divide el numerador entre el denominador de cada columna y compara los resultados. ¿Qué observas?
respuesta?
3) ¿Qué concepto matemáco has empleado para resolver este
5) ¿Es correcto escribir la siguiente relación de proporcionalidad?, ¿esta relación te permite resolver el problema? 4 kg de naranja
problema?
kg de naranja =
2,5 l de naranjada
40 l de naranjada
Cuaderno de trabajo
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La alfombra Rosaura quiere comprar una alfombra con movos peruanos para su dormitorio, que mide 3 m x 4 m. Ella ha averiguado el precio de unas alfombras en diferentes endas de artesanía. Este depende del número de metros cuadrados y del lugar de origen.
Alfombras Cus usqu queñ eña a
Tamaño
Rosaura no desea gastar más de S/.360. Además, Costo de la alfombra quiere que al menos 3 m 2 de su dormitorio queden sin Entrega e instalación alfombrar. ¿Cuál de estas alfombras le recomendarías que compre?
27
P une uneña ña
Ayacuchana
3mx3m
2mx5m
2mx4m
S/.38 el m2
S/.35 el m2
S/.36 el m2
S/.40
Sin cargo
S/.18
1) ¿De cuántos pos de alfombras ene información Rosaura? 2) ¿Cuáles son las dimensiones dimensiones de su dormitorio? 3) ¿Qué signica la la: “Entrega e instalación”? 4) ¿De qué depende el precio de cada alfombra? 5) ¿Cuánto es lo máximo que desea gastar Rosaura? 6) ¿Qué área desea dejar libre? libre? 7) ¿Qué es lo que quiere hacer Rosaura?
1) ¿Cómo puedes saber si la alfombra no cubre al menos 3 m 2 del dormitorio de Rosaura?
1) Completa la tabla mostrada con los cálculos adecuados: Cus usqu queñ eña a
P une uneña ña
Ayacuchana
Área Costo de la alfombra
2) ¿Cómo calcularías el costo total? total?
Entrega e instalación Costo total
3) ¿Cómo puedes visualizar los datos de las tres alfombras?
2) ¿Cuál de las tres alfombras debe comprar Rosaura?
1) ¿Qué estrategia te sirvió más para tomar la decisión? 2) ¿Crees que es úl organizar los datos para comprar? 3) ¿Qué otra forma de organizar los datos puedes ulizar? 4) ¿Crees que se deben considerar otros factores, además de los matemácos? Menciona algunos. 5) Todo problema brinda datos y condiciones. En este caso, ¿cuáles son los datos y cuáles las condiciones?
28
Resolvamos 1
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Un tremendo ajedrez Para una feria de ciencias, los escolares de la IE Micaela Basdas están planicando construir un juego de ajedrez en el pao del colegio. Las piezas de un ajedrez común enen diferentes alturas, según sea un rey, un peón, una torre. Vamos a suponer que las piezas miden 10 cm. También asumiremos que los niños de primer grado g rado serán los peones.
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Con tus compañeros, realicen las siguientes acvidades:
1) Elaboren una tabla donde registren las alturas de cada uno de los integrantes del grupo. Nombre
Altura (m)
6) Esta máquina puede servir para pa ra calcular con exactud cuánto debe medir cada casilla del tablero de ajedrez. Ulícenla para calcular la casilla del tablero grande. Altura pieza grande
Lado casilla estándar
Altura pieza estándar
Lado casilla grande
7) Expliquen cómo se ha construido esta máquina de calcular.
2) Discutan y pónganse de acuerdo en una altura que represente a
8) ¿De qué concepto matemáco han pardo para
tu equipo.
construirla?
3) Las casillas de los tableros de ajedrez más comunes miden 5 cm de lado y el tablero del juego ene las de 8 casillas. ¿Cuánto mide el lado del tablero?
9) Si desean hacer un tablero de ajedrez para que jueguen los adultos, ¿qué datos necesitar necesitarán? án?
4) ¿Cuánto es, en cenmetros, la altura que eligieron?
5) Completen la siguiente tabla para para calcular cuál debe ser la medida del tablero de ajedrez que permita jugar a los estudiantes.
10)Tres trabajadores pueden hacer ha cer el tablero table ro y las piezas gigantes en 14 días; sin embargo, la fecha de inicio de la feria es dentro de 11 días. ¿Cuántos trabajadores trabajadores más, como mínimo, necesitarán contratar para terminar el trabajo en un máximo de 10 días?
Tab able lero ro es está tánd ndar ar
Altura pieza
Lado de la casilla
10 cm
5 cm
Lado del tablero
Perímetro del tablero
Superfcie del tablero
Tablero grande
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la proporcionalidad y he establecido relaciones entre cantidades y magnitudes. Podemos reconocer tales situaciones en actividades productivas, científcas, comerciales y lúdicas. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy Mu y in inte tere resa sant ntes es..
Inte In tere resa sant ntes es..
Poco Po co in inte tere resa sant ntes es..
Nada Na da in inte tere resa sant ntes es..
Cuaderno de trabajo 29
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5
Ojos que no Venn
Programas favoritos En una encuesta sobre los programas de TV favoritos de 60 estudiantes de 1.° de Secundaria de Lima, se obtuvieron los siguientes resultados: • • • •
32 ven “Héroes urbanos”. 39 ven “Rutas del Perú”. 47 ven “Matemanía “Matemanía””. 15 ven “Héroes urbanos” y “Rutas “Rutas del
15 ven Héroes urbanos y Rutas Rutas del Perú”. • 28 ven “Rutas del Perú” y “Matemanía”. • 25 ven “Matemanía” y “Héroes urbanos”. • 10 ven los tres tres programas. programas. • Todos ven al menos un programa.
Héroes urbanos
Rutas del 2
Perú
6
5
10 15
18
4
Matemanía
1) Sombrea en color amarillo la región del diagrama en la que están los estudiantes que solo sol o ven “Héroes urbanos”. 2) Sombrea en celeste la región de aquellos que ven solo dos programas.
U
8) ¿Cuántos exactamente no miran miran “Matemanía”?
9) ¿Cuántos miran únicamente “Matemanía”?
3) ¿Cuántas regiones disntas idencas en el diagrama?
10)Reexiona y explica: ¿Por qué una tabla no es un buen modo de organizar estos datos?
4) De acuerdo con los datos y el diagrama, ¿cuántos estudiantes estudiantes ven los tres programas?
11)El diagrama que te presentamos, ¿puede ulizarse para organizar los datos? Explica por qué.
5) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Héroes urbanos”, pero no “Rutas del Perú”? 6) ¿Cuántos estudiantes entrevistados miran “Rutas del Perú”, Perú”, pero no “Héroes urbanos”? 7) ¿Cuántos comparten la preferencia preferencia por mirar “Rutas del Perú” y “Héroes urbanos” urbano s”,, pero no “Matemanía”?
12)Si tuvieras que colocar un comercial en dos de estos programas, ¿cuáles elegirías? ¿Por qué?
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Resolvamos 1
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El torneo de damas En la IE N.° 6024 se está realizando la seminal del torneo de damas “John Venn”. En esta fecha se enfrentan ocho jugadores en cuatro pardas. Los profesores enen sus favoritos para cada parda: • Profesora Lupe: Ángela, Kevin, Germán, Gloria. • Profesor Miguel: Ángela, Doris, César, César, Germán. • Profesor Benito: Gloria, Ángela, Pilar, César. Ningún profesor escogió al pequeño Coto como posible ganador ganador.. ¿Quiénes se enfrentaron en cada parda?
1) ¿Qué es lo que está ocurriendo en la IE N.° 6024?
1) Con lo que dicen los profesores, ¿se puede saber quiénes
jugaron en esa fecha? fecha? Escribe la lista.
2) ¿Qué es lo que informan los profesores Lupe, Miguel y Benito? Benito?
2) ¿Pueden enfrentarse en una parda Ángela y Gloria?
3) ¿Cuántos jugadores se enfrentan en esta fecha?
3) ¿Pueden enfrentarse en una parda Germán y Pilar?
4) ¿Qué jugador no fue escogido como favorito por ningún profesor? ¿Por qué?
4) ¿Cómo organizarás los datos datos para visualizar el problema?
a) En una tabla de doble entrada b) Con un diagrama de Venn c) En un plano cartesiano
5) ¿Qué es lo que te solicitan en el problema?
1) Coloca los nombres de los jugadores en el diagrama de Venn mostrado, considerando los favoritos de cada profesor:
A
B
4) ¿Con qué otros jugadores no pudo jugar Gloria?
A: Jugadores favoritos de Lupe. B: Jugadores favoritos de Miguel. C: Jugadores favoritos de Benito.
5) ¿Con quién jugó Gloria?
2) ¿Con quién seenfrentó Ángela? Explica.
6) Completa la siguiente tabla con los jugadores que se enfrentaron enfrentaron ese día: Ángela
Coto
Gloria 3) ¿Puede Gloria haber jugado con Kevin o Pilar? Explica.
C
1) ¿En qué parte del proceso de solución tuviste mayor dicultad? 2) ¿Qué estrategias te fueron úles para resolver el problema? 3) Si no te hubiesen dicho di cho nada acerca de Coto, ¿se habría podido resolver el problema? problema?
U
4) ¿El contrincante de qué jugador jugador fue más fácil de hallar? ¿Por ¿Por qué?
5) ¿Se puede saber quiénes ganaron cada parda?
Cuaderno de trabajo
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Con sumo cuidado Para estudiar el consumo de la goma Pega Pega entre los estudiantes, un grupo de 2000 de ellos fue entrevistado. A cada estudiante se le preguntó si ulizaba dicha goma para sus manualidades. Seis meses después, se entrevistó a los mismos estudiantes y se les preguntó si connuaban ulizándola. Luego, al año de haber hecho la primera encuesta, se procedió de igual modo. Los siguientes son los resultados del trabajo de campo: contestaron armavamente armavam ente 836 estudiantes la primera vez, 827 la segunda vez y 808 la tercera vez. La primera y segunda vez, 542. La primera y tercera vez, 474. La segunda y tercera, 498. Las tres veces, 317. ¿Cuántos estudiantes contestaron negavamente la primera vez? ¿Cuántos la segunda vez? ¿Y la tercera vez? ¿Cuántos estudiantes contestaron negavamente negavamente las tres veces?
31
1.
2.
a
a
3.
a
U
1) ¿Cuántos estudiantes fueron entrevistados?
1) ¿Cuántos conjuntos intervienen en este problema?
2) ¿Cuántas veces fueron entrevistados? 3) ¿Qué es lo que preguntaron a los estudiantes?
2) ¿Has resuelto algún problema problema parecido en otra oportunidad?
3) ¿Qué po de diagrama te ayudó a resolverlo? 4) ¿Cómo pueden responder los estudiantes?
5) ¿Qué es lo que enes que averiguar? averiguar?
4) ¿Crees que el mismo po de diagrama diagrama te puede ayudar aquí? Explica.
1) Completa los espacios con la denición de los conjuntos que representar representarás: ás:
3) En el diagrama inicial representa los elementos en cada región.
4) ¿Puedes colocar el número 836 en una de esas regiones de tu diagrama? . ¿Por qué?
A:
B:
C:
2) Completa la tabla según corresponda: Número de estudiantes
Solo A
5) ¿Puedes colocar el número 317 en una de esas regiones de tu diagrama? ¿Por qué?
Solo B Solo C Solo A y B Solo A y C Solo B y C AyB ByC AyC
6) ¿Cuántos estudiantes contestaron contestaron negavamente la primera vez? 7) ¿Cuántos la segunda vez?
¿Y la tercera vez?
8) ¿Cuántos estudiantes contestaron contestaron negavamente las tres veces?
A, B y C
1) ¿Crees que hubiese sido úl denir los conjuntos A, B y C como el número de estudiantes que contestaron negavamente la primera, segunda y tercera vez, respecvamente? ¿Por qué? Explica.
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Resolvamos 1
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La descendencia de Lechuga El Sr. Joaquín Lechuga y su esposa Zoila fueron bendecidos con muchos hijos. Todos los días los lo s Lechuga salen a trabajar al campo. Ellos viven en la localidad de Bambamarca y se dedican al culvo de hortalizas, que luego venden a los proveedores de la zona. El alimento predilecto de los señores Lechuga son las ensaladas, de las cuales conocen muchas recetas. Lamentablemente, y pese a su apellido, a sus hijos no les gustan varias verduras; así, por ejemplo, siete no comen zanahorias, seis no comen espinacas y cinco no comen rábanos. Cuatro de ellos no comen ni espinacas ni zanahorias, tres no comen espinacas ni rábanos y dos no comen zanahorias ni rábanos. Uno de los hijos no come espinacas, zanahorias ni rábanos. Y ninguno de ellos come las tres verduras.
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Al menos, ¿cuántos hijos ene la l a familia Lechuga?
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvida des y resuelvan el problema:
1) ¿Qué dato es el que más información puede darles?
3) En el diagrama que acaban de construir, determinen cuántos hijos de la familia lechuga están en cada región. 4) ¿Cuál es la región de los que no comen zanahorias? ¿Cuántos hijos deben estar en esta región?
2) Hagan un diagrama diag rama que muestre la relación rel ación entre los lo s conjuntos, tomando en cuenta los que: "no consumen zanahorias" (NZ), "no consumen espinacas" (NE) y "no consumen rábanos" (NR).
5) Hagan un razonamiento similar con las otras dos verduras.
6) ¿Cuántos hijos ene la familia?
7) ¿Cuál o cuáles fueron los datos más úles en este problema?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas en los cuales he tenido que organizar y clasicar información acerca de grupos con determinadas características. La capacidad de clasicar y organizar datos se presenta en diversas actividades de la vida, como diseñar horarios, hacer encuestas, organizar libros en la biblioteca o asignar tareas a personas. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He parcipado de forma signicava.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
Cuaderno de trabajo
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6
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Proporcionalmente
DNI para todos Fuente: Diario La República. Viernes, 7 de octubre de 2011.
Tres de cada veinte peruanos menores de 16 años no cuentan con el Documento Nacional de Identidad Así lo estimó el jefe del Reniec, Jorge Yribarren, al suscribir un
convenio con Unicef para evitar indocumentado indocumentadoss en el país.
1) Según el tular, en un grupo de 120 peruanos menores de 16 años, ¿cuántos no tendrán DNI?
2) ¿Qué porcentaje porcentaje de peruanos menores de 16 años no ene DNI?
3) ¿Qué fracción de los peruanos menores de 16 años no ene DNI?
4) Reexiona y responde: ¿Hay alguna relación entre los tres problemas planteados?
5) ¿Cuántos peruanos menores de 16 años no enen DNI? Asume que la población de estas caracteríscas caracteríscas es, aproximadamente, de 11 millones de personas. ¿Puedes expresar este número en unidades de millar?
6) Escribe el tular en términos términos de los que sí poseen DNI.
_____de cada _____ peruanos menores de 16 años cuentan con DNI
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Resolvamos 1
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La calidad del buen café José está produciendo diversas variedades de café. Para cada po, hay una diferente merma o pérdida cuyo porcentaje se manene constante entre el café natural y el procesado. El cuadro muestra algunos de los hechos que ha observado José.
C A F É M U KI Peso
Peso
de café
de café
Merma
CAFÉ MISKY Merma
Peso
Peso
de café
de café
Merma
CAFÉ SANDIA Merma
Peso
Peso
de café
de café
Merma
Merma
natural
procesado
natural
procesado
natural
procesado
(kg)
(kg)
(%)
(kg)
(kg)
(kg)
(kg)
2000
1600
1000
900
3000
2400
3000
2400
2000
4000
3200
3000
(kg)
(%)
(kg)
(kg)
(%)
4000
5000
6000
José quiere clasicar los pos de café del menos al más rendidor. ¿Cómo lo puede hacer?
1) ¿De cuántos pos de café te dan información?
1) Con la información que enes, ¿es posible completar los datos faltantes en la tabla y resolver el problema? Explica.
2) ¿Qué signica la palabra merma en este problema?
3) ¿Qué magnitudes intervienen intervienen en esta situación?
2) Completa, según corresponda: El café
rendidor es el que ene mayor
merma por kilo de café 4) ¿Cuáles
de
estas
magnitudes
se
relacionan
proporcionalmente?
ene
y el más rendidor es el que
merma por kilo de café natural.
3) Hay que buscar cuál es la merma por kilo de café para cada variedad. ¿Mediante qué po de gráco puedes organizar los datos para responder?
5) ¿Qué po de relación relación es?
a) Diagrama de Venn b) Diagrama de árbol
6) ¿Qué te solicita el problema?
c) Gráco cartesiano
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1) Graca los datos tabulados en un plano cartesiano. Usa como eje x el el peso del café natural y como eje y la la merma en kilogramos. Une los puntos para cada po de café.
Café Muki Merma
Café Sandia
1400 Merma
(kg)
1600
(kg)
1200
1400
100
1200
800
1000
600
800
400 600
200
0
400 2000
4000
6000
8000 Café natural (kg)
200
0
Café Misky Merma
2000
4000
6000
8000 Café natural (kg)
600
(kg) 500 400 300 200 100
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000 Café natural (kg)
2) ¿Qué observas con relación a las líneas de los grácos que hiciste?
3) ¿Cuál de las líneas de los tres grácos es la más empinada?
4) ¿Cuál de los pos de café ene mayor merma? ¿Por qué?
5) ¿Cuál de los pos de café dirías que es el más rendidor?
1) Menciona las estrategias que te fueron úles para resolver este problema.
2) ¿En qué otros pos de problemas puedes ulizar como estrategia un gráco cartesiano? cartesiano?
3) José quiere hacer un envío de 450 kg de café Misky. Misky. ¿Cuántos kilos de café natural requerirá? 4) En la cosecha del 2012, ha recogido 29 000 kg de café Muki. ¿Cuántos kilos de café procesado logrará obtener?
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Resolvamos 1
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El pequeño gran Hilario Aquella mañana, Hilario llegó al colegio a las 7:50 a. m. y, como todos los días, abrió su mochila para seleccionar las cosas que usaría en las primeras horas de clase; en ese instante, vio la bolsa de dulces. Era extraño, él no había comprado esas golosinas ni nadie se las había regalado; sin embargo, los dulces lucían tan apetosos que abrió la bolsa y comió un caramelo amarillo. El sabor era muy parecido al del limón y a Hilario le gustó. Todo estaba bien hasta que de pronto, a los 4 minutos de haber comido el dulce, comenzó a crecer. Se asustó y corrió al baño a esconderse para que no lo vieran sus amigos. Había aumentado 28 cm. Seguía creciendo y creciendo a la misma velocidad y ya estaba temiendo que en unos minutos más llegara a tocar el techo del baño con su cabeza. Debía detener el crecimiento de algún modo, pero no sabía cómo. A las 8:20 a. m., Hilario ya tenía la altura del baño. Afortunadamente, se le ocurrió comer un dulce azul y entonces paró de crecer, pero comenzó a achicarse. Después de 4 minutos ya tenía 280 cm, y se fue achicando poco a poco. Ahora, el problema era otro: debía detenerse justo en su estatura original de 1,60 m. Buscó dentro de la bolsa de caramelos y halló un papel con unas extrañas instrucciones: “Si quieres detener el efecto de los dulces, debes gritar ¡checherebruka! en el momento que quieras detenerlo”. Felizmente, Hilario sabía resolver problemas matemácos y pudo calcular la hora en la cual gritaría ¡checherebruka! Así lo hizo y se salvó. Ahora, cada vez que ve una bolsa de dulces, desaparece al instante.
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades: 1) ¿Cómo creen que se relacionan las magnitudes empo y altura de Hilario, después de comer el caramelo amarillo?, ¿son directa o inversamente proporcionales?
5) Las magnitudes empo y altura de Hilario, después de comer el caramelo azul, ¿son directa o inversamente proporcionales o no enen ninguna relación? Expliquen su razonamiento.
2) Después de 20 minutos de comer el dulce amarillo, ¿cuánto había crecido Hilario?
6) ¿Cuántos cenmetros por minuto disminuye Hilario, luego
3) Completen la tabla para visualizar lo que ocurre con la altura de Hilario después de las 8:20 a. m.
de comer el dulce azul?
Tiempo desde que come el caramelo azul (min)
7) ¿Después de cuántos minutos de haber comido el caramelo
Altura de Hilario (cm)
azul debe gritar ¡checherebruka!? 4) Hilario mide 1,60 m de alto. Si comió el dulce amarillo a las 8:00 a. m., ¿cuál es la altura del baño?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con magnitudes que son proporcionales. Existen varios tipos de proporcionalidad, las más usuales son la directa y la inversa. La proporcionalid proporcionalidad ad tiene múltiples aplicaciones: reparto de ganancias y herencias, estimación de poblaciones, diseño de espacios, estimación de tiempo de trabajo, entre otros. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
He colaborado de forma signicava.
Realicé aportes muy relevantes.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
Cuaderno de trabajo
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7
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Fracciones realidad de
Organizando el presupuesto Fernando lleva las cuentas de manera muy organizada, por ello gusta de usar tablas y grácos matemácos para poder tomar decisiones claras y con fundamento. Él ha dividido su sueldo en 5 rubros y ha elaborado el diagrama circular que se muestra a connuacion:
Alimentación S/.300 S/.350
Servicios Transporte
S/.200 S/.250
Salud
Entretenimiento
S/.100
1) ¿Cuánto gasta en entretenimiento? entretenimiento? 2) ¿Cuánto gasta en alimentación? alimentación? 3) ¿Cuánto gasta en total? 4) ¿Cuánto, más que en transporte, gasta en servicios? 5) ¿Qué fracción de su sueldo gasta en alimentación? alimentación? 6) Con respeto a esta fracción, completa el siguiente cuadro: Gasto en alimentación
350
Presupuesto
Fracción
1200
350/1200
35
35/120
7) Por cada S/.100 de sueldo, ¿cuánto gasta en salud? 8) ¿Qué porcentaje de su sueldo gasta en salud? 9) Si Fernando desea gastar las 3/8 partes de su sueldo en salud, ¿cuánto deberá gastar en ello? 10) ¿Qué fracción de su sueldo gasta entre servicios y alimentación? 11) Reexiona y explica, ¿qué relación hay entre las regiones del gráco y su representación como fracción? 12) Fernando ha recibido un aumento de S/.300. Él quiere dedicar las 2/5 partes de su aumento a entretenimiento y el resto a servicios. ¿Qué fracción de su sueldo será ahora dedicada a cada uno de estos rubros?
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Resolvamos 1
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Vayamos por partes El Sr. Arturo Cárdenas trabaja para una empresa agrícola. Después de cobrar su sueldo mensual, fue a su casa y le dio 2/5 de su sueldo a su esposa; luego salió en la tarde y gastó la mitad del resto en ocho libros de relatos para sus hijos. Ahora le quedan S/. 300. ¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas?
1) ¿Qué ha hecho el señor Cárdenas Cárdenas con su sueldo? 2) ¿Qué es lo que varía en el empo? 3) ¿Qué es lo que te piden?
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4) ¿T ¿Todos odos los datos numéricos sirven para resolver este problema?
1) ¿Con qué po de diagrama puedes representar los repartos del Sr. Sr. Cárdenas? a) Diagrama de Venn
b) Diagrama de ras
1) Si esta ra representa el sueldo del Sr. Cárdenas, sombrea lo que él le dio a su esposa.
2) Dibuja una ra debajo de lo que falta por reparr. ¿Qué parte dedicó Cárdenas a los libros de relatos? Sombrea esa parte.
c) Tabla de doble entrada
1) ¿Cómo puedes comprobar que tu resultado es correcto? correcto?
2) Aquí se ha ulizado un diagrama de ras, con el cual se representaron los dos estados del problema: primero, el reparto a la esposa, y luego, el gasto en los libros. Este método es muy úl para resolver problemas aritmécos. A connuación, completa la solución de un problema similar al estudiado.
gastó la mitad de lo que tenía y dejó S/.3 de propina. Luego visitó una heladería, allí gastó la mitad de lo que le quedaba y dejó S/.2 de propina. Al salir, sal ir, contó lo que le sobraba: S/.20.
3) La parte no sombreada corresponde a la candad que le quedó al Sr. Cárdenas. ¿Cuántos nuevos soles representa la parte no sombreada?
4) Completa el diagrama con los números adecuados.
Problema: La Srta. Micaela Huamán ingresó i ngresó a un restaurante, restaurante,
¿Cuánto dinero tenía inicialmente? Solución:
3 2
5) ¿Cuánto es el sueldo mensual del Sr. Cárdenas?
Cuaderno de trabajo
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Una aventura espacial La nave azul sale del planeta Azul con rumbo al planeta Rojo. Al mismo empo, la nave roja, un poco más lenta que la azul, sale del planeta Rojo con rumbo al planeta Azul. Cuando se cruzan en el camino, la nave azul ha recorrido 1/5 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja. Después de este punto, la nave azul tarda 8 días en llegar a su desno. ¿Cuánto empo duró el viaje de la nave azul?
1) ¿Quiénes parcipan en esta esta historia? 2) ¿Cuál es el estado inicial de los parcipantes? 3) ¿Cuál es el estado nal de los parcipantes? 4) ¿En qué sendo sendo viajan las naves? 5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? averiguar?
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1) Un dibujo de la situación puede resultar muy úl. Recuerda que las naves viajan una al encuentro de la otra. ¿Cómo podrías representar el viaje?
1) Haz un diagrama lineal que represente el planeta azul, el planeta rojo y la distancia en línea recta entre ellos. Ahora divide esta distancia en 5 partes iguales. ¿Cómo llamarías a cada una de esas partes?
3) ¿Cuántos quintos quintos del camino total recorrió la nave azul hasta el momento que se cruzó con la nave roja?
4) ¿Cuántos le faltan por recorrer? recorrer?
5) Si en lo que le falta por recorrer tarda ocho días, ¿en cuántos días recorre 1/5 del camino?
6) Entonces, ya puedes contestar cuánto tiempo tarda en recorrer el camino total, es decir, los 5/5.
2) Señala, en tu diagrama, el punto en el que se encuentran las naves. Recuerda que la nave azul ha recorrido 1/5 más del camino que la roja.
1) ¿Cómo puedes comprobar que tus resultados son correctos? 2) ¿Cuál sería el resultado si, al encontrarse las naves, la azul hubiera recorrido 3/7 más de la distancia entre los dos planetas que la nave roja?
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Resolvamos 1
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Unas productivas vacaciones Cuatro amigos trabajaron durante las vacaciones del verano pasado: por las mañanas, vendiendo raspadillas de cuatro sabores, y por las tardes, empanadas de cinco sabores. Antes de empezar el verano, se pusieron de acuerdo para reparrse las ganancias en partes iguales. Así, designaron a Julia como contadora del grupo y convinieron en que ella debía llenar el formato que se muestra. Al nal de cada semana, juntaban las ganancias de los cuatro y las reparan equitavamente. Con los datos que aparecen en el cuadro siguiente, ¿puedes decir si el reparto fue justo para cada uno de ellos? Ventas de raspadilla y empanadas Amigo
Primera semana Ganancia producida (S/.)
Segunda semana Ganancia
Le tocó
producida (S/.)
Tercera semana Ganancia
Le tocó
producida (S/.)
Cuarta semana Ganancia
Le tocó
producida (S/.)
Total Ganancia
Le tocó
producida (S/.)
Carlos
27
30
25
22
104
Julia
18
28
16
18
80
Diego
20
17
25
15
77
Rosa
25
24
15
20
84
Le tocó
99
TOTAL
Reparto
81
75
345
90/4
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidad es y resuelvan el problema:
1) En el cuadro, cada columna indica las ganancias de la semana. Calculen la ganancia total en cada una de las semanas que trabajaron los cuatro amigos.
4) En la primera semana, a cada amigo ami go le tocó 90/4, es decir, la ganancia total de la semana dividida entre cuatro. En la segunda parte de cada casilla del cuadro, escriban el reparto
2) Para que el reparto sea equitavo, ¿en cuántas partes iguales se deben dividir las ganancias de cada semana? ¿Qué fracción fracci ón de la ganancia le tocó a cada amigo? Escriban sus respuestas en el renglón de reparto del cuadro, c uadro, como se muestra en la primera columna.
correspondiente y compárenlo con la ganancia real de cada amigo. En la primera semana, ¿quiénes recibieron más de lo que en realidad ganaron? ¿Quiénes recibieron menos?
5) Sumando las ganancias y los repartos de las cuatro cuatro semanas, ¿quiénes recibieron más de lo que ganaron? ¿Quiénes recibieron menos?
3) Lo que le tocó a cada amigo está escrito en forma de fracción fracción y debemos compararlo con lo que realmente ganó cada uno en la semana. ¿Se les ocurre cómo realizar la comparación?
6) ¿Fue justo el reparto?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las fracciones y sus operaciones. Estos números y sus propiedades son útiles en actividades comerciales, como repartir ganancias, medir tiempos de trabajo, hacer presupuestos, entre otras.
Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
Cuaderno de trabajo 41
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8
ponen y quitan Porcentajes que
Las ofertas del día Los comerciantes de la “Feria Escolar 28 de Julio” acordaron realizar algunas ofertas para atraer a más clientes. El tarifario de descuentos acordado se muestra aquí.
Artculo
Precio (S/.)
Camisa
45
20 %
Pantalón
75
30 %
Chompa
52
20 %
Zapatos
85
12 %
Casaca
80
40 %
Pares de medias
12
15 %
Mochila
48
10 %
Descuento
1) ¿Cuántos nuevos soles se descuentan por cada camisa?
7) Un vendedor, para conocer el precio descontado de la casaca, en lugar de calcular el descue nto en nuevos soles y luego restar, solo calcula el 60 % del precio inicial. ¿Estará haciendo restar, bien? Explica.
2) ¿Cuál es el precio nal de una camisa?
3) ¿En qué arculo se obene el mayor descuento en nuevos soles: en la camisa o en la chompa?
8) Halla el precio nal de la siguiente compra:
Artculos
Precio (S/.)
2 camisas 3 pantalones
4) ¿En qué arculo se obene el mayor mayor descuento porcentual: en la camisa o en la chompa?
6 pares de medias 2 pares de zapatos
5) ¿Cuál es el descuento porcentual de un par de zapatos? 9) La tienda ha cambiado la oferta de la casaca por otra promoción, que te da la segunda casaca a mitad de precio. ¿Cuál de las dos promociones es más ventajosa?
6) Reexiona y responde, los problemas presentados están relacionados con porcentajes. ¿Qué fracción del precio original de la casaca equivale al porcentaje del descuento?
10)Con lo que ahorres en la compra de media docena de chompas, ¿cuántas camisas puedes comprar?
42
Resolvamos 1
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La pequeña vendedora Isabel ayuda a su a los nes de semana, en una feria de artesanías. El úlmo sábado, Isabel observó que el precio de venta de un poncho es un 30 % más que su precio de costo. Sin embargo, al venderlo, ella tuvo que rebajar el precio de venta en un 10 %. ¿Qué porcentaje del costo se ganó?
1) ¿Qué se dice del poncho?
1) ¿Qué cambia a lo largo de la historia?
2) Completa con las palabras palabras adecuadas:
2) ¿Qué hace Isabel al venderlo? venderlo?
Podemos seguir la pista al precio del poncho. Como no
tenemos el prec tenemos precio io de precio de costo inicial de
3) Si el precio de costo fuese de 100, ¿cuál sería el precio de venta? 4) ¿El 10 % de rebaja se hace sobre el precio de costo o sobre el precio de venta?
, pode mos supo ner un
3) ¿Qué solicita el problema? problema?
1) Imagina que el poncho ene un precio de costo de S/.100 y completa el siguiente diagrama: Precio de costo
Precio de lista
+ 30 %
Precio de venta
- 10 %
2) ¿De cuánto es el porcentaje del precio de costo que se ganó?
1) ¿Qué te ayudó a resolver resolver este problema? 2) ¿Cambiará la respuesta si, en lugar de suponer inicialmente inici almente un precio de S/.100, presumes S/.20? ¿Y si supones S/.40? ¿Qué conclusiones obenes a parr de estas observaciones? 3) ¿Cómo cambiaría el problema si, en lugar de rebajar rebajar 10 %, se hubiera rebajado 20 %? 4) Redacta el problema inicial, pero sin usar porcentajes; en su lugar, lugar, uliza fracciones.
Cuaderno de trabajo
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¡Qué gran descuento!
El dueño de la bodega del barrio, el cajamarquino Carlos Meneses, ha ideado un plan para atraer a los clientes. Con una tarjeta de 20 % + 20 % de descuento, los clientes asisten pensando que la rebaja es de 40 %. ¿Qué piensan ustedes? ¿Están en lo cierto?
1) ¿Qué desea conseguir Carlos Meneses? 2) ¿Por qué crees que elige escribir el descuento de esa manera y no con un solo valor?
1) Plantea algunos ejemplos que te permitan permitan describir casos de a % + a %.
3) ¿Qué signica un descuento de 20 % + 20 %?
4) ¿Qué te solicita el problema?
2) ¿Crees que dar ejemplos es una buena opción para estudiar este caso?
1) Completa el diagrama mostrado, con tres ejemplos de precios: Precio luego del 1. descuento
Precio supuesto
Ejemplo 1:
-20 %
Ejemplo 2:
-20 %
Precio luego del 2.° descuento
er
-20 %
Descuento total
-20 %
Descuento total
Ejemplo 3:
-20 %
-20 %
Descuento total
2) En los casos observados, ¿qué porcentaje porcentaje del precio inicial es el descuento? 3) ¿Tenían razón los compradores? 4) ¿El descuento fue de 40 % o es menor?
1) ¿Cuál es la estrategia empleada?
2) ¿Cuál crees que es la mejor candad para tomarla de ejemplo inicial? 3) Si la tarjeta hubiese sido de 20 % + 10 %, ¿cuál habría sido el descuento? 4) Y si hubiese sido de 10 % + 20 %, ¿cuál habría sido el descuento?
44
Resolvamos 1
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Comprar yquevender sin perder Hay épocas del año en las ventas de un comerciante están sujetas a están cambios e imprevistos que le obligan a vender perdiendo algunas veces para ganar en otras; pero lo importante al nal es que al menos recupere lo que inviró en su mercadería. Lean con atención este caso: Samuel Regalado compró un lote de polos de verano. Primero vendió el 20 % de su mercancía con una rebaja del 30 % respecto al costo, luego vendió el 40 % de la mercadería con una rebaja del 10 % y otro 10 % del mismo lote con una rebaja del 20 %. Hasta aquí solo ha vendido con pérdidas, pero debe recuperar al menos lo que ha inverdo en la compra de los polos y para esto decide vender el resto del lote ganando. ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al nal recupere sus costos? Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvid ades y resuelvan el problema:
1) En el enunciado del problema, ¿se indican candades para el
Ca nt nti da da d
número de polos y para el costo de cada uno?
2.a v ve enta
360
a
4. venta
80
7) Expliquen cómo calcularían q y W. W.
Ingreso
140
3. v ve enta
1.a v ve enta
a
2) ¿Cómo se representa un total en porcentajes?
3) Asumiendo que se compró N polos a p soles cada uno, podemos resolver el caso; si se asignan valores a estas variables y se sigue el proceso indicado, el resultado no
Pre Pr eci o uni unittari rio o
q
W
cambia. Entonces, asignen asigne n estos valores: N = 100. Completen: Candad de polos a
20 % N =
a
40 % N =
1. v ve enta 2. v ve enta
8) ¿Qué porcentaje debe ganar al vender el resto para que al final recupere su inversión?
3.a venta 4.a venta
4) ¿Qué porcentaje de la mercancía falta vender? Expliquen cómo complementaron la candad de la 4. a venta.
9) Reflexionen sobre el proceso: El problema se ha resuelto asignando ciertos valores a N y p.
¿Qué ocurre si se eligen otros valores? Explica.
5) Para determinar el precio de cada polo en cada venta, consideren p = 10.
10) ¿Cuál es la respuesta al problema?
6) Completen el cuadro, excepto el precio unitario de la 4. a venta y el ingreso correspondiente.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el porcentaje. El cálculo porcentual se aplica en numerosas actividades comerciales, como los intereses, la publicidad y los avisos de ofertas, así como en actividades cotidianas de compra y venta.
Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta actividad?
Muy Mu y in inte tere resa sant ntes es..
Inte In tere resa sant ntes es..
Poco Po co in inte tere resa sant ntes es..
Nada Na da in inte tere resa sant ntes es..
Cuaderno de trabajo 45
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El lenguaje de los números
9
Adivina adivinador Jesús, Pablo, Consuelo, Irene y Tomás están jugando a las adivinanzas. Primero mezclaron una candad de bolitas de color rojo, azul, amarillo y verde. Luego, cada uno colocó en una bolsa una candad de ellas. Los resultados se muestran en la tabla adjunta. El juego consiste en decir una expresión y el compañero debe averiguar cuántas bolitas de determinado color ene el que planteó la pregunta. Nombre
N.° rojas
N.° ver erde dess
N.° am amar aril illa lass
N.° azules
Jesús
8
11
9
12
Pablo Consuelo
10
12 10
9
9
6 14
Irene
4
15
6
12
Tomás
15
8
13
8
8
1) ¿Quién puede decir: “El doble de mis bolitas amarillas amarillas disminuidas en 5 es igual a 7”? 2) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que ene como x .
3) ¿Quién puede decir: “El triple de mis bolitas verdes aumentado en 11 es igual a 53”? 4) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa segunda persona. Resuelve Resuelve la ecuación, representando lo que ene como y .
5) ¿Quién puede decir: “El cuádruple de mis bolitas azules es igual al doble de mis bolitas azules aumentado en 18”? 6) Del planteamiento anterior, escribe en forma algebraica lo expresado por la tercera persona. Resuelve la ecuación, considerando lo que ene como z.
7) ¿Quién puede decir: “La mitad de mis bolitas verdes más el triple de ellas es igual a 28”? 8) Escribe, en forma algebraica, lo expresado por esa cuarta persona. Recuerda: debes resolver la ecuación, considerando lo que ene como t . 9) Reexiona: ¿Qué se uliza en común en los problemas antes planteados? 10) Inventa preguntas similares a las aquí formuladas y dáselas a un compañero para que las resuelva.
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Resolvamos 1
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Ahorro es progreso Ramón reexiona acerca de sus ahorros y sus gastos codianos. Él podría ahorrar S/.20 diarios, pero cada mañana soleada gasta S/.9 en helados y cada mañana fría gasta S/.6 en café. Ha ahorrado durante veinte días, reuniendo S/.244. ¿Cuántos días tomó café? (Solo hay mañanas frías o soleadas).
1) ¿Cuánto puede ahorrar diariamente si no gasta en nada?
1) ¿Cuánto ahorraría en los veinte días si todas las mañanas fueran frías?
2) ¿Cuánto ahorra en las mañanas soleadas?
2) ¿En cuánto disminuye d isminuye este e ste ahorro por cada mañana soleada? 3) ¿Cuánto ahorró realmente?
3) ¿Cuánto ahorra en las mañanas frías? 4) ¿Durante cuántos días ha ahorrado?
4) Entonces, ¿puedes suponer que todas las mañanas fueron frías y luego corregir? 5) ¿Cómo se organizará este cálculo?
5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
6) ¿Qué estrategia emplearías emp learías para hallar ha llar la solución sol ución al problema?
1) Completa la tabla mostrada, hasta que descubras algún patrón. N.o de mañanas soleadas
0
1
de mañanas frías
20
19
o
N.
Ahorro (S/.)
2
280
2) Describe el patrón que has descubierto. 3) ¿Cuándo el ahorro es de S/.244?
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema. 2) ¿Se hubiese podido resolver el problema parendo de que todas las mañanas eran soleadas? Explica.
3) Resuelve el problema suponiendo suponiendo que las 20 mañanas son soleadas. Completa la siguiente tabla: Mañanas soleadas
N.o de mañanas soleadas
Mañanas frías
N.o de mañanas frías
Ahorro Ahorro
2200
1199
00
11
4) ¿Se pudo haber resuelto este problema mediante una ecuación? ¿Cómo?
220 220
Cuaderno de trabajo 47
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Edades enigmáticas
Dos amigos de la infancia se encuentran en una céntrica calle y enen la siguiente conversación: —¡Hola, Roberto!, a los años que te dejas de jas ver, yo ya me casé y hasta tengo tres hijas. —¡Hola, Andrés! ¿Tres hijas? ¿Y qué edades enen? —preguntó Roberto. —Esa respuesta te la voy a plantear como un reto. Fíjate que el producto de sus edades es 36 y la suma es un número primo mayor que 11. Roberto pensó un momento y luego dijo: — Andrés, no puedo saber sus edades, me faltan datos. —¡Ah!, me olvidaba —contestó Andrés— la mayor se llama Alicia. Ali cia.
1) ¿Acerca de quiénes conversan Andrés y Roberto?
1) ¿Las edades podrían ser 6 - 6 - 1? ¿Por qué?
2) ¿Qué se sabe de ellas? 2) ¿Qué otras edades podrían ser? Da dos ejemplos. 3) ¿Qué dato planteado en el problema es irrelevante? 4) ¿Qué desea averiguar Roberto?
3) ¿Puedes hacer una lista lista de las posibles edades?
4) ¿Cómo organizarías esta información? a) Mediante un diagrama de Venn.
b) Mediante un gráco cartesiano. c) Mediante una tabla.
1) ¿Como producto de cuántos factores debes escribir 36?
Edades posibles
Suma de las edades
2) Organiza los factores en la tabla que se encuentra a la derecha. 3) ¿Cuáles son las edades de las hijas de Andrés? Fundamenta tu respuesta.
1) ¿En qué parte de las acvidades de resolución del problema
4) Uliza esta estrategia para resolver el siguiente problema:
has tenido dicultad?
Marn, José y Noelia, que son mayores de edad, no quieren revelar las edades de cada uno y preeren que las deduzcas. Ellos señalan que el producto de sus años es 10 350.
2) ¿Cómo
procediste
para
superar
aquella
dicultad?
¿Puedes determinar sus edades si Marn es el menor y José es el mayor?
3) Describe las estrategias que has empleado para resolver el problema.
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Resolvamos 1
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Hacer un presupuesto La señora Victoria va de compras. En el establecimiento donde suele comprar, los productos se venden empaquetados y los precios por paquete guran en esta lista. Frutas
Fresas Fre sas
Pan y cereales
S/.8,2 S/. 8,20 0 Pa Pan n
Manzan Man zanas as Peras Pe ras Lácteos
S/.4,2 S/. 4,20 0
S/.11, S/. 11,50 50 Qui Quinua nua
S/.12, S/. 12,50 50
S/.5,0 S/. 5,00 0 Cer Cereal eal
S/.6,6 S/. 6,60 0 Embudos
Leche Lec he
S/.7,5 S/. 7,50 0 Jam Jamón ón ahu ahumad mado o
S/.9,9 S/. 9,90 0
Queso Que so
S/.9,6 S/. 9,60 0 Jam Jamón ón ing inglés lés
S/.9,9 S/. 9,90 0
Yogur
S/.2,80 S/.2, 80 Ques Queso o moz mozzare zarella lla
S/.4,40 S/.4 ,40
Ella dispone de S/.30.
Con tus compañeros, realicen las acvidades siguientes y recomienden a la señora Victoria qué comprar en cada una de las posibles situaciones que se presenta presentan. n.
1) ¿Cuánto es lo máximo que puede gastar en cada grupo de alimentos si gasta lo mismo en cada uno?
6) Si decide comprar primero cada uno de los productos del grupo lácteos, ¿podría comprar dos productos más de cualquiera de los otros grupos? Indiquen alguna opción.
2) Si compra un paquete de manzanas y otro de quinua, ¿qué
po de lácteos podría comprar con el saldo? 7) Reflexionen sobre este caso. La señora Victoria elige un 3) La señora Victoria recuerda que ene fruta en casa, ¿cuánto podría gastar en cada uno de los otros grupos si gasta lo mismo en cada uno?
producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿tendrá el dinero suficiente? Si tuviera un saldo favorable, ¿cuánto dinero le podría sobrar?
4) Muestren una posible lista de compras que incluya al menos un producto de cada grupo.
8) Completen esta situación. si tuación. La señora Victoria elige un producto al azar de cada grupo y se acerca a pagar, ¿podría
faltarle dinero? De ser así, expliquen lo peor que le puede
5) Si lleva jamón ahumado, cereal y leche, el dinero restante
ocurrir.
¿le alcanza para comprar fruta? ¿Qué podría comprar en ese grupo?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con los números. Estos están presentes, en el día a día, de diversas formas: enteros, decimales, fracciones. Los números me sirven para comunicarme y, además además,, me ayuda ayudann a tomar tomar las mejor mejores es decisio decisiones. nes. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He parcipado de forma signicava.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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Pensar lógicamente
10
Instantáneas enigmáticas 1) En la escena, hay una persona a la que estamos buscando. Lee con atención las pistas para que la puedas encontrar encontrar..
• No lleva nada en la cabeza. • No ene lentes. • No ene bolso. • No es calva ni ene ene el pelo rizado. rizado. • No lleva en su indumentaria ninguna prenda prenda negra negra ni de cuadros ni de rayas.
Encierra con un círculo a esta persona.
2) En una peregrinación, han h an pasado cinco simpácos frailes. Tenemos sus dibujos, pero desconocemos sus su s respecvos nombres: • Los frailes Abel y Ciro son más altos que sus compañeros. • El bastón de Daniel es más alto que los bastones de Abel y de Ciro. • Los bastones de Abel y de Hugo son del mismo
Abel : Ciro:
Daniel:
tamaño. • Los bastones de Abel y de Benito son menos altos que sus dueños.
Hugo:
¿Sabes quién es quién? Escribe en el círculo el número correspondiente.
1
2
3
4
5
Benito:
3) Seis estudiantes van con sus bolsos al aniversario del colegio. co legio. Victoria, Julia, Juli a, Ana y Luisa llevan sus bolsos en la mano izquierda. izquie rda. Juana y Rocío lo llevan en su mano derecha.
• Las que están de espaldas son Ana, Victoria y Rocío. • Ana y Luisa no enen a nadie a su izquierda.
¿Cómo se llama cada personaje y qué número le corresponde corresponde en el dibujo? 1
3
2
Escribe los datos que te dan en el enunciado.
4
5
6
Indica el número que corresponde a cada estudiante:
50
Victoria:
Ana:
Julia:
Luisa:
Juana:
Rocío:
Resolvamos 1
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Los comerciantes Luisa y otras tres comerciantes obtuvieron préstamos de diversos bancos para una campaña de ventas. Ellas solicitaron diferentes candades y a diferentes tasas de interés. Las cuatro pidieron el dinero por un año. A parr de las pistas dadas debajo, ¿puedes calcular la candad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés? Los montos fueron S/.5000, S/.4500, S/.2000 y S/.1500. Las tasas de interés fueron 10 %, 8 %, 6 % y 5 %. Pista 1: Sonia recibió reci bió el préstamo de menor candad y pagó la más alta a lta tasa de interés. Pista 2: Luisa pagó el doble de interés que Sonia, a una tasa del 6 %. Pista 3: Sandra recibió S/.2500 más que María. Pista 4: María pagó un total de S/.160 en interés al nalizar el año.
1) ¿De quiénes te hablan en la historia?
3) ¿Qué diferencia hay entre interés y tasa de interés?
2) ¿Para qué te dan las pistas?
4) ¿Qué es lo l o que te piden encontrar?
1) ¿Cuáles son las caracteríscas principales del problema? 2) Completa, según corresponda: Hay que sacar a parr de las una
que dan en el texto. Una forma de organizar los
es mediante
3) ¿Qué debe relacionar la tabla?
1) ¿Qué conclusión obenes de la pista 1?
5) A connuación, ubica en la tabla a las comerciant comerciantes, es, según las caracteríscas de su préstamo o tasa de interés. Recuerda que una vez ubicada cada comerciante, ninguna de ellas podrá tener otro monto de préstamo ni otra tasa de interés.
2) ¿Qué conclusión obenes de la pista 2?
5000
3) ¿Qué conclusión obenes de la pista 3?
4500
2000
1500
10 %
8%
6%
5%
Luisa
Sandra
4) ¿Qué conclusión obenes de la pista 4?
Sonia
María
6) Halla l a candad de dinero que cada comerciante recibió prestado y la tasa de interés. i nterés.
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.
2) Comprueba que tus respuestas corresponden con lo relatado en el enunciado.
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El premio mayor
á
En la feria escolar de Matemáca, el profesor Alfonso Meza ha puesto un juego enigma para probar las habilidades de sus estudiantes. El premio mayor es 10 minutos diarios más de recreo por lo que resta del año. Él ha escondido el sobre con el premio en una de tres cajas; las otras dos están vacías. A los concursantes, les dan la oportunidad de descubrir dónde se encuentra escondido el premio. Para ayudarlos, el profesor ha colocado tres letreros sobre cada una de las cajas. Sin embargo, le dice a un concursante que no se e de los letreros, pues solo uno de ellos dice la verdad. ¿Puedes descubrir en qué caja está el premio?
1) ¿De qué te hablan en la historia?
3) ¿Cuántos posibles casos existen?
4) Si un letrero dice la verdad, entonces los otros dos 5) ¿Qué es lo que te piden averiguar? 2) ¿Para qué se han puesto los letreros?
1) ¿Sabemos cuál de los letreros dice la verdad? 2) ¿Cuántas situaciones serán posibles para que se muestre la verdad? ¿Qué pasa con los otros letreros?
51
Completa los valores de verdad en la tabla (V o F) y contesta contesta:: ¿cumple con la condición del problema?
3) Hipótesis 3: El premio p remio está en la caja III.
1) Hipótesis 1: El premio premi o está en la caja I. I
El premio está en esta caja
II
El premio no está en esta caja
III
El premio no está en la caja I
2) Hipótesis 2: El premio premi o está en la caja II. I
El premio está en esta caja
II
El premio no está en esta caja
III
El premio no está en la caja I
1) problema? ¿En qué momento has tenido dicultad para resolver el
I
El premio está en esta caja
II
El premio no está en esta caja
III
El premio no está en la caja I
4) ¿En qué caja está el premio?
4) Si aplicardel esta estrategia, ¿cuáles tendrían que ser lasquisieras caracteríscas problema?
2) ¿Cómo superaste la dicultad?
3) ¿Qué estrategia te permió connuar con la solución del problema?
52
Resolvamos 1
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Las bolilógicas En un juego, hay exactamente seis vasos inverdos inverdos que están uno al costado del otro en la. Los vasos están numerados del 1 al 6 y en cada uno hay una bolita escondida. Cada bolita es de un color diferente: verde, azul, naranja, morado, morado, rojo y amarillo, las cuales están escondidas de manera que: * La bolita morada debe estar debajo del vaso cuyo número sea menor que el del vaso donde está la bolita naranja. * La bolita roja debe estar debajo del vaso que está junto al vaso que conene la bolita azul. * La bolita verde debe estar escondida debajo del vaso 5.
Con tus compañeros, respondan las siguientes incógnitas y resuelvan el problema:
1) ¿Cuál de las siguientes combinaciones del 1 al 6 puede ser el orden de las bolitas con su respecvo color?
5) Si la bolita morada está debajo del vaso número 4, ¿debajo de qué vaso puede estar la bolita naranja?
a) Verde, amarilla, azul, roja, morada, naranja.
b) Naranja, amarilla, roja, azul, verde, morada.
6) Si la bolita naranja está debajo del vaso número núme ro 2, las bolitas que pueden estar juntas entre sí son:
c) Roja, naranja, azul, amarilla, verde, morada. d) Azul, verde, morada, roja, naranja, amarilla.
a) Verde y azul b) Verde y morada
e) Azul, roja, morada, amarilla, verde, naranja. c) Naranja y amarilla
2) ¿Existe un único orden en el que pueden estar las bolitas bajo los vasos?
d) Morada y roja
e) Roja y amarilla
3) Si la bolita de color azul está en el vaso 4, la bolita roja puede estar debajo del vaso número
7) Si la bolita azul está debajo del vaso número 1, las bolitas que siempre deben de estar juntas son:
4) ¿Cuál de los colores puede ser el de la bolita que está debajo del vaso con el número 6?
a) Verde
b) Azul
c) Morada
d) Roja
e) Amarilla
a) Verde y naranja b) Verde y amarilla c) Morada y roja d) Morada y amarilla e) Roja y amarilla
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas referidos al razonamiento lógico, que en la cotidianeidad se utiliza para formular hipótesis y extraer conclusiones conclusione s a partir de pistas. Los detectives y scales lo utilizan con frecuencia para hacer sus investigaciones. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
He colaborado de forma signicava.
Realicé aportes muy relevantes.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Incógnitas a
11
nuestro alrededor
Los tangramistas
La IE Nuestra Señora del Rosario de Chachapoyas realiza, cada año, un fesval abierto de juegos matemácos. Uno de los que cuenta con más seguidores es el campeonato de tangram, que consiste en armar la mayor candad de guras en 4 minutos. En esta úlma edición del fesval, se inscribieron 60 personas, que compieron en 10 equipos de 6 parcipantes cada uno. En la nal, la l a profesora de Matemáca, Elizabeth Sánchez, decidió registrar los resultados usando variables, con el n de que solo ella pudiera saber el puntaje de cada jugador, pues solo ella conocería los valores de las variables x, y, z. La tabla que presentó la profesora Elizabeth de un equipo en las tres temporadas fue la siguiente: Jugador
Cantidad de figuras Primera temporada Segun Segunda da temp temporada orada
Tercera Te rcera temp temporad orada a
María
x
y
z
Juan
x-2
y-2
z-3
Rocío
x+3
y+2
z+1
Rodrigo
x-4
y-4
z+2
Paola
x+5
y+1
z-4
Claudio
x-6
y-5
z -3
1) ¿Quién armó 3 guras más que María en la l a primera temporada?
7) Reexiona y responde. Para resolver los problemas anteriores, ¿cuál es el procedimiento común que has
realizado?
2) ¿Quién armó ar mó 4 guras más que Paola en la l a tercera temporada?
8) ¿Es posible sacar conclusiones de una tabla así?
3) ¿Quién armó 5 guras menos que María en la segunda temporada?
9) La profesora Elizabeth dice que z = 10 y la suma de las dos variables restantes, donde x es es mayor que y , es igual a 32, mientras que su diferencia es igual a 6. ¿Cuál es el valor de cada variable? Uliza este gráco para que respondas.
4) ¿Quiénes armaron la misma candad de guras en la tercera temporada?
x
32
5) ¿Quién armó más guras en la segunda temporada?
6
y
6) Considerando las tres temporadas, ¿quién armó la mayor candad de guras? ¿Por qué?
54
Resolvamos 1
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Bicimates Gloria y Crisna viven a 20 km de distancia una de otra. Como parte de sus ejercicios, ellas salen los domingos a montar bicicleta, una hacia la casa de la otra al mismo empo. Gloria va a una velocidad constante de 30 m/min, mientras que Crisna va a razón de 70 m/min. ¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?
1) ¿Qué acvidad realizan las amigas?
1) ¿Cuál de las dos avanza más rápido? ¿Por qué?
2) ¿T ¿Tener ener diferentes unidades te permite solucionar el 2) Al momento de parr, ¿a qué distancia está una de la otra?
3) ¿Qué magnitudes reconoces en el problema? ¿En qué unidades están?
problema? ¿Por qué?
3) ¿Cuál es la incógnita? Represéntala Represéntala en un gráco gráco lineal.
4) ¿Qué es lo que te piden en este problema?
Gloria
20 km
Crisna
4) ¿El empo en el que se encuentran es igual para ambas? Explica.
1) Representa la incógnita en un gráco lineal.
4) ¿Cómo se relacionan estos dos empos?
Casa de Gloria
Casa de Cristina
20 km =
5) Resuelve la ecuación planteada.
m
2) ¿Cuántos minutos demora Gloria en recorrer x km? km?
6) ¿A cuántos kilómetros de la casa de Gloria se encontrarán?
3) ¿Cuántos minutos minutos demora Crisna en recorrer recorrer (20 000 - x ) m?
1) ¿A cuántos kilómetros kil ómetros de
la casa de Crisna
se
Colocamos estos datos en el siguiente gráco:
encontrarán? Casa de Gloria
Casa de Cristina
2) ¿Pudo haberse elegido como incógnita la distancia hacia la 4) Planteamos la ecuación:
casa de Crisna?
= 20 000 m 3) Observa este esquema de solución. Completa donde haga falta. Sea t el empo en el que se encuentran las dos amigas: Crisna avanza en t minutos:
5) Resuelve para t . 6) ¿A qué distancia de la casa de Gloria se encontrarán?
, Gloria avanza en
t minutos: minutos:
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Sueños de un avaro Un avaro guarda tesoro El enavaro 49 bolsas, cada una enigmáco con la misma candad de un monedas. dice: “Si en mi bolsa agrego tres monedas, tendré lo mismo que si a dos bolsas iguales les quito 7 monedas”. ¿Cuántas monedas ene en cada bolsa?
1) ¿Cuál es la condición con respecto respecto a las bolsas de monedas?
2) ¿Cuántas bolsas ene el avaro?
¿Es importante
conocer este dato para resolver el problema?
1) El avaro habla acerca de cambios en las bolsas. ¿Cuántos posibles cambios menciona?
2) Si le das el valor de x a a la candad de monedas que hay en una bolsa, ¿puedes escribir en términos de x lo lo que se dice en cada cambio?
¿Por qué? Explica. 3) ¿Cómo están relacionadas las expresiones en los cambios? 3) ¿Qué es lo que necesitas encontrar?
1) Plantea una ecuación. Completa con expresiones de x . En mi bolsa
agrego
3 monedas
2) ¿Cómo son estas dos expresiones expresiones de acuerdo con lo que dice el avaro? Plantea una igualdad.
Si a dos bolsas
les quito
3) Resuelve la ecuación y responde: ¿Cuántas monedas hay en cada bolsa?
7 monedas
1) ¿En qué parte del desarrollo has tenido dicultad para resolver? 2) ¿Cómo superaste esta dicultad? 3) Describe la estrategia empleada. 5) ¿Por qué no conviene seguir tanteando con un número mayor 4) Trata de resolver este problema, pero ulizando el tanteo. Empieza a tantear suponiendo que las bolsas conenen 20 monedas. ¿Con qué números seguirás tanteando?
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que 20? 6) ¿Es más fácil resolver el problema tanteando o por medio de una ecuación? Explica.
Resolvamos 1
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A matematizar el esqueleto Los ciencos forenses esmarcomo la altura de unalapersona midiendo la longitud de pueden ciertos huesos el fémur, bia, el húmero y el radio. La tabla dada más abajo muestra las ecuaciones que relacionan la longitud de cada hueso y la altura de la persona, tanto para varones como para mujeres. Estas relaciones han sido encontradas por los ciencos después de muchas invesgaciones y de recolecciones de datos.
Radio
Húmero Fémur Tibia Leyenda:
Hueso En la Fétabla: mur
Varones
Mujeres
Notación Notaci ón
Longitud de... de...
A = 69,089 + 2,238 F
A = 61,412 + 2,317 F
F:
Fémur
Tibia
A = 81,688 + 2,392 T
A = 72,572 + 2,533 T
T:
Tibia
Húmero
A = 73,570 + 2,970 H A = 80,405 + 3,650 R
A = 64,977 + 3,144 H A = 73,502 + 3,876 R
H:
Radio
R: A:
Húmero Radio
Persona
Nota: Todas las medidas están en cenmetros.
Usando las ecuaciones dadas en la tabla anterior y una calculadora, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:
1) ¿Cuál es la altura aproximada de una mujer si su fémur ene 46,4 cenmetros de longitud? 2) ¿Cuál es la altura aproximada de un varón si su bia ene 50,2 cenmetros de longitud? longitu d? 3) Si una mujer ene una altura de 164 cenmetros, ¿cuántos cenmetros más ene su fémur que su bia? 4) Si un varón ene una altura de 1,8 m, ¿cuántos cenmetros menos mide su radio que su fémur? 5) Si el radio de un varón mide 21,80 cenmetros, aproximadamente, ¿cuánto tendrá que medir medi r su húmero?
6) ¿Para qué longitud del húmero un varón tendrá la misma altura que una mujer? ¿Cuál ¿Cuá l es esa altura?
7) ¿Para qué altura común del varón y la mujer un hombre tendrá la misma longitud del radio? 8) Diseñen tres preguntas más que combinen combine n las dimensiones dimensione s de los huesos del varón y la mujer. Intercambien con otros grupos las preguntas formuladas por el equipo.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas en los que se necesitó plantear ecuaciones lineales con
una incógnita. En la cotidianeidad, estas ecuaciones se utilizan para estimar costos, calcular dosis de medicamentos, estimar tiempos de viaje y metrados de pisos, hacer presupuestos, etc.
Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
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12 Algecadabra
Las ecuaciones al rescate
Alejandra encontró, en un viejo libro de Matemáca recreava, un capítulo tulado “Trucos numéricos”, donde halló estas dos páginas con instrucciones para realizar un par de juegos de lectura del pensamiento.
1) ¿Por qué funcionan estos trucos?
5) ¿Cómo obenes el secreto para hallar el número pensado?
2) Llama x al número pensado en cada truco. Completa la expresión, pero en términos de x . Piensa un número Súmale 5. Mulplícalo por 2.
x
6) Si el resultado es R, plantea una ecuación para el resultado en términos de x .
Réstale 4.
7) Reexiona y explica expli ca cómo harías haría s para despejar despeja r
Divídelo entre 2.
. ¿Tu
x
explicación es similar a la dada en el secreto?
Réstale el número pensado. El resultado es:
3) ¿Puedes ver por qué funciona este truco?
8) Has aprendido cómo inventar trucos algebraicos. Inventa un par de juegos y aplícalos a tus compañeros de la clase. Primer juego
Segundo juego
4) Completa la expresión, pero en términos de x . Piensa un número
x
Mulplícalo por 3. Súmale 5. Secreto
Divídelo entre 2. Réstale 4. El resultado es:
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Resolvamos 1
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Los papanaderitos Una empresa ha donado a la IE Miguel Grau algunos kilos de papas y varios sacos de harina y de azúcar con los cuales los estudiantes del primer grado han decidido elaborar papapanes dulces, para venderlos en la feria escolar del n de semana. Los estudiantes pensaron, inicialmente, hacer bolsas con 8 papapanes cada una; pero observaron que les sobraban demasiadas bolsas, así que decidieron hacer bolsas de solo 5 papapanes. De este modo, los papanaderitos ulizaron 120 bolsas más. Finalmente, ¿cuántas bolsas emplearon?
1) ¿Qué es lo que van a hacer los niños de primer grado? 2) ¿Cuántos papapanes por bolsa se iban a empaquetar inicialmente? 3) ¿Qué ocurría si se hacían esos paquetes? 4) ¿Qué se decidió hacer? hacer? 5) ¿Cuántas bolsas más se ulizaron? 6) ¿Qué es lo que te piden en el problema?
1) El problema ene dos estados: la propuesta inicial y la decisión nal. ¿Qué candad no varía en ambos estados?
2) Completa, Comp leta, según corresponda: Como piden encontrar cuántas bolsas emplearon nalmente, entonces podemos denotar a esta candad con la letra
1) Llamemos x al al número de
y plantear una igualdad entre los
ulizadas nalmente.
estados.
1) Comprueba que tu solución cumpla con las condiciones del
problema.
2) Escribe, en términos términos de x , el número de bolsas que se iba a usar. 3) ¿Cuántos papapanes iba a contener cada bolsa?
2) ¿Qué estrategia fue la que te ayudó a resolver el problema?
4) Uliza las expresiones anteriores para escribir el número total de papapanes. 3) Resuelve el problema en forma gráca. Completa el siguiente esquema y ulízalo para resolver.
5) Escribe, en términos de x , el número de bolsas ulizadas realmente. 6) ¿Cuántos papapanes se colocó en cada bolsa?
Propuesta
7) Uliza las expresiones anteriores para escribir el número
inicial
total de papapanes.
8
8
8
5
5
5
Decisión fnal
8) Como el número total de papapanes no varía, ¿qué se puede hacer con las expresiones halladas en las preguntas 4 y 7?
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9) Resuelve la ecuación que has planteado.
10) ¿Cuántas bolsas ulizaron los papanaderitos?
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El agua es vida Para abastecerse mejor de agua potable, la junta vecinal del centro poblado de Ahuac ha construido un reservorio que ene la forma de un cilindro recto. El reservorio se puede llenar mediante dos grifos: el grifo A lo llena en 2 horas, mientras que el grifo B lo llena en el doble de empo. Por problemas externos, ayer el reservorio solo se ha llenado hasta las dos quintas partes. Hoy la junta quiere que termine de llenarse lo más rápido posible, por lo que se han abierto los dos grifos a la vez. ¿Cuánto empo demorarán los grifos en terminar de llenar el reservorio?
1) ¿De qué te hablan en la historia?
1) ¿Qué fracción del reservorio falta por llenar? 2) Completa según corresponda: Supongamos que el problema problema
2) ¿Cómo se llena el reservorio?
3) ¿En cuánto empo llena cada grifo el reservorio?
está resuelto, es decir, que el necesario para llenar las partes del reservorio con los grifos abiertos es “ x ”. 3) ¿Qué fracción del reservorio se llena con el primer
4) ¿Cuánto se ha llenado ya?
5) ¿Qué te piden averiguar?
grifo en una hora?
¿Cuánto se llena en x horas?
4) ¿Qué fracción del reservorio reservorio se llena con el segundo grifo en una hora?
¿Cuánto se llena
en x horas? horas?
5) ¿Cuánto es lo que se debe llenar en x horas? horas?
6) ¿Qué puedes formar con todo lo descubierto?
1) Plantea la ecuación. 2) Resuelve la ecuación. 3) ¿Cuánto empo se necesita para llenar el reservorio si se enen abiertos los dos grifos?
1) ¿Qué estrategia te fue más úl para resolver el problema?
3) ¿Cuánto se demorará si se sabe que hay una fuga que vaciaría el tanque lleno en 6 horas?
2) ¿En cuánto empo llenan el reservorio desde cero si se abren los dos grifos?
4) Si no hay fuga pero se coloca otro grifo que llenaría el reservorio solo en 3 horas, ¿cuánto empo será necesario ahora para llenar el reservorio si tengo los tres grifos abiertos? abiertos ?
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Los montones enigmáticos Camila ha encontrado una página de un anguo libro de matemagia con la siguiente descripción:
Juego de los montones montones Efecto
Estos fósforos retirados debe colocarlos en alguno de los montones de los extremos.
Entrega una caja de fósforos a un amigo y tú vuélvete de espaldas.
En este momento, el amigo debe nombrar libremente un número entre 1 y 12.
Mándale hacer, sobre la mesa, tres montones iguales de fósforos. Pueden constar de un número cualquiera de palitos de fósforo, con tal de que sea superior a 3.
A pesar de que ignoras el número de fósforos fósforos de los montones, con tu mágico poder lograrás que en el montón del centro quede un número de fósforos igual al número libremente nombrado por tu amigo.
Ahora, el amigo debe tomar tomar tres fósforos de cada uno de de los dos montones ubicados en los extremos y añadirlos al montón central. Luego, debe contar el número de fósforos en algún montón extremo y sacar esa cantidad del montón del centro.
Secreto
Lamentablemente, la parte donde estaba descrito el secreto se ha roto. ¿Será posible descubrir cómo se hace este truco? Con tus compañeros, respondan las siguientes acvidades y descubran el truco:
1) Ulicen chas o semillas en lugar de fósforos. ¿Esto afecta el resultado del truco? Expliquen.
7) ¿Cómo pueden demostrarlo sin necesidad de probar con muchas candades disntas?
2) ¿Qué caracterísca debe tener el número de semillas para poder hacer los montones? montones?
8) Planteen una generalización ge neralización del problema, prob lema, es e s decir deci r, empiecen con un caso general.
3) Si el número de semillas fuera 18, 21, 24 o 27, ¿qué observan?
9) Llenen un formato como el anterior, pero ulizando el caso general.
4) Hagan un registro de lo que ocurre. Pueden usar un formato similar al que aquí se presenta.
MONTÓN Montón11 Paso 1
Candad total de semillas: MONTÓN 11 Montón Paso 1
MONTÓN Montón 2 2
MONTÓN Montón 33
Paso 2 Paso 3
MONTÓN M ontón 22
MONTÓN Montón 33
10) ¿Llegaron a demostrarlo?
Paso 2
11) Redacten las instrucciones que faltan en el texto.
Paso 3
5) Denan qué es lo que se va a hacer en cada paso; para esto, lean el “Efecto” y dividan las instrucciones en tres pasos. 6) ¿Este patrón se cumplirá siempre?
12) Realicen el juego con tus compañeros de aula. ¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con las ecuaciones lineales con una incógnita. He visto que puede aplicarse a la vida cotidiana, así como a situaciones curiosas; por ejemplo, trucos de magia y entretenidos rompecabezas. Siempre cuidaré de escribir bien la ecuación en términos de la incógnita elegida. Autoevaluación
¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muyy in Mu inte tere resa sant ntes es..
Intter In eres esan ante tes. s.
Poco Po co in inte tere resa sant ntes es..
Nada Na da in inte tere resa sant ntes es..
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El mundo está lleno de incógnitas
Crea tu propia copa de helado En la heladería Sabor a fruta se exhibe esta lista de precios, la que informa al cliente sobre diversas opciones:
Sabor a fruta Copa básica Bola extra Dos bolas extra Agregados varios:
S/.4,00 S/.2,50 S/.5,00 S/.1,00 cada uno
Nueces Cerezas Chispas Salsa de chocolate Salsa de caramelo Crema batida Trocitos de chocolate
Uliza esta información para calcular los costos sobre los pedidos que un grupo de amigos podría realizar.
1) Paola elige para su copa una bola extra, nueces, salsa de chocolate, crema bada y chispas, ¿cuánto debe pagar?
4) Si Javier le invita una copa de helado a Carmen, igual a la suya, ¿cuánto dinero le queda ahora?
2) Paola ene un cupón que le rebaja S/.3,50 en el costo de cualquier copa de helado. Lo usó para pagar su pedido indicado en la pregunta 1 y le añadió cereza. ¿Cuánto debe pagar ahora?
3) Javier ene 4 billetes de S/.10 y dos de S/.20. Pide una copa de helado con dos bolas extra, salsa de chocolate, crema bada y trocitos de chocolate. Después de pagar, ¿cuánto dinero le queda?
5) Compara los costos del primer pedido de Paola con el de Carmen y calcula la diferencia entre el mayor y el menor costo.
6) ¿Con cuántos cupones similares al que ene Paola se podría pagar un pedido que incluya dos bolas extra, nueces, cerezas, chispas, crema bada y trocitos de chocolate?
7) Reexiona y responde: Con el dinero de Javier, ¿se podrán cubrir los gastos en helados de Paola, Carmen y de él mismo? ¿Cuánto le sobraría?
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Resolvamos 1
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La edad de David A David no le gusta que descubran cuántos años ene. Como es profesor de Matemáca, cuando alguien le pregunta acerca de su edad, él responde muy suelto de huesos con un acerjo. Por ejemplo, ayer, ayer, cuando Anabel le preguntó su edad, David contestó: “Mi edad es el doble de la tuya; pero, hace 15 años, era el triple”. ¿Con estos datos, será posible que Anabel pueda calcular la edad de David? Si es así, ¿cómo lo hará?
1) ¿Quiénes intervienen en la historia? 2) ¿Acerca de qué hablan los personajes? 3) ¿Se expresa alguna relación matemáca entre las personas que intervienen? 4) ¿Qué es lo que se desea averiguar?
1) ¿Cuántos personajes hay? hay? 2) ¿De cuántos momentos en el empo se hablan? ¿Cuáles son? 3) Si Anabel tuviera hoy 18 años, ¿cuántos años tendría David? Explica. 4) Si hace 15 años Anabel hubiera tenido 6 años, ¿cuántos años habría tenido David? Explica. 5) ¿Cómo organizarías las edades en disntas épocas?
a) Con un diagrama lineal
1) Completa la tabla que representa representa esta situación. ¿Qué signica la x mostrada? mostrada? Hace 15 años
Hoy
David Anabel 2) ¿Qué relación hay entre entre las edades de David y Anabel hace 15 años? 3) Escribe una ecuación que represente esta relación. 4) Resuelve la ecuación y vuelve a completar la tabla.
b) Con un diagrama diag rama cartesiano
Hace 15 años
c) Con una tabla de doble entrada David Anabel 5) ¿Cuántos años ene David? David?
Hoy
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver este problema.
5)
2) ¿Cómo puedes comprobar tus resultados?
Resuelve el problema ulizando una tabla tabla de doble entrada: Hace 5 años, la edad ed ad de Papo era tres veces la edad de Pipo. Pip o. Dentro de 5 años, será el doble. ¿Qué edades eda des enen Papo y Pipo? Hace 5 años
Hoy
Dentro de 5 años
3) ¿Pudo tomarse como incógnita la edad de David?
4) Resuelve el problema, pero tomando como incógnita la edad de David.
Hace 15 años
Hoy
Anabel
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El terreno del agricultor Un agricultor es propietario de un terreno cuadrado que ha sido dividido en 5 parcelas rectangulares. Para cercarlas, ha calculado un cerco de 300 metros para cada parcela. Si deseara hacer solo un cerco alrededor de todo el terreno, ¿cuál sería su longitud?
1) ¿De qué trata el problema?
2) ¿Qué datos idencas en el problema?
1) Dentro del terreno cuadrado, ¿qué otra gura geométrica reconoces?
2) ¿Cuál es el perímetro de estos sectores dentro del terreno?
3) ¿Qué forma geométrica ene el terreno?
3) ¿Qué procedimiento realizarías para hallar la solución al problema?
4) ¿Qué te solicita el problema? problema?
1) Representa una de las parcelas y sus respecvas dimensiones.
4) Plantea la relación entre los lados del terreno.
2) ¿Es posible relacionar estas dimensiones con el perímetro
5) Uliza las dos ecuaciones anteriores para determinar los
de la parcela (P)? Determina la relación.
valores de x e e y .
3) Para nuestro caso, el perímetro de la parcela rectangular es 300 m, ¿cómo se expresa la relación?
6) ¿Cuál es tu respuesta?
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver el problema.
2) Resuelve lo mismo, pero considera ahora que el agricultor divide el terreno en cuatro parcelas iguales y el perímetro de cada una es de 300 m.
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Los enigmas del calendario NOVIEMBRE 2012
Una hoja de calendario esconde muchas cosas curiosas. Domingo
En esta acvidad, tendrás la oportunidad de explorar estos enigmas, que luego podrás ulizar en tus sesiones de matemagia.
L un une s
M ar ar te te s
Miércoles
Sábado
Jueves
Viernes
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Con tus compañeros, respondan las siguientes incógnitas y resuelvan el problema:
1) Elijan cuatro números, en un cuadrado de 2 x 2, sumen los números de una diagonal y los números de la otra diagonal. diagona l. ¿Qué observan?
7) ¿Cómo aplicarían esto para saber el resultado de la suma de estos números rápidamente? ¿Es posible saber cuáles fueron los sumandos?
2) Prueben con otros cuadrados. ¿Ocurre lo mismo?
3) Pueden escribir un texto que informe lo que han observado, ¿qué ocurre con las sumas?
8) Elijan tres números seguidos que estén en la misma columna y súmenlos. 9) Prueben con varios tríos. ¿Observan alguna relación entre la suma y el trío de números? Si no la observan, prueben con varios grupos hasta que logren descubrirla.
10) Escriban aquí lo que han descubierto.
4) ¿Pueden demostrar el hecho descrito, es decir, garanzar que se cumple para cualquier cuadrado de 2 x 2?
11) ¿Pueden probar que este hecho se cumple siempre?
12) ¿Cómo pueden crear un truco matemágico a parr de esta curiosidad matemáca? 5) ¿Ocurrirá lo mismo con un cuadrado de 3 x 3? ¿Por qué?
6) Tomen ahora un cuadrado de 3 x 3 y sumen los nueve números que lo conforman. ¿Tiene esta suma alguna relación con los números sumados?
13) Si les dieran la suma de cinco números en columna, ¿cómo descubrirían los sumandos?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con ecuaciones lineales de una incógnita, que me sirven para calcular con cantidades desconocidas. Se aplican en el comercio y la industria para planifcar y estimar la producción, entre otras operaciones. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He parcipado de forma signicava.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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Textos que esconden números
Costos fijos, costos variables El grupo de cumbia La Miel ha decidido producir sus propios discos compactos. Los integrantes saben que los gastos jos ascenderán a S/.2000 por mes y que producir cada disco cuesta S/.2. Ellos desean vender la unidad a S/.7.
Lee con atención y contesta: 1) Costo fjo: El costo jo de un producto o servicio servic io generalmente considera considera el alquiler del local, consumo de luz, pago de teléfon teléfono, o, etc., es decir, los gastos que de todas maneras deberemos hacer. Estos costos no dependen del número de unidades producidas.
¿Cuánto es el costo jo?
2) Costo variable unitario: Es lo que cuesta producir una unidad del producto. Es decir, decir, es lo que cuesta cuesta producir producir un disco compacto, compacto, donde el costo de producción producción unitario es 3) Precio unitario de venta: Es el precio al cual vamos a vender cada unidad de nuestro producto. producto.
¿Cuál es el precio unitario?
4) Costo total: Es la suma de los costos fijos y variables, que depende de la cantidad producida. Imagina que produce x discos, en cuyo caso la función costo total será:
La Miel
C( x x ) =
5) Función ingreso: Es el dinero que ingresa como producto de la venta de los arculos. No considera la inversión, por lo que es mejor llamarlo ingreso bruto. En nuestro caso, es I( x x ) =
6) Función ulidad: Es la diferencia existente entre el ingreso bruto y el costo total. En nuestro caso, es U( x x ) = 7) Candad de equilibrio: Es la candad de un producto que se debe fabricar y vender para no ganar ni perder. perder. Se calcula igualando igua lando el costo total con el ingreso bruto; es decir: C( x ) = I( x ). x ). Resolviendo esta ecuación, la candad de equilibrio es igual a
8) Reexiona y responde: ¿Cómo representarías representarías la ulidad en relación con el ingreso bruto y el costo total?
9) En las preguntas anteriores has representado representado algebraicamente. Expresa Expresa las funciones planteadas.
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Dulces ecuaciones Un bizcocho, envuelto en bolsa de plásco y en caja de cartón, cuesta S/.21. El bizcocho sin bolsa de plásco, pero con caja, cuesta Si elun bizcocho cuesta 3 veces queúnicamente? cuesta la caja, ¿cuántoS/.20. costará bizcocho envuelto en lo bolsa
1) ¿Con qué está envuelto envuelto el bizcocho?
4) ¿Qué relación hay entre el costo del bizcocho y el costo de la caja?
2) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja caja y bolsa?
3) ¿Cuál es el precio del bizcocho con caja caja y sin bolsa?
5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
1) Si la caja costara S/.4, ¿cuánto costaría el bizcocho? bizcocho?
1) Si la caja cuesta cuesta x , ¿cuánto cuesta el bizcocho? 2) Expresa con símbolos lo que se arma arma en el problema.
2) Te dan información de varios precios de objetos obj etos que están relacionados. ¿Cómo puedes representar estas relaciones?
a) Mediante tanteo. b) Mediante una fórmula.
El bizcocho
con caja
cuesta
S/.20
3) ¿Cuánto cuesta cuesta la bolsa? 4) ¿Cuánto cuesta cuesta el bizcocho? 5) ¿Cuánto cuesta el bizcocho envuelto solo con una bolsa?
c) Mediante una ecuación.
1) ¿Cómo puedes comprobar tus resultados? 2) Observa el siguiente gráco, gráco, teniendo en cuenta cuenta que el precio del bizcocho es tres veces el precio de la caja:
Precio del bizcocho
Precio de la caja
20
3) ¿Qué opinas de esta esta estrategia gráca? gráca? 4) Ahora resuelve el problema mediante una ecuación y por medio de la estrategia gráca, pero pero imagina que el bizcocho cuesta 4 veces lo que cuesta la caja. Precio del bizcocho
Precio de la caja
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Calcular para crecer Doña Francisca sabe que ¼ de un kilo de café molido le rinde para 42 tazas de café pasado. Ella compra café cada quincena para que no se pierda el aroma. Por experiencia, sabe que al día vende un promedio de 60 tazas de café. ¿Para tener abastecido su negocio, cuántos kilos de café debe ella comprar quincenalmente, como mínimo?
1) ¿Qué es lo que hace el personaje del problema? 2) ¿Cuántos días ene una quincena? 3) Del enunciado, ¿cuántas tazas de café vende al día?
5) ¿Cuántos kilos de café necesita para preparar 42 tazas?
6) ¿Al día, cuánto de café necesita, aproximadamente, para cubrir las ventas?
4) ¿Qué quiere la oración: compr compra promedio dedecir 60 tazas de café“la al día”? a quincenal y la venta
7) ¿Qué es lo que quieres averiguar?
1) ¿Con ¼ de kg de café, cuántas tazas puede preparar?
1) Si en 15 días vende 15 x
tazas de café, entonces tendrá
tazas de café. 2) Si se duplica la candad de café, café, ¿qué ocurrirá con la candad candad de tazas que puede preparar?
1día
15 días
60 tazas 2) Plantea la proporción que te permita conocer los kilos de café café
3) ¿Qué relación hay entre la candad candad de café y el número de tazas que puede preparar?
que necesitas para preparar 900 tazas.
3) Resuelve la ecuación.
4) La razón: “kilos de café por taza”, ¿se manene constante? ¿Por qué?
4) Aproxima al entero superior más próximo y responde. ¿Cuántos kilos de café necesita comprar para mantener abastecido el negocio?
1) Para evitar ulizar ulizar fracciones, ¿qué hubieras podido hacer?
En la columna central, se indica cuántos kilos de café se necesitan por taza. Completa: Para un día (60 tazas) necesita kg de café. Luego, para 15 días necesitará
2) ¿Puedes resolver el problema con otra estrategia? Explica.
3) Una tabla también hubiese resultado úl. Observa: kg
x
42 tazas
68
42
kg
1 taza
4) El método que has ulizado se conoce como "reducción a la unidad". Discute con tus compañeros por qué creen que lleva ese nombre.
kg
60 tazas
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Detectives matemáticos Miguel es muy minucioso y ordenado, por eso archiva todos los materiales de las clases que se dan en su escuela. En cada cajón archivador, guarda que corresponde a cada unade desulas siguientes él seis áreas:loArte; Inglés; Matemáca; Comunicación; Historia, Geograa y Economía; y Ciencia, Tecnología y Ambiente. El archivador se muestra en el dibujo:
Como se observa, los letreros que idencan a los cajones no están e stán escritos. Para ello, Miguel ha diseñado 5 pistas. Con tus compañeros, desarrollen desarrol len las siguientes acvida des y descubran a qué cajón pertenece cada área. Escriban este dato en el rótulo correspondiente.
Pistas diseñadas por Miguel: 1) Los materiales de Comunicación están en el cajón cuyo número cumple con la siguiente condición: el número restado de su triple, dividido entre seis, es igual a la suma de 24 y el doble del número, dividido entre 18. ¿Cuál es el número?
2) Los materiales de Arte están en el cajón cuyo número es la solución de la ecuación:
60 = 3x - 3 La solución es:
150 7 x - 5
3) Los materiales de Inglés están en la misma columna que los materiales de Comunicación. 4) Los materiales de Matemáca están en la primera la. 5) Los materiales de CTA no están en el cajón cuyo número es la solución de la ecuación
25 = 50 x + + 1 3 x - 2
¿Cuál es el valor de x ?
Los materiales de CTA tampoco están en el cajón cuyo número resulta de reemplazar el valor de x hallado en la x + + 6) expresión ( x x + ( x + 1)
Formulen un problema similar, ulizando cinco pistas lógico-matemácas. Las dos primeras deben ser dos ecuaciones. ecu aciones. Cambien sus pistas con las de otros grupos y vean si ellos pueden resolver su problema.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran ecuaciones de una incógnita. Ellas nos sirven para poder tomar decisiones acertadas, por lo que se emplean en diversas situaciones comerciales, productivas, científcas, entre otras. Autoevaluación Realicé aportes muy relevantes.
¿He colaborado en las tareas del equipo?
He colaborado de forma signicava.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
Cuaderno de trabajo
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La función de las funciones
15
69
Francisco el encuestador Francisco ha aplicado un cuesonario a sus primos, con el n de saber sus respecvas estaturas y edades. Con los lo s datos recogidos, construye la gráca mostrada.
Altura
José Laura
Luis
Lucas Rosa Edad
1) ¿Quién es el más alto? 2) ¿Quién es el más bajo? bajo? 3) ¿Quiénes enen la misma estatura? 4) ¿Quién es el mayor? 5) ¿Quién es el menor? 6) ¿Quiénes enen la misma edad? 7) Ordénalos de menor a mayor, según su estatura. 8) Ordénalos de menor a mayor, según su edad. 9) Reexiona y responde: ¿Te ¿Te fue necesario conocer conoc er exactamente la estatura y la edad de cada uno de los primos de Francisco?
10) El primo Julián no fue entrevistado el día que Francisco hizo el gráco; pero se sabe que es más alto que Lucas y más bajo que
Laura. Además, ene la misma edad que Rosa. ¿En qué lugar colocarías el punto que representa a Julián? ¿Es el único lugar?
Altura
José Laura
Luis
Lucas Rosa Edad
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Resolvamos 1
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Crecimiento de dos pequeños osos Ciertos estudios de nutrición en osos con pocas semanas de nacidos concluyen que: (i) si el pequeño oso come 3 veces al día, crecerá 5 cm al mes; (ii) si come 2 veces al día, crecerá 3 cm al mes; y (iii) si come solo una vez al día, crecerá apenas 1,5 cm al mes. Supón que al inicio del mes de enero, dos pequeños osos, Antojo y Bolita, miden 48 y 52 cm, respecvamente, y que se les alimentó de esta manera: Antojo: 2 veces al día en enero y febrero, 3 veces al día en marzo y abril. Bolita: 3 veces al día en enero, 2 veces al día en febrero y 1 vez al día en marzo y abril. ¿Cuánto medirán a nes de abril? ¿En qué mes, en alg ún momento, alcanzarán la misma altura?
1) ¿De qué trata el problema? 2) ¿Qué datos idencas en el problema? 3) ¿Qué te solicita el problema?
1) Necesitas especicar lo que crece cada oso en cada mes, ¿qué estrategia te conviene aplicar? 2) Respecto al crecimiento de los osos, completa la siguiente tabla, indicando los datos en cenmetros: Osos
Enero
Febrero
Antojo Bolita
1) Elabora un gráco en la cuadrícula de la derecha, donde registrarás lo que mide cada oso en los meses indicados, considerando en el eje horizontal los meses y en el vercal la medida (cm) de los osos. 2) En la tabla, se quiere indicar lo que mide mi de cada oso al nal de cada mes. Completa Osos
Inicio
Antojo
48 cm
Bolita
52 cm
Ener En ero o
Feb ebre rer ro
Marz Ma rzo o
3) ¿Cuánto medirán Antojo y Bolita a nes de abril?
Abril
Marzo
Abril
4) ¿En qué mes, en alg ún momento, han alcanzado la misma altura?
1) ¿Qué estrategias te han sido úles para resolver las preguntas propuestas? 2) ¿Cuánto hubiera medido el oso más pequeño si se le hubiera alimentado 3 veces al día, de inicios inic ios de enero a nes de abril?
Cuaderno de trabajo 71
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Los depósitos de agua Dos depósitos de agua A y B funcionan de la siguiente forma:
Volumen 175 (l) 150
a medida que A se va llenando, B se va vaciando, lo cual se
125
muestra en la gráca.
100 75
a) ¿Cuál es la velocidad de entrada y salida del agua?
50
b) ¿En qué momento A y B enen la misma candad de agua?
25 1
2
3
4
5 6
7
8
9 10 11 12 13 14 15 Tiempo (min)
1) ¿Qué candades se representan en los ejes de coordenadas?
1) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema?
En el eje horizontal se representa En el eje vercal se representa
2) ¿Cuál de las grácas corresponde al recipiente que se va llenando?
a) Buscar regularidade regularidades. s. b) Calcular directamente.
c) Ulizar la gráca.
2) Describe de qué manera varía varí a el contenido conteni do en cada
recipiente.
3) ¿Qué deduces al observar la gráca del otro recipiente?
3) ¿Cómo calcularías las velocidades de entrada o salida del agua en los recipiente recipientes? s?
4) ¿Qué te solicita el problema?
1) Comienza por lo más fácil, ¿a los cuántos minutos termina el proceso de vaciado de B? 2) Calcula la velocidad de salida del agua del recipiente recipiente B.
1) ¿Qué hiciste para determinar el instante en el cual ambos recipientes recipient es enen igual candad?
3) Calcula la velocidad de entrada del agua al recipiente A.
2) En el instante en que B queda vacío, ¿qué candad de agua ene A?
4) ¿En qué momento A y B enen igual candad de agua?
3) ¿Al cabo de qué empo B conene la mitad de su capacidad inicial?
5) ¿Qué candad de agua conene cada recipiente a los 5 minutos?
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Resolvamos 1
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Bicicleteadas funcionales El locutor de la comunidad de Tambopata Tambopata está narrando la competencia entre cuatro parcipantes por el premio al mejor ciclista ecológico, en una carrera de 6 km. Al nalizar la conenda, el locutor l ocutor comenta: • Aurora salió rápidamente situándose primera; pero, a medida que iba pasando el empo, su velocidad fue disminuyendo y llegó tercera a la meta. • Maite siempre mantuvo una velocidad constante, lo que le permió llegar segunda. • Raisa no empezó muy bien; pero, poco a poco, aumentó su velocidad, de tal forma que se adelantó a todas sus contrincantes. • Sonia fue rápida en la salida; pero cuando intentaba ponerse primera, tropezó y se cayó. Después de levantarse, connuó, aunque con dicultad. A mitad de la carrera, el dolor le impidió seguir y se reró.
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades y hagan una gráfca que represente las carreras de las cuatro ciclistas.
1) ¿Cuántas grácas lineales tendrán que hacer?
8) Realicen la gráca para cada una de las compedoras, en el siguiente plano de coordenadas coordenadas..
2) ¿Qué va a relacionar cada gráca? Distancia recorrida
Aurora
(km) 6
3) ¿Al inicio, cuánto es lo que ha recorrido cada ciclista?
Maite
Raisa
4) ¿Al nal, cuánto habrá recorrido cada una?
3
Sonia se reró
5) ¿Creen que es una buena estrategia dividir la carrera en tramos? Expliquen.
Tiempo (min)
9) ¿Cómo se presentan estas posiciones en el gráco?
6) ¿En cuántos tramos dividirías la carrera? Fundamenten su respuesta.
10)¿Cuáles fueron las posiciones nales?
11)¿Esta es la única respuesta posible? ¿Por qué? Expliquen.
7) En el primer tramo, ¿quién iba primero?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la dependencia funcional. Esta es útil para estudiar situaciones de cambio; por ejemplo: la población del Perú cambia con el tiempo, la ganancia de un comerciante varía dependiendo de sus ventas en el día, mis notas suben o bajan según el esfuerzo
que ponga en mis estudios, entre otras circunstancias. Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
Cuaderno de trabajo
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Números en todas partes
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Planeando las vacaciones
La familia de Federico planea su viaje de vacaciones. Él observa cómo sus padres hacen cuentas, consultan precios y calculan cuántos días pueden disfrutar del paseo. A Federico sus abuelos le regalaron dinero que guarda para este momento. Como siempre ha sido un chico muy organizado, considera que va a gastar cada día la misma candad de dinero; pero esta depende de los días que van a durar las vacaciones. En la tabla siguiente se ven algunos cálculos que hizo Federico, considerando disntas posibilidades.
Candad de días
10
5
20
8
16
Gasto diario posible en S/.
4
8
2
5
2,5
1) ¿Observas alguna regularidad? Explícala.
4) Puedes decir ¿cuánto piensa gastar Jorge por día?
5) ¿Observas alguna regularidad? Descríbela. 2) Con estos datos, ¿podrías decir cuánto dinero le regalaron?
6) ¿Puedes añadir otros valores a la tabla?
3) Agrega algunos valores más a la tabla, que mantengan la regularidad que observaste.
Candad de días Gasto total
Candad de días
10
5
20
8
16
Gasto posible diario S/.
4
8
2
5
2,5
5
7
14
10
12
300
420
840
600
720
7) Reexiona sobre los cálculos de Federico y su padre. ¿Observas similitudes entre ambas tablas? Jorge, el papá de Federico, también hace cuentas. Él considera que la familia debe gastar cada día una suma ja. Algunas de sus cuentas se ven en la tabla. Gasto total
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8) En Matemáca se estudia la proporcionalidad, ¿a qué po pertenecen las relaciones proporcionales?
5
7
14
10
12
300
420
840
600
720
Candad de días
Resolvamos 1
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Ponte pilas con las pilas Imagina que enes una pila de huairuros frente a . La divides en mitades y colocas cada mitad en dos montoncitos, uno a la derecha y otro a la izquierda. Si hay un número impar en la pila original, deja un huairuro en el medio. El proceso de división se repite en cada una de las nuevas pilas. Por ejemplo, con cinco huairuros se ene: Observa que, en el paso 3, los tres huairuros se dividieron en la misma forma que los cinco huairuros iniciales. Después de tres pasos, has logrado tener cinco pilas con un huairuro en cada una y ya no puedes seguir dividiendo. ¿Cuántos pasos se necesitan para llegar a un nal similar empezando con 30 huairuros?
1) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su número es par?
4) ¿A que se llama un “paso”? “paso”?
2) ¿Cómo se dividen los huairuros cuando su número es impar?
5) ¿Por qué en el paso 2 hay tres huairuros en el grupo central? Explica cómo obenes tres huairuros.
3) ¿Por qué el juego termina en el paso 3?
6) ¿Qué es lo que te piden en el problema?
1) ¿Es conveniente hacer todo el proceso empezando desde 30?
3) ¿Crees que existe alguna relación entre el número de huairuros iniciales y el número de pasos?
2) ¿Cómo se desarrollaría el proceso si ulizáramos 6, 7, 8, 9 o 10 huairuros?
Consigue 10 semillas y uliza un tablero cuadriculado para experimentar.
4) Registra tus hallazgos en una tabla. tabla. N.° huairuros
1) Experimenta con 2 huairuros.
N.° pasos
2) Experimenta con 3 huairuros.
5) ¿Puedes visualizar algún patrón?
3) Experimenta con otras candades de huairuros.
Descríbelo.
6) ¿Cuántos pasos demoras en llegar a una “la de unos” si
empiezas con 30 huairuros?
1) ¿Fue más conveniente experimentar con problemas más sencillos? ¿Por qué? 2) ¿Cómo organizaste los datos encontrados? 3) ¿Puedes hallar una regla general para saber en cuántos pasos terminarás si conoces el número de pilas? Exprésalo.
Cuaderno de trabajo
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Dulces amigos Mario está jugando con cuatro amigos y deciden comprar chocolates. Entre todos reúnen S/.8 y acuerdan que él vaya a comprar los chocolates a la bodega del barrio. Para reparrlos fácilmente se le pide que el número de chocolates que compre sea múlplo de 5. Además, debe gastar todo el dinero reunido. El niño acepta el encargo, pero en la bodega encuentra que solo hay chocolates de 50 y 30 cénmos. ¿Cuál es el número de chocolates que debe comprar Mario?
1) ¿Quiénes parcipan en la historia?
3) ¿Qué otra condición debe cumplir Mario al comprar?
2) ¿Qué candades de chocolates podría comprar Mario?
4) ¿Qué es lo que se desea averiguar?
1) Completa según corresponda: Las candades de compra se conocen, pero podemos asumir que las conocemos. Para ello, reemplazaremos a cada candad mediante una ; por ejemplo, x e e y .
3) Escribe la ecuación que relacione las incógnitas. 4) ¿Cuántas incógnitas ene esta ecuación?
5) ¿Si le das un valor a una de las incógnitas, se puede hallar la
2) Dene las incógnitas.
otra? Explica.
x : y :
1) Haremos una lista organizada de todas las posibilidades. Para ello, completa la tabla según corresponda:
N.° chocolates de S/. 0,50 ( x )
1
2
3
4
5
6
7
N.° chocolates de S/. 0,30 (y ) ¿Es posible esta compra? Total de chocolates
2) ¿Observas algún patrón para organizar la búsqueda de soluciones?
3) Llena la tabla de soluciones usando el patrón encontrado. N.° chocolates de S/. 0.50 ( x )
0
75
1
4
7
10
N.° chocolates de S/. 0.30 (y ) Total de chocolates
4) ¿Cuántos chocolates debe comprar Mario?
13
16
1) Si no le hubiesen pedido a Mario un número de chocolates múlplo de cinco, ¿habría una sola respuesta?
2) Describe la estrategia empleada que te permió llega r a la respuesta. 76
3) ¿Es posible comprar exactamente 25 chocolates y gastar todo el dinero? 4) ¿Las razones de cada secuencia secuenci a de soluciones soluc iones están relacionadas con algunos números de la ecuación? ¿Con cuáles?
Resolvamos 1
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La matemática de los rumores ¿Se han puesto a pensar cómo se difunden tan rápido los rumores? Hoy en día, gracias a la Internet, un rumor puede ser conocido por muchas personas en breves minutos. Anguamente, no era así; pero igual la velocidad con la que un rumor se propaga de boca en boca es algo digno de estudiarse. Imaginen que un forastero llega a la población de Quirubamba que ene 3 450 000 habitantes. Este forastero trae una nocia impactante para el pueblo. En la posada, él se la dice a tres lugareños, quienes se van y la cuentan a otros tres pobladores cada uno. A su vez, las nuevas personas que conocen el rumor lo cuentan cada cual a otras tres nuevas personas y así, sucesivamente. ¿Después de cuánto empo todo el pueblo sabrá la nocia? Consideren que se demoran 8 minutos en contársela a las nuevas personas y que ninguno cuenta la nocia dos veces. Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema: 1) Hagan un diagrama de árbol para representar cómo se 3) ¿Cuántas personas, en total, conocen la nocia después de exende la nocia: 24 minutos?
4) ¿Cuántas personas conocen la nocia en 1 hora?
5) ¿Cuánto empo demorarán demorarán en conocer la nocia todos los habitantes del pueblo?
2) Completen la tabla adjunta.
6) ¿Qué opinan de este po de crecimiento? ¿Es rápido rápido o lento?
Vez que
Tiempo
N.° de nuevas
N.° total de
se cuenta
transcurrido
personas que
personas que
la nocia
(minutos)
conocen la nocia
conocen la nocia
0
0
1
1
1 2 3 4 5
6 7
8 9
10
¿Qué aprendí?
En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con patrones. Estos se aplican para descubrir leyes y fórmulas, así como para crear modelos y realizar conteos sin necesidad de ponerse a contar. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy Mu y in inte tere resa sant ntes es..
Inte In tere resa sant ntes es..
Poco Po co in inte tere resa sant ntes es..
Nada Na da in inte tere resa sant ntes es..
Cuaderno de trabajo 77
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Funciones que muestran cambios
17 El bebecrece
Aunque pueda parecerte extraño, los médicos también ulizan la matemáca. Las historias clínicas, muchas veces, conenen grácos, tablas, números y fórmulas que brindan información al especialista acerca de nuestros indicadores vitales. Aquí te mostramos la gráca correspondiente a un bebé que ene un crecimiento normal en un periodo de 30 días y que al nacer pesó 3300 g.
Peso
(g)
+100 -100
P
10
20
30
Tiempo (días)
1) ¿Qué magnitudes se relacionan en el gráco?
6) ¿Cuántos días pesó el bebé menos de 3300 g?
2) ¿Cuánto pesa el bebé en el punto (0;0)?
7) Indica el aumento de peso durante la segunda y tercera decena de días.
3) ¿Qué ocurre en los primeros días de vida?
8) Reexiona y responde: En los problemas planteados, has interpretado los datos en el gráco; si estos hubieran sido presentados en una tabla, ¿habrías podido responder con facilidad las preguntas?
4) ¿En cuánto se ha incrementado el peso del bebé del d el segundo al sexto día?
5) Explica qué ocurrió en el punto “P”. ¿Cuánto pesa en este punto?
9) Indica tu vo el bebé durante el mes y el enmáximo qué día.y mínimo peso que tuvo
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Resolvamos 1
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El tamaño ideal Las proporciones en los seres humanos enen que ver con una rama de la medicina llamada antropometría. En ella se ulizan muchas fórmulas que nos permiten saber si estamos en el promedio de una persona común o tenemos algunas diferencias. Una fórmula muy ulizada es la que expresa la altura ideal de una persona adulta, en función de su peso: P = 90E - 86, donde P es el peso en kilos y E es la estatura en metros. Haz una tabla que le permita a una persona que no sabe usar fórmulas encontrar su peso midiendo su estatura. Nota: Considerar como altura mínima 1,45 m y como altura máxima 1,75 m.
1) ¿Qué información de la lectura es relevante para el problema planteado?
1) ¿Vale ¿Vale la pena hacer el cálculo cálcul o para alturas como 30 o 50 cm? Explica.
2) ¿Qué magnitudes están relacionadas? 2) ¿Y para alturas como 3 o 3,5 m?
3) ¿Cuál es la fórmula que relaciona estas magnitudes? Explica las variables que la conforman.
3) ¿Cuál podría ser la altura promedio de un peruano?
4) ¿Qué solicita el problema?
4) ¿Cómo organizarías los datos para que puedas estudiar las variaciones de altura y peso? a) En un diagrama de árbol
b) En un diagrama de Venn
c) En un tabla
1) ¿Cuál es la altura mínima promedio de un peruano?
2) ¿Cuál es la altura máxima promedio de un peruano?
3) Dibuja una recta numérica. Coloca en ella la altura máxima y la mínima y divide el intervalo en una candad de tramos.
4) Finalmente, coloca los puntos desde desd e la altura mínima a la máxima en esta tabla y calcula, mediante la fórmula, los pesos pe sos para cada caso. Altura (m) Peso (kg)
1) ¿Qué necesitaste para poder construir la tabla?
2) Uliza los datos de la tabla para hacer un gráco de la relación. Peso
(kg) 80
70
60 50
40
3) Robert Wladow , el hombre más del mundo, murió a los 22 añosL.yWladow, llegó a medir 2,72 m. En alto el momento de su muerte, pesaba 199 kg. ¿Cumplía Wladow Wlado w con el modelo matemáco?
30 20 10
0
1,4
1,45
1,5
1,55
1,6
1,65
1,7
1,75
1,8 Altura (m)
Cuaderno de trabajo
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La pista de carreras*
Velocidad de un auto de carrera a lo largo de una pista de 3 km (Segunda vuelta)
Velocidad
(km/h)
Este gráco muestra cómo varía la velocidad de un auto de carrera durante su segunda vuelta a lo largo de una pista plana de 3 km.
1
180
5
160 140 120 100 80
¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de parda hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista? ¿Dónde se registró la velocidad más baja durante la segunda vuelta?
4
2
60
3
40 20
1,5
0,5
2,5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1.0
1,2
1,4
Línea de parda
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
Distancia recorrida en la pista (km)
1) ¿Qué variables se relacionan en este gráco?
4) ¿Cuál es la velocidad inicial?
5) ¿Y cuál es la velocidad cuando ha recorrido 2,0 km? 2) ¿Qué ocurre con la velocidad del auto en un tramo recto?
3) ¿Cuántos tramos rectos ene la pista?
6) ¿Qué es lo que enes que averiguar?
1) ¿Es semejante el problema a otros que ya conoces?
3) ¿Qué es lo l o que representa el eje horizontal?
2) ¿Qué es lo que representa el eje vercal?
4) ¿Qué estrategias emplearías para solucionar el problema?
1) Marca en el gráco los puntos donde el auto gira. Explica.
5) ¿Cuál es la velocidad en cada uno de ellos? Organiza estos
datos en una tabla.
2) ¿Cuál es el tramo más largo? la rgo?
Punto
Velocidad (km/h)
3) ¿Cuál es la distancia aproximada desde la línea de parda hasta el comienzo del tramo recto más largo de la pista?
4) ¿Cuántos puntos hay hay donde la velocidad se reduce?
1) ¿Qué estrategia te fue más úl para resolver este problema?
6) ¿Cuál de estas velocidades veloci dades fue la menor durante la segunda vuelta?
2) Aquí hay cinco pistas dibujadas. ¿Sobre cuál de ellas se desplazó el auto para producir el gráco de velocidad mostrado P anteriormente? P
P P
P
*Este problema pertenece a la evaluación PISA 2000 - Alfabezación Matemáca.
80
Resolvamos 1
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Declarando los impuestos Todo trabajador independiente expide comprobantes de pago por la labor desempeñada. A esto se le llama renta de cuarta categoría. Cada año debe reportar sus ingresos y, y, según el monto total y previo cálculo, debe abonar el impuesto a la renta. Supón que la determinación del impuesto se aplica según estas normas: a) Para ingresos que no excedan los S/.156 000, el impuesto a la renta será el 15 % de dichos ingresos. b) Paratus ingresos mayores de mayores a S/.156 000, separa pagará el 15a%dos de contribuyen S/.156 000 más 30 Mendoza % del exceso de S/.156 000. Uliza conocimientos matemáca ayudar contribuyentes: tes: el Juan y Pedro Gonzales, quienes desean saber cuánto les toca pagar. Ellos han calculado sus ingresos anuales y presentan estas estas cuentas: Ingresos anuales de Juan Mendoza: S/.100 000. Ingresos anuales de Pedro Gonzales: S/.200 000.
Con tus compañeros, realicen las siguientes si guientes acvidades e idenfquen: ¿Cuánto ¿C uánto le corresponde pagar a cada uno?
1) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación situaci ón de Juan?
7) Hagan una gráca con los valores que han obtenido en la tabla. Impuestos (S/.)
40 000 35 000
2) ¿Cuál de las normas corresponde a la situación situaci ón de Pedro?
30 000
25 000 20 000
3) Calculen el impuesto que debe pagar Juan.
15 000
10 000
4) ¿En cuánto exceden a S/. 156 000 los ingresos i ngresos de Pedro?
5000
0
0
50 000
100 000
150 000
200 000
250 000
Ingresos (S/.)
5) Calculen el impuesto que debe pagar Pedro.
8) ¿Para qué monto de ingresos los impuestos son de S/.24 900? Indiquen el proceso.
a) Cálculo directo:
6) Completen la tabla que conene el impuesto ya calculado para ingresos que van de 100 000 a 200 000 y en intervalos de 20 000 en 20 000. Ingr In gres esos os
Norm No rma a
Impu Im pues esto to
100 000
a
15 000
b) De lectura gráfica:
120 000 140 000 160 000
b
180 000
b
200 000
b
36 600
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con funciones, las cuales están presentes en el deporte, así como en la medicina, la economía y otras ciencias.
Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
He parcipado de forma signicava.
Estuve sobresaliente.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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La geometría es más que cálculos
La ciclovía Celia está manejando bicicleta en su ciudad. La ciclovía ene la forma que se muestra en el gráco y la ciclista se encuentra en el punto C. Analiza el mapa para responder las preguntas:
3,5 cm
Leyenda:
C = Celia M = Mirador F=
8 cm
Fuente de la amistad
Escala: 1 cm = 20 m
1) ¿Cuál crees que es el giro más dicil que debe hacer Celia en la ciclovía? ¿Por ¿Por qué?
2) ¿Cuántos grados habrá girado la bicicleta de Celia al dar toda la vuelta a la ciclovía?
3) ¿Cuántas veces mayor es la medida del ángulo F que la medida del ángulo C?
=
=
4) ¿Qué po de triángulo es el MCF? ¿Por qué?
5) ¿Cuántos metros debe recorrer Celia para llegar a la fuente? Usa proporciones para responder.
6) ¿Cuántos metros más recorrerá Celia si decide ir a la fuente de la amistad por la ruta más larga?
7) Reexiona y responde: ¿Qué conceptos matemácos has empleado para resolver los problemas?
8) Se quiere adornar el parque con piedras blancas que unan los puntos medios de la ciclovía. ¿Cuántos metros lineales de
piedra necesitamos?
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Tiempo de nadar Hernán nada a una velocidad constante de 2 m/s. Él ene curiosidad por saber cuánto empo demorará en cruzar un lago de un extremo a otro; pero no desea averiguarlo lanzándose al lago y midiendo el empo con un cronómetro; prefere ulizar la matemáca. Entonces, construye un diagrama como
300 m
R
C
180 m
el mostrado. ¿Puede resolver su problema mediante este diagrama?
P
120 m A
B
1) ¿Qué distancia deberá hallar Hernán?
1) ¿Es posible representar los elementos matemácos en el gráfco mostrado?
2) ¿Qué datos presenta el gráfco?
2) ¿Cuál de las fguras geométricas ene más datos?
3) ¿Qué fguras reconoces reconoces en él? 4) ¿Y qué elementos matemácos reconoces?
3) ¿Qué ángulos en el diagrama enen el mismo valor? valor? ¿Cuáles son?
5) ¿Qué desea realizar Hernán?
4) Para averiguar el empo que se demorará, ¿qué debe conocer Hernán?
1) ¿Cuál es tu incógnita? x en el gráfco.
Indícala con una
2) ¿Cómo están relacionados rel acionados los triángulos triáng ulos PRC y PAB?
4) Completa la siguiente proporción: 180 120
=
3) Completa la siguiente siguiente tabla: Lado
Lado
Triángulo PRC
PR=
RC =
Triá iáng ngu ulo PAB
AP=
AB =
1) Describe la estrategia que se ulizó para resolver este problema.
5) Resuelve esta proporción propo rción y encuentra en cuentra la l a distancia distanc ia y el empo que demorará en cruzar el lago.
3) ¿Puedes escribir otra proporción que permita resolver el problema? Exprésala.
2) Si los ángulos en R y en A no hubiesen sido rectos, ¿se hubiera podido resolver el problema?
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Las cámaras de vigilancia
Entrada
Con el n de cuidar los bienes informácos de la IE Ciencia Nueva, el director quiere colocar cámaras de vigilancia en las esquinas del ambiente donde se encuentran dichos bienes. La condición de esas lmadoras es que puedan girar. girar. ¿Cuántas cámaras se necesitarán como mínimo y en qué esquinas deberán ubicarse? En la entrada no puede colocarse ninguna cámara de vigilancia.
1) ¿Será necesario poner una cámara en cada esquina? Explica por qué sí o por qué no. 2) ¿Qué representa el gráco? 3) ¿Cómo representarías una cámara de vigilancia en el gráco? 4) ¿Qué condiciones deben cumplir las cámaras? 5) ¿Qué es lo que te piden averiguar?
1) ¿Cuántas esquinas hay en el ambiente donde se encuentran los bienes informácos? 2) ¿Qué estrategias emplearías para desarrollar este problema? (Puedes marcar más de una alternava). a) Hacer uso de una tabla de doble entrada. b) Hacer acvidades de ensayo y error error.. c) Hacer un gráco. d) Hacer diagramas de ujo.
1) Coloca cámaras en disntas esquinas del ambiente. Para ayudarte, desarrolla la(s) estrategia(s) elegidas(s).
2) ¿Cuántas cámaras como mínimo se necesitarán?
1) Describe el procedimiento que q ue has empleado emplea do para dar solución al problema.
2) ¿Cuántas posibles respuestas hay?
3) ¿Qué elementos e lementos matemácos matemáco s has reconocido en el el desarrollo del problema?
4) ¿Cómo se miden los ángulos de visión de las cámaras de vigilancia en el gráfico?
vigilancia en el gráfico? ¿Se pueden medir estos ángulos en el diagrama?
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De botes y rebotes El diagrama de la derecha muestra una mesa de billar cuyas dimensiones son 4 por 3. Los cuatro agujeros están en A, B, C y D. Los lados de la mesa se llaman parantes. Cada vez que una bola de billar es lanzada hacia un lado, esta rebota con el mismo ángulo con el que llegó a ese lado. Jorge decide lanzar bolas de modo que siempre choquen con el parante, haciendo un ángulo de 45°. Con tus compañeros, invesguen la siguiente situación y ayuden a Jorge a lanzar adecuadamente las bolas:
1) Jorge ha lanzado una bola desde D. Completen el camino que sigue esta bola de billar.
A
B
D
C
A
B
D
C
A
B
D
C
2) ¿En qué hueco caerá? 3) ¿Cuántos rebotes dio antes de entrar a un agujero? 4) ¿Cuántos cenmetros ha recorrido la bola antes de ingresar al hoyo? Nota: El lado de cada cuadrito mide 30 cm y su diagonal, 30 √2 cm.
Este segundo diagrama es un tablero de billar de 3 x 5. Jorge lanza una bola desde D. 1) ¿En qué hoyo entrará la bola de billar? 2) ¿Cuántos rebotes dio antes de ingresar al hoyo? 3) ¿Cuántos cenmetros recorrió antes de entrar al hoyo?
4) Si no hubiese hoyos, ¿cuál sería el trayecto de la bola?
Consideren otra mesa de billar con cuatro hoyos A, B, C y D. Una de las bolas es lanzada desde el punto D, congurando un ángulo de 45° con DC, y va directamente al hoyo B. ¿Cuáles serán las dimensione dimensioness de esta mesa?
¿Puede darse esa situación en otras
dimensiones? 1) Dibujen la mesa y el camino recorrido recorrido en la cuadrícula. 2) ¿Cómo se llama el segmento DB? 3) ¿Esta es la única respuesta posible?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con ángulos y segmentos. Ellos son útiles cuando realizamos manualidades, en la costura, al estudiar ángulos de visibilidad, en la agricultura, entre otras actividades. Autoevaluación
¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma signicava.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Medidas en nuestras vidas
Quesitos exquisitos Sanago ene un negocio rentable de lácteos. Acostumbra adornar su vitrina con una variedad de quesos. Los moldes y porciones enen siempre letreros que, además del precio, indican el peso de cada producto puesto en exhibición. La mayoría de sus quesos son de la sierra y son muy agradables. Sin embargo, los moldes que se promocionan son las únicas existencias que se enen en venta.
1) ¿Cuánto costarán 3 kg de queso paria?
2) ¿Cuánto costarán 2500 g de queso puneño? 3) ¿Cómo puedes saber el precio por kilo del queso ancashino? Solo explica cómo lo calcularías; no realices los cálculos.
4) ¿Cuál es el precio por kilo del queso de Cajamarca? ¿Y cuál es el precio por gramo? 5) Un turista acostumbrado acostumbrado a comprar por libras le pregunta a Sanago: Sanago: ¿Cuál es el precio por libra del queso Gouda? Si el valor de una libra es 453, 6 g, calcula ese precio.
6) Refexiona y responde: ¿Qué caracterísca de los datos debes tomar en cuenta? ¿Qué relaciones se establecen entre los datos?
7) Para una receta se requieren requieren 3 ¾ lb de queso de Cajamarca. ¿La enda de Sanago puede cubrir actualmente este pedido? pedido ?
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Diseños renovados Juliana está fabricando un nuevo diseño de alfombras -como te muestra la gura-. El diseño está formado por 4 retazos rectangulares, unidos por sus lados, cada uno de 60 cm de largo por 40 cm de ancho. La alfombra se adorna con una línea negra bordada que une los puntos que están en el centro de cada pieza. Juliana debe atender un pedido de 500 de estos diseños y, para su hoja de costos, necesita saber la longitud de la línea negra bordada. ¿Cuántos metros mide la longitud de esa línea negra?
1) ¿Con qué elementos se fabrican las alfombras? alfombras? 2) ¿Cuáles son las dimensiones de los retazos?
3) ¿A qué puntos se reere reere al decir: “puntos que están en el centro de cada pieza”? Indícalo en este dibujo. 4) ¿El dato de 500 te sirve para la solución del problema? problema?
1) Para resolver resolver el problema, enen que hallar las dimensiones de la línea bordada para p ara cada pieza. ¿Qué estrategia puede servir para resolver este problema? a) Representar Representar en un dibujo las caracteríscas de la línea y la pieza. b) Hacer una tabla y poner los valores consecuvamente. c) Empezar en un orden inverso para reconocer las operaciones. 2) Conocido el valor de las líneas negras, ¿con qué otros otros datos lo relacionarías para solucionar el problema planteado?
5) ¿Qué otros datos te brinda el problema? 6) ¿Qué es lo que desea calcular Juliana?
1) Dibuja la alfombra. ¿Cuántas piezas ene? ene? Ubica los puntos medios de cada pieza. Únelos. Coloca las medidas correspondientes sobre la línea negra. 2) ¿Cuánto mide la línea negra? 3) ¿De cuántas alfombras es el pedido? 4) ¿Cuántos metros de línea negra bordará Juliana para atender este pedido?
1) ¿Por qué hacer un dibujo fue la estrategia más úl para resolver este problema?
2) ¿Es posible resolver este problema de manera más corta? corta? Explica.
3) Juliana ha elaborado el siguiente diseño con las mismas dimensiones y medidas antes mencionadas, pero solo para 100 piezas de alfombra. ¿Cuántos metros bordará?
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El cuidado de los peces
80 cm
Ángel es un fanáco de los peces. Tiene una colección de 25, todos de diferentes colores. Para brindarles mayor comodidad, ha comprado una pecera en forma de prisma recto -cuyas dimensiones se muestran-. Ángel llena su pecera con un balde cuya capacidad es 1200 cl. ¿Cuántos baldes repletos de agua necesita para llenarla, de modo que la supercie del agua diste
30 cm
40 cm
5 cm de la altura de la pecera?
1 litro (l) = 100 cenlitros (cl) = 1000 cenmetros cúbicos (cm3)
1) ¿Qué forma ene la pecera? 2) ¿Qué relación hay entre entre la capacidad de la pecera yel volumen del agua que la llena?
1) ¿Cómo hacer el cálculo si se enen unidades de medida disntas?
2) ¿Qué tendrías que realizar primero para hacer los cálculos?
3) ¿En qué unidades están las dimensiones? 4) ¿En qué unidades se ha medido la capacidad del balde?
3) Para poder ver las condiciones del problema, ¿tendrías que representar los datos en un gráco?
5) ¿Qué condición de llenado te plantean en el problema?
4) Completa donde corresponda: Hay que calcular cuánta cuántass veces contenido en el volumen de
6) ¿Qué es lo que te solicita el problema?
1) ¿Cuántos cm3 es 1 cl? 2) Marca, sobre el diagrama de la pecera, pecera, la altura hasta donde se debe verter el agua.
del bal balde de está
3) Calcula las nuevas dimensiones bajo la condición del problema. 4) Calcula este volumen volumen de agua:
5) ¿Cuál es el volumen de agua que puede llevar el balde en 3 cm ?
m c 0 4
30 cm 80 cm
6) ¿Cuántas este resultado en el volumen de agua necesario?veces cabe este 7) Interpreta tu resultado y responde: ¿Cuántos baldes llenos de agua, como mínimo, necesitas para llenar la l a pecera en las condiciones dadas?
1) Describe las estrategias o procedimientos que te permieron resolver el problema. 2) ¿En qué condiciones o caracteríscas de los problemas te te convendría aplicarlos? 3) Si la altura del agua solo debiera debie ra llegar a las tres quintas partes de la altura de la pecera, ¿cuántos baldes serían necesarios? necesari os? 4) Ángel quiere colocar dos rocas rocas de adorno, la primera de 800 cm3 y la segunda de 700 cm 3. ¿Cuántos baldes de 11 litros de capacidad serán necesarios ahora para llenar la pecera manteniendo la distancia di stancia libre de 5 cm?
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¡Tamales, ¡T amales, casera! Maricarmen ha sido invitada a parcipar en MISTURA 2012 porque prepara los mejores tamales de todo Supe. La receta secreta, que ha pasado de generación en generación, rinde cuatro tamales. Los organizadores han dado la siguiente información: - El número de asistentes a las tres fechas pasadas de MISTURA que
Mistura 2010
Mistura 2011
400
1600
6400
Receta (4 tamales)
Ingredientes: 1 1 4 kg choclo desgranado 200 g cebolla 50 g culantro 2 ajíes verde 1 cucharadita de ajo molido 150 g de manteca Sal, pimienta
compraron tamales son: Mistura 2009
- Asisrán un total de 30 vendedores de tamales.
Maricarmen desea tomar una mejor decisión acerca de qué candad de ingredientes debe comprar para atender a los concurrentes de MISTURA 2012. Maricarmen ha solicitado tu apoyo y el de tus compañeros. Desarrollen las sig uientes acvidades y defnan la candad de ingredientes necesarios:
1) Si quintuplican la receta, ¿para cuántos tamales alcanzará?
6) ¿Qué relación hay entre la candad de insumos de la receta y el número de tamales?
2) ¿Qué deben hacer para calcular los ingredientes necesarios?
7) Completen la tabla como corresponda: 1 receta
3) Reexionen si los datos que se dan en el enunciado son sucientes para encontrar lo que se pide.
4 tamales
recetas
tamales
receta 1 tamal
8) ¿La candad de insumos de cuántas recetas necesitas para preparar el número total de tamales requeridos?
4) ¿Cuál sería una buena esmación del número número de compradores de tamales en MISTURA 2012?
9) ¿Qué candad de ingredientes necesita Maricarmen para atender a los concurrentes de MISTURA 2012?
5) Pónganse en el caso de que hay 30 vendedores de tamales. Decidan el número de estos productosExpliquen que se deben deb enqué preparar para atender a los posibles comensales. por eligen ese número.
10) ¿Crees que la matemác matemáca a ha ayudado a que Maricarmen tome una mejor decisión?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la conversión de unidades. En nuestra vida, necesitamos elegir las unidades para medir adecuadamente diversos objetos, así como para realizar comparaciones, estimaciones y aproximaciones. Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
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Decisiones bien medidas
Una gira otoñal La familia Rodríguez toca música folclórica desde hace 20 años. Este otoño, ellos desean realizar una gira desde Mapacá hasta Mapallá. Un guía turísco les dio este plano, en el cual se observan las distancias entre varias ciudades que podrían visitar. visitar. Carhui
Tumbo
Apata
Mapallá
Mapacá
Wari
Cala
Oruno
1) ¿Qué distancia hay de Apata a Wari? 2) ¿Qué distancia hay de Apata a Cala pasando por Wari? 3) Si desean visitar tres pueblos y recorrer la distancia más próxima a 220 km en la ruta de ida, ¿por qué pueblos pasarán?
4) La familia se decidió por una ruta desde Mapacá a Mapallá de 194 km. ¿Por qué pueblos pasarán?
5) ¿Cuántos kilómetros hay entre Mapacá y Mapallá si se viaja a través de Wari, Cala y Oruno? 6) Reexiona y responde: ¿Para resolver los problemas anteriores, qué conceptos matemácos has empleado?
7) ¿Cuál es la ruta de mayor distancia para ir a Mapallá: Apata, Tumbo, Carhui o Wari, Cala, Oruno?
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Envasando canchita Estela quiere hacer dos recipientes sencillos para colocar la canchita que vende. Para ambos uliza cartulina blanca y les da la forma de tubos. Las dimensiones de cada hoja de cartulina son 12 cm por 0,18 m. Estela pegó los tubos a las bases circulares de cartón con cinta adhesiva, formando los recipientes A y B como se observa en la figura. ¿Qué recipiente contendrá más canchita? Nota:
π = 3,14
1) ¿Qué elabora Estela? 2) ¿Qué formas geométricas tendrán los recipientes? 3) Describe con qué material construirá estas formas. 4) ¿Qué es lo que te piden? 5) Adelanta una respuesta con una esmación.
1) ¿Qué fórmulas recuerdas acerca de estas formas geométricas? 2) ¿Cuál de estas fórmulas crees que te servirá para responder la pregunta?
1) ¿Cuál es la circunferencia y la altura del recipiente A?
4) ¿Cuál es el radio del recipiente B? Redondea a décimas. 5) ¿Qué fórmula usarías para encontrar el volumen de cada
2) ¿Cuál es la circunferencia y la altura del recipiente B?
3) Puedes encontrar el radio de cada recipiente mediante la fórmula r = l , donde l es la longitud de la circunferencia. circunferencia. 2π o
o
recipiente? ¿Por qué?
6) ¿Cuál de los recipientes conene más canchita? Explica.
¿Cuál es el radio del recipiente A? Redondea a décimas.
1) ¿T ¿Tu u esmación coincidió con la respuesta?
4) Si la hoja de cartulina hubiese sido cuadrada, ¿qué hubiese pasado con los recipientes?
2) Describe las estrategias que te sirvieron para resolver este problema. 3) Si un grano de canchita ca nchita ocupa, aproximadamente, 3 1/8 cm , ¿cuántos granos de canchita entrarán en el recipiente A y cuántos en el recipiente B?
5) Crea un problema con las caracteríscas del problema presentado.
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Las estatuillas Mercedes y su papá fueron al Museo de Arqueología el úlmo sábado. En un sector del museo, se encontraban cuatro estatuillas hechas de piedra de Huamanga. Cada estatua tenía símbolos grabados que mostraban su peso. En un costado, se encontraba un pergamino con algunas de
El huama, el seto , el wipi y y el qui eran unidades de peso para la civilización chihuán . • 1 seto (S) (S) pesa lo mismo que la suma de 1 huama y 1 wipi . • 1 huama (H) pesa lo mismo que la suma de 1 wipi y y 1 qui . • 2 wipis (W) pesan lo mismo que 1 qui .
las equivalencias de los pesos. Uliza esta información para obtener el peso de cada estatua en gramos.
• 1 qui (Q) (Q) pesa 14 gramos.
1) ¿Qué encuentran en el museo Mercedes y su padre?
1) ¿Cómo puedes p uedes escribir en lenguaje len guaje matemáco las equivalencias dadas en el pergamino?
2) ¿Qué signican las palabras: huama, seto, wipi y qui?
3) ¿Qué te dicen acerca de estas unidades? ¿Están relacionadas? 2) ¿Hay alguna relación con una unidad de medida que conozcas? 4) ¿Qué es lo que quieres saber?
3) ¿Es posible combinar las equivalencias para descubrir cada una?
1) Escribe, en forma de ecuación, cada relación de peso. Uliza la letra correspondiente para cada unidad.
2) ¿Hay una ecuación con Q y una letra más? hallar el valor de otra medida en gramos.
4) A parr de las ecuaciones, ¿cuántos gramos hay en un seto, un huama y un wipi?
Ulízala para
3) ¿Hay alguna ecuación con Q, W y otra letra más? Ulízala para hallar el valor de H en gramos.
5) Encuentra el peso de cada estatua en gramos.
1) Describe la estrategia que te sirvió para resolver reso lver este problema.
4) ¿Cuál será el peso en huamas?
2) La estrategia empleada se puede aplicar en otros problemas. problemas. ¿De qué po? 3) ¿Cuál es el peso de las estatuas en wipis?
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5) Si no te hubieran dado alguna de las equivalencias, ¿se habría podido resolver el problema? Explica.
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Decisiones medidas Un arquitecto presenta a su cliente cinco planos diferentes para un proyecto de jardín en su terreno rectangular, que mide 12 m de largo por 8 de ancho, donde las líneas connuas representan la cerca que debe ser construida para proteger las ores. Las regiones claras son todas rectangulares y de las mismas dimensiones en cada plano. El po de cerca es el mismo en todos los casos. ¿En qué proyecto el costo de construcción de la cerca será mayor?
I
II
III
IV
V
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvida des y resuelvan el problema:
1) ¿Interesa conocer el área o el perímetro pe rímetro de cada gura?
9) Si los rectángulos en blanco de la gura III enen 3 m de base y 4 m de altura, ¿cuánto medirá la cerca?
2) ¿Qué longitud ene la cerca en I?
10) ¿Cuál de las cercas mide más de d e 40 metros?
3) En II faltan algunas medidas, ¿son necesarias para pa ra calcular la longitud de la cerca?
11) Reexionen en equipo la razón por la cual la cerca III ene más de 40 metros de longitud.
12) Completen esta tabla respecto a lo que miden las cercas para cada proyecto.
4) ¿Cuánto mide la cerca en el caso II?
Proyecto
5) Para determinar la longitud longit ud de cerca en IV, representamos con a y b dos de las medidas. Completen las demás.
Miden menos de 40 m Miden 40 m
a
Miden más de 40 m b 13) El costo de cada cerca depende, esencialmente, de la longitud de la cerca. ¿A cuál de los proyectos corresponde un costo mayor? ¿Por qué?
a
7) Ulicen la gura anterior y calculen la l a longitud de cerca ce rca en IV. IV.
8) Ulicen un razonamiento parecido al de la pregunta 5 y determinen la longitud longi tud de la cerca IV.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con medidas que son importantes para calcular tiempo, masa, capacidad y longitud en sistemas convencionales (cinta métrica, regla, etc.) o no convencionales (pie, mano, etc.). Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy Mu y in inte tere resa sant ntes es..
Inte In tere resa sant ntes es..
Poco Po co in inte tere resa sant ntes es..
Nada Na da in inte tere resa sant ntes es..
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La geometría de los mínimos
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El dilema de María Todos los días, María ene que atravesar parte del desierto de Ica para llegar su enda de su trabajo. gran difcultad esFelizmente, cargar con el agua quearequiere para diaria Una labor de excavación. ha descubierto un río recto muy cerca de su centro de operaciones, donde puede aprovisionarse de agua. ¿En qué punto P del río debe aprovisionarse de agua para hacer el recorrido más corto hacia su enda de trabajo?
1) En tu cuaderno, usando un transportador y una regla, haz un dibujo a escala de la situación. (Escala = 1 cm : 100 m).
2) Señala en tu dibujo diversas posiciones de P, tales que CP = 100 m, 200 m, 300 m, ... , 1200 m. 3) Usa tu dibujo a escala y una regla para esmar la distancia total que María debe recorrer cuando P es escogido exactamente en C. 4) Registra tu esmación en cada fla de la tabla adjunta, donde CP = 0. En cada caso, mide la distancia AP + PB; además, usa el transportador para medir el ángulo 1 (ángulo con el que llega al río) y el ángulo 2 (ángulo con el que deja el río) y registra tus resultados en la tabla adjunta. CP
AP AP
PB
AP +PB
Ángulo de entrada
Ángulo de salida
0
100 200 300 400 500
600 700
800 900
1000 1100 1200
5) De la tabla anterior, esma cómo debería elegirse P para hacer que AP + PB sea la distancia más corta posible.
6) Reexiona y responde: ¿Cómo deberán ser los ángulos de entrada y de salida cuando AP + PB es el mínimo posible?
7) Compara tus conclusiones anteriores con las de tus demás compañeros.
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La hormiga golosa Una hormiga se encuentra a 3 cm del borde de un recipiente cilíndrico, en su parte exterior.. Al otro lado, en el punto diametralment exterior diametralmente e opuesto y dentro del recipiente, hay una gota de miel. La hormiga desea llegar a la miel recorriendo el menor trayecto trayect o posible. ¿Cómo puede hacerlo? ¿Cuánto mide ese trayecto? Nota: El cilindro ene 20 cm de circunferencia y 30 cm de altura.
1) ¿Quién parcipa en esta historia?
1) ¿Es posible hacer el cálculo en el espacio?
2) ¿Dónde se encuentra la hormiga? 3) La miel se encuentra en un punto “diametralmente opuesto” al que ocupa la hormiga. ¿Qué signica esto?
2) Si cortas el cilindro como se muestra, ¿qué
forma
ene
la
supercie
obtenida?
3) ¿Crees que es conveniente desarmar
4) ¿Qué dimensiones posee el recipiente?
el cilindro y colocar los puntos en esta supercie plana? ¿Por qué?
5) ¿Qué desea hacer la hormiga? 6) El problema solicita so licita que la hormiga llegue lleg ue en “el menor trayecto”, ¿qué signica esto?
Este es el desarrollo del cilindro. En tu cuaderno, traza el gráco con las medidas señaladas, coloca las dimensiones y ubica: 1) El lugar donde se encuentra la hormiga. 2) El lugar donde se encuentra la miel. 3) Desde el punto en el que está la hormiga, dibuja dos trayectos para llegar a la miel. Mide con una regla. 4) Imagina que el borde superior es un espejo. Dibuja el punto punto en el que se reeja la hormiga. ¿Cuál es el menor camino entre el reejo de la hormiga y la miel? Trázalo. 5) ¿Cuánto mide este recorrido? Mídelo con una regla. 6) ¿Crees que puede haber un recorrido menor? Explica.
30 cm
10 cm 20 cm
1) Para resolver el problema, has empleado un procedimiento inusual. ¿Cuál es? 2) ¿En qué situaciones ulizarías tal procedimiento?
3) ¿Cuánto habría medido este recorrido si la altura del cilindro se hubiese reducido a la mitad y la circunferencia también; además, si la miel hubiese estado a 2 cm del borde? ¿Cómo cambiaría la respuesta?
4) Haz un modelo sico como si la hormiga se hubiera encontrado a 5 cm del borde en el problema anterior. Ubica los puntos y comprueba experimentalmente que tu respuesta es correcta.
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La araña y la mosca En la esquina de la base de una caja de zapatos abierta (que mide 40 cm de largo, 30 cm de ancho y 20 cm de alto), se encuentra una mosca muerta. En la esquina opuesta superior, está una araña. ¿Cuál es el camino más corto que puede escoger la araña para llegar hasta la mosca?
20 cm 20 cm
4 0 c m 30 cm cm
1) ¿Por dónde caminará la araña?
1) ¿Cuál es la longitud de un camino que va por los bordes de las paredes de la caja?
2) ¿Cuál es la distancia más corta entre los puntos donde se encuentran ambas? Explica. 2) ¿Has visto un problema parecido antes? 3) ¿Puede realizar la araña ese camino? ¿Por qué?
4) ¿Cuáles son las dimensiones de la caja?
3) ¿Crees que se puede ulizar algún método efcaz para resolverlo?
5) ¿Qué es lo que te piden en el problema?
1) Dibuja la planlla que dio origen a la caja de zapatos (desarrollo), reduciéndola a la quinta parte de su tamaño real, e intenta sobre ella varios caminos.
2) ¿Cuánto mide mid e el camino ca mino más corto? (Recuerda que has reducido el tamaño del desarrollo de la caja).
1) Describe la estrategia que más te sirvió para resolver el
4) Hacer un modelo sico del problema es conveniente, a veces, para resolver problemas de recorridos mínimos.
problema.
Construye un modelo sico. Hazlo a escala natural y traza el recorrido de la araña.
2) ¿Qué otra estrategia empleaste?
5) ¿Cuánto mediría el camino más corto si la araña solo hubiese podido caminar por las aristas de la caja?
3) ¿Puedes decir que este problema es análogo al de “La hormiga golosa”? ¿Por qué?
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La araña matemática En una pared vercal y a 5 dm del suelo hay una araña. En el suelo, pegada a la pared en la que se encuentra la araña y a 5 dm a la izquierda de la vercal de la araña, hay un borrador. Y a 7 dm de la pared y del borrador se encuentra, en el suelo, una mosca. ¿Cuál es la distancia mínima que ene que recorrer la araña para comerse a la mosca?
Con tus compañeros, realicen las siguientes acvidades y resuelvan el problema:
1) Describan las ubicaciones de la araña y la mosca.
2) Aparte de la araña y la mosca, ¿qué otro elemento importante se menciona en el enunciado del problema?
3) ¿Qué distancia recorrerá la araña si baja vercalmente, se desliza sobre el piso hasta el borrador y de ahí a donde está la mosca?
4) ¿Qué deben hacer para que el camino calculado en la pregunta anterior tenga menor longitud?
5) A connuación, se presentan dos grácos. En el primero ubiquen a escala el punto A (araña) y el punto M (mosca). En el segundo, a parr de la ubicación realizada, tracen la distancia del recorrido de menor longitud. ¿Cuál es la distancia del punto A al punto M?
6) ¿Por qué el recorrido medido en el esquema anterior es el de menor longitud?
7) ¿A qué punto de la intersección intersección del suelo con la pared se debe dirigir la araña?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con la optimización de trayectos sobre sólidos geométricos, que se utiliza tanto en el diseño como en la construcción de puentes, túneles y otros. Recordemos: al optimizar algo, estamos ahorrando tiempo y dinero. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He parcipado de forma
Fue aceptable.
Debo mejorar.
signicava.
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Medir para decidir
Los lotes cercados La familia de Rocío ene un campo de culvo. Con el n de separar los sembríos, desean dividirlo en cuatro lotes rectangulares -como se muestra en la gura-. Para hacerlo, quieren colocar un cerco alrededor de cada lote. Rocío quiere ayudar a su papá calculando cuántos metros de cerca necesitarán construir. construir. 100 m
50 m
m 0 5
m 0 2 1
100 m 1) ¿Cuántos metros de cerca necesitan para el lote I? 2) ¿Cuántos metros de cerca necesitan para el lote II? 3) Y para cercar el lote III, ¿cuántos metros requieren? 4) En cuanto al lote IV, ¿cuántos metros demandan? 5) ¿Cuál de los terrenos necesita más metros de cerca? 6) Si se deseara cercar de forma independiente cada lote, ¿cuántos metros se necesitarían en total?
7) El o Rubén dice que se podrían p odrían ahorrar metros de cerca si, en lugar lu gar de cercar cada lote rectangular, se aprovechara el cerco de aquellos lugares en los que colindan dos terrenos. Si se sigue el consejo del o, ¿cuántos metros de cerca serán necesarios?
8) Reexiona y responde. La mamá de Rocío quiere sembrar espárragos, para lo cual ha elegido el lote más grande. ¿En qué lote sembrará? ¿Qué área ene?
9) Reexiona y responde: ¿Qué es lo que importa cuando siembras algo: el contorno o la supercie de la región donde dond e se sembrará?
10) ¿Qué debería buscar la mamá de Rocío: mayor área o mayor perímetro?
11) ¿El terreno elegido coincide con el terreno de mayor perímetro? Explica.
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Resolvamos 1
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Vacas felices que no comen lombrices Una vaca está atada a la esquina de un granero con un pedazo de cuerda de 20 m de longitud -tal como se muestra en la gura-. El granero mide 20 m por 50 m. ¿Puedes calcular cuántos metros cuadrados de pasto ene la vaca a su disposición para comer?
50 m
20 m
20 m
1) ¿Qué forma ene el granero?
¿Cuáles son
sus dimensiones? 2) Si no exisese el granero y si la vaca estuviera atada a un punto P con la misma cuerda, ¿qué forma geométrica tendría la región disponible para pastar?
1) Establece un orden orde n secuencial secuencia l de procedimientos procedimi entos que realizarás para resolver el problema.
___) Modicar la fórmula ( ___ fórmula de acuerdo con las condiciones condiciones del problema.
( ___ ___) Calcular el valor valor del área.
___) Registrar los datos donde correspondan. ( ___
3) Considerando el granero, ¿qué gura hace la vaca al pastar y
( ___ ___) Hacer un gráco gráco que represente represente la situación.
mantener la cuerda tensa?
( ___ ___) Idencar una fórmula de una gura conocida que ayude a resolver.
4) ¿Qué guras geométricas reconoces reco noces en el problema? probl ema?
2) ¿Conoces alguna fórmula que te dé el área de la región si no estuviera el granero?
5) ¿Qué te solicita averiguar el problema?
3) ¿Cómo
modicarías esta
fórmula para resolver
el
problema?
1) Representa grácamente la situación problemáca y ubica
2) Calcula el área en el que puede pastar la vaca si no
los datos del problema.
exisera el granero. Nota: π = 3,14
3) Prolonga las líneas de las paredes del granero sobre el pasto. ¿Qué gura se forma?
4) ¿Cuántos metros cuadrados de pasto ene la vaca a su disposición para comer?
1) ¿Cuáles son las estrategias principales que te permieron hallar la solución del problema?
2) Socializa con tus compañeros. ¿En qué situaciones podemos aplicar las estrategias empleadas?
3) Crea un problema parecido con otras caracteríscas geométricas que puedas reconocer en tu entorno.
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Contar y medir para decidir Un carpintero metálico va a armar una reja con 32 hexágonos regulares de 0,5 m de lado, hechos con varillas. En el almacén hay un lote de varillas de 1,5 m de longitud. Si cada una de ellas cuesta S/. 6, establece el costo de la reja formada por los 32 hexágonos.
1) ¿Qué forma geométrica predomina en el problema? 2) ¿Cuántos hexágonos regulares se van a armar? ¿Cuáles son sus medidas? 3) ¿Cuánto mide cada varilla en el almacén y cuánto cuesta?
1) ¿Bastará con mulplicar las 6 varillas de un hexágono por el número requerido de hexágonos para obtener el total de
3) ¿Qué estrategia eliges para resolver el problema? problema? a) Ensayo y error
varillas?
b) Buscar regularidades c) Calcular directamente
2) ¿Es conveniente trabajar con todo el esquema o trabajar por partes?
1) Comienza por lo más fácil, busca una gura patrón que se repita. ¿Cuántos lados ene?
1) ¿Cuál es la estrategia que ulizaste para resolver el
problema?
2) Comprueba los resultados hallados, haz un conteo diferente diferente que conrme el total de varillas para formar los 32 hexágonos.
2) ¿Cuántas veces se repite la gura patrón?, ¿es exacto este número? 3) ¿Cuál es el total exacto de varillas de 0,5 m?
3) Repite la experiencia con 64 hexágonos de 1 m de lado. Si cada varilla de 1,5 m cuesta S/.6, determina el costo en
varillas.
4) ¿Cuál es el costo de las varillas?
100 10 0
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Remodelación del piso Se debe remodelar un piso de 8 metros de largo por 5 de ancho con losetas de cerámica. En la enda de estos productos hay disponibles losetas cuadradas de 10 cenmetros de lado cada una, pero también hay losetas cuadradas de 20 y 25 cenmetros de lado. En el orden indicado, los costos de este po de losetas son S/.1,20; S/.3 y S/.4,20, respecvamente.
S/.1,20
S/.3
S/.4,20
Según el po de losetas que se ulice, ¿cuál es el menor costo que puede tener la remodelación? Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:
1) Hagan una lista de precios de los pos de losetas.
Tipo
Lado
Precio unitario
A
9) Reexionen: ¿Es posible que al considerar el tercer po de losetas se obtenga un costo diferente a los ya calculados? ¿Sería mayor o menor? ¿Por qué?
B C
10) Calculen el costo si se ulizan las l as losetas de 25 cm de lado. 2) ¿Cuál es el área del piso que se va a remodelar?
3) Si ulizan las losetas de 10 cm, ¿cuántas necesitarán?
11) Completen este cuadro con las cantidades de losetas necesarias de cada tamaño y los costos. Utilicen el cuadro y decidan qué po de loseta conviene y el costo correspondiente.
4) ¿Cuál es el costo total si ulizan losetas de 10 cm? Tipo
N.° losetas
Costo unitario
Costo total
A
5) Si ulizan las losetas de 20 cm, ¿cuántas necesitarán?
B C
6) ¿Cuál es el costo total si ulizan losetas de 20 cm? c m? 12) ¿Qué estrategia ulizaron para resolver el problema? 7) ¿Hay alguna diferencia entre los dos costos totales que han calculado?
13) ¿Cuál es el precio del metro cuadrado de cada po de loseta?
8) Si solo estuvieran disponibles las losetas de 10 cm y 20 cm por lado, ¿qué tamaño convendría escoger? ¿Por qué?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el perímetro y el área de los polígonos. Estos conceptos geométricos se aplican en producción industrial, diseño publicitario, arquitectura, topografía y otros. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma signicava.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Medimos las regiones y sus contornos
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Figuras isoperimétricas Se dice que dos fguras son isoperimétricas si enen el mismo perímetro. Aquí te mostramos un papel con puntos, donde la distancia entre dos puntos adyacentes, horizontal o vercalmente, es 1 cm.
1 2
4 3
5
6 7
8
1) ¿Cuántas fguras reconoces?
5) Reexiona: “Se dice que dos fguras son isopérimetricas si enen el mismo perímetro“. ¿Reconoces estas fguras en el gráfco? ¿Cuáles son?
2) Llena la siguiente tabla, registrando las fguras en orden de menor a mayor perímetro. Figura
Perímetro de la fgura
6) Dibuja una fgura con un perímetro mayor a 20 cm. Puedes unir puntos adyacentes solo horizontal o vercalmente.
3) ¿Cuánto mide la fgura de mayor área?
4) ¿Cuánto miden las fguras de menor meno r área?
102 10 2
Resolvamos 1
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El campo deportivo El colegio ha comprado un terreno para ulizarlo como campo deporvo. La gura muestra una vista aérea de la supercie adquirida y las mediciones que se hicieron. El director desea cercar el área con malla de alambre, dejando libre la entrada. La malla ene un ancho de 80 cm y el metro lineal de este este material cuesta S/.8,50.
18 cm Zona Resevada 3 cm
ENTRADA
m c 1 2
¿Cuántos metros lineales de malla serán necesarios para cercar el campo deporvo? 42 cm
1) ¿Qué desea hacer el director?
3) ¿Qué datos no son necesarios para responder?
4) ¿Qué condiciones existen?
2) ¿Qué signica el dato del ancho de la malla?
5) ¿Qué pasa con la entrada?
1) ¿Qué formas geométricas elementales forman el terreno? terreno? 3) ¿Qué necesitas para calcular el largo de la cerca?
2) Como deseas cercar el terreno, ¿qué noción matemáca has previsto utilizar? a) Área del terreno b) Perímetro del terreno c) Volumen del terreno
1) ¿Cuál es el ancho de la zona reservada? Coloca Col oca esta medida en el gráco.
3) Sin contar la entrada, suma las medidas que bordean el campo deporvo.
2) ¿Puede conocerse su largo?
4) ¿Cuántos metros lineales de cerca necesitas para cercar el campo deporvo?
1) ¿Qué estrategias te sirvieron para resolver el problema?
5) En la siguiente gura, ¿es posible calcular calcula r el área del terreno sombreado? Explica.
2) ¿Cuánto costará cercar el terreno? 3) ¿Fue necesario tener las medidas que no fueron señaladas en el plano para resolver el problema? Explica.
4) A parr del enunciado, ¿qué otras medidas puedes invesgar?
6) ¿Cuál es el perímetro de la gura sombreada?
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La plaza del pueblo
Propuesta 1
Se ha decidido la construcción de la nueva plaza del pueblo de Chimbote. El alcalde ha contratado un gran diseñador, quien ha presentado dos propuestas para el proyecto. Estas se han dado a conocer a la población para que los ciudadanos elijan una opción. La mayoría de la gente desea tener mayor candad de áreas verdes.
100 m
100 m
100 m
¿Cuál de las dos propuestas recomendarías que se hiciera y por qué?
1) ¿Acerca de qué hay que decidir?
Propuesta 2
100 m
3) En los planos, ¿qué secciones son para áreas verdes?
4) ¿Qué nociones matemácas están relacionadas con este problema?
2) ¿Qué desean los pobladores?
1) ¿Qué guras reconoces en la primera pri mera propuesta?
3) Si descompones el área y la recompones, ¿variará el área desnada a jardines?
2) ¿Conoces alguna fórmula hallar el área de la región sombreada, en el caso de lapara primera propuesta?
4) ¿Qué guras reconoces en la segunda propuesta?
Propuesta 1
Propuesta 2
1) En la g. 1, muestra cómo descompones la región sombreada.
1) ¿Conoces alguna fórmula para calcular el área de la región que no está sombreada? Calcula esta área.
2) Recompón esta región en la gura gu ra 2.
2) ¿Cuál será el área de la región sombreada?
Fig.1
3) ¿Cuál de las dos propuestas recomendarías que se llevara a cabo? Explica.
Fig. 2
3) Calcula ahora el área de d e la región sombreada.
50 m
1) ¿Qué estrategias te fueron úles para tomar la decis ión?
2) Observa el nuevo diseño que se presenta a connuación y calcula cuál será el área verde, a parr de tu experiencia.
104 10 4
50 m
m 0 5
m 0 5
Resolvamos 1
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Las guirnaldas
Tipo
Para la esta de aniversario del colegio, se quiere adornar con guirnaldas cada uno de los salones y paos. El grupo de primer grado de Secundaria se encargará de producir la candad necesaria. Para ello cuenta con un presupuesto de S/.200. El cuadro muestra el po de guirnalda que se ulizará para cada espacio.
¿Dónde se usarán?
Figura 5 cm
15 cm
Espacio entre fguras
Costo de papel
2 cm
S/.2 por m2
4 cm
S/.2,50 por m2
5 cm 5 cm
Criolla
Salones
15 cm
5 cm
20 cm
10 cm Fesvalera
Pao
5 cm
Con tus compañeros, invesguen el costo del material necesario para la elaboración de las guirnaldas.
5 cm
8 cm
1) ¿Qué concepto matemáco está relacionado con el costo del material? a) número de lados b) área c) perímetro
2) ¿Conocen alguna fórmula para encontrar el área de la guirnalda criolla?
7) ¿Cuál será la longitud de una guirnalda que tenga 100 guritas criollas?
3) ¿Pueden descomponer la gura en cuatro rectángulos y dos triángulos? Demuestren cómo hacerlo. 5 cm
15 cm
8) Realicen una invesgación similar para averiguar cuál es el costo de hacer 350 guritas fesvaleras.
5 cm 5 cm
15 cm
5 cm
4) ¿Es la única manera de calcular el área? 20 cm
10 cm
¿Cuál es el área?
5 cm
5) ¿Cuánto materialcriolla? se necesitará para hacer 500 guras del po de guirnalda
5 cm
8 cm
6) ¿Cuál será el costo si se desea elaborar 500 figuras del tipo de guirnalda criolla?
9) ¿Qué porcentaje del presupuesto fue ulizado en hacer 500 guritas criollas y 350 guritas fesvaleras?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas que involucran áreas y perímetros. Estos conceptos geométricos nos permiten administrar mejor el espacio en el que vivimos. viv imos. Se aplican en el cálculo de distancias, longitudes de cercas, mediciones de terrenos y otros. Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
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Estadísticas que nos
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hacen pensar
Buenos diseños, buenas ganancias Antonia es dueña de una empresa de confección de chompas conformada por diez trabajadores. En el cuadro, se muestran los salarios de cada uno de ellos en este año.
Nombre
Salario (S/.)
Carlos Casllo
3400
Rubén Pinto Luis Condori
3100 3000
Elmer Huaringa
3200
Carola Panta
2800
Wimer Sangama
3200
Benita Culqui
2900
Edgar López
3300
Luis Romero
3100
Jorge Castro
3200
1) Calcula la media, la mediana y la moda de estos salarios.
Cuáles de las medidas mencionadas da respuesta a las siguientes preguntas: 2) ¿Cuál es el valor del salario que se ubica en medio de los sueldos mínimo y máximo de los trabajadores? ¿Cuál es la medida de tendencia central correspondient correspondiente? e? 3) ¿Cuál es el salario sala rio y la medida más frecuente? Antonia no está contenta. Después de medio año, su empresa todavía no ha conseguido posicionarse en el mercado. Ello debido a la escasa creavidad en los l os diseños de las chompas. Para reforzar reforzar el equipo, convence a un famoso diseñador para que se integre a su empresa. Sin embargo, Antonia ene que pagarle S/.15 000 mensualmente por la mitad restante del año. 4) Calcula la media, la mediana y la moda de los salarios por año del nuevo equipo de once trabajadores.
Nombre
Sueldo (S/.)
Desviación respecto al promedio
Carlos Casllo Rubén Pinto
5) ¿Cómo han cambiado estas medidas? Comenta este cambio.
Luis Condori Elmer Huaringa Carola Panta
6) Reexiona y responde: ¿Qué conceptos estadíscos has empleado? ¿Para qué los has usado?
Wilmer Sangama Benita Culqui Edgar López
Luis Romero Jorge Castro Nino Taipe 7) Antonia se da cuenta de que los salarios de sus anguos trabajadores son demasiado bajos y
ha decidido aumentarles. ¿Qué
datos podría ulizar?
106 10 6
Resolvamos 1
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El taller
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Mario es dueño de un taller de reparación de mototaxis. En su taller trabajan nueve personas: 4 mecánicos, 3 técnicos calicados, 1 supervisor y 1 ingeniero (el dueño). Sus sueldos mensuales, sin contar el de Mario, son los siguientes: Cargo
Sueldo (S/.)
Mecá Me cáni nico coss
Téc écni nico coss ca cali lifc fcad ados os
Supe Su perv rvis isor or
900
1020
1200
Halla la media, la mediana y la moda. Explica cuál de estas tres medidas podrías ulizar, en los siguientes casos: a) El dueño quiere demostrar que se paga bien en su taller. b) Los trabajadores quieren organizar un sindicato para demandar el aumento de sus salarios al dueño.
1) ¿Cómo se dividen las nueve personas que trabajan en el taller?
3) ¿El sueldo depende de la calicación? Explica.
2) ¿Qué diferencia hay entre un mecánico y un técnico calicado? cali cado?
4) ¿Por qué se pide calcular la media, la l a mediana y la moda?
1) La media, la mediana y la moda son medidas que no dan la misma información i nformación sobre el grupo. Explica por qué.
2) ¿Qué medida conviene usar en cada caso?
1) Calcula la media, la mediana y la moda.
5) ¿Qué quieren demostrar los trabajadores?
2) Ordénalas de menor a mayor.
6) ¿Cuál medida deben ulizar?
3) ¿Qué quiere demostrar el dueño?
7) ¿Qué opinas tú? ¿Cuál de las tres medidas representa mejor a la población del taller?
4) ¿Cuál de las medidas debe ulizar?
1) Si el dueño introduce su sueldo de S/.8000, ¿cómo se alteran las medidas?
2) Estas medidas, ¿reejan ahora a la población? ¿Por qué?
3) ¿Qué población consideras que es más homogénea? Población 1: Los mecánicos, técnicos y supervisores. Población 2: Los mecánicos, técnicos, supervisores y el dueño.
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El dilema de la maestra
10 107 7
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La maestra de Matemáca del primero “C” dice: “Este año mis alumnas han tenido una mediana menor que la del año pasado y mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño respecto al año pasado. Pero, tal vez, no sea necesario preocuparme, porque la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior” anterior”.. ¿Es verdad lo que ella dice? ¿Cuál es la explicación? ¿Debería ella preocuparse? Las calicaciones sobre cien puntos fueron: 2011
2012
Mujeres
95,, 90, 95 90, 85 85,, 80, 80, 80 80,, 70, 70, 70 70,, 65 65
100, 10 0, 90 90,, 85, 85, 85 85,, 80, 80, 65
Varones
85,, 80, 85 80, 70 70,, 65, 65, 55
85,, 80, 85 80, 75 75,, 75, 75, 75 75,, 75, 75, 70 70,, 70, 70, 60
1) ¿Qué enendes por mediana?
4) Según la maestra, ¿cómo han salido los varones?
2) ¿Qué está comparando la maestra?
5) ¿Qué deseamos conocer?
3) Según la maestra, ¿cómo han salido las mujeres?
1) En lo expuesto por la maestra, intervienen conceptos matemácos como la mediana. Debemos y luego
1) Calcula las medianas en las cuatro poblaciones. Organízalas en la tabla: Mediana
Mediana
2011
2012
4) A connuación, se ha dividido la frase de la maestra en partes; ahora analiza su veracidad: V
F
“Este año mis alumnas han tenido una media na menor que la
Mujeres
del año pasado (…)
Varones
(…) mis alumnos no tuvieron un mejor desempeño respecto al año pasado. (…)
2) ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2010? (…) la mediana de la clase entera es más elevada que la del año anterior”.
3) ¿Cuál fue la mediana de toda la clase en el 2011?
5) ¿Se debe preocupar la maestra? Explica.
1) ¿Qué te confundió al inicio del problema?
3) ¿La mediana es una buena representante de la población?
2) ¿Cómo saliste de este bloqueo? 4) ¿Cuándo cumple con esta función?
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Usuarios de correo y las redes sociales
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Una empresa de marketng recogió datos de cuentas de correo web de usuarios con direcciones @axl.com, @mailexpress.com, @freemail.com y @cashmail.com. La muestra conene a 2000 usuarios por cada cuenta de correo, totalizando 8000 cuentas evaluadas. Luego examinó la pertenencia a redes sociales de los usuarios y también consideró el número de amigos. L A I C O S D E R E D L I F R E P N O C S O I R A U S U
35 % 32 %
O I R A U S U R O P S O G I M A E D A I D E M
29 %
30 %
Homebook
25 % 22 %
20 %
21 %
MyPlace
15 %
Friends
10 %
CienciaLink
5% 0% Axl
Mailexpress
Freemail
47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36
Cashmail
46 % 44 % 42 % 40 %
Axl
Mailexpress
Freemail
Cashmail
Esta información se ha representado en los grácos, que emplearemos para precisar algunos resultados cuantavos cuantavos de interés. Con tus compañeros, respondan las siguientes preguntas y resuelvan el problema:
1) ¿Cuál es la red social preferida por los usuarios de las cuatro cuentas de correo? ¿Qué gráco ulizaron?
6) Alguien arma que del primer pri mer gráco se deduce que por cada 4 usuarios de freemail que enen homebook, uno posee friends. ¿Tiene razón? ¿Por qué?
2) ¿Qué red social es la segunda más preferida?
3) Para saber cuántos de los usuarios de mailexpress se encuentran en homebook, ¿qué gráco hay que ulizar?
4) ¿Cuántos usuarios de mailexpress enen homebook?
7) ¿De qué cuenta de correo son los usuarios que enen más amigos? ¿Qué gráco ulizaron?
8) Si tuvieran amigos en todos los correos mostrados y quisieran enviar un mensaje para que se divulgue a la mayor candad de personas, ¿qué cuentas elegirían?
5) Del total de usuarios encuestados, aproximadamente, ¿cuántos enen cuenta en homebook?
9) En promedio, ¿cuántos amigos ene un usuario de las cuentas de correo examinadas?
10) Si todos los amigos de los que enen ene n freemail y friends fuesen disntas personas, ¿cuántos amigos formarían la subred de usuarios de freemail con friends?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con promedio aritmético simple y ponderado, mediana y moda. Ellos, bien utilizados, constituyen un indicador útil para conocer las características estudiadas en los grupos conformados por poblaciones, consumidores, televidentes, cibernautas, etc. Autoevaluación ¿Qué me han parecido las tareas de esta acvidad?
Muy Mu y in inte tere resa sant ntes es..
Inte In tere resa sant ntes es..
Poco Po co in inte tere resa sant ntes es..
Nada Na da in inte tere resa sant ntes es..
Cuaderno de trabajo 10 109 9
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Los promedios de por medio
El docente del año Los estudiantes de primer grado de la IE El Pionero quieren otorgar el tulo de “Docente del año” a uno de sus profesores o profesoras. profesor as. Para dicha elección, han considerado cuatro criterios: Metodología de enseñanza, Buen trato, Manejo de información actualizada y Promoción de la parcipación de los estudiantes. Cada uno de los criterios se calicará de 1 a 20. Además, les han asignado un peso de acuerdo con su importancia. La tabla muestra la calicación de cada uno de los cuatro profesores nalistas. nalistas. ¿Cuál de ellos será elegido “Docente del año”? Criterios Docentes
Metodología de enseñanza
Manejo de información
Buen trato
actualizada
Promoción de la parcipación
Diana
12
16
14
11
Mariano
15
13
15
16
Lorena
17
12
16
15
Lucas
16
11
13
14
Los pesos que los estudiantes han asignado a cada criterio son: son : Criterios
Peso
Metodología de enseñanza
5
Buen trato
2
Manejo de in información ac actualizada Promoción de la parcipación
3 4
1) ¿Qué signica que a Metodología de enseñanza se enseñanza se le asigne 5 y a Buen trato, 2?
6) ¿Quién obene mayor promedio ponderado? ¿Se ajusta al perl que desean los estudiantes?
2) ¿Cuál es el promedio aritméco simple de Diana, Mariano, Lorena y Lucas?
7) Reexiona y responde: ¿Qué medida te da más información informaci ón para decidir: el promedio simple o el promedio ponderado? po nderado?
3) ¿Quién obene mayor promedio? ¿Se ajusta al perl que desean los estudiantes?
8) Algunos estudiantes propusieron que se debía considerar el Trabajo en equipo docente con un peso 4. Para este nuevo criterio los estudiantes asignaron las siguientes notas a sus profesores:
4) ¿Por qué los estudiantes no deberían ulizar el promedio aritméco simple para decidir?
Diana
Mariano
Lorena
Lucas
12
15
16
11
¿Qué profesor obtuvo el mayor promedio ponderado? 5) ¿Cuál es el promedio ponderado ponde rado de Diana, Mariano, Lorena y Lucas?
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Llegar temprano Gonzalo va todas las mañanas a su colegio en un medio de transporte que pasa cerca de su casa, por lo que llega
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rápidamente al paradero. Este medio lo lleva al colegio en un empo de 25 a 40 minutos, dependiendo del tráco. Gonzalo desea saber a qué hora debe salir de su casa para llegar temprano a su escuela. Para ello, durante dos semanas, ha tomado nota del empo que demora en llegar al colegio dicho transporte. Las clases comienzan a las 9:00 a. m. Miér Mié rco cole les s
J ue ue ve ve s
V ie ie rn rn es es
35 min
29 min
30 min
40 min
28 min
28 min
25 min
30 min
S e ma n a
Lunes
Martes
Primera
30 min
Segunda
29 min
¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?
1) ¿Qué quiere lograr Gonzalo?
3) El primer viernes demoró 40 minutos. ¿Crees que debe salir 40 minutos antes? ¿Por qué?
2) ¿Por qué crees que Gonzalo tomó los empos empo s por más de un día?
4) El segundo jueves demoró 25 minutos. ¿Crees que debe salir 25 minutos antes? ¿Por qué?
1) Para que Gonzalo sepa a qué hora debe salir para llegar temprano a la escuela, ¿qué información necesita?
2) ¿Qué indicador matemáco conoces que pueda representar a un conjunto de datos?
1) ¿Cuánto empo emplea Gonzalo en transportar transportarse se en esas dos semanas?
3) ¿Cómo debe interpretar Gonzalo este resultado?
2) ¿Cuánto empo emplea por día?
4) ¿A qué hora debe salir Gonzalo de su casa para llegar temprano?
1) ¿Qué empo se repite más en las dos semanas? ¿Consideras que este número puede ser un buen indicador?
2) Si ordenas los empos del mayor al menor y tomas el promedio de los centrales, ¿qué signicado ene este resultado?
3) Imagina que Gonzalo demora d emora en llegar al paradero 4 minutos y que qu e el transporte llega con un retraso de 4 a 7 minutos. mi nutos. ¿Cómo afectan estas condiciones a la respuesta del problema?
Cuaderno de trabajo 111
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Promedios inmobiliarios El distrito de Collo ene dos barrios: barri os: Villa Mar, de 100 casas, que ene un promedio de 5 habitantes por vivienda; y Buenavista, de 300 casas, que ene un promedio de 1 habitante por casa.
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¿Cuál es el promedio de habitantes por casa en este distrito?
1) ¿Qué información te da el texto?
2) ¿Los barrios enen la misma candad de casas?
3) ¿Qué te solicita el problema?
1) ¿Puedes decir que el número promedio de habitantes habitantes por casa en el distrito de Collo es (1 + 5)/2 = 3? 2) ¿Qué po de promedio usarás para calcular cal cular el promedio conjunto?
1) Completa la siguiente tabla para organizar la información:
3) ¿Cuántos habitantes ene en promedio Buenavista?
Barrio
N.° de casas
Habitantes /casa
4) ¿Cuántos habitantes hay en total en el distrito?
Villa Mar
5) ¿Cuántas casas hay en total en el distrito?
Buenavista
2) ¿Cuántos habitantes en promedio ene Villa Mar?
6) ¿Cuántos habitantes por casa en promedio hay en el distrito?
1) Describe la estrategia que te permió resolver el problema.
Can Ca nda dad d
Prom Pr omed edio io de de edad edad
Varones
2) ¿Qué barrio puedes decir que es el más denso?
Mujeres Total
Promedio:
3) Uliza los métodos aprendidos para resolver las siguientes situaciones: En un grupo de 18 varones y 12 mujeres, el promedio promedio de edades de los varones es 16 y de las mujeres es 14. ¿Cuál es el promedio de todo el grupo?
El promedio de 20 candades es 40. Si agregamos a gregamos 5 candades, cuyo promedio es 20, ¿cuál es el promedio promedi o nal de la referida candad? Candad
Promedio
Números Números
Total Promedio:
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Conversando sobre notas En un momento de descanso, Nicolás y Julieta están charlando sobre las notas que tenían y sobre cómo cambiar su promedio del trimestre con la úlma prueba. Julieta:
Yo tenía 10, 14, 02 y 18. Con el 16 que saqué subí el 11 a 12.
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Nicolás:
¡Apruebo el trimestre! Yo tenía 08, 07, 02 y 16. No nos tendríamos que haber copiado en la tercera prueba y no tendríamos el 02. Ahora también saqué 16, pero, igual, no llego a aprobar aprobar.. De 08 subo a 9,8 y seguro que lo redondea a 10.
Se acercan Rocío y Juan Pablo que solo escucharon lo úlmo que dijo Nicolás. Juan Pablo:
Rocío:
Yo también tenía 4 notas, pero no me acuerdo cuáles eran y el promedio me daba 10. Ahora me saqué un 18. ¿T ¿Tendré endré 12 de promedio? Me parece que te sale 14 porque 10 y 18 son 28 y dividido por 2 da 14.
Todos se quedan callados pensando. Al rato Juan Pablo dice: Juan Pablo: Me parece que va a dar menos, porque el 10 era de cuatro notas y ahora saqué solo un 18.
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvida des y ayuden a los estudiantes a calcular su promedio:
1) Julieta primero mencionó cuatro notas, ¿cómo hizo para calcular su promedio?
5) Agreguen un 18 a cada uno de los grupos anteriores y calculen el nuevo promedio.
2) Julieta dijo que con el 16 subió a 12. ¿Cómo calculó esto?
6) Reexionen y calculen el promedio trimestral trime stral de Juan Pablo, a pesar de no recordar sus primeras cuatro notas. Expliquen el proceso.
3) ¿Cómo hizo Nicolás para calcular su promedio?
4) Juan Pablo no recuerda sus cuatro notas, pero sí su promedio. Inventen dos grupos diferentes de 4 notas de modo que ambos
7) En general, si como le pasó a Juan Pablo solo recuerdan su promedio anterior y cuántas notas tenían, ¿es posible calcular siempre el promedio nuevo? Expliquen.
den 10 de promedio.
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de promedios aritméticos (simple y ponderado), mediana y moda. Estas medidas se aplican para reconocer perles de grupos conformados por lectores, consumidores, consumid ores, amas de casa, entre otros. Autoevaluación ¿Cómo ha sido mi parcipación en el equipo?
Estuve sobresaliente.
He parcipado de forma signicava.
Fue aceptable.
Debo mejorar.
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La matemática sí cuenta
Esto sí combina Noelia ene en su guardarropa lo siguiente: 2 blusas rojas, 3 blusas negras, 2 faldas cortas, 2 faldas largas y 3 chompas, que combinan muy bien. Ella está pensando cómo va a ir a la esta de cumpleaños de su amiga Karen.
1) Organiza el guardarropa de Noelia en la tabla siguiente:
Tipo de ropa Blusas
8) Completa este diagrama con las formas que ene Noelia Noeli a para vesrse con 1 blusa negra y 1 falda corta.
Cantdad
B1
F1
Primera blusa y primera falda
F2
Faldas
Chompas F1 B2 2) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa roja? Represéntalas.
F2
3) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa negra? Represéntalas.
F1 B3 F2
4) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una blusa? Represéntalas.
9) Reexiona, ¿crees que hubiese salido el mismo número si se empezaba eligiendo las faldas? Explica.
5) ¿De cuántas maneras puede seleccionar una falda? Represéntalas.
6) Noelia dice que, como ene 3 blusas negras y 2 faldas cortas, hay 3 + 2 = 5 formas disntas de vesr con esta ropa. ¿Estás de acuerdo con ella? ¿Qué le dirías? 10) ¿De cuántas formas puede vesrse Noelia con blusa, falda y chompa? Completa:
Formas de
Formas de
Formas de
seleccionar
seleccionar
seleccionar
1 blusa
1 falda
1 chompa
Total de
7) ¿De cuántas formas puede seleccionar 1 blusa negra y 1 falda corta?
formas
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La red vial En la gura, se presenta la red vial de un servicio metropolitano en Humanópolis. Las líneas muestran las vías de los trenes, que van de ida y vuelta. ¿De cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B, sin retroceder en algún momento?
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3) ¿El número de cambios viales es importante? Explica.
1) ¿Qué muestra el plano?
2) Saliendo de A, ¿cuántos posibles caminos camino s se te presentan?
4) ¿Qué enes que averiguar?
1) ¿Crees que es bueno listar todas las formas posibles de ir desde A hasta B?
3) ¿Qué principios de conteo utilizarás para resolver este problema?
2) Si ulizas la primera vía, ¿de cuántas maneras puedes ir desde A hasta B?
a) Principio de la suma b) Principio de la mulplicación c) Ambos principios
1) Separa la red vial en tres y coloca el número de cambios viales vi ales que hay en cuanto aparezcan. Luego calcula calcul a el total de caminos para cada una de estas partes. Vías
Tra mo mo s 1
Tra mo mo s 2
N.° de formas para ir de A a B
2) ¿De cuántas maneras diferentes se puede pued e ir desde A hasta ha sta B, sin retroceder en algún momento?
1) ¿En qué parte de la solución del problema has tenido dicultad?
4) Si por la vía central solo se puede ir en viaje de ida y los trenes no pueden retroceder retroceder,, ¿de cuántas maneras diferentes se puede ir desde A hasta B y regresar a A, si el tren usa la primera vía en el tramo de ida?
2) ¿Cómo hiciste para superar la dicultad?
3) ¿Cuál es la estrategia que te permió resolver el problema?
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Enrique, el travieso Enrique está jugando en la escalera de su casa. El juego consiste en subir la escalera de diferentes maneras. Cada vez sube 1 o 2 escalones, como se le antoja. De un total de 12 escalones, el primero y úlmo miden 10 cm y los otros miden 15 cm. ¿De cuántas maneras disntas puede subir la escalera de su casa?
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1) ¿Cuáles son las condiciones de esta acvidad? 2) ¿Qué datos son irrelevantes? 3) ¿Qué solicita el problema?
1) ¿Cómo crees que se pueden contar todas las formas?
4) En una escalera de 4 escalones, dibuja dos formas de subir por el método de Enrique.
2) Contar para 12 escalones es muy largo, l argo, ¿qué tal si buscamos un problema más sencillo?
3) Si la escalera pudiera tener menos escalones, ¿cuántos elegirías?
1) Para subir una escalera de 1 escalón, escal ón, Enrique puede hacerlo de una forma. Para una escalera de 2 escalones, puede hacerlo de dos formas: Para una escalera de 3 escalones, puede hacerlo de formas. 2) Haz un diagrama de árbol para hallar de cuántas maneras puede Enrique subir una escalera de 4 escalones.
4) Organiza estos datos en la tabla adjunta. ¿Logras ver algún patrón en los números de la segunda columna?
N.° escalones
N.° formas
1
1
2
2
3
5)
¿Hay alguna relación entre dos o tres de esos números?
4 5
6
7
6) ¿De cuántas maneras diferentes puede Enrique subir la escalera de su casa?
3) En tu cuaderno otrohacerlo diagrama de árbol hallar de cuántas manerashaz puede Enrique con 5para escalones.
8
1) ¿Qué estrategia te sirvió para resolver el problema? 2) El siguiente problema, ¿es similar al a l de Enrique? Explica. Julio ene que pegar estampillas en un sobre por valor de S/.12. Solo dispone de estampillas de S/.1 y S/.2. ¿De cuántas formas disntas puede colocarlas en una hilera? 3) Redacta un problema similar al de Enrique.
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Un menú combinado Soa deseaba comper con los restaurantes vecinos que ofrecían menús diarios. Un amigo le comunicó que ella podría vender cientos de menús diferentes ofreciendo la posibilidad de combinar los platos. El sistema era sencillo: se ofrecería una variedad de entradas, segundos, postres y
LUNES
MARTES
MIÉRCOLES
JUEVES
VIERNES
Entrada
Papa rellena Ensalada mixta Cebiche
Ocopa Humita Salpicón de pollo
Tiradito Huevo a la rusa Ensalada César
Ocopa Atún Causa
Tamalito verde Ensalada rancho Choros a la chalaca
Segundo
Lomo saltado Carapulcra
Bistec c/arroz Cau cau
Tacu tacu Ají de gallina
Piña en almíbar
Suspiro limeño Pie de chirimoya
Gelana Flan
Lechón al horno Jalea
Arroz c/pollo Duraznos
Pata c/maní Tallarines rojos Seco de res Suprema c/papas Arroz c/leche
bebidas; el cliente podría formar su menú, eligiendo una opción de cada una de las categorías. La carlla muestra los diversos platos que Soa ofrece en una semana pica a sus comensales.
Postre
Bebidas
Manzana al horno
Helado Budín
Cocada
Leche asada Chifón de naranja
Arroz zambito
Chicha morada
Chicha morada
Chicha morada
Chicha morada
Limonada
Limonada
Limonada
Limonada
Té
Té
Té
Té
Café
Café
Café
Café
Chicha morada
Con tus compañeros, desarrollen las siguientes acvidades y resuelvan la situación planteada:
1) Un estudiante señala que el número de menús diferentes que Soa puede ofrecer el día lunes es: 3 + 2 + 4 + 4 = 13. ¿Es esto correcto? Expliquen.
5) Utilicen el método anterior para saber cuántos menús diferentes se pueden ofrecer el día martes.
2) Imaginen que el día lunes el restaurante solo ofrece: * Entrada: papa rellena, ensalada mixta, cebiche. * Segundos: lomo saltado, carapulcra. Hagan una lista que muestre todos los posibles menús que Soa puede ofrecer ese día.
6) Entre el lunes y el martes, ¿cuántos menús diferentes ha ofrecido el restaurante de Soa?
7) Realicen una explicación explicaci ón de los métodos que han ulizado, tanto grácos como numéricos. Traten de expresar estos métodos en un párrafo.
3) Elaboren un gráco que muestre cómo contar este número de posibles menús del día lunes. 8) Apliquen los métodos explicados y respondan: ¿Cuántos diferentes menús ofrece el restaurante restaurante de Soa en la l a semana?
4) Ahora, consideren el menú con sus cuatro categorías. ¿Cuántos menús diferentes pueden contar?
9) En la situación inicial, inic ial, si el restaurante de Soa ofreciera el día jueves las opciones siguientes: * Entrada: ocopa, humita, atún. * Segundo: bistec c/arroz, cau cau. * Postre: piña en almíbar, cocada. * Bebidas: chicha morada, limonada, naranjada. ¿Cuántos menús diferente diferentess podría ofrecer a la semana?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados relacionad os con los principios aditivo y multiplicativo. Estos son útiles, pues ayudan a contar casos posibles sin necesidad de enumerarlos todos. Autoevaluación ¿He colaborado en las tareas del equipo?
Realicé aportes muy relevantes.
He colaborado de forma signicava.
Mi colaboración fue aceptable.
Debo mejorar.
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Un mundo de incertidumbres
El lenguaje del azar Lee el siguiente texto y subraya en él algunos términos relacionados con el azar.
Completa las siguientes oraciones con los términos: seguro
muy probable
proba bab ble
poc oco o pr prob oba abl ble e
imposible
1) Que mañana llueva es
4) Que apruebe Matemáca es
2) Que pasado mañana tenga 24 horas es
5) Que tenga 250 hermanas es
3) Que tus padres te den S/.100 de propina es
6) Que cuando sea grande mida 1,70 m es
7) Escribe una nocia escolar en la que se empleen los términos probable, poco probable e imposible.
8) Busca ejemplos de sucesos aleatorios que puedas califcar con los siguientes términos: seguro
muy probable
proba bab ble
poc oco o pr prob oba abl ble e
imposible
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Probabilidad a ciegas Raisa ene una bolsa que conene al menos 20 bolitas, boli tas, que son rojas, blancas o azules. La probabilidad de seleccionar una bola roja de la bolsa es de 2/3. La probabilidad de seleccionar una bola blanca de la bolsa es de 5/18. Raisa sabe que hay exactamente 4 bolas azules en la bolsa. ¿Cuántas bolas rojas hay en ella?
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1) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa?
3) ¿Qué probabilidad te falta?
2) ¿Qué probabilidades te dan como dato?
4) ¿Qué te solicita el problema?
1) Sabes que al menos hay veinte bolas. Parece un problema de fracciones. ¿Qué representación ulizarías para responder?
2) ¿Cuánto deben sumar las probabilidades de todos los casos?
a)Diagrama lineal
b) Hacer una tabla c) Diagrama de árbol
1) ¿Qué parte o fracción de bolas son rojas o blancas?
5) ¿Puede haber 24 bolas en la bolsa?
¿Por qué?
2) ¿Qué parte o fracción de bolas son azules? 6) ¿Qué condición debe cumplir el número de bolas? 3) Haz un diagrama lineal que reúna las dos respuestas anteriores. Roja:
Blanca:
Azul:
7) ¿Cuántas bolas hay en la bolsa?
4) ¿Que fracción de bolas son verdes? 8) ¿Cuántas bolas rojas hay en la bolsa?
1) ¿Qué fue lo que te dio la pista?
5) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola roja o blanca?
2) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola y que esta sea roja, blanca o azul? 3) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola verde?
6) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola que no sea roja?
7) Si sacas una bola al azar y es azul, ¿cuál es ahora la probabilidad de sacar una bola roja?
4) ¿Por qué las fracciones referidas a la probabilidad deben sumar 1?
Cuaderno de trabajo
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Azarosa arquitectura Las rutas de salida hacia las puertas del centro comercial Inka Plaza se han diseñado como muestra el diagrama. En cada bifurcación, una persona ene la oportunidad de ir a la derecha o a la izquierda. Si al interior del centro comercial se encuentran 800 personas que van a salir al mismo empo, ¿cómo crees que será la distribución en cada una de las puertas A, B y C?
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1) ¿Qué muestra el diagrama?
3) ¿Qué supuesto enes que hacer?
2) Si entran 100 personas, aproximadamente, ¿cuántas se van por la izquierda?
4) ¿Qué enes que averiguar?
1) ¿Crees que diseñar un experimento te ayudará a entender? ¿Por qué?
3) Completa donde corresponda: El experimento aleatorio lo puedes diseñar con un dado de
2) ¿Cómo puedes diseñar el experimento, qué materiales
Toma el
el dado. Si sale par p ar,, tomas el camino de la Si sale , el camino de la derecha.
necesitarás?
1) Realiza el experimento varias veces. ¿Cuántas veces consideras que es suciente?
, cada vez que llegues a una bifurcación, lanza
3) Registra tus resultados en el organizador elegido.
2) ¿Cómo registrarás los resultados?
1) Describe la estrategia que te ayudó a resolver resol ver el problema.
4) Si se desea ser justo y se quiere que el número de personas que llegan a cada puerta de acceso sea, aproximadamente, el mismo, ¿cuál de las tres tres disposiciones elegirías? elegirí as? Explica.
2) ¿Cómo cambiarían tus respuestas si el plano fuera como el de la gura 1?
3) ¿Cómo cambiarían tus respuestas si el plano fuera como el de la gura 2?
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La carrera enredada Carlos compró un juego en la librería. Al abrirlo, encontró las instrucciones.
LA CARRERA ENREDADA N.° de jugadores: 2 Materiales: 1 tablero, 2 dados, 1 fcha verde verde y 1 fcha azul. Instrucciones: Cada jugador, al llegar su turno, lanzará uno de los dados.
Después de ver el resultado, deberá decidir si avanza las casillas que indica el dado lanzado o si tira el otro. Si decide esto último, deberá lanzar el segundo dado, y si el valor de este es mayor que el anterior, avanzará la suma de los dos; pero si no, entonces deberá retroceder lo marcado en el último lanzamiento. Gana el primero que llegue a la meta.
Con tus compañeros, invesguen este juego resolviendo las siguientes incógnitas:
1) Si al lanzar el primer dado les toca 1, ¿elegirán lanzar el segundo? Expliquen.
6) Si se cambian las instrucciones, de modo que cada jugador pueda elegir lanzar una o dos veces, pero siempre los dos dados, ¿para qué números del primer lanzamiento conviene lanzar la segunda vez?
2) Si al lanzar el primer dado les toca 6, ¿elegirán lanzar el segundo? Expliquen.
3) Si al lanzar el primer dado les toca 3, ¿elegirán lanzar el segundo? Expliquen.
7) Hagan una lista de todos los posibles resultados. Organícenlos en este esquema. Dado 1
1
2
3
4
5
6
1 2 o d a D
4) ¿Cuándo es mejor lanzar el segundo dado? Explica. Expli ca.
2
3 4 5 6
5) ¿Hay algún método para ganar con mayor facilidad? facilidad ?
8) ¿Cuál es la probabilidad de lanzar el dado dos veces y avanzar en el tablero?
¿Qué aprendí? En estas actividades, he resuelto problemas relacionados con el cálculo de probabilidades. Este concepto es muy útil para tomar decisiones deci siones basadas en riesgos calculados, entender juegos jue gos de azar y estudiar situaciones inciertas, entre otros. Autoevaluación ¿Considero que exiseron oportunidades para que todos parcipemos?
Todos dimos aportes y trabajamos en un mismo objevo.
Cada uno daba sus aportes; sin embargo, faltaron los acuerdos.
En algunos momentos, todos parcipamos y en otros, no.
Se debieron generar espacios de parcipación.
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Jugando con el azar
Primos pero no parientes +
Jaime y Claudia se han hecho unos dados especiales con dos cubitos de madera de 10 cm de arista. Ellos numeran cada dado con los 6 primeros números primos. El juego consiste en lanzar los dados por turno y sumar los puntos. Quien obtenga mayor
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