Resolución de ejercicios de Estabilidad Transitoria
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Anexo 2-1
2. Estabilidad Transitoria 2.1 Cambio de Potencia Supóngase que se tiene un ge nerador sincrónico, de rotor liso 60 Hz que posee una constante de inercia H inercia H = 9.94 Mjouls/MVA, y reactancia transitoria de X’ d = 0.3 p.u. y esta conectado por medio de un sistema de d transmisión netamente inductivo a una barra de potencia infinita (Figura 1): G
∞
L1
T
L2 Figura 1. Sistema de Potencia de una máquina contra un sistema de potencia potencia infinito El generador entrega a la barra de potencia infinita una potencia P = = 0.8 p.u, Q = 0.074 p.u, cuando el voltaje en la barra de potencia infinita es 1.0 por unidad. 1 Supóngase que súbitamente la potencia mecánica en el eje de máquina se eleva a P mec = 0.9 p.u , determine
si el sistema es estable y el nuevo punto de operación. Resolución. Antes que suceda cualquier perturbación, se tienen que el sistema opera en condiciones estables. El diagrama de reactancias del sistema resultante es: 1 2 0.3
g 0.3
∞
0.2
+ E '
+ 0.3
V ∞
= 1.0∠0º
Figura 2. Diagrama de reactancias del sistema en estudio Nótese, que además además de las barras del sistema de transmisión se han incluido dos barras más “g” para indicar indicar el punto detrás de la la reactancia transitoria transitoria del generador, y “∞”, para indicar la barra de potencia infinita.
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
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Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
1 0.3
g 0.3 +
= 0.8 + 0.074 j
∞
0.2
+
I g
I g
0.3
E ' . o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
2 S g ∞
V ∞
= 1.0∠0º
Figura 3. Diagrama de reactancias reactancias antes de la perturbación perturbación Se determina el valor de la corriente que entrega el generador a la barra de potencia infinita I infinita I g . * S g ∞ (0.8 − 0.074 j ) p.u I g = I g = 0.803415 < - 5º.284821 p.u I g = * 1∠0º p.u V ∞ I g = 0.8 − 0.074 jp.u La reactancia de transferencia entre la fuente de voltaje interno de la maquina E ' , y la barra de potencia infinita en condiciones estables es dada por: I X g ∞ = X ' d + X T + X LT 1 // X LT 2
I X g ∞ = X ' d + X T +
X LT 1 X LT 2 X LT 1 + X LT 2
Sustituyendo valores se tiene: I X g ∞ = 0.3 + 0.2 +
0.3
I X g ∞ = 0.65 p.u
2
Por otra parte el voltaje interno de la máquina E ' , puede ser calculado como: I E ' = jX g ∞ I g + V ∞
E ' = 0.65 j (0.8034∠ − 5º.28 ) + 1∠0º
E ' = 1.17001 < 26º.387659
E ' = 1.0481 + 0.5200 j Se procede a calcular la ecuación potencia-ángulo, antes de que suceda cualquier perturbación: I = P elec
E ' V ∞ I g ∞
X
senδ
I P elec =
1.17 ×1.00 senδ 0.65
I P elec = 1.8 senδ
I P max = 1.8
De tal modo que la curva potencia ángulo, que esta definida antes de la perturbación, resulta ser:
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
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Anexo 2-1
P I P max
0 P mec
= 1.8
A
= 0.8
0
δ 0
=
26º.38
153º.6123
δ
0.4606rad
Figura 4. Diagrama de potencia potencia ángulo para condiciones condiciones previa a la perturbación. perturbación. El punto inicial, estable de operación A operación A,, puede ser calculado en forma simple, conociendo que δ 0 , posee dos significados: • Es el ángulo de defasaje entre el voltaje interno de la máquina y la barra de potencia infinita, de modo que resulta simple1 el calculo de δ 0 : E ' = 1.17∠26º.38
δ 0
= 26º.38 = 0.4606rad
V ∞
•
= 1.0∠0º.0
0 Es el ángulo en el cual se interceptan, la rectan de potencia mecánica constante, P mec y la curva de I potencia ángulo, P elec .
0 I P mec = P elec = 1.8 senδ
En este caso, debido a que la máquina se supone ideal (eficiencia del η = 100% ), toda la potencia activa entregada por el generador proviene de la potencia mecánica, de tal modo que se cumple: 0 0 P mec = P elec = 0.8 .
I 0.8 = P elec = 1.8 senδ 0
1
0.8 1.8
= senδ 0
⎛ 0.8 ⎞ ⎟ ⎝ 1.8 ⎠
δ 0 = sen −1 ⎜
δ0 δ0
= 26º.3877 = 0.4606rad
Se debe tener especial atención con el hecho, de que δ 0, es el ángulo de defasaje entre ambos fasores. En particular esta consideración debe estar bien entendida, cuando la barra de potencia infinita, no se encuentra a referencia. Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
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Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
0 1 Cuando ocurre la perturbación, hay hay un cambio en la potencia mecánica desde P mec = 0.8 , hasta P mec = 0.9 , lo
cual queda representado en el diagrama de potencia ángulo, como una nueva recta paralela al eje. P I P max
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
= 1. 8
I
Antes de la perturbación
C 1
P mec 0 P mec
= 0.9
Cambio de Potencia mecánica
A
= 0.8
0 δ 0
= 26º.38
0.4606rad
15 3º.6123
δ
δ 1
Figura 5. Diagrama de potencia ángulo para condiciones condiciones antes y durante la perturbación. El nuevo punto de operación estable (si es que existe!) debe ser el punto C , cuyo ángulo δ 1 , puede ser fácilmente calculado, ya que en ese punto la potencia mecánica y la potencia eléctrica se debe igual, por lo que se cumple: I 0.9 = P elec = 1.8 senδ 1
⎛ 0.9 ⎞ ⎟ ⎝ 1.8 ⎠
δ 1 = sen −1 ⎜
δ 1 = 29º.9998 δ 1 = 0.5236rad
Ahora bien, el punto C , será punto de operación estable final, si la energía almacenada en el proceso de aceleración que ocurre entre A entre A y y C , es entregada durante un proceso de desaceleración.
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Anexo 2-1
P I P max
= 1. 8
I
Antes de la perturbación
E 1 mec
P
0
P mec
A2
B
= 0.9
A1
= 0.8
Cambio de Potencia mecánica
C D A
0 δ 0
15 3º.6123
δ 1
= 26º.38
δ
= 29º.9998
0.5236rad
0.4606rad
Figura 6. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes y durante la perturbación, perturbación, mostrando las áreas de interés. En la figura anterior se muestra que se forman dos áreas: A1, que corresponde a un área de aceleración ( aceleración ( ABC ) y otra A otra A2, de desaceleración ( desaceleración (CDE CDE ) De tal modo, el sistema logrará estabilidad, en el punto C , si como establece el criterio de áreas iguales, estas zonas A zonas A1 y A y A2, con iguales. Es decir: A1 = A2 . Se procede a definir las ecuaciones de cada área: A1 =
δ 1
∫ ( P δ 0
1 mec
I )d δ − P elec
[
A1 =
]
1 I A1 = P mec δ + P max cos δ
δ 1
δ 1
∫ ( P δ 0
1 mec
I − P max senδ d )d δ
1 I [δ 1 − δ 0 ] + P max A1 = P mec (cos δ 1 − cos δ 0 )
δ 0
Al sustituir los respectivos valores resulta: A1 = 0.0313472931 Por otra parte la otra área: A2 =
δ max
∫ ( P δ 1
[
I elec
1 )d δ − P mec
A2 =
]
I 1 A2 = − P max cos δ − P mec δ
δ max δ 1
δ max
∫ ( P senδ − P )d δ δ 1
I max
1 mec
I 1 A2 = − P max (cos δ max − cos δ 1 ) − P mec (δ max − δ 1 )
De tal modo que resulta: A2 = −0.9δ max − 1.8 cos δ max + 2.030084625 Para establecer la existencia estabilidad se verifica: A1 = A2 , es decir A1 − A2 = 0
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
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Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
A1 − A2 = −2.026949896 + 0.9δ max + 1.8 cos δ max
Al resolver la ecuación anterior se obtiene el ángulo δ max . π / 2 0
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
δ max = 3.8152
δ max,2 = 0.5874
2 -0.5 A 1 A
δ max,1 = 0.4606 -1
-1.5
0
0. 5
1
1. 5
2 2. 5 3 Angulo máximo
3. 5
4
Figura 7. Grafica de la función función A1- A2 en función de
4. 5
5
.
max
Se puede observar que hay varios ángulos δ max , que hacen que se cumpla A1- A A2=0. Sin embrago, ángulos cuyos valores superen 180º, no son soluciones candidatas, ya que significaría que el generador se motoriza, situación inadmisible. De tal modo que las soluciones candidatas pueden ser vistas en la siguiente grafica. -3
5
x 10
4 3
2 A 1 2 A
δ max, 2 = 0.5874
δ max,1 = 0.4606
1 0 0. 4 4
0. 46
0. 4 8
0. 5
0. 52 0. 5 4 Angulo máximo
0 . 56
0. 58
0. 6
Figura 8. Detalle del área de interés de la Grafica Grafica de la función A1- A2 en función de
.
max
Finalmente se obtiene que la solución definitiva es: δ max = 0.58742135528562rad δ max = 33º.65676445372068
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Anexo 2-1
P I P max
= 1.8
E 1
P mec 0
P mec
= 0. 9
A1
= 0.8
δ 0
A2
B
C D A
0
δ max
= 26º.38
0.5874rad
0.4606rad
δ 1
15 3º.6123
= 33º.55
δ
= 29º.9998
0.5236rad
Figura 9. Diagrama de potencia ángulo para condiciones condiciones antes y durante la perturbación, mostrando los resultados Se deja de ejercicio demostrar al lector que ambas áreas son iguales: A1 = A2 =
∫
0.5236
0.4606
∫
(0.9 − 1.8 senδ )d δ = 0.03134572931
0.5874
0.5236
(1.8 senδ − 0.9)d δ = 0.03134572931
A manera ilustrativa, el autor ha decidido mostrar una simulación numérica en el tiempo del caso estudiado. Se ha resuelto la ecuación de oscilación, para un período de 1.5 segundos, considerando que la perturbación se aplica a 0.01 segundos, de comenzada la simulación. 1 1 P mec
0 P mec
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2
∞
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
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Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
δ max = 33º.55
] s o d a r 32 G [ a i u c n e 30 t o P e d o l u 28 g n A
26
X: 0.62 Y: 33.65
δ 0 = 26º.38
0
0. 5
1
1. 5
1
1. 5
Tiempo [seg] 0.4
] g e s / s e n a 0.2 i d a R [ r o t 0 o R l e d d a -0.2 d i c o l e V
-0.4
0
0. 5 Tiempo [seg]
Figura 10. Curva de Angulo de potencia y velocidad del rotor, para la perturbación estudiada estudiada En la grafica anterior de δ (t ) , se muestra que el máximo pico del ángulo 33.65 grados, ocurre a 0.61 segundos, de insertada la perturbación. De igual modo, el autor ha querido incluir la curva de velocidad del rotor de la máquina, para ilustrar en el lector el fenómeno de aceleración y desaceleración.
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Anexo 2-1
2.2 Limite de Estabilidad ante Cambio de Potencia Supóngase el sistema de potencia que se ha considerado hasta ahora. Se desea estimar el valor de máximo incremento de potencia mecánica que se le puede aplicar al eje de la máquina, sin que se pierda es sincronismo. Esta situación puede ser ilustrada en el diagrama potencia-ángulo como se muestra en la siguiente figura. P I P max
= 1.8
B
1 mec
P
C
A2
D
A1
0 P mec
=
0.8
A
0
δ c
δ 0 = 26º.38 0.4606rad
δ max
= 18 0º −δ c
δ max
= π − δ c
δ
Figura 11. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes y durante durante la perturbación, mostrando las áreas de interés. Desde el punto de operación inicial, la máquina recibe un incremento de potencia mecánica, ∆ P mec , cuyo valor debe ser tal, que la máquina no pierda estabilidad. Para que esto se cumpla, la máquina debe oscilar hasta el ángulo δ max , en el punto D, D, que el último punto de operación estable donde se cumple I I que P mec . = P elec
I I Pero en esta situación, se desea estimar el valor de P mec . Para ello se puede verificar en el diagrama = P elec
que se cumple: I P elec = 1.8senδ c
en el punto C
I punto D P elec = 1.8sen(π − − δ c ) en el punto D
Para que exista estabilidad, la totalidad de energía almacenada y entregada en los procesos de aceleración y desaceleración debe ser igual, es decir, se aplica el criterio de las áreas iguales que establece. A1 = A2 . Donde las áreas quedan definidas por: Se procede a definir las ecuaciones de cada área. Primero se aplica al área acelerante A acelerante A1:
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
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Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
δ c
A1 =
∫ ( P
A1 =
∫
δ 0
1 mec
δ c
δ 0 = 0.4606
I )d δ − P elec
( P
1 mec
A1 =
δ c
∫ ( P δ 0
1 mec
I − P max senδ )d δ
− 1.8 senδ )d δ
I I A1 = P mec δ c + 1.8 cos δ c − 0.4605515256 P mec − 1.612453523
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
Por otra parte al área desacelerante queda dada por: δ max
A2 =
∫ ( P
A2 =
∫ (1.8 senδ − P )d δ
δ c
I elec
π −δ c
δ c
1 )d δ − P mec
A2 =
π −δ c
∫ ( P δ c
)
1 senδ − P mec d δ
I max
1 mec
I I A2 = −π P mec + 2δ c P mec − 1.8 cos(δ c − π ) + 1.8 cos δ c
Para que exista estabilidad, se debe cumplir el criterio de las áreas iguales, y se verifica: A1 = A2 , es decir A1 − A2 = 0 . I I I A1 − A2 = −δ c P mec − 1.612453523 − 0.4605515323 P mec + π P mec + 1.8 cos(δ c − π )
Al respecto se procede a incluir, otra ecuación que es necesaria, para poder resolver y lograr el valor del I = 1.8senδ c ángulo crítico, y es de la coedición en el punto C , P elec
I I I ⎧⎪− δ c P mec − 1.612453523 − 0.4605515323 P mec + π P mec + 1.8 cos(δ c − π ) = 0 ⎨ I ⎪⎩ P elec − 1.8 senδ c = 0
Se puede resolver estas dos ecuaciones de modo simultáneo.
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Anexo 2-1
3 2
δ c = 1.024377
1 2 0 A 1 A -1
-2 -3 -4
0
0. 5
1
1. 5
2 2. 5 3 3. 5 Angulo Critico [Radianes]
4
Figura 12. Grafica de la función función A1- A2 en función de
4. 5
5
.
c
Nótese que aplicando aplicando técnicas de análisis análisis numérico se se obtiene:
= 1.02437756364959rad c δ c = 58º. 58º.69251102501559 δ
De tal modo que el valor de la máxima potencia que se le puede llevar desde el punto de operación estable inicial, sin que se pierda la estabilidad es: I P elec = 1.8senδ c
I P elec = 1.53790365223558 p.u
De tal modo que el incremento: ∆ P mec = 0.73790365223558 p.u , es el máximo que se puede aplicar, si que el sistema pierda estabilidad.
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
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Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
P I P max = 1.8
1 P mec
B
= 1.5379
A2
C
D
A1 . o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
0 P mec
= 0.8
0
δ 0
∆ P mec = 0.7379 p.u
A
= 26º.38
0.4606rad
δ c
= 58º.69
1.024rad
δ max = 121.30748 δ max = 2.1172150
δ
Figura 13. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes antes y durante la perturbación, mostrando los resultados El autor ha decidido mostrar en forma ilustrativa, el comportamiento, de la respuesta del ángulo δ , de la máquina para diferentes cambios en la potencia mecánica, partiendo del mismo punto estable de operación 0 inicial. En este caso se resolvió la ecuación de oscilación, considerando P mec = 0.8 y δ 0 = 26º.38 , y se
procedió a simular incrementos en la entrada de potencia mecánica de la red, ∆ P mec = {0.2,0.5,0.7,0.8} . En cada caso se procedió a graficar la curva de en el tiempo del ángulo de potencia y de la velocidad del rotor. De las curvas de oscilación se observa que para ∆ P mec = 0.8 , la oscilación del ángulo de la máquina indica una perdida de estabilidad. Esto confirma el hecho de que para un cambio de potencia mayor a ∆ P mec = 0.73790 p.u , origina una perdida de estabilidad de la máquina.
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
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Anexo 2-1
Curva de angulo de potencia versus tiempo, para diferentes cambios de potencia mecánica 350
0.2 p.u 0.5 p.u 0.7 p.u
300
] g e s / d 250 a r [ a i c 200 n e t o P e 150 d o l u g 100 n A
0.8 p.u Inestable
50 0
0
0. 5
1
1. 5
Tiempo [seg] Curva de velocidad del rotor versus tiempo, para diferentes cambios de potencia mecánica 15 0.2 pu 0.5 p.u 0.7 p.u
] g e 10 s / d a r [ a v i t a 5 l e R d a d i c o l e 0 V
-5
Inestable
0.8 p.u
0
0. 5
1
1. 5
Tiempo [seg] Figura 14. Curva de Angulo de potencia y velocidad del rotor, diferentes tiempos tiempos de despeje Por último se muestra las curvas de ángulo de potencia y de velocidad de la maquina, para el caso particular en que se efectúa el cambio de potencia ligeramente menor al limite de estabilidad. En este caso, se muestra que el sistema es perfectamente estable.
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
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Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
] s 120 o d a r g 100 [ a i c n 80 e t o P 60 e d o 40 l u g n 20 A
] g e s / d a r [ . l e R d a d i c o l e V
0
0. 2
0. 4
0
0. 2
0. 4
0. 6
0. 8
1
1. 2
0. 6 0. 8 Tiempo [seg]
1
1. 2
3 2 1 0 -1
Figura 15. Curva de Angulo de potencia y velocidad del rotor, pata el tiempo critico critico
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
15
Anexo 2-1
El análisis anterior puede ser extendido a un caso, muy interesante. Si se supone que la potencia inicial es 0 1 cero P mec , sin que pierda estabilidad. En la = 0 , hasta que valor de potencia se puede cargar la máquina P mec
figura siguiente se muestra el diagrama de potencia-ángulo para la situación planteada. P I P max
= 1. 8
A2 1
P mec
D
C
B
A1
0 P mec
A
=0
δ 0
= 0º
δ c
δ max
= 180º −δ c
δ max
= π − δ c
δ
Figura 16. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes y durante la perturbación perturbación para el cálculo del ángulo critico En este caso para que se logre estabilidad, se debe satisfacer el criterio de las áreas iguales, es decir, debe haber un balance energético, entre la energía absorbida y entregada durante los procesos de aceleración y frenado. Las áreas pueden ser planteando integrales de modo que resulta, para el area A area A1: δ c
A1 =
∫ ( P
A1 =
∫ ( P
δ 0
1 mec
δ c
0
I )d δ − P elec
1 mec
A1 =
δ c
∫ ( P 0
1 mec
I − P max senδ )d δ
− 1.8 senδ )d δ
I A1 = P mec δ c + 1.8 cos δ c − 1.8
Mientras que el área A área A2, desacelerante es definida por: A2 =
A2 =
δ max
∫ ( P δ c
π −δ c
I elec
1 )d δ − P mec
A2 =
π −δ c
∫ ( P δ c
∫ (1.8 senδ − P )d δ δ c
1 mec
I I A2 = −π P mec + 2δ c P mec − 1.8 cos(δ c − π ) + 1.8 cos δ c
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
)
1 senδ − P mec d δ
I max
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
16
Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
Para que exista estabilidad, se debe cumplir el criterio de las áreas iguales, y se verifica: A1 = A2 , es decir A1 − A2 = 0 . I I A1 − A2 = −δ c P mec − 1.8 + π P mec + 1.8 cos(δ c − π )
I La ecuación anterior se observa que hay dos variables δ c , P elec , de tal modo que se debe incluir, otra ecuación
para poder resolver el ángulo critico. La otra ecuación se obtiene de la condición en el punto C , . o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
I P elec = 1.8senδ c
I I ⎧⎪− δ c P mec − 1.8 + π P mec + 1.8 cos(δ c − π ) = 0 ⎨ I ⎪⎩ P elec − 1.8 senδ c = 0
Resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: δ c = 0.81047024718681rad δ c = 46º.43652458472901 y I P elec = 1.30430039215484 p.u
P I P max
= 1.8
I
Antes de la perturbación
A2 I P elec
= 1.3043 p.u
B
D
C
A1
0 P mec
=0
Cambio de Potencia mecánica
A δ 0
= 0º
δ c
= 46º.436
0.8104rad
δ max
= 133º.563
δ max
= 2.3311rad
δ
Figura 17. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes antes y durante la perturbación, mostrando los resultados
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
17
Anexo 2-1
2.3 Operaciones de Maniobra o Suicheo El límite de estabilidad transitoria para operaciones de maniobra puede ser investigado usando el criterio de áreas iguales. En este documento preliminar preliminar no se ha incluido ejemplo de este tipo tipo de maniobra.
2.4 Fallas y Subsecuentes Despejes El tercer y más importante tipo de perturbación transitoria proviene de la aplicación de fallas y subsecuentes cambios en la topología de la red que son requeridos para aislar la falla. Para tales perturbaciones tres o más condiciones circuitales requieren consideración: (1) la condición inicial, inmediatamente antes a la falla, (2) la condición durante la falla, y (3) la condición subsiguiente al despeje d e la falla.
2.4.1.
Falla Sin Potencia Transferida
Supóngase que el generador se encuentra conectado a la barra de potencia infinita a través de dos líneas de transmisión en paralelo, como es mostrado en la figura anterior. Asuma que la potencia mecánica de entrada es constante, y se encuentra operando el sistema en condiciones de régimen estacionario, entregando una potencia a un ángulo δ 0 . Una falla temporal por cortocircuito trifásico sólido ocurre en el extremo de envío de una de las líneas (barra 1). Cuando la falla es despejada, ambas líneas permanecen intactas. Determine el ángulo crítico, o el máximo valor de ángulo al cual puede ser despejada la falla sin que el sistema pierda la estabilidad. 1 2 CB2 CB2 ∞
" F "
×
CB1
CB1
3φ
Figura 18. Sistema de Potencia de una máquina contra un sistema sistema de potencia infinito, con falla en una barra
ANTES DE LA PERTURBACIÓN Las condiciones de régimen estacionario ANTES de la perturbación son conocidas. 1 2 S g ∞ = 0.8 + 0.074 j 0 . 3 g 0.3 +
I g
E '
∞
0.2
+ 0.3
I g
V ∞
= 1.0∠0º
Figura 19. Diagrama de reactancia de un sistema de potencia de una máquina máquina contra un sistema de potencia infinito, condiciones previas a la falla La reactancia de transferencia entre la fuente de voltaje interno de la maquina E ' , y la barra de potencia infinita en condiciones estables es dada por: I X g ∞ = X ' d + X T + X LT 1 // X LT 2
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
I X g ∞ = X ' d + X T +
X LT 1 X LT 2 X LT 1 + X LT 2
I X g ∞ = 0.65 p.u
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
18
Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
Por otra parte el voltaje interno interno de la máquina máquina es conocido de las condiciones condiciones de operación, operación, E ' = 1.17001 < 26º.387659 , de modo que la ecuación de potencia de la maquina resulta:
I P elec =
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
E ' V ∞ I g ∞
X
I P elec = 1.8 senδ
senδ
I P max = 1.8
DURANTE LA PERTURBACIÓN DURANTE la perturbación se tiene que se modifica la topología por la inserción de la impedancia de falla. 1 2 S g ∞ = 0 0.3 g S g ∞ = 0 0.3 +
∞
0.2
I g
×
E ' Z f
=0
+ 0.3
I g
V ∞
" F "
= 1.0∠0º
Figura 20. Diagrama de reactancia de un sistema de potencia de una máquina máquina contra un sistema de potencia infinito, condiciones durante la falla Bajo la situación de falla, la potencia transferida a la barra de potencia infinita desde el generador es: II P elec =0
Por tanto, la máquina no tendrá potencia eléctrica, y toda la potencia mecánica aplicada en el eje será potencia acelerante, que provocará un aumento de velocidad de la máquina y además un aumento en el ángulo de potencia.
DESPUÉS LA PERTURBACIÓN Luego que la perturbación, la falla es retirada, y ambas líneas de transmisión, resultan intactas, de modo que la condición luego de la falla, es semejante a la previa a la falla. 1 2 S = 0.8 + 0.074 j g 0.3 +
E '
g ∞
0.3
I g
∞
0.2
+ 0.3
I g
V ∞
= 1.0∠0º
Figura 21. Diagrama de reactancia de un sistema de potencia de una máquina máquina contra un sistema de potencia infinito, condiciones después de la falla
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
19
Anexo 2-1
La reactancia de transferencia entre la fuente de voltaje interno de la maquina E ' , y la barra de potencia III infinita en condiciones estables resulta ser: X g ∞ = 0.65 p.u , mientras que la ecuación de potencia es:
III P elec = 1.8 senδ
Ante cualquier duda hay que aclarar, que el voltaje interno de la máquina E ' , es constante a lo largo de todo el estudio, esto es debido a que no se considera la presencia o actuación de los dispositivos de control asociados al generador sincrónico (excitatriz o gobernador). Al construir el diagrama de potencia-ángulo para la perturbación planteada se tiene: P I P elec
=
E
III P elec
I, III
Antes y despúes de la perturbación
A2
0 P mec
A
= 0.8
D
F
II =0 P elec Durante la perturbación
A1
C
B 0
δ 0
δ 1
= 26º.38
II δ max
= 18 0º −δ 0
δ
0.4606rad
Figura 22. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes antes y durante la perturbación, mostrando las áreas de interés Para que el sistema se estable, debe ocurrir que la máxima oscilación del ángulo de potencia nunca supere δ max . Se puede observar que estas condiciones angulares definen dos ares, ABC y DEF . Se trata de un área donde la máquina se acelera A acelera A1 ( ABC ) y otra donde la maquina pierde velocidad A2 ( DEF ). ). De tal modo que para que exista estabilidad, ambas ambas áreas deben ser iguales, iguales, lo que produce produce un balance energético. energético. Aplicando un poco de cálculo integral se puede encontrar la definición de ambas áreas: Las áreas pueden ser planteando integrales de modo que resulta, para el area A area A1: A1 =
A1 =
δ c
∫ ( P δ 0
∫
0 mec
δ c
δ 0 = 0.4606
II )d δ − P elec
A1 =
δ c
∫ ( P )d δ δ 0
0 mec
(0.8)d δ
A1 = 0.8δ c − 0.3684412203 Mientras que el área A área A2, desacelerante es definida por: Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
20
A2 =
A2 =
Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
δ max
∫ ( P
III elec
δ c
∫
1 )d δ − P mec
π −δ c = 2.68104
δ c = 0.4606
A2 =
π −δ c
∫ ( P senδ − P )d δ δ c
III max
1 mec
(1.8 senδ − 0.8)d δ
A2 = −0.5323793799 + 1.8 cos(δ c ) + 0.8δ c . o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
De tal modo que para que exista estabilidad, se debe satisfacer: A1 = A2 0.8δ c − 0.3684412203 = −0.5323793799 + 1.8 cos(δ c ) + 0.8δ c Llevando a la forma A1 − A2 = 0 , 0.1639381596 − 1.8 cos(δ c ) = 0 La resolución de esta ecuación, resulta trivial:
⎛ 0.1639 ⎞ ⎟ ⎝ 1.800 ⎠
δ c = cos −1 ⎜
δc
= 1.47959318588625rad
δc
= 84º.77444494759754
Se deja a modo de ejercicio al lector demostrar que la expresión analítica, para este tipo de perturbación, resulta ser: P 0 cos δ c = mec (δ max − δ 0 ) + cos δ max III P max
2
1 2 A 1 A
δc
= 84º.7744
0
-1
-2
0
0. 5
1
1. 5
2 2. 5 3 Angulo Critico [Rad]
3. 5
4
Figura 23. Grafica de la función función A1- A2 en función de
4. 5
5
.
c
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21
Anexo 2-1
De tal modo que el ángulo critico resulta:
δc
= 84º.7744 . En la realidad, lo que importa a los ingenieros de
potencia, es el tiempo que tarda el sistema perturbación en alcanzar este valor de ángulo, para ellos, muchos autores coinciden con una ecuación, para definir el tiempo critico, critico, t c: t c =
t c =
2 H (δ c − δ 0 ) 0 π fP mec
2 × 9.94(1.479 − 0.4606) 60π × 0.8
t c = 0.36652920 seg El autor consideró, importante demostrar al lector, la existencia de este valor de tiempo crítico y su importancia. De tal modo, se resolvió la ecuación de oscilación para la perturbación planteada empleando un simple modelo construido en MATLAB™ Simulink™.
Speed To Workspace 1 Velocidad 0.8
pi*60/9.94
Pmec = 0.8
1 s Integrator 1
1 s
Ang le
Speed Integrator 2
pif/H2
180/pi Rad. to Degree2
Ang ul o Delta To Workspace Workspace
1.8*sin(u) Fault Cleaned
Clock 0*sin(u) Switch1
During Fault
Figura 24. Modelo en Simulink™, para simular la perturbación perturbación en el sistema de estudio De tal modo que se efectuaron varias simulaciones, para verificar el comportamiento en el tiempo del ángulo de potencia y la velocidad del rotor de la máquina, ante diferentes tiempos de despeje de la falla. Tiempos de despeje de 0.1, 0.2, 0.3 y 0.4 segundos fueron examinados, a continuación se muestran las graficas realizadas con ayuda de MATLAB™. MATLAB™.
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
22
Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
Curva de Angulo de Potencia versus Tiempo para diferentes Tiempos de Despeje de la Falla 350
0.1 seg
300
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
] s o d a r G [ a i c n e t o P e d o l u g n A
0.2 seg 0.3 seg
Inestable
250
0.4 seg
200 150 100 50 0 -50 -100
0
0. 5
1
1. 5
Tiempo [seg] Curva de Velocidad Velocidad del Rotor versus Tiempo para diferentes Tiempos de Despeje de la Falla 25 0.1 seg ] g e s / d a r [ . l e R r o t o R l e d d a d i c o l e V
20
0.2 seg 0.3 seg
15
0.4 seg
Inestable
10 5 0 -5 -10
0
0. 5
1
1. 5
Tiempo [seg] Figura 25. Curva de Angulo de potencia y velocidad del rotor, diferentes tiempos tiempos de despeje Se puede observar que para t = 0.4 segundos, la máquina pierde estabilidad, como se muestra en el crecimiento acelerado del ángulo de potencia, y un proceso de escalada de la velocidad de la maquina. En cambio para tiempos de t = = 0.3 segundos, la maquina es estable. De modo que se evidencia que existe un
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
23
Anexo 2-1
tiempo diferencial, al partir del cual la persistencia de la falla hace que el sistema pierda la estabilidad, este tiempo, corresponde al tiempo critico, t = = 0.36 segundos.
10 ] s o d a r g [ a i c n e t o P e d o l u g n A
200 0.35 seg 0.36 seg 0.37 seg
150
5
100 0 50 -5
-10
0
0
0. 5
-50 1. 5
1
Tiempo
] g e s / d a r [ r o t o R . l e R d a d i c o l e V
Figura 26. Curva de Angulo de potencia y velocidad del rotor, diferentes tiempos tiempos de despeje alrededor del tiempo critico de despeje El tiempo , t = = 0.36 segundos, es evidenciado claramente en la grafica anterior, donde se ve que ángulo y velocidad crecen en forma constante, para tiempos mayores al tiempo critico.
2.4.2.
Falla con Potencia Transmitida
Considere el sistema de potencia de la Figura siguiente. 1 CB2 T G
CB2
CB1
2
∞
CB1
Supóngase que súbitamente ocurre una falla trifásica sólida a tierra en la mitad de una de las líneas, la falla es despejada por la adecuada y exitosa operación de los dispositivos de protección, que actúan ordenando la apertura de los interruptores CB1, de modo que aíslan y despejan la falla, y la línea falla es abierta. Se desea determinar el ángulo crítico. 1 2 CB2 CB2 ∞ T G CB1
" F "
×
CB1
3φ
Figura 27. Sistema de Potencia de una máquina contra un sistema de potencia potencia infinito, con una falla con transmisión de potencia
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
24
Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
0 Se asume la potencia mecánica de entrada permanece constante, P mec y la máquina opera en régimen 0 0 permanente, estable P elec . Esto es completamente verdadero, si se considera que los dispositivos de = P mec
control de la máquina no actúan (gobernador y excitatriz).
ANTES DE LA PERTURBACIÓN Las condiciones de régimen estacionario ANTES de la perturbación son conocidas. 1 2 S = 0.8 + 0.074 j . o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
g ∞
0.3
g 0.3 +
∞
0.2
+
I g
E '
I P elec = 1.8 senδ
I X g ∞ = 0.65 p.u
I g
0.3
V ∞
= 1.0∠0º
δ 0 = 26º.387659
Figura 28. Diagrama de reactancia de un sistema de potencia de una máquina máquina contra un sistema de potencia infinito, condiciones antes de la falla
DURANTE LA PERTURBACIÓN Al ocurrir la falla por cortocircuito, la topología de la red de trasmisión se modifica, y del diagrama de reactancias resulta. 1 2 CB2 0.3 CB2 g 0.3
∞
0.2
CB1
+
CB1
E ' 0.15
0.15
+
V ∞
= 1.0∠0º
× " F "
Figura 29. Diagrama de reactancia de un sistema de potencia de una máquina máquina contra un sistema de potencia infinito, condiciones durante la falla De tal modo se hace necesario estimar la ecuación que defina la potencia que el generador puede entregar a la barra de potencia infinita, y ello implica encontrar la impedancia de transferencia entre el voltaje interno II de la máquina y la barra de potencia infinita X g ∞.
En el diagrama de reactancias resulta fácil evidenciar la existencia de una conexión estrella, entre los puntos marcados como como A, B y B y F F . 0.5 j 0.3 j C A B
+ E '
+ 0.15 j
0.15 j
" F "
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25
Anexo 2-1
Se puede efectuar una transformación estrella, a delta. X g II ∞
A
= 1.8
B
+
+
E '
0.15
0.54
0.9
V ∞
= 1.0∠0º
De tal modo, que la impedancia de transferencia entre el voltaje interno de la máquina y la barra de II potencia infinita infinita X g ∞ = 1.8 . Siendo la ecuación de potencia:
II P elec =
E ' V ∞ II g ∞
X
II P elec = 0.65 senδ
senδ
II P max = 0.65
DESPUÉS DE LA PERTURBACIÓN Por último, luego que ocurre la perturbación, la línea fallada es puesta fuera de operación, de tal modo que la topología de la red nuevamente cambia. 2 1 CB2
g 0.3
0.3
CB2
0.2
+
∞
+
E '
V ∞
= 1.0∠0º
Figura 30. Diagrama de reactancia de un sistema de potencia de una máquina máquina contra un sistema de potencia infinito, condiciones después de la falla Cuando la falla es despejada, la línea fallada es aislada, de tal modo que la impedancia de transferencia post-falla es: III X g ∞ = X ' d + X T + X LT 2
III X g ∞ = 0.3 + 0.2 + 0.3
III X g ∞ = 0.8 p.u
Y la ecuación de potencia ángulo resulta:
III P elec =
E ' V ∞ III g ∞
X
senδ
III P elec = 1.4625 senδ
III P max = 0.65
De tal modo, que el estudio de esta perturbación amerita en trazado de tres curvas de potencia-ángulo: I Antes de la falla, II falla, II : Durante la falla, y III y III : Después de la falla.
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
26
Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
P I P max
III
P max . o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
= 1.8
E
= 1.4625
A2 0
P mec III
P max
A
= 0.8
D A1
= 0.65
C
F
B
0
δ 0
= 26º.38
δ c
δ max
δ
Figura 31. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes, durante y después de la perturbación, perturbación, mostrando las áreas de interés Se puede observar claramente que hay dos áreas bien definidas, una ABCD una ABCD,, en la cual la potencia mecánica es mayor a la potencia eléctrica durante la falla, que corresponde a un área de aceleración A1, mientras que DEF , corresponde a un área de desaceleración A desaceleración A2. El angulo máximo, puede ser fácilmente obtenido, debido a que en el punto F se se cumple que la ecuación de III potencia eléctrica después de la falla, P elec = 1.4625 senδ , debe ser igual a la potencia mecánica de entrada a 0 la máquina P mec = 0.8 , para que pueda existir estabilidad.
0 III P mec = 0.8 = P elec = 1.4625 senδ max
⎛ 0.8 ⎞ ⎟ ⎝ 1.4625 ⎠
δ max = π − sen −1 ⎜
δ max = 2.56280608rad δ max = 146º.83797214
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27
Anexo 2-1
P I P max
III P max
= 1.8
E
= 1.4625
A2 0 P mec
III max
P
A
= 0.8
D A1
= 0.65
C
F
B
0
δ c
δ 0 = 26º.38 0.4606rad
δ max
= 14 6º.83
δ
2.5628rad
Figura 32. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes, durante y después de la perturbación, perturbación, mostrando las áreas de interés y valores de interes Para que exista estabilidad luego de ocurrir la perturbación, se debe cumplir: A1 = A2 , donde por simple uso de calculo integral se puede determinar estas áreas como: A1 = A1 =
δ c
∫ ( P δ 0
∫
0 mec
δ c
δ 0 = 0.4606
II )d δ − P elec
A1 =
δ c
∫ ( P δ 0
0 mec
II senδ )d δ − P max
(0.8 − 0.65 senδ )d δ
A1 = 0.8δ c + 0.65 cos δ c − 0.95071610347047 Mientras que el área A área A2, desacelerante es definida por: A2 =
A2 =
δ max
∫ ( P δ c
∫
III elec
δ max = 2.5628
δ c = 0.4606
1 )d δ − P mec
A2 =
δ max
∫ ( P senδ − P )d δ δ c
III max
1 mec
(1.4625 senδ − 0.8)d δ
A2 = −0.825946596 + 1.4625 cos(δ c ) + 0.8δ c Se debe determinar el ángulo que satisface que A1 = A2 . De tal modo que se replantea en la forma de una ecuación no lineal, A1 − A2 = 0
− 0.1247695071 − 0.8125 cos(δ c ) = 0
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. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
28
Anexo de Estabilidad en Sistemas de Potencia
− 0.1247695 ⎞ ⎛ − ⎟ ⎝ 0.8125 ⎠
δ c = cos⎜
δ c = 98º.83343376396466 δ c = 1.72496883023292rad P
I P max
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
III P max
= 1.8
E
= 1.4625
A2 0 P mec
III max
P
=
A
0.8
D A1
= 0.65
C
F
B
0
δ c
δ 0 = 26º.38 0.4606rad
= 98º.833
δ max
1.7249rad
= 14 6º.83
δ
2.5628rad
Figura 33. Diagrama de potencia ángulo para condiciones antes, durante y después de la perturbación, perturbación, mostrando las áreas de interés Finalmente el autor autor Simulink™.
desea presentar los resultados resultados de unas simulaciones efectuada efectuada en MATLAB™ MATLAB™
Speed To Workspace 1 Velocidad 0.8
pi*60/9.94
Pmec = 0.8
1 s Integrator 1
1 s
Ang le
Speed Integrator 2
pif/H2
180/pi Rad. to Degree2
Ang ul o Delta To Workspace
1.4625*sin(u) Fault Cleaned
Clock 0.65*sin(u) Switch1
During Fault
Figura 34. Modelo en Simulink™, para simular la perturbación perturbación en el sistema de estudio
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
29
Anexo 2-1
180 0.8 seg 160
0.7 seg
] s o d 140 a r G [ 120 a i c n e 100 t o P e d 80 o l u g 60 n A
0.6 seg
0.4 seg
40 20
0.3 seg
0
0. 1
0. 2
0. 3
0. 4 0. 5 0. 6 Tiempo [seg]
0. 7
0. 8
0. 9
1
8 0.8 seg ] s o d a r G [ a i c n e t o P e d o l u g n A
6 4 0.7 seg
2 0.3 seg
0
0.4 seg -2 0.6 seg -4
0
0. 1
0. 2
0. 3
0. 4
0. 5 0. 6 Tiempo [seg]
0. 7
0. 8
0. 9
1
Figura 35. Curva de Angulo de potencia y velocidad del rotor, diferentes tiempos tiempos de despeje alrededor del tiempo critico de despeje
Francisco M. Gonzalez-Longatt, Febrero, 2006
. o t n e m u c o d e t s e e d l a i c r a p o l a t o t n ó i c c u d o r p e r a l o d i b i h o r P . s o c i m é d a c a o , n ó i c a u l a v e e d o v i t e j b o n o c o d a e l p m e r e s a r a p o l o S
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