Resolução Prova ENADE 2008

FUNDAÇÃO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC) FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC) COORDENAÇÃO DE MATEMÁTICA Estrada da Caroba, !", Ca#$o-Gra%d&'R - T&* +!-!" S.t&s* ///01&230br , ///0s.t&s04oo4&03o#'s.t&'FEUC#at

E N A D E 2008

MATEMÁTICA LICENCIATURA

QUESTÕES RESOLVIDAS

INTROD UÇÃO Estamos apreseta!o a pro"a !o ENADE ap#$%a!a em 2008 para os %&rsos !e L$%e%$at&ra em Matem't$%a( Este tra)a#*o tem o o)+et$"o !e apro,$mar a#&os e pro-essores !as .a%&#!a!es Ite/ra!as Campo1ra!eses ao ro+eto ENADE 2033( Re%o*e%emos 4&e -a5emos &m tra)a#*o !e 4&a#$!a!e( Isto -$%a !eterm$a!o pe#a ota 670 !o ENADE 2008( Mas7 e%essar$amete7 ao pesarmos 4&e temos a e%ess$!a!e !e e,pa!$rmos ossos %o*e%$metos estaremos o %am$*o pro/ress$"o( O pr$me$ro passo  ete!er os %ompoetes !a pro"a7 po$s esta pro"a a"a#$a os %&rsos !e L$%e%$at&ra e 9a%*are#a!o( A pro"a %otm o$to 4&est:es !e m;#t$p#a es%o#*a e !&as !$s%&rs$"as a"a#$a!o a -orma-$%os !e Matem't$%a para a L$%e%$at&ra( O se/&!o passo  reso#"er a pro"a $$%$a!o pe#a parte !e %ote;!os matem't$%os( E,$/e ma$s e o $>%$o !a pro"a estamos meos !es/asta!os( De"emos7 tam)m7 em o&tro mometo7 reso#"er as 4&est:es !e -orma"e$s erros 4&e por "et&ra te*amos %omet$!o( De!$%o este tra)a#*o aos a#&os %o%#&$tes 2033 !o C&rso !e L$%e%$at&ra em Matem't$%a !as .a%&#!a!es Ite/ra!as Campo1ra!eses( A#5$r .o&rB Mar$*os Ema$# -o&rB&o#(%om()r

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RESOLUÇÃO A cara de uma lei parabólica é de uma função quadrática y = ax 2 + bx + c, a ≠ 0. e!a que a função tem a cara de y = a "x # $2% " x + $2% $ 2% ou y = a "x  2 & $''% ou y = ax 2 # $''. e!a que c = & $''a e b = 0 "não temo( a )ariá)el x na lei da função y = ax  2 & $''a%. e!a que y ) = * , loo como y ) = &

b2 − 4a c 4a

omo c = & $''a temo( * = & $''a e a =

−

temo( * = 3

144

=−

1 48

4 ac 4a

.

e c = *.

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-ntão temo( y =

−

1 48

2

( x − 144).

ara determinarmo( a altura da bola "y% ao atinir o ol de)emo( (ub(tituir na função y=

1

−

48

2

( x − 144)  o )alor de x = /.

-ntão temo( y =

Resposta 

−

1 48

2

(8 − 144) =

80 48

=

5 3

5 3

Q&est=o 32

RESOLUÇÃO e!a que a equação da circunferncia circunferncia é x2 + y2 + y = 0 e da parábola é x 2 # y # $ = 0. ara a circunferncia temo( x 2 + y2 # 2xcx # 2ycy + xc2 + yc2 # r2 = 0. 1a &2xc = 0 e x c = 03 & 2y c= $ e y c = & ara determinar o raio4 02 +

1 4

2

− r  = 0 . 1a r =

1 2

.

A parábola tem a cara y = x 2 # $.

1 2

.

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e!a a( repre(entaç5e( da parábola e circunferncia4 3.0

2.0

1.0

−3.0

−2.0

−1.0

1.0

2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

−1.0

6tem a & e!a que a reta de equação y = &$ é paralela ao eixo x, tanente ao )értice da parábola, perpendicular ao eixo y e por con(equncia tanente 7 circunferncia "que tem centro de ab(ci((a 8ero%. odemo( )er também (ub(tituindo y = &$ na( equaç5e( da circunferncia e parábola e encontrando x = 0. A (olução comum x = 0 e y = &$ ou o ponto "0, &$% determina a (olução do (i(tema formado pela( tr( equaç5e(4 reta, circunferncia e parábola. 1etermina o ponto de inter(ecção entre e((e( ráfico(. 1etermina que a reta de equação y = &$ é tanente 7 circunferncia e 7 parábola. 6tem b& ara (aber o( ponto( de inter(ecção entre a( cur)a( de)emo( fa8er a re(olução do (i(tema4 x2 = y + $ e x 2 + y2 + y = 0. 9oo temo( y + $ + y2 + y = 0 3 y 2 + 2y + $ = 0, que tem dua( ra8e( iuai( y = &$. 9oo para y = &$ temo( x = 0 ")e!a em x 2 = y + $%. -ntão o ponto em comum entre a( cur)a( é (omente o ponto "0 , &$%. 6tem c& e!a que toda reta que pa((a pelo centro da circunferncia intercepta a parábola. 6tem d& : raio da circunferncia é

1 2

.

6tem e & A parábola tem conca)idade para cima. Resposta A reta !e e4&a1 é um quadrado poi( A, >1 e A> (ão (emento( conruente( e num papel retanular, loo de ?nulo( A e > com ;00 . A>1 é um quadrado que tem (ua( diaonai( A1 e > interceptando&(e em @ formando ?nulo( de ;0 0. e!a que o tri?nulo A> é ret?nulo i(ó(cele( em A. :( ?nulo(  e > do tri?nulo A> )alem ' 0 poi( > e A1 (ão diaonai( do quadrado A>1.

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S  =

2 2

) =

2

RESOSTA

2 2 −1 2

2−

1 2

.

=

2−

1 2

.

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RESOLUÇÃO : con!unto H $2 = I 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10,11} , +, . é anel. a% Dão Fá di)i(ore( de 8ero. Eal(o, poi( x é di)i(or de 8ero (e x . a = a . x = 0 = 12 , para a em H $2. :( di)i(ore( de 8ero (ão o( elemento( de H $2 que di)idem 12  " 12  = 0 %. Do anel do( inteiro( módulo $2 o( di)i(ore( de 8ero (ão 1, 2, 3, 4, 6 . b% @odo elemento não nulo é in)er()el. Eal(o, poi( todo( o( elemento( (ão in)er()ei(, inclu(i)e o 8ero. e!a exemplo(4 0 + 0 = 0 . 6n)er(o de 8ero é 8ero. 0 é o elemento neutro do anel.

: in)er(o de a é  12 − a a em H $2 . -xemplo(4 : in)er(o de 1 é  12 − 1 , poi( 1 + 11 = 0 . 6n)er(o de 1 é  11 . 6n)er(o de 4 é  12 − 4 , poi( 4 + 8 = 0 c% : (ubcon!unto do( elemento( in)er()ei( forma um (ubanel de J. erdadeiro, poi( o (ubcon!unto do( in)er()ei( é o próprio H $2, que é anel, loo, (ubanel "por (er (ubcon!unto%.

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e% Ká exatamente ' elemento( in)er()ei(. Eal(o, poi( todo( o( elemento( (ão in)er()ei(, inclu(i)e o 8ero. RESOSTA  O s&)%o+&to !os e#emetos $"ers>"e$s -orma &m s&)ae# !e R(

Q&est=o 3

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 x

Le!a

∫ 0

6&

dg (t ) dt 

dg dt 

é a derivada de g (t ).

dt ; x ∈ R

A função f é interá)el em todo inter)alo Ma,bN, a,b  x

orreto, poi( )e!a que f"x% =

∫ 0

dg (t ) dt 

∈  J, a < b.

dt ; x ∈ R = ( g (t )]0 = g ( x) + O.

f"x% é interá)el em todo inter)alo Ma,bN, poi( exi(te "x%4 J

x

→J

e (ua deri)ada

con(iderado( na que(tão. 66& A função f é deri)á)el e (ua deri)ada é a função . 6ncorreto, poi( (e f"x% = "x% + O então fG"x% = G"x%. 666& A função diferença f #  é uma função con(tante. orreto, poi( a diferença f #  = "x% + O # "x% = O "con(tante%. Resposta I e III apeas(

dg dx

, contnua,

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RESOLUÇÃO  x = I x + r P r ∈ BQ a o número

π    pertence

ao conjunto C1 .

 $ = I $ + r4 r ∈  BQ $ "racional% + racional é racional, loo  '= I ' + r P r 

=

∈Q

não pertence ao conjunto C1.

Q 3 r = $ era 3 r = 2 era R.

I  + r P r ∈ Q Q 3 r = 0 era 3 r = $ era R. e!a que !á temo( doi( elemento(,  e R,

pertencente( 7 C 4 ) o conjunto C 4 % o número 

π   (irracional)

∩  C

5,

9oo C 4

∩  C

5

não possui um único elemento.

∩  C 5 possui um único elemento.

2  pertence ao conjunto C  3  .

3  = I 3  + r4 r ∈  BQ 3 mais racional não dará

dado por

2  !á que

2 − 3 . Logo o número

3 + racional =

2 , e um número racional não é

2 não pertence ao conjunto

3.

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d) os conjuntos C 3 e C 1/3 são iguais. Vamos ver:

 * = I * + r  $ 4 r $ ∈ BQ e  $P* = I $P* + r2 4 r 2 ∈ BQ. * + r$ = $P* + r 2 ou r$ = r2 # /P*. Lempre Fa)erá racionai( r $ e r 2 tal que r$ = r2 # /P*. A((im4  * = I * + " r 2 & /P*% 4 r 2 ∈ BQ e  $P* = I $P* + r2 4 r 2 ∈ BQ. e) o número zero pertence ao conjunto C

π    e

C-

π   .

O número zero não pertence aos conjuntos pois não podemos ter que a segunda parcela tem de ser racional.

-

π    ou

- π   +

π   ,

já

RESOSTA Os %o+&tos C 6 e C 36 s=o $/&a$s( Q&est=o 23

RESOLUÇÃO : polinSmio "x% = x* # *x2 + Ox + m é mTltiplo de B"x% = x 2 & '. : polinSmio é di)i()el por x 2 & '. -ntão é di)i()el por "x&2% "x+2%. -ntão é di)i()el por "x&2% e "x+2%.

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&2

$

&*

O

$

&$ &2+O

m & ' + 2O + m

$

&*

O

m

$

&

$0 + O & 20 # 2O + m

@emo(4 & ' + 2O + m = 0 & 20 # 2O + m = 0 Je(ol)endo o (i(tema temo( O = & ' e m = $2. RESOSTA  G  H e m G 32( Q&est=o 22

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RESOLUÇÃO a%

b%

A tran(formação @"x,y% = "& x,y% é uma reflexão em torno do eixo y. A tran(formação dada fa8 reflexão em torno do eixo x e é dada por @"x, y% = " x, & y%.

@em auto)etor "0,&$% com auto)alor a((ociado iual a 2 V Um )etor não nulo ) em  é dito um auto)etor de @ (e exi(te um nTmero real W tal que @")% = W ). : e(calar W é denominado um auto)alor de @ a((ociado a ). ode&(e concluir que ) e @")% (ão paralelo( !á que W ) tem a me(ma direção de ). e!a que @"0,&$% = "0,$% e 2"0,&$% = "0, &2%3 "0, $% e "0, &2% não (ão paralelo(. 9oo não temo( auto)etor "0, &$% com auto)alor 2. c% @"2,0% = "2,0% e $ "2,0 % = "2,0%. omo @"2, 0% = $ "2,0%, )etore( paralelo(, temo( "2,0% com auto)alor $.

d%

@em auto)alor de multiplicidade 2V e!a que @"x.y% = O "x,y% = "x, &y%. Auto)alor $ para auto)etore( "x, 0%. Apena( $ como auto)alor. Dão Fá auto)alor de multiplicidade 2.

e%

Uma tran(formação linear é in)er()el (e for bi!etora. e!a que4 @" x, y % = "x, & y% de J 2 em J 2 é in!etora poi( para "a, b% ≠ "c, d% temo( @ "a, b% ≠ @ "c, d%. @" x, y % = "x, & y% de J 2 em J 2 é (obre!etora poi( para "x, y% no contradomnio J 2  teremo( (empre "x, & y% no domnio J 2. 9oo a tran(formação é bi!etora. 9oo tem in)er(a.

CRTICA W QUESTÃO : 6D- coloca como re(po(ta que a tran(formação não é in)er()el. 1e(cordamo( da re(po(ta. RESOSTA Tem a&to"etor X270 %om a&to"a#or asso%$a!o $/&a# a 3(

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RESOLUÇÃO x+y+8=$ 2x + 2y + 28 = ' *x + *y + '8 =  -(te (i(tema é impo(()el. e!a por e(calonamento4 Xultiplicando a primeira equação por &2 temo( &2x # 2y # 28 = &2. &2x # 2y # 28 = &2 2x + 2y + 28 = ' *x + *y + '8 = 

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