Resolução Guidorizzi Volume 4 Cap7
March 27, 2023 | Author: Anonymous | Category: N/A
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C APÍTULO 7 Exercícios 7.3 1. b) Para todo x [r , r ], ], temos x r . Logo, para todo x [r , r ] e para todo
natural k 1, temos x k
k !
r k k !
ak .
r k 1 k ! ak 1 lim ! k Temos L lim k Æ ak k Æ ( k 1)! r
Como L 1, a série numérica
lim
k Æ
r
( k 1)
0.
r k
Â
k 1
k ! é convergente.
Nestas condições, pelo critério M de de Weierstrass, a série
x k
 k ! converge
k 1
uniformemente em [r , r ], ], para todo r 0.
c) 2 k x k
2 k r k , para 0 x
1 2
.
Pelo critério da razão, lim k Æ
ak 1
ak
lim k Æ
2 k 1 ! r k 1 k k
2 r 1, pois
1 0 r . 2
2 r
Portanto,
 2 r é convergente. k k
k 1
Segue, do critério M de de Weierstrass, que a série
 2 x converge uniformemente k
k
k 1
1 em [r , r ], ], com 0 r . 2
], 0 r 1, e para todo natural k 1, temos d ) Para todo x [r , r ],
x k
2 k 1
r k
2 k 1
A série numérica
Â
k 1
lim
k Æ
ak 1 lliim ak k Æ
r k
2 k 1 (0 r 1) é convergente (pois, pelo critério da razão,
r k 1 2 k 3
1 lim 2 k 1 ! r r 1). ! 2 k r k k Æ 2 k 3
Segue, do critério M de de Weierstrass, que a série
x k
Â
2 k 1
k 1
converge uniformemente
em [r , r ], ], com 0 r 1.
3. Seja s( x )
 (k
1)
x k .
k 1
Como a série
Â
( k 1)r k é convergente para 0 r 1 e para x
r ,
k 1
( k 1) x k
 (k
que a série ( k 1)r k , segue
1) x k é
uniformemente convergente
k 1
em [r , r ], ], 0 r 1, à função s( x )
 (k
1) x k . Assim,
em [r , r ], ], 0 r 1, é
k 1
válida a integração termo a termo:
t
s ( x ) dx
Ú Â Ú
0
k 1
t
0
(k
k
1) x dx
Â
k 1
t 2
k 1
1 t , t
t
Temos d
t
s( x )dx Ú dt
0
Pelo teorema fundamental do cálculo,
s( x )
d t 2
d
dt 1 t
t
Ú s( x)dx
dt 0
( k 1) x k
2t t 2 (1 t ) 2
s(t ) , logo,
2 x x 2 2
(1 x )
Â
k 1
79
.
.
1.
2
x , uma função par, f ( x x ) sen nx será 7. a) Sendo f ( x x ) x x , x será uma função ímpar,
daí teremos bn 0, para n 1. Assim, a série de Fourier da função dada será da forma a0
2
 a
n
cos nx
k 1
onde a0
1
Ú
x 2 dx
2 2
e an
3
1
4 4 cos n x 2 cos x dx (1) n . n2 n2
Ú
2
Segue que a série de Fourier de f ( x x ) x x , x x , é
2
n
4
3
Â
n1
4 (1) n 2 cos nx . n
4
n 2 , para todo n e para todo x , e pelo critério M de Weierstrass, De ( 1) n 2 cos nx segue a convergência uniforme, em , da série de Fourier. (Lembre-se de que a série
Â
4
n1
é convergente.)
n2
b) Seja f ( x ) x , x .
Sendo a função f par, par, a série de Fourier será da forma
a0
2
an
1
Ú
1
Ú
x dx
2
x cos nx dx
n2
[(1)n
2
ÏÔÈ x ù ÌÍ n sen nx ú û0 ÔÓÎ
2
0
2
Ú x dx
Ú x cos nx dx
0
¸ Ô 2 È cos nx ù sen nx dx ý n 0 Ôþ ÍÎ n 2 úû 0 1
Ú
1].
80
n
n1
Cálculo dos coeficientes de Fourier: a0
 a
cos nx .
Resulta que a série de Fourier da função dada é:
2
[(1)n 1]
Â
2
n2
n1
cos nx .
2, se n é ímpar Ï Temos (1) n 1 Ì 0, se n é par
Ó
Então, a série de Fourier pode ser colocada na forma
2
Â
4
cos (2 n 1) x (2 n 1) 2
n1
2 [(1) n
1]
.
4
para todo x e e todo n 1, segue, do critério M de n2 n2 Weierstrass, que a série dada converge uniformemente em .
Como
cos nx
Ï x se x 0 c) Seja f ( x ) Ì Ó x se 0 x Temos a0
1
an
1
1
È 0 ÍÎ È 0 ÍÎ ÏÈ( ÌÍ ÓÎ
Ú Ú
( x ) dx
Ú 0
( x ) dx ú
( x ) cos nx dx
1
ù û
x )
Ú
n 0
sen nx ù n
0
úû
¸
1
þ
sen nx dx ý
Ú 0
1 n
È1 ÍÎ n 2
( x ) cos
0
Ú
nx dx
È sen nx dx ( ÍÎ
2 n 2
(1 cos n ) , para n 1, 2, ...
Como f ( x x ) é uma função par, bn 0 para n 1, 2, ... A série de Fourier é
2
2
Â
n1
n
1 ù (1 cos n ) 2 (1 cos n ) úû n
Logo, an
x)
sen nx ù
(1 co2s n ) cos nx n
81
úû 0
ou seja,
2
Â
4
cos (2 n 1) x (2 n 1) 2
n1
.
4 cos (2 n 1) x 4 , e todo natural n 1, segue, pelo 2 2 para todo x e ( 2n 1) ( 2 n 1) critério M de Weierstrass, que a série é uniformemente convergente em .
Como
2
8. a a) Seja f ( x x ) definida e de classe C em [ , ]].. Para cada natural n 1, temos
an
Ú f ( x) cocoss nx dx .
Integrando por partes,
an
Ï f ( x ) sen nx ] Ì[ Ó
1
n
¸
Ú
f ( x ) sen nx dx ý.
þ
O 1.º termo no 2.º membro é zero. Uma segunda integração por partes dá
an
1 n2
Ï f ( x ) cos nx ] Ì[ Ó
¸
Ú
f ( x ) cos nx dx ý .
þ
Portanto,
an
1 n2
Ï f ( Ì[
¸
) f ( )] cos n
Ú
f ( x ) cos nx dx ý.
þ
Ó
b) Como f é contínua em [ , ], ], an
1 n2
Ï f ( Ì Ó
) f ( )
Ú
Ú
f ( x ) dx é um número real. De segue que
¸
f ( x ) dx ý e, portanto, para todo n 1 e para todo x ,
þ
tem-se
Ï an cos nx 2 , onde M Ì f ( n Ó M
) f ( )
Ú
¸
f ( x ) dx ý.
þ
Por aplicação do critério M de Weierstrass segue que a série uniformemente convergente.
82
Â
n1
a n cos nx é
Exercícios 7.4
Ê x ˆ . Ë n 2 ¯
Â
2. Seja f ( x )
sen
n1
Temos sen x 2 n
1 x [0, 1]. n2
Pelo critério M de Weierstrass, a série
Â
n1
1]. Cada f n
Ê x ˆ converge uniformemente em [0, Ë n 2 ¯
sen
x
sen
é contínua em [0, 1]. n2 Nestas condições, pelo Teorema 2 da Seção 7.4 (integração termo a termo), temos
1
1
Ú Â Ú f ( x) dx , ou seja, 0
f ( x ) dx
0
n1
n
1 x È ù 2 sen 2 dx n cos Í 0 n 2 úû 0 n Î n1 1
 Ú
n1
Â
x
Daí, 1
Ê n 2 n 2 cos Ë
Ú Â 0
f ( x ) dx
n1
4. Seja f ( x )
Â
x x 2 n 2
Â
n1
Â
n1
n1
1 , x [0, 1]. n2
Como a série harmônica
que a série
Â
Ê 1 ˆ n 2 1 c os 2 . Ë n ¯
x 2 n 2 .
x
n1
Temos
ˆ 2 n ¯ 1
x x 2 n 2
1 n2
é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass
é uniformemente convergente em [0, 1].
83
As funções fn ( x )
x
são contínuas em e, então, em [0, 1]. Segue, do x 2 n 2 Teorema 1 da Seção 7.4, que f é é contínua em [0, 1]. Nestas condições, pelo Teorem Teoremaa 2 da
1
Ú e  podem ser permutados.
Seção 7.4, os símbolos
Daí,
Ú
1
0
f ( x ) dx
0
n1
1
Ú Â
0
n1
dx x 2 n 2
È1
 ÍÎ 2
x
x
0
2 n2
Â Ú x
n1
1
ù ln( x 2 n 2 )
Â
1
ln úû 2 0 n1
n1
1
dx
n2 1 n2
Portanto, 1
Ú 0
f ( x ) dx
Â
1 2
n1
5. Seja f ( x )
Â
n1
Temos arc tg
x
Ê 1 ˆ ln 1 2 . Ë n ¯
x arc tg 2 . n
n2
1 , x [0, 1]. n2
em [0, Â arc tg n x converge uniformemente a f em
Pelo critério M de Weierstrass, a série
2
n1
x 1]. Cada fn ( x ) arc tg 2 é contínua em [0, 1]. Portanto, podemos integrar termo a n termo uma série uniformemente convergente de funções contínuas.
Daí,
Ú
1
0
f ( x ) dx
1
Ú Â 0
n1
Â
n1
arc tg
x
dx n2
ÏÔÈ ÌÍ x arc tg ÔÓÎ
 Ú
n1
1
x ù n 2 úû 0
1
1
Ú
0
arc tg
n 2 x
x n2
¸Ô
dx
dx ý 0 n 4 x 2 Ôþ
84
ÏÔ Ìarc tg ÔÓ
Â
n1
n2
Ï 1 Ìarc tg 2 n Ó
1
n1
Â
È n2 Í Î2
n2
2
ù ¸Ô 2 4 ln ( x n )ú ý û 0 Ôþ 1
Ê 1 ˆ ¸ ln 1 4 ý . n
Ë
¯ þ 1
Logo, a série dada é convergente e tem por soma
6. Seja f ( x )
x n1
Â
n3
n1
Ú f (x ) d x. 0
.
a) Aplicando o critério da razão, n
L l im an1 n Æ an
lim nÆ
x 1 Þ a série
Â
x n ( n 1)3 ! x n1
x n1 n3
n1
3
x
é convergente.
Se L 1, o critério nada revela, mas, para x
Â
(1) n1
n1
n3
e
Â
n1
1 n3
1,
temos as séries
, que são convergentes.
O domínio de f é é o conjunto de todos os x para para os quais a série converge, ou seja,
x
1. Portanto,
Dom f [1, 1].
b) Temos
x n1 n3
1 n3
, x x [1, 1].
Como a série harmônica
Â
n1
1 n3
é convergente, segue, pelo critério M de Weierstrass,
que a série converge uniformemente em [ 1, 1].
85
x n1
As funções fn ( x )
n3
são contínuas. Então, pelo Teorema 1 da Seção 7.4, f éé
contínua. x n1
c) Como cada fn ( x )
3
é contínua em [1, 1] e a série
Â
x n1 3
converge
n1 n n uniformemente a f em em [1, 1], então, pelo Teorema 2 (integração termo a termo), temos
Ú
1
f ( x ) dx
1
1
È
Ú Â
Í 1Í În1
1
Logo,
Â
n1
n3 1
Â
f ( x ) dx
Â
1
x n1
1
n3
 Ú
ú dx úû n1
È x n ù Í n4 ú Î û1 n1
Ú 1
x n1 ù
1 (1) n
2
2
n4
2 (2 k 1) 4
dx
34
2 54
...
Â
k 0
2 ( 2 k 1) 4
.
.
k 0
d ) Para todo x [1, 1], seja f ( x )
x n1
Â
n3
n1
A série
Â
( n 1) x n2 n3
n1
Weierstrass (pois
converge uniformemente em [1, 1], pelo critério M de
(n 1) x n2 n3
.
n 1 n3
1 n2
, x x [1, 1]).
x n 1 é de classe C 1 em [1, 1]. Cada f ( x ) n3
Nestas condições, pelo Teorema 3 da Seção 7.4 (derivação termo a termo), para todo x [1, 1], segue
f ( x )
 f ( x ) Â
n
n1
n1
( n 1) x n2 n3
86
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