Resolução Exercícios - Plinio Cap 2

May 13, 2019 | Author: LazaroRangel | Category: Prime Number, Integer, Theorem, Equations, Numbers
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Este arquivo contém a resolução dos exercícios do capítulo 2 do livro Introdução à Teoria dos Números cujo autor é José ...

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Teoria dos Números 1.

Mostrar que 47 | 2

23

Capítulo 2 (Exercícios)

1.

Para mostrar que 47 | 2 23  1, devemos mostrar que 2 23 ≡ 1 (mod 47). Notemos que 2 10 = 1024 = 37 + 47  21. Ou seja, 210 ≡ 37 (mod 47) 10 2

Então, [2 ]

≡ (10)

2

 (mod 47)



20

 2

≡ 100 (mod 47)



 2

20



 210 ≡ 10 (mod 47).

≡ 6 (mod 47) (I)

Vejamos, agora, que 23 = 8 = 47  39, ou seja, 23 ≡ 39 (mod 47) (II). De (I) e (II), (220  23) ≡ 6  (39) (mod 47) Mas, 234 = 1  47  5, então 2

2.

23



 223 ≡ 234 (mod 47).

≡ 1 (mod 47).



34

63

Encontrar o resto da divisão de 7  por 51 e o resto da divisão de 5  por 29. 2

2 17

i) Vejamos que 7 ≡ 2 (mod 51). Então, (7 )

Porém,

 ≡   

 } ⇒

 ≡   

≡ (2)

17

 (mod 51)

⇒2

 210  27 ≡ 4  26 (mod 51)

Dessa forma, 217 ≡ 2 (mod 51)



17

2

17



 734 ≡ 217 (mod 51). (I)

≡ 104 (mod 51)

≡ 49 (mod 51). (II)



 217 ≡ 2 (mod 51).

De (I) e (II), temos que 734 ≡ 49 (mod 51), o que indica que o resto da divisão de 7 34 por 51 é 49. ii) Notemos que 5 ≡ 9 (mod 29), o que nos dá: 5

3

63

Mas, 33 ≡ 2 (mod 29)

 342 ≡ 216 (mod 29) (II)

⇒ ⇒

 342 ≡ (2)16 (mod 29)

No entanto, 2 8 ≡ 13 (mod 29)

≡9

21

⇒⇒

 (28)2 ≡ 132 (mod 29)

 (mod 29). Como 9 = 3 2, 563 ≡ 342 (mod 29) (I)

 216 ≡ 169 (mod 29)



 216 ≡ 24 (mod 29) (III).

De (I), (II) e (III), temos que 563 ≡ 24 (mod 29), ou seja, o resto da divisão de 5 63 por 29 é 24.

3.

2

2

Mostrar que se p é um ímpar e a  + 2b = 2p, então “a” é par e “b” é ímpar. Teremos 4 casos: 1º Caso: “a” par e “b” par

Dessa forma, teremos: a = 2x e b = 2y (x e y inteiros). Então, a2 + 2b2 = 4x2 + 8y2 = 4(x2 + 2y2). Já que a2 + 2b2 = 2p, temos que 4(x 2 + 2y2) = 2p 2º Caso: “a” ímpar e “b” par



 p = 2(x2 + 2y 2), o que é um absurdo, pois p é ímpar.

Dessa forma, teremos: a = 2x + 1 e b = 2y (x e y inteiros). 2

2

2

2

2

2

2

2

Então, a  + 2b  = (2x + 1)  + 2(2y)  = 4(x  + 4x + y ) + 1, o que é absurdo, pois a  + 2b  = 2p. 3º Caso: “a” ímpar e “b” ímpar

Dessa forma, teremos a = 2x + 1 e b = 2y + 1 (x e y inteiros) Então, a2 + 2b2 = (2x + 1) 2 + 2(2y + 1)2 = 2(2x2 + 2x + 4y2 + 4y + 1) + 1, o que é absurdo, analogamente ao caso 2. 4º Caso: “a” par e “b” ímpar

Dessa forma, teremos a = 2x e b = 2y + 1 (x e y inteiros). Então, a2 + 2b2 = (2x)2 + 2(2y + 1)2 = 2(2x2 + 4y2 + 4y + 1). Dessa forma, teríamos que p = 2x2 + 4y2 + 4y + 1, verificando o fato de p ser ímpar. 2

2

Ds cass , , 3 e , teres que, para “p” ípar, a  + 2b  = 2p somente para “a” par e “b” ípar.



4.

Provar que para p primo (p

1)! ≡ p

1 (mod 1 + 2 + ... + (p

1)).

Notemos que: (p  1) ≡  1 (mod p) e (p  1)! ≡ 1 (mod p) (Teorema de Wilson). Pela transitividade, teremos que: (p  1)! ≡ p  1 (mod p). Isso nos mostra que p | (p  1)!  (p  1). Temos, também, que (p  1)!  (p  1) = (p  1)  [(p  2)!  1], ou seja, p  1 | (p  1)!  (p  1). Disso, segue que

p    | (p  1)!  (p  1). 

Notando, porém, que 1 + 2 + ... + (p  1) = p 

5.

(

)

p   p   p    são primos entre si, temos que p   | (p  1)!  (p  1), ou seja, (p  1)! ≡ p  1  p  .   

Como p e

p   , tem-se provado o resultado. 

Encontrar o máximo divisor comum de (p

1)!



1 e p! (primo).

Se p = 2, teremos que (p  1)!  1 = 0 e p! = 2, ou seja, mdc((p  1)!  1, p!) = mdc(0, 2) = 2. Se p = 3, teremos que (p  1)!  1 = 1, ou seja, mdc((p 1)!  1) = 1. Suponhamos, então, p  2. Seja d um divisor comum de (p  1)!  1 e de p!. Notemos que, se d = p, então d  (p  1)!  1. Consideremos, portanto, d  p. Como d | p! = p  (p  1)! e d  p, então d | (p  1)!. Mas d | (p  1)!  1, por hipótese. Se d | (p  1)! e d | (p  1)!  1, então d | 1, logo d = 1. Então, mdc((p  1)!  1, p!) = 1, se |p|  2 e mdc((p  1)!  1, p!) = 2, se |p| = 2. Nota: Do Teorema de Wilson, p | (p  1)! + 1. Dessa forma, se p | (p  1)!  1 = (p  1)! + 1  2, então p divide a 2, ou seja,

p = 2.

6.

Mostrar que para n  4 o resto da divisão por 12 de 1! + 2! + ... + n! é 9. Queremos provar que, para n

  4,

o resto da divisão de 1! + 2! + ... + n! por 12 é 9. Ou seja, se N = 1! + 2! + ... + n!,

queremos mostrar que N ≡ 9 (mod 12). Notemos que 1! + 2! + 3! = 9, e que 4! = 24. Então, 1! + 2! + 3! + 4! + ... + n! = 9 + (4! + 5! + ... + n!) = 9 + 4!(1 + 5 + 6  5 + ... + n  (n  1)  ...  6  5). Então, para n  4, teremos que 1! + 2! + 3! + ... + n! = 9 + 4! . k. Porém, 4! = 24 = 12  2. Então, 12 | 4!  k (k inteiro). Sendo assim, podemos escrever: 1! + 2! + 3! + ... + n! = 9 + 12  m (m

∈ℤ

), para n  4.

Logo, se N = 1! + 2! + 3! + ... + n! = 9 + 12  m, então N ≡ 9 (mod 12), tendo provado o resultado.

7.

Mostrar que para n inteiro 3n

2



1 nunca é um quadrado.

Notemos que 3n2  1 = 3n2  3 + 2 = 3(n  1)(n + 1) + 2 = 3k + 2. Basta mostrarmos que nenhum quadrado é da forma 3k + 2. Um número t, qualquer, pode ser das formas: t = 3k, t = 3k + 1 ou t = 3k + 2. Então, (I) t = 3k

⇒⇒

 t2 = 9k2 = 3  (3k2) = 3k1 2

2

2

(II) t = 3k + 1  t  = (3k + 1)  = 9k  + 6k + 1 = 3k2 + 1 (III) t = 3k + 2



 t2 = (3k + 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = 3k2 + 1.

Dessa forma, temos provado que um quadrado nunca é da forma 3k + 2 e, consequentemente, que 3n 2  1 nunca é um quadrado.

8.

Resolver as seguintes congruências. (a) 5x ≡ 3 (mod 24)

Vejamos que, existe y inteiro tal que: 5x = 3 + 24y, ou seja, 5x  24y = 3. Procuramos, portanto, soluções para essa Equação Diofantina. Vejamos que: 5  5  24 = 1



 (3  5)  5  3  24 = 3

Dessa forma, 5  (x  15)  24  (y  3) = 0





 x = 15 e y = 3 é uma solução particular.

 x = 15 +

    3 



 y = 3 + 5  k



 x = 15 + 24  k



 x ≡ 15 (mod 24)

Vejamos, porém, que, dada a equação ax + by = c, com d = mdc(a, b), se d | c, então para uma solução particular x = x 0, teremos que: x = x 0 +

( ) ∈ℤ b 

 k

(k

).

Para a nossa equação 5x  24y = 3, teremos que d = mdc(5, 24) = 1. Para x0 = 15, teremos: x = 15 + Isso nos dá a solução x ≡ 15 (mod 24).

( ) 



 k

= 15  24  k.

(b) 3x ≡ 1 (mod 10)

Queremos encontrar a solução da equação 3x  10y = 1. Notemos que mdc(3, 10) = 1 | 1. Vejamos que x = 3 e y = 1 é uma solução particular. Dessa forma, 3  (x + 3)  10  (y + 1) = 1



 x = 3 +

     3



 x = 3 + 10  k (k inteiro)



 x ≡ 3 (mod 10)



 x ≡ 7 (mod 10).

(c) 23x ≡ 7 (mod 19)

Queremos encontrar a solução da equação 23x  19y = 7. Vejamos que mdc(23, 19) = 1 | 7. Isso garante a existência da solução. Notemos que, 23 = 19 + 4, que 19 = 3  4 + 7, então, multiplicando a primeira igualdade por 3, teremos: 3  23 = 3  19 + 3  4 = 3  19 + (19  7)



3  23

+ 4  19 = 7, dessa forma x = 3 e y = 4 é uma solução particular.

Teremos, então, que 23(x + 3)  19(y + 4) = 0, o que nos dá: x =  3 + O que nos dá, como solução, a classe de congruências: x

     3



 x = 3 + 19  k (k inteiro).

≡ 3 (mod 19), ou seja, x ≡ 16 (mod

19).

(d) 7x ≡ 5 (mod 18)

Vejamos que mdc(7, 18) = 1 | 5, então existe solução. Dessa forma, queremos a solução da equação 7x  18y = 5. Temos que: 18  2  7 = 4, ou seja, 3  18  6  7 = 3  4 = 12 = (7 + 5). Então, 3  18  7  7 = 5. Assim, uma solução particular para a equação é x = 7 e y = 3. Então, 7  (x + 7)  18  (y + 3) = 0, ou seja, x = 7 + 18  k (k inteiro). As soluções são tais que x

≡ 7 (mod 18) ≡ 11 (mod

18)



 x ≡ 11 (mod 18).

(e) 25x ≡ 15 (mod 120)

Vejamos que mdc(25, 18) = 5 | 15. Dessa forma, existem 5 soluções. Notemos que 25x  120y = 15 é tal que 5x  24y = 3 e, do item (a), temos que x = 15 (e y = 3) é uma solução particular.   k, para k inteiro. Serão, então, mais 4 soluções. Ou seja,       1 = 39, x2 = 15 +  2 = 63, x3 = 15 +  3 = 87 e x4 = 15 +  4 = 111. x1 = 15 +    

Dessa forma, x = 15 +

Dessa forma, teremos as soluções: x ≡ 15 (mod 120), x ≡ 39 (mod 120), x ≡ 63 (mod 120), x ≡ 87 (mod 120) e x ≡ 111 (mod 120).

9.

3

5

Mostrar que 5n  + 7n ≡ 0 (mod 12) para todo inteiro n . Notemos, inicialmente, que: 5 ≡ 7 (mod 12) e 7 ≡ 5 (mod 12). Teremos, então:

(I) Se n ≡ 0 (mod 12)

(II) Se n ≡ 1 (mod 12)

⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

3 ≡     ≡    3 ≡    

 ≡   

(III) Se n ≡ 2 (mod 12)

(IV) Se n ≡ 3 (mod 12)

(V)

Se n ≡ 4 (mod 12)

(VI) Se n ≡ 5 (mod 12)

⇒ ⇒

⇒ ⇒

3 ≡   

 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12)

 ≡   

3 ≡    

 5n3 + 7n5 ≡ 12 (mod 12)

 ≡   

3 ≡    

 ≡ 3   ≡    3 ≡    ≡ 3   

⇒ ⇒ ⇒ ⇒



 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12)

3 ≡    ≡    

 ≡    ≡   

⇒ ⇒ ⇒

 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12)

3 ≡    ≡ 3   

 ≡ 3   ≡ 3  

 ≡    ≡ 3  

3 ≡    ≡   

3 ≡    ≡   

 ≡    ≡   

 ≡    ≡   

3 ≡    ≡   

3 ≡ 3   ≡   

 ≡ 3   ≡   

 ≡    ≡   

3

 5n  + 7n

5

≡ 0 (mod

12)

 5n3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12)

(Basta continuar a verificação para n ≡ 6 (mod 12), n ≡ 7 (mod 12), n ≡ 8 (mod 12), n ≡ 9 (mod 12), n ≡ 10 (mod 12) e n ≡ 11 (mod 12)) 3

5

3

5

3

Uma outra forma de pensar, é notar que 5 = 12  7. Ou seja, 5n  + 7n  = (12  7)n  + 7n  = 12n  + 7  (n

5

 n



3

).

Dessa forma, como 7 é primo, devemos mostrar que n5  n3 é divisível por 12. Para tanto, basta mostrarmos que n 5  n3 é divisível por 3 e por 4. Se 3 | n, nada temos a provar. Suponhamos, então, que 3  n. Então n ≡ 1 (mod 3) ou n ≡ 2 (mod 3). Se n ≡ 1 (mod 3), então n5 ≡ 1 (mod 3) e n3 ≡ 1 (mod 3). Dessa forma, n5  n3 ≡ 0 (mod 3), ou seja, 3 | n 5  n3. Se n ≡ 2 (mod 3), então n5 ≡ 2 (mod 3) e n3 ≡ 2 (mod 3). Dessa forma, n5  n3 ≡ 0 (mod 3). Provemos agora que 4 | n5  n3. Ora, n5  n3 = n2  (n3  n). Ou seja, se n é par, 4 | n2 e, portanto, 4 | n 5  n3. Suponhamos, então, n ímpar. Então, n ≡ 1 (mod 4) ou n ≡ 3 (mod 4). Se n ≡ 1 (mod 4), então n5  n3 ≡ 0 (mod 4). Se n ≡ 3 (mod 4), então n5 ≡ 243 (mod 4) ≡ 3 (mod 4) e n3 ≡ 27 (mod 4) ≡ 3 (mod 4). Então n 5  n3 ≡ 0 (mod 4). Dessa forma, n

5

 n

3

 é divisível por 4.

Se 3 | n 5  n3 e 4 | n5  n3, então 12 | n5  n3, logo 12 | 5n3 + 7n5 e, portanto, 5n 3 + 7n5 ≡ 0 (mod 12).

n

10. Seja f(x) = a0 + a 1x + ... + a nx  um polinômio com coeficientes inteiros onde a n > 0 e n

∎  1.

Mostrar

que f(x) é composto para infinitos valores da variável x. 11. Mostrar que se p 1 e p2 são primos tais que p2 = p1 + 2 e p1 > 3, então p 1 + p2 ≡ 0 (mod 12). Vejamos que, dividindo um número por, obtemos números da forma 6k, 6k + 1, 6k + 2, 6k + 3, 6k + 4 e 6k + 5. Notemos, também, que 6k, 6k + 2, 6k + 3 e 6k + 4 não são primos. Dessa forma, os números primos são da forma 6k + 1 ou 6k + 5. Como p1 > 3, então p 1  5, ou seja, p 2  7. Então: Se p1 = 6k + 5, então p2 = 6k + 7, ou seja, p1 + p2 = 12k + 12 = 12(k + 1). Então, p 1 + p2 ≡ 0 (mod 12). Se p2 = 6k + 1, então p1 = 6k  1, ou seja, p1 + p2 = 12k. Então, p1 + p2 ≡ 0 (mod 12).

Observação: Notemos que: Se p1 = 6k + 1, então p2 = 6k + 3 (Absurdo, pois p2 é primo). Se p2 = 6k + 5, então p1 = 6k + 3 (Absurdo, pois p1 é primo).



2

2

12. Mostrar que para a e b inteiros temos que 3 | (a  + b )

3 | a e 3 | b.

Suponhamos que 3 não divida a pelo menos um entre a e b (suponhamos que 3  a, sem perda de generalidade). Teremos, assim, 6 casos para analisar: (I)

a ≡ 1 (mod 3) e b ≡ 0 (mod 3). Dessa forma,

(II)

    

a ≡   3 

b ≡   3

a ≡ 1 (mod 3) e b ≡ 1 (mod 3). Dessa forma,

a ≡   3 

b ≡   3

(III) a ≡ 1 (mod 3) e b ≡ 2 (mod 3).

Dessa forma,

⇒ ⇒

 a2 + b2 ≡ 0 (mod 3)

 a2 + b2 ≡ 2 (mod 3)

a ≡   3 

b ≡   3 ≡   3

(IV) a ≡ 2 (mod 3) e b ≡ 0 (mod 3).

Dessa forma, (V)

a ≡   3 ≡   3 

b ≡   3

a ≡ 2 (mod 3) e b ≡ 1 (mod 3). Dessa forma,

a ≡   3 ≡   3 

b ≡   3

(VI) a ≡ 2 (mod 3) e b ≡ 2 (mod 3).

Dessa forma,



a ≡   3 ≡   3 

b ≡   3 ≡   3

⇒ ⇒ ⇒

⇒ ⇒

 3  a2 + b2 (Absurdo!).

 3  a2 + b2 (Absurdo!).

⇒ ⇒ ⇒

 a2 + b2 ≡ 2 (mod 3)

 3  a2 + b2 (Absurdo!).

 a2 + b2 ≡ 1 (mod 3)

 3  a2 + b2 (Absurdo!).

 a2 + b2 ≡ 2 (mod 3)



 3  a2 + b2 (Absurdo!).

 a2 + b2 ≡ 2 (mod 3)



 3  a2 + b2 (Absurdo!).

É, então, absurdo supor que 3  a ou 3  b, então 3 | a e 3 | b.

2



2

2

13. Sejam p1, p2 e p 3 primos tais que p = (p 1)  + (p 2)  + (p3)  é primo. Mostrar que algum dos p i’s é igual a 3. Suponhamos que nenhum dos p i’s seja igual a 3. Ist é, pi ≡ 1 (mod 3) ou pi ≡ 2 (mod 3). Notemos que, se x ≡ 1 (mod 3), então x 2 ≡ 1 (mod 3). Se x ≡ 2 (mod 3), então x2 ≡ 4 (mod 3) ≡ 1 (mod 3). Dessa forma, (pi)2 ≡ 1 (mod 3). Então, (p1)2 + (p2)2 + (p3)2 = 1 + 1 + 1 (mod 3)



 p ≡ 3 (mod 3)



 p ≡ 0 (mod 3).

Vejamos que p i  2, então p  6. Sendo p primo, temos que p ≡ 0 (mod 3) implica em p = 3, o que é absurdo, pois p  6. Dessa forma, ao menos um dos p i’s eve ser congruente a 0 módulo 3. Sendo que os p i’s sã pris, etã a es u deles deve ser igual a 3.

2

∎ 2

14. Mostrar que 3x  + 4x ≡ 3 (mod 5) é equivalente a 3x Vejamos que:



2

2

x  + 2 ≡ 0 (mod 5).

 ≡     3 ≡   

Dessa forma, 3x2 + 4x2 ≡ 3 (mod 5) é equivalente a 3x 2  x2 ≡ 2 (mod 5), ou melhor, 3x2  x2 + 2 ≡ 0 (mod 5).

15. Mostrar que p | Notemos que,

 p

 p

, onde 0 < k < p .



 =













p p  p   p    p    p  3  p     = = p   = p  m (m    p     p   

Então, claramente p | p  m = p  p  1  m, dessa forma, p |

 p

∈ℤ

).

.





18. Mostrar que 3

10

2

≡ 1 (mod 11 ).

Vejamos que 3 5 ≡ 1 (mod 242), isto é, 35 ≡ 1 (mod 112). Dessa forma, tem-se imediatamente, que 3 10 ≡ 1 (mod 112).



19. Resolver os seguintes sistemas.  ≡ 1 mo 2

a)

{

 ≡ 2 mo 3  ≡ 5 mo 

Inicialmente, notemos que m = 2  3  7 = 42 (I)

Temos que: y1 =

̅ ̅ ̅

  = 21 

̅ ̅ ̅

Além disso,   é solução particular de y1  x ≡ 1 (mod 2), ou seja, 21x ≡ 1 (mod 2), ou seja,   = 1. (II)

Temos que: y2 =

  = 14 3

Além disso,   é solução particular de y2  x ≡ 1 (mod 3), ou seja, 14x ≡ 1 (mod 3), ou seja,   = 2. (III) Temos que: y3 =

  = 6 

Além disso, 3  é solução particular de y3  x ≡ 1 (mod 7), ou seja, 6x ≡ 1 (mod 7), ou seja, 3  = 6.

∑̅ 3

ssa sluã é, prtat,  ≡

bi ii  

i

Então, x ≡ 257 (mod 42), ou seja, x ≡ 5 (mod 42). Os outros sistemas são análogos. Lembrar que, por exemplo, a congruência 2x ≡ 1 (mod 5) equivale a x ≡ 3 (mod 5). 7

21. Mostrar que a ≡ a (mod 21) para todo inteiro a. Basta mostrarmos que a7  a é divisível por 7 e por 3. Mostremos, inicialmente, que 7 | a

7

 a.

Notemos que a 7  a = a  (a 6  1). Se 7 | a, nada temos a provar. Suponhamos, então, que 7  a. Dessa forma, do Pequeno Teorema de Fermat, temos que a7  1 ≡ 1 (mod 7), ou seja, 7 | a6  1, o que prova que 7 | a 7  a. Vejamos, também, que a

7

 a

= a  (a

6

 1)

3

= a  (a

3

 1)  (a

2

 + 1) = (a  1)  a  (a + 1)  (a

 a

2

+ 1)  (a  + a + 1). É claro que um

dos fatores (a  1), a ou (a + 1) é divisível por 3, dessa forma, a 7  a é divisível por 3. Conclui-se, então, que 7 | a7  a e 3 | a7  a, ou seja, 21 | a7  a, e, portanto, a7 ≡ a (mod 21).



22. Mostrar que para a e b inteiros, com mdc(a, b) = 1 temos: a

(b)

 + b

(a)

≡ 1 (mod ab).

Vejamos que, como mdc(a, b) = 1, temos, do Teorema de Euler, que a (b) ≡ 1 (mod b) e b(a) ≡ 1 (mod a). Ou seja, temos que b | a (b)  1 e a | b(a)  1. Assim, ab | (a(b)  1)  (b(a)  1) = a(b)  b(a)  a(b)  b(a) + 1. Porém, ab | a(b)  b(a). Dessa forma, deveremos que ter que ab |  a(b)  b(a) + 1 ou melhor, ab | a(b) + b(a)  1. (b)

Isso implica que a  + b

(a)

≡ 1 (mod

ab).



23. Provar ou dar um contra exemplo: “Se a e m são inteiros, mdc(a, m) = 1, então 2

(m) 1

m | (1 + a + a  + ... + a

)“

Como mdc(a, m) = 1, o Teorema de Euler nos garante que a 

(m)

≡ 1 (mod m). Ou seja, m | a

(m)

 1.

Mas, a(m)  1 = (a  1)  (a(m)  1 + ... + a2 + a + 1). Ou seja, mdc(a, m) = 1



 m | (a  1)  (1 + a + a 2 + ... + a (m)  1).

Assim, se m | a  1, não podemos afirmar que m | (1 + a2 + ... + a(m)  1). Para um contra exemplo, é necessário tomarmos a e m tais que a ≡ 1 (mod m). Tomemos, por exemplo, a = 3 e m = 2. Dessa forma, (2) = 1, ou seja, teremos que 2  3(2)  1) = 1, contrariando a afirmação inicial.

24. Mostrar que se p e q são primos, p  q  5, então p

2

2

q ≡ 0 (mod 24).

Devemos verificar que 3 | p2  q2 e 8 | p 2  q2. 2

2

Como p e q são maiores que ou iguais a 5, então ambos são ímpares. Vejamos que, se p = 2k + 1, então p  = 4k  + 4k + 1, ou melhor, p2 = 4k  (k + 1) + 1. Porém, k  (k + 1) = 2k1, ou seja, p2 = 8k1 + 1. O que nos leva a atribuir q 2 = 8k2 + 1. Então, p2  q2 = 8  (k1  k2), ou seja, 8 | p 2  q2. Basta verificarmos, agora, que 3 | p2  q2. Ora, nas condições dadas, temos que p e q não são múltiplos de 3. Então, temos, por exemplo, p ≡ 1 (mod 3) ou p ≡ 2 (mod 3). Já verificamos anteriormente, que se x ≡ 1 (mod 3), então x

2

2

≡ 1 (mod 3) e que se x ≡ 2 (mod 3), então x ≡ 1 (mod 3).

Dessa forma, teremos que p 2 ≡ 1 (mod 3) e, consequentemente, q 2 ≡ 1 (mod 3). Assim, p2  q2 ≡ 0 (mod 3), ou seja, 3 | p 2  q2. Isso implica, portanto, que 24 | p 2  q2, ou melhor, p2  q2 ≡ 0 (mod 24).



n

Capitulo 1: Mostrar que 2  + 1 nunca é um cubo. Para tanto, suponhamos 2n + 1 = k3. Dessa forma, 2n = k3  1 = (k  1)(k2 + k + 1). Vejamos que k 2 + k + 1 = k  (k + 1) + 1 Necessariamente, k  (k + 1) é par, o que faz com que k  (k + 1) + 1 seja ímpar. n

2

2

n

n

Isso é um absurdo, pois 2  = (k  1)  (k  + k + 1), ou seja, k  + k + 1 é um dos fatores de 2  e 2 (por ser uma potência de 2) apresenta apenas fatores iguais a 2. Então, 2n + 1  k3, para todo inteiro k, isto é, 2n + 1 não pode ser um cubo.



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