resmat_tensao

Resistência dos Materiais Universidade Federal Fluminense Fl uminense

2

Bibliografia

Emil Sanchez – Elementos de Mecânica dos Sólidos.

3

2. Conceitos de Mecânica dos Sólidos

1. Tensões 2. Deformações 3. Elasticidade 4. Plasticidade

4

2. Conceitos de Mecânica dos Sólidos

Operador delta de Kronecker δij

δij

1 se i   j  0 se i   j

 1 0 0    0 1  0  Simétrico δij  δ ji  i  j 0 0 1

Exemplo : δij Ai

,



A j

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Conceito de Tensão

Equilíbrio Estático (Forças e Momentos)

Método das Seções 5

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Conceito de Tensão

Diagrama de Corpo Livre (DCL): Vetor Tensão no Ponto P(x i)

 Área A Normal n 6

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Conceito de Tensão

Condição de Equilíbrio (2ª Lei de Newton)

7

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Conceito de Tensão

Vetor Tensão n

n

T

 lim

A 0

P

A

Componentes n

  lim A 0

Pn n

  lim A

Módulo

A

Pt A

n

T





2



2

8

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Conceito de Tensão

Componentes do Vetor de Tensão (O,X1,X2,X3)

9

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Conceito de Tensão 1

Decomposição do Vetor T 1

T  σ11 e1  σ12 e2  σ13 e3 Demais componentes 2

T  σ21 e1  σ22 e2  σ23 e3 3

T  σ31 e1  σ32 e2  σ33 e3 10

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Tensor de Tensões de Cauchy

Componentes do Tensor de Tensão

 σ11    σ12 σ  13

σ 12 σ

22

σ

23

  σ 23  σ 33  σ 13

Tensor simétrico

11

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Tensor de Tensões de Cauchy

Componentes do Tensor de Tensão

σ    σ  σ

rr 

σ r 

σ rz

r 

σ 

σ z

zr 

σ z

σ zz

Coordenadas cilíndricas 12

   

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Tensor de Tensões de Cauchy

Estados de tensões  σ11  Uniaxial : compressão ou tração ij   0  0   σ11 σ12 0   0 Estado Plano ij   σ 21 σ 22  0  0 0  

Hidrostático

σ 0  ij   0 σ  0 0

0

0

 0 0 

0 0

0

 0 σ  

13

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Tensões Principais

 σ11  ij   σ 21  σ 31

σ12

σ13

σ 22

σ 23

σ 32

σ 33

   



 σ1  i   0  0

0 σ2

0

0

 0 σ3  

Neste caso, o vetor de tensão fica reduzido a n

T



σn

E a partir das equações de contorno tem-se

n ij  j

σ

 σn

 j



(σij  σij) n j  0

14

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Tensões Principais

Sistema de equações lineares e homogêneas cuja solução fornece as tensões principais (auto-valores) e as orientações dos planos principais (auto-vetores):

(σij  σij) n j  0



σ

ij

 σ

ij

0

Solução não-trivial

(σ11 σ) σ 21 σ 31 

σ12 (σ 22 σ) σ 32 

σ13 σ 23 (σ 33





0

σ) 15

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Tensões Principais

Equação característica

σ

3

I σ 1



2



I σ 2



I



3

0

I1, I2 e I3 são os invariantes do tensor de tensões I1

I2



Tr (σ)  σ11  σ22 σ



I2



I2



σ

11

σ

21

σ

12

(σ11σ 22

σ



22

σ

 σ33  σii

11

σ

31

σ

13



33

σ

22

σ

23

σ

32

σ

33

 σ 22 σ 33  σ 33 σ11

1  (Tr σ) 2 2



Tr(σ) 2  

1 2



)  (σ 2

σ

12

2 ii 

σ σ

1 1 3 I3  det (σ)  Tr(σ )  σijσ jk σ ki 3 3

 σ

ij ij

2 23

 σ

2 31

 16

)

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Tensões Principais

Cada tensão principal

σ

i

(i  1 2 3)  ,

 ,

está associada a uma direção principal n σ



n (i)



σ

 (σ11  σi )   

σ

21

σ

31

(i) n i

1 

e σ

σ

2 

σ

3

(i)

ou

(i)  n σ σ  1  12 13 n (i)   0  (σ 22  σi ) σ 23 2    (i) (  σ σ σ )  n 32 33 i  3 

17

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Estado Plano de Tensões

X

2

  

  n

   n n

    

n   t   

22

t      



21

    



t    t   

11

X O

 X

=

3



1



11

12



22

18

Deformações

Tensões

Elasticidade

Plasticidade

Estado Plano de Tensões

Equações de transformação de tensões sen2α 2 senα cos    σ11  σ nn   cos2 α       σ tt    sen2α cos2 α  2 senα cos   σ 22        σ nt   senα cos  senα cos  (cos2 α  sen2α)  σ12   

ou sen2α  σ11   cos2 α  2 senα cos   σ nn       σ 22    sen2α cos2 α 2 senα cos    σ tt        σ12  senα cos   senα cos  (cos2 α  sen2α)  σ nt   

19

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Estado Plano de Tensões

Tensões máximas normais (Tensões Principais) σ

nn 

dσ nn d

(σ11  σ 22) 2



0





(σ11  σ 22) cos 2α  σ12 sen2α 2

tan 2α P

σ



12

(σ11  σ 22 ) 2 2

σ

1, 2

(σ11  σ 22) σ   11  σ 22   2     σ12  2 2     20

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Estado Plano de Tensões

Tensões máximas de cisalhamento - Exercício

σ

nt



dσ nt d



0

(σ11  σ 22) sen2α  σ12 cos 2α 2



tan 2α C

 

(σ11  σ 22 ) 2 σ

12

2

τ

Máx

σ 11  σ 22   2     σ   12 2    

21

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Estado Plano de Tensões

Círculo de Mohr - Máx

- 12 

11

O 

2



C

2C1



nt

1



nn

2P1

22

(11+22)/2



+ 12

+ Máx 22

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Decomposição do Tensor de Tensão

ij  M ij  Sij

Componente hidrostática 1 M 

ii 

3 Componente desviadora Sij  11 12  ij   21 22  31 32

13 23 33

1 3

(11  22  33 )

 ij  Mij

  M 0  S11 0      0 0   M      S21   0 0 M   S31

S12

S13

S22

S23

S32

S33

    23

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Tensões Desviadoras

Invariantes do tensor de tensões desviadoras J1  Tr ( S )  S11  S22  S33

J2



J2



J3



1 2 1 6



0

SijSij

(

σ

xx  σ yy

det (S)

1 

3

) 2  (σ yy  σ zz ) 2  (σ zz

 σ xx

) 2  σ 2xy

2 2  σ yz  σ xz

SijS jk Ski 24

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Tensões Desviadoras

Componentes principais das tensões desviadoras S1 S2 S3







2  1



   2    3



3 2  2



   1    3



ou

Si



σ

i



σ

M

3 2  3



   1    2



3

25

Deformações

Elasticidade

Tensões

Plasticidade

Tensão Equivalente

σ



σ 

3 S:S  2

3 J 2 (σ) 

1 2

(

11  σ 22

σ

2 6 (σ12



)2



(σ 22

2

2

 σ 23  σ 31

3 Sij Sij 2

 σ 33

)

)2



(σ 33

 σ11

)2

1  2

ou σ 

1 2

(

1  σ2

σ

)2



(σ 2

 σ3

)2

(

 σ 3  σ1

1 ) 2  2



26