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Aula Teórica de 17 – 09 – 2002 Introdução Introdução à disciplina de Resistência de Materiais 1. Enquadramento no plano de estudos. Objectivos. Programa e conteúdo da disciplina. Método de ensino e de avaliação. Bibliografia.
Professor Luís Juvandes
Aula 17/09/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 2
Ano lectivo 2002/2003
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
Programa, Conteúdo e Métodos de Ensino das Matérias da Disciplina
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 Curso de Engenharia Civil
2002 - 2003
LUIS FILIPE PEREIRA JUVANDES
Professor Luís Juvandes
Aula 17/09/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
1 – INTRODUÇÃO • Tabuleiro de uma Ponte
Secção transversal do tabuleiro
• Lajes, Vigas e Pilares
Viga, pilar e sapata
• Teoria das Peças Lineares
G
G
G x
z
linha do eixo médio (C.G.)
y
HOMOGÉNIO MATERIAL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
MODELOS DE CÁLCULO
ISOTRÓPICO EST. DEFORMAÇÃO ( ∆l ) EST. TENSÃO (σ e τ)
VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA (dimensionamento, etc.) Professor Luís Juvandes
Aula 17/09/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
2 – ENQUADRAMENTO NO PLANO DE ESTUDOS
(1º e 2º anos)
(2º ano)
Teoria de Estruturas 1 e 2
Ciência dos Materiais:
RESISTÊNCIA Mecânica 1 Mecânica 2 Mecânica dos Sólidos
(3º, 4º e 5º anos)
Materiais de Cosntrução 1e 2
DE MATERIAIS
Estruturas de Betão 1 e 2 Cadeiras de Projecto (várias)
3 – OBJECTIVOS
• Conteúdo programático adequado às futuras implicações na análise de problemas reais de engenharia civil; • Introduzir o cálculo estático da determinação dos seis esforços instalados numa secção tranversal genérica de uma barra linear no espaço; • Apresentar com detalhe a teoria das peças prismáticas em termos da teoria das tensões , da teoria das extensões e a descrição constitutiva dos materiais; • Apresentar as estruturas reticuladas isostáticas e uma vez hiperestáticas sujeitas a esforços de tracção-compressão e de flexão pura, simples, plana e desviada; • Introduzir as convenções gerais de sinais utilizadas na análise de estruturas; • Apresentar problemas que dirijam a atenção do formando para as aplicações práticas dos assuntos.
Professor Luís Juvandes
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Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
4 – PROGRAMA E CONTEÚDO DA DISCIPLINA DE “RM 1” • São propostos cinco capítulos previstos para 39 aulas teóricas • A sequência e a programação das matérias é a seguinte: • CAPÍTULO 1 – Introdução: consta de uma introdução em que são apresentados os ojectivos, o conteúdo, o programa da disciplina e ainda o método de avaliação. Recorda-se, igualmente, conceitos estáticos de equilíbrio de estruturas assimilados nas disciplinas de Mecânica. 30 kN/m 50kN G
F
H
I
E
G
F
J
3.0 A
E B
C
HA A
D
D
B
C
VA
VD
1.0
4.0
1.0
[m]
• CAPÍTULO 2 – Princípios fundamentais: apresenta os conceitos básicos acerca do comportamento dos materiais, lei constitutiva, bem como a teoria das peças lineares, na formulação que é habitual em Resistência de Materiais. F
u y
A
B
N
O F
y
u
• CAPÍTULO 3 – Critérios gerais de segurança: introdução aos critérios de verificação de segurança em termos de acções e de resistência dos materiais envolvidos. Definição de coeficientes de segurança e simplificação dos mesmos no caso das situações a estudar em Resistência de Materiais.
σSd ≤ σRd Professor Luís Juvandes
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Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
CAPÍTULO 4 – Tracção e compressão simples: aplicação da teoria das peças
•
prismaticas a barras deformáveis de estruturas reticuladas sujeitas somente a esforços axiais. Desprezar o efeito de instabilidade elastica das barras em compressão. VB HB
HA
VB
P
VA
HA
VB
ou
P
VA
P
HA
Mola VA VC
ESTRUTURAS
ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS
HIPERESTÁTICAS
CAPÍTULO 5 – Flexão: aplicação da teoria das peças prismaticas a barras deformáveis
•
de estruturas reticuladas sujeitas principalmente a esforços de flexão. Os temas base são: Diagramas de esforços N, V e M; Tensões normais em flexão pura, simples, plana e desviada; Vigas constituídas por dois materias. P1
P2
P1
secção transversal genérica
P2
S
G
Vx S x
N
Vx
G
Mx z
Análise da secção S-S
S
G
p
z
T
M M
S My
y
b 3.0
15.0 P 1.5 0m
N 2k H=
3.0
Professor Luís Juvandes
[cm]
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 7
Ano lectivo 2002/2003
• O período lectivo de Resistência de Materiais 1 distribui-se por catorze semanas
5 – MÉTODO DE ENSINO E DE AVALIAÇÃO • O ensino é realizado em trés aulas teóricas, de duração de 1 hora cada e em duas aulas práticas, de duração de 2 horas cada , por semana. • Aulas teóricas são de exposição oral da matéria, no quadro e com a projecção de transparências ou de multimédia para uma melhor organização e ilustração das matérias. No fim de cada assunto são formulados e resolvidos alguns problemas-tipo. As transparências exibidas nas aulas teóricas são disponíveis aos formandos por intermédio de uma web-page (endereço a divulgar brevemente). • Aulas práticas são, sobretudo, destinadas à resolução de fichas de trabalho com problemas propostos para resolução, capítulo a capítulo, com apoio do Assistente das práticas. Nestas, evitar-se-ão as introduções teóricas das matérias. Alguns textos de apoio teórico-práticos estão disponíveis aos formandos por intermédio de uma web-page (endereço a divulgar brevemente). • Método de Avaliação da disciplina - é efectuada com base nas regras descritas na Ficha da Disciplina e as actuais Normas Gerais de Avaliação (consultar web-page da SiFEUP). Professor Luís Juvandes
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 8
Ano lectivo 2002/2003
6 – BIBLIOGRAFIA Em virtude da grande abrangência da Resistência de Materiais 1 e 2, resulta impossível indicar um livro único de texto que, de forma plenamente satisfatória, dê cobertura a todas as matérias da disciplina. Contudo recomenda-se os livros seguintes: Principal •
Mecânica e Resistência dos Materiais - V. Dias da Silva, Ediliber Ed., Coimbra, 1995.
•
Resistência de Materiais - William Nash, , Ed. McGraw-Hill de Portugal, Lda, 2001
Complementar •
Sebenta de Resistência de Materiais - J. Mota Freitas, FEUP, 1978.
•
Résistance des Matériaux (1º volume) - Charles Massonnet, Dunod, Paris, 1968
•
Vários textos de “suporte teórico e colecção de exercícios resolvidos” para apoio à disciplina de “Resistência de Materiais 1” – Luis F. P. Juvandes, FEUP, 2001, publicado electronicamente no endereço: http://www..fe.up.pt/~juvandes.
•
Resistência dos Materiais (1º volume) - S. P.Timoshenko, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro, 1976.
•
Tabelas Técnicas – J. S. Brazão Farinha e A. Correia dos Reis, Edição P.O.B, Setúbal, 1993.
•
Regulamento de Estruturas de Aço para Edifícios (REAE) Nacional, 1986
•
Regulamento de Segurança e Acções para Edifícios e Pontes - Imprensa Nacional
•
Mecânica dos Sólidos (volumes 1 e 2) - S. P.Timoshenko /Gere, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A., Rio de Janeiro.
•
Resistência dos Materiais - V. Féodosiev, Edições Lopes da Silva, Porto, 1997.
Professor Luís Juvandes
Imprensa
Aula 17/09/2002
Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto Departamento de Engenharia Civil Rua Dr. Roberto Frias 4200-465 Porto PORTUGAL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 - ANO LECTIVO 2002/2003 NORMAS DE AVALIAÇÃO 1. Modo de avaliação de conhecimentos A avaliação de conhecimentos será efectuada através de avaliação distribuída com exame final, nos termos do parágrafo 3º do Artº 1º das Normas Gerais de Avaliação (NGA). 2. Frequência 2.1 – Condições para obtenção de frequência Para obtenção de frequência o aluno não pode exceder o número limite de faltas às aulas práticas de acordo com o parágrafo 1º do Art. 4º das NGA. No presente ano lectivo tal limite é fixado em 7 faltas. 2.2 – Componente distribuída da avaliação A componente distribuída da avaliação consta da resolução de três fichas individuais em três aulas práticas, em datas fixadas com uma antecedência mínima de 1 semana. Os alunos que por razões de força maior, devidamente justificadas, não participem na resolução de alguma ficha, realizarão tal ficha em data a definir. Estas fichas serão corrigidas e classificadas na escala de 0 a 20 valores. Será atribuída uma classificação de frequência aos alunos que tenham satisfeito as condições referidas
em
2.1. Tal classificação é a média aritmética das três classificações obtidas nas três fichas individuais. 3. Exame final Só têm acesso a exame final os alunos que tenham obtido frequência (Artº 7º das NGA). Os exames finais são escritos e sem consulta, tendo a cotação máxima de 20 (vinte) valores. 4. Classificação final A classificação final será calculada através da média ponderada da classificação de frequência e da classificação do exame final, arredondadas à décima, atribuindo-se peso 25% à primeira e peso 75% à segunda. A classificação final máxima, por via exclusiva de provas escritas, está limitada a 16 (dezasseis) valores; para a obtenção de classificação superior é necessário realizar uma prova oral suplementar. 5. Alunos dispensados de frequência A avaliação de conhecimentos para os alunos dispensados de frequência ao abrigo do parágrafo 3º do
Artº
4º as NGA será efectuada por um de três critérios: -
Critério adoptado para os alunos ordinários descrito nos pontos 1 a 4;
-
Realização de exame final com componente distribuída da avaliação;
-
Realização de exame final sem componente distribuída da avaliação.
Os alunos devem declarar a sua opção antes da realização da primeira ficha individual. Porto e FEUP, 16 de Setembro de 2002
RM1 02_03
Aula Teórica de 18 – 09 – 2002 Princípios Fundamentais de RM Teoria da Peças Lineares ou Barras. Hipóteses fundamentais de RM em termos do material (hip. da continuidade, hip. da homogeneidade, hip. da isotropia) e das deformações (hip. da proporcionalidade, hip. das pequenas deformações). Princípio geral do equilíbrio. Conceitos de Esforço e Tensão. Princípio do Corte, princípio de Saint-Vennant e hipótese de Navier-Bernouilli. Identificação dos esforços internos em Peças Lineares.
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Aula 18/09/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 2
Ano lectivo 2002/2003
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M”
FOTO 1 – Edifício com estrutura linear.
FOTO 2 – Vigas de cobertura com secção variável (forma contínua).
FOTO 3 – Viga de apoio das longarinas de secção variável (relação pequena da secção vs. vão).
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Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS DE “R M” 1 – TEORIA DA PEÇAS LINEARES ou BARRAS
G
G
G x
z
linha do eixo médio (C.G.)
y
Nocção de Peça linear; • Sólido gerado por uma área plana “S” que se desloca ao longo de uma linha GG´; • O eixo médio da barra (linha GG´) é uma linha contínua, não apresenta pontos singulares e a secção transversal é sempre prependicular a esta; • A forma e a dimensão da secção transversal podem variar de modo lento e contínuo; • As dimensões da secção transversal são consideravelmente menores que o comprimento do eixo da barra e que o raio de curvatura em qualquer ponto; 30 kN/m 50kN G
F
H
I
E
G
F
J
3.0 A
E B
C
HA A
D
D
B
C
VA 1.0
Professor Luís Juvandes
VD 4.0
1.0
[m]
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Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
2 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE “RM” •
MATERIAL •
Hip. Continuidade: os sólidos reais são constituídos por meios contínuos.
•
Hip. Homogeneidade: as propriedade mecânicas são as mesmas em qualquer ponto do sólido.
•
Hip. Isotropia: as propriedade mecânicas são iguais em todas as direcções em torno de um ponto.
•
DEFORMAÇÃO •
Hip. Proporcionalidade: num sólido contínuo as deformações relacionam-se em todos os seus pontos com as tensões, em termos lineares e homogéneos.
•
Hip. das Pequenas Deformações: os materiais apresentam deformações pequenas quando comparadas com as dimensões das estruturas.
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Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
3 – PRINCÍPIO GERAL DO EQUILÍBRIO
Acções G
F
H
J
I
Esforços A
Deformações
E B
C
Equilíbrio
D
Reacções
•
6 equações
Estruturas no espaço
3 equações
Estruturas plana
Equações gerais da estática
Hipo-estáticas •
Estruturas
Sem equilíbrio
Isostáticas Com equilíbrio Hiper-estáticas
• EXEMPLOS:
VB
P
HA
VB
VB
P
HA
VA
HIPO - ESTÁTICA
HB
HA P
VA
VA
ISOESTÁTICA
HIPER - ESTÁTICA
4 – ESFORÇOS E TENSÕES Professor Luís Juvandes
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
• Princípio do Corte – princípio da igualdade da acção e da reacção.
P1
P2
secção transversal genérica S
G
p
S
G x
z y
i j
• Princípio de Saint-Vennant – Quando uma secção de uma peça está suficientemente afastada dos pontos de aplicação das forças exteriores, o estado de tensão nessa secção não depende da forma como essas forças estão aplicadas, mas únicamente da resultante.
• Hipótese de Navier-Bernouilli – Uma secção plana de uma peça linear não deformada mantem-se plana após a deformada.
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Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Identificação dos esforços internos nas Peças Lineares P1
P2
secção transversal genérica S
G
p
S
G x
z y
P1
P2 Análise da secção S-S
S
G Vx
N
Vx Mx
z
T
M M
S My
Admitindo-se:
Esforços:
• TEORIA DAS PEÇAS LINEARES • HIPÓTESES FUNDAMENTAIS DE RM. • PRINCÍCIOS FUNDAMENTAIS
EQUILÍBRIO
S-S
Forças Momento
N - Esforço Axial Vx Vy Mx My
Esforço Transverso
Momento Flector
T - Momento Torçor
DE RM
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Folha 8
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
Esforços reduzidos nos E.P.C.I. (x, y)
N Mx M y
⇒
σ(x, y) = σ N + σ Mx + σ My
⇒ Tensões normais em flexão composta
⇒
τ( x, y ) = τ Vx + τ Vy + τ T
⇒ Tensões de corte
V Vy T
RESISTÊNCIA DE
(Estuda-se)
S-S
MATERIAIS - 1
N - esforço axial
Vy - esforço transverso vertical
Mx - momento flector segundo XX
Vy = V Mx x
N
Vy
Mx = M
z y
eixo de solicitação (e. s.)
• Definição de tensão
Professor Luís Juvandes
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Aula Teórica de 20 – 09 – 2002 Princípios Fundamentais de RM Materiais de RM. Materiais Elásticos (perfeitamente ou parcealmente). Lei Constitutiva do material. Regimes elástico e linearmente elástico. Lei de Hooke. Material dúctil e material frágil. Tabela com as propriedades de alguns materias da construção civil. Ensaio de tracção simples. Determinação do esforço axial, da tensão normal e da deformação axial instalados na barra. Princípio da Sobreposição dos Efeitos.
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Aula 20/09/2002
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Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
MATERIAIS DE “R M” 1 – HIPÓTESES FUNDAMENTAIS •
Contínuos
•
Homogéneos
•
Isotrópicos
2 – PROPRIEDADE - Elasticidade • Exemplos: acções em barras
Perfeitamente elástico –
[1] • Material Elástico
Recuperação da forma inicial após a descarga das acções
δ = δ elástico Parcealmente elástico –
[2]
Apresenta deformação residual após a descarga das acções
δ = δ elástico + δ plastica
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Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
3 – LEI CONSTITUTIVA • Forma geral– Força = F (Deslocamento) ou Tensão = F (Deformação)
σ
σ σ
Fases de comportamento do material: O – Origem Regime Elástico
P – Limite de Proporcionalidade E – Limite de Elasticidade R – Capacidade máxima (ruína)
Regime Linear Elástico
P=Kδ ou
σ=Kε
C – Rutura (Colapso) • Leis constitutivas de alguns materiais:
Ferro fundido
Aço macio
Professor Luís Juvandes
Aço duro
Aço de alta resistência
Borracha
Aula 20/09/2002
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Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Conceitos: Dúctil - Apresenta apreciável deformação antes de atingir a rotura
Exemplo: Aço macio e o alumino
Material
Frágil - A rotura é precedida de uma deformação reduzida
Exemplo: Ferro fundido, betão, aço duro, vidro, pedra
• Lei de Hooke (Robert Hooke, 1678) (Ensaio de tracção simples)
Regime linear elástico
σ=Eε
Lei de Hooke [3]
E – Módulo de elasticidade longitudinal ou Módulo de Young Hipóteses - Barra de secção constante e “P” aplicada normal à secção - Válidos
Professor Luís Juvandes
- Princípio do Corte
Cálculo dos esforços (N)
- Princípio de Saint-Vennant
Cálculo das tensões (σ)
- Princípio de Navier-Bernouilli
Cálculo das deformações (δ)
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Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
Esforço Axial na secção (z) – N(z)
Tensão Normal na secção (z) - σ(z)
σ(z) = P/A (z) = N/A (z)
N(z)
[4]
Deformação de uma barra de comprimento “L” - ∆L ou ε • Deformação (∆L)
Alongamento
∆L (+)
Encurtamento
∆L (-)
∆L= Lfinal – Linicial • Extensão (ε)
[5]
adimensional
ε = ∆L /L
[6]
Relação Tensão vs. Deformação – Lei de Hook σ=Eε [4] + [5]+ [6] Material em regime linear elástico (troço OP) Válida para: Barra de secção transversal constante (A = const.) Esforço axial constante na barra (N(z) = const.)
Professor Luís Juvandes
Aula 20/09/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
4 – TABELA
Professor Luís Juvandes
Aula 20/09/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 7
Ano lectivo 2002/2003
5 – PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS • Admitindo
Hipótese das pequenas deformações Material a trabalhar em regime linear elásticos
•
Exemplos:
Professor Luís Juvandes
Aula 20/09/2002
Aula Teórica de 24 – 09 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples Convenções gerais de Resistência de Materiais. Capítulo de Tracção – Compressão simples. Esforço axial e tensão normal. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de estruturas simples. Exemplos de aplicação.
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Aula 24/09/2002
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Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
CONVENÇÕES DE RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 – Barras: Esquerda / Direita d
d
e
e
d e
d e
2 – Sinais/sentidos positivos dos esforços numa barra
+
M
M
e
T
d
T
N
N V
V
3 – Representação dos diagramas de esforços (N, V, M) N, V T d
+ e
Professor Luís Juvandes
+
M
Aula 24/09/2002
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Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
TRACÇÃO - COMPRESSÃO 1 – ESFORÇO AXIAL / TENSÃO NORMAL • Exemplo 1
100
S
A
B 100 kN
S 0
100
0
zx
S 0
5m
(A → S):
AB :
S −- S ∴
N= 100
S
A
zx
N (xz)= 100 kN ( tracção)
e d 0 ≤ xz < 5 N (xz )= 100 kN ( tracção )
N (zx ) =
SECÇÃO S-S
∑ (Forças // ao eixo da peça ) i
σ(z) = N(z) / Área Diagrama de Esforços “N” 50 3
+
Professor Luís Juvandes
N (kN)
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2
Professor Luís Juvandes
Aula 24/09/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 5
Ano lectivo 2002/2003
2 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS • Exemplo 1 – Barra simples
Professor Luís Juvandes
Aula 24/09/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2 – Barra simples
Professor Luís Juvandes
Aula 24/09/2002
Aula Teórica de 25 – 09 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples Capítulo de Tracção – Compressão simples. Deformação axial de barras e deslocamentos de nós de estruturas formadas por associação de barras. Conceito de barra infinitamente rígida. Efeito da variação da temperatura. Exemplos de aplicação. Conceito de Segurança de uma estrutura. Critérios de verificação de segurança em serviço e em ruína.
Professor Luís Juvandes
Aula 25/09/2002
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Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
2 – DEFORMAÇÃO AXIAL / DESLOCAMENTO DE NÓS (continuação) • Exemplo – Associação de barras P
P
P
Método Gráfico – Analítico • Movimento de Corpo Rígido (Domínio das Pequenas Deformações) Barras Deformáveis (E ≠ infinito)
Barras Infinitamente Rígidas (E = infinito)
Professor Luís Juvandes
Aula 25/09/2002
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Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 3 – Associação de barras deformáveis Método Gráfico – Analítico
A
P
NAC
1) EQUILIBRIO DO NÓ “B”
B
Σf x = 0 Σf y = 0
3.0 m
⇒
N AB = K ⊕ + 400 kN N BC = K - 500 kN
NBC Dados : A = 65 cm2 E = 206 GPa
C
4.0 m
2) DEFORMAÇÃO DAS BARRAS ∆l BC cos α
A
B
N AB ⊕ → ∆l AB ⊕
H B
N CB
∆l AB
→ ∆l BC
∆l BC
V B
3) DESLOCAMENTO DO NÓ C B’
MÉTODO:
Professor Luís Juvandes
2 BARRAS CONCORRENTES E COM “ ∆l ”
⇒
PERMITR DETERMINAR O DESLOCAMENTO DO NÓ DE CONCORRÊNCIA
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 4 – Associação de barras (deformáveis e infinitamente rígidas)
Barra infinitamente rígida (E = infinito)
Professor Luís Juvandes
∆l = 0
Aula 25/09/2002
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Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
3 – EFEITO DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA (∆T) T1 – temperatura de fabrico da barra T2 – temperatura aplicada à envolvente exterior da barra • Material
∆T = Τ2 − Τ1
temperatura diferencial (+ ou -)
α - coeficiente de dilatação térmica
+20 0C
Professor Luís Juvandes
Aula 25/09/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
4 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA
Professor Luís Juvandes
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Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Serviço (Estado Limite de Utilização)
δP ≤ δ limite ϕP ≤ ϕ limite
Limitar deformações:
p z y y (z) = ?
ϕ (z) = ?
Eq. da Deformação
Válido: Regime
Elástico (Lei de Hooke)
(troço OA)
Elástico – Plástico
(troço OAB)
u y
A
B
O y
u
Cálculos sem majorar as acções sobre a estrutura:
Professor Luís Juvandes
Aula 25/09/2002
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Folha 8
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Ruína (Estado Limite de Último)
σSd ≤ σRd τSd ≤ τRd
Limitar Tensões (Esforços):
G
F
H
I
A
E B
C
D
Conceitos de VALORES DE CÁLCULO (índices Sd; Rd): 1 – Valor de Cálculo da Tensão Actuante ( σSd ; τSd)
2– Valor de Cálculo da Tensão Resistente ( σRd ; τRd)
Professor Luís Juvandes
J
Aula 25/09/2002
Aula Teórica de 27 – 09 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples Capítulo de Tracção – Compressão simples. Dimensionamento de barras sujeitas a esforços axiais (continuação). Exemplo de aplicação. Conceito de coeficiente de Poisson. Lei de Hooke generelizada (deformação axial). Variação de secção transversal e de volume de uma barra.
Professor Luís Juvandes
Aula 27/09/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
5 – VERIFICAÇÃO DE SEGURANÇA EM TRACÇÃO - COMPRESSÃO • Exemplo
• Ver. Seg. em SERVIÇO (limitar a deformação) Barra mais desfavorável Ponto mais desfavorável • Ver. Seg. à RUÍNA (limitar a tensão) N máx Barra mais desfavorável
σ máx
Cálculo: N máx
σ máx
σRdx - Imposto pelo Regulamento do Material Problemas possiveis: DIMENSIONAMENTO
(A = ?)
CAPACIDADE MÁXIMA (N máx = ?) VERIFICAÇÃO DA SEGURANÇA Professor Luís Juvandes
Aula 27/09/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 3
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 3
Professor Luís Juvandes
Aula 27/09/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
6 – DEFORMAÇÃO GENERALIZADA
•
EIXO LONGITUDINAL (ZZ) – deformação da aresta “dz”
• dz + ∆dz = dz (1 + εz)
dz
• εz = ∆dz / dz •
ELEMENTO DE ÁREA (plano X Y) – variação da área da secção transversal
• dx + ∆dx = dx (1 + εx)
dx
• εx = ∆dx / dx • dy + ∆dy = dy (1 + εy)
dy
• εy = ∆dy / dy • A = A0 (1 + εx) (1 + εy)
A0 = dxdy
= A0 (1 + εx + εy + εx εy ) = A0 (1 + εx + εy)
• Professor Luís Juvandes
εA = (A - A0) / A0 = (εx + εy) Aula 27/09/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1 •
Folha 5
Ano lectivo 2002/2003
ELEMENTO DE VOLUME – variação do volume do de um sólido
• V = V0 (1 + εx) (1 + εy) (1 + εz)
V0 = dxdydz
= V0 (1 + εx + εy + εz + εx εy + εx εz + εy εz + εx εy εz) = V0 (1 + εx + εy + εz)
•
εV = (V - V0) / V0 = (εx + εy+ εz)
7 – LEI DE HOOKE GENERALIZADA
• Válidos
•
Material Isotrópico
•
Lei constitutiva do material = tipo linear
•
Domínio das pequenas deformações
Tensões Normais (σ)
σx
• ε1 x = σx / Εx • ε1y = ε1z = - K1 ε1x
σy
• ε2 y = σy / Εy • ε2x = ε2z = - K2 ε2y
σz
• ε3 z = σz / Εz
Mod. Elasticidade Longitudinal
Εx = Εy = Εz = Ε Coeficiente de Poisson
K1 = K2 = K3= ν
• ε3x = ε3z = - K3 ε3z Professor Luís Juvandes
Aula 27/09/2002
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Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Princípio da Sobreposição dos Efeitos
σx + σy + σz [ 1]
• εx = ε1x + ε2x + ε3x= σx / Ε – ν [σy / Ε + σz / Ε] • εy = ε1y + ε2y + ε3y= σy / Ε – ν [σx / Ε + σz / Ε] • εz = ε1z + ε2z + ε3z= σz / Ε – ν [σx / Ε + σy / Ε]
Tensões Tangênciasi (τ)
τx + τy + τz [2]
• γx = 1/ G τxy
Modulo de Distorção
• γy = 1/ G τxz
• G = E / 2(1+ ν)
• γz = 1/ G τyz [ 1 ] e [ 2 ] - Lei de Hooke Generalizada para materiais isotrópicos • Variações de Áreia e de Volume de um sólido
1/K
Professor Luís Juvandes
K = Módulo de Compressibilidade Volumétrica Aula 27/09/2002
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Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Algumas Conclusões:
• σx > σy > σz
• εx > εy > εz
• E>0
• 1+ν>0 • 1 - 2ν > 0
• G>0 • K>0
• ν = 0,5
• ν=0
Professor Luís Juvandes
ν>
-1 ν < 0,5
-1 > ν > 0,5 • Material Incompressível • K = infinito
εV = 0
• G=E/2 • K=E/3
εV = 3 εm
Aula 27/09/2002
Aula Teórica de 01 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples Esforço e deformação axial em barras de secção varialvel. Efeito do peso próprio. Barras de igual resistência. Exemplos. Trabalho de deformação. Módulos de resiliência e de tenacidade.
Professor Luís Juvandes
Aula 01/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 2
Ano lectivo 2002/2003
8 – TEORIA DAS PEÇAS LINEARES (algumas aproximações) • Barras não prismáticas – casos especiais Barras de secção variável
[ A (z)]
Barras sujeitas ao peso próprio
[ q(z)]
Peças de eixo curvo (Tubos)
• CASO GERAL (Secção transversal e Esforço axial variáveis)
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Aula 01/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 3
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 1 –Barra prismática sujeita a carga concentrada e ao peso
próprio (secção transversal constante)
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Aula 01/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2 –Barra de igual resistência (σ(z) = constante)
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Aula 01/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 5
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 3 –Barra composta por tramos prismáticos de secção
constante (Ex:Pilares)
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Aula 01/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
• Dimensionamento de pilares
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Aula 01/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 7
Ano lectivo 2002/2003
9 – TRABALHO DE DEFORMAÇÃO (Regime Elástico)
Professor Luís Juvandes
Aula 01/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 8
Ano lectivo 2002/2003
• Material Linear Elástico e Perfeitamente Plástico (ex: o Aço)
Professor Luís Juvandes
Aula 01/10/2002
Aula Teórica de 02 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples Cargas aplicadas bruscamente segundo o eixo da barra (continuação). Exemplo de aplicação. Barras constituidas por dois materiais. Conceito de homogeneização. Exemplos de aplicação.
Professor Luís Juvandes
Aula 02/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 2
Ano lectivo 2002/2003
8 – CARGAS APLICADAS BRUSCAMENTE • Exemplos – Cravação de estacas no solo; cabos de suporte de elevadores.
• Condições
• Equlíbrio
Professor Luís Juvandes
-
Despresar o peso próprio da barra e da espera
-
Material em Regime Elástico – Linear
Princípio da Conservação da Energia
Aula 02/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 3
Ano lectivo 2002/2003
P
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Aula 02/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 1
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Aula 02/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 5
Ano lectivo 2002/2003
9 – PEÇAS CONSTITUÍDAS POR MAIS DO QUE UM MATERIAL • Problema: •
Secção não isotrópica.
•
Distribuição de tensões normais não é uniforme.
• Problema hiperestático. • Hipóteses: •
Barra constituida por dois materiais.
•
Secção constante ao longo da barra.
• Materiais perfeitamente solidarizados entre si. • Materiais em regime elástico – linear (σmáx ≤ σ E) • Válido: •
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Hipótese de Navier - Bernouilli.
Aula 02/10/2002
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Professor Luís Juvandes
Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
Aula 02/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 7
Ano lectivo 2002/2003
• Conceito de Homogeneização da secção
Professor Luís Juvandes
Aula 02/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 8
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2
Professor Luís Juvandes
Aula 02/10/2002
Aula Teórica de 04 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão. Equilibrio de forças e compatibilidade de deformações. Problemas uma vez hiperestáticos. Exemplos de aplicação com estruturas formadas com barras deformáveis, infinitamente rígidas e com molas elásticas e sujeitas a cargas aplicadas.
Professor Luís Juvandes
Aula 04/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
1 – INTRODUÇÃO ÀS ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS • Exemplos V
V
1 A1 ; E1 1
2 A2 ; E2
P
P
RA
RA
RB
P
RC
RB
P VB HB
HA
VB
P
VA
ou
P
HA
VB
VA
P
HA
Mola VA VC
ESTRUTURAS
ESTRUTURAS
ISOSTÁTICAS
HIPERESTÁTICAS
Professor Luís Juvandes
Aula 04/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplos VARÃO ROSCADO [Aperto da porca]
5mm
1.8 m
varão roscado
2.0 m
Aperto da porca
; ∆t ]
VARIAÇÃO DE TEMPERATURA [∆t
A
aço
cobre
p - Passo da rosca
[∆t ] B
∆t
[m]
4.0
SOBREPOSIÇÃO DE EFEITOS [Forças; ∆δ; ∆t] A
3.0 P C
B
∆t
D
3.0
E
∆δ 2.0
Professor Luís Juvandes
2.0
3.0
[m] Aula 04/10/2002
Professor Luís Juvandes
ACÇÕES NUMA ESTRUTURA (em RM)
traduzidos por um deslocamento de um nó (δA )
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
3º - ASSENTAMENTO DE APOIOS / DEFEITOS DE FABRICO:
aumento (∆t+ )
diminuição (∆t - )
2º - VARIAÇÕES DE TEMPERATURA (∆t);
1º - FORÇAS / MOMENTOS DIRECTAMENTE APLICADOS;
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
• Acções sobre as estruturas a estudar em RM
Aula 04/10/2002
Professor Luís Juvandes
Material 1 Material 2
-
E1 = 70 GPa E2 = 210 GPa
A1 = 9 cm 2 A 2= 2 cm2
N 1 = 60 kN N 2 = 40 kN
3.5 m
P=100kN
1
2
1
2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Dados:
b) Para a mesma carga determine o deslocamento do ponto B.
a) Para uma carga axial P = 100kN determine as tensões normais instaladas no material 1 e no material 2.
2. Uma barra AB de secção circular é constituída por dois materiais, conforme representado na figura, ligados de modo a ser impossível qualquer movimento relativo entre os dois materiais.
EXEMPLO -1 - Barras constítuidas por dois materiais
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 5
Ano lectivo 2002/2003
2 – PEÇAS SUJEITAS A CARGAS EXTERIORES
• Exemplo 1
Aula 04/10/2002
Professor Luís Juvandes
4.0 m
A
3.0 m B
3.0 m C
NAD = N CD = 31.62 N BD = 49.40
AAD = A BD = A CD EAD = E BD = E CD
MATERIAL:
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
P= 100 kN
D
EXEMPLO -2 - Aplicação de forças
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo2
Aula 04/10/2002
Professor Luís Juvandes A
4.0
B
D
4.0
P
C
[m]
3.0
A
B
E
C
P
4
NBD = R mola=
K = 4X10 kN/m
MOLA:
NBD = 214.592 kN N CD = 154.506 kN
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
D
b) O mesmo que a) admitindo a nova estrutura indicada.
a) Calcule os esforços axiais nos tirantes e o deslocamento vertical do nó C para P = 200 kN.
E = 200 GPa A = 10 cm 2 Tensão de cedência: 235 MPa
3. A figura representa uma estrutura constituída por uma barra rígida ABC e por dois tirantes de aço com as seguintes características:
EXEMPLO - 3 - Aplicação de forças
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 7
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 3 – Comportamento de uma mola (elástico)
Aula 04/10/2002
ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS (GRAU 1)
Professor Luís Juvandes
3.2 - EQUILÍBRIO (até ao máximo de 3 eq.)
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
3.1 - COMPATIBILIDADE DE DEFORMAÇÃO (1 eq.)
3º - ESCREVER AS EQUAÇÕES:
2º - IDENTIFICAR AS INCÓGNITAS ESFORÇOS/REACÇÕES E OS SEUS SENTIDOS;
1º - IMPÔR UMA DEFORMADA COMPATÍVEL COM A ESTRUTURA;
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 8
Ano lectivo 2002/2003
3 – CÁLCULO DE ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS - METODOLOGIA
Aula 04/10/2002
Aula Teórica de 08 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Efeitos da variação de temperatura e de deformações impostas a barras da estrutura (aperto de um varão roscado, defeito de fabrico e assentamento de apoio). Exemplos de aplicação.
Professor Luís Juvandes
Aula 08/10/2002
Professor Luís Juvandes
-5
α S = 1.25 x 10 / ºC
E S = 206 GPa A S = 5 cm 2 A
aço
4.0
cobre B
[m]
NC = -NS = 12.713 kN
Mola: 4 K= 4 x 10 kN/m
αC = 1.0 x 10 /ºC
-5
A
Rm= k ∆
5.0
∆t = +10ºC
m
B
[m]
C
NAB= +R m = -13.33 kN
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Barra AB: E C = 200 GPa A C = 20 cm 2
b) Considere a estrutura representada na figura, com as seguintes características também indicadas. Determine o esforço na estrutura sob acção de uma variação de temperatura de +10ºC na barra AB.
α C = 1.5 x 10-5 / ºC
Cobre: E C = 120 GPa A C = 6 cm 2
Aço:
a) A figura representa um veio de cobre inserido no interior de um tubo de aço. Ambos os materiais estão perfeitamente solidarizados nas extremidades através de duas placas rígidas A e B. Se o veio de cobre sofrer uma diminuição de temperatura de 20ºC, qual o valor dos esforços nos materiais?
EXEMPLO - 4 - Aplicação de uma variação de temperatura
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 2
Ano lectivo 2002/2003
4 – PEÇAS SUJEITAS A VARIAÇÕES DE TEMPERATURA
• Exemplo 1
Aula 08/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
5 – PEÇAS SUJEITAS A DEFORMAÇÕES IMPOSTAS • Exemplo – Aperto de um varão roscado ou um parafuso
PARAFUSO
PORCA
cabeça
dn
dn
parte roscada da espiga “b”
Zona roscada
espiga
p = passo da rosca = (=1 volta na porca) = =
PARAFUSO TIPO
CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE PARAFUSOS
M 10
VÁSTAGO Diámetro de Diámetro la caña interior
Longitud roscada
CABEZA Longitud de Longitud del la salida chaflán
Espesor
Medida entre Medida entre Radio del caras aristas acuerdo
Diámetro del agujero
A= π dn 4
A' = 2
π d'2 4
s
e
r
d
mm
k mm
mm
mm
mm
mm
cm2
cm2
1.7
7
17
19.6
0.5
11
0.785
0.580 0.843
dn
d1
b
x
z
mm
mm
mm
mm
10
8.160
17.5
2.5
M 12
12
9.853
19.5
2.5
2
8
19
21.9
1
13
1.131
M 16
16
13.546
23
3
2.5
10
24
27.7
1
17
2.011
1.57
M 20
20
16.933
25
4
3
13
30
34.6
1
21
3.142
2.45
(M 22)
22
18.933
28
4
3.3
14
32
36.9
1
23
3.801
3.03
M 24
24
20.319
29.5
4.5
4
15
36
41.6
1
25
4.524
3.53
(M 27)
27
23.319
32.5
4.5
4
17
41
47.3
1
28
5.726
4.56
M 30
30
25.706
35
5
5
19
46
53.1
1
31
7.069
5.61
(M 33)
33
28.706
38
5
5
21
50
57.7
1
34
8.553
6.94
M 36
36
31.093
40
6
6
23
55
63.5
1
37
10.179
8.17
Professor Luís Juvandes
Aula 08/10/2002
Professor Luís Juvandes
A
s
c
B
passa da rosca = p = 3mm A S= 6cm 2 ; E S= 206 GPa
NA = -N C = 66.511 kN
Cobre: A C= 12 cm 2; EC= 120 GPa
Aço:
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
s
c
= 75 cm
Dados:
Que tensões se produzirão num parafuso de aço e num tubo de cobre, quando se der ¼ de volta à porca.
EXEMPLO - 5 - Aperto de um Varão roscado
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2 – Aperto de um varão roscado
Aula 08/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 5
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 3 – Aperto de um varão roscado
Professor Luís Juvandes
Aula 08/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 6
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 4 – Barra com defeito de fabrico
Professor Luís Juvandes
Aula 08/10/2002
Aula Teórica de 09 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas hiperestáticas Estruturas hiperestáticas em tracção-compressão (continuação). Comportamento de uma estrutura, formada por barras de mateial elástico – perfeitamente plástico, até à ruína devido ao efeito de uma carga crescente. Determinação da lei carga vs. deslocamento (comportamento elastico-plastico). Esforços e deformações residuais nas barras após descarga da estrutura. Exemplo de aplicação.
Professor Luís Juvandes
Aula 09/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
6 – COMPORTAMENTO ELASTO - PLÁSTICO
• Exemplo 1 - UMA BARRA DE AÇO F u
A
y
B
N O y
F
u
Fe 360 Fe 430 Fe 510
• AÇO
• Material DÚCTIL ⇒ presença de patamar de cedência
• Em TERMOS DE CÁLCULO – diagrama da lei constitutiva do material
+
TRACÇÃO
A
y
D´ C´
B
B´
OAB BC
O C
A´
-
y
D
Material Elástico Perfeitamente Plástico
+
- Carregamento (tracção) - Descarga
OA – comportamento linear elástico AB – comportamento plástico (patamar de cedência) OA' B' B' C'
- Carregamento (compressão) - Descarga
COMPRESSÃO
Admite-se que σP = σE
Professor Luís Juvandes
Aula 09/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
Comportamento: - Regime elástico (R.E) [ σ ≤ σy ]
TROÇO OA
• válido Lei Hooke ∴⇒ ∆l =
- Início da plastificação da secção N máx ⇒ N máx = σ y A • σ = σy = A
PONTO “A”
EM CARGA
Nl EA
tensão de cedência do material TROÇO AB
- Regime plástico (R.P.) Nmáx = σy x A
Nmáx
Fim do carregamento
σ = const. = σy
• A barra sofre deformação a tensão constante, isto é, a barra está em cedência sem poder absorver mais esforço (PLASTIFICOU)
Comportamento: DOMÍNIO OA
• Na descarga as deformações são eliminadas totalmente porque o material nunca plastificou carga desc. σ= 0 σ = σy σ=0
A
EM DESCARGA
- Material sempre em Regime Elástico (R.E.)
O
ε= 0
y
DOMÍNIO AB
A
B
B’
C
O
B’’
ε = εy
ε= 0
- Após o ponto “A” o material entrou em Regime Plástico (R.P.) • Uma vez em patamar de cedência, a descarga faz-se paralelamente ao troço OA do regime elástico Descarga é feita sempre em R. Elástico
• εr = deformação residual (irreversível) após descarga a partir do ponto B (B’ ou B’’) r
Professor Luís Juvandes
Aula 09/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2 - ESTRUTURA FORMADA POR VÁRIAS BARRAS Ex: 3m
A = const = 10 cm2
3m
E = const = 206 GPa A 4m
B N1
C N2
N1 = N3 = f (P) = 0.2514 P
N3
N2 = f (P) = 0.6983 P (+ esforçada)
D
Est. hiperestática
P
0 < P < P1
⇒ Regime Elástico (R.E.) • Todas as barras estão em R.E., isto é
,
2
,
3
<
y
• Válido: σ = N/A e σ = E ε
P = P1
⇒ 1.ª Barra plastifica → a mais esforçada • barra
Est. Isostática
1
BD
→
2
=
máx
=
y
N2 = Nmáx = P1 < P < P2
y
x
A
⇒ Regime Elasto-Plástico (R.E.P.) • 1 barra plastificada e as restantes em R.Elástico 2 = y 1 , 3 < y
Est. hipoestática
• Válido: σ = E ε (só para barras AD e CD) e σ = N/A
RUÍNA
P = P2
⇒ Ruína da estrutura • todas as barras estão plastificadas (R.P.) 1
=
2
=
3
=
y
DESENHAR CURVA DE COMPORTAMENTO
Professor Luís Juvandes
P = f (δ)
Aula 09/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 3 - Resolver o Exemplo-2 da aula de 04/10/2002 1 – Regime Elástico [φ ≤ P < P1 ] Estrutura Hiperestática
A
B N1
Dados: Fe 360 ⇒ σy = 235 MPa
C N2
Eq. Equilibrio Eq. Comp. deformação
N3
D P
N1 = N 3 = 0.2514 P N 2 = 0.6983 P
δD = ∆l BD= N2l / EA 2 – Plastificação da 1.ª barra [P = P1 ] ⇒
σ barra = σ máx
⇒
barra BD porque N2
> N1
Nmáx = σ y × A = 235 × 10 3 × 10 × 10 −4 = 235kN N 2 = 0.6983P = N máx → P1 = 336.531kN N l 1 δ D (P = P1 ) = δ D = ∆l BD = 2 = 4.563 × 10 −3 m EA
P1 = 336.531 kN δ1D = 4.563 × 10 −3 m
3 – Regime Elasto-Plástico [P1 ≤ P < P2 ] Estrutura Isostática A
B
C N 2 = Nmáx = 235 kN N3
N1
Σf x = 0 Σf y = 0 N1 = N 3 =
D P
P − 235 2senα
δD = ∆l AD/sen α Professor Luís Juvandes
[ 1] Aula 09/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
4 – Ruína da estrutura [P = P2 ] - todas as barras estão plastificadas
A
B
C Nmáx
Nmáx
N 1 = N 2 = N 3 = N máx = 235kN ΣFy = 0 ⇔ 2 × N máx × senα + N máx = P
Nmáx
P2 = N máx [1 + 2senα ] = 235[1 + 2senα]
D P = P2 CD
AD
D CD
δ D (P = P2 ) = δ 2D =
AD
∆l CD senα
2 D
P2 = 517kN ; δ D 2 = 12 .67 × 10 −4 m
( )
P = f ( D)
5 – Diagrama de comportamento da estrutura P (kN) 600
P2
517 500
RUÍNA
Análise: Qual o deslocamento de “D” após a aplicação à estrutura de P = 400 kN.
400
•
Como P1< 400 < P2
336.5 300
•
Regime elasto-plástico
200
•
δD(P=4000)= [ 1]
sc
Ca
arg
a
rg a
P1
De
= 7.41 mm
100
O 1
2
3
4
res
5 4.56
6
7 8 7.41
9
10
11
12 13 12.67
14
D
Análise: Qual o efeito na estruturas após a descarrega desta (P=0).
(x 10- 4m)
desc. res.
carg.
Professor Luís Juvandes
=
carg.
-
desc.
= 7.41 - 5.42 = 1.99 x 10-4m
Aula 09/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
6 – Descarga da estrutura
•
•
Ano lectivo 2002/2003
[P ⇒ 0 kN]
Exemplo: Aplicou-se à estrutura o seguinte, 1.ª Fase
- Carga
P = 0 kN
400 kN
2.ª Fase
- Descarga
P = 400 kN
0 kN
Após a descarga pretende-se saber se existem deformações e esforços residuais nas barras da estrutura Cálculo do Deslocamento residual do nó “D” (irreversível)
1.ª Fase •
- Carga ⇒ P = 400 kN Como P1 < 400 < P2 ⇒ expressões de 3 – Regime Elasto-Plástico P − 235 = 137.5 kN 2 × senα CARGA N 2car. = N máx. = 235 kN (Plastificado) N1l δ Dcar. = = 7.416 × 10 − 3 m ( ) 2 EA sen α N1car. = N 3 =
2.ª Fase •
- Descarga ⇒ P = 0 kN É válido as expressões de 1 – Regime Elástico N1des. = N3 des. = 0.2514 P = 100.56 kN P = 400 kN → N 2 des. = 0.6983 P = 279.32 kN DESCARGA P1 400 des = des ⇒ δ D = 5.42 × 10 − 4 m ( ) 1 δD δD
res car des Deslocamento Residual → δD = δ D − δD = 1.996 × 10 −4 m (
Professor Luís Juvandes
Aula 09/10/2002
)
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 8
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
Cálculo dos Esforços residuais nas barras
• Após P = 400 kN ⇒
• Barra BD
→
barra BD → plastificou barras AD, CD → R. Elástico
Responsável pela deformação residual do nó “D”
• Como o nó “D” não regressa à posição inicial, então N i finais ≠ 0 quando P = 0
• Como o comportamento da estrutura pode ser interpretado como a soma dos efeitos seguintes:
1.ª Fase
2.ª Fase
+
Válido o PRINCÍPIO DA SOBREPOSIÇÃO DOS EFEITOS (P.S.E.)
N i finais = N i c arg a − N i desc arg a Isto é car .
Desc arg a
Professor Luís Juvandes
des .
N1 = N 3 = N 1 − N 1 = 137.5 − 100.56 = +36.94kN N 2 = N 2 car. − N 2 des. = 235 − 279.32 = −44.32kN
Aula 09/10/2002
Aula Teórica de 11 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples: Peças de eixo curvo Peças de eixo curvo. Cálculo do estado de tensão e de deformação de um tubo de parede delgada. Aplicação da teoria das peças lineares. Tubos constituídos por dois materiais. Exemplo de aplicação.
Professor Luís Juvandes
Aula 11/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
1 – PEÇAS DE EIXO CURVO
• Exemplo - TUBOS DE PAREDE DELGADA (1 só material) • Interpretação do que se passa na secção transversal da peça curva
e
b
pi ⊕ rm e
pi
σ máx.
σ med.
pi
e 2 rm − 2 ri
e = constante
re
• TEORIA DAS PEÇAS PRISMÁTICAS (lineares) • Admitindo a “ σ med. ” ΣFx = 0
• Eq. Equilíbrio ΣF = 0 y
(OK)
e p i × 2 rm − b = 2 σ med. e b 2
σ med.
•
se α =
e p i rm − 2 = e
e 1 1 ⇒ σ med = − p i rm α 2
Professor Luís Juvandes
Tensão média na parede do tubo [1]
[2]
Aula 11/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• TEORIA DA ELASTICIDADE •
σ máx .
p = i α
α2 1 + 4
• ERRO COMETIDO
σ máx .
• se σ med .
[3]
quando se aplica a TEORIA DAS PEÇAS PRISMÁTICAS substituição da TEORIA DA ELASTICIDADE
em
α2 4 = α 1+ 2 1+
(OK tubos) α = e / rm
0.01
σ máx. / σ med.
1.0051
1.0102 1.0263 1.0553
1.1222
erro
0.51%
1.02% 2.63% 5.53%
12.22%
0.02
0.05
0.1
0,2
Se se considerar o valor de 5% COMO O LIMITE MÁXIMO ADMISSÍVEL PARA O ERRO e generalizando-se a outras peças de eixo curvo, conclui-se que A TEORIA DAS PEÇAS LINEARES é aplicável a peças curvas enquanto a relação entre a espessura no plano de curvatura e o raio médio de curvatura da peça ( rm ) for infaerior a 0.1.
e / rm ≤ 0.1 ⇒ é válida a equação [1]
• DEFORMAÇÃO DA SECÇÃO TRANSVERSAL • Válida a Lei da Conservação das Secções Planas e a Lei de Hook
•
εp = ∆perímetro/perímetro = ∆2πrm / 2πrm
Professor Luís Juvandes
εt =
∆rm rm
e p i rm − σ 2 ε t = med. = E eE Aula 11/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
•
Ano lectivo 2002/2003
EXPRESSÕES APROXIMADAS
(válidas em termos práticos)
pe ⊕
pe ⊕ (raio médio) ∆t ⊕
∆t ⊕ pi ⊕
pi ⊕
rm
rm
TENSÃO E DEFORMAÇÃO TRANSVERSAL σ med. =
(p i + p e )rm
⊕
ACÇÕES
pi ⊕ pe ∆t ⊕
•
⇒
εt =
e
σ med ∆r + α ∆t = m E rm
∆rm =
(p i + p e ) rm 2 Ee
+ α ∆t rm
• Convenção de sinais ⊕ - indicada na figura
• Expressões aproximadas porque
e rm − ≈ rm 2
• OUTRA HIPÓTESE: Se trabalhar com os raios correctos “ri” e “re” tem-se σ med = εt =
p i ri + p e re e
∆r ∆r p i ri + p e re + α ∆t = e = i Ee re ri
Professor Luís Juvandes
Aula 11/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo - TUBOS DE PAREDE DELGADA (2 materiais diferentes) ESTRUTURAS HIPERESTÁTICAS • Materiais perfeitamente solidarizados na peça • Válidas todas as hipóteses referidas aqui e nas aulas de 02/10 e 04/10 I
II
x
I II
piI
+
piI
e II
x
rmI
eI
rmII
• Substituição dos tubos pelos seus eixos médios
TUBO I
TUBO II
E
x
I
AI +
p iI
E II A II
x
rmI
• Equação de. equilíbrio do tubo • Equação de. equilíbrio do tubo
rmII
( p i − X) rmI eI
I
⇒ σI =
II
X rmII ⇒ σ II = e II
• Equação de compatibilidade de deformação entre os tubos
⇒ ∆rmI = ∆rmII
• OUTRA HIPÓTESE: Se trabalhar com os raios correctos “ri” e “re” tem-se σI =
Professor Luís Juvandes
p i riI − X reI e
I
;
σ II =
XriII e
II
=
XreI e
II
;
ε I = ε II
Aula 11/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• EXEMPLO 1 A figura representa o conjunto de dois tubos destinados ao transporte de um fluído dotado de uma pressão interior p. Sabendo que o tubo 1 está inserido sem folga no interior do tubo 2 calcule:
a) As tensões instaladas no tubo 1 e no tubo 2 para uma pressão interior de 10 MPa. Tubo 2
b) O valor máximo da pressão p em condições de segurança (garantia do estado limite de
Tubo 1
último de resistência). c) O valor de pressão p que conduz à primeira cedência do material.
p = 10 MPa
0.30
0.004 0.008
[m]
d) O valor de pressão p de ruína dos tubos em serviço. Tubo 1: E = 200 GPa; e = 4 mm; σRd = 335 MPa; σy = 235 MPa Tubo 2: E = 100 GPa; e = 8 mm; σRd = 160 MPa; σy = 133 MPa
Professor Luís Juvandes
Aula 11/10/2002
Aula Teórica de 15 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples: Revisões Conclusão da aula anterior e resolução de exercícios de revisão.
Professor Luís Juvandes
Aula 15/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 2
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2 1.
Dispõe-se uma estrutura formada por dois tubos para fazer o transporte de um fluido com uma pressão interior “p”. O tubo 1 está inserido com uma folga de 1mm no tubo 2. Determine: a) O valor de “p” necessário para eliminar a folga existente entre os dois tubos; b) As tensões instaladas nos tubos se a pressão interior do fluido for de 10 MPa.
Tubo1: E = 10 GPa
Tubo 2: E = 20 GPa
Diâmetro int. = 200mm
Diâmetro int. = 222mm
Espessura = 10mm
Espessura = 10mm
SOLUÇÃO:
a) p = 9070,3 kPa b) σ 1 = 98929 kPa σ 2 = 6745,4 kPa
Professor Luís Juvandes
Aula 15/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 3
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 3 – Aperto de um varão roscado
Professor Luís Juvandes
Aula 15/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 4 – Barra com defeito de fabrico
• Professor Luís Juvandes
Aula 15/10/2002
Aula Teórica de 16 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas isostáticas Deslocamentos de nós de estruturas articuladas planas isostáticas: o método analítico. Exemplo de aplicação.
Professor Luís Juvandes
Aula 16/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
DESLOCAMENTO DE NÓS DE ESTRUTURAS ARTICULADAS PLANAS (ESTRUTURAS ISOSTÁTICAS)
1 – INTRODUÇÃO AO DESLOCAMENTO DE UM NÓ P
P
P
– Estrutura com 2 barras – Método Gráfico - Analítico • Exemplo 1–
A
P
NAC
B
1) EQUILIBRIO DO NÓ “B”
Σf x = 0 Σf y = 0
NBC
⇒
N AB = K ⊕ N BC = K
C ∆l BC cos α
A
B
2) DEFORMAÇÃO DAS BARRAS H B
N AB ⊕ → ∆l AB ⊕
∆l AB
N CB
→ ∆l BC
∆l BC
V B
C B’
MÉTODO:
Professor Luís Juvandes
2 BARRAS CONCORRENTES E COM “ ∆l ”
3) TRIÂNGULO DE DEFORMAÇÃO
δ HB = ∆l AB (→ ) δB = V ∆l BC cosα δ B = ∆l AB + cos α × senα ↓
()
⇒
PERMITR DETERMINAR O DESLOCAMENTO DO NÓ DE CONCORRÊNCIA
Aula 16/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
• Exemplo 2 – Estrutura com várias barras
F
1)
D
E
A
C B
G
F
H
I
J
2) A
E B
C
D
• CÁLCULO DOS DESLOCAMENTOS DOS NÓS DA ESTRUTURA: •
MÉTODO ANALÍTICO
•
MÉTODO DE MAXWELL-MOHR ou da UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC)
Professor Luís Juvandes
Aula 16/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Folha 4
Ano lectivo 2002/2003
2 – MÉTODO ANALÍTICO - Introdução
Professor Luís Juvandes
Aula 16/10/2002
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Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
2 – MÉTODO ANALÍTICO – Metologia de Aplicação 1 – Numeração dos “nós” da estrutura:
i, j, ... 2 – Identificação das barras:
orientação θij
barra i-j;
3 – Cálculo dos esforços nas barras:
⊕ - tracção
Equilíbrio de nós ⇒ Nij
- compressão
4 – Construção da tabela auxiliar:
(uj-ui) cos θij (vj-vi) sen θij
i-j
Nij (kN)
∆t (ºC)
Aij (cm2)
lij (m)
1-2
...
...
...
...
...
...
...
2-3
...
...
...
...
...
...
...
∆lij (m)
5 – Escrever para cada barra a equação de deformação, obtendo-se, no final um sistema de equações:
barra i-j ⇒ (uj - ui) cos θij + (vj-vi) sen θij = ∆lij
onde
Nl ∆l ij = + α ∆tl EA ij
6 – Introdução das condições fronteira:
(u, v) = valor conhecido (u, v) = (0,0) Ex: apoios
(u,v) = (u, 0)
u=0
7 – Resolução do sistema de equações determinado em (5):
⊕ Resultados
Professor Luís Juvandes
(u, v)
v
Tabelas de resultados u v Nó (m) (m) 1 ... ... + 2 ... ... ... ... ... u ... ... ... ... ... ...
Apresentação da solução sob a forma de Tabela
Aula 16/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
•
Ano lectivo 2002/2003
Exemplo 3 – Calcule os deslocamentos dos nós da estrutura articulada representada na figura, utilizando o método analítico. A área de secção transversal é de 20 cm2 para as barras AB e BD é de 15 cm2 para as restantes e o módulo de Young igual a 200 GPa α=1.25x10-5/ ºC. C
2.0
∆
+ t=
10
ºC
60kN
A
B
D
3.0
[m]
6.0
i) Cálculo de esforços [kN]: C
60 A
13
60 10
-180
Σf x = 0 Eq. dos nós ⇒ N ij ( kN ) Σ f = 0 y
-180
B
[kN]
-180
D
ii) Cálculo dos deslocamedntos dos Nós (u, v): DADOS
BARRA
Nij
∆t
SISTEMA DE EQUAÇÕES
Aij 2
lij
(uj-ui) cos θij (vj-vi)
(kN)
(ºC)
(m )
(m)
A-B
-180
-
20×10-4
3
(0-uA)
1
(0-0)
0
B-D
-180
-
20×10-4
6
(uD –0)
1
(vD-0)
0
A-C
60 13
+10
15×10-4
13
(uC –uA) 3 13
C-D
60 10
-
15×10-4
2 10
B-C
-180
-
15×10-4
2
A
⇒
⇒
Professor Luís Juvandes
u B = vB = φ uA ≠ 0 vA = φ
2
0
(m)
-1.35×103
-1.35×103
3.0507×1 0-3
13
→ CONDIÇÕES FRONTEIRA: B
(vC-0)
2 10
4.0×10-3
1
1.2×10-3
2
(uD –uC) 6 2 10 (vD- vC) − (uC-0)
∆lij
sen θij
(vC-0)
→ RESULTADOS:
v
+ u
Nó
u (mm)
A
1.35
0
B
0
0
C
5.816
-1.2
D
-2.7
-39.4
v (mm)
Aula 16/10/2002
Aula Teórica de 18 – 10 – 2002 Capítulo de Tracção – Compressão simples: Estruturas isostáticas Deslocamentos de nós de estruturas articuladas planas isostáticas (continuação): Método da Unidade Fictícia de Carga ou Maxwell-Mohr. Exemplo de aplicação.
Professor Luís Juvandes
Aula 18/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
3 – MÉTODO DE MAXWELL-MOHR ou da UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) • Exemplo - Introdução P1 P2
D
P1
δ HD = ?
∆t
D
E
P2
∆t
A
B
A
C
C B
P3
δVD = ?
OBJECTIVOS
δ VB = ?
VALOR DA COMPONENTE DO DESLOCAMENTO DE UM NÓ NUMA
DADA
DIRECÇÃO
(vertical,
horizontal,
...)
OU
ROTAÇÕES DE BARRAS
MÉTODO
MAXWELL-MOHR ou UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC)
δ p∆ ∆
n
= ∑ N i ∆l i i =1
- direcção da componente do deslocamento
i = 1, n - estendido a todas as barras da estrutura
Professor Luís Juvandes
Aula 18/10/2002
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS
Professor Luís Juvandes
TRABALHO DAS FORÇAS EXTERIORES
. Dissipação de energia por atrito externo . Dissipação de energia por atrito interno . Energia cinética . Energia potencial elástica
int
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
⇒
ext =
É CONDIÇÃO NECESSÁRIA E SUFICIENTE PARA QUE UM CORPO ESTEJA EM EQUILÍBRIO ELÁSTICO SOB A ACÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS EXTERIORES, QUE NUMA DEFORMAÇÃO VIRTUAL DO CORPO O TRABALHO VIRTUAL DAS FORÇAS EXTERIORES IGUALE O TRABALHO ELÁSTICO DE DEFORMAÇÃO DO CORPO
FEUP - ENGENHARIA CIVIL Folha 3
Ano lectivo 2002/2003
Aula 18/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
3 – MÉTODO DA UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) – Aplicação do PTV Estrutura Real
Estrutura fictícia com a UFC
P1
∆t
D
E
A
P2
E
D
HA
C
B
A
B
C 1
δVB = ?
VA
VC
Solicitação ⇒ força UFC do v deslocamento " B "
P ,P Sol. ⇒ 1 2 Solicitação ∆t Equilíbrio ⇒ Ni Nl + α ∆t l ∆l i = Deformação Def. ⇒ i EA H V nó " j" ⇒ δ , δ j
(
Equilíbrio
)
i − barra j − nó
(sem unidades)
PRINCÍPIO DOS TRABALHOS VIRTUAIS (P.T.V.) Sol. = UFC → Admitindo
Ni Rj
Def. virtual = Def. real →
N i - esforços ⇒ R - reacções de apoio j
⇒
ext =
∆l i δj
ext
= VA × 0 + H A × 0 + VC × 0 + δ BV × 1 = δ VB
int
= N1 × ∆l1 + K + N 7 × ∆l 7 = ∑ N i ∆l i
7
i =1
Ni
n
δ = ∑ N i ∆l i V B
∆l i Professor Luís Juvandes
int
i =1
Aula 18/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 5
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
3 – MÉTODO DA UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA (UFC) – Metologia de Aplicação
δ p∆
BARRAS (i)
li
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
Ai
n
= ∑ N i ∆l i
Ni
i =1
δ vp
∆l i
δ Hp
N 1i
N1i × ∆l i
N 2i
N 2 i × ∆l i
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
δ pv =
…
δ Hp =
…
Cálculo do deslocamento de “P” - δ p ( δ vp ; δ hp )
OB S : Nl ∆l i = + α ∆t l EA i ∆t
Ni
− cada barra " i"
⊕
; N1 i
; N2 i
;
⊕ trac. comp.
i − barra N 1 i − esforço na barra " i" da estrutura " UFC" da componente " δ Vp " N 2 i − esforço na barra " i" da estrutura " UFC" da componente " δ Hp "
Professor Luís Juvandes
Aula 18/10/2002
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 6
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
TABELA – Acções UNIDADE FICTÍCIA DE CARGA de determinados deslocamentos
Deslocamentos (δ, θ)
Forças U.F.C. (s/dimensões) 1
δH
1
δV 1
δA A
δA, B = δB − δA
B
1
δB
b/
A
a
a
1
a
θC, AB
a/
b
1
1
B
C
b
b
a+b =
1/
B 1
θAB
1/ 1/
A
1
1/
1
B
2
2
1
1
1/
θ AB, BC
A
Professor Luís Juvandes
C
1/
1
⇓ Ni Aula 18/10/2002
2
FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 7
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
•
Ano lectivo 2002/2003
Exemplo 3 – Calcule os deslocamentos dos nós da estrutura articulada representada na figura, utilizando o método analítico. A área de secção transversal é de 20 cm2 para as barras AB e BD é de 15 cm2 para as restantes e o módulo de Young igual a 200 GPa α=1.25x10-5/ ºC. C
2.0
∆
+ t=
10
ºC
60kN
A
B
D
3.0
V D
[m]
6.0
=?
i) Cálculo de esforços da Estrutura Real: C
60
Ni (kN)
A
13
-180
[kN]
60 10
-180
ΣFx = 0 nó " ⇒ ΣFy = 0
B
-180
D
ii) Cálculo de esforços da Estrutura c/a U.F.C. do deslocamento “ δ VD ” pretendido: C
C
A
B
D
13
- 1 0
+3
-
1 A
B
+3 3.0
D
+3
[m]
6.0
N i (s/unidades) Equilíbrio de nós
iii) Aplicação do Método UFC: δ VD
li
Ai
∆t i
Ni
∆l i
(m )
(m 2 )
ºC
(kN )
(m) × 10 −3
Ni
N i ∆l i
A-B
3
20 × 10 −4
-
-180
-1.35
3
− 4.05 × 10 −3
B-D
6
“
-
-180
-2.70
3
− 8.1 × 10 −3
A-C
13
15 × 10 −4
+10
60 13
3.057
− 13
− 10.9 × 10 −3
C-D
2 10
“
-
60 10
4.00
− 10
− 12.65 × 10 −3
B-C
2
“
-
-180
-1.20
3
− 3.6 × 10 −3
Barra
Como Professor Luís Juvandes
δ VP = Σ N i ∆l i = − 39.4 mm ⇒
Σ N i ∆l i = −39.4 × 10 −3 m Aula 18/10/2002
Aula Teórica de 22 – 10 – 2002 Esforços nas Barras de Peças Prismáticas Definição dos esforços gerais de uma secção transversal numa peça linear. Cálculo dos esforços axial (N), transverso (V) e flector (M) de estruturas isostáticas. Interpretação do equilíbrio de uma secção (Princípio do Corte). Esforços instalados em peças lineares sujeitas à flexão plana. Critérios para convenções de resistência de mateirias. Exemplos de aplicação.
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Aula 22/10/2002
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Folha 2
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
ESFORÇOS NAS BARRAS DE PEÇAS PRISMÁTICAS 1 – IDENTIFICAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS PEÇAS LINEARES • Caso Geral P1
P2
secção transversal genérica S
G
p
S
G x
z y
P1
P2 Análise da secção S-S
S
G Vx
N
Vx Mx
z
T
M M
S My
Esforços:
Hipóteses: • PEÇAS PRISMÁTICAS • LEI DA CONSERVAÇÃO DAS SECÇÕES PLANAS • MATERIAL HOMOGÉNIO
Professor Luís Juvandes
EQUILÍBRIO
S-S
Forças Momento
N - Esforço Axial Vx Vy Mx My
Esforço Transverso
Momento Flector
T - Momento Torçor
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Folha 3
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
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• Caso de Flexão Plana
RESISTÊNCIA DE
(Estuda-se)
S-S
MATERIAIS - 1
N - esforço axial
Vy - esforço transverso vertical
Mx - momento flector segundo XX
Vy = V Mx x
N
Vy
Mx = M
z y
eixo de solicitação (e. s.)
2 – MÉTODOS
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS EM PEÇAS PRISMÁTICAS
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1.º MÉTODO
- Interpretação ESTÁTICA da estrutura;
2.º MÉTODO
- RELAÇÕES MATEMÁTICAS entre os M, V, p.
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Folha 4
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2002/2003
3 – 1.º MÉTODO – ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTRUTURA (Principio do Corte) • Exemplo 1 (Obs: no lugar da variável “x” deve escrever-se a variárel “z”)
100
S
A
B 100 kN
100
S
A
S 0
S
0
x
0
x
5m
(A → S):
AB :
N (x )= 100 kN ( tracção)
S −- S ∴
e d 0≤x
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