Resistencia de materiales uancv

FACULTAD DE INGENIERIAS Y CIENCIAS PURAS CARRERA ACADEMICO PROFESIONAL: INGENIERIA CIVIL

Tema: método de trabajo virtual Investigación teórica y análisis pórtico Edificio de 03 niveles 

Integrantes:



Par Chuarata  Chuarata Edwin Alcides Apaza Fernandez Leon Lizardo Huayta Mamani Wilson Jesu Jesu s Tin Tin a Flores Rene Ubaldo Canaza Mamani Joel Roscelin Sucapuca Condori Royer Luque Alvarado Gerson

     

Docente: mg .Ing. Córdova cano miguel e. Semestre: 5° ´A´ Juliaca – Perú Diciembre - 2014

INTRODUCCION

En este capitulo se va desarrollar el concepto de energía de deformación de un elemento el cual esta relacionado con el aumento de energía asociada con la deformación del elemento. Esta energía de deformación es igual al trabajo realizado por una carga aplicada al elemento, la que se incremente lentamente.



PRESENTACION METODO DE ENERGIA.

Trabajo y de la energía de deformación para una fuerza y un momento, la conservación de la energía o el principio de del trabajo y la la energía pueden aplicarse para determinar el desplazamiento en un punto sobre una estructura o una viga. Para hacer esto se considera una fuerza P=1, en el lugar donde se quiera hallar el desplazamiento. Se muestra cómo aplicar los métodos de energía para resolver problemas que implican deflexiones. El método de energía comienza con una descripción y de la energía de deformación. Usando este principio se determina el esfuerzo y la deflexión de un miembro cuando este se somete a impacto. Luego se explica el método método de trabajo virtual y el teorema de castigliano. Estos métodos se usan para determinar el desplazamiento y la pendiente en los puntos de elemento mecánico mecánico y miembros estructurales.

  

   

Si sobre un sólido deformable se aplica un sistema de fuerzas Fi, el trabajo de las fuerzas produce deformaciones, movimiento y calor ver Figura Nº 01. El proceso se rige por la termodinámica, de manera que se cumple:

Donde

MARCO TEORICO METODO DE HARDY CROSS: El método de redistribución de momentos o método de Cross es un método de análisis estructural para vigas estáticamente indeterminadas y marcos, pórtico planos desarrollado por Hardy Cross. Fue publicado en 1930 en una revista de ASCE. Este método solo calcula el efecto de los momentos flectores e ignora los efectos axiales y cortantes, la cual es suficiente para fines prácticos en barras esbeltas. Posteriormente otros métodos como el método matricial de rigidez que se puede programar de manera mucho más sencillo a llegado a ser más populares que el método de redistribución de momentos de Cross

RIGIDEZ RELATIVA En el método de redistribución de momentos, para analizar cada  articulación o nodo de la estructura, se considera fija en una primera fase a fin de desarrollar los Momentos en los

Extremos

Fijos.

Después

cada

articulación

fija

se

considera

liberada

secuencialmente y el momento en el extremo fijo (el cual al momento de ser liberado no está en equilibrio) se "distribuyen" a miembros adyacentes hasta que el  equilibrio es alcanzado. El método de distribución de momentos en términos matemáticos puede ser demostrado como el proceso de resolver una serie de   sistemas de ecuaciones por medio de iteración. de iteración.

El método de redistribución de momentos cae dentro de la categoría de los métodos de desplazamiento del desplazamiento del análisis estructural.

RIGIDEZ ABSOLUTA

El concepto de rigidez absoluta es esencial para el cabal entendimiento del método. Es simplemente una medida de la capacidad de un elemento para oponerse al giro de uno de sus extremos cuando se le aplica en él un momento, y se define así:

Rigidez absoluta es el valor del momento que, aplicado en un extremo simplem enteapoyado de un elemento, produce en él una rotación de un radián, estando el otro extremo simplemente apoyado, parcialmente restringido o fijo, y sin que haya ninguna translación de los apoyos .Los tres casos contemplados en la definición se ilustran gráficamente en la figura

Figura

Definición de rigidez absoluta.

Para empezar, Cross supuso que en la estructura todos los nudos están fijos y luego comenzó a soltarlos uno por uno, estudiando el efecto de cada liberación sobre todos los elementos, hasta lograr equilibrar los nudos por completo

FIGURA Nº 01 SOLIDO DEFORMABLE EN EQUILIBRIO

FUENTE:

ANALISIS DE ESTRUCTURAS “UNIVERSIDAD CATOLICA DE

CONSEPCION”

Los procesos de equilibrio se suponen de tipo cuasiestático y en ellos se desprecian el calor disipado y la energía cinética, lo que significa que todo el trabajo se transforma en energía interna de deformación, resultando la igualdad: ΔW = ΔU

El proceso puede revertirse total o parcialmente si se usa el sistema de cargas

aplicado recuperándose total o parcialmente la geometría

original. En el

primer caso se dice que el material es perfectamente elástico y en el segundo caso se habla de materiales parcialmente elásticos.

Toda fuerza que se desplaza una distancia dx en la misma dirección de la fuerza, realiza un trabajo Fdx, el trabajo total se expresaría por:

 Cuando en un cuerpo se aplica una fuerza F y produce un desplazamiento total Δ si el elemento es de material elástico, F proporcional a Δ:

P f=p

Δ

p

  ∫    ∫       

limite 0-Δ

El trabajo externo se expresaría por:

   (trabajo externo producido por una fuerza P que ha generado un desplazamiento final Δ)

   (si se aplica un momento externo y si produce un angulo (desplazamiento angular))

Si un cuerpo o elemento que se desplaza Δ por acción de P y hacemos actuar una fuerza P” el trabajo externo estaría expresado por:

D D P” p El trabajo producido por P para que se desplace Δ, esta dado por:

   Luego:

      NOTA: 

Toda carga que se aplica a una estructura produce un trabajo externo.



El desplazamiento que se produce en el punto de aplicación de la fuerza y en la misma dirección .



Si se tienen varias fuerzas que han producido los desplazamientos correspondientes el trabajo total externo seria :

∑  

(si varia I=1 hasta n) TRABAJO INTERNO O ENERGIA DE DEFORMACION INTERNA

Llamaremos trabajo interno de una estructura a la energía de deformación interna de la estructura . 

Al aplicar cargas a una estructura esta se deforma y todo el trabajo externo (we) se conviertre en trabajo interno (Wi) que se conserva en la estructura .



Por la ley de conservación de la energía se cumple que We=Wi

'

Sea un elemento cubico infinitesimal dentro de un elemento estructural

  ()            Remplazando tenemos:

)



( 

    

Si  es producido por los momentos flectores se tiene que Reemplazando:

         

   



                    (

   ∫ /E    ∫ /EI METODO DEL TRABAJO VIRTUAL: ANALISIS DE PORTICOS

Principio de trabajo virtual

Fue introducido por Johan Bernoulli en 1717. es una poderosa herramienta analítica en muchos problemas de macanica estructural. Este principio puede ser enunciado de dos maneras:

CARGAS EXTERNAS:



para determinar el desplazamiento  del nudo de una armadura cuando está sometida en una carga de ecuación para el trabajo virtual será:

∑ Dónde: 1= Carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nudo de la armadura en la defleccion estipulada para



n= Desplazamiento externo del nudo causado por las cargas reales sobre la armadura.

N= Fuerza normal interna en el miembro de una armadura causada por las cargas reales. L= Longitud de un miembro. A= Área de la sección trasversal de un miembro. E= Modulo de elasticidad de un miembro. TEMPERATURA:

En algunos casos. Los miembros de armaduras pueden cambiar su longitud debido a cambios de temperatura. S x es el coeficiente dé dilatación térmica

 es el cambio en su temperatura, el cambio en longitud de un miembro es L. Para determinar el desplazamiento para un miembro y

de un nudo especifico de una armadura debido a un cambio de temperatura es:

∑    DONDE: 1:carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nudo de la armadura en



la dirección estipulada para . n:fuerza normal virtual interna en el miembro de una armadura causada por la carga unitaria virtual externa. Δ: desplazamiento externo del nudo causado por el cambio de temperatura

X: coeficiente de dilatación térmica del miembro. ΔT: cambio de temperatura del miembro

L: longitud del miembro

METODO DE TRABAJO VIRTUAL: VIGAS Y MARCOS

El principio del trabajo virtual, puede formularse para las deflexiones en vigas y marcos considerando la viga mostrada en la fig(1-a). Aquí, el desplazamiento Δ del punto A debe ser determinado. Para calcular Δ se

coloca una carga unitaria virtual que act úe en la dirección de Δ sobre la viga en A y se determina el momento virtual interna m por el método de las secciones en una posición x arbitraria media desde el soporte izquierdo, fig(1-b). Cuando las cargas reales actúen sobre la viga, fig(1-a), el punto A se desplaza Δ. S estas cargas generan una respuesta elástica lineal del material,

entonces el elemento de dx se deforma o gira girado= (M/EI)dx . Aquí, M es el momento interno en x causado por las cargas reales. W

Δ

X

V

R

cargas reales

M

A

X

r

v x

En consecuencia, el trabajo virtual externo hecho por la carga unitaria es 1. Δ y el trabajo virtual interno hecho por el momento “m” es mdo= m (M/EI)

dx. Para sumar los efectos sobre todos los elementos dx a lo largo de la viga se requiere una integración:

1.Δ=

∫  

Dónde: 1: carga unitaria virtual externa que actúa sobre la viga o marco en la dirección de Δ.

m: momento virtual interno en la viga o marco, expresado en función de x y causado por la carga unitaria virtual externa. Δ: desplazamiento externo del punto causado por las cargas reales actuando

sobre la viga o marco M: momento interno en la viga o marco, expresado en función de x y causado por las cargas reales E: modulo e elasticidad del material. I: momento de inercia de la sección transversal, calculada respecto al eje neutro. De manera similar, se debe determinar la rotación de la tangente o ángulo de la pendiente en un punto sobre el área elástica de la viga, se aplica un momento concentrado unitario en el punto, y se determinan los

correspondientes momentos m o internos. Como el trabajo del momento concentrado unitario es 1.θ, se tiene entonces

∫   

1.θ =

Si las fuerzas θ momentos concentrados actúan sobre la viga θ si la carga distribuida es discontinua ,no basta con efectuar una sola integración a lo largo de toda la viga; deberán escogerse varias coordenadas x dentro de regiones que no tengan discontinuidades de carga . No es necesario que cada x tenga el mismo origen; sin embargo, la x seleccionada para determinar el momento real M en una región particular debe ser la misma x usado para determinar el momento virtual m o m θ

dentro de la misma región. Por ejem: Considere para determinar el desplazamiento en θ, deben considerarse cuatro regiones de la viga y, por tanto, cuatro integrales de la forma

∫  deberán ser evaluadas .podemos usar X1 para determinar la energía de deformación en la región AB, X2 par la región BC, X3 para la región. DE y X4 para la región DC. En todo caso, debe escogerse cada coordenada x de manera que tanto M como m (m θ) puedan formularse en

forma sencilla. Al aplicar estas ecuaciones es importante ver claramente que las integrales definidas en el lado derecho representan realmente la cantidad de energía de deformación virtual almacenada en la viga. Si las fuerzas o mementos concentrados actúan sobre la viga, o si la carga distribuida es discontinua, se deben resolver varias integrales; para las cuales se escogen varias coordenadas x dentro de la región que no tenga discontinuidad de cargas. No es necesario que cada x tenga el mismo origen; sin embargo, la x seleccionada para determinar el momento real M debe ser la misma x usada para determinar el momento virtual m o mθ dentro de la misma región.

PROCEDIMIENTO DE ANALISIS

Este procedimiento se puede usar para determinar el desplazamiento y/o la pendiente en un punto sobre la curva elástica de una viga o marco usando el Método del Trabajo Virtual. Momentos virtuales m o mθ : Con las mismas coordenadas x establecidas para m o mθ se determinan los momentos internos M causados solo por las cargas reales. Como se supone inicialmente que m o mθ son positivos, es

importante que M también sea positivo (que actúe en la misma dirección). Esto es necesario ya que el trabajo interno positivo o negativo depende del sentido direccional de la carga y del desplazamiento. Momentos virtuales m o mθ :

Colocar una carga unitaria sobre la viga o marco en el punto y en la dirección o desplazamiento buscado. Si va a determinarse la pendiente, coloque un momento concentrado unitario en ese punto. Establezca coordenadas x apropiadas que sean válidas dentro de las regiones de la viga o marco donde no haya discontinuidad de carga real o virtual. Se retiran las cargas reales, y se calcula el momento m o mθ en función de cada

coordenada x . Se usa m o mθ positivos si produce tracción en las fibras inferiores de la viga. Ecuación de trabajo virtual: Se aplica la ecuación de trabajo virtual para determinar el desplazamiento Δ o la rotación θ requeridos. Es importante el signo algebraico de cada integral calculada dentro de su región especificada. Si la suma algebraica de todas las integrales para la viga entera o marco es positiva, quiere decir que Δ o θ tendrá el mismo sentido que el de la carga unitaria o momento concentrado unitario Principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidos: El método de Müller –breslau para el trazado de líneas de influencia está basado en esta fórmula de expresar el principio de desplazamientos virtuales para los cuerpos rígidos se enuncia así:

Si un cuerpo se encuentra en equilibrio bajo un sistema de fuerzas y si se sujeta a cualquier desplazamiento virtual del cuerpo rígido por las fuerzas externas es cero.

Principio de fuerzas virtuales para cuerpos deformables se enuncia así: Si una estructura deformable esta en equilibrio bajo un sistema virtual de fuerzas (y pares) y se sujeta a cualquier deformación real pequeña ,coherente con las condiciones de apoyo y continuidad de la estructura, entonces el trabajo virtual externo realizado por las fuerzas externas (y pare externos ) virtuales que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones ) externos reales es igual al trabajo interno virtual realizado por las fuerzas internas (y pares internos ) que actúan a través de los desplazamientos (y rotaciones ) internos reales

:

A

B 0 2.745 1.175

0.86

0.14

0

0

-39.2

38.9

0

0

5.49

33.71

-33.53

-5.46

-2.75

-16.77

16.86

14.42

-14.5

-2.36

-1.18

-7.25

7.21

6.24

-6.2

-1.01

-0.505

-3.1

3.12

2.67

-2.68

-0.44

-0.22

-1.34

1.34

1.15

-1.15

-0.19

-0.095

-0.58

0.58

0.5

-0.5

-0.08

-0.04

-0.25

0.25

0.22

-0.22

-0.04

-0.02

-0.11

0.11

0.09

-0.09

0.02

-0.01

-0.045

0.045

0.039

-0.039

-0.006

-0.003

-0.02

0.02

0.02

-0.02

-0.003

-0.002

-0.01

0.01

0.001

0.009

-0.009

-0.001

-0.0005

9.63

-9.61

9.6

-9.61

-4.806

9.6

-9.6

9.6

-9.6

0.43

0.095

0.19

0.04

0.08

0.02

0.04

0.01

0.02

0.003

0.006

0.002

0.003

0.0005 4.816

0.86

1.02

0.215

∑

E

0.14

2.35

0.51

D

∑

A

B

D

E

0

0.14

0.86

0.86

0.14

0

0

0

-1.02

0.85

0

0

0.07

0.14

0.88

-0.73

-0.12

-0.06

-0.37

0.44

0.32

-0.38

-0.06

-0.03

-0.19

0.16

0.16

-0.14

-0.02

-0.01

-0.07

-0.08

0.06

-0.07

-0.01

0.005

-0.04

0.03

0.03

-0.03

-0.004

0.002

-0.02

0.02

0.025 0.015 0.005 0.004

0.05 0.03 0.01 0.007

0.0015

0.003

0.02

-0.02

-0.003

0.0015

0.12

0.24

-0.24

0.21

-0.21

-0.11

A

B

D

E

0

0.14

0.86

0.86

0.14

0

0

0

0.2

0.29

0

0

-0.014

-0.028

-0.172

-0.25

-0.04

-0.02

-0.13

-0.09

0.11

0.08

0.01

0.005

0.04

0.06

-0.03

-0.05

-0.008

-0.004

-0.03

-0.02

0.03

0.02

0.003

0.002

0.01

0.02

-0.001

-0.009

-0.02

-0.003

-0.002

-0.001

-0.009

-0.005

-0.02

0.02

0.04

-0.04

-0.02

0.01 -0.003 0.002

-0.005

0.02 -0.006 0.004

Metrado de cargas de 02 piso Carga muerta



 Peso de la viga principal (peso específico : 2.4ton/   ) Largo

Base

Altura

V.P

2.4

M

0.25m

0.50m

2.4Ton/

 

0.3Ton/



Ton/





 Peso de la viga secundaria (1) (peso específico : 2.4ton/   )



Largo

Base

Altura

V.S (longitud)

2.4

M

0.25m

0.50m

(1.4625+2.0375)

0.4375



0.4375m×2.4 Ton/

V.



Ton/

1.05 Ton/





 Peso de la viga secundaria (2) (peso específico : 2.4ton/   ) Largo

Base

Altura

V.S (longitud)

2.4

M

0.25m

0.20m

(1.4625+2.0375)

0.175



0.175×2.4 Ton/

V.



0.42 Ton/



 Peso de la losa aligerada (peso específico : 0.3ton/   ) Largo

Base

L.T

0.3



Ton/



Ton/



M

  

3.50

0.3Ton/

1.O5Ton/





 Peso del piso terminado (peso específico : 0.1ton/   ) Largo

Base

P.T

M

3.75m

0.1Ton/



2.4

 

Ton/

0.375Ton/





 Peso de tabiquería (peso específico : 1.8ton/   ) Largo

Base

V.P

M

0.15m

1.8Ton/

  

Ton/

0.225Ton/



CARGA VIVA 3.75X0.25=0.9375Ton/m AMPLIFICACION DE CARGAS CARGA MUERTA CARGA VIVA 3.75X0.25=0.9375Ton/m

+   =  = = = =  

0.3Ton/m + 1.05Ton/m + 0.375Ton/m = 1.725Ton/m x 1.4m

2.415Ton/m

1.05Ton/m x 1.4 m =1.47 TN 0.42Ton/m x 1.4 m= 0.588TN 1.05Ton/m x 1.4 m= 1.47TN 0.55125Ton/m x1.4m=0.77175 x 5m

 =0.315 TON/m Metrado de cargas de 03 piso Carga muerta



2.4



 Peso de la viga principal (peso específico : 2.4ton/   ) Largo

Base

Altura

V.P

2.4

M

0.25m

0.50m

2.4Ton/

 



Ton/

0.3Ton/





 Peso de la viga secundaria (1) (peso específico : 2.4ton/   )



Largo

Base

Altura

V.S (longitud)

2.4

M

0.25m

0.50m

(1.4625+2.0375)

0.4375



0.4375m×2.4 Ton/

V.



Ton/

1.05 Ton/





 Peso de la viga secundaria (2) (peso específico : 2.4ton/   ) Largo

Base

Altura

V.S (longitud)

2.4

M

0.25m

0.20m

(1.4625+2.0375)

0.175



0.175×2.4 Ton/

V.





Ton/

0.42 Ton/





 Peso de la losa aligerada (peso específico : 0.3ton/   ) Largo

Base

L.T

0.3

M

3.50

0.3Ton/



Ton/

  

1.O5Ton/





 Peso del piso terminado (peso específico : 0.1ton/   ) Largo

Base

P.T

2.4

M

3.75m

0.1Ton/

 



Ton/

0.375Ton/





 Peso de tabiquería (peso específico : 1.8ton/   ) Largo

Base

V.P

M

0.15m

1.8Ton/

  



2.4

Ton/

0.225Ton/



CONCLUSIONES: 

Con este método se puede hallar el giro y desplazamiento en estructuras isostáticas



Es un método extenso mas muy útil para análisis estructural es un solo punto

Son de aplicación mas general que de los métodos geométricos ya que se pueden desarrollar en varios tipos de estructuras , armaduras . La desventaja es que puede calcular una sola defleccion.

RECOMENDACIONES : El método de energía es recomendable para todos los pórticos ,cerchas.