Resistencia de Materiales-timoshenko-Tomo II

S. TIMOSHENKO PROFESOR DE MECÁNICA TEÓRICA Y PRÁCTICA DE LA UNIVERSIDAD DE STANFORD

RESISTENCIA DE MATERIALES SEGUNDA PARTE TEORÍA Y PROBLEMAS MÁS

COMPLEJOS

TRADUCIDO DEL INGLÉS

por

TOMÁS DELGADO PÉREZ DE ALBA INGENIERO INDUSTRIAL Y AERONÁUTICO

ESPASA-CALPE, S. A. M

A 1 9

I )

R

5

7

I

1 )

xn

NOTACIONES

NOTACIONES

„ az Fatigas normales ligadas a planos perpendiculares al eje x, y o z. a„ Fatiga normal ligada a un plano perpendicular a la dirección n. aFl Fatiga normal en el punto de fluencia. ot Fatiga normal de trabajo. t Fatiga cortante. xzx Fatigas cortantes paralelas a los ejes y, 2, x, y ligadas a planos perpendiculares a ios ejes x, y, z. t< Fatiga cortante de trabajo. 8 Alargamiento total, flecha total, e Alargamiento unitario. *v>Alargamiento unitario en las direcciones x, y. z. y Distorsión unitaria, peso por unidad de volumen. E Módulo de elasticidad en tracción y compresión. O Módulo de elasticidad por cortadura, p. Relación de Poisson. A Dilatación. K Módulo de elasticidad por volumen. M, Momento torsor. M Momento flector en una viga. V Fuerza cortante en una viga. A Área de sección recta. ly, Iz Momentos de inercia de una figura plana con relación a los ejes y y z.

ky, h. h z C l P,Q t ü e Q

Radios de giro correspondientes a Iu) /s. Momento de inercia polar. Momento resistente. Rigidez a la torsión. Longitud de una barra, luz de una viga. Fuerzas concentradas. Temperatura, espesor. Energía de deformación. Distancia, longitud de un arco. Carga por unidad de longitud.

ÍNDICE Páginas

Capítulos

-------- ,—

i.—PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS

xn 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10.

Vigas sobre fundaciónNOTACIONES elástica.................................... 1 La viga semiinfinita sobre fundación elástica Vigas de longitud finita sobre una fundación elás tica ....................................................................................... Carga lateral y compresión axial combinadas Vigas continuas con acciones axiales y transver sales ..................................................................................... Tirantes con carga transversal .......................................... La elástica mediante series trigonométricas .................. Flexión de vigas en un plano principal que no es plano de simetría. Centro de torsión ............................ Anchura efectiva de alas delgadas .................................... Limitaciones del método de superposición .....................

1

12 16 27 37 41 46 53 59 62

II.—PIEZAS CURVAS .............................................................................................................................................. 68

III.

11. ................................................................................................ Fatigas de flexión en barras curvas ................................. ... 68 12. Casos particulares ................................................................ 72 13. Deformación de barras curvas ........................................... 82 14. Arco articulado en los extremos ........................................ 97 15. Fatigas en un volante ......................................................... 100 16. Elástica de una barra con una linea media circular. 104 17. Deformación de barras con una pequeña curvatura inicial ................................................................................ 107 18. Flexión de tubos curvos ..................................................... 110 19. Flexión de una barra curva fuera del plano de cur vatura inicial ................................................................... 115 —PLACAS y ENVOLVENTES ................................. DELGADAS 121 20. Flexión de una placa en superficie cilindrica ............... 121 21. Flexión de una placa rectangular de gran longitud cargada uniformemente ................................................ 123 22. Deformación de nlacas rectangulares que tienen una pequeña curvatura inicial ............................................ 129 23. Flexión pura en dos direcciones rectangulares 133 24. Fatigas de origen térmico en las placas ......................... 137

XIV

ÍNDICE

Capitulo *

PAgi na*

25.

Flexión de placas circulares cargadas simétricamen te respecto al centro ..................................................... 138 26. Placa circular cargada uniformemente ....................... 142 27. Placa circular cargada en el centro .............................. 149 28. Placa circular cargada concéntricamente ................... 152 29. Deformación de una placa circular que tiene un agujero en su centro y está cargada simétricamente 154 30. Flexión de placas rectangulares ..................................... 159 31. Depósitos de pared delgada sometidos a presión in terior ................................................................................. 163 32. Fatigas locales de flexión en depósitos de pared delgada ............................................................................. 168 33. Fatigas térmicas en envolventes cilindricas ................ 178 34. Torsión de un anillo circular por un par distribuido uniformemente a lo largo de su línea media 181 IV........................................................................................................................ — PANDEO DE BABEAS, PLACAS y OÁSOABAS ....................................................................... 189 35. Pandeo lateral de barras comprimidas por debajo del límite de elasticidad ................................................ 189 36. Método de la energía para el cálculo de la carga crítica ............................................................................. 204 37. Pandeo de barras prismáticas solicitadas por fuer zas axiales uniformemente distribuidas ................... 209 38. Pandeo de barras de sección variable ........................... 211 39. Efecto de la fuerza cortante en la carga crítica 214 40. Pandeo de vigas entramadas ........................................... 216 41. Pandeo de anillos circulares y tubos bajo presión externa ............................................................................. 220 42. Pandeo de placas rectangulares ..................................... 228 43. Pandeo de vigas sin apoyos laterales ............................. 234 V.—DEEOBMACIONES SIMÉTRICAS ALREDEDOR DE un E J E . . . 241 44. Cilindro de pared gruesa .................................................. 241 45. Fatigas producidas por zunchado .................................. 245 46. Disco giratorio de espesor uniforme .............................. 249 47. Disco giratorio de espesor variable ................................ 258 48. Fatigas térmicas en un cilindro hueco de gran lon gitud .................................................................................. 263 VI.—TORSIÓN .................................................................................................. 270 49. Ejes de sección no circular ............................................... 270 50. Analogía de la membrana ................................................. 272 51. Torsión de perfiles laminados ......................................... 279 52. Torsión de tubos delgados ................................................ 282 63. Torsión de piezas de pared delgada en las que algunas secciones no pueden alabear libremente 286 54. Pandeo por torsión de piezas comprimidas de pared delgada ............................................................................. 298 65. Fatigas secundarias en la torsión ................................... 302 56. Resorte helicoidal de espiras abiertas ........................... 308 VII. ..................................................................................................................... — CONCENTRACIÓN DE FATIGAS ..................................................................................... 316 57. Concentración de fatigas en piezas extendidas o comprimidas.................................................................... 316 68. Fatigas en una placa con un agujero circular 318

Capítulos

Páginas

ÍNDICE

XV

59.

Otros casos de concentración de fatigas en piezas extendidas ........................................................................ 323 60. Concentración de fatiga en torsión ................................. 329 61. Eje circular de diámetro variable .................................... 334 62. Concentración de fatiga en flexión .................................. 340 63. Investigación de la concentración de fatiga con mo delos .................................................................................. 347 64. Método fotoelástico para la medida de fatigas 351 65. Fatigas en el punto de aplicación de una carga 356 66. Fatigas de contacto entre bolas y rodillos...................... 359 VIII........................................................................................................................ — Dio FORMACIONES PLÁSTICAS ..................................................................................... 366 67. Flexión pura de vigas cuyo material no sigue la ley de Hooke ........................................................................... 366 68. Flexión plástica de vigas por cargas transversales. . 376 69. Fatigas residuales en la flexión plástica......................... 383 70. Torsión plástica ................................................................. 387 71. Deformación plástica de cilindros de pared gruesa sometidos a presión interior ............... . ....................... 392 IX.—PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES ................................. 398 72. Ensayos de tracción ............................................................ 398 73. Ensayo de compresión ........................................................ 405 74. Endurecimiento por deformación ................................... 408 75. Endurecimiento por deformación y fatigas resi duales ................................................................................ 414 76. Tipos de rotura .................................................................. 420 77. Tiempo de efecto e histéresis ............................................ 425 78. La fatiga alterna en los metales ....................................... 431 79. Diversos factores que afectan al límite de tole rancia ................................................................................ 437 80. Fatiga variable y concentración de fatiga ..................... 443 81. Propiedades mecánicas de los metales a temperatu ras elevadas ..................................................................... 458 82. Diversas teorías de la rotura............................................. 468 83. Fatigas de trabajo ............................................................... 477 Indice DE AUTORES .............................................................................................. 495

RESISTENCIA DE MATERIALES SEGUNDA PARTE

CAPÍTULO PRIMERO PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS 1. Vigas sobre fundación elástica.—Consideremos una viga prismática apoyada en toda su longitud sobre una fundación elástica continua, tal que cuando la viga se deforma la intensidad de la reacción distribuida de modo continuo es en cada sección

2 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A TETtT\T,ER proporcional a la flecha de dicha sección L Con esta hipótesis, la reacción por unidad de longitud de la barra puede representarse por la expresión ky, donde y es la flecha y k una constante denominada corrientemente módulo de la fundación. Esta constante representa la reacción por unidad de longitud cuando la flecha es igual a la unidad. La sencilla hipótesis de que la reacción por unidad de longitud es proporcional a la flecha da resultados satisfactorios en muchos casos prácticos. Por ejemplo, en el caso de carriles sobre traviesas la solución obtenida con esta hipótesis está de acuerdo con las determinaciones reales 1.

1 Véase S. Timoshenko y B. F. Langer, Trans A. S. M. E., volumen 54, pág. 277, 1932. La teo-ía de la flexión de una barra sobre fundación elástica ha sido desarrollada por E. Winkier, Die Lehre v. d. Elastizat u. Festigkeit, Praga, 1867, pág. 182. Véase también A. Zim- mermann, Die Berechnung des Eisenbahn -Oberbaues, Berlín, 1888. Los Ultimos estudios de la teoría pueden verse en las siguientes publicacioi¿lfiSlSlLi\CiA DE MATE¡UALE8. — i. Ü

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN LE VTGAS

AI estudiar la elástica de una viga, se obtuvo

3

2

EI*^=q,

(a)

donde q representa la intensidad de la carga que obra sobre la viga. En un trozo descargado, la única fuerza sobre la viga es la reacción de intensidad ky. Por consiguiente, q = — ky, y la ecuación (a) será:

EI^ = -ky. dx4

(1 )

Empleando la notación 4

y—

\ i El, la solución general de la ecuación (1) puede escribirse y = (A eos ¡3x -f- B sen fix) + e - P* (C eos [3a; + D sen (3x)

(b)

lo que puede comprobarse sustituyendo (b) en la ecuación (1). En cada caso particular se hallarán las constantes A, B, C y D por las condiciones especiales del mismo. P V7Z7r WJWM/‘7?7Z7/.~ Sea, por ejemplo, el caso de una sola carga yM concentrada que actúa sobre una M. (o) viga de longitud infinita (fig. 1). Tomemos 2 como origen de coordenadas el punto de Fin. l aplicación de la fuerza. Por simetría, basta considerar el trozo de viga a la derecha de la carga —fig. 1 (b)—. Para aplicar a este caso la solución general (ó), empezaremos por determinar las constantes. Es lógico suponer que en puntos situados sobre la viga a distancia infinita de P la flecha y el giro de la sección correspondiente sean nulos. Esta condición puede satisfacerse únicamente si las constantes A y B de la ecuación (6) son nulas. Por consiguiente, la elástica para la parte de viga que se considera será

2

Véase Strenght oj Materials, primera parte, pág. 131,

4 TrKRTST'F/NT'TA T)E TVT A TETtT\T,ER y = e~$x ((7 eos fke -f D sen pa;).

(c)

Las dos constantes que quedan, G y D, las encontraremos por las condiciones en el origen, * = 0. En este punto, la elás tica debe tener una tangente horizontal; luego

utilizando para y la expresión (c). e~ 3* (G eos $x + D sen fix - G sen ¡3a;—D eos Pa;) x _ o = 0; de donde La ecuación (c) será, por tanto, y = Ce~ x (eos pa; + sen pa;).

(d)

Las derivadas consecutivas de esta ecuación son: -- = — 2 p(7e sen Pa;, dx dx2 dx3

= 2 p2Oe (sen pa; — eos Pa;)

(e)

= 4 BnCe ~ ?x eos pa;.

(/)

La constante G la determinaremos ahora,puesto que para *=0 la fuerza cortante en el trozo de viga queconsiderap mos —fig. 1 (6)— es —r-, El signo — procede del convenio esta- ¿¡ blecido para el signo de la fuerza cortante (véase página 68, Primera 'parte). Por consiguiente,

4

RESISTENCIA MATERIALES

T)E

empleando la ecuación (/), EL ■ 4 p3C = de donde

2

La expresión del giro se obtiene diferenciando la ecuación (11). En el extremo (x = 0), este giro vale ldñ

~

1

(P- 2 pif0).

2p *EIZ

(12)

Empleando estas ecuaciones y el método de superposición, pueden resolverse problemas más complejos. Si una viga larga uniformemente cargada, apoyada sobre fundación elástica, tiene un extremo simplemente apoyado —figura 7 (a)—, la reacción R se encuentra estableciendo que la flecha en el apoyo es nula. Observando que la flexión de la viga es despreciable a distancia grande del apoyo y que su depresión en la

16

RESISTENCIA DE MATERIALES

fundación será igual a y, se calcula el valor de R sustituyendo IC M0 = 0 y á = yr en la ecuación (11')- Así se obtiene; «c

L

R = 2 PS#/,- = k

2P*

(13)

La elástica se obtiene restando las flechas dadas por la ecuación (11) paraP = R, M0— 0, de la depresión uniforme de viga p y así se obtiene:

la

q e~$x „ y = ----------------- Ji eos Ba4 * 2 33E/2 = - (1 — e-P*cospa;). (14) k En el caso de extremo empotrado —fig. 7 (ó)—, los valores de la reacción R y del momento M0 se obtienen estableciendo que en el apoyo la flecha y el giro son nulos. q

Observando que a distancia grande del apoyo la flecha vale ^, y empleando las ecuaciones (11') y (12), se obtienen para el cálculo de R y Ma las ecuaciones siguientes b k 2 $*EIt

(R + 2p3/0) de donde

(R + pJ/0) 1

0

2¡y EI,

(15) El signo menos de M0 indica que el momento tiene la dirección indicada por la flecha de la figura 7 (b).

4

En las ecuaciones (11') y (12) se sustituye P = — R, ya que la

PROBLEMAS ESPECIALES EN LA FLEXIÓN DE VIGAS

17

Problemas 1. Encontrar la elástica de una viga semiinfinita sobre fundación elástica articulada en el extremo y solicitada por el par Mu (fig. 8). Solución: La reacción en la ar ticulación se obtiene por la ecuación (11'), teniendo en cuenta que 8 = 0; lo que Fio. 8 da p= Sustituyendo este valor de P en la ecuación (11) se obtiene ■ e — 3* sen $x

(16)

2 QPEI,

Por diferenciaciones sucesivas se obtiene dy dx M = — El,

) las flechas de la viga v ficticia infinita las flechas que en una viga semiinfinita producen las cargas de la figura 10 (6). Utilizando las ecuaciones (3), (11) y (c)

y PlG. 10

se obtiene para x > 0 y =