Resistencia de Materiales Practica Calificada 3 II

 

  RESISTENCIA DE MATERIALES Práctica Calificada N° 3  “ Analizar  Analizar DMF, Momentos de inercia y

Esfuerzos en perfiles”   INFORME Integrantes:  INGA GARCIA, Mario MARIN CARRIÓN, Francis TORO NAHUINMALLMA, Victor

Profesor: Anwar Yarin Achachagua 2012 - I

 

I. 

INTRODUCCIÓN Las vigas son elementos estructurales muy usados en las construcciones para soportar cargas o darles estabilidad a las mismas; para diseñarlas es necesario conocer las fuerzas perpendiculares a los ejes X, y que se ejercen a lo largo de su longitud. En el estudio de una viga la distancia entre apoyos, material de la viga, la carga aplicada, propiedades geométricas de la viga, tipos de apoyo, etc... son ciertos factores que ayudan a flectar a la viga. v iga.   En este presente informe se desarrollara los problemas propuestos utilizando los conceptos de Flexión, y momentos de Inercia.

Figura i: viga sin flexión y viga flexionada

 

II. 

OBJETIVOS Realizar cálculos utilizando el teorema de Steiner para el Momento de Inercia en los diferentes perfiles.  perfiles.  Graficar los Diagramas De Momento Flector para las vigas haciendo los cortes adecuados y aplicando las leyes de la Física para el cálculo de fuerzas y momentos.  momentos.  Realizar cálculos e interpretar los resultados para las flexiones de las vigas.   vigas.

 

III. 

FUNDAMENTO TEORICO  A. 

FLEXION EN VIGAS

La figura muestra a una un a viga con perpendicularidad el eje y ubicada en el plano de simetría de la sección. En el elemento de la viga mostrado en la figura, se deforma de tal manera que cualquier punto en una sección transversal entre apoyos se desplaza prácticamente paralelo a las cargas. Estos desplazamientos se denominan las deflexiones o flechas del momento.  Al estar las cargas ubicadas en el Eje Principal de Inercia, hace que las secciones transversales se desplacen verticalmente.

 

 Antes de aplicar las cargas, la superficie neutra se encuentra ubicada en u plano horizontal; luego de aplicadas las cargas la superficie neutra se transforma en una curva.

Como las deformaciones verticales   , en la sección transversal son sensiblemente menores que las deformaciones longitudinales   , todos los puntos de la sección transversal tienen prácticamente el mismo desplazamiento vertical. Por lo tanto, el desplazamiento de la Superficie Neutra permite representar el desplazamiento en todo el elemento. El desplazamiento     , por lo que no existe movimiento horizontal dentro de una sección transversal. Podemos elegir una curva dentro de la superficie neutra que represente la deformación de la viga. Matemáticamente, la Línea Elástica se representa por su ecuación en el Plano Principal.

 

  Para obtener las ecuaciones, definimos ciertas hipótesis:  Viga perfectamente recta Material homogéneo Comportamiento elástico (ley de Hooke)

Tenemos:

Esfuerzo: es la intensidad de la fuerza que causan el cambio de la forma, generalmente con base en la “fuerza por unidad de área”  

 

   

 

Deformación: describe el cambio de forma resultante. Si el esfuerzo y la deformación son pequeñas, es común que sean directamente proporcionales y llamamos a la constante de proporcionalidad módulo de elasticidad 

 

B. 

MOMENTO DE INERCIA

B.1 TEOREMA DEL EJE PARALELO O DE STEINER El teorema del eje paralelo afirma que el momento de inercia axial o polar de un área respecto a un eje cualquiera es igual al momento de inercia axial o polar del área respecto a un eje paralelo que pasa por el centro de gravedad del área mas el producto del área por el cuadrado de la distancia entre los dos ejes paralelos

Para un rectángulo el momento de inercia es:



  

 

 

IV. 

RESOLUCIÓN DE LOS PROBLEMAS  A.  Problema N° 1 : Calcule el máximo esfuerzo a tracción y el máximo esfuerzo a compresión (en MPa) en MPa) en la siguiente viga en voladizo. Corte 1

Corte 2

q t2

h

t1 b

q=100 N/m L= 400

b=100

h=100

t1=t2=20

D.C.L:

1600Kg   1600Kg 8m RAX 4m

12m

RAY

RBY

 

  ∑FX=

0

∑F Y =

0

Calculando las reacciones en A y B R  AX=0 =0  

R  AY  + R BY  = 1600 Kg ∑M A=0

12 R BY BY = 1600*8 R BY BY = 3200/3 Kg R  AY = 1600/3 Kg  Kg  Se realizan 2 Cortes como se muestra en la figura al inicio. Corte N°1 100X

M1

X

V1 1600/3 ∑FX=

0

∑F Y =

0

∑M1 (X)

 V 1 (X) =1600/3 - 100*X =0

 /2)   M1 (X) = 1600/3*X – 100*X*(X2 /2) M1 (X) = 1600/3*X – 50*X2 

 

Corte N°2: 100X*(X  – 12) 6

1200

M2 12

1600/3

X  – 12

(X-12)/2

3200/3

V2

X

∑FX=

0

∑F Y =

0

V2 (X) = 1600 – 1200 – 100(X – 12)  V 2 (X) = 1600 – 100X

∑M2 (X)

=0

M2 (X) = 1600/3*(X) +3200/3*(X –12) –1200*(X –6) – 50*(X –12)2  M2 (X) =  = 1600/3*(X) +3200/3*(X) –12800 –1200X +7200 – 50*(X2 –  –24X+144) M2 (X) = 1600X – 50*X2 –   – 12800

 

Diagrama de Fuerza Cortante y Momento Flector V (N)

1600 3 400

5 33 X (m) 12

16

 

 

-2000/3

M( N.m)

Momento MAX 1422,22

X (m)

-800.004N.m

 

Hallando el momento de inercia:

 A1 = 100 X 20 = 2000 cm2

y1  = 10 cm

 A2 = 80 X 20 = 1600 cm2 

y2 = 10 cm

Hallamos el eje neutro:

ȳ=

       

         

Hallamos momentos de inercia de cada parte: 

   

 

 

    

  ()()       

 

  ( ))()      

Finalmente aplicamos Steiner:                  

       ( ( ) )   

        ( ( ) )   

            

     

     

      

 

Hallando esfuerzo máximo a tracción:  

  



            

      

  

 

       

Hallando esfuerzo máximo a compresión:  

   



            

     

       

B.  Problemas N°2 a)  Una viga tiene una sección transversal como se muestra en la figura, determine la ubicación del eje Z que pase por el centro de área, así como el momento de inercia respecto a este eje Z. (emplee cm cm para  para sus cálculos). Halle los máximos esfuerzos a tracción y compresión. b)  Si adicionalmente se considera una fuerza en compresión de 800kg, halle los máximos esfuerzos en la misma sección de la parte a.

P1=200kg

P2=300kg

q=30kg/cm

h=20cmm

b1=10cm

b2=15cm

t1=t2=t3=3cm

 

D.C.L:

3000N

2000N 300N/cm

200cm

200cm

RAy

200cm

RBy

∑Fy = 0 

2000 + 60 000 + 3000 = Ray + Rby 65 000 = Ray + Rby ∑Ma = 0 

2000(200) – 60 000(100) + Rby(200) – 3000(400) = 0 RBy(200) = 6800000 RBy = 34 000N Ray = 31 000N

 

Corte 1:

M1(x)

x V1(x)

∑Fy = 0 

 V1(x) = -2000 ∑M1 = 0 

M1(x) + 2000x = 0 M1(x) = -2000x

300(x- 200)

Corte N°2:  N°2:  200N

M2(x)

200

X - 200 V2(x)

31 000

 

∑Fy = 0 

 V2(x) + 2000 + 300(x-200) = 31 000  V2(x) + 2000 + 300x – 60 000 = 31 000  V2(x) = -300x + 89 000

∑M2(x) = 0 

M2(x) + 300(x-200)(x-200)/2 – 31 000(x-200) + 2000x = 0 M2(x) = -150x2 + 89 000x – 122 00 000

Corte N°3

 

Diagrama de Fuerza cortante y moento Flector:

 

Hallando el momento de inercia:

A1  = 15 X 3 = 45 cm

2

y1  = 1,5 cm

A2  = 14 X 3 = 42 cm2 

y2 = 10 cm

2

A3 = 10 X 3 = 30 cm  

Hallamos el eje neutro:

y3 = 18,5 cm

ȳ =

           

       

Hallamos momentos de inercia de cada parte:



 

 

 

 

   

  ( ))()       



  ()()      

      ( ))()        Finalmente aplicamos Steiner:

              ( () )                        ( (  )                       ( () )   

       

                 

 

Hallando esfuerzo máximo a tracción:  

    



            

                     

          

Hallando esfuerzo máximo a compresión:  

   



                 

     

          

DCL: 300 Kg

(800 +30*500) Kg 200 Kg 750 cm

750 cm

500 cm

500 cm

RAY

500 cm

RBY

Calculando las reacciones en A y B ∑FX=

0

∑F Y =

0

R  AY  +  + R BBY Y  =  = 200 + (800 + 30*500) + 300 R  AY  + R BY  = 16300 Kg

 

∑M A=0

500 R BY BY = 500*300 + 15800*250 – 200*500 R BY BY = 8000 Kg R  AY = 8300 Kg

Se realizan 3 Cortes como se muestra en la figura al inicio. CORTE N° 1 (0 X

500 cm)

200 K

M

V X ∑FX=

0

∑F Y =

0

∑M1 (X)

 V 1 (X) = - 200 Kg =0

M1 (X) = - 200*X

CORTE N° 2 (0 X

750 cm)

 

 

 

  30*(500 – X) 200 Kg

M2

500 cm V2  X ∑FX=

0

∑F Y =

0

8300Kg

V2 (X) = 8300 – 200 – 30*(X – 500)  V 2 (X) = 23100 – 30X

∑M2 (X)

=0

M2 (X) = 8300(X –500) – 200X – (30*(X – 500)2)/2 M2 (X) = 23100X – 400000 – 15 X2  CORTE N° 4 (0

X

1000 cm)

800 Kg

 –

30*(X 500) 

200 Kg 500 cm

M3 V3 (X – 500)

X  – 500

8300 Kg  X  ∑FX=

0

 

∑F Y =

0

 V3 (X) = 8300 – 200 – 30*(X –500) – 800  V 3 (X) = 22300 – 30X ∑M3 (X)

=0

M3 (X) = 8300*(X –500) –200X – 15*(X –500)2 – 800*(X – 750) M3 (X)= 22300X – 15X2 –   – 7300000

CORTE N° 4 (0

X

1000 cm)

15800 Kg 200 Kg

M3

(X – 750)

750 cm

V3 500 cm

8300Kg 

∑FX=

0

∑F Y =

0

500 cm

X

 V3 (X) = 8300 – 200 – 15800 +8000  V 3 (X) = 300

(X – 1000)

8000Kg 

 

∑M3 (X)

=0

M3 (X) = 8300*(X –500) –200X – 15800*(X – 750) + 8000*(X – 1000) M3 (X) = 300X – 450000 Diagrama de fuerza cortante y momento flector: M(kg.m)

8482833.33

987500

X (m) 500

-100000

750

1000

1500