Resistencia de Materiales II - Tipeo[1]

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA (5/9/86) RESISTENCIA DE MATERIALES 1 1ra. Hoja de trabajos prácticos (2do. Periodo – 1986) PROBLEMA N° 1

(5 puntos)

Se tiene una cartela unida a una columna por medio de cuatro remaches de igual diámetro. La cartela está sometida a la acción de una fuerza P = 4000 kg con una excentricidad de 24 cm. Si el esfuerzo actuante medio admisible es de

τ m =1000 kg/cm 2 , para los remaches. Hallar su diámetro que

permitan una unión segura entre la cartela y la columna.

PROBLEMA N° 2

(5 puntos)

La estructura reticular mostrada está formada por seis barras del mismo material y sección igual a 10 cm 2. Si los esfuerzos admisibles de tracción y compresión son

σ t =1200 kg /cm2 y

σ c =800 kg/cm 2 . Determinar el máximo

valor de la fuerza P con que se puede cargar la estructura.

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PROBLEMA N° 3

(8 puntos)

Para la estructura mostrada sometida a la acción de una carga de P = 500 kg. Determinar: a) El diámetro de los pasadores B, E y F si su esfuerzo cortante medio

τ m =900 kg /cm2 . b) El diámetro del cable, si

σ t =1200 kg / cm2 .

c) La dimensión de la plancha cuadrada del apoyo D, si la resistencia del terreno es de

σ c =4 kg / cm2 .

d) El esfuerzo de aplastamiento en el apoyo F, si

PROBLEMA N° 4

σ c =800 kg/cm2 .

(4 puntos)

Una hélice de espesor constante “t” tiene la forma de un rombo de diagonales “2L” y “b” sabiendo que su peso específico es

γ

(peso por

unidad de volumen) y que está girando con velocidad angular constante de

ω rad / seg

en torno al punto O, determinar:

a) El esfuerzo normal que se produce en una sección situada a una distancia “x” de O. b) El máximo esfuerzo normal en la hélice. c) Indicar a qué distancia “x” de O se encuentra la sección que soporta el máximo esfuerzo normal.

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σ vs “ x ” , cuando L = 100 cm, t = 1 cm, b = 10

d) Dibujar el diagrama cm,

3

γ =7800 kg /m

y

ω=1200 rpm.

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 2da. Hoja de Trabajos Prácticos (2do. Periodo – 1986) PROBLEMA N° 1

(6 puntos)

La estructura mostrada está formada por barras de acero (E = 2.1 x 10 6 kg/cm2) siendo sus longitudes y áreas las siguientes AB = CD = 3 m, Área = 5 cm2; AC = BD = 4 m, Área = 10 cm 2; AD = BC, Área = 3 cm2. Usando el concepto de deformación unitaria y analizando la manera como se deforma la estructura, determinar: a) Las fuerzas en las barras, cuando actúa en cada nodo una fuerza P = 15 toneladas. b) La deformación en cada barra.

PROBLEMA N° 2

(5 puntos)

Un pilote de madera (E = 1 x 10 5 kg/cm2; v = 0.45) de sección circular constante de radio r = 10 cm y la longitud L = 4 m se encuentra dentro de un terreno arcilloso soportando una carga P = 120 Ton aplicada en su parte superior, tal carga es soportada íntegramente por fricción que se ejerce a lo

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA largo del pilote, dicha fricción o rozamiento varía en forma parabólica tal como se indica en la figura. Despreciando el peso del pilote, determinar: a) El incremento de área de la sección que se encuentra en el punto medio del pilote. b) En cuánto cambia el volumen del pilote. c) La deformación total del pilote.

PROBLEMA N° 3

(4 puntos)

Una placa de acero (E = 2.1 x 10 5 kg/cm2, v = 0.3) está sometida a un estado biaxial de esfuerzos tal como se indica en la figura. Sobre esta placa se dibuja el triángulo equilátero ABC antes de someter a la placa al estado de esfuerzos. a) Determinar la pendiente del lado AB cuando la placa está sometida a esfuerzos. b) En qué porcentaje incrementa su longitud la altura del triángulo.

PROBLEMA N° 4 (5 puntos) El elemento mostrado consta de una parte de sección circular y una parte de sección cuadrada de lado L = 1 cm y longitud “x”. La parte de sección circular tiene un volumen de 24 x 10 -6 m3. Si la barra se somete a una fuerza de tracción de 20 000 Newtons, determinar la longitud “x” de la sección cuadrada y el diámetro de la sección circular, para que la energía total en el rango elástico sea mínima, indicar el valor de la energía mínima expresada en Joules.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA E = 200 GPa

RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (3era. Hoja de Trabajos Prácticos) (2do. Periodo – 1986) NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO A LOS PROBLEMAS CUYA SOLUCIÓN TENGA VALORES CORRECTOS, BIEN PRESENTADO Y CON LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE JUSTIFIQUEN SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1 (3 puntos) Un perno de acero se inserta dentro de un casquillo de latón tal como se indica en la figura. El perno tiene una sección transversal de 2 cm 2 y un paso de rosca de 0.16 cm. Si la sección transversal del casquillo tiene un área de 6.5 cm2 determinar las deformaciones y los esfuerzos en ambos elementos, cuando a la tuerca se le da un cuarto de vuelta. Eacero= 2.1 x 106 kg/cm2

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PROBLEMA N° 2

(5 puntos)

Se tiene dos barras de aluminio soldadas a las placas rígidas, las cuales a su vez están atravesadas por un perno de acero cuya rosca tiene un paso de 0.3175 cm. Si la temperatura se incrementa en 27 °C. Determinar el número de vueltas que se le debe dar a la tuerca para tener esfuerzos de igual valor en el perno y en las barras. Ealuminio= 0.7 x 106 kg/cm2

Eacero = 2.1 x 106 kg/cm2

αaluminio = 28 x 10-6

α acero = 12 x 10-6

RESOLVER EL PROBLEMA APLICANDO EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN

PROBLEMA N° 3

(7 puntos)

En el mecanismo mostrado solo los elementos A, B y C son deformables. Determinar el máximo valor de P en KN para que los esfuerzos que se produzcan en A, B y C no sobrepasen los admisibles. Elemento σ (MPa)

Material

A 140

acero

B 20

concreto

C 60

Latón

Área (mm 2) 300 4000 1000

E (GPa) 200 30 100

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PROBLEMA N° 4

(5 puntos)

a) Determinar las fuerzas en las barras de la estructura mostrada, cuando se aplica en B una fuerza de 6000 kg. Todas las barras tienen la misma sección y son del mismo material. b) Determinar las reacciones en A, B, C y D. Usar método de rigidez.

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RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (4ta. Hoja de Trabajos Prácticos) (2do. Periodo – 1986) PROBLEMA N° 1

(5 puntos)

Se tiene tres anillos de latón, cobre y acero, colocados tal como se indica en la figura. El diámetro interior del anillo de acero y el exterior del anillo de cobre es 12 cm. Conociendo sus espesores de 6 mm y 4 mm, respectivamente; el anillo de latón tiene un espesor de 5 mm. Todos los anillos encajan exactamente cuando la temperatura es de 5° C; si la temperatura se eleva a 55° C. Determinar los esfuerzos en los anillos. Materiales

E kg/cm 2

α

Acero

2.1 x 10 5

12 x 10-6

Cobre

1.12 x 10 6

16.7 x 10-6

Latón

1.05 x 10 6

20 x 10-6

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PROBLEMA N° 2

(8 puntos)

Se tiene una estructura formada por tres barras construidas con materiales no linealmente elásticos y cuyas gráficas σ - ԑ se dan en la tabla 1. Determinar las fuerzas en las barras, cuando se aplica en D una fuerza vertical P de 17900 kg y se incrementa la temperatura a las barras A, B y C en 90° C, -80° C y 36° C respectivamente. Material

Área (cm 2)

α 20 x 10 -6

A

5

B

2

26 x 10 -6

C

1.5

25 X 10 -6

PROBLEMA N° 3

(7 puntos)

La estructura mostrada está formada por dos barras de acero AB y DE y dos de bronce BC y CD. La barra AB fue cortada con una longitud de 0.40 cm, menos que la prevista. Hecho el montaje, la barra rígida se somete a una

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA carga de ω = 5000 kg/m, y posteriormente se hace variar la temperatura en las barras en la misma cantidad. Se pide: a. Determinar los esfuerzos debido al montaje. b. Entre qué valores puede variar la temperatura para los esfuerzos en las barras de acero y bronce, no sobrepasen los esfuerzos admisibles. E (kg/cm 2)

Material Área (cm2) Acero 10-6 Bronce 10-6

αadm (kg/cm2)

α

2 x 10 6

1680

12 x

0.84 x 10 6

1400

17 x

1.5 A 1.0 A

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (5ta. Hoja de Trabajos Prácticos) (2do. Periodo – 1985) NOTA.- EL PUNTAJE MÁXIMO SE ASIGNARÁ A LOS PROBLEMAS CUYA SOLUCIÓN TENGA VALORES CORRECTOS, BIEN PRESENTADO Y CON LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE JUSTIFIQUEN SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1

(4 puntos)

Se tiene una barra curva constituida por 3/4 de circunferencia (situada en un plano horizontal) de radio igual a 1 m y cuya sección transversal está compuesta de un núcleo de acero y una cubertura de aluminio de radios 2 cm y 4 cm, respectivamente. Determinar los esfuerzos cortantes máximos en ambos materiales, debido a la torsión, cuando se aplica una carga P de 500 kg. Tómese

Gacero = 8.4 x 105 kg/cm2

PROBLEMA N° 2

Galuminio = 2.8 x 105 kg/cm2

(5 puntos)

Un motor mediante un conjunto de engranajes mueve un eje a 10 Hz. El motor entrega 52 KW a A y 45 KW a C. Determinar el diámetro del eje macizo sabiendo que el esfuerzo cortante admisible es 40 MPa y el ángulo de torsión no debe sobrepasar de 0.05 rad. G eje = 11 GPa

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RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (7a. Hoja de Trabajos Prácticos) (2do. Periodo – 1986) NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO A LOS PROBLEMAS CUYA SOLUCIÓN TENGA VALORES CORRECTOS, BIEN PRESENTADO Y CON LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE JUSTIFIQUEN SU SOLUCIÓN. Problema N° 1

(5 puntos)

Determinar el núcleo central de la figura que se muestra. (Se determinará las coordenadas de sus vértices con referencia a los ejes principales y centrales.) Dibujar la sección a escala 1 cm 5 cm y dibujar sobre ella, a la misma escala, el núcleo central.

Problema N° 2

(5 puntos)

Sobre la sección triangular mostrada de una columna actúa sobre el punto A situado sobre el eje “y” una fuerza de compresión P (no se indica el elemento de conexión). Determinar la región en donde puede actuar otra fuerza de compresión de módulo 2P que nos asegure que toda la sección esté sometida a esfuerzos de compresión.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA NOTA.- Se determinará las coordenadas de los vértices de la región, referida a los ejes principales y centrales, y se dibujará sobre la sección usando una escala 1 cm 10 cm.

Problema N° 3

(5 puntos)

El muro de sostenimiento mostrado se encuentra sometido a la acción de una carga repartida y una carga concentrada P aplicada en el punto A de la base superior. El muro está empotrado a una zapata rectangular de dimensiones “L” y “L/2”. Determinar: a) ¿Cuál es el valor de la carga P que nos asegure que en la base del muro no se presenten esfuerzos de tracción? b) ¿Cuál debe ser el diagrama de distribución de esfuerzos en la base del muro? c) ¿Cuál deben ser las dimensiones de la zapata, expresadas en múltiplos de 5 cm, si la carga admisible del terreno es de 6 kg/cm 2?

P

Problema N° 4

(5 puntos)

Un pilar de 2.40 m de altura, sección rectangular de ancho 0.30 m constante, y longitud L variable entre 0.60 m y 1.20 m soporta la acción de una fuerza P de 21 ton tal como se indica en la figura.

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA El pilar se apoya sobre una zapata trapecial cuyas dimensiones se indican. Despreciando el peso propio del pilar y la zapata, determinar: a) El máximo esfuerzo de compresión en el pilar. b) El máximo esfuerzo de compresión en el terreno (Recuerde que la zapata no transmite esfuerzos de tracción al terreno)

RESISTENCIA DE MATERIALES I 8va. Hoja de trabajos prácticos (2do. Periodo – 1986) NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO SOLO A LOS PROBLEMAS BIEN RESUELTOS; CON EXCELENTE PRESENTACIÓN Y LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE SEAN NECESARIOS PARA SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1 (5 puntos) La viga AB, de sección triangular, está cargada tal como se indica en la figura. Para una sección “m” situada a 2 m del apoyo A determinar: a) b) c) d)

El diagrama de flujo vertical qxy El diagrama de esfuerzos cortantes τxy Determinar σmáx y τmáx en la sección m. Indicar qué porcentaje de σmáx representa τmáx

PROBLEMA N° 2

(5 puntos)

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Se ha fabricado una viga uniendo 4 tablones de madera por medio de cola. Determinar el máximo esfuerzo cortante en las uniones colocadas.

PROBLEMA N° 3

(5 puntos)

Se construye una viga con 5 tablones unidos por pernos pasantes tal como se muestra en la figura. Los pernos tienen un área transversal de 320 mm 2 cada uno y espaciados longitudinalmente 150 mm. Si la luz de la viga es de 2.50 m y soporta una carga concentrada P = 4 500 kg en su punto medio. ¿Cuál es el máximo esfuerzo cortante en cada perno?

PROBLEMA N° 4 (5 puntos) Se ha fabricado una viga compuesta (empotrada en un extremo) uniendo dos porciones de madera con una plancha de acero de 0.625 cm de espesor mediante pernos de ½” de diámetro espaciados longitudalmente 20 cm. Si el módulo de elasticidad del acero y la madera son 2 x 10 6 kg/cm2 y 105 kg/cm2 respectivamente, determinar el esfuerzo cortante en los pernos, cuando se aplica en el extremo libre de la viga una fuerza de 500 kg.

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RESISTENCIA DE MATERIALES I 9na. hoja de trabajos prácticos (2do. Periodo – 1986) NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO SOLO A LOS PROBLEMAS BIEN RESUELTOS; CON EXCELENTE PRESENTACIÓN Y LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE SEAN NECESARIOS PARA SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1

(4 puntos)

Determinar el centro de corte para la sección tubular mostrada.

PROBLEMA N° 2

(5 puntos)

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Una fuerza de 1000 kg actúa en C y en un plano horizontal, determinar: a) Los esfuerzos principales en los puntos H y K. b) Los planos en donde se producen los esfuerzos principales, dibujándolos mediante un cuadradito elemental e indicando en ellos los esfuerzos principales. c) El máximo esfuerzo cortante en H y K; los planos en donde se producen. Dibujar los planos de corte máximo mediante un cuadradito elemental e indicar en ellos los esfuerzos cortantes.

PROBLEMA N° 3 (6 puntos) Si la fuerza de 1000 kg del problema N° 2 actuase en el punto P conservando su dirección sin despreciar el esfuerzo cortante debido al corte, determinar, usando el círculo de Mohr a) Los esfuerzos principales en los puntos H y K (ver figura del problema 2) los planos en donde se producen, dibujándolos mediante cuadraditos elementales e indicando en ellos los esfuerzos. b) Los máximos esfuerzos cortantes en H y K, los planos en donde se producen dibujándolos mediante cuadraditos elementales e indicando en ellos los esfuerzos cortantes máximos. Tómese para a/b: 1.5; α = 0.231 ;

β = 0.196 ; n = 0.859

PROBLEMA N° 4 (5 puntos) Una hélice cuyo peso es de 147.150 KN conectada a un eje de 2 m de longitud y 0.45 m de diámetro, sirve para impulsar una embarcación. El eje está conectado a un motor de 15 MW considerando que sólo el 85 % de esta potencia impulsa la embarcación, determinar los máximos esfuerzos principales y el máximo esfuerzo cortante cuando la embarcación va a 32 km/h si para esa velocidad el eje está girando a 100 r.p.m. Asúmase que la hélice y el eje como una viga en cantilever.

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RESISTENCIA DE MATERIALES I 10 ma. hoja de trabajos prácticos (2do. periodo – 1986) NOTA: EL MÁXIMO PUNTAJE SERÁ ASIGNADO SOLO A LOS PROBLEMAS BIEN RESUELTOS; CON EXCELENTE PRESENTACIÓN Y LOS DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE NECESARIOS QUE SEAN NECESARIOS PARA SU SOLUCIÓN. PROBLEMA N° 1 A un tubo de pared delgada, se le aplica una fuerza P que hace que los esfuerzos de compresión σ0 que se producen, sean iguales a σ f del material. Para incrementar la carga en ΔP, se sugiere colocar una presión interna “q” al tubo de tal forma que parte de la carga sea resistida directamente por la presión. Usando el criterio de falla de Von Mises, hallar la expresión de ΔP que se debe incrementar. En qué caso el efecto de “q” es útil y en qué caso no.

∆ P= A ( √ σ 20 + B−σ 0) A y B son constantes

PROBLEMA N° 2 Se ha construido una cúpula de espesor “e” usando un concreto especial de peso específico “γ”, usándose 20.521 kg de este material. Construida la cúpula (y antes de desencofrar) se colocaron en la superficie de la cúpula y a un metro del vértice dos “straing gages”, los cuales cuando la cúpula

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA estuvo terminada (y desencofrada) dieron las siguientes lecturas ϵ a = -777.5 x 10-9 y ϵb = -2087.5 x 10-9 se pide determinar: a.- El peso específico del concreto usado

b.- El espesor de la cúpula

c.- El ancho del anillo de borde. d.- La cantidad de acero que se debe usar en el anillo considerando un factor de seguridad de 5 Tómese para el concreto v = 0.2

E = 105 kg/cm2

σadm = 170 kg/cm2

Para el acero E = 2.1 x 106

σf = 5000 kg/cm2

Para el terreno σadm = 4 kg/cm2

PROBLEMA N° 3 Un eje que gira con aceleración angular constante de 5 rad/seg 2 está conectado a un disco rígido de 30 cm de radio. En la superficie del disco se suelda una barra de 15 cm de longitud, 2” de diámetro y peso 0.0018 kg/m. ¿Cuál es el valor del esfuerzo máximo cuando ω = 1000 r.p.m.? ¿Qué tiempo transcurre desde el inicio del movimiento hasta que el material comience a fluir? Si σf = 7000 kg/cm2 Nota.- Recuerde que la aceleración radial es ω 2R y la componente transversal es

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PROBLEMA N° 4 Se han construido dos tanques cilíndricos de igual dimensiones soldando planchas cuadradas de espesor “e”, los cuales contendrán aire comprimido. Sabiendo que el esfuerzo admisible perpendicular a la soldadura 630 kg/cm2, usando el criterio de Treica y Vond Mises determinar el espesor y la presión que pueden soportar si σf = 6000 kg/cm2. Úsese un coeficiente de seguridad de 2.

PROBLEMA N° 5 A una temperatura dada un voladizo toca justamente un plano sin fricción. Calcúlese el momento flexionante máximo si la temperatura de esta se eleva en ΔT. Despréciese el peso de la viga y el efecto de la fuerza axial en la deflexión por flexión. Las cantidades A,E, I y α son datos.

PROBLEMA N° 6 Determinar los diagramas del momento flector y fuerza cortante para una viga de acero que se apoya en dos barras de madera articuladas. Viga

I = 30 x 106 mm4 E = 200 GPa

Madera

E = 8 GPa

Área = 12 x 10 3 mm2

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RESISTENCIA DE MATERIALES I Primer Examen (2do. Periodo – 1986) Indicaciones 1. Los alumnos resolverán cuatro de los cinco problemas propuestos. 2. Las aclaraciones sobre el texto de los problemas será hecha sólo por los profesores del curso. 3. El puntaje máximo se asignará a los problemas que tengan valores corectos, bien presentados, acompañados de diagramas de cuerpo libre necesarios para la solución. 4. No se podrá usar libros, apuntes, tablas, etc.

PROBLEMA N° 1 (5 puntos) Una caja de forma rectangular con dimensiones “a”, “b”, y “L”: contiene un sólido deformable de módulo de elasticidad E y módulo de Poisson v en la forma que se indica en la figura. Si a este material se le aplica una presión uniforme σ0 sobre su superficie horizontal superior y sabiendo que el resorte tiene una constante elástica “K”, determinar: a) La deformación del resorte, en función de a, b, L, E, σ 0, v y K. b) Si la constante K del resorte fuese nula, calcular el cambio de volumen del sólido.

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PROBLEMA N° 2

(5 puntos)

Se tiene una barra rígida sostenida por tres barras de 4.20 m de longitud, formadas por un núcleo de aluminio (E = 0.7 x 10 5 kg/cm2, Área = 6 cm2 y α = 22.5 x 10-6) y una cubertura de acero (E = 2.1 x 10 6 kg/cm2, A = 8 cm2 y α = 12 x 10-8) soldadas entre sí. a.- Determinar el máximo valor de la carga P que se le puede aplicar a la barra rígida; si simultáneamente se aumenta la temperatura de la barra I en ΔT = 50 ° C; para no sobrepasar los esfuerzos admisibles del acero (1200 kg/cm2) y del aluminio (800 kg/cm2) b.- Calcular los esfuerzos en el acero y en el aluminio en las 3 barras para el valor de la carga P calculada en “a”.

PROBLEMA N° 3 (5 puntos) El eje de una mezcladora, que funciona como un elemento a torsión, se construye soldando a un tubo circular cuatro piezas rectangulares como paletas. El tubo tiene un diámetro exterior de20 cm y un diámetro interior de 16 cm; cada una de las paletas tiene una sección de 5 cm x 15 cm. Si el esfuerzo admisible es τ = 620 kg/cm 2, determinar el momento torsor máximo que puede aplicarse a dicho elemento. Datos: α = 0.267; β = 0.263; n = 0.753

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PROBLEMA N° 4 Se ha construido una viga empleando un material cuyo módulo de elasticidad en tracción es Et = 350 x 103 kg/cm2 y en compresión Ec = 875 x 103 kg/cm2. La viga es de longitud 5 m y está sometida a la acción de un momento flector negativo M. El radio de curvatura del plano neutro es 960.00 m. Se pide: a) Determinar la posición del eje neutro y la máxima deflexión de la viga. b) Calcular el momento M, y los esfuerzos máximos en la sección transversal.

PROBLEMA N° 5 Una columna corta está sometida a la acción de una fuerza P de compresión de 30 toneladas perpendicular a la sección y actuando en el punto A. Determinar: a) La ecuación del eje neutro y dibujarlo sobre la sección de la columna (Dibujar la sección a escala 1 cm 5 cm) b) Dibujar el diagrama de distribución de esfuerzos normales, indicando los valores máximos y mínimos.

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Profesores: Ing° J. Granadino Ing° P. Obando Ing° M. Tinman

TERCER EXAMEN DE RESISTENCIA DE MATERIALES 1 (2do. Periodo – 1986)

PROBLEMA N° 1 (5 puntos) a.- (2.5 puntos) Partiendo de la expresión que permite determinar el criterio de falla según Von Mises, cuando se conoce los esfuerzos principales σ 1, σ2 y σ3; comprobar que cuando el estado tensional está referido a un sistema ortogonal derecho x, y, z: dicho criterio queda definido por 2

2

2

2 σ 2f =( σ x −σ y ) + ( σ y −σ z ) + ( σ x −σ z ) +6 ( τ 2xy +τ 2xz + τ 2yz ) b.- Deducir la expresión que permite determinar el desplazamiento del punto medio M, debido a una fuerza P situada a una distancia genérica x’ del apoyo A (ver figura a). Empleando este resultado y el principio de

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA superposición de efectos determinar las reacciones y los diagramas de M.F. y F.C. para la viga que se muestra en la figura b. Sabiendo que el apoyo B de esta viga sufre un asentamiento vertical de 1.2 cm. Tómese EI = 16800 Ton.m2.

PROBLEMA N° 2 (5 puntos) Empleando el método vectorial de rigidez, determinar: a) Las fuerzas en todas las barras; b) Los desplazamientos totales de los nudos 2 y 3; c) Las reacciones en los apoyos; sabiendo que la barra 2-4 ha resultado 4 mm más larga que la longitud prevista en el proyecto. Considerar además un cambio de temperatura de -40° C para todas las barras. Tómese E = 2.05 x 106 kg/cm2

α = 11.7 x 10-6/ °C

Las diagonales 1-3 y 2-4 tienen un área transversal de 6.5 cm 2 y todas las demás 8.2 cm2.

PROBLEMA N° 3 El elemento estructural mostrado está formado por un eje macizo de 4 cm de diámetro y una sección tubular abierta a lo largo de su generatriz cuyos diámetros exterior e interior son 12 cm y 10 cm, respectivamente. Ambos elementos están conectados por un disco rígido, recubierto por un material aislante, y soldado a él, tal como se indica en la figura. Sabiendo que inicialmente se aplica un momento torsor en el extremo 3 del eje que causa un giro de 0.1 rad en este extremo, y que posteriormente el eje sufre un aumento de temperatura ΔT. Calcular el cambio de temperatura

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA máximo que puede sufrir el eje para que no fallen ni el eje ni el tubo. Usar el criterio de falla de Von Mises tomando un factor de seguridad de 2. Tómese para el eje y para el tubo. E = 2 x 106 kg/cm2 kg/cm2

G = 870 000 kg/cm 2

σf = 2400

α = 10 x 10-6/°C

PROBLEMA N° 4

(5 puntos)

Para la viga mostrada a) Determinar en el empotramiento la distribución de esfuerzos cortantes y esfuerzos normales. b) Dibujar los diagramas de M.F. y F.C. para la viga.

PROBLEMA N° 5

(5 puntos)

La viga mostrada tiene sección rectangular de 80 x 200 mm y está sometida a la acción de una carga P de 400 KN que actúa en uno de los planos de simetría. Determinar los esfuerzos principales y el máximo esfuerzo cortante que se produce en el punto A. Dibujar los planos en donde se producen estos esfuerzos indicando sobre ellos los esfuerzos determinados.

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1era PRÁCTICA 1) Trasladamos la fuerza P al centro de la columna:

Haciendo equilibrio: (I) P = 4 F  F = 1000 kg (II)

' ' M =4 F ( 4 √ 2 ) → F =3000 √2 kg

Luego: Como la componente horizontal es la misma La fuerza resultante será mayor en los puntos “A” y/o “B”

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[

F' 2 F' 2 R= ( F+ ) −( ) √2 √2

τm=

1 /2

]

=5000 kg

R 5000 → A= =5 cm 2 A 1000

4A d= π

1 2

( ) ( 2.541 ) →d =1

2) Respecto al eje X: En el nudo E: EM = 0 P(2) = FED(2) F ED = P Por simetría: FEB = FEA

∑ F y =0

2 F EA

[

2 √2 1 2 2

( ( 2 √2 )2 +2 )

]

√ 2 + F =0 ED

F EA=F ED=−0.866 P En el nudo D:

∑ M =0 Por simetría:

F D B =F DA

∑ F y=0 2 F DB

2

( ( 2 √ 2 ) 2 + 22 )

1/ 2

+ F DC =0

 FDC = FDA = -1732 P Luego:

2

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P ≤ 1200 → P ≤12000 kg 10

σ ED=

σ EA=σ EB =

σ DC =

0.866 P ≤800 → P≤ 9237.6 kg 10

2P ≤1200 → P ≤ 6000 kg 10

σ DB=σ DA =

1.732 P ≤ 800 → P ≤ 4618.9 kg 10 ∴ Pmáx =4618.9 kg

3) Para toda la estructura:

∑ M D=0

:

5000 (70) = F y(250)

 Fy = 1400

kg ( ↓ )

∑ F y =0

:

5000 + 1400 = D y

 Dy =

6400 kg ( ↑ )

En F : 1400 2 kg τm= =900 2 → A F=0.777 cm2 AF cm 4 AF → dF= π

1 2

( ) ( 2.511 )=0.39

4 1 → {d} rsub {F} = {3.13 ¿ → ∴d F = 8 8 2

∑ M E=0

:

Cy(100) = 1400 (200)

∑ F y =0

:

1400 + Ey = 2800

->

Cy = 2800 kg

EY = 1400 kg

->

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∑ M B =0 Tsenθ ( 90 ) +2800 (130 )=5000 ( 90 ) T =1592.592 kg

∑ F y =0 Tsenθ+ B y=5000+2800 → B y =6844.44 kg ∑ F x =0Tcosθ=B x → Bx =1271 kg

∑ F x=0 E x =1274 kg

∑ F y =0 −E y + 6844.44=6400 E y =444.44 kg Luego: En el pasador B:

B=√ B 2x + B2y =6962 kg

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τm=

6962 kg =900 2 A cm

}

9.88 ¿ A=273 cm → d= 8 2

}

5 ¿ ∴ d=( ) 4 En el pasador E:

2

2

2

E =E x + E y E= √ 1274 2+ 955.562 E=1592.536 kg

τm=

1592.536 kg =900 2 A cm

} 4.73 8

¿

( )

A=1.77 cm2 → d= }

5¿ ∴ d= 8

b)

σt=

1592.592 4.09 ” =1200 → A=1.327 cm 2 →d = A 8

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} ∴ d=

5¿ 8

c) En D:

σc=

6400 kg =4 2 → A=1600 cm 2 A cm

∴ PLANCHA DE 40 x 40 cm d) En F:

Fy 2 700 kg σ aplast = = } right ) left ({{1} over {2}} ^ { =28933 2 t df cm 3 ( 2.5 )2 4

(

)

4)

γ F=mω 2 x dm= dv g 2

dF=ω xdm dV = ydxt ω2 xtb ( → dF= x L−x ) dx L L

F=

3 ω2 γtb ω 2 xtb 2 2 2x x ( L−x ) dx= ( L −3 x + ) ∫ gL x 6g L

Luego: a)

σ ( x )=

F ( x) b =; A ( x ) =t ( L−x ) L A(x)

ω2 γ σ (x)= (−2 x 2 + Lx+ L2 ) 6g

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA b) c)

dσ ( x) L L 3 ω2 γ L2 σ ( x ) más : =0 → x= → σ =σ máx = dx 4 4 16 g

( )

Evaluando :

L=1 m, t=0.01 m ,b=0.1 m, γ=7800

ω=1200 r . p . m. , g=9.8 x 3600

σ máx =59693.87

m min2

kg kg =5.97 2 2 m cm

d)

σ (x)=

[

ω2 γ ( −ω2 γ L 2 9 L2 −2 x 2+ Lx + L2 )= ( x− ) − 6g 3g 4 16

σ (X ) +59.6938=

−ω 2 γ L 2 ( x− ) 3g 4

kg m3

]

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2da PRÁCTICA 1. a) EN EL NUDO A:

∑ F x =0: R=Q cosα

…1

∑ F y =0 :1500=F +Qsenα … 2 ADEMÁS : (C’D’) 2 + (B’D’)2 = (B’C’)2

y C ' D' =CD (1−ε CD ) '

'

B D =BD (1+ ε BD) B ' C ' =BC ( 1+ ε BC ) Luego :

CD 2 ( 1−2 ε CD + ε 2CD ) + BD 2 ( 1+2 ε BD +ε 2BD ) =BC 2 (1+ 2 ε BC +ε 2BC ) 9 ( 1−2 ε CD ) +16 ( 1+2 ε BD ) =25(1+2 ε BC ) −9 ε CD + 16 ε BD =25 ε BC R F Q 5 10 3 −9 +16 =25( ) E E E

() ( )

24 F−27 R=125 Q … 3 Resolviendo 1, 2 y 3 F = 13 200 kg R = 1350 kg

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA Q = 2250 kg b)

F 10 δ AC =δ BD=( AC ) ε AC =( AC ) = 0.2514 cm E

( )

R 5 δ AB=δ CD =( AB ) ε AB =( AB ) =0.03857 cm E

()

Q 3 δ AD=δ BC =( AD ) ε AD= ( AD ) = 0.17857 cm E

()

HACIENDO EQUILIBRIO : b

P=∫ a

k y2 k L2 dy = =P L 3

( )

→ k=

Luego : A una distancia y : y

P ( y )=∫ 0

2

3

( )

ky y dy=P( ) kg L L

En el punto medio : P(200) = 15 000 kg

→

∆A τ =2 ν = A E

2 ( 0.15 )

( 15000 A ) → ∆ A=0.135 cm

7 x 10

5

2

3P L2

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL PERÚ FACULTAD DE CIENCIAS E INGENIERÍA 100

∆V=

L

δ=∫ 0

ε yy =

1−2 ν ∫ P ( y ) dy=1.2 cm3 E 0 P( y) PL 120000 x 400 dy= = =0.382 cm EA 4 EA 4 x 1 x 105 x 100 π

1 ( σ −γ σ yy ) E xx ε xx=40.476 x 10−6 ε yy =

1 ( σ −ν σ xx ) E yy

ε yy=−33.81 x 10−6 Luego : −6

δ xx=ε xx l xx =40.476 x 10 l xx δ yy=ε yy l yy=−33.81 x 10−6 l yy

Tg θ' =

−6

Tgθ−33.81 x 10 Tgθ −6 1+ 40.476 x 10 ( 1 ) '

m=Tg θ =1.73192 h’ = h – 33.81x10-6h

4.

-> h disminuye en 3.38 x 10 -3 %

U1 = Energía de deformación para la sección cuadrada U2 = Energía de deformación para la sección circular U = U 1 + U2

U 1=

Fd F Fx F2 x = = 2 2 E A1 2 E A1

( )

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U 2=

2 Fd F F( 0.2−x) F (0.2−x ) = = 2 2 E A2 2 E A2

(

)

Luego : 2 F 2 x ( 0.2−x ) dU U= + → =0 → x =8 cm −6 2 E A 0.24 x 10 dx

(

)

π d2 V cil= ( 0.2−0.08 ) → d=1.59 cm 4

( )

U mín =U ( 0.02 )=1.4 joules .

3era PRÁCTICA 1. EQUILIBRIO DE LA TUERCA : LUEGO :

δ a+ δ c =∆ Fl Fl 1 + =0.16 x → F=25.5140 kg E a E a E l El 4



δ a=0.0253 cm σ a=12757

kg (T ) cm 2

δ l=0.016 cm σ l=392 523

kg (C) cm2

δ a ∆ T =α a l a ∆ T =0.0378 cm δ A ∆ T =α A l A ∆ T =0.0178 cm

EQUILIBRIO DE LA PLANCHA DERECHA :

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2 F a=F A Además :

δ A=δ A ∆ T +δ A F δ a=δ a ∆ T + δ a F

δa∆T −

F a la 2 F a la =δ A ∆ T + Ea Aa EA AA

δ a=δ A =d



Fa =855.788 kg F A =1711.576 kg

Fa

σa=

2

π (2.5) /4

σ A=

=174.34

FA 2

π (2.75) / 4

kg (C) cm 2

=288.165

kg (T ) cm 2

Luego :

FA=

(

EA AA 5 δ A=150 x 10 ∅1 , N lA

)

(

EB AB δ B=750 x 105 ∅2−0.3 x 105 N lB

(

EC A C 5 δ C =250 x 10 ( ∅1−∅2 ) N lC

F B=

FC =

)

)

Reemplazando en (1) y (2) :

∅1=5.946 x 10−8 p+1.62 x 10−4 ∅2=1.0812 x 10−8 p+ 3.564 x 10−4 Entonces :

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F A =841.9 x 10−3 p+2430 F B=810.9 x 10−3 p−3270 −3

FC =1216.2 x 10 p−4860 Por condiciones del problema :

σ A=

FA N ≤ 140 x 106 2 → P ≤ 44 365.96 N AA m

σ B=

FB N ≤20 x 106 2 → P ≤ 102688.371 N AB m

σC =

FC 6 N ≤60 x 10 2 → P ≤ 53330.044 N AC m ∴ Pmáx =44.4 KN