Resistencia de Materiales FASE III

 

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INGENIERÍA DE MINAS- FASE

III

TRANSFORMACION DE ESFUERZO Tema N° 9 Fernando David Siles Nates Magister en Ing. de Mantenimiento Ing. Mecatrónico CIP: 139515

 

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INTRODUCCIÓN En este capitulo se mostrara como se transforman las comp co mpo one nen nte tes s de esf sfue uerz rzo o que están asociadas con un sistema coordenado part pa rtic icul ular ar en co comp mpon onen ente tes s asoc as ocia iada das s co con n ot otro ro si siste stema ma de co coo orde den nad ada as qu que e ti tien ene e una orientación diferente

 

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Transformación de esfuerzo plano En la sección 1.3 se mostro que el estado general de esfuerzo en un punto se caracteriza mediante seis componentes independientes de esfuerzo normal y esfu es fuer erzo zo co cort rtan ante te,, qu que e ac actúa túan n so sobr bre e la las s ca cara ras s de un el elem emen ento to de ma mate teri rial al ubicado en ese punto figura. En su lugar se suelen hacer aproximaciones o simplificaciones de las cargas con el fin de que el esfuerzo producido en un elemento de la estructura o un elemento mecánico pueda analizarse en un solo plano.

 

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Por la ta Por tan nto to,, el est stad ado o gen ene era rall de esfuerzo plano en un punto se representa mediante una combinación de dos co comp mpo onente tes s de esfu fue erzo normal   σx y   σy  y una componente de  τ xy,,   que cortante, cortan te, xy

esfuer esfuerzo zo caras del elemento. actúan en las cuatro En otras palabras el estado de esfuerzo plano en el punto esta representado ú nfuer ica came men poalr ydoun s acoco mmpon pononen enente tete s de de esfu es erzo zonte norm no rmal una comp esfu es fuer erzo zo co cort rtan ante te qu que e ac actú túan an so sobr bre e un elemento que tiene una orientación especifica en el punto.

 

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En es esta ta se secc cció ión, n, se mostrara como se transforman las componentes de esfuerzo de la orientación de un elem el emen ento to most mo stra rada da en la figura a la orientación del elemento en la figura siguiente.

 

Ecuaciones generales de transformación de esfuerzo plano

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El método para transformar las componentes de esfuerzo normal y cortante de los ejes de coordenadas x y y a los ejes x´  y y´, analizado en la sección anterior puede desarrollarse de manera general y expresarse como un conjunto de ecuaciones de transformación de esfuerzo

Convección de signos En primer lugar se debe establecer una convección de signos para las componentes de esfuerzo. Para ello, los ejes +x y +x´ se usan para definir la normal hacia afuera de un lado del elemento. Entonces   σx y   σx´ son positivos cuando actúan en las direcciones positivas de x y x´, y   τxy y  τ xy´ son positivas cuando actúan en las direcciones positivas de y y y´.

La orientación del plano en el que se deben determinar las componentes de esffue es uerz rzo o no norm rma al y co cort rtan ante te es esttar ará á definido por el ángulo  θ

 

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Componentes de esfuerzo normal y cortante

+Σ F  x’  = 0;

+Σ F  y’  = 0;

σx’ ∆ A  –  (τxy ∆ A sin θ) cos θ –  – ((σy ∆ A sin θ) sin θ  – (( τxy ∆ A cos θ) sin θ –   –  – ((σx  ∆ A cos θ) cos θ = 0 σx’ = σx cos2 θ + σy sin2 θ + τxy (2 sin θ cos θ) τx’y’ ∆ A + (τ (τxy ∆ A sin θ) sin θ –  – ((σy ∆ A sin θ) cos θ  – (( τxy ∆ A cos θ) cos θ + (σ  –  (σx ∆ A cos θ) sin θ = 0 τx’y’ = (σ (σy – σx) sin θ cos θ + τxy (cos2 θ –  – sin sin2 θ)

 

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Componentes de esfuerzo normal y cortante

σx’ =

σx + σy 2

+

σx – σy 2

cos 2θ 2θ + τ sin 2 θ xy

  σx -  σy τx’y’ =  –  sin 2θ 2θ + τxy cos 2 θ 2

 

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 σy’ se de Para Pa ra ob obten tener  er  σ debe be su sust stit itui uir  r    θ =  θ + 90 90°° en la ecu cuaaci ció ón 9.1

σx + σy σx – σy σy’ = cos 2θ 2θ – τxy sin 2 θ 2  –  2

 

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CASO El estado de esfuerzo plano en un punto de la superficie del fuselaje de un avión se representa en el elemento orientado como se indica en la figura 9-4a. Represente el estado de esfuerzos en el punto de un elemento que esta orientado a 30° en el sentido de las manecillas del relo lojj, respecto a la posición in ind dic icaada.

 

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CASO El estado de esfuerzo plano en un punto está representado por el elemento que se muestra en la figura. Determine el estado de esfuerzo en el punto sobre otro elemento orientado a 30° en sentido hora ho rari rio o desd desde e la posi posici ción ón in indi dica cada da..

 

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Esfuerzos principales y esfuerzo cortante máximo en el plano  A partir de las ecuaciones ecuaciones anteriores anteriores , se observa que las magnitudes magnitudes de   σx´ y  τ xý´ dependen del ángulo de inclinación θ de los planos sobre los que actúan estos esfuerzos. En la practica de la ingeniería suele ser importante determinar la orientaci orie ntación ón del elemento elemento que hace que el esfue esfuerzo rzo normal normal sea máximo y mínimo y la orientació orientación n que caus causa a que el esfuerzo cortante sea máximo.

Esfuerzos principales en el plano Para determinar el esfuerzo normal máximo y mínimo, es necesario diferenciar la ecuación 9.1 con respecto a  θ  e igualar el resultado a cero y se obtiene:

d   x ' d  

 

tan 2  p 

 1, 2



  x

  x

   y

2   xy   x    y

2 si sin n  2   2  xy cos   2   0



/ 2

  

    x

 y

2

   

2

         2 2    y

 xy

 

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Esfuerzos principales en el plano

 

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Esfuerzo cortante máximo en el plano La orientación de un elemento que esta sometido al esfuerzo cortante máximo sobre sus lados puede determinarse al obtener la derivada derivada de la ecuación ecuación con respecto a  θ y al igualar el resultado de cero y se obtiene:

d   x ' y '

  x  

d   tan ta n 2  s

 max en el plano  pl ano

  prom



  x

2 cos   

2

 

  y



  x





sin n 2    0   xy 2 si



  y / 2

  xy

    x

        

 y

2

2

         2 2    y

 

xy





 

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Circulo de Mhor para el esfuerzo plano En esta sección se mostrara como aplicar las ecuaciones para la transformación de esfuerzo plano, utilizando una solución grafica cuyo uso suele ser conveniente y fáci fá cill de re reco cord rdar ar.. Este método permite visualizar como varí va rían an la lass co comp mpon onen ente tess de es esfu fuer erzo zo no norm rmal al y cortan antte   σx´ y   τxý´ de acuerdo con la orientación en diferentes direcciones del plan pl ano o so sob bre el qu que e ac actú túan an..

Se elimina   θ   al elevar elevar al cuadrado cuadrado cada cada ecuación ecuación y sumarlas. El resultado es:

 

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Para un pro Para proble blema ma esp especi ecific fico o   σx,   σy y   τxy son con consta stante ntes s conocidas. Por consiguiente la ecuación puede escribirse:

 

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CASO-I    Cuando

se aplica la carga de torsión T a la barra de la figura . Produce un estado de esfuerzo cortante puro en el material. Determinar     a) El esfuerzo cortante máximo en el plano, y el esfuerzo normal promedio asociado.   b) El esfuerzo principal.

 

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Esfuerzo cortante Máximo Absoluto Cuando un punto en un cuerpo se somete a un estado general de esfuerzo tridimensional, un elemento de material tiene un esfuerzo normal y do dos s co comp mpon onen ente tes s de es esfu fuer erzo zo cortante que actúan sobreen cada una de sus caras figura Como el caso de esfuerzo plano es posible desarrollar ecuaciones de transfor orma maci ció ón de esfuerzo en cua cu alq lqu uie ierr pl plan ano o tr tran ansv sve ers rsa al de dell elemento figura .En general como se mues mu estr tra a en la fig figur ura a fi figu gura ra ,e ,est stos os esfuerzos principales tienen magnit mag nitude udes s de int intens ensida idad d máx máxima ima,, inte in terme rmedi dia a y mín mínim ima. a. Es Esta ta es un una a condic con dición ión con conoci ocida da como esf esfuer uerzo zo triaxial.

 abs max

 



 max

     min

2

  prom



 max

  min

2

 

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Considere que el materi ria al se somete a los esfuerzos principales en el plano que se muestra en la figura 9.22(a) los esfuerzos tienen el mismo signo

  



x´y´

 

 

abs max

(  1



2 

 1 2

  

2

)

 

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Considere que el material se somete a los esfuerzos pri rinc ncip ipal ales es en el pl plan ano o que se muestra en la figu fi gura ra 9. 9.23 23(a (a)) si un uno o de los esf esfuer uerzos zos pri princi ncipal pales es en el pl plan ano o ti tie ene si sig gno contrario.

  

abs max



(  1



2

  

2

)

 

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Ejercicio N° 3 El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento, en la figura. Determinar los esfuerzos cortantes máximos en el plano y la orientación del elemento sobre el que actúan.

 

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Ejercicio N° 4 La viga de la figura está sometida a la carga distribuida w = 120 kN/m. Determinar los esfuerzos principales en ella, en el punto P en la parte superior del alma. Desprecie el tamaño de los chaflanes y las concentraciones de esfuerzo en este punto. I = 67.4(10  -6 ) m4

 

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PROBLEMA Una fuerza horizontal de magnitud P=150 Lb se aplica el extremo D de la palanca  ABD .Sabiendo que la porción ABD. Sabiendo que la porción AB de la palanca tiene un diámetro de 1.2 in determine: normal y Cortante en en un elemento elemento situado en el punto H con lados •   Los esfuerzos normal paralelos a los ejes x y y •

  Los Planos principales y los esfuerzos principales en el punto H

 

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Ejercicio N° 4 El estado de esfuerzo plano en un punto se indica en el elemento de la figura Representar este estado de esfuerzo sobre un elemento orientado a 30° en sentido contrario al de las manecillas del reloj, de la posición que se muestra.

 

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III

DISEÑO DE VIGAS Y EJES Tema N° N° 10 Ing. Fernando David Siles Nates CIP: 139515-MECATRONICO

 

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FUNDAMENTOS PARA EL DISEÑO DE VIGAS Se dice que las vigas están diseñadas con base en la resistencia, de modo que puedan soportar la fuerza cortante interna y el momento interno desarrollados en toda su longitud. Como muestra adicionales en al figuraen , las cargas externas una viga crearanseesfuerzos la viga justo debajo sobre de la carga. En particular, se desarrollara un esfuerzo de compresión   σy, además del esfuer esf uerzo zo fle flexion xionart arte e   σx y el esfu fue erzo de compresió ión n   τxy que se analizaron anteriormente

 

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Como las formulas de la fuerza cortante y la flexión se utilizan para el diseño de vigas, se analizaran los resultados generales obtenidos cuando estas ecuaciones se apliquen a varios puntos sobre una viga en voladizo que tiene una sección transversal rectangular y soporta una carga P en su extremo,

 

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En general, en una sección arbitraria a-a a lo largo del eje de la viga figura , la fuer fu erza za co corrta tant nte e V y el mom omen ento to M in inte terrno nos s se de desa sarr rro oll llan an a pa parrti tirr de un una a distribución parabólica del esfuerzo cortante, y una distribución lineal del esfuerzo normal, ver figura.

 

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Como mo re resu sult lta ado do,, lo los s esfu fuer erzo zos s Co que qu e ac actú túan an so sobr bre e los el elem emen entos tos situados en los puntos 1 a 5 de la sección serán como se muestran en la figura. Observe que los elementos 1 y 5 están sometidos solo al esfuerzo normal máximo, mientras que el elemento 3, que esta en el eje neutro, se somete solo al esfuerzo cortante máximo. Los elementos 2rmal y al 4 resi re sist sten en ta tant nto o intermedios esfu es fuer erzo zo no norm como cortante.

 

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En cada caso, el estado de esfuerzo puede pu ede tra transfo nsforma rmarse rse en esf esfuer uerzos zos principales, usando las ecuaciones para la transformación de esfuerzos o el circulo de Mohr. Los resultados se muestran en al figura .Aquí cada elemento del 1 al 5 se somete a una orientación en sentido anti horario. De man manera era esp especi ecific fica, a, en rel relaci ación ón con el elemento 1, que se considera en la posición 0º, el elemento 3 esta orientado a 45º y el elemento 5 a 90º

 

Diseño de una viga prismática La mayoría de las vigas están fabricadas de materiales dúctiles y cuando este es el caso, gen ener era alm lmen ente te no es nece cesa sarrio tr traz aza ar la las s tray tr ayec ecto tori ria as de esf sfue uerz rzo o pa para ra la vi viga ga.. En cambio so sollo hay que ase seg gurarse que el esfu es fuer erzo zo fl flex exio iona nant nte e y el es esfu fuer erzo zo co cort rtan ante te reales en la viga no excedan los esfuerzos flex fl exio iona nant ntés és y co cort rtan ante te pe perm rmis isib ible les s pa para ra el mate ma teri ria al, ta tall co como mo lo de defi fine nen n lo los s có códi digo gos s estructurales o mecánicas. Un diseño por flexión requiere la dete de term rmin inac ació ión n de dell mo modu dulo lo de se secci cción ón de la viga vi ga,, un una a pr prop opie ieda dad d ge geom omét étri rica ca qu que e es el cociente cocie nte I sobre sobre c, es decir decir S=I/c. S=I/c. Si se usa la formula de la flexión   σ=Mc/I, se tiene

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VIGAS FABRICADAS Como las vigas suelen estar fabricadas de acero o madera, ahora se analizaran algunas de las propiedades tabuladas de las vigas fabricadas con estos materiales

SECCIONES DE ACERO La mayoría mayoría de la vigas fabricad fabricadas as con acero acero se producen producen mediante el laminado en caliente de un lingote de acero, hasta obtener la forma deseada. Estos perfiles laminados tienen propiedades que están tabuladas en el manual del Instituto Estadounidense de Construcción en Acero (AISC). En el apéndice B se proporciona una lista representativa de vigas I de ala ancha tomadas de este manual. Como se señala en dicho apéndice, los perfiles de vigas I de ala ancha se designan por su peralte y su peso por unidad de long lo ngit itud ud:: por ej ejem empl plo, o, W 18x 8x46 46 in indi dica ca un una a se secc cció ión n transversal de I de ala ancha (W) con un peralte de 18 pulg y un peso de 46 lb/pie, figura

 

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SECCIONES DE MADERA

La mayoría mayoría de la vig vigas as hechas hechas de madera madera tien tienen en una sección sección tra transv nsvers ersal al rectangul rectangular ar,, porque son fáciles de fabricar y manejar, algunos manuales , presentan las dimensiones de las tablas que se usan con frecuencia en el diseño de las vigas de madera. A menudo se reportan las dimensiones nominales y reales. La viga se identifica por sus dimensiones nominales, como 2x4 (2por 4 pulg), sin embargo, sus dimensiones reales o cepillada son mas pequeñas, de 1.5 por 3.5 pulg.

SECCIONES COMPUESTAS Una sección compuesta se construye a partir de dos o mas partes que se unes para formar una sola unidad. Como Sreq=M/ σperm, la capacidad de la

vig iga a pa para ra re resi sist stir ir un mo mome ment nto o var aria iara ra di dire rect ctam amen ente te co con n su mo modu dulo lo de sección, y puesto que Sreq=I/c, entonces Sreq se incrementa si I aumenta

 

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VIGAS COMPLETAMENTE ESFORZADAS Como el momento en una viga suele variar en toda su longitud, por lo general la elección de una viga prismática es poco eficiente, ya que nunca esta completamente esforzada en los puntos donde el momento interno es menor que el momento máximo de la viga. En la figura se muestran dos ejemplos. En estructuras como las vigas pueden incluirse   ”mensuales   ” en sus extremos como se muestra en la figura 11-10b. Ademas las vigas pueden   “construirse   ”  o fabricarse en un taller usando placas. Un ejemplo de esto es un larguero fabricado a partir de una viga I de ala ancha laminada, con placas soldadas a la viga en la region donde el momento es maximo, figura 11-10c

 

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DISEÑO DE EJES Los ejes que tienen secciones circulares se utilizan a menudo en el diseño de equipos mecánicos y maquinaria. Por ello, pueden estar sometidos sometidos a un esfuerzo o fatiga cíclica, la cual es causada por la flexión combinada y las cargas de torsión que deben transmitir o resistir  En es esta ta se secc cció ión n se an anal aliz izar ara a al algu guno nos s de lo los s aspectos mas importantes en el diseño de ejes, los cuales se requieren para transmitir potencia. Con frecuencia, estos ejes están sometidos a cargas aplicadas sobre las poleas y los engranajes a los que están unidos, como se muestra en la figura. Como las cargas se pueden aplicar al eje en varios ángu án gulo los, s, la fl flex exió ión n in inte tern rna a y lo los s mo mome ment ntos os de torsión pueden determinarse en cualquier sección transversal, en primer lugar al sustituir las cargas por sus contrapartes estáticamente estáticamente equivalentes y, despué des pués, s, al des descom compon poner er est estas as car cargas gas en sus com co mpo pon nen ente tes s per erte tene neci cien enttes a do dos s pl plan anos os perpendicu perpe ndiculare lares. s. Ento Entonces nces es posi posible ble traza trazarr los diag di agra ram mas de mo mome ment nto o fl flex exio iona nant nte e pa para ra la las s cargas en cada plano y se puede determinar el momento interno resultante en cualquier sección a lo largo del eje mediante una suma vectorial.

 

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Una vez que se han establecido los diagramas de momento y de par de torsión, es posible investigar ciertas secciones criticas a lo largo del eje donde la combinación de un momento resultante M y un par de torsión T crea la peor situación de esfuerzo . Como el momento de inercia del eje es el mismo respecto a cualquier eje diametral, se puede aplicar la formula de la flexión con el momento resultante para obtener el esfuerzo flexionante máximo.

 

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CASO –I La viga T (o viga te) de madera de la figura se fabrica con dos tablas de 200 mm x 30 mm. Si el esfuerzo de flexión admisible es cradm = 12 MPa y el esfuerzo cortante admisible es Tadm = 0.8 MPa, determine si la viga puede sostener con seguridad las cargas indicadas. También especifique la separación máxima entre clavos, necesaria para sujetar las dos tablas, si cada clavo puede resistir 1.50 kN en cortante.

 

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CASO-II

 

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CASO-III El ej eje e só sóli lido do   AB   gira a 480 rpm y transmite 30 kW del motor   M   a los elementos de máquina conectados a los engranes   G  y   H ; se extraen 20 kW en el engrane   G  y 10 kW en   H . Sabiendo que determine el diámetro más pequeño permisible para el eje  AB.

RECORDAR QUE 1 Hz=60 RPM

 

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CASO-IV Seleccione la viga en voladizo I de patín ancho (W) mas ligera, que soporte con segu se guri rida dad d la ca carg rga. a. Su Supo pong nga a qu que e el soporte en   A   es un pasador, y que el soporte en   B  es un rodillo. El esfuerzo de fl flex exió ión n ad admi misi sibl ble e es   σadm   = 24 klb lb//pulg lg2 2. y el esfuerzo cortante admisible es Tadm = 14 klb/pulg2. kl b/pulg2.

 

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CASO-V El ej eje e só sólid lido o   ABC   y lo los s en engr gran anes es que se mu mue est stra ran n en la fig igu ura se util ut iliza izan n pa para ra tra trans nsmit mitir ir 10 kW de dell motor   M  a  a un elemento de máquina conectado al engrane   D. Si el motor  gira a 240 rpm y   Тperm   60 MPa, MPa, determ rmin ine e el diámetro mín ínim imo o permisible del eje  ABC .

 

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CASO-VI La fuerza vertical   P1 y la fuerza horizontal   P2 se aplican a los discos soldados al eje sólido  AD, según se ilustra en la figura. Si se sabe que el diámetro del eje es de 40 mm y que perm

  = permisible 55 MPa, dedelatefuerza rmine  Pl2a. magnitud máxima

 

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PROBLEMA N° N° 1 Una viga de acero con esfuerzo de flexión admisible   σadm = 24 klb/pulg2 y esfuerzo cortante admisible   ԏadm   = 14.5 klb/pulg2 va a soportar las cargas de la figura. Seleccione un perfil W adecuado.

 

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PROBLEMA N° N° 3 El eje de la figura está sostenido sost enido por cojinetes rectos lisos en A y en B. Debido a la transmisión de potencia desde y hacia el eje, las bandas en las poleas están sometidas a las tensiones indicadas. Calcular C alcular el diámetro mínimo del eje, usando la teoría del esfuerzo cortante máximo, con Tadm Tadm = 50 MPa.